VEKTOR

1. Vektor secara Geometri

Ruas garis berarah Sudut antara dua vektor adalah (seperti gambar)

Bila AP: PB = m: n, maka: p =

2. Vektor secara Aljabar

Komponen dan panjang vektor: ;

Penjumlahan, pengurangan dan perkalian vektor dengan bilangan Real:

;

3. Dot Product Dua vector saling tegak lurus bila

4. Proyeksi Vektor

Proyeksi Skalar Ortogonal:

Vektor Proyeksi Ortogonal:

HIMPUNAN SOAL EBTANAS/UAN/UN

I. Operasi Vektor

1. EBTANAS 2001Diketahui |a| = , |b| = 1, dan |a – b| = 1. Panjang vektor a + b = ….

A. D.

B. E. 3

C. Penyelesaian:

JAWAB: C

2. EBTANAS 2002Jika |a| = 2, |b| = 3, dan sudut ( a , b ) = 120o, maka |3a + 2b| = ….A. 5 D. 12B. 6 E. 13C. 10Penyelesaian:

JAWAB: B

3. EBTANAS 2002Diketahui a + b = i – j + 4k dan |a – b| = . Hasil dari = ….

A. 4 D. B. 2 E. 0C. 1Penyelesaian:Panjang vektor a + b = i – j + 4k:

…(1)

……………………….(2)Eliminasi (1) dan (2):

JAWAB: C

4. UAN 2004Diketahui a = i + 2j + 3k, b = –3i –2j – k, dan c = i – 2j + 3k, maka 2a + b – c = ….A. 2i – 4j + 2k D. 2i + 4j + 2kB. 2i + 4j – 2k E. –2i + 4j + 2kC. –2i + 4j – 2kPenyelesaian:

JAWAB: E

II. Pembagian Ruas Garis

5. EBTANAS 1998Diketahui titik A(4, –1, –2), B(–6, 4, 3), dan C(2, 3, 5). Titik P membagi AB sehingga AP : PB = 3 : 2, maka vektor yang diwakili oleh adalah …..

A. D.

B. E.

C.

Penyelesaian:

JAWAB: E

6. EBTANAS 1999Diketahui segitiga ABC dengan A(4, –1, 2), B(1, 3, –2), dan C(1, 4, 6). Koordinat titik berat ABC adalah …..A. (2, 2, 2) D. (–1, 3, 3)B. (–3, 6, 3) E. (–3, 6, 6)C. (–1, 3, 2)Penyelesaian:vektor posisi suatu titik berat segitiga ABC adalah:

Jadi koordinat titik berat Z(2 , 2, 2)JAWAB: A

7. UN 2005Diketahui segitiga ABC, dengan koordinat A(2, –3, 4), B(5, 0, 1) dan C(4, 2, 5). Titik P membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3. Panjang vektor PC adalah ....A. D. 3

B. E. 9

C. Penyelesaian:Gambar perbandingan AP : AB = 2 : 3

JAWAB: D

III. Sudut Antara Dua Vektor

8. EBTANAS 1997Diketahui titik – titik A(2, –1, 4), B (4, 1, 3) dan C (2, 0, 5). Kosinus sudut antara dan adalah …..

A. D.

B. E.

C.

Penyelesaian:

;

Bila adalah sudut antara vektor u dan v, maka:

JAWAB: B

9. EBTANAS 2000Diketahui titk A (1, 2, 4) , B (5, 3, 6) dan C (13, 5, p) segaris. Nilai p = ……A. –15 D. 15B. –10 E. 25C. 10

Penyelesaian:Vektor–vektor yang dapat dibentuk adalah:

;

Titik A, B, dan C akan segaris jika vektor .

Nilai p:

JAWAB: C

10. EBTANAS 2000Diketahui dan Sudut antara vektor a dan b adalah ……

A. D.

B. E.

C.

Penyelesaian:

Karena hasil perkalian titik vektor a dan b adalah 0, maka a dan b saling tegak

lurus atau

JAWAB: B

11. EBTANAS 2003

Diberikan vektor a = dengan p Real dan vektor b = . Jika a dan b

membentuk sudut 60o, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah ….A. D.

B. E.

C.

Penyelesaian:

Perkalian titik vektor a dan (a + b):

JAWAB: D

IV. Proyeksi Orthogonal

12. EBTANAS 1996Ditentukan koordinat titik – titik A (1, 0, 2) ; B (5, 4, 10) ; C (4, 6, 4). P pada AB sedemikian sehingga AP : PB = 3 : 1. Panjang proyeksi pada adalah ….

A. D.

B. E.

C. Penyelesaian:

Vektor posisi dari p:

Ruas garis berarah PC dan AB:

;

Misal q adalah hasil proyeksi vektor u pada v, maka panjang q:

JAWAB: C

13. EBTANAS 1998Diketahui dan . Proyeksi vektor orthogonal u pada v adalah ….A. 12i + 6j –14k D. 4i + 6j – 2kB. 6i + 3j – 7k E. 4i + 5j – 2kC. 2i + 3j – k Penyelesaian:Misal vektor q adalah hasil proyeksi u pada v, maka:

JAWAB: D

14. EBTANAS 1999

Diketahui panjang proyeksi vektor pada vektor adalah . Nilai p

= …..A. 25 D.

B. E.

C. 5

Penyelesaian:Misal vektor q adalah hasil proyeksi a pada b, maka:

JAWAB: C

15. EBTANAS 2000Panjang proyeksi ortogonal vektor pada adalah 4. Nilai p = ….

A. – 4 D.

B. – 2 E. 2

C.

Penyelesaian:Misal vektor q adalah hasil proyeksi a pada b, maka:

JAWAB: E

16. EBTANAS 2001

Diketahui vector a = , b = , dan panjang proyeksi a pada b adalah .

Sudut antara a dan b adalah , maka Cos = ….

A. D.

B. E.

C.

Penyelesaian:Misal vektor q adalah hasil proyeksi a pada b, maka:

JAWAB: A

17. EBTANAS 2002Proyeksi vektor ortogonal v = ( 1 3 3 ) pada u = ( 4 2 2 ) adalah ….A. ( 2 1 1 ) D. ( 1 1 )B. ( 2 1 1 ) E. ( 2 1 1 )C. ( 2 1 1 )

Penyelesaian:Misal vektor q adalah hasil proyeksi v pada u, maka:

JAWAB: C

18. EBTANAS 2002c adalah proyeksi a pada b. Jika a = (2 1) dan b = (3 4), maka c = ….

A. ( 3 4) D. (3 4)

B. ( 3 4) E. (3 4)

C. (3 4)

Penyelesaian:Misal vektor c adalah hasil proyeksi a pada b, maka:

JAWAB: B

19. EBTANAS 2003

Jika w adalah vektor proyeksi ortogonal dari vektor v = terhadap vektor u =

, maka w = ….

A. D.

B. E.

C.

Penyelesaian:Misal vektor w adalah hasil proyeksi v pada u, maka:

JAWAB: D

20. UAN 2004Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah ….

A. D.

B. E.

C.

Penyelesaian:Misal vektor r adalah hasil proyeksi q pada p, maka:

JAWAB: C