matematika wajib vektor - · pdf filemenjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan...

12
VEKTOR Page 1 Bismillahirrohmanirrohiim MATEMATIKA WAJIB VEKTOR Kompetensi Dasar : 3.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah 3.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah Indikator : 1. Menjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah 2. Mengenal vektor satuan 3. Menentukan operasi aljabar vektor: jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor 4. Menjelaskan sifat-sifat vektor secara aljabar dan geometri 5. Menggunakan rumus perbandingan vektor 6. Merumuskan definisi perkalian skalar dua vektor 7. Menghitung hasil kali skalar dua vektor dan menemukan sifat-sifatnya 8. Menentukan vektor proyeksi dan panjang proyeksinya 9. Melakukan kajian menentukan sudut antara dua vektor 10. Menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang mempunyai penyelesaian dengan konsep vektor Penjiwaan Agama :” Dan kami jadikan malam dan siang sebagai dua tanda lalu kami hapuskan tanda malam dan kami jadikan tanda siang itu terang, agar kamu mencari kurnia Tuhanmu, dan supaya kamu mengetahui bilangan tahun dan perhitungan. Dan segala sesuatu telah kami terangkan dengan jelas.(Q.S Al Isra :12) A. PENGERTIAN VEKTOR 1. Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah. 2. Vektor dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah. 3. Besar vektor dinyatakan dengan panjang garis dan arah vektor dinyatakan dengan arah panah. 4. Notasi vektor biasanya dengan menggunakan tanda anak panah di atas atau bawahnya atau bisa juga dengan menggunakan huruf kecil yang tebal. 5. Vektor posisi yaitu vektor yang posisi (letaknya) tertentu. Misalnya OA yaitu vektor posisi yang awalnya di titik pusat dan ujungnya di titik A. Vektor posisi , , OA OB OC dan seterusnya biasanya diwakili oleh vektor dengan huruf kecil misalnya c b a , , dan sebagainya. Jadi c OC b OB a OA = = = , , . 6. Menentukan komponen vector Misalnya vektor a adalah vektor yang bertitik awal di titik ( ) 1 1 1 x ,y , P z dan berujung di titik ( ) 2 2 2 x ,y , Q z maka: 2 1 2 1 2 1 atau x x x a PQ vektor posisi ujung OQ vektor posisi awal OP y y y z z z = = = a b c

Upload: vuongkien

Post on 07-Feb-2018

367 views

Category:

Documents


21 download

TRANSCRIPT

Page 1: MATEMATIKA WAJIB VEKTOR - · PDF fileMenjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah 2. ... jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor

VEKTOR Page1

BismillahirrohmanirrohiimMATEMATIKAWAJIB

VEKTORKompetensiDasar : 3.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan

masalah

3.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalampemecahanmasalah

Indikator :1.Menjelaskanvektorsebagaibesaranyangmemilkibesardanarah

2. Mengenalvektorsatuan3. Menentukan operasi aljabar vektor: jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar,

danlawansuatuvektor4. Menjelaskansifat-sifatvektorsecaraaljabardangeometri5. Menggunakanrumusperbandinganvektor6. Merumuskandefinisiperkalianskalarduavektor7. Menghitunghasilkaliskalarduavektordanmenemukansifat-sifatnya8. Menentukanvektorproyeksidanpanjangproyeksinya9. Melakukankajianmenentukansudutantaraduavektor10. Menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang mempunyai penyelesaian dengan

konsepvektorPenjiwaanAgama :”Dankamijadikanmalamdansiangsebagaiduatandalalukamihapuskantandamalamdan

kami jadikan tanda siang itu terang, agar kamumencari kurnia Tuhanmu, dan supaya kamumengetahuibilangantahundanperhitungan.Dansegalasesuatutelahkamiterangkandenganjelas.(Q.SAlIsra:12)

A. PENGERTIANVEKTOR1. Vektoradalahsuatubesaranyangmempunyaibesardanarah.2. Vektordapatdigambarkansebagairuasgarisberarah.3. Besarvektordinyatakandenganpanjanggarisdanarahvektordinyatakandenganarahpanah.4. Notasivektorbiasanyadenganmenggunakantandaanakpanahdiatasataubawahnyaataubisajugadengan

menggunakanhurufkecilyangtebal.5. Vektorposisiyaituvektoryangposisi(letaknya)tertentu.

Misalnya OA yaitu vektor posisi yang awalnya di titikpusatdanujungnyadititikA.Vektorposisi , ,OA OB OC dan seterusnya biasanya diwakili oleh vektor denganhuruf kecil misalnya cba ,, dan sebagainya. Jadi

cOCbOBaOA === ,, .

6. MenentukankomponenvectorMisalnya vektor a adalah vektor yangbertitik awal di titik ( )1 1 1x ,y ,P z danberujungdi titik ( )2 2 2x ,y ,Q z

maka:

2 1

2 1

2 1

atau x x x

a PQ vektor posisi ujung OQ vektor posisi awal OP y y yz z z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

X

Y

O

C

BA

ab

c

Page 2: MATEMATIKA WAJIB VEKTOR - · PDF fileMenjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah 2. ... jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor

VEKTOR Page2

a a−

Ø Syarat dua vektor yang sejajar

Ø Syarat 3 Titik A,B, C segaris à dst

7. MenuliskanKomponensuatuvector:Ø pasanganterurutbilanganreal(vectorbaris) ( )a x y= {vectordiR2}, ( )a x y z= {vectordiR3}

Ø vektorkolomx

ay

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

danx

a yz

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ø ditulisdengannotasivectorsatuani,j,kyaitu a xi y j= + dana xi y j zk= + +

8. Besarvector a à 2 2a x y= + *vectorR2

2 2 2a x y z= + + *vectorR3

9. Vektor satuan dari vector a adalah vector yang panjangnya satu satuan dan searah dengan a yang

dinyatakandengan $ aaa

= , $a dibacaatopiatau $a biasaditulis e$

10. Duavectordikatakansamaapabilabesardanarahnyasama.

11. – a adalahvectoryangsamabesardengan a ,tapiarahnyaberlawanan

B. OPERASIPADAVEKTOR

1. KESAMAANVEKTOR

Jikavector1

1

1

xa y

z

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

dinyatakansamadenganvector2

2

2

xb y

z

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

maka1 2

1 2

1 2

x xy yz z

===

2. PERKALIANVEKTORDENGANSKALARJikaksuatubilanganrealmakak a adalahsuatuvektoryangpanjangnyakkali lipatpanjang a . Jikakpositifmakasearahdengan a dan jikaknegatifmakaberlawananarahdengana .

Secaraaljabarditulis:

Jikax

a yz

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

maka .x kx

k a k y kyz kz

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3. PENJUMLAHANdanPENGURANGAN(SELISIH)VEKTORSecaraAljabar:

Jika1

1

1

xa y

z

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

dan2

2

2

xb y

z

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

maka1 2

1 2

1 2

x x xa b y y y

z z z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟± = ± =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

PenjumlahandanPengurangan(Selisih)SecaraGeometris:

Ø Penjumlahan 2 vektor dengan mempertemukan ujung vektor yang satu ( a ) dengan awal/pangkalvektoryang lain(b ),sehinggahasilpenjumlahankeduavektoradalahawalvektoryangsatu( a )keujungvektoryanglain(b ).

a

2a 3a−

Page 3: MATEMATIKA WAJIB VEKTOR - · PDF fileMenjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah 2. ... jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor

VEKTOR Page3

Ø Jika adalah sudut antara vektor dan ,makapanjang dan

diselesaikandenganaturancosinesyaitu

Ø Jikatidakdiketahuisudutnyamakacaridulunilai dan barucaripanjangnya.

Ø INGAT:dan

Ø Selisihduavektor a dan b ditulis ba − dapatdipandangsebagaipenjumlahan a dengan-b (vektorinversb ).Jadi ba − = ( )ba −+

4. PERKALIANSKALARDUAVEKTOR

a) Jikadiketahuisudutantara2vektorHasil kali skalar dua vektor a dan b ditulis ba • yang didefinisikansebagaiberikut:

θcosbaba =• dimanaθ sudutantaravektora danb .

SIFAT-SIFATHASILKALISKALAR

Ø Duavektoryangsalingsejajar: bababa ==• !0cos atau

Ø Duavektoryangsalingtegaklurus: 090cos ==• !baba

Ø Duavektoryangberlawananarah: bababa −==• !180cos

Ø Bersifatkomutatif: abba •=•

Ø Bersifatdistributif: ( ) cabacba •+•=+•

b) PerkalianSkalarDuaVektorDalamBentukKomponen

Jika 1 1 1 2 2 2a x i y j z k dan b x i y j z k= + + = + + maka 1 2 1 2 1 2a b x x y y z z• = + +

c) SudutAntaraDuaVektor

Sudutantaravektor a danb adalah 1 2 1 2 1 2cos a b x x y y z za b a b

θ • + += =

θ

b

a

Page 4: MATEMATIKA WAJIB VEKTOR - · PDF fileMenjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah 2. ... jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor

VEKTOR Page4

C. RUMUSPERBANDINGAN

MisalkantitikPpadagarisABdenganperbandinganAP:PB=m:n.Perhatikangambardibawahini!

nmanbmpanbmnmp

pmbmanpnnm

pbapnmPBAP

++=⇔+=+

−=−⇔=−−⇔=

)(

::

Jadi:nmanbmp

++=

Jadijikatitik ),,(),,( 1 BBBAAA zyxBdanzyxA makakoordinatP:

),,(nmnzmz

nmnymy

nmnxmxP BABABA

++

++

++

TitikPbisamembagiABdenganperbandingandidalamsepertidiatasataubisajugadenganperbandingandiluar, maksudnya titik P di luar ruas garis AB. Jika arah perbandingannya berlawanan harus denganmenggunakantandanegatif.

D. PROYEKSIORTOGONALSUATUVEKTOR

1. PROYEKSISKALARORTOGONALPerhatikangambardibawahini:

Panjang proyeksi vektor a terhadap b yaitua bcb•=

2. VEKTORPROYEKSI(PROYEKSIVEKTORORTOGONAL) Perhatikangambardibawahini:

Proyeksivektor a terhadapb adalah:

bb

bac 2

•=

ALHAMDULILLAH

O

A

B

mn

ap

b

a

θc b

O B

A

C

a

θc b

O B

A

C

Page 5: MATEMATIKA WAJIB VEKTOR - · PDF fileMenjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah 2. ... jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor

VEKTOR Page5

INDIKATOR12:Menyelesaikanoperasialjabarbeberapavektordengansyarattertentu

1. Diberikantigavektor 3 2a i j k= − +r r r r

, 2 4 3b i j k= − −r r r r

,dan

2 2c i j k= − + +r r r r

,maka2 3 5a b c− −r r r

=....

A. 2 4i j k+ −r r r

B. 2 5i j k− +r r r

C. 5 2i j k+ −r r r

D. 5 2i j k− +r r r

E. 3 2i j k+ −r r r

2. Jika32a ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

,

10b ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

dan54c −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

,makapanjang

vektord=a+b–cadalah....A. 5 B. 2 13 C. 17D. 3 13 E. 2 41

3. VektorPQuur

=(2,0,1)danvektorPRuur

=(1,1,2).Jika12

PS PQ=uur uur

,makavektorRSuur

=.....

A. 3

0, 1,2

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

B. 3

1,0,2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

C. 3,1,0

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

D. 1,0,1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

E. (1,-1,1)

4. Diketahui 3 2a i j= −r

, 4b i j= − +r

dan 7 8r i j= −r

.Jika

r ka mb= +r r r

,makak+m=....A. 3B. 2C. 1D. –1E. –2

5. TitikA(3,2,-1),B(1,-2,1),danC(7, 1p− ,-5)segarisuntuknilaip=....A. 13B. 11C. 5D. -11E. -13

6. DiketahuiΔABCdenganA(4,-1,2),B(1,3,-1),danC(1,4,6).KoordinattitikberatΔABCadalah....A. (2,2,2)B. (-3,6,3)C. (-1,3,2)D. (-1,3,3)E. (-3,6,6)

Page 6: MATEMATIKA WAJIB VEKTOR - · PDF fileMenjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah 2. ... jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor

VEKTOR Page6

7. DiketahuititikA(1,–2,–8)dantitikB(3,–4,0).TitikPterletakpadaperpanjanganABsehinggaAP=–3PB.JikaPvektorposisiuntuktitikP,makap=....A. 4 5 4i j k− +

r r r

B. 4 5 4i j k− −r r r

C. 12j k− −r r

D. 3 12i j k− − −r r r

E. 5 2i j k− − −r r r

8. Diketahui ar, brdan a b−

r rberturut-turutadalah4,6

dan2√19.Nilai a b+r r

=....

A. 4 19 B. 19 C. 4 7 D. 2 7 E. 7

9. Perhatikangambar!

Pernyataanyangbenaradalah.....

A. →→→

−= cba D.→→→

−= acb

B. →→→

−= bca E.→→→

−= bac

C. →→→

+= cab

10. Pada segiempat OABC, S dan Tmasing-masing adalahtitik tengah OB dan AC. Jika OCwdanOBv,OAu === maka ruas garis berarah ST dapat dinyatakan dalam

...sebagaiwdan,v,u a. wvu 2

121

21 ++

b. wvu 21

21

21 ++−

c. wvu 21

21

21 +−

d. wvu 21

21

21 −+

e. wvu 21

21

21 −−

11. DiketahuipersegipanjangOACBdanDtitiktengahOA,CDmemotongdiagonalABdiP. Jika aOA

!= dan bOB

!=

maka AP dapatdinyatakansebagai....A. 2

1( a!+ b!)

B. 31 ( a!+ b!)

C. 32 a!+ 3

1 b!

D. 31 a!+ 3

2 b!

E. 21 a!+ 3

2 b!

12. Diketahui 34=a! , b

!=5dan ( ) ( )baba

!!!!+⋅+ =13. sudut

antaravektor a! dan b!adalah

vw

uO A

BC

Page 7: MATEMATIKA WAJIB VEKTOR - · PDF fileMenjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah 2. ... jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor

VEKTOR Page7

INDIKATOR13:Menyelesaikanmassalahyangberkaitandenganbesarsudutataunilaiperbandingantrigonometrisudutantaraduavektor

13. Besarsudutantara324

a⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

dan233

b⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎝ ⎠

adalah....

A. 180oB. 90oC. 60oD. 30oE. 0o

14. DiketahuiA(5,7,4),B(2,9,3)danC(4,10,6).BesarsudutABCadalah....A. 30oB. 60oC. 90oD. 120oE. 150o

15. Diketahuivektor-vektor 3 2 5a i j k= + − ,b i x j k= − − dan

2 2c i j k= + − .Jikaa tegaklurus b ,maka ....b c+ =

A. 3 6 2i j k+ −

B. 3 6 2i j k+ +

C. 3 2 2i j k+ +

D. 3 2 2i j k− −

E. 3 2 2i j k+ −

16. Jikavektora danb membentuksudut60odan 4a = dan

3b = maka ( ). ....a a b− =

A. 2B. 4C. 6D. 8E. 10

17. Diketahuivektor 12

pa

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

,263

b⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

danαadalahsudut

antaravektoradanb,nilai8

cos21

α = ,danpadalah

bilanganbulat.Makanilaipyangmemenuhiadalah....A. -3B. -2C. 1D. 2E. 3

18. Jika 15u = dan 13v = sedangkan . 75u v = − ,makanilaitangensudutantaravektorudanvadalah....

A. 512

B. 125

C. 512

D. 1213

Page 8: MATEMATIKA WAJIB VEKTOR - · PDF fileMenjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah 2. ... jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor

VEKTOR Page8

E. 1312

19. Diketahui 2a = , 9b = , 5a b+ = .Besarsudut

antaravektora danvektor b adalah...A. 45oB. 60oC. 120oD. 135oE. 150o

20. Jika 2a = , 3b = ,danbesarsudut ( ), 120a b = °,maka

3 2 ....a b+ =

A. 5B. 6C. 10D. 12E. 13

21. Diketahui 6a = , ( ) ( ). 0a b a b− + = ,dan ( ). 3a a b− = .

Besarsudutantaravektora dan b adalah....

A. 6π

B. 4π

C. 3π

D. 2π

E. 23π

22. DiketahuibalokABCDEFGHdenganAB=2cm,BC=3cm,danAE=4cm.Jika AC

uuurwakildarivekturu danDH

uuurwakil

darivekturv ,makasudutantaravektoru danv adalah....A. 0oB. 30oC. 45oD. 60oE. 90o

23. DiketahuibalokABCDEFGHdengankoordinattitiksudutA(3,0,0),C(0, 7 ,0),D(0,0,0),F(3, 7 ,4)danH(0,0,4).BesarsudutantaravektorDHdanDFadalah....A. 15oB. 30oC. 45oD. 60oE. 90o

24. DiketahuisegitigaXYZdenganX(10,14,-10),Y(8,14,-6),danZ(4,14,-18).Jikau XY=

r uurdanv YZ=

r uur,makabesar

sudutantaraurdanv

radalah....

A. 30oB. 45oC. 75oD. 105o

Page 9: MATEMATIKA WAJIB VEKTOR - · PDF fileMenjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah 2. ... jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor

VEKTOR Page9

E. 135o

25. DiketahuititikP(3,-1,2),Q(1,-2,-1),danR(0,1,1)membentuksuatusegitiga,makabesarsudutPQRadalah....A. 30oB. 45oC. 60oD. 90oE. 120o

26. Diketahuivektor 2 3a ti j k= − +r

, 2 5b ti j k= − + −r

,dan

3c ti tj k= + +r

.Jikavektor ( )a b+r

tegaklurus c makanilai

2t=....

A. –2atau43

B. 2atau43

C. 2atau 43

D. 3atau2E. –3atau2

27. Diketahui =4a , 3b = ,dan + =5a b .Jikaθ adalah

sudutantaravectoradanvectorb,makanilai θ =cos2 .... A. 1

B. 45

C. 0

D. − 12

E. –1

28. Diketahuivektor = + +2 3a i j k ,dan = + +2 3b i j k .Besar

sudutantaravector ( )a b+ danvector ( )−a b adalah....

A. π6

B. π4

C. π3

D. π2

E. π23

29. Diketahui = + −2a pi j k , = − +4 3 6b i j k dan = − +2 3c i j k

.Jikaa tegaklurusb ,hasildari ( )( )−2 3a b c adalah....

A. 171B. 63C. –63D. –111E. –171

Page 10: MATEMATIKA WAJIB VEKTOR - · PDF fileMenjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah 2. ... jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor

VEKTOR Page10

INDIKATOR14:Menyelesaikanmasalahyangberkaitandenganpanjangproyeksiatauvektorproyeksi

30. Diketahuivektor 3 4 4a i j k= − − , 2 3b i j k= − + ,dan

4 3 5c i j k= − + .Panjangvektorproyeksiortogonal ( )a b+

pada c adalah....A. 3 2 B. 4 2 C. 5 2 D. 6 2 E. 7 2

31. Diketahuivektor245

a⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

dan3

5b m

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎝ ⎠

.Jikaproyeksi

scalarorthogonalvektor b padaa samadengan3

55

,

makanilaimsamadengan....A. 4B. 5C. 6D. 7E. 8

32. Panjangproyeksiorthogonalvektor 3a i p j k= + + ,pada

vektor 3 2b i j pk= + + adalah32.Nilaip=....

A. 3

B. 23

C. 13

D. 13

E. 23

33. Sudutantaravektor a = xi +(2x+1)j- k3x danvektorb adalah 600. Jika panjang proyeksi a ke b sama

dengan 521 ,makax=......

A. 4atau21−

B. 1atau4C. 1atau2

D. 21 atau–1

E. 21− atau1

34. Sebuah vektor x dengan panjang 5 membuat sudutlancip dengan vektor y = (3, 4). Bila vektor xdiproyeksikan ke vektor y,maka penjang proyeksinya2,jadivektorxadalah......

A. (1,2)atau ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

511,

52

B. (2,1)atau ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

511,

52

C. (1,2)atau ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − 5

53,5

54

Page 11: MATEMATIKA WAJIB VEKTOR - · PDF fileMenjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah 2. ... jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor

VEKTOR Page11

D. (2,1)atau ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ 5

54,5

53

E. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

511,

52 atau ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ − 5

53,5

54

35. DiketahuikoordinatA(-4,2,3),B(7,8,-1),danC(1,0,7).Jika AB

uurwakilu

rdan AC

uuurwakilv

r,makaproyeksi

orthogonalurpadav

radalah....

A. 6 12

35 5

i j k− +

B. 6 12

3 55 5

i j k− +

C. ( )95 2 4

5i j k− +

D. ( )175 2 4

45i j k− +

E. ( )95 2 4

55i j k− +

36. Diketahuivektoru i j k= − +r

, 2v i j k= + +r

dan 3w i k= −ur

.

Proyeksivektoru w+r ur

padavektoruradalah....

A. 4 4 43 3 3i j k− +

B. 2 2 2i j k− + C. 4 4 4i j k− +

D. 2 2 23 3 3i j k− +

E. 1 1 13 3 3i j k− +

37. DiketahuititikA(3,2,-1),B(2,1,0),danC(-1,2,3).Jika ABuur

wakilvektoru

rdan AC

uuurwakilvektorv

rmakaproyeksi

vektorurpadav

radalah....

A. ( )14

i j k+ +

B. i k− + C. ( )4 i k+

D. ( )4 i j k+ +

E. ( )8 i j k+ +

38. DiketahuisegitigaABCdengankoordinatA(2,-1,-1),B(-1,4,-2),danC(5,0,-3).Proyeksivektor AB

uurpada AC

uuur

adalah....

A. ( )13 2

4i j k+ −

B. ( )33 2

14i j k+ −

C. ( )13 2

7i j k− + −

D. ( )33 2

14i j k− + −

E. ( )33 2

7i j k− + −

39. DIketahuivektor = + +2 4a pi j k , = + +4 2 2b i j k dan

= + +4 2 6c i j k .Jikavectora tegaklurusbmakavector

proyeksia tegaklurus c =....

Page 12: MATEMATIKA WAJIB VEKTOR - · PDF fileMenjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah 2. ... jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor

VEKTOR Page12

A. ( )+ +14 2 6

7i j k

B. ( )+ +24 2 6

7i j k

C. ( )+ +34 2 6

7i j k

D. ( )− + +24 2 6

7i j k

E. ( )− + +14 2 6

7i j k

40. Diketahui vektor-vektor 𝑢 = 9𝑖 + 𝑎𝚥 + 𝑏𝑘 dan 𝑣 = 𝑎𝚤 −

𝑏𝚥 + 𝑎𝑘. Sudutantara𝑢 dan𝑣 adalah𝜃 dengancos 𝜃 =!!!.Proyeksi𝑢pada𝑣 adalah𝑝 = −4𝚤 − 2𝚥 + 4𝑘.Nilaidari

𝑏 = ⋯A. 2B. 2C. 2 2D. 4E. 4 2