2TKJ2 - KELOMPOK 3

[]

OLEH :

1. Ahmad Irsyadur Rozikin (03)2. Denny Eko Prasetyo (08)3. Farah Adillah (13)4. Luqman Chakim Saputra(18)5. M. Rafi Khabibi (23)6. Ranindita Nur Fadhilah (28)7. Satria Dwi Putra (33)8. Yoga Putra Pradhana (38)

2011

SMK Telkom Sandhy Putra Malang

1. Jika vektor a⃗=(325) , b⃗=(−4

67 ) , a⃗=( 2

−13 )

Vektor 2a⃗ + b⃗ - 3c⃗ = ......

Jawab :

2a⃗ + b⃗ - 3c⃗ = 2(325)+(−467 )−3( 2

−13 )

= ( 64

10)+(−467 )+(−6

3−9)

= (−4138 )

2. Diketahui titik A(-1,-5,-2) dan B(5,-4,-17), jika titik P pembagi AB sehingga AP:PB = 2:1, maka

Vektor posisi titik P adalah :

Jawab:

Pakai rumus perbandingan : p⃗= n⃗a+m⃗bm+n

p⃗= n⃗a+m⃗b

m+n= a⃗+ 2⃗b

2+1=

(−152 )+2( 5

−417 )

3=

(−152 )+( 10

−834 )

3=

( 9−336 )3

=( 3−111 )

3. Titik P(3,2,-1), Q(1,-2,1) dan R(7,p-1,-5) segaris untuk nilai p =

Jawab:

P⃗R=k P⃗Q

r⃗− p⃗=k (q⃗− p⃗)

( 7p−1−5 )−( 3

2−1)=k (( 1

−21 )−( 3

2−1))

( 4p−3−4 )=¿k(−2

−42 )

⇔4=−2k→k= 4−2

=−2

⇔ p – 3 = -4k

p – 3 = -4x.-2

p – 3 = 8

p = 8 + 3 = 11

jadi p = 11

4. Diketahui titik-titik A(2,-1,4), B(1,0,3) dan C (2,0,3). Cosinus sudut antara A⃗B dan A⃗C

adalah :

Jawab:

A⃗B . A⃗C = |⃗AB|.|⃗AC|.cos a

cos a= A⃗B . A⃗C

|⃗AB|.|⃗AC|

|⃗AB|= b⃗− a⃗=(103)−( 2−14 )=(−1

1−1)

|⃗AC|=c⃗− a⃗=(203)−( 2−14 )=( 0

1−1)

cos a= A⃗B . A⃗C

|⃗AB|.|⃗AC|

¿(−1

1−1) .( 0

1−1)

√(−1 )2+12+(−1 )2 .√02+12+(−1 )2

¿ 0+1+1

√3 .√2

¿ 2√6

= 2√6

. √6√6

=26

√6=13√6

5. Diketahui |a⃗| = √3 ; |b⃗| = 1 dan |a⃗−b⃗| = 1

Berapa panjang vector |a⃗+b⃗| =

Jawab:

Gunakan rumus berikut :

|a⃗+b⃗|=√a2+b2+2|a⃗||⃗b|cos a

¿√2 (a2+b2 )−|a⃗+ b⃗|2

Diketahui :

a2=(√3)2=3 ;b2=1;|a⃗+b⃗|2

=1

Masukkan ke dalam rumus :

|a⃗+b⃗|2=√2 (a2+b2 )−|⃗a+ b⃗|2

¿√2 (3+1 )−1=√2×4−1

¿√7

6. Panjang proyeksi ortogonal vector

a⃗ = - √3 i + p j + k pada vector

b⃗ = - √3 i + 2 j + pk adalah 32

, maka nilai p adalah :

Jawab :

Gunakan rumus :

|⃗OC|=|c⃗|= a⃗ .b⃗

|b⃗| → Proyeksi skalar

ortogonal a⃗ pada b⃗

|c⃗|= a⃗ . b⃗

|b⃗|=

(−√3p1 ) .(−√3

2p )

√(−√3)2+22+ p2

= 3+2 p+ p

√3+4+ p2= 3+3 p

√7+ p2=3

2

⇔ 2 (3+3 p )=3√7+ p2

⇔ 6 (1+ p )=3√7+ p2

⇔ 2 (1+ p )=√7+ p2

⇔ (2+2 p )2=(√7+ p2)2

⇔ 4+8 p+4 p2=7+ p2

⇔ 8 p+3 p2−3=0

⇔ (3 p−1 )( p+3)=0

3p – 1 = 0

3p = 1

p = 13

→ (i)

p + 3 = 0

p = - 3 → (ii) Tidak memenuhi

Jadi nilai p adalah 13

7. Diketahui vector a⃗ = 2i- 4j- 6k dan b⃗ = 2i – 2j + 4k

Proyeksi vector ortogonal a⃗ pada b⃗ adalah…

Jawab:

Rumus proyeksi vektor ortogonal a⃗

pada b⃗ adalah :

|c⃗|=( a⃗ . b⃗|b⃗|2 ). b⃗ a⃗=( 2

−4−6) ; b⃗=( 2

−24 )

|b⃗|=√22+(2)2+42=√24

|b⃗|2=24

masukkan ke dalam rumus :

|c⃗|=( a⃗ . b⃗|b⃗|2 ). b⃗=

( 2−4−6) .( 2

−24 )

24.( 2−24 )

¿ 4+8−2424

.( 2−24 )

¿−1224

.( 2−24 )

¿−12.( 2−24 )=(−1

1−2)

¿−i+ j – 2k

8. Diketahui vektor :

a=(−123 ) ; b=( 2

−1−2) dan c=(−1

−23 )

Tentukan x jika : a) x = a + b

b) x + a = c

Jawab :

a) x = a + b

= (−123 )+( 2

−1−2)=(111)

b) x + a = c ⇒ x = c – a

= (−1−23 )−(−1

23 )=( 0

−40 )

9. Ditentukan titik-titik P(2,7,8) dan Q(-1,1,-1). Tentukanlah dalam bentuk komponen vektor

yang diwakili oleh P⃗R apabila R adalah titik pada P⃗Q sehingga P⃗R = 13P⃗Q dan berapa

koordinat R.

Jawab :

P⃗Q = q – p = (−1

1−1)−(278)=(−3

−6−9)

Karena P⃗R = 13P⃗Q sehingga

komponen vector yang diwakili oleh

P⃗R = 13 (−3

−6−9)=(−1

−2−3)

Misal koordinat titik R adalh (x,y,z) maka:

P⃗R = r – p → (−1−2−3)=( xyz )−(278)

( xyz )=(−1−23 )+(2

78)=(155)

Jadi koordinat R (1,5,5)

10. Diketahui dua titik P(-1,4,3) dan titik Q(2,1,-3)

Tentukan vektor P⃗Q

Jawab :

P⃗Q=O⃗Q−O⃗P

¿( 21

−3)−(−143 )=( 3

−3−6)

11. Hitunglah perkalian skalar antara:

a=2 i+3 j+5kdan b=i+ j+k

Penyelesaian:

a . b = 2 . 1 + 3 . 1 + 5 . 1

= 2 + 3 + 5 = 10

12. Diketahui vektor-vektor sebagai berikut:

a=(124) b=(5

40)

Tentukan hasil kali skalar dua vektor tersebut

Jawab:

a . b = 1 . 5 + 2 . 4 + 4 . 0

= 2 + 3 + 5 = 10

13. Bila vektor a⃗=(149) , b⃗=( 2

5−3) , c⃗=(312), dan p⃗= a⃗−2 b⃗+3 c⃗ , panjang vektor p⃗

adalah ......

Jawab :

p⃗= a⃗−2 b⃗+3 c⃗

p⃗=(149)−2( 2

5−3)+3 (312)

p⃗=(149)−( 4

10−6)+( 9

3−6)=( 6

−39 )

|p⃗|=√(6)2+(−3)2 +(6)2

¿√126=3√14

14. Dalam ∆ ABC diketahui P titik berat ∆ ABC dan Q titik tengah AC. Jika C⃗A=u⃗ dan

C⃗B=v⃗ , maka P⃗Q=¿....

Jawab :

C⃗A=u⃗, C⃗B=v⃗

P⃗Q=13B⃗Q

¿13( B⃗C+ C⃗Q)

¿13( B⃗C+ 1

2C⃗A )

¿13(−v⃗ )+ 1

6(u⃗)

¿16u⃗−1

3v⃗

15. Diketahui |a⃗|=√3 ,|b⃗|=1dan|a⃗−b⃗|=1

Panjang vektor a⃗+ b⃗=…

Jawab:

|a⃗−b⃗|=√2(a¿¿2+b2)−|a⃗−b⃗|2¿

|a⃗−b⃗|=2(a¿¿2+b2)−¿ a⃗−b⃗∨¿2 ¿¿

= 2((√3 )2+ 12 ¿−12

= 2(4)-1=7

|a⃗−b⃗| =√7

16. Diketahui titik A(3,1,-4),B(3,-4,6) dan C(-1,5,4). Titik P membagi AB sehingga AP:PB = 3:2,

maka vektor yang diwakili oleh CP adalah…

Jawab:

AP:PB = 3:2 → APPB

=32

2AP = 3PB

2 ( p⃗−a⃗ )=3 (b⃗− p⃗ )

2 p⃗−2 a⃗=3 b⃗−3 p⃗

3 p⃗+2 p⃗=3 b⃗+2 a⃗

5 p⃗=3 b⃗+2 a⃗

p⃗=3 b⃗+2 a⃗5

p⃗ =3( 3

−46 )+2( 3

1−4)

5=

( 15−1010 )5

=( 3−22 )

CP= p⃗- c⃗ = ( 3−22 )−(−1

54 )=( 4

−7−2)

17. Jika vector a⃗=(123); b⃗=( 5

4−1)dan c⃗=( 4

−11 )

Maka vektor a⃗+ 2⃗b−3⃗c=…

Jawab:

a⃗+ 2⃗b−3⃗c=(123) +2( 54

−1)−3( 4−11 )

= (123)+( 108

−2)−( 12−33 )

= ( 1+10−122+8−(−3 )

3−2−3 )=(−113−2)

18. Diketahui |a⃗∨¿√6 , (a⃗−b⃗ ) . (a⃗+ b⃗ )=0 dan a⃗ . (a⃗−b⃗ )=3. besar sudut antara vector a⃗ dan b⃗

adalah…

Jawab:

( a⃗−b⃗ ) . ( a⃗+b⃗ )=0

⇒ a⃗−b⃗ . a⃗+ b⃗=0

⇒ 6-¿ b⃗∨¿2 ¿=0

¿ b⃗∨¿2 ¿=6

¿ b⃗∨¿=√6

a⃗ . (a⃗−b⃗ )=3

a⃗ . a⃗−a⃗ . b⃗ .cosa=3

a⃗ . b⃗ .cosa=a⃗ . a⃗−3

cos a= a⃗ . a⃗−3

a⃗ . b⃗

=6−3

6=1

2

a=600=1800

3= π

3

19. Diketahui vektor

a=( 1 x2 )

dan vektor

b=( 2 11 ),

dan panjang proyeksi pada ialah 2

√6

sudut antara pada ialah α maka cos α = .....

Jawab:

panjang proyeksi pada ialah :

cosθ = a .b

= 2

√6 =

(1, x ,2 ) .(2,1 ,−1)

√22+12+−12 = 2

√6

= 2+ x−2

√6 = 2

√6 = x = 2 , jadi vektor = (1,2,2)

Sudut antara pada ialah α , dapat diperoleh :

cos α = a .b.

= (1, x ,2 ) .(2,1 ,−1)

√12+22+22 .√6 =

2+2−2

√9 .√6 = 1

9 √6

20. Besar sudut antara vektor

a=( 3 24 )

dan vektor

b=( 2 3-3 ) ,

adalah α, maka besarnya α = ...

Jawab:

cos α = a .b.

= 3.2+2.3+4.(−3)

. =

6+6−12.

= 0.

= 0

maka α = 90o

21. Jika vector a⃗=(123); b⃗=( 5

4−1)dan c⃗=( 4

−11 )

Maka vektor a⃗+ 2⃗b−3⃗c=…

Jawab:

a⃗+ 2⃗b−3⃗c=(123) +2( 54

−1)−3( 4−11 )

= (123)+( 108

−2)−( 12−33 )

= ( 1+10−122+8−(−3 )

3−2−3 )=(−113−2)

22. Diketahui |a⃗|=√3 ,|b⃗|=1dan|a⃗−b⃗|=1

Panjang vektor a⃗+ b⃗=…

Jawab:

|a⃗−b⃗|=√2(a¿¿2+b2)−|a⃗−b⃗|2¿

|a⃗−b⃗|=2(a¿¿2+b2)−¿ a⃗−b⃗∨¿2 ¿¿

= 2((√3 )2+ 12 ¿−12

=2(4)-1=7

|a⃗−b⃗| =√7

23. Ditentukan titik-titik P(-1,5,2) dan Q(5,-4,17). Jika T pada ruas garis PQ dan PT:QT=2:1 maka

vektor posisi titik T adalah…

Jawab:

24. Diketahui titik A(3,1,-4),B(3,-4,6) dan C(-1,5,4). Titik P membagi AB sehingga AP:PB = 3:2,

maka vektor yang diwakili oleh CP adalah…

Jawab:

AP:PB = 3:2 → APPB

=32

2AP = 3PB

2 ( p⃗−a⃗ )=3 (b⃗− p⃗ )

2 p⃗−2 a⃗=3 b⃗−3 p⃗

3 p⃗+2 p⃗=3 b⃗+2 a⃗

5 p⃗=3 b⃗+2 a⃗

p⃗=3 b⃗+2 a⃗5

p⃗ =3( 3

−46 )+2( 3

1−4)

5=

( 15−1010 )5

=( 3−22 )

CP= p⃗- c⃗ = ( 3−22 )−(−1

54 )=( 4

−7−2)

25. Diketahui |a⃗∨¿√6 , (a⃗−b⃗ ) . (a⃗+ b⃗ )=0 dan a⃗ . (a⃗−b⃗ )=3. besar sudut antara vector a⃗ dan b⃗

adalah…

Jawab:

( a⃗−b⃗ ) . ( a⃗+b⃗ )=0

⇒ a⃗−b⃗ . a⃗+ b⃗=0

⇒ 6-¿ b⃗∨¿2 ¿=0

¿ b⃗∨¿2 ¿=6

¿ b⃗∨¿=√6

a⃗ . (a⃗−b⃗ )=3

a⃗ . a⃗−a⃗ . b⃗ .cosa=3

a⃗ . b⃗ .cosa=a⃗ . a⃗−3

cos a= a⃗ . a⃗−3

a⃗ . b⃗

=6−3

6=1

2

a=600=1800

3= π

3

26. Titik A (3,2,-1), B (1,-2,1) dan C (7, p-1, -5)

segaris untuk nilai p = ....

Titik A, B, C segaris maka kriteria yang harus dipenuhi:

1. AB = k.AC

2. AB = k. BC

2. AC = k. AB

3. AC = k. BC

4 BC = k .AB

5. BC = k. AC

Kita ambil kriteria 1 :

Kriteria 1 :

27. Diketahui segitiga PQR dengan koordinat titik sudut P(1,5,8), Q(-2,1,3) dan R(1,-6,0), P⃗Q

wakil dari u⃗ dan Q⃗R wakil dari v⃗ , maka u⃗ . v⃗ adalah…

Jawab:

28. Diketahui vektor-vektor a⃗ = 2 i⃗ + 4 j⃗ + k⃗ , b = -3 i⃗ + m j⃗ + 2 k⃗ dan c⃗ = i⃗ + 2 j⃗ - k⃗ .

Vektor a⃗ tegak lurus b⃗ , maka ( b⃗ - c⃗ ) adalah…

Jawab:

karena vektor a⃗ tegak lurus b⃗ maka α = 900 sehingga cos α = cos 900= 0

29. Diketahui segitiga ABC, dengan A (0, 0,0 ), B(2,2,0) dan C (0,2,2). Proyeksi ortogonal A⃗B

pada A⃗C adalah….

Jawab:

30. Diketahui panjang proyeksi vektor a⃗ = (−284 ) pada vektor b⃗ = (0

p4 ) adalah 8. Nilai p=…

Jawab:

Panjang proyeksi vector a⃗ pada vector b⃗ :

31. Panjang vektor: Adalah ...

Jawab:

= 5

32. Panjang vektor v = 2i + j – 2k adalah...

Jawab:

=

= 3

33. Diketahui vektor a =i + 2 j + mk dan b = 2i - 10 j + 2k . Jika nilai a . b = 0, maka nilai

m = ...

` jawab :

a . b = a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3 = 0

= 1. 2 + 2 . (-10) + m . 2 = 0

2 – 20 + 2m = 0

- 18 + 2m = 0

2m = 18

m = 9

34. Jika sudut antara vektor

a=( 2 1-3 )

dan vektor

b=(-1 3-2 )

adalah α, maka besarnya α = ...

jawab :

cos α=a1b1+a2b2+a3b3

√(a1)2+(a2)2+(a3)2×√(b1)2+(b2)2+(b3)2

a =(34 )|a|=√32+ 42

|v|=√22+ 12+ (−2 )2

√4+1+4

cos α=2. (-1 )+1.3+(-3 ) . (−2 )

√(2 )2+ (1 )2+(-3 )2×√(-1 )2+(3 )2+ (-2)2

cos α=-2+3+6

√4+1+9×√1+9+4

cos α= 7

√14×√14

cos α= 714

cos α=12 , maka α = 60o karena cos α =

12

35. Diketahui vektor a = 2i – 4j – 2k dan b = - i – j – 2k, besar sudut yang dibentuk kedua vektor

tersebut adalah ...

Jawab:

a . b = a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3

Untuk menentukan sudut (α) :

cos α=a1b1+a2b2+a3b3

√(a1)2+(a2)2+(a3)2×√(b1)2+(b2)2+(b3)2

36. Diketahui Vektor-Vektor :

u⃗ =i⃗ + √2 j⃗ + √5 k⃗

v⃗ = i⃗ - √2 j⃗ + √5 k⃗

Sudut antara vector u⃗pada v⃗ adalah ….

Jawab:

u⃗.v⃗=|u⃗||v⃗|cosθ

( 1√2√5) ( 1

−√2√5 ) = (√1+2+5 ) (√1+2+5 ) cosθ

1-2+5 = 8 cosθ

cosθ = 48

= 12

¿θ = 60°

37. Diketahui titik A (2,7,8) , B (-1,1,-1) danC (0,3,2)Jika A⃗B mewakili u⃗ dan B⃗C mewakili v⃗

maka proyeksi ortogonal vektor u⃗ pada v⃗ ............

Pembahasan :

Misalkan proyeksi ortogonal vektor u⃗ pada v⃗ ialah c⃗ ,maka

c⃗ = u⃗ . v⃗

|v⃗2|v⃗ =

1+4+9

=¿ (−3−6−9)(

123)

14

(123)

(−3−6−9)(

123)

14

(123) = −3−12−27

14 (123) =

−4214

(123) = -3(123) = (−3−6−9)

c⃗ = -3 i⃗ -6 j⃗ -9 k⃗

38. Besar sudut antara vektor

a=( 3 24 )

dan vektor

b=( 2 3-3 ) ,

adalah α, maka besarnya α = ...

Jawab:

cos α = a .b. = 3.2+2.3+4.(−3). = 6+6−12

. = 0. = 0

maka α = 90o

39. Diketahui vektor

a=( 1 x2 )

dan vektor

b=( 2 11 ),

dan panjang proyeksi pada ialah 2 √6

sudut antara pada ialah α maka cos α = .....?

Jawab:

panjang proyeksi pada ialah :

cosθ = a .b

= 2

√6 =

(1, x ,2 ) .(2 ,1 ,−1)

√22+12+−12 = 2

√6

= 2+ x−2

√6 = 2

√6 = x = 2 , jadi vektor = (1,2,2)

Sudut antara pada ialah α , dapat diperoleh :

cos α= a .b. =

(1, x ,2 ) .(2 ,1 ,−1)

√12+22+22 .√6 = 2+2−2

√9 .√6 = 19 √6

40. Diperoleh jika proyeksi vektor u⃗ = 3i⃗ + 4 j⃗ ke vektor v⃑ = -4i⃗ + 8 j⃗ ialah vektor w⃗ ,maka |

w⃗∨¿ ialah....??

jawab:

u⃗ (3,4)

v⃑ (-4,8)

Diketahui u⃗ = 3i⃗ + 4 j⃗ dan v⃑ = -4i⃗ + 8 j⃗ ,

jadi |w⃗∨¿= u⃗ . v⃑

¿ w⃗∨¿¿ = (3

4)(−48 )

√16+64 =

−12+324 √5

= 5

√5=√5