BAB 6. INTEGRASI VEKTOR

BAB 6. INTEGRASI VEKTOR PENDAHULUAN Pada bab ini terdapat 4 sub-bab yg perlu diperhatikan Ke-4 sub-bab itu merupakan dasar dari Integrasi Vektor Empat sub-bab yg harus dipelajari meliputi : 1. Integral biasa vektor integral tak-tentu dan tertentu 2. Integral Garis (Kurva) integral suatu lintasan 3. Integral Permukaan integral luas bidang datar 4. Integral Volume integral isi bidang tertutup6.1. INTEGRAL BIASA Bila A adalah gaya F pada sebuah partikel yg bergerak sepanjang C maka integral garis ini menyatakan usaha yg dilakukan oleh gaya. 6.2. INTEGRAL GARIS 6.3. INTEGRAL PERMUKAAN Integral-integral permukaan (luas) lainnya Untuk menghitung integral permukaan (luas) akan lebih mudah86.4. INTEGRAL VOLUME Karena B merupakan balok yg melingkupi benda ruang G, maka integral volume : Contoh soal Integrasi Vektor Jawaban contoh soal Integrasi Vektor 4. B = 2xz i x j + y2 k dan x = 0 , y = 0 , z = 4 dan z = x2 Latihan soal/PR BAB.7. MATRIKS (Matrices) Pendahuluan Matriks merupakan sederetan bilangan berbentuk persegi panjang yg diapit oleh sepasang kurung siku dan memenuhi aturan2 tertentu yg diberikan oleh operasi ini. Sebagai contohnya : a. 2 3 7 b. 1 3 1 . 1 1 5 2 1 4 . 4 7 6 . Matriks a dapat dipandang sebagai matriks koefisien dari per- . samaan linier : 2x + 3y + 7z = 0 dan x y + 5z = 0 . bisa juga sebagai matriks lengkap persamaan linier tak- . homogen : 2x + 3y = 7 dan x y = 5 17Matriks b, dapat dianggap baris2nya sebagai koordinat titik (1,3,1) dan (4,7,6). Matriks a11 a12 a13 .. a1n . a21 a22 a23 . a2n . disebut matriks berordo m x n. . am1 am2 am3 amn

bilangan/fungsi aij disebut elemen, contohnya : a12, a23 dst. dalam penulisan subscript ganda, subscript pertama : baris dan . subscript kedua : kolom. Jadi semua elemen pada baris kedua . mempunyai 2 sebagai subscript pertama dan semua elemen pd . kolom kelima mempunyai 5 subscript kedua, dst. Dalam menunjukkan sebuah matriks kadang dipakai sepasang tanda kurung ( ), garis tegak ganda | |, tapi umumnya digunakan kurung siku ganda [ ] 7.1. Matriks Bujur sangkar Bila m = n, (1,1) adalah bujur sangkar dan akan disebut matriks bujur sangkar berordo n atau sebuah matriks bujursangkat n. Dalam suatu matriks bujur sangkar, elemen a11, a22, amn disebut elemen diagonal. Jumlah elemen2 diagonal matriks bujur sangkar A disebut trace A. Matriks Sama Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] disebut sama, A = B, jika dan hanya jika keduanya berordo sama serta setiap elemen yg seletak sama, yaitu jika dan hanya jika : aij = bij dimana i = 1, 2, 3,m dan j = 1, 2, 3,.n. Jadi dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika yg satu merupakan duplikat yg lainnya. Matriks Nol Matriks yg semua elemennya nol disebut matriks nol. Jadi A = 07.2. Jumlah dan Selisih Matriks Jika A = [aij] dan B = [bij] ,dua buah matriks m x n, maka jumlah atau selisih, A B didefinisikan sebagai matriks C = [cij], m x n, dengan tiap elemen C adalah jumlah atau selisih elemen A dan elemen B yg seletak. Jadi A B = [aij bij]. Contoh : A = 2 2 3 B = 2 3 1 . 2 1 4 -1 2 - 3 maka . A + B = 2+2 2+3 3+1 4 5 4 . 2+( 1) 1+2 4+( 3) = 1 3 1 A B = 2 2 2 3 3 1 0 1 2 . 2 ( 1) 1 2 4 ( 3) = 3 1 7 Dua matriks berordo sama disebut bersesuaian untuk penjumlah- an atau pengurangan Dua matriks berordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Contohnya : pada matriks a dan b di atas, tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Jumlah dari k buah matris A adalah suatu matriks yg berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yg seletak. Contoh : A = 1 2 . 2 3 maka . 3 A = A 3 = A + A + A = 1 2 + 1 2 + 1 2 3 6 . 2 3 2 3 2 3 = 6 9 5 A = 5 10 . 10 15 Dengan asumsi bahwa matriks A, B dan C adalah bersesuaian untuk penjumlahan, dapat dinyatakan : 1. A + B = B + A Hukum Komutatif 2. A + (B + C) = (A + B) + C Hukum Asosiatif 3. k (A + B) = kA + kB = (A + B) k 4. Terdapat suatu matriks D sedemikian sehingga A + D = B Hukum2 ini merupakan hasil dari hukum aljabar elementer yg mengatur penjumlahan bilangan dan polinom. 7.3. PERKALIAN MATRIKS Bila matriks A = [ a11 a12 a13 a1m ] yg berordo 1 x m dan matriks B = b11 . b21 . . . bm1 yg berordo m x 1. Maka hasil kali AB = C [a11 b11 + a12 b21 + a12 b31 + + a1m bm1] yg berordo 1 x 1 Perhatikan bahwa operasinya adalah elemen baris dikalikan elemen kolom yg sepadan lalu hasilnya dijumlahkan. Contoh : A = a11 a12 B = b11 b12 . a21 a22 b21 b22 a31 a32 maka A B = a11 a12 b11 b12 . a21 a22 b21 b22 = . a31 a32 .A B = a11 a12 b11 b12 . a21 a22 b21 b22 = . a31 a32 . a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22 . a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22 . a31 b11 + a32 b21 a31 b12 + a32 b22 Hasil kali AB terdefinisi atau A bersesuaian terhadap B utk perkalian, hanya jika banyaknya kolom A sama dengan baris B. Bila A bersesuaian terhadap B utk perkalian, maka B tidak perlu bersesuaian terhadap A utk perkalian. Dengan anggapan bahwa A, B, C bersesuaian utk jumlah dan hasil kali yg ditunjukkan, ada beberapa ketentuan : 5. A(B + C) = AB + AC Hukum Distributif 1 6. (A + B) C = AC + BC Hukum Distributif 2 7. A(B+C) = (AB)C Hukum Asosiatif

7.4. Hasil-kali Matriks dengan Partisi Dalam sembarang partisi demikian diperlukan bahwa kolom2 A dan baris2 B dipartisi secara eksak dengan cara yg sama; tetapi Contoh soal Matriks 1. Bila matriks A = 1 2 1 0 dan B = 3 4 1 2 . . 4 0 2 2 1 5 1 3 . 2 -5 2 1 2 -2 3 -2 . Tentukan a. A + B . b. A B 2. Jika diberikan matriks P = 1 2 dan Q = -3 -2 . 3 4 1 -5 . 5 6 4 3 . Hitunglah R sedemikian rupa sehingga P + Q R = 0 ? 3. a. Bila matriks K = [ 2 3 -1 ] dan L = 4 . 5 . 6 . Tentukan K L ? .3b. Bila matriks K = [ 2 3 -1 ] dan L = 4 . 5 . 6 . Tentukan LK ? 3c. Bila matriks M = [ 3 2 1 ] dan N = 4 -6 9 6 . 0 -7 10 7 . 5 8 -11 -8 . Tentukan MN ? 3d. Bila matriks O = 2 3 4 dan P = 1 . 1 5 6 2 . 3 . Tentukan OP ? 3e. Bila matriks Q = 1 2 1 dan R = 3 -4 . 4 0 2 1 5 -2 2 Tentukan QR ? . 4. Bila matriks A = 1 -1 1 dan B = 1 2 3 . -3 2 -1 2 4 6 -2 1 0 1 2 3 Tentukan AB dan BA ? 5a. Bila matriks S = 2 1 0 dan T = 1 1 1 0 . 3 2 0 2 1 1 0 1 0 1 2 3 1 2 Tentukan ST dengan metode parsial ? 5b. Bila matriks U = 1 0 0 1 dan V = 1 0 0 . 0 1 0 2 0 1 0 0 0 1 3 0 0 1 . 3 1 2 Tentukan UV dengan metode parsial ? Jawaban contoh soal Bab 7. Matriks 1. 1 2 1 0 3 4 1 2 4 6 2 2 . . . 4 0 2 2 + 1 5 1 3 = 5 5 3 5 . . 2 -5 2 1 2 -2 3 -2 4 -7 5 -2 1 2 1 0 3 4 1 2 -2 -2 0 -2 . . . 4 0 2 2 1 5 1 3 = 3 -5 1 -1 . . 2 -5 2 1 2 -2 3 -2 0 -3 -1 3 2. P + Q R = 0 1 2 -3 -2 a b 0 0 . . 3 4 + 1 -5 c d = 0 0 . . 5 6 4 3 e f 0 0 1 3 a = 0 2 2 b = 0 3 + 1 c = 0 . a = - 2 b = 0 c = 4 . 4 5 d = 0 5 + 4 e = 0 6 + 3 f = 0 . d = - 1 e = 9 f = 9 Jadi R = -2 0 . 4 -1 . 9 9 3a. KL = [ 2 3 -1] 4 . 5 = [ 2(4) + 3(5) +(-1)(6) ] = [ 17 ] . 6 3b. LK = 4 [ 2 3 -1 ] = 4(2) 4(3) 4(-1) = 8 12 -4 . 5 4(2) 5(3) 5(-1) 10 15 -5 . 6 6(2) 6(3) 6(-1) 12 18 -6 3c. MN = [ 3 2 1 ] 4 -6 9 6 . 0 -7 10 7 = . . 5 8 -11 -8 = [3(4) + 2(0) + 1(5) 3(-6) + 2(-7) + 1(8) 3(9) + 2(10) + 1(-11) 3(6) + 2(7)+1(-8) ] . = [ 17 -24 36 18 ] . 3d. OP = 2 3 4 1 2(1) + 3(2) + 4(3) 20 . 1 5 6 2 = 1(1) + 5(2) + 6(3) = 29 . . 3 3e. QR = 1 2 1 3 -4 1(3) + 2(1) + 1(-2) 1(-4) + 2(5) + 1(2) . 4 0 2 1 5 = 4(3) + 0(1) + 2(-2) 4(-4) + 0(5) + 2(2) -2 2 . = 3 8 . 8 -12 4. EF = 1 -1 1 1 2 3 . . -3 2 -1 2 4 6 = -2 1 0 1 2 3 . = 1(1)+(-1)(2)+1(1) 1(2)+(-1)(4)+1(2) 1(3)+(-1)(6)+1(3) . -3(1)+2(2)+(-1)(1) (-3)(2)+2(4)+(-1)(2) (-3)(3)+2(6)+(-1)(3) (-2)(1)+1(2)+(0)(1) (-2)(2)+(1)(4)+(0)(2) (-2)(3)+1(6)+(0)(3) . = 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 FE = 1 2 3 1 -1 1 . . 2 4 6 -3 2 -1 = 1 2 3 -2 1 0 . = 1(1)+(2)(-3)+3(-2) 1(-1)+(2)(2)+3(1) 1(1)+(2)(-1)+3(0) . 2(1)+4(-3)+(6)(-2) (2)(-1)+4(2)+(6)(1) (2)(1)+4(-1)+(6)(0) (1)(1)+2(-3)+(3)(-2) (1)(-1)+(2)(2)+(3)(1) (1)(1)+2(-1)+(3)(0) . = -11 6 -1 . -22 12 -2 . -11 6 -1 Jadi EF FE 5a. ST dengan metode Partisi : 2 1 0 1 1 1 0 S11 T11 + S12T21 S11T12 + S12T22 . 3 2 0 2 1 1 0 S21T11 + S22T21 S21T12 + S22T22 1 0 1 2 3 1 2 2 1 1 1 1 + 0 [ 2 3 1] 2 1 + 0 [ 2 ] . 3 2 2 1 1 0 3 2 0 . . . [1 0] 1 1 1 + [ 1 ] [2 3 1] [1 0] 0 + [ 1 ] [ 2 ] . 2 1 1 0 4 3 3 + 0 0 0 0 + 0 . 7 5 5 0 0 0 0 0 . . [ 1 1 1 ] + [ 2 3 1 ] [ 0 ] + [ 2 ] . 4 3 3 0 . . 7 5 5 0 . . 4 3 3 0 . = 7 5 5 0 . [ 3 4 2 ] [ 2 ] 3 4 2 2 5b.. UV dengan metode Partisi 1 0 0 1 1 0 0 . . . 0 1 0 2 0 1 0 0 0 1 3 0 0 1 [ U11V11 U12V21 ] . 3 1 2 . 1 0 0 1 0 0 + 1 1 0 0 3 1 2 . 0 1 0 0 1 0 2 [ 3 2 1] = 0 1 0 6 2 4 . 0 0 1 0 0 1 3 0 0 1 9 3 6 . 4 1 2 . 6 3 4 . 9 3 7 SOAL LATIHAN/PR Bab 7. MATRIKS 1. A = 1 2 -3 , B = 3 -1 2 dan C = 4 1 2 . 5 0 2 4 2 5 0 3 2 . . Hitunglah : a. A + B = ? dan A C = ? . b. D bila A B + C = 0 ? 2. P = 1 3 2 Q = 1 4 1 0 R = 2 1 -1 -2 . 2 1 -3 2 1 1 1 3 -1 -1 -1 . 4 -3 -1 1 -2 1 2 2 -5 -1 0 . Buktikan bahwa : PQ = PR 3. K = 1 0 0 0 0 0 L = 1 0 0 0 0 0 . 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 . 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 . 0 0 0 4 0 0 0 0 0 3 0 0 . 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 2 0 . 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 3 . Hitunglah KL dengan metode Parsial ? BAB 8. JENIS-JENIS MATRIKS Pendahuluan Matriks dapat dibagi atas beberapa jenis, dalam SAP dibedakan atas 8(delapan) jenis Ada delapan jenis matriks yg perlu dipelajari dalam kuliah Matriks yaitu yg akan dijelaskan secara singkat di bawah. . 8.1 MATRIKS SATUAN - Matriks bujur-sangkar A yg elemen2nya aij = 0 utk i j di- . sebut segitiga atas . - Matriks bujur sangkar A yg elemen2ny aij = 0 utk i < j disebut . segitiga bawah . - Matriks diagonal . a11 a12 a13 a1n a11 0 0 0 . . 0 a22 a23 a2n a21 a22 0 0 . 0 0 a33 .a3n a31 a32 a33 0 . . ,,,. . . . . . . . . 0 0 0 0 0 ann an1 an2 an3 ann . . a11 0 0 . 0 . 0 a22 0 . 0 . 0 0 a33 . 0 = matriks diagonal = diag (a11, a22, a33, ..ann ) . . .. .. . . 0 0 0 ann - Bila dalam matriks diagonal D, a11 = a22 = .= ann = k, D disebut matriks skalar. - Bila k = 1 matriks itu disebut matriks satuan atau matriks identitas, ditunjukkan oleh In. Misalnya : I2 = 1 0 I3 = 1 0 0 . 0 1 0 1 0 . 0 0 1 8.2 MATRIKS BUJUR SANGKAR KHUSUS Bila A dan B matriks bujur sangkar sedemikian sehingga AB = BA, maka A dan B disebut komutatif atau dapat saling dipertukarkan. Bila A dan B sedemikian sehingga AB = BA,maka matriks A dan B disebut anti-komutatif Matriks A dengan sifat Ak+1 = A dengan k bulat positif, disebut periodik Bila k bilangan bulat positif terkecil utk mana Ak+1 = A. maka A disebut berperiode k Bila k = 1 sehingga A2 = A maka A disebut idempoten Matriks A utk mana Ap=0 dengan p bilangan bulat positif disebut nilpoten Bila p bilangan bulat positif terkecil utk mana Ap = 0 maka A disebut nilpoten berindex p 8.4 TRANSPOSE MATRIKSMatriks berordo m x m yg diperoleh dari penukaran baris dengan kolom matriks A, m x m disebut tanspose dari A dan dinyatakan oleh A. Misalnya : . A = 1 2 3 A = 1 4 . 4 5 6 2 5 . . 3 6 Perhatikan bahwa elemen aij pada baris ke i dan kolom ke j dari A berada pada baris ke j dan kolom ke i dari A. Bila A dan B masing2 transpose dari A dan B, dan jika k suatu skalar maka : a. (A) = A b. (kA) = kA c. (A + B) = A + B d. (AB) = B A8.3 MATRIKS BALIKAN (Matriks Invers) Bila A dan B matriks bujur sangkar sedemikian sehingga AB = BA = I maka B disebut invers (balikan) dari A, B = A-1 . Matriks B juga mempunyai invers, yaitu A, ditulis A = B-1 Misal : . 1 2 3 6 -2 -3 1 0 0 . 1 3 3 -1 1 0 = 0 1 0 = I . 1 2 4 -1 0 1 0 0 1 Jika A and B matriks bujur sangkar berordo sama dengan invers masing2 A-1 dan B -1 maka (AB)-1 = B-1 A-1 Sebuah matriks sedemikian sehingga A2 = I disebuat involuntari. Jadi matriks involuntari adalah balikannya sendiri. Misalnya matriks satuan. 8.5 MATRIKS SIMETRI Matriks A sedemikian sehingga A = A disebut simetri. Jadi suatu matriks bujur sangkar A = [aij ] adalah simetri asalkan aij = aji untuk semua i dan j. Misalnya : . A = 1 2 3 . 2 4 -5 . 3 -5 6 adalah simetri dan juga kA untuk sembarang skalar k.Jika A matriks bujur sangkar berordo n maka A + A adalah simetri Matriks bujur sangkar A sedemikian sehingga A = A disebut simetri miring. Jadi suatu matriks bujur sangkar A adalah simetri miring aij = aji untuk semua nilai i dan j. Dan elemen2 diagonal nol. Misalnya : . A = 0 -2 3 . 2 0 4 . -3 -4 0 adalah simetri miring dan juga kA utk sebarang k.8.6 KONYUGAT SUATU MATRIKS 3. Konyugat jumlah dua matriks adalah jumlah konyugatnya, yaitu 8.7 MATRIKS HERMITE 8.8 MATRIKS JUMLAH LANGSUNG Tetapkan A1, A2, , As masing2 adalah matriks bujur sangkar berordo m1, m2, ,ms. A = A1 0 . 0 . 0 A2 0 = diag (A1, A2, As) . .. . 0 0 As dari matriks diagonal disebut jumlah langsung dari As. Contohnya : tetapkan A1 = 1 2 dan A2 = 1 2 -1 . 3 4 2 0 3 . 4 1 -2 Jumlah langsung A1, A2, A3 adalah diagonal (A1, A2, A3) = . = 2 0 0 0 0 0 . 0 1 2 0 0 0 . 0 3 4 0 0 0 . 0 0 0 1 2 -1 . 0 0 0 2 0 3 . 0 0 0 4 1 -2 Contoh soal Jenis Matriks 1. Buktikan bahwa matriks A = 2 -2 -4 . -1 3 4 adalah idempoten ? . 1 -2 -3 2. Bila B = 1 1 3 . 5 2 6 buktikan bahwa matriks B nilpoten berordo 3 . -2 -1 -3 3. Diketahui matriks P = 2 3 6 dan Q = 4 5 . 5 4 -1 2 3 . 1 0 . Tentukan : a. PQ . b. PQ (transpose P dikali transpose Q) ? 4. Jika K = 1 2i - i dan L = 2 2i i . 3 2 + 3i 2 2 3i . Hitunglah : Jawaban contoh soal Jenis2 Matriks 1. 2 -2 -4 2 -2 -4 . . -1 3 4 -1 3 4 = . . 1 -2 -3 1 -2 -3 2(2)+(-2)(-1)+(-4)(1) 2(-2)+(-2)(3)(-4)(-2) 2(-4)+(-2)(4)+(-4)(-3) . -1(2)+3(-1)+4(1) -1(-2)+3(3)+4(-2) -1(-4) +3(4)+4(-3) . 1(2)+(-2)(-1)+(-3)(1) 1(-2+(-2)(3)+(-3)(-2) 1(-4)+(-2)(4)+(-3)(-3) . = 2 -2 -4 . -1 3 4 . 1 -2 -3 2. B2 = B B = 1 1 3 1 1 3 . 5 2 6 5 2 6 . -2 -1 -3 -2 -1 -3 . = 1(1)+1(5)+3(-2) 1(1)+1(2)+3(-1) 1(3)+1(6)+3(-3) . 5(1)+2(5)+6(-2) 5(1)+2(2)+6(-1) 5(3)+2(6)+6(-3) . (-2)(1)+(-1)(5)+(-3)(-2) (-2)(1)+(-1)(2)+(-3)(-1) (-2)(3)+(-1)(6)+(-3)(-3) . = 0 0 0 . 3 3 9 . -1 -1 -3 B3 = B2 B = 0 0 0 1 1 3 . 3 3 9 5 2 6 . -1 -1 -3 -2 -1 -3 . = 0 0 0 . 3(1)+3(5)+9(2) 3(1)+3(2)+(9)(1) 3(3)+3(6)+9(-3) . (-1)(1)+(-1)(3)+(-3)(-2) (-1)(1)+(-1)(2)+(-3)(-1) (-1)(3)+(-1)(6)+(-3)(-3) = 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 3a. PQ = 2 3 6 4 5 2(4)+3(2)+6(1) 2(5)+3(3)+6(0) . 5 4 -1 2 3 = 5(4)+4(2)+(-1)(1) 5(5)+4(3)+(-1)(0) . 1 0 . = 20 19 . 27 21 3b. P Q = . SOAL LATIHAN/PR JENIS2 MATRIKS 1. Buktikan bahwa matriks P = 2 -3 -5 . -1 4 5 . 1 -3 -4 adalah idempoten ? 2. Bila matriks Q = 1 -2 -6 . . -3 2 9 . . 2 0 -3 buktikan bahwa matriks Q nilpoten ? 3. Buktikan bahwa matriks A = 1 2 3 . 2 5 7 . -2 -4 -5 adalah balikan (invers) . dari matriks B = 3 -2 -1 . -4 1 -1 . 2 0 1 4. Buktikan bahwa matriks D, adalah matriks Hermite ? . D = 1 1+i 2+3i . 1- i 2 -i . 2-3i i 0 BAB 9. DETERMINAN MATRIKS BUJUR SANGKAR