K KA AT TA A P PE EN NG GA AN NT TA AR RMateriKuliahAnalisisVektoryangmeliputiVektorKonstan,FungsiVektor,DiferensialVektordanIntegralVektormempunyaiperananyangsangatpentingbagiparafisikawandanrekayasawanuntukmembantumenyelesaikan permasalahannya. Oleh sebab itu mahasiswa teknik perlumendapatpengetahuantentangmateriini,sebagaisalahsatubagiandasar untuk melatih kemampuan rekayasa mereka.Buku ajar yang berjudul Analisis Vektor ini disusun untuk membantumahasiswadalammemahamipokokbahasandiatas,sehinggaprosesbelajar mengajar mata kuliah yang dimaksud bisa berjalan dengan lebihbaik.Penyajian dan pembahasan materi dalam Buku Ajar ini diharapkandapatdenganmudahdiikutidandipahamiolehsemuamahasiswa.Untuk itu, dalam setiap pokok bahasan, penyusun berusaha memberikanbeberapacontohsoalyangdapatdiselesaikanmahasiswasebagailatihan.Dibagianakhirdaridiktatinidiberikandaftarpustakauntukmembantu bagi yang ingin mempelajari lebih lanjut, agar mendapatkanpemahaman yang lebih mendalam.BukuAjarinitentusajamemilikibanyakkekurangan,untukitupenyusun sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangundaripemakaiBukuAjariniuntuklebihmenyempurnakanpenyajianselanjutnya. Akhirnya, penyusun berharap agar Buku Ajar ini dapat benar-benar bermanfaat. Malang, Agustus 2003PenyusunD DA AF FT TA AR R I IS SI IK KA AT TA A P PE EN NG GA AN NT TA AR R i iD DA AF FT TA AR R I IS SI I i ii iB BA AB B I I : : V VE EK KT TO OR R K KO ON NS ST TA AN N1 11.1Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor11.2Aljabar Vektor21.3Vektor Posisi Dalam Bidang dan Ruang41.4Perkalian Antar Vektor101.5Penggunaan Vektor Dalam Geometri20B BA AB B I II I : : F FU UN NG GS SI I V VE EK KT TO OR R2 28 82.1Fungsi Vektor282.2Kurva Vektor29B BA AB B I II II I : : D DI IF FE ER RE EN NS SI IA AL L V VE EK KT TO OR R3 34 43.1Derivatif atau Turunan dari Fungsi Vektor343.2Interpretasi Dari Derivatif Vektor353.3Gradien, Difergensi dan Curl383.4Penggunaan Gradien, Difergensi dan Curl 41B BA AB B I IV V : : I IN NT TE EG GR RA AL L V VE EK KT TO OR R5 56 64.1Integral Garis 564.2Teorema Green694.3Medan Gaya Konservatif764.4Integral Luasan844.5Teorema Divergensi Gauss1004.6Teorema Stokes106D DA AF FT TA AR R P PU US ST TA AK KA A1 11 11 1DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 1Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaBAB IV VE EK KT TO OR R K KO ON NS ST TA AN N1.1.Pengertian Tentang Vektor dan Notasi VektorBeberapabesaran(quantities)dalamfisikamempunyaibesar(magnitude)danarah(direc tion),sebagaicontohmisalnyalintasandankecepatansebuahobyekyangbergerak,gayayangbekerjapadasuatubenda,medanlistrikmaupunmedanmagnetsuatutitikdanlainsebagainya.Besaranyangmempunyaibesardanarahdisebutdenganvektor(vec tor).Sementarabesaranyanghanyamempunyaibesar(magnitude) saja seperti massa, waktu maupun temperatur disebut denganskalar(scalar).Notasivektordanteknik-teknikdenganmenggunakananalisisvektorsangatbergunauntukmenjelaskanhukum-hukumfisikadanaplikasinyabaikdalambidang(dimensidua=R2)maupunruang(dimensitiga=R3).Dalampenyajiannyasebuahvektorbiasadigambarkansebagaisegmen atau ruas garis yang berarah sebagai berikut :v =AB ABAB A = titik pangkal (initial point)B = titik ujung (terminal point)Panjangvektorv =v =B A :menyatakanbesarnyavektorataupanjangnya vektor vdan tanda panah dalam ABmenyatakan arah vektor. A B vPOKOK BAHASAN :!Pengertian tentang vektor dan notasi vektor!Aljabar vektor!Vektor posisi dalam bidang dan ruang!Perkalian antar vektor!Penggunaan vektor dalam geometriDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 2Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaAda 3 jenis vektor :a.VektorBebas(freevector):vektoryangbolehdigesersejajardirinyadengan panjang dan arah tetap.b.Vektormeluncur(slidingvector):vektoryangbolehdigesersepanjanggariskerjanya,misalnyagayayangbekerja sepanjang garis lurus.c. Vektor terikat (binding vec tor) :vektor yang terikat pada sistem koordinatyang menunjukkan posisi tertentu.Kecuali bila digunakan untuk menyatakan letak atau posisi, pada umumnyaorang bekerja dengan vektor bebas.1.2.Aljabar VektorVektor nol (null vector)Ditulis0 adalahvektoryangpanjangnyanolsehinggaarahnyataktentu (karena ujung dan pangkalnya berimpit)Kesamaan 2 vektorDua vektor dikatakan sama jika mempunyai panjang dan arah yangsama.Kesejajaran 2 vektorDuavektordikatakansejajaratauparaleljikagaris-garisnyasejajar,arahnyabisa sama atau berlawanan.Vektor-vektor yang segaris merupakan vektor-vektor yang paralel.Penjumlahan vektorPenjumlahanvektorbisadilakukandenganmengikutiaturanjajarangenjang atau aturan segi banyak (poligon)Misalnya:a.C B A +atauABABCACBDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 3Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayab. D C B A E + + + c. 0 E D C B A + + + +Jumlahdarivektor-vektoryangmerupakansisi-sisidarisebuahsegibanyaktertutup selalu nol jika arah sisi-sisi tersebut berurutan.Penggandaan vektor dengan skalarJika m= besaran skalardanA =vektor yang panjangnya | A|maka :m A=vektoryangpanjangnyamkalipanjangnyaAdanarahnyasamadenganvektorAjikampositif,atauberlawanandengan arah vektorA jika m negatifPengurangan vektorPenguranganvektordilakukandenganmenambahkanlawandarivektor yangmengurangiDACBACBDEEABCDDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 4Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaJadi: ) B ( A B A + B A C JikaA =B maka0 B A Hukum-hukum yang berlaku dalam Aljabar VektorJikaC , B , Aadalah vektor dan m, n adalah skalar maka1. B A+ =A B+ (komutatif terhadap jumlahan)2. ) C B ( A + + =C ) B A ( + + (asosiatif terhadap jumlahan)3. Terdapat vektor0sehingga:A A 0 0 A + + (ada elemen netral)4. Terdapat vektorA sehingga:0 ) A ( A + (ada elemen invers)5. (mn)A =) A m ( n (asosiatif terhadap perkalian)6. ) B A ( m + =B m A m + (distributif terhadap perkalian)7. (m + n)A=A n A m + (distributif terhadap perkalian)8. ) A ( 1 =A (ada invers dalam perkalian)2.3. Vektor Posisi dalam Bidang dan RuangTeorema Dasar Dalam Vektor :SetiapvektorCpadabidangdapatditulissecaratunggalsebagaikombinasi linier sembarang 2 vektorA danB yang tidak paralel dan bukanvektor nol.Atau:C =B n A m +dengan m, n adalah skalar yang tunggalABAB B ADIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 5Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaBukti :2 1 OP OP OP C + 1 OPparalel denganA sehingga1 OP =A m

C=A m+B n2 OPparalel denganB sehingga2 OP=B mDalamhalinim,nadalahskalaryangtunggal.KarenajikatidaktunggalmakaCakan bisa ditulis sebagai berikut : C= m1 A+ n1B=C= m2 A+ n2 B (m1 - m2)A + (n1 - n2)B= 0KarenaA dan Bbukan vektor nol dan tidak paralel maka,m1 - m2= 0 m1 = m2n1 - n2 = 0 n1 = n2Teoremadasarinijugaberlakuuntukvektor-vektordalamruang(R3),sehingga untuk sembarang vektorD dapat ditulis :D = m1 A+ m2 B + m3 CdenganA,BdanCadalah vektor-vektor yang tidak paralel, bukan vektornol dan tidak sebidang.Dua vektorA danB dikatakan saling bergantung secara linier (dependentlinear) jika terdapat skalar m dan n yang tidak nol danm A+ n B= 0Kejadian ini akan terjadi jika : 1.A danBmerupakan vektor nol atau 2.A danBparalel (sejajar)A1PP2POBCDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 6Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaContoh :Buktikanbahwagarisyangmenghubungkantitiktengahduasisisebuahsegitigaadalahsejajardengansisiketigadanpanjangnyasamadengan1/2 dari panjang sisi ketiga tersebut.M titik tengahACN titik tengahCBCB AC AB + ) CB AC ( CB AC CN MC MN212121+ + + = AB21sehinggaAB // MNdan panjangMN = panjangABVektor satuan (unit vector)Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1 satuan panjang.AA a= vektor satuan dariAdanA =a AVektor basis satuan Perhatikan suatu sistem koordinat XOY dalam R2 dan pilih 2 vektor satuan idanjsebagaibasisyangmasing-masingsejajardansearahdengansumbu xdany positif dan berpangkal di O. y j Oixmaka vektor i dan j disebut dengan vektor-vektor basis di R2DiR3:sebagaivektorbasisyangsejajardansearahdengansumbuzdinyatakan dengan vektor k.CN MABDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 7Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayaz k ijyxVektor posisia. Vektor Posisi dalam R2Jikai danj adalahvektor-vektorbasisdiR2yaituvektorsatuanyangmasing-masingsejajardansearahdengansumbuXdansumbuYdanberpangkal dititik 0 dalam R2.Makasembarangvektorr darititik0ketitikP(x,y)dalambidangXOYselalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor basisidanj . yry j = y jP(X,Y)r jO i rx i = x ixSehingga :r= rx i + ry j=x i + y jrx i = x i ;ry j= y j disebut vektor-vektor komponenrx=x komponen vektorr pada sumbu X(proyeksirke sumbu X)ry=y komponen vektorr pada sumbu Y(proyeksirke sumbuX)Vektorr= x i + y jdisebut vektor posisi titik P , karena komponen-komponennya merupakan koordinat yang menunjukkan posisi titik P.Panjang darir= | r |= 2 2y x +DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 8Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayab. Vektor Posisi dalam R3 :Vektor-vektor basis dalam R3 adalah vektor-vektor satuan i , jdan k yangmasing-masingberimpitdansearahdengansumbu-sumbuX,YdanZpositif dan berpangkal di titik 0. . zP(x,y,z) rkj y i Oxr= x i + y j + z k merupakan vektor posisi dari titik P(x,y,z)x = proyeksiOPke sumbu Xy = proyeksiOPke sumbu Yz = proyeksiOPke sumbu ZPanjang darir = | r |= 2 2 2z y x + +Secara umum untuk sembarang vektor A = Ax i + Ay j + Az kdalam R3 , berlaku :Panjang 2z2y2xA A A A A + + Vektor satuan2z2y2xA A AAa+ +zk Azij Ayyxi AxDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 9Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaDengan :"Ax, Ay; Az disebut bilangan arah vektorA"Sudut-sudut ; ; yang dibentuk vektorA terhadap sumbu x, y, z positifdisebut arah vektorA"Cosinus sudut-sudut tersebut disebut c osinus arah.dengan:AAA A AA cosx2z2y2xx+ +AAA A AA cosy2z2y2xy+ + 1 cos cos cos2 2 2 + +AAA A AA cosz2z2y2xz+ +Menyatakan Suatu Vektor Dalam Koordinat Tegak1 OP=x1i + y1j +z1k2 OP= x2i + y2j + z2k2 12 1OP OP P P = (x2i + y2j z2k) (x1i + y1j z1k)= (x2 x1)i (y2 y1)j + (z2 z1)kSembarangvektor 2 1P P dalamsistemkoordinatbisadinyatakansebagaikombinasilinierdarivektor-vektorbasisdengankomponen-komponennyaadalahkomponenvektorposisititikujungdikurangikomponen vektor titik pangkalnya.z) z , y , (x P1 1 1 1) z , y , (x P2 2 2 2OyxDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 10Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya) z (z ) y (y ) x (x P P1 2 1 221 2 2 1 + + = panjang vektor 2 1P PSOAL-SOAL1. Tentukanvektorsatuanyangsejajardenganjumlah(resultan)darivektor-vektor1r =2i + 4j 5k2r = i + 2j + 3k2. Tunjukkan bahwa vektor-vektor :A = 3i + 2j + kB = i + 3j + 5kC = 2i + j 4kakan membentuk sebuah segitiga3. Ambil sembarang segi 4 ABCDTitik-titik P, Q, R, S adalah titik-titik tengah sisi AB; BC; CD dan DABuktikan bahwa PQRS menyusun suatu jajaran genjang.(Cukup dengan membuktikan bahwaPQ =RS atauQR=PS)1.4. Perkalian Antar Vektora. Hasil Kali Skalar (Dot product /Scalar Product)Ditulis: cos B A B A ! ; = sudut antara vektor A dan B""--!!BQCRDSOPDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 11Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaProyeksiApadaB ProyeksiB padaASifat Hasil Kali Skalar : 1. A B B A ! ! 2.22A 0 cos A A A ! 3. C A B A C) (B A ! ! ! + + 4. C B C A C B) (A ! ! ! + +Dalam R3 :1 k k j j i i ! ! ! (krn //)0 i k k j j i ! ! ! (krn )Karena :1 0 cos i i i i !0 90 cos j i j i ! Jika: A=Axi + Ay j + AzkB =Bxi + By j + Bzkk) B j B i B ( ) k A j A i A ( B Az y x z y x+ + + + ! ! z z y y x xB A B A B A B A + + !Sudut Antar 2 Vektor : Karena cos B A B A !AB cos A cos BBAzkijyxDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 12Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya cos =B AB A!==> Contoh :A = 3i + 6j + 9kB A!= 3(-2) + (6)(3) + (9(1) = 21B = -2i + 3j + k 14 3 9 6 3 A2 2 2 + + 14 1 3 2 B2 2 2 + +

21422114 . 14 321B AB A cos !Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel Vektor-vektor yang tegak lurus (yaitu cos = 0) >B A!atau A BAtau jika : Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0 Dua vektor paralel jika komponen-komponennya sebanding ataujika :zzyyxxBABABA Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha Dalam fisika, usaha = gaya jarak perpindahan Jika gaya dan jarak perpindahan tidak sejajar.d cos F W =d F!Contoh :Diketahui :F=2i+2j4kadalahgayayangbekerjapadabendayangbergerak dari titik (1,0,1) ke titik (2,4,2)Tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gayaF = arc cos B AB A! cos FFdd d DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 13Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaJawab:d F W ! d =(21)i + (40)j + 2(21)k = 2i + 4j + kW =(2i + 2j 4k)!(2i + 4j + k) = 4 + 8 4 = 8 satuan usahab. Hasil Kali vektor(Cross Product /Vector ProductDitulis:C B A hasilnya berupa vektorDengan sin B A B A ArahdariB A ditentukanberdasarkanaturantangankananatausekrup putar kanan.Sifat hasil kali vektor:"A B B AA B = (B A)anti komutatif"(kA) B = k(A B) = A (kB)"A (B + C) = (A B) + (A C)(A + B) C = (A C) + (B C)Dalam R3 sin i i i i dengan cara yang samai i = j j = k k = 01 90 sin j i j i CACABBBAB AA BzkijyxDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 14Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayasehingga: i j = k;j k = i;k i = jj i = -k;k j = -i ; i k = -jJika : A =Ax i + Ay j + Az kB = Bx i + By j + Bz k B A = (Ax i + Ay j + Azk) (Bx i + By j + Bzk) = (AyBz AzBy) i (AxBz AzBx) j + (AxBy AyBx) katau: B A =z y xz y xB B BA A Ak j idan ( )( ) ( )2B A B B A A sin B A B ! ! ! AContoh :A = 2i j + kB = i 3j + 4kA A!= 22 + 32 + 42 = 6B B!= 2 + 3 + 4 = 9k 5 j 7 i) 1 6 ( k ) 1 j(8 3) 4 ( i4 3 - 11 1 - 2k j iB A + + + 75 25 49 1 5 7 1 B A2 2 2 + + + + Aplikasi dari Hasil Kali Vektor"Menghitung Torsi/MomenDalam mekanika momen/torsi dari gayaF terhadap titik Q didefinisikan sebagai:DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 15Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayad F m Fdengand = jarak (dalam arah )antara titik Q ke garis gayaFJika: r = adalahvektoryangmenghubungkantitikQketitiksembarang pada garis gayaFMaka d = sinr ; = sudut antara rdenganFdanr F sinr F m JikaM m , makaM= r F= vektor momen dari gayaF terhadap titik Q Contoh :TentukanvektormomendarigayaFterhadap titik OJawab:F = (4 2) i + (2 1) j + 0k = 2i 3j + 0kr = (2 0) i + (1 0) j + 0k = 2i + j + 0k'yrF' ' 'x0(2,1)(4,-2)dQdQFLrDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 16Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya8k 6) k(2 j(0) i(0)0 1 20 3 - 2k j iM + + 8 64 M c. Hasil Kali Skalar Tripel(Triple Scalar Product)Jika:A = Ax i + Ay j + Az kB = Bx i + By j + Bz kC = Cx i + Cy j + Cz kk B BA A j B BA Ai B BA AC Ay xy xz xz xz yz y+ zy xy x yz xz x xz yz yCB BA A CB BA A CB BA AC B A+ != z y xz y xz y xC C CB B BA A A disebut hasil kali skalar triple, karena hasilnya merupakan skalar.Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat:1. ( ) ( ) B A C A C BC B A! !! sehingga:( ) ( ) C B AC B A !!Nilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornyaletak tanda dan ! nya tidak mempengaruhi hasilnya.Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah.Sehingga:C A B C A BC B A ! !!2. Hasilkaliskalartripel:0C B A !biladanhanyabila Cdan B,Asebidang.DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 17Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaBukti:a.0C B A ! Cdan B,A sebidang Jika 0C B A ! makaC B A atau salah satu dari Catau B,A vektor nol Berarti: i. Apabila salah satu dari Catau B,A vektor nol, maka pasti Cdan B,A sebidang ii. Apabila C B A maka C bisa diletakkan sebidang denganBdan A sehingga Cdan B,A sebidangb.Jika Cdan B,A sebidang 0C B A ! JikaCdan B,A sebidang, maka C B A sehingga0C B A ! Arti Geometris Dari C B A! Diberikan vektor Cdan B,AA= OAB= OBC= OCCB O AB A P B A= luas jajaran genjang OADBC B A! =C P != cos C PDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 18Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya cos C= tinggiC di atas bidang OADBJadiCB A! = volumebidang6(paralelepipedum)OADBCEFGyangdisusun oleh Cdan B,ACatatan:Luas jajaran genjang OABC =' AA OB = sin OA OB=OA OBContoh :Buktikan bahwa( ) ( ) ( ) 0 B A C A B A + + + !Bukti:Misalkan u B A +v C A +Maka :u v u ! = volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, uKarenakeduasisinyamerupakanvektoryangsamamakaketigavektor tersebut sebidang sehingga :u v u ! = 0d. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product)Hasil kali vektor tripel adalah :( ) C B A ( ) C B A Tandakurungdiperlukandisinikarenanilaiakanberubahjikaletakkurangnya ditukar.Misalkan :(i i) j = 0 j = 0i (i j) = i k = jA'BCA0 )DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 19Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaSifat Hasil Kali Vektor Triple :1. ( ) C B A ( ) C B A 2. ( ) C B A =( )B C A! ( )C B A!( ) C B A =( ) ( )A C B B C A ! ! Contoh :1.Jika:A= 2i + 2j k B = i + j + kC = 3i + j 2k Hitung :( ) C B A ;( ) C B A Jawab: a. k j ik j i k j iB x A4 3) 2 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 (1 1 12 2 2 + +

k j ik j i k j iC x B x A10 10 10) 9 1 ( ) 12 2 ( ) 4 6 (2 1 34 3 1 ) (+ + + + + b.k j ik j ik j iC B4 5) 3 1 ( ) 3 2 ( ) 1 2 (2 1 31 1 1+ + + +

k j ik j ik j iC B A8 9 13) 2 10 ( ) 1 8 ( ) 5 8 (4 5 11 2 2+ + + + !2. Buktikan :) A B )( A A ( )] B A ( A [ A !Bukti : MisalkanC B A Maka( ) C B A = ( ) ( )C A A A C A ! ! = ( ) ( )( ) B A A A A B C A ! !DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 20Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya= ( ) ( )( ) B A A A A 0 != ( )( ) B A A A != ( )( ) A B A A !1.5. Penggunaan Vektor Dalam Geometria.Persamaan GarisDalam R3:Andaikan l sebuah garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1)dan sejajar dengansebuahvektorv =Ai+Bj+Ck.Makalmerupakantempatkedudukansemua titik P(x,y,z) sedemikian hinggaP P1 sejajar denganvJadititikP(x,y,z)terletakpadagarislbiladanhanyabilaP P1=v tdengan t adalah suatu skalar.Atau:(x x1)i + (y y1) j + (z z1) k= t (Ai + Bj + Ck)=t Ai + tBj + tCkIni berarti :

; tC z ztB y ytA x x111 Persamaanparametergarisyangmelaluititik(x1,y1,z1)danparaleldengan vektorv .tC z ztB y ytA x x+ + + 111") , , ( z y x P) , , (1 1 1z y x PCk Bj Ai V + + DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 21Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaAtau:Persamaan standard garis yangmelalui titik (x1, y1, z1) dan paraleldenganCk Bj Ai v + + Dalamhaliniv =Ai +Bj+CkdisebutvektorarahgarisldanA,B,Cmerupakan bilangan arah garis.Jika salah satu dari A, B dan C nolMis. A = 0 makax x1 = 0x = x1Persamaan standardnya ditulis : Cz zBy y1 1 ;danx = x1Contoh :Tentukan persamaan garis melalui A ( 5,4,1) dan B (3, 1, 6)Vektor arah garisv=AB = 2i 3j + 5kMisalkantitiksembarangpadagarisadalahP(x1,y1,z1)dantitiktertentuyang terletak pada garis diambil titik A(5,4,1) makaPersamaan standard garis:51 z34 y25 x Atau:34 y25 x 3x 2y 7 = 0 Persamaan standard garis:51 z34 y 5y 3z 17 = 00 17 3 50 7 2 3 z yy xPersamaan parameter garis:t zt yt x5 13 42 5+ t = Cx xBx xAx x3 2 1DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 22Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaDalam R2 :Jikasuatugarismempunyaigradien(bilangan/ tangenarah)=mmakavektor arah garis :l = i + mjb. Persamaan BidangVektorNbidangWsehinggaNdisebut VektorNormal dari bidang wJikaN = Ai + Bj + CkPQ = (x x1) i + (y y1) j + (z z1) kPQ terletak pada bidang WSehinggaPQ N 0 PQ N !Atau: Persamaan bidang melalui titik (x1, y1, z1) dengan normal bidangN =Ai + Bj + CkContoh :1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3,2,1) ; Q(4,1,5) ;R(2,4,3). bidang pada terletakPR danPQ vektork 2 j 2 i PRk 4 j i PQ;+ + + k j 6 i 102 2 14 1 1k j iPR PQ N + + Persamaan bidang:A(x x1) + B(y y1) + C(z z1) = 010 (x 3) 6 (y 2) + 1( z 1) = 010x 6y + z + 41 = 0A(x x1) + B(y y1) + C(z z1) = 0) , , (1 1 1z y x P) , , ( z y x QNW )DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 23Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya"Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai:denganN = Ai + Bj + Ck2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2);tegak lurus pada bidangu= 2x + 3y + z = 8 dantegak lurus pada bidangv = x y + 3z = 0 u= 2x + 3y + z = 8 U N = 2i + 3 j + kv= x y + 3z = 0 V N= i j + 3kDicari bidang w yang bidangudanv , berartiw Nu N danV NAtauk 5 j 5 i 103 1 11 3 2k j iv N N N u w + + Persamaan bidang w:10(x 4) 5(y 1) 5(z + 2) = 010x 5y 5z 45 = 02x y z = 9c. Menentukan jarak titik terhadap suatu bidangDiberikan sebuah titik P(r,s,t) yang berada di luar bidang V denganV = Ax + By + Cz + D = 0Normal bidangv N = Ai +Bj + CkJika A 0 Titik

,_

0 , 0 ;ADQterletak pada bidang tersebut.tk sj iADr QP k + + ,_

+ Ax + By + Cz + D = 0DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 24Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya P(r,s,t) NkdQ(-D/A,0,0) =sudut antaraN danksehingga cos k d Nk Nd d N k N k N!! cossehingga:2 2 2C B ACt BsADr Ad+ ++ +

,_

+atauJaraktitikP(r,s,t)kebidangAx + By + Cz + D = 0Contoh :Tentukan jarak P(5,5,4) ke bidang ABC jikaA = (2,4,2)B = (6,4,3)C = (0,5,1) AC = -2i + j + kAB = 4i + kNormal bidangAC AB N k 4 j 2 11 1 21 0 4k j i + + Persamaan bidang ABC2 2 2C B AD Ct Bs Ard+ ++ + +DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 25Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya(x 0) + 2 (y 5) + 4 (z 1) = 0x + 2y + 4z 14 = 0Jarak titik P(5,5,4) ke bidang x + 2y + 4z 14 = 02114 6 ! 10 516 4 114 ) 4 ( 4 ) 5 ( 2 ) 5 ( 1d d + + + + + + =217d.Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua BidangDiberikan bidang v dengan normalv NDiberikan bidang w dengan normalw N (w v)vN" wNJikabidangvdanwberpotonganpadasatugarismakavektorarahgaris tersebut akan denganv Nmaupun w NSehingga jika vektor arah garis tersebut" maka wNvN "Contoh :Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang2x + y 2z = 5 dan 3x 6y 2z = 7v = 2x + y 2z =5 Nv = 2i + j kw = 3x + 6y 2z =5 Nw = 3i + 6j 2kVektor arah garis:k 15 j 2 i 142 6 32 1 2k j iwNvN L DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 26Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaDitentukan salah satu titik yang terletak pada perpotongan bidang.(i) 2x + y + 2z = 5(ii) 3x 6y 2z =7 x + 7y = 2Misalkan diambil : y= 0 x= 2 x= 2(i).2(2) + 0 2z = 52z = 5 4z = Titik(2,0,-)terletakpadagarispotong 2 bidang.Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang :15zz0 y142 x21e.Sudut Antara Garis dan BidangJika:" " garis arahvektor ck bj ai + + 0 D Ck By Ax v bidang normal Ck Bj Ai N + + + + + " N v) ) c b a )( C B A (Cc Bb AaNN cos2 2 2 2 2 2+ + + ++ + "" !sin = sin (90 )DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que 27Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya= ) c b a )( C B A (Cc Bb Aa cos2 2 2 2 2 2+ + + ++ +Sehingga sudut antara garis"dengan vektor arahck bj ai + + "denganbidang v dengan normal bidangCk Bj Ai Nv + + adalah) c b a )( C B A (Cc Bb Aaarcsin2 2 2 2 2 2+ + + ++ + DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que28Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaBAB IIF FU UN NG GS SI I V VE EK KT TO OR R2.1 Fungsi VektorJika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor A, maka AbisadinyatakansebagaifungsivektordaritatauA(t),yaitusuatuvektoryang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t.Dalam R2, fungsi vektor A (t) biasa ditulis dengan,A(t) = A1 (t) i + A2 (t) jDalam R3, fungsi vektor A(t) ditulis dengan,A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j + A3 (t) kKonsep fungsi vektor ini bisadiperluas,jikasembarangtitik(x,y,z)diR3dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan dalam bentukfungsi vektor sebagai berikut:A(x,y,z) = A1(x,y,z) i + A2 (x,y,z) j + A3 (x,y,z) kContohfungsivektor,misalnyapersamaandarigerakanbebassuatupartikel dalam ruang.Jika setiap titik dalam suatu ruang (R3) dikaitkan dengan suatu vektor,makaruangtersebutdisebutmedanvektor.Contohmedanvektor,misalnyaaliranfluida(gas,panas,airdansebagainya)dalamsuaturuangan.Sembarangfungsiyangtidakdikaitkandenganvektordisebutfungsiskalar, dan suatu ruang yang setiap titiknya tidak dikaitkan dengan suatuvektor disebut medan skalar.Contohmedanskalar,misalnyatemperatursembarangtitikdalamsuaturuang atau batang besi, pada suatu saat.POKOK BAHASAN :!Fungsi Vektor!Kurva VektorDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que29Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya2.2 Kurva VektorSebuahkurvaberarahCdalamsistemkoordinatkartesius,bisadisajikan dalam bentuk fungsi vektor:r(t) = [x(t), y(t), z(t)]= x(t)i + y(t)j + z(t)kPengambilannilait=toakanmenunjuksuatutitikpadakurvayangposisinyaditentukanolehvektorr(to),dengankoordinatx(to),y(to)danz(to).Bentukpenyajiankurvavektorsepertidiatasdisebutdenganpenyajianparametric darikurvaC,dengantsebagaiparameternya.Dalammekanika,parametertinibiasanyamenyatakanwaktudalamsatuandetik.CONTOH: Penyajian kurva berarah sebagai fungsi vektora. Persamaan Kurva Vektor yang berupa Garis LurusDengan persamaan parameter garis lurusSembarang garis lurus l yang melalui titik A(a1, a2, a3) dalam ruang bisadisajikan dalam bentuk fungsi vektor:"r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ; untuk t = 0 t = tdan 3 32 21 1tb a ) t ( ytb a ) t ( ytb a ) t ( x+ =+ =+ =dengana=a1 i + a2 j + a3k vektor posisi titik A(a1, a2, a3) yang terletak pada garis l.b=b1 i + b2 j + b3k vektor arah garis lJadi, persamaan di atas menyatakan persamaan suatu garis yangmelaluititikAdenganvektorposisir=adanarahnyasesuaidenganarahvektorb.Jikavektorbadalahvektorsatuan,makakomponen-komponennya akan merupakan cosinus arah dari arahl.Dalamhalini,|t|merupakanjaraksetiaptitikpadagarislterhadap titik A.DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que30Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaContoh:1. Kurva vektor yang berupa suatu garis lurus dalam bidang, yangmelalui titik A(3,2) dengan gradien 1,a = 3i + 2jb = i + j (garidien 1)sehingga:x(t) = 3 + ty(t) = 2 + t danr(t) = x(t) I + y (t)j = (3+t)i + (2 + t)jAtau bisa juga ditentukan sebagai berikut:Persamaangarisyangmelaluititik(3,2)dengangradien1adalah :y 2 = 1(x 3) y = x 1Jika, x(t) = tuntuk t = 2 t = ty(t) = t 1Maka r(t)= x(t)I + y(t)j = ti + (t 1)j2. KurvayangberupagarislurusmelaluititikA(1,0,2)menujutitikB(3,-4,1)Titik awal (1,0,3) a= i + 0j + 2jVektor arah garis b = (3 1)I + ( 4 0)j + (1 2)k= 2i 4j kx(t) = 1 + 2ty(t)= 0 4tz(t) = z tr(t) = (1 + 2t) i 4tj + (2 t)kt= 0 t = 1b.Parabola(1). Parabola y = x2 ;-2 x 2DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que31Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya-2 2yx2x y =x(t) = t(x = t)y(t) = t2 (karena y = x2)Sehingga :r(t) = ti + t2j, dengan t= -2 t = 2(2). Parabola : y = x2 , z = 2 ; 0 x2 ;di R3x(t) = t ; t = 0 t = 2y(t) = t2z(t) = 2r(t) = ti + t2j + 2kc.Ellips/ LingkaranPersamaan umum Ellips dalam koordinat kartesius:c z , 1byax2222= = + di R32zDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que32Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayazyx11dibawa ke bentuk parameter, dengan :x (t) = a c os ty (t) = b sin tz (t) = csehingga bentuk fungsi vektornya menjadi:r(t) = a c os t i + b sin j + ckJika a = b = r, persamaan ellips diatas menjadi persamaan lingkaran:1ryrx2222= +atau x2 + y2 = r2; z=cdi R3dan persamaan fungsi vektornya :r(t) = r c os t i + r sin t j + ckd.Helix PutarHelixputaradalahsuatukurvayangberbentuksepertispiralyangterletakpadasilinder.Persamaanhelixputaryangterletakpadasilinder x2 + y2 = a2, dalam bentuk fungsi vektor adalah:r(t) = c os i + a sin t j + c t k(c0)Jika c> 0 bentuk helix mengikuti sekrup putar kananJika c< 0 bentuk helix mengikuti sekrup putar kiriMisalnya:Persamaanhelixr(t)=costi +sintj+tkadalahpersamaandarihelixputarkananyangterletakpadasilinderx2+y2 =1danberjarakvertikal2,artinyajikadihubungkandengangarisvertikal(sejajarDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que33Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayadengansumbuz)makajarakduatitikpadahelixakanmerupakankelipatan 2.ZYX a.Helix putar kanan b.Helix putar kiriZYXDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que34Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaBab IIID DI IF FE ER RE EN NS SI IA AL L V VE EK KT TO OR R3.1 Derivatif Atau Turunan Aljabar Dari Fungsi VektorFungsi vektor A(t) dikatakan diferensiabel di titik t jika nilai limit berikut:(t) A'dtdtA(t) t) A(t0 tlim= = + adaDalam hal ini, vektor A (t) disebut derivatif (turunan) dari vektor A(t)Jadi, jika A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j + A3(t)k,Makak j ik j i(t) A' (t) A' (t) A'dtdAdtdAdtdA(t) A'3 2 13 2 1+ + =+ + =Rumus-rumus untuk derivatif Fungsi Vektor:skalar ataukonstanta (c cA' (cA)' = = )B' A' B)' (A + = +B' A B A' B)' (A ! ! ! + =B' A B A' B)' (A + = ) C' B (AC) B' A( C) B (A' C)' B (A+ + =Derivatif Parsial Fungsi VektorUntukfungsivektoryangkomponen-komponennyaterdiridariduavariabel atau lebih, misalnya:A(x,y,z) = A1(x,y,z)i + A2 (x,y,z) j + A3(x,y,z)kmaka,bisaditentukanderivatifparsialdariA(x,y,z)terhadapx,yatauzsebagai berikut:k j ixAxAxAxA3 2 1++=k j iyAyAyAyA3 2 1++=POKOK BAHASAN :!Derivatif atau turunan dari fungsi vektor!Interpretasi dari derifatif vektor!Gradien, divergendi dan c url!Penggunaan gradien, divergendi dan curlDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que35Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayak j izAzAzAzA3 2 1++=CONTOH:Diberikan fungsi vektor: (x,y) = a c os x i + a sin x j + y k x =a sin x i + a c os x jy = kJika = fungsi skalarA, B=fungsi vektor ; maka:a. AdtddtdA) A (dtd + = (A dan merupakan fungsi t)b. BxAxBA ) B A (t! ! !+=(AdanBmerupakanfungsix,y dan z)c . BxAxBA ) B A (x+ = (AdanBmerupakanfungsix,y, dan z)3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektora. Interpretasi geometrisJika C adalah kurva yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vektorr(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, maka:1. Derivatif dari kurva C di P, atauk j idtz(t) ddty(t) ddtx(t) ddtr(t) d(t) r' + = = =merupakan vektor singgung (tangent vec tor) dari kurva C di P.2. u = r'r' .. vektor singgung satuan (unit tangent)DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que36Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya) ( '0t r) ( : t r CP0t t = == =3.=badt r' r'! i panjangkurvaC,tb(lengthofac urve)4.=tadt r' r' s(t) ! panjangbusurat(arclengthofac urve)CONTOH:Diberikanfungsivektordarikurvayangberbentuklingkaransebagaiberikut: r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j 0 t 2 , maka:a) vektor singgung dari kurva di t = 2 adalah2t tcos 2 sin t-2 (t) r' = + = j i= -2ib) iiii = ==22 -22 -uc ) Panjang busur lingkaran (keliling lingkaran): + =2o22odt 4cost t sin dt r' r'!= =2o2odt 4 dt 4DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que37Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya=4 2t2o=b. Interpretasi dalam mekanikaJikaCadalahlintasansuatubendayangdinyatakandalambentukfungsi vektormaka:" dtt drr v) (' = = merupakan vektor kec epatan di suatutitik t." dtdsr' r' v = = ! laju (speed) atau besarnya kecepatandi sautu titik t."a(t) = v'(t) = r''(t) vektor perc epatanCONTOH :1. Gerak RotasiJika C : r(t) = R c os t i + R sin t jpersamaangeraksebuahpartikelPyangbergerakmelingkarberlawanan dengan arah jarum jam.Vektor kecepatan di sembarang titik pada lintasan tersebut.v(t) = r'(t) = R sin t i + R c os t jKec epatan sudut (kecepatan angular)RRt cos R t sin RRv2 2 2 2 2 2= = + + =Vektor perc epatan=a= v' = R 2t i R 2 sin t j= -2 r(t)Jadi,| a | = | - r(t)| = 2 R perc epatancentripetal(denganarahmenuju pusat lingkaran)2.Tentukanpersamaanlintasanpartikelyangbergerakdenganvektorperc epatana= 2 i2k,jikaposisiawalnyadititik(-1,1,2)danvektor kec epatan awalnya v(0) = jDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que38Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya + + + + = + + = k c t j c i c t k dt j dt i dt t v ) 2 ( ) 2 ( 2 0 2 ) (3 2 1 + + + + = k dt c j dt c i dt c t t r ) 2 ( ) 2 ( ) (3 2 1 k c t c t j c t c i c t c t ) ( ) ( ) (6 325 2 4 12+ + + + + + + =Kecepatan awal :0 , 1 , 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (3 2 1 3 2 1= = = = + + + + = c c c j k c j c i c vk t j i t t v 2 2 ) ( + = Posisi awal :k j i r 2 ) 0 ( + + = k c c j c c i c c r ) 0 . 0 ( ) 0 . ( ) 0 . 0 ( ) 0 (6 325 2 4 12+ + + + + + + =2 , 1 , 1 2 . . .6 5 4 6 5 4= = = + + = + + = c c c k j i k c j c i ck t j t i t t r ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) (2 2+ + + + = 3.3 Gradien, Divergensi Dan CurlDidefinisikan suatu operator vektor (dibac a del atau nabla) sebagaiberikut:k j i k j iz y x z y x ++=++= Jika= (x,y,z) adalah fungsi skalar, danA =(x,y,z) = A1 (x,y,z) i + A2 (x,y,z) j + A3(x,y,z)kadalah fungsi vektor yang mempunyai turunan pertama yangkontinu di suatu daerah.Maka :1. GRADIEN dari (x,y,z) didefinisikan dengangrad = =++zkyjxi=z) , , (y) , , (x) , , ( + + z y xkz y xjz y xi= kz y xjz y xiz y xz) , , (y) , , (x) , , ( + + DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que39Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya2. DIVERGENSI dari A(x,y,z):div A A ! = =z y x ++k j i=z) z y, x, ( Ay) z y, x, ( Ax) z y, x, ( A3 2 1++3. CURL atau ROTASI dari A(x,y,z):Curl A = A =( ) k j i k j i3 2 1A A Az y x+ + ++= 3 2 1A A Az y x k j i2 13 1 3 2A Ay xA Az xA Az x= k j i=k j iyAxAzAyAzAyA1 2 1 3 2 34.Operator Laplace (LAPLACIAN) 2 dari 2 =div () = div (grad )= + + ++k j i k j iz y x z y x!= ++= + + 222222222222z y x z y xRumus-Rumus :JikaA, B fungsi vektorU,V fungsi skalar, maka1. (U + V) = U + V atau grad (U + V) = grad U + grad V2. B div Adiv B) (A div atauB A B) (A + = + + = + ! ! !DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que40Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya3. B curl Acurl B) (A curl atauB A B) (A + = + + = + 4. ) A ( U A U) ( ) UA ( ! ! ! + = 5. ) A ( U A U) ( ) UA ( + = 6. ) B ( A A) ( B ) B A ( ! ! ! = 7. B) A( B ) B A ( ) A ( B A ) B ( ) B A ( ! ! ! ! + = 8. B) ( A A) ( B B ) A ( A ) B ( ) B A ( + + + = ! ! ! !9.2222222zUyUxUU ) U (++= = !disebut Laplac e dari U dan 2222222z y x ++= disebut Operator Laplace10. (U) = 0 curl dari gradien U = 011. 0 ) A ( = ! divergensi dari c url A = 012. 2A ) A ( ) A ( = !CONTOH:Misalkan = x2 yz3fungsi skalarA = xz i y2 j + 2x2 y kfungsi vektora. = grad = k j iz y x + + = 2xyz3 i + x2 z3 j + 3x3 yz2 kb. A A div ! = = ) y x 2 y xz (z y x2 2k j i k j i + ++!= z 2y + 0 = z 2yc . A A curl = =yk j i2 2x 2 y xzz y x= i (2x2 0) j (4xy x) + k (0 0)= 2x2 i (4xy x) jDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que41Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayad. A) ( div = A) ( != ) y 2x y - xz ( yz xz y x2 2 3 2k j i k j i +++!= k j i ) z y x (x) z y x (y) yz (xx3 2 4 3 3 2 4 3+= 3x2yz4 i 3x2y2z3 j + 6x4 y2z2 ke. ( ) ) x 2 y xz ( yz x A) ( A) ( curl2 2 2 2k j i + = = 3 2 4 2 3 2 3 3z y 2x z y x - yz xz y x =k j i =(4x4yz3 + 3x2 y3 z2) i (8x3 y2 z3 4x3 yz3) j + (2xy3z3 x3z4) k3.4 Penggunaan Gradien, Divergensi dan Curla.Derivatif berarah (directional derivatve)Misalkan temperatur sembarang titik (x,y,z) dalam sebuah ruanganadalahT(z,y,z).besarnyaT(x,y,z)tergantungpadaposisix,y,zdalamruangtersebut.sehinggatemperaturdisuatutitiktertentumungkinakanberbedadengantemperaturdititiklainnya.Karenaadanyaperbedaantemperaturini,makabisaditentukanbesarnyarata-rataperubahan(lajuperubahan)temperaturdarisatutitikketitiklainnyapersatuanjarak(panjang).Besarnyalajuperubahantemperatursesaatdisuatutitik,akantergantungpadaarahgeraknya,atauketitik mana yang akan dituju. Oleh sebab itu, laju perubahan ini disebutdengan derivatif berarah (direc tional derivative)Cara menentukan derivatif berarah:Diberikansuatumedanskalaryangdinyatakanfungsi (x,y,z).Besarnya laju perubahan dari fungsi(x,y,z) di titik (x0, y0, z0) persatuanjarak(panjang),denganarahgeraktertentu,misalkanvektorarahsatuannya u = ai + bj + c k, bisa ditentukan sebagai berikut,DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que42Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayatan kons = == = ) u uD atauu arah dalamdsdPersamaangarismelaluititik(x0,y0,z0)denganvektorarahsatuanu= ai + bj + c k, bisa dinyatakan dalam bentuk parameters z zbs y yas x xoooc + =+ =+ =Sehingga sepanjang garis tersebut, x, y, z akan merupakan fungsi darisatu variabel s. Jika x, y, z di atas didistribusikan dalam fungsi (x, y, z),maka akan merupakan fungsi dari s, artinya sepanjang garis gerak diatasmerupakanfungsidarisatuvariabels,sehingga dsdbisadihitung. =uuDdsd= czbyax dsdzz dsdyy s ddxx + + = + + = ( )"# "$ %" " " # " " " $ %uc b az y xk j i k j i + + = + + Jadi,u grad u Ddsduu! ! = = =DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que43Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaDefinisi perkalian skalar, diperoleh: cos u udsdu = =! ; adalah sudut antara dan vektor uKarena u vektor satuan, maka | u | = 1, jadi cosdsdu = nilai ini akan maksimum jika c os = 1 atau = 0, yaitu jika u searah dengan .Harga maksimum dari udsdadalah CONTOH:1. Tentukan derivatif berarah dari fungsi f = 2xy z2 di titik (2, 1, 1) dalamarahmenujutitik(3,1,-1).Dalamarahmanakahderivatifberarahiniakan berharga maksimum. Berapa nilai maksimumnya.a. Vektor arah titik (2, -1,1) menuju (3,1,-1) = (32)i + (1+1)j + (-1-1)k = i +2j 2k.Vektor arah satuan= u= 32 24 4 12 2 k j i k j i +=+ + +32z y xfk j ik j i+ +=++= = 2y i + 2x j 2z k(2,-1,1) uf D= (2,-1,1)f =32 2) z 2 x2 y2 (k j ik j i + + ! =) 1 , 1 , 2 ( 31) 4 x 4 y 2 (+ + = 33 , 3 ) 4 8 2 (31031= = + + b. Nilai Duf di atas akan maksimum jika arah geraknya searah denganf, dan besarnya nilai maksimum =1) , 1 , 2 (2 2 26 2 4 16 44z 4x 4y f= + + =+ + = DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que44Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya2. Jika (x,y,z) dalam ruangan pada suatu waktu tertentu. Tentukan lajupertumbuhantemperatursesaatdititik(2,-1,-1)jikabergerakkearahtitik (3,1,3)Vektor arah satuan = u =) 2 2 (314 4 12 2k j ik j i+ + =+ ++ +Laju perubahan temperatur di titik (2, -1, 1) dengan arah u =1) (2,-1, uf D = ) 2 2 (31) yz xy (3 2k j i + + + != ] 2 2 [31) yz 3 ) z xy 2 ( y [2 2 2k j i k j i + + + + + !=311) 6 2 8 1 (31= + Tanda negatif menunjukkanperubahanyangmenurunartinyaterjadipenurunan suhu jika bergerak dari titik (2, -1, 1) ke titik (3,1,3).b.Gradien sebagai vektor Normal LuasanMisalkan f(x,y,z) = C adalah persamaan luasan S dalam ruang (R3) danfungsivektorr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kadalahpersamaankurvayangterletakpadaluasanS.Karenar(t)terletakpadaf(x,y,z)=C,makaberlakuF[x(t), y(t), z(t)] = Cdan0tCtzzftyyftxxf==++0dtdzdtdydtdxzfyfxf= + +++! k j i 0dtr(t) df = !(t)] t'dtr(t) d[ f = DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que45Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaP) (t rf ) ( ' t rKarenar(t)merupakanpersamaankurvapadaluasans,makar'(t)=dtdrmerupakansinggungkurvar(t),yangberartivektorsinggungluasanSdititiktertentu.Jadi,fvektorluasan>berartifmerupakan vektor normal luasan S di suatu titik.Dan ffn== vektor normal satuan.CONTOH:Tentukan vektor normal dari keruc ut putaran:z2 = 4(x2 + y2) di titik P(1,0,2).Persamaan luasan dalam bentuk f(x,y,z) = 0 adalahf(x,y,z) = 4(x2 + y2) z = 0(1,0,2)2 2 2z 8 y8 x8 ) z ) y (4(x f k j i + + = + = = 8i 4k52804 816 644 8ffnk i k i k i ==+==DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que46Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayac. Penggunaan lain dari GradienMisalkanAadalahsuatupartikeldenganmassaMyangterletakpadatitiktetapPo(xo,yo,zo)danBadalahsuatupartikelbebasdengan massa m yang berada pada posisi P(x,y,z) dalam suatu ruang,makaBakanmengalamigayatarikdaripartikelA.menuruthukumNewtontentanggravitasi,arahgayapadalahPmenujuPo,danbesarnya sebanding dengan 1/ r2, antara P dengan Po.Sehingga,2prc= c =GMmG=6,67 = konstandan 2o2o2o) z (z ) y (y ) x (x r + + = ; r 0Dalam hal ini, p merupakan suatu vektor dalam ruang.Jika vektor jarak dari P ke Po,r = (x xo)i + (y yo)j + (z zo)k; | r | = rdan rrrr = =vektor satuan arah dari p(tanda minus menyatakan arah dari Po ke P)makavektor p= r r crrr c ) / ( ) / ( prr3 2= = = = k c j c i c3o3o3orz zry yrx x >fungsivektoryangmenyatakangayatarikmenarik antara dua partikel.Jika fungsi skala f(x,y,z) = c/ r ; r 0merupakanpotensialdarimedangravitasitersebut,ternyatabisadibuktikan bahwa grad f = p sebagai berikut:grad f=2o2o2o) z (z ) y (y ) x (xcy y x + + ++k j i = + + + i c2 / 3 2o2o2oo] ) z (z ) y (y ) x 2[(x) x 2(x -DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que47Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya+ + + j c2 / 3 2o2o2oo] ) z (z ) y (y ) x 2[(x) y 2(y -+ + + k c2 / 3 2o2o2oo] ) z (z ) y (y ) x 2[(x) z 2(z -= k crj cri cr3o3o3oz z y y x x = pSelain itu bisa dibuktikan bahwa:52o3 22) x 3(x 1 1x r r r+ =52o3 22) y 3(y 1 1y r r r+ =52o3 22) z 3(z 1 1z r r r+ =Jika dijumlahkan menjadi:+=r r r1z1y1x222222== 52o2o2o3) z (z ) y (y ) x (x33r r + + += 0 33523= +rrrSehingga, karena f = c / r maka0 f atau0zfyfxf2222222= =++Jadimedangayayangdihasilkanolehsebaranmassapartikelakanmerupakanfungsivektor(p)yangmerupakangradiendarifungsiskalar f (potensial dari medan gravitasi) dan f memenuhi sifat 2f = 0Dalam elektrostatis, gaya tarik menarik antara dua partikel bermuatanQ1 dan Q2 adalahrrk3p = (Hukum Couloumb)DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que48Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayadengan: =4Q Qk2 1; = konstanta elektrikDalam hal ini p adalah gradien dari fungsi potensial f = k/ r ; dengan2f = 0CONTOH:Jika potensial antara dua silinder konsentris adalahV(x,y) = 110 + 30 ln(x2 + y2) volt. Tentukan gaya listrik di titik P (2,5).Vektor gaya elektrostatik p = grad V) 5 2 (2960y x2y30y x2x30 p) 5 , 2 (2 2 2 2j i j i + = =+++= Arah gayanya searah dengan arah vektor pPenggunaan DifergensiDalam aliran fluida:Perhatikansuatualirantaktunak(non-steadystate)darifluidatermampatkan (c ompressible fluid), misalnya gas atauuap,dalam suaturuangan.Karenatermampatkan,makabesarnya (densitasmassa=massapersatuanvolume)akantergantungpadakoordinatx,y,danz.Dankarenaalirannyataktunakmaka jugatergantungpadat(berubah-ubah dari waktu ke waktu). Jadi =(x,y,z,t). Misalkan v(x,y,z) =v1i + v2j + v3k adalah vektor kecepatan sesaat dari partikel fluida di suatutitik (x, y, z)Selanjutnya,ambilsembarangbagianvolumeyangsangatkecildari ruangan tersebut, misalkan volume W seperti dalam gambar berikut.DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que49Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayazyx2v 3 3v v + ++ +1 1v v + ++ +3v 2 2v v + ++ +1v z x y ) WKarenaterdapataliranfluidayangc ompressibledalamruangantersebut,makadalamvolumeWjugaakanterjadiperubahanmassafluida. Untuk mengukur besarnya perubahan massa fluida dalam volumeW,bisadilakukandenganmengukurbesarnyaselisihmassafluidasebelum masuk dan saat meninggalkan W persatuan waktu.Jika, massa fluida yang melewati salah satu sisi dari WSelama t[komponenvektorkec epatanyangdenganmasing-masing sisi W] [luas permukaan sisi tersebut] [t)= fluks massa fluida pada masing-masing sisi W.Maka, untuk menghitung besarnya perubahan massa fluida yang melaluiW,bisadilakukandenganmenghitungjumlahfluksmassayangkeluardikurangidenganjumlahfluksmassayangmasukdarimasing-masingsisiW."Fluks massa yang masuk selama t melalui: sisi kiri=v2 x z t sisi belakang =v1 y z t sisi bawah =v3 x y t"Fluks massa yang keluar selamat melalui:DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que50Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya sisi kanan=(v2 + v2) x z t sisi depan =(v1 + v1) y z t sisi atas =(v3 + v3) x y tJumlah selisih massa fluida persatuan waktu persatuanVolume = ( yang keluar - yang masuk)/ volume/ waktu=) t ( z y xt yx v t z x v t z y v3 2 1 + + =zvyvxv3 2 1 + + Karena volume W diambil sangat kec il, makax 0y 0z 0Jadi, besarnya perubahan massa fluida persatuan waktu persatuanvolume dalam ruangan =zvyvxvzvyvxv3 2 1 3 2 1000lim++=++ zyx=) v v v (z y x3 2 1k j i k j i + + ++!=v !=) v ( divSementara itu, telah diketahui bahwa besarnya perubahan massafluida persatuan waktu persatuan volume akan sama dengan lajuperubahan (penurunan) densitas massa persatuan waktu, atau =t Jadi, tv div = AtauDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que51Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya0tv div = + merupakan persamaan kontinuitas dari alirannon-steady state dari fluida termampatkanJikaalirannyatunak(steadystate),yangberartibahwadensitasmassanya tidak tergantung pada t(tidak berubah dari waktu ke waktu),maka:0t= 0 v div = merupakan kontinuitas untuk aliran steadystate dari fluida termampatkan (c ompressible).Untukaliransteady-statedarifluidataktermampatkan(inc ompressiblefluid), berarti nya konstan (tidak tergantung pada x, y, dan z) maka,div v = div v = 0 ( 0)0 v div = persamaankoninuitasdarialiransteady-statedari fluida tak termampatkan (inc ompressible fluid).Penggunaan CurlDalam gerak rotasiMisalkansebuahbendaberputaruniformdengankecepatansudut(konstan) mengelilingi sumbu& .DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que52Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaO RPvr &Didefinisikanvektorkecepatansudut yangpanjangnya ,sejajarsumbu& denganarahmengikutiarahmajunyasekrupputarkananterhadap gerakan benda.JikaRadalahvektordarititik0di& kesembarangtitikPpadabenda,maka"radius putar titik P:r = | R | | sin |sehingga,"kecepatan linier titik P| v | = | R | | sin | = || |R | | sin | = | R |VektorvinimempunyaiarahbidangyangdibentukolehdanR,sehingga,R,danvmembentuksistemsekrupputarkanan.JadihasildariperkalianR,selainmemberikanbesarnyanilaivjugaakanmenentukan arah dari v.DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que53Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaJika titik 0 diambil sebagai titik asal koordinat, maka:R=xi + yj + zk dan= 1i + 2 j + ksehingga, v = R bisa ditulisv= (2z + 3 y)i (1z - 2x)j + (1y - 1x) kdancurl v = v =) x ( ) x ( ) y (z y x2 1 3 1 3 2 k j i= 2 1 i +2 2 j + 2 3 k = 2 Jadi,Kecepatan sudut dari sebuah benda yang bergerak uniform = c url dari kecepatan lintas sembarang titik.SOAL-SOAL LATIHAN1. Misalkanf= x2 + 9y2 + 4z2g = xy3 z2v=xz i + (y z)2 j + 2xyz kw =2y i + 4z j + x2z2 kTentukana. grad f di titik (3, -1, 0) Jawab : 6i 18jb. 2f Jawab : 28c . g f ! Jawab : 72 xy3 z2d.y x2 gJawab : 3 y2 z2e.v f ! Jawab : 2x2 z + 18y (y z)2+ 16 xyz2f. div w Jawab : 2 x2 zg. div v (c url v) Jawab : 11h. div (v k) Jawab : 0i. c url (v k) Jawab : xi 2(y z)j (2y z)kDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que54Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayaj. Dwf di (1, 1, 1) Jawab : 5 18k. Dwg di (3, 0, 2) Jawab : 0l. div (v + w) Jawab : 2y z + 2xy + 2x2z2. Jikar(t)menyatakanpersamaankurvalintasan,dengant=waktu.Tentukanvektorkecepatan,besarnyalaju(speed)danvektorperc epatan di P[x(t); z(t)], jikaa. r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k = ti + 3 t2jJawab: v = i + 12 j + k ;| v | =145; a = 6 jb. r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k = ti + 3 t2j + tk, di titik P (4,12,4)Jawab: v = i + 3j + k ;| v | =11; a = 03. Jika vektor posisi dari lintasan sebuah partikel dinyatakan dalam r = r(t)= t2i 2tj + (t2 + 2t)k, t waktu.a. Kapan(padasaatberapa)partikelakanmelintasdititik(4,-4,8). Jawab: t = 2b. Tentukan vektor kec epatan dan laju partikel di saat melintasititik (4,-4,8).Jawab: v = 4i 2j + 6k; | v | =14 2c. Tentukanpersamaangarissinggungdarikurvalintasanpartikel tersebut, dan bidang normal dari kurva di titik (4,-4,8)Jawab: (x 4)/ 4 = (y + 4)/ (-2) = (z 8)/ 62x y + 3z = 364. Jika berangkat dari titik (1,1) dalam arah manakah fungsi = x2 y2+2xyakanmenurundengancepat(menurunsecaramaksimum).Jawab= iDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que55Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya5. Jika diberikan medan skalar r = 2 2y x +danR = 2 2 2z y x + + , tentukana. Laplac e 2 dari ln r Jawab :0b. Laplac e 2 dari R Jawab :2/ R6. Jika potensial antara dua silinder konsentris adalah V(x,y) = 110 +30 ln(x2 + y2) volt. Tentukan arah garis-garis ekipotensialnya di titikP (2,5).Catatan:garisekipotensialadalahgarisyangtegaklurusdengan garis gaya elektrotatis.DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que56Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaBAB IVI IN NT TE EG GR RA AL L V VE EK KT TO OR R4.1 Integral Garis (Line Integrals)Konsepintegralgarismerupakangeneralisasi(perluasan)darikonsep integral tertentu abdx ) x ( f .Dalamintegraltertentu abdx ) x ( f ,fungsif(x)diintegrasikansepanjangsumbu x dari x = a sampai x = b, dengan f(x) adalah fungsi yang terdefinisipada setiap titik pada sumbu x antara sampai b.Dalam integral garis, akan diintegrasikan suatu fungsi F sepanjang kurva Cdalamruangataubidang,danfungsiFadalahfungsiyangterdefinisipadasetiaptitikdiC.KurvaC,olehsebabitudisebutsebagai lintasanintegrasi . Lintasan integrasi C merupakan kurva licin (smooth c urve) yangbisa dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor:r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k ; a t bdan r(t) mempunyai derivatif kontinu,) t ( ' r = k j idtdz(t)dtdy(t)dt) t ( dxdtdr+ = x' (t) i + y'(t) j + z'(t) kyang tidak nolDalam hal ini C merupakan kurva berarah dengan:A : r(a) = titik awal dari CB : r(b)= t akhir dari CArah dari A ke B sepanjang C disebut arah positif dari C dan dalamgambar, arah ini ditunjukkan dengan tanda panah.POKOK BAHASAN :!Integral garis!Teorema Green!Medan Gaya Konservatif!Integral luasan!Teorema divergensi Gauss!Teorema StokesDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que57Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaJika A = BC disebut kurva tertutup.Definisi Integral GarisIntegral garis dari suatu fungsi vektor F(r) sepanjang kurva C yangterdefinisikan pada a t b, didefinisikan sebagai:dr ) r ( FC! =badtdtdr) t ( r [ F !=badt ) t ( ' r ) t ( r [ F !Jika,r (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) kk j idt) t ( dzdt) t ( dydt) t ( dxdtdr) t ( ' r + + dr = dx(t) i + dy(t) j + dz(t) kF(r) = F1 i + F2 j + F3 kmaka:dr ) r ( FC! = [ ] ) t ( dz F ) t ( dy F ) t ( dx F3 2 1 C+ + = 1]1

+ +ba3 2 1dtdtdzFdtdyFdtdxF= [ ]+ +ba3 2 1dt ) t ( ' z F ) t ( ' y F ) t ( ' x F"Integral garis sepanjang lintasan C yang tertutup dinotasikandengan Cdr ) r ( F !Contoh) t ( r : C) b ( r B) a ( r A ) a ( r A ) b ( r BCDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que58Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya1. Tentukan integral garis Cdr ) r ( F ! , jikaF(r) = y i + xy jC: adalah busur lingkaran seperti dalam gambar berikut dari titik Ake titik B. C: r(t) = c ost i + sint jSehingga,x(t) = c ost ty(t) = sin t0 t 2dan F[r(t)] = sin t i + sin t c os t jf' = sin t i + c os t j Cdr ) r ( F ! =badt ) t ( ' r )] t ( r [ F !=+2 /a2 2dt ] t cos t sin t [sin= 2 /022 /0t cos d t cos dt2t 2 cos 1=2 /o3t cos31t 2 sin41t21 =314 310 0 t4+ + 2. Tentukan nilai integral garis pada contoh 1, jikaC : garis lurus yang menghubungkan A dan B) 0 , 1 ( A) 1 , 0 ( BC0) 0 1 ( A) 1 , 0 ( BCDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que59Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaC : r(t) =(1 t) i + t jx(t) = 1 t= t 0 t 1F[r(t)] = t i + t(1 t) j r'(t) = i + j Cdr ) r ( F ! = +1010dt ] t t 2 [ dt )] t 1 ( t t [=32311 t31t103 2 "Dari dua contoh di atas terlihat bahwa nilai integral garis selaintergantung pada batas integrasi, juga tergantung padalintasannya.3. Tentukan cdr ) r ( F ! , jikaF(r) = z i + j + y kC : r(t) = c os t i + sin t j + 3t k,0 t 2x(t)= c os ty(t)= sin tz(t) = 3tF[r(t)] = 3t i + c os t j + sin t k r'(t) = sin t i + c os t j + 3 kCdr ) r ( F ! = [ ]+ + 2 /02dt t sin 3 t cos t sin t 3= +++2 /02 /02 /0dt t sin 3 dt2t 2 cos t 1t cos t 3= t cos 3 t 2 sin41t21] tdt cos t cos t [ 3 + + DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que60Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya= 2 + + 0t cos 3 t 2 sin41t21t sin 3 t cos t 3Interpretasi Integral GarisDalam MEKANIKAUsaha yang dilakukan oleh guru konstan F yang bergerak sepanjangvektor lurus d adalahd F W ! Jika gaya F tidak konstan (merupakan fungsi variabel), dan bergeraksepanjang kurva C = r(t), maka besarnya usaha yang dilakukan olehgaya F bisa ditentukan dengan menghitung nilai limit dari jumlahusaha yang dilakukan oleh F sepanjang segmen kecil dari C, jika Cdibagi menjadi n buah segmen kecil-kecil sehingga setiap segmenmendekati garis lurus.Untuk sembarang m; 1 m n, maka)] t ( r ) t ( r [ )] t ( r [ F Wm m m m !Sementara,mmm mt) t ( r ) t ( rlim0 t ) t ( ' r tm = tm + 1 tmJadi,m m m m m mt ) t ( ' r ] t ) t ( ' r )] t ( r [ F W ! !karena n , maka: n1 mm m mnn1 mmnt ) t ( ' r )] t ( r [ F lim W lim W !Cnt b 1 mt+ mt0t a 1t2t 3tDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que61Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya = badt ) t ( ' r )] t ( r [ F ! Cdr ) r ( F W Usaha !"Karena) t ( vdtdr= vektor kecepatanmaka: W = Cbadt ) t ( v )] r [( F dr ) r ( F ! !"Dari hukum Newton II : F = ma, bisa diturunkan F = m r''(t) = m v' (t)Sehingga,W =

,_

ba'badt2v vm dt ) t ( v ) t ( ' v m!!= [ ]ba2ba'2v2mdt v2m= [ ]22) a ( v v(b)2mdengan 2v2m = energi kinetikBentuk-bentuk lain Integral GarisBentuk-bentuk berikut merupakan kejadian khusus dari integral garisCdr ) r ( F ! ,Jika F = F1 iCdr ) r ( F ! =C1dx FF = F2 jCdr ) r ( F ! =C2dy FF = F3 k Cdr ) r ( F ! =C3dz FBentuk :dt )] t ( r [ f dt ) r ( fbaC !C : r(t); a t bMerupakan bentuk khusus dari Cdr ) r ( F ! , jikaDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que62Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaF = F1 i dan F1 =dt / dx)] t ( r [ f, sehingga) t ( ' x FdtdxF f1 1 Jadi,Cdr ) r ( F ! =C1dx F ! =Cdxdt / dx)] t ( r [ f=badt ) t ( r [ fContohTentukan + +C2 2 2 2dt ) z y x ( jikaC : r (t) = c os t i + sin t j 3t k ; 0 t 2f = (x2 + y2 + z2)2r(t) = c os t i + sin t j + 3t kx(t) = c os ty(t)= sin tz(t) = 3tf[r(t)] = [cos2t + sin2t + 9t2]2 = (1 + 9t2)2+ + C2 2 2 2dt ) z y x ( =+202 2dt ) t 9 1 (=+ +204 2dt ] t 81 t 18 1 [= t2 + 6t3 + 20t581=5 325259248 2 + + DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que63Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaSifat-sifata. C Cdr ) r ( k dr F(r) k ! ! ; konstantab. [ ] + +C C Cdr ) r ( G dr ) r ( F dr G(r) F(r) ! ! !c . + C C C2 1dr ) r ( F dr ) r ( F dr F(r) ! ! ! ;jikalintasanCdibagimenjadidua busur,yaitu C1, dan C2 dengan arah yang sama dengan arahC.Contoh Soal1. Tentukan Cdr F(r) ! ; jikaa. F = y2 i x4 jC : r(t) = t i + t1 j; 1 t 3b. F=y2 iC : sepanjang kurva x2 + 4y = 4 dari (2, 0) ke (0, 1)c . F = 3y i + x jC : segmen garis lurus dari (0, 0) ke (2, 2 ) a.;1t ) t ( yt ) t ( xj ij i24 2t ) t ( ' rt t F Cdr F(r) ! = [ ]313 1312 2t31t dt t t + + =328311327311]1

+ 1]1

b.Cdr F(r) ! =C2dx y ; 2 x 0C :x2 + 4y2= 4 4y2= 4 x2y2=4x 42DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que64Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaCdr F(r) ! =020232x31x 441dx4x 4 1]1

=34)388 ( 041 1]1

c .Persamaansegmengaris dari (0, 0) ke (2, ),adalah:y =41, 0 x 2; t41) t ( yt ) t ( xr(t) = t i + 41t jF[r(t)] =43t i t jr'(t) = i + 41j1 t41dt t21dt t41t43dr F(r)2020220C 1]1

!2. Tentukan usaha yang dilakukan oleh harga F = xi zj + 2yk yangbergerak sepanjang C : z = y4, x = 1;dari (1, 0, 0) ke (1, 1, 1);4t zt y1 xr(t) = i + tj + t4k ; 0 t 1F[r(t)] = i t4j + 2t k r'(t) =j + 4t3k21 ) , 2 (212 0) , 0 (yxDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que65Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya Cdr F W ! = [ ] + 10105 4104 4t57dt t 4 dt t 8 t=573. Tentukan +C2 2ds ) y (x , jikaC : lintasan y = 2x dari (0, 0) ke (1, 2)ds =2 2dy dx +y=2xdy = 2dxds = 5 dx ) dx 2 ( dx2 2 + ; 0 x 1+ C2 2ds ) y (x = +102102 2dx x 5 5 dx 5 ) x 4 (x=35 5x35 51034. Tentukan +C2 2dy x dx y ; jikaC : Lintasan trapezium seperti dalam gambar berikut+C2 2dy x dx y = + + + + ) dy x dx y ( ) dy x dx y (2 C2 2C2 21) dy x dx y ( ) dy x dx y (4 C2 2C2 23 + + +"Lintasan C1:) 2 , 2 () 2 , 0 ( 0) , 0 (yx1) , 0 (3C2C4C1CDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que66Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya2 t 00 dy..........0 ydt dx..........t x + +20202C2 20 dt 0 ) 0 t dt 0 () dy x dx y (1"Lintasan C2:2 t 00 dy..........0 ydt dx..........t x + +2020202C2 28 4t dt 4) dt 4 0 t ( ) dy x dx y (1"Lintasan C3:0 t 2dt21dy 121ydt dx t x + 6 ) 22448( 0t t21t123) 1 t t43(dt21. t ) dt ) 1 t21( ) dy x dx y (022 3 2022 2C2 23 + + + + + ++ + + "Lintasan C4:0 t 1dt dy..........t y0 dx..........0 x + + +012 2C2 20 ) dt 0 0 t () dy x dx y (42 0 6 8 0 dy x dx y2C2 + + + 5. TentukanbesarnyausahadalamgerakanpartikelyangmenjalanilintasansatuputaranelipsCdibuangdibidangXOY,jikaelipstersebutberpusatdititik0dengansumbupanjang4dansumbupendek 3, dan jika medan gayanya diberikan oleh:F = (3x 4y + 2z)i + (4x + 2y 3z2)j + (2xz 4y2 + z3) kPersamaan ellips :14y3x2222 +DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que67Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya116y9x2 2 + ; z = 0Misalkan;0 zt sin 4 yt cos 3 x + 2 t 0t sin 4 t cos 3 ) t ( r j iF[r(t)] = [9 cost 16 sint] i+ [12 c ost + 8 sint] j + [16 sint] kr'(t) = 3 sint i + 4 c ost jW = 2+ + 0dt ) t sin 8 t cos 12 ( t cos 4 ) t sin 16 t cos 9 ( t sin 3= 2+ + + 02 2dt ) t cos t sin 32 t cos 48 t sin 48 t cos t sin 27 (= 2+ +0dt ) t cos t sin 5 48 (= 2 2+0 0) t sin ( d t sin 5 dt 48 (= + 96 0 96 t n si25t 4820220Soal-Soal1. Hitunglah Cdr ] r [ F jika:F[r] = [x + y] i + [y x] ja. C : Parabola y2 = x dari [1, 1] sampai [4, 2]b. C : Garis lurus dari [1, 1] sampai [4, 2]c . C : Garis lurus dari [1, 1] ke [1, 2] dan dilanjutkan ke [4, 2]2. Hutunglah r d . ] r [ FCjikazyx34DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que68Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaF[r] = [2x y + 4] i + [5y + 3x 6] ja. C : Sekelilingsegitigadibidangxoydengantitik-titiksudut[0,0][3,0], [3,2] yang dijalani berlawanan arah jaru jam.b. C : Sekeliling lingkungan berjari-jari 4 dan berpusat di [0, 0]3. Hitunglahds ] y x [C2 2+ jikaa. C : Sepanjang busur lingkaran x2 + y2 = 4 dari [2, 0] sampai [0,2]b. C : Sepanjang sumbu x dari [0, 0] ke [1, 0] kemudian dilanjutkanke [1, 1]Jawab1. a.334; b. 11 ; c . 02. a. 12 ; b. 643. a. 4 ; b.35DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que69Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya4.2. Teorema Green Transformasi Integral Rangkap Dua Ke Integral GarisIntegralrangkapduayangmeliputisuatudaerahdalambidangXOYbisaditransformasikankedalamintegralgarissepanjangbatasdaridaerah tersebut atau sebaliknya. Transformasi tersebut dilakukan denganteoremaGreenpadabidang.TransformasidenganteoremaGreeninipentingkarenabisadigunakanuntukmembantumengevaluasiperhitungan integral dengan lebih mudah.Teorema Green :Misalkan R adalah daerah tertutup dan terbatas pada bidang XOYyang batas C nyaerdiriatassejumlahkurvalicin(smoothc urve)yangberhingga, misalkan F1(x,y) danF2(x,y) adalah fungsi-fungsi yang kontinudan mempunyai derivatif parsial yF1dan xF2dalamdomainyangmemuat R, maka :

1]1

yFxFR1 2dx dy = +C Cdr F dy F dx F ! ] [2 1Integrasi ini dilakukan sepanjang batas C di R.y CR xApabila ditulis dalam bentuk vektor menjadi : Rk CurlF! ] [ dxdyDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que70Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya=Cdr F !F = F1(x,y) i + F2(x,y)CONTOH :Misalkan : F = (y2 - 7y) i + (2xy + 2x) jF1 = y2 - 7yF2 = 2xy + 2x C : lingkaranx2 + y2 = 1 y 1-1 1 x -1Ruas Kiri :

1]1

RyFxF1 2dx dy = ] [ +Ry y ) 7 2 ( ) 2 2 (dxdy= 9 Rdxdy= 9 x luas lingkaranx2 + y2 = 1=9Ruas Kanan :r(t) = cos t i + sin t j ;0t2x(t) = cos ty(t) = sin tF1[r(t)] = sin2 t - 7 sin tF2[r(t)] = 2 cos t sin t + 2 cos tr'(t) = - sin t i + cos t jCdr F ! = [ ]+ + 202) )(cos cos 2 sin cos 2 ( ) sin )( sin 7 (sin t t t t t t t dtDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que71Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya = [ ]+ + + 202 2 2 3cos 2 sin cos 2 sin 7 sin t t t t t dt =[ 202cos ) cos 1 ( t d t + 27[ ] 20cos 1 t dt-2 202cos cos t td ++ 20) 2 cos 1 ( dt t = cos t -+ t331cos t t t t t 2 sin cos 2 sin213324727+ + 20 = 9 2 227 + Bukti Teorema Green : yyC** d p(y)v(x) q(y) C* cu(x) x xa bMisalkanRadalahdaerahyangdibatasiolehlengkungC=C*C**seperti dalam gambar, maka : a x b;u(x) y v(x) c y d;p(y) x q(y)RyF1 dx dy =[ba) () (1x vx uyF dy] dx =) , (1y x Fba ) () (x v yx u y = [ ]bax u x F x v x F )] ( , [ )] ( , [1 1 dx = dx x v x Fba)] ( , [1 - dx x u x Fba)] ( , [1 =-dx x v x Fab)] ( , [1 - dx x u x Fba)] ( , [1 =-dx y x FC] , [**1 - dx y x FC] , [*1DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que72Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya =-Cy x F ) , (1 dxSecara sama :RxF2 dx dy =[dc) () (2y qy pxF dx] dy=) , (2y x Fdc ) () (y q xy p x = [ ]dcy y p F y y q F ] ), ( [ ] ), ( [2 2 dy = dy y y q Fdc] ), ( [2 - dy y y p Fdc] ), ( [2 =dy y y q Fdc] ), ( [2 + dy y y p Fcd] ), ( [2 = dy y x FC] , [*2 +dy y x FC] , [**2 = Cy x F ) , (2 dy RxF2 dx dy - RxF2 dx dy= Cy x F ) , (2 dy+Cy x F ) , (1 dxatau :

1]1

yFxFR1 2dx dy = +C Cdr F dy F dx F ! ] [2 1Luas Daerah Pada Bidang Sebagai Integral Garis Dalam Lintasan TertutupJikaF1 = 0F2 = x , maka Rdxdy =Cxdy danjikaF2 = yF1 = 0 , makaRdxdy =-Cydxsehingga, Rdxdy =21 Cydx xdy ) (KarenaRdxdy= A= luas daerah yang dibatasi oleh bidang Rmaka,DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que73Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaA =Rdxdy =21 Cydx xdy ) (Luas Daerah Pada Bidang Dalam Koordinat Polar.Misalkan : x = r cos dx = cos dr - r sin d y = r sin dy = sin dr + r cos dA =Rdxdy =21 Cydx xdy ) (= 21)] sin (cos sin ) cos (sin cos [ d r dr r d r dr rC += 21] sin cos sin cos sin cos [2 2 2 2 d r dr r d r dr rC += 21] sin cos [2 2 2 2 d r d rC+=21 d rC2A =21 d rC2CONTOH :1.DenganmenggunakanteoremaGreententukandr r FC! ) (sepanjang lintasan C, jikaF = 3x2 i - 4xy jC :sekeliling segi 4 dengan batas0 x 4 ; 0 y 1 dengan arahberlawanandengan arah jarum jam.Penyelesaian : y(0,1)(4,1)x(0,0) (4,0)F = 3x2 i - 4xy jF1 = 3x2 yF1 =0F2 = 4xy yF2= -4ydr r FC! ) ( = +Cdy F dx F ] [2 1DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que74Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya Teorema Green : +Cdy F dx F ] [2 1 1]1

yFxFR1 2dx dy = 40 10) 0 4 ( ydy dx=40-2y dx10 = 40-2 dx = -2x 10 = -82. Tentukan luas daerah yang dibatasi ellips 12222 +byaxPenyelesaian :y bx = a cosdx = - a sin d-a axy = b sin dy = b cos dA =21 Cydx xdy ) ( =21)] sin ( sin ) cos cos [20 d a b d b a =21 d ab ab ] sin cos [2202+ = 21bd a20 =21 ab 20 = ab3. Tentukan luas Kardioidar =a(1 - cos ) ; 0 2Penyelesaian :ya 2ax-aLuas Kardioida = C21r2 d =20221)] cos 1 ( [a dDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que75Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya =+ 202 221)] cos cos 2 1 ( [a d =1]1

++ 20222 cos 1sin 22da = [ ] 20412122 sin sin 22+ + a = ]204122 sin2321]1

a = ] [ 0 322 a=232a SOAL-SOAL :1. Dengan teorema Green tentukan] ) 2 ( ) [(2 2 2dy xy y dx xy xC + dengan C : lintasan bujur sangkar dengan titik-titik sudut (0,0); (2,0);(2,2); (0,2)Jawab :82. Dengan teorema Green tentukan ] ) [(2 2 3dy xy dx y x xC+ dengan C : daerah yang dibatasi lingkaranx2 + y2 = 4dan x2 + y2 =16Jawab :1203. Dengan teorema Green tentukanCdr r F ! ) ( , jikaF = xy2 i - x2y jC : batas daerah yang dibatasi oleh x 0 ; 0 y 1-x2Jawab :-1/34. Tentukan luas daerah di kuadran I yang dibatasi oleh y = xdany = x3Jawab :1/45. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh hiposikloida 3 / 2 3 / 2 3 / 2a y x +Persamaan parameternya adalah : x = a cos3t y = a sin3t ; 0 t 2Jawab : 3 82aDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que76Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya4.3. Medan Gaya Konservatif. Integral Garis yang tidak tergantung pada bentuk lintasanDalambidang (R2) :Jika F(x,y) =F1(x,y) i + F2(x,y) j r=x i + y jdr = dx i + dy jTeorema : Syarat perlu dan cukup untukdy F dx F dr FC C2 1+ !tidaktergantung pada bentuk lintasan C yang menghubungkan duatitik pada daerah R dalam bidang R2adalah :

xFyF2 1atau jika bisa ditemukan suatu fungsi (x,y) sedemikian hingga :

21FyFxKejadian khusus jikaC lintasan tertutupdan xFyF2 1 maka0 dr FC!BUKTI : F! dr =F1(x,y) dx + F2(x,y) dyKarenaxFyF2 1 ,maka pasti dapat ditemukan fungsi (x,y)sedemikian hingga:

;21FyFx,sebabx y yF 21 = y x xF 22DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que77Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaJadi:Fdr = x dx+y dy=dMisalkan C adalah lintasan dari (x1, y1) ke titik (x2, y2), maka CFdr = ) , () , (2 21 1y xy xd = ) , () , (2 21 1y xy x = (x2, y2)- (x1, y1)Terbuktibahwanilaiintegralnyahanyatergantungpadabatasintegrasinya (batas C)dan tidak tergantung pada bentuk lintasannya.JikaClintasantertutup,makax1=x2dany1=y2sehinggaCFdr= 0CONTOH :1. a. Buktikan bahwa + + ) 1 , 2 () 0 , 1 (3 2 4] ) 4 ( ) 3 2 [( dy xy x dx y xy tidak tergantungpada lintasan yang menghubungkan (1,0) dan (2,1).b. hitung nilai integral garisnya.Penyelesaian :a.F1 = 2xy - y4 + 33 14 2 y xyF F2 = x2 - 4xy3 xxF22- 4y3 KarenaxFyF2 1 , jadi integral garis tersebut tidak tergantung padabentuk lintasan.b.Dari 1Fxmaka =dx y xyx) 3 2 (4+ =x2y-xy4+3x+g(y)..............(i)Dari 2Fymaka =dy xy xy) 4 (3 2 =x2y-xy4+h(x)..............(ii)Fungsi = dy F dx Fy x 2 1(i) = (ii) x2y - xy4 + 3x + g(y) = x2y - xy4 + h(x)DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que78Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayag(y) =0h(x) = 3x= x2y - xy4 + 3x + + ) 1 , 2 () 0 , 1 (3 2 4] ) 4 ( ) 3 2 [( dy xy x dx y xy=) 1 , 2 () 0 , 1 (= x2y - xy4 + 3x) 1 , 2 () 0 , 1 ( =(22.1 - 2.14 + 3.2) - (12.0 - 1.0+ 3.1) =8 - 3 = 52. HitungCFdr , jika :F = (2xy3 - y2 cos x) i + (1 - 2y sin x + 3x2y2) jC : sepanjang parabola 2x = y2 dari (0,0) ke (2, 1)Penyelesaian :F1 = 2xy3 - y2 cos x-----------------x y xyyFcos 2 62 1 F2 = 1 - 2y sin x + 3x2y2 -------------------------- 2 26 cos 2 xy x yxF+ Karena xFyF2 1,jadiintegralgaristersebuttidaktergantungpada bentuklintasan.Mencari fungsi :Dari1Fxmaka = dx x y xyx) cos 2 (2 3 =x2y3-y2sinx+g(y)............(i)Dari2Fymaka = dy y x x yy) 3 sin 2 1 (2 2+ =y-y2sinx+x2y3 +h(x)..........(ii)Fungsi = dy F dx Fy x 2 1(i) = (ii) x2y3 - y2sinx + g(y) = y - y2sinx + x2y3 + h(x)g(y) =y h(x) =0=x2y3 - y2sinx + yDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que79Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya CFdr= ) 1 , () 0 , 0 (2= x2y3 - y2sin x + y) 1 , () 0 , 0 (2= ( 12sin . 1 1 .42 32+ ) - (0- 0 + 0)= 1 142+ =423.HitungCFdr , jika F = (x2y cosx + 2xy sinx - y2 ex) i + (x2 sinx - 2y ex) j C :keliling hiposikloida3 / 2 3 / 2 3 / 2a y x +Penyelesaian :F1 = x2y cosx + 2xy sinx - y2 ex -------xye x x x xyF2 sin 2 cos2 1 + F2 = x2 sinx - 2y ex ------xye x x x xxF2 cos sin 22 2 + Karena xFyF2 1,jadiintegralgaristersebuttidaktergantungpada bentuklintasan.Dan karena C lintasan tertutup maka CFdr = 0DalamRuang (R3) :Jika F(x,y) =F1(x,y) i + F2(x,y) j + F3(x,y) k r=x i + y j + z kdr = dx i + dy j + dz kTeorema :Syarat perlu dan cukup untukdz F dy F dx F dr FC C3 2 1+ + !tidaktergantung pada bentuk lintasan C yang menghubungkan dua titikpada daerah R dalam ruan R3 adalah :DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que80Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya Atau : atau jikabisa ditemukan suatu fungsi (x,y)sedemikian hingga :

1Fx;2Fy ;3FzBUKTI :F! dr =F1(x,y,z) dx + F2(x,y,z) dy + F3(x,y,z) dzKarenaxFyF2 1;xFzF3 1 ; yFzF3 2,maka pasti dapat ditemukan fungsi (x,y,z) sedemikian hingga :

321FzFyFx ,sebaby z yFz y zFx z xFz x zFy x xFx y yF 232223212221Jadi:F dr = x dx+y dy + z dz =dMisalkan C adalah lintasan dari (x1, y1, z1) ke titik (x2, y2, z2), maka CFdr = ) , , () , , (2 2 21 1 1z y xz y xd = ) , , () , , (2 2 21 1 1z y xz y x = (x2, y2, z2)- (x1, y1, z1)Terbuktibahwanilaiintegralnyahanyatergantungpadabatasintegrasinya(batasC)dantidaktergantungpadabentuklintasannya.xFyF2 1xFzF3 1yFzF3 2Curl F =x F =0DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que81Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaKejadian khusus jikaC lintasan tertutupdan Curl F = 0 maka0 dr FC!JikaFadalahmedangayayangbekerjapadasuatuobyekyangbergerak sepanjanglintasanC,makamedangayaFdisebutmedan gaya konservatif apabila usaha yangdilakukanolehgayaFuntuk menggerakkan obyek sepanjang lintasan C tadi tidak tergantungpada bentuk lintasannya, tetapi hanya tergantung pada titik awal dan titik akhirnya saja.CONTOH :1.a. Buktikan bahwa F = (2xz3 + 6y) i + (6x - 6yz) j + (3x2z2 - y2) k adalah medan gaya konservatif.b.HitungusahayangdilakukanolehgayaFuntukmenggerakkanbenda dari titikP(1,-1,1)ke titik Q(2,1,-1)Penyelesaian :a. F medan gaya konservatif jikax F = 0atau Curl F = 0Curl F = 2 2 2 33 2 6 6 2 y z x yx x y xzz y xk j i += (-2y + 2y)i-(6xz2 -6xz2)j+(6-6)k= 0 Karena curl F = 0 , maka F merupakan medan gaya konservatif.b. y xzx6 23+ = x(2xz3 + 6y) dx =x2z3 + 6xy + g(y,z) ...........(i) yz xy2 6 = y(6x - 2yz) dy =6xy - y2z + h(x,z) ........... (ii)

2 2 23 y z xz = z(3x2z2 - y2) dz =x2z3 - y2z + k(x,y........... (iii)(i) = (ii) x2z3 + 6xy + g(y,z)=6xy - y2z + h(x,z)g(y,z)= - y2zh(x,z)=x2z3 (i) = (iii)x2z3 + 6xy + g(y,z)=x2z3 - y2z + k(x,y)DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que82Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya g(y,z) = - y2z k(x,y) =6xy= x2z3 + 6xy - y2zW = dr FC!=QP = x2z3 + 6xy - y2z) 1 , 1 , 4 () 1 , 1 , 1 ( =[ 42.(-1)3 + 6.(4).1 - 12.(-1)] - [ 12.(-1)3 + 6.1.(-1) - (-1)2. 1] = 152.HitungusahayangdilakukanolehgayaF=yi+(x+y)j+z5kyangbekerjasepanjanglintasanC:x2+y2=1danz=y,dari titik (0,1,1) sampai titik (1,0,0)Penyelesaian :Curl F = 5z y x yz y xk j i+= (0 - 0)i - (0 - 0) j + (1-1)k = 0Karena curl F = 0 , maka Fmedan gaya konservatif W = dr FC! =) 0 , 0 , 1 () 1 , 1 , 0 (Mencari fungsi:yx = xy dx =xy + g(y,z) ...............(i)y xy+ = y(x + y) dy =xy + 21y2 + h(x,z) ............... (ii) 5zz= zz5 dz =61z6 + k(x,y)............... (iii)(i) = (ii) xy + g(y,z)=xy + 21y2 + h(x,z)g(y,z)= 21y2 + h(x,z) (i) = (iii)xy + g(y,z)=61z6 + k(x,y)DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que83Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya k(x,y) =xy + g(y,z) -61z6=xy + 21y2 + h(x,z) - 61z6 (ii) = (iii) xy + 21y2 + h(x,z)=61z6 + k(x,y)k(x,y)=xy + 21y2h(x,z)= 61 z6= xy +21y2 + 61z6 W = dr FC! = ) 0 , 0 , 1 () 1 , 1 , 0 ( = (xy +21y2 + 61z6) ) 0 , 0 , 1 () 1 , 1 , 0 ( = (0 + 0 + 0) - (0 +21+ 61)=- 32SOAL-SOAL :1. Tentukan besarnya usaha W yang dilakukan oleh gaya F = yz i + xz j +xy kuntuk menggerakkansuatupartikelsepanjanggarislurusdari P(1; 1,1; 1) ke Q(3; 3; 2).Jawab :172. Hitung dr FC!, jikaF = 2xy i + (x2 + z) j + y k C : lintasanx2 + y2 = 1;z = x dari (1,0,1)ke (0,1,0) Jawab = 03. Hitung dr FC!, jikaF = 3x2 e3y i + 3x3 e3yj - 3e-3z k C : kelilingellips 25x2 + y2 = 25;z = 0 berlawanan arah dengan jarumjam. Jawab = 0DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que84Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya4.4. Integral Luasan / Integral Permukaan ( Surface Integrals)A.Penyajian Persamaan Luasan /Permukaana. Penyajian Dalam Koordinat Kartesiusz = f(x,y) atau g(x,y,z) =0Misalnya :z = 2 2 2z y x + + atau x2 + y2 + z2 - a2 = 0x2 + y2 + z2= a2merupakanluasandariboladenganjari-jariadanberpusatdititikO(0,0,0).zaayaxb.Penyajian dalam bentuk fungsi vektorr(u,v) = x(u,v) i + y(u,v) j + z(u,v) k ,(u,v)RCONTOH :1. Luasan berupa bidang segi empat 0 x a;0 y b; z = c z c x(u,v) = u ; 0 u a y(u,v) = v ; 0 v b z(u,v) = c b yr(u,v) = u i + v j + c k a2.Luasan berupa bidang 0 z (a-x) ; 0 x a;y = cDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que85Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya za x(u,v) = u ;0 u a a-xy(u,v) = cyz(u,v) = v ;0 v (a-u)a c r(u,v) = ui + c j + v k3. Luasan berupa bidang 1 + +czbyax di oktan Iz cbx(u,v) = u ; 0 u ayy(u,v)=v;0v) / 1 ( a u b a z(u,v) =c(1 - u/a - v/b)r(u,v) = u i + v j + c(1-u/a-v/b) k4.Luasan berupa bidang y2 z c2 ;0 y c ; x = a z cx(u,v) = ay(u,v) = u ; 0 u cz(u,v) = v ; u2 v c2 z = c2 r(u,v) = a i + u j + v k c ya5.Luasan berupa bidang lingkarany2 + z2 = a2di x = c ;zx(u,v) = cy(u,v) = u cos v; 0 u ac y z(u,v) = u sin v ; 0 u 2r(u,v) = c i + u cosv j + u sinv k xDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que86Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya6. Luasan berupa silinder putar :x2 + y2 = a2;-c z c x(u,v) = a cos u y(u,v) = a sin u; 0 u 2z(u,v) = v ;-c v cr(u,v) = a cos u i + a sin u j + v kz c ayax-c7. Kerucut Putar : z = 2 2y x +z2 =x2 + y2; 0 z czc x(u,v) = u cos vy(u,v) = u sin v;0 u cz(u,v) = u ;0 v 2 -cc yr(u,v) = u cos v i + u sin v j + u k x8.Luasan Bola: x2 + y2 + z2 = a2 ;di oktan I dan II a. z

P u v yx P'x(u,v) = a cos v cos u ; 0 u DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que87Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya y(u,v) = a cos v sin u; 0 v /2 z(u,v) = a sin v r(u,v) = a cos v cos u i + a cos v sin u j + a sin v k b.zPvu yxx(u,v) = a cos u cos v ; 0 u y(u,v) = a sin u sin v; 0 v /2 z(u,v) = a cos ur(u,v) = a cos u cos v i + a sin u sin v j + a cos u kB.Bidang Singgung Dan Normal LuasanUntuk menghitug Integral Garis digunakan vektor singgung dari lintasan C,yaitu r'(t), sehingga integral garis bisa didefinisikan sebagai : Cbadt t r r F dr r F ) ( ' ) ( ) ( ! !Secara sama , dalam menghitung Integral Luasan akan digunakan vektornormalluasan,yangakanditentukandaribidangsinggungnya.BidangsinggungsuatuluasanSdititikPdiSyangdinotasikandenganT(P),adalah bidang yang memuat garis singgung di titik P dari semua kurva diS yang melalui P.UntukmenentukanbidangsinggungT(P)darisuatuluasanSyangdinyatakandalambentukfungsivektorr(u,v),bisaditurunkandarikenyataanbahwasuatukurvadiSbisadinyatakandalambentukpasangan fungsi-fungsi kontinu sebagai berikut : u = u(t)dan v = v(t)DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que88Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaFungsi-fungsi u(t) dan v(t) tersebut menyatakan kurvaataulintasanyangterletakpadaluasanS,sehinggau(t)danv(t)akanmemenuhipersamaan r(u,v), yaitu : r~(t) = r[u(t),v(t)]persamaan kurva yang terletak pada luasanS : r(u,v)Misalnya :Karena Helix putar r~(t) = a cos t i + a sin t j + ct kterletak pada luasanS yang berbentuk silinder dengan persamaan r(u,v) =a cos u i+ a sin uj+ v k .makakurvaataulintasanyangberbentukhelixputartersebutbisadinyatakan dalam bentuk pasangan fungsi kontinu: u =t v = ctyang memenuhi persamaan r(u,v) dari silinder di atas.Selanjutnya vektor singgung dari kurvar~(t) =r[u(t),v(t)]bisaditentukandengan dalil rantai :r~'(t) =dtdvvrdtduurdtdr+~ ~=ru u'+ rv v'DenganmengambilsatutitikPpadaluasanS,perhatikansemuakurvapadaSyangmelaluiP,yangmasing-masingkurvatersebutbisadinyatakandalambentukpasanganfungsi-fungsikontinuu(t)danv(t).SelanjutnyadarisemuakurvayangmelaluiPtersebutbisaditentukanvektorsinggungataur~'(t)nya.Vektor-vektorsinggunginiakanmembentuksatubidang,yaitubidangsinggungT(P),asalrudanrvadadan keduanya tidak tergantung secara linier (tidak segaris), sehingga : N = ru x rv 0yangberartibahwaNpadabidangsinggungT(P),olehkarenaituNmerupakan VektorNormal dari luasan / permukaan S di titik P.DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que89Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayan ru T(P)rvSVektor Normal satuan dari luasan S=n=v uv uxr rxr rNNJika S disajikan dalam persamaan g(x,y,z) = 0 maka: n=g gradg grad..CONTOH :1. Tentukan vektor normal satuan dari luasanr(u,v) = (u+v) i + (u-v) jPenyelesaian :ru = ur = i + jrv =vr = i - j N = ru x rv = 0 1 10 1 1k j i = i (0) - j (0)+ k(-2)=-2 k n =kk 422.Tentukan vektor normal satuan dari ellipsoida putarr(u,v) =cos v cos u i + cos v sin u j + 2 sin v k;di sembarang titik. Penyelesaian : ru = ur = - cos v sin u i + cos v cos u j rv =ur = - sin v cos u i - sin v sin u j + 2 cos v kDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que90Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaN=v u v u vu v u vk j icos 2 sin sin cos sin0 cos cos sin cos =i(2cos2v cosu - 0) - j (-2cos2 v sinu - 0) + k (cosv sinv sin2u + cosvsinv cos2u) = 2cos2v cosu i + 2cos2v sinu j + cosv sinv k| N| = v v u v u v2 2 2 4 2 4sin cos sin cos 4 cos cos 4 + + = v v u u v2 2 2 2 4sin cos ) sin (cos cos 4 + + =v v v2 2 4sin cos cos 4 + =cosvv v2 2sin cos 4 +n=(2cos2vcosui+2cos2vsinuj+cosvsinvk)/cosvv v2 2sin cos 4 +=(2cosv cosu i + 2cosv sinu j + sinv k) /v v2 2sin cos 4 +3.Tentukan vektor normal satuan dari bola:x2 + y2 + z2 - a2 = 0 di titik P(x,y,z) sembarang. Penyelesaian : g =x2 + y2 + z2 - a2 = 0 grad g=(kzjyix ++) (x2 + y2 + z2 - a2)=2x i + 2y j + 2z k | grad g | =2 2 24 4 4 z y x + +=2a n=azk yj xi22 2 2 + + =a1 (x i + y j + z k)4.Tentukan vektor normal satuan dari kerucut putar: f(x,y,z)= -z + 2 2y x += 0DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que91Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaPenyelesaian :grad f=2 2y xx+ i+ 2 2y xy+ j-k| grad f |= 12 222 22++++ y xyy xx=12 22 2+++y xy x=2 n =21 11]1

+++k jy xyiy xx2 2 2 2C.Integral Luasan /Integral PermukaanDiberikan persamaan luasan S :r(u,v) = x(u,v) i + y(u,v) j + z(u,v) k ;(u,v)Rdengan vektor normal luasan: N=ru x rvdan vektor normal satuan: n =NNIntegral Luasan dari suatu fungsi vektorF = F(x,y,z)meliputi luasan S (overS) didefinisikan sebagai berikut :

S Rdudv v u N v u r F dA n F ) , ( )] , ( [ ! !Dengan : N(u,v) du dv=n |N| du dv; karena n = NN|N|=| ru x rv | =luasjajarangenjang(segiempat)yangdibentuk oleh ru dan rv( dengan sisiru dan rv )Sehingga|N| du dv = elemen luas dA dari SJadi :n dA di S= n |N| du dv di R atau N dudv di R.DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que92Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaCONTOH :1.Tentukan integral luasan dariF = y i + 2 j + 2z k , meliputi luasan S yangberbentuksilinder parabolis y = x2 ; 0 x 2 ; 0 z 3.Penyelesaian : z3 4 y2xPersamaan S dalam bentuk fungsi vektor : x(u,v) = u y(u,v) = u2 ;0 u 2

z(u,v)= v ; 0 v 3S : r(u,v) = u i + u2 j + v k ru =i + 2u j rv = kN =ru x rv =1 0 00 2 1 uk j i=2u i - jF[r(u,v)] = u2 i + 2 j + 2v k F[r(u,v)]! N(u,v) =(u2 i + 2 j + 2v k )! (2u i - j)=2u3 - 2

S Rdudv v u N v u r F ndA F ) , ( )] , ( [ ! != 30203) 2 2 ( dudv u= 3020430) 0 4 8 ( ) 242( dv dv u u=4v 30 =4.3 - 0=122.Tentukan integral luasan dari F = x2 i + 3y2 k ;meliputi luasan S yangmerupakan bidang dengan persamaan x = y + z= 1 pada oktan I.DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que93Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaPenyelesaian : zPersamaan fungsi vektor :1x(u,v) = u ; 0 u 1y(u,v) = v ;0 v 1-u1 yz(u,v) = 1-u-vx 1 r(u,v) =u i + v j + (1-u-v) k ru = i - k rv = j - k N =ruxrv= 1 1 01 0 1k j i =i + j + kF[r(u,v)] = u2 i + 3v2 jF[r(u,v)]! N(u,v) =(u2 i + 3v2 j )! ( i + j + k)=u2 + 3v2

S Rdudv v u N v u r F ndA F ) , ( )] , ( [ ! != +10102 2) 3 (udvdu v u=du u u u du u u u du v v uu] ) 1 ( [ ] ) 1 ( ) 1 ( [ ) (310103 2 3 2103 210 + + + =104 4 3) 1 (414131u u u =31414131 Nilai dari integral luasan ini akan tergantung dari pemilihan vektor normalsatuanluasanintegrasinya(ingat,untukvektornormalsatuan,selainnbisajugadipilih-n).Sehinggaintegralluasanatauintegralsuatufungsiterhadap/meliputiluasanSyangberarah,bisadilakukandenganmemilih salah satu kemungkinan dari dari arah vektor normalsatuannya.Arah dari n =v uv uxr rxr rdikatakan arah positif, sebaliknya -ndisebutarahnegatif.DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que94Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaJikakitamengubaharahdariS,yangberartimerubahnmenjadi-n,makasetiapkomponendarindikalikandengan-1,sehinggahasilintegralnya juga akan berubah menjadi-1 kali integral semula.\Integral luasan ini biasanya muncul dalam masalah-masalah aliran fluida(flow problem).JikaF(x,y,z) = (x,y,z) v(x,y,z) = vdengan: = densitas massa fluida v = vektor kecepatan aliran fluidakarenaF ! nadalah komponen F dalam arah normalnya, maka : SdA n F !=fluks massa fluida yang melintasi luasan S. = besarnya massa fluida persatuan waktu yang melintasiluasan S.CONTOH :Hitungbesarnyafluksmassadariairyangmengalirmelintasisilinderparabolis S :z = x2, 0 x 2 ;3 y 5. Jika vektor kecepatan aliran airtesebut adalahv = -xyz i - 3z2j - k ; besarnya laju (speed) dihitung dalammeter perdetik dan densitas massa air = 1 kg/liter.Penyelesaian :Persamaan fungsi vektor dari S : x(u,v) = u ;0 u 2y(u,v) = v ;3 v 5z(u,v) = u2 r(u,v) = u i + v j + u2 k ru=i + 2u k;rv=jN =ru x rv=0 1 02 0 1 uk j i =(0-2u) - j (0) + k (1-0)=-2u i + k F(x,y,z) = v =1 (-xyz i - 3z2j - k)=-xyz i - 3z2j - k F[r(u,v)] = -u3v i - 3u4 j - kDIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que95Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya F[r(u,v)]! N(u,v) =(-u3v i - 3u4 j - k )! (-2u i + k)=2u4v -1 S Rdudv v u N v u r F ndA F ) , ( )] , ( [ ! != 20534) 1 2 (u vdvdu v u ={ } du u du u u du v v u ] 2 16 [ ] 3 ) 9 ( [ ] 5 ) 25 ( [ ) (20204 4 4532 420 =205) 2516( u u =4 , 98 45512 vdalam meter/detikdalam kg/liter = 1000 kg/m3Adalam m2Jadi besarnya fluks massa air di atas =(98,4 m/dt)(1000 kg/m3)(m2) = 98.400 kg/detik.D.Integral Meliputi Luasan Tak Beraraha.JikaIntegranmerupakanFungsiSkalardanLuasanIntegrasimerupakan Fungsi Vektor.Bentuk Integral Luasan : S Rdudv v u N v u r G dA r G ) , ( )] , ( [ ) (G(r)=fungsi skalardA= |N| dudv = | ru x rv| dudv ;yaitu elemen luas dari luasan Syangdinyatakandalampersamaanr(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)kdengan arah tidak diperhatikan.Jika G(r) = 1 ; diperoleh :A(S) =dudv r x r dAvA Ru yang merupakan luas permukaan dari luasan S.DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que96Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayab.JikaIntegranmerupakanFungsiSkalardanLuasanIntegrasiSmerupakan Fungsi Skalarz = f(x,y). Sehingga: x = uy = vz = f(u,v) r(u,v) =u i + v j + f(u,v) k=[ u, v, f(u,v)] ru=[1, 0, fu] rv=[0, 1, fv] N=[1, 0, fu] x [0, 1, fv]=[ - fu ; -fv ; 1] |N| = | [ - fu ; -fv ; 1] | = 2 21v uf f + + Karena: fu = fx=xf fv = fy=yf , maka :Dengan:R*=proyeksiSkebidang XOY Dan arah vektor normal N di S adalah arah positif.JikaG(r) = 1 ,maka :dxdyyfxfdA S AS R

,_

+ ,_

+ *221 ) ( S= proyeksi luasan S di bidang XOYCONTOH :1.TentukanSdA r G ) (;jikaG(r) = x + 1 S : r(u,v) = cos u i + sin u j + v k; 0 u 2 ;0 v 3dxdyyfxfy x f y x G dA r GS R

,_

+ ,_

+ *221 )] , ( , , [ ) (DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que97Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya Penyelesaian : x(u,v) = cos u ;y(u,v) = sin u ;z(u,v) = v G[r(u,v)] =cos u + 1ru= -sin u i + cos u jrv= k N = ru x rv =1 0 00 cos sin u uk j i= i (cos u) - j (-sin u) + k (0) = cos u i +sin u j |N| =u u2 2sin cos +=1 + + 3030302030206 2 2 ) (sin ) 1 (cos ) ( v dv dv u u dudv u dA r GS v u2.TentukanSdA r G ) (;jikaG (r) = 1 S : persamaan bola dengan jari-jari a sebagai berikut r(u,v) = a cos v cos u i + a cos v sin u j + a sin v k;0 u 2 ;-2 v 2Penyelesaian :ru = -a cos v sin u i + a cos v cos u jrv = -a sin v cos u i - a sin v sin u j + a cos v kN(u,v) = ru x rv =a2 cos2v cos u i + a2cos2v sin u j + a2 cos v sin v k|N| =a2v v u v u v2 2 2 4 2 4sin cos sin cos cos cos + + =a2v v v2 2 4sin cos cos + =a2v2cos=a2 cos vKarena G(r) = 1,makaSdA r G ) (=A(S) A(S) = 2 /2 /2 /2 /22022 /2 /202cos 2 cos cos vdv a dv v u a dudv v a = 2a2 sin v 2 /2 / =2a2 (1+1)= 4a2DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que98Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya3.TentukanmomeninersiaIdarilapisanbolayanghomogendenganpersamaan : S :x2 + y2 + z2 = a2 ;massanya M,sepanjang sumbu z. Penyelesaian : Jika = densitas massa luasan bola (massa persatuan luas) maka : I= dA DS2 D = D(x,y,z) = jarak titik P(x,y,z) dipermukaan bola ke sumbu z. JadiD2 =x2 + y2 Luas permukaan bola A = 4a2 = 24aMAM r(u,v) = a cos v cos u i + a cos v sin u j + a sin v k x = a cos v cos u y = a cos v sin u z = a sin v D2 = x2 + y2= a2 cos2v cos2u + a2 cos2v sin2u =a2 cos2v dA = |N| du dv = | ru x rv| dudv=a2 cos v du dvdudv v aaMdA D IS 2 /2 /203 422cos4=dudv vM 2 /2 /203cos4= 2 /2 /232 /2 /332cos2cos 24Madv vMdv vM4.TentukanSdA r G ) (;jikaG (r) = x2 + y2 S :Kerucut putar z = 2 2y x + ;x2 + y2 4 Penyelesaian : z2 =x2 + y2 z2 4-2 z 2 Untuk z = 2 x2 + y2 =4 Jadi proyeksi luasan S di bidang XOY berupa lingkaran : x2 + y2 =4 Batas Integrasi : -2 x 2;DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que99Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya0 y24 x Jika:x = u ;-2 u 2y = v ; 0 v24 u z = 2 2v u + r(u,v)=u i + v j + 2 2v u +k ru=i + 2 2v uu+ k rv=j + 2 2v uv+ k N = - 2 2v uu+i +2 2v uv+ j + k |N| = 12 222 22++++ v uvv uu= 2 G[r(u,v)] = u2 + v2du v v u dvdu v u dA r GS uuvu + + 224022403 2 2 222)31( 2 2 ) ( ) (= + 222 2 2] ) 4 (314 [ 223du u u uMisalkan :u = 2 sin t ;u = -2 t = -/2du = 2 cos t dt;u = 2 t =/2 tdt t t t dA r GScos 2 ] ) cos 4 (31cos 2 . sin 4 [ 2 ) (2 / 3 22 /2 /2 + = dt t t t ] cos 16 .31cos sin 16 [ 242 /2 /2 2+=dt t t t )] 4 cos21212 cos 2 1 (382 sin 4 [ 22 /2 /2+ + + +DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que100Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya=dt t t t )] 4 cos 2 cos 4 3 (68) 2 cos 1 ( 4 [ 22 /2 /+ + + = 2 /2 /)] 4 sin412 sin 2 3 (68) 2 sin21( 4 [ 2 + + + t t t t t={ } { }] ) 02. 3 (68) 02( 4 ) 02. 3 (68) 02( 4 [ 2 + + + = 2 8 )] 224( 224[ 2 +5.Contoh 4 di atas bisa juga dikerjakan dengan cara lain yaitu :z = 2 2y x + ; G = x2 + y2Sehingga ,dxdyyfxfy x f y x G dA r GS R

,_

+ ,_

+ *221 )] , ( , , [ ) ( fx=2 2y xx+ fy= 2 2y xy+ y xf f + + 1=2dxdyyfxfy x dA r GS R

,_

+ ,_

+ + *222 21 ) ( ) ( =dxdy y xxxy +22402 22 ) (2dan seterusnya.4.5.Teorema Divergensi GaussMisalkanTadalahdaerahyangterbatasdantertutupdalamsuaturuang yang dibatasiolehluasanSyangberarah.DanmisalkanF(x,y,z) adalah suatu fungsi vektor yangkontinudanmempunyaiderivatifparsial pertama yang kontinu dalam domain yangmemuat T, maka :DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que101Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya T SdA F dV z y x divF ! ) , , (n = vektor normal satuan dari luasan S dengan arah positif.Jika F(x,y,z) = F1(x,y,z) i + F2(x,y,z) j + F3(x,y,z) kn = cos i + cos j + cos kmaka,

TdV z y x F div ) , , ( dxdydzzFyFxFT 1]1++

3 2 1 =[ ] dA F F FS+ + cos cos cos3 2 1 =[ ]+ +Sdxdy F dxdz F dydz F3 2 1CONTOH :1.Tentukan SndA F ! denganmenggunakanteoremadivergensiGauss, jikaF = 7x i + - z kdanS :x2 + y2 + z2 = 4bola berjari-jari 2Penyelesaian :SndA F ! =TdV z y x divF ) , , (Tdxdydz ) 1 7 (=6Tdxdydz =6 x volume bola berjari-jari 2=6 x 3) 2 (43= 36 2.TentukanSndA F ! , jika F = xy2 i + y3j + 4x2z kS : silinderx2 + y2 4;0 z 5Penyelesaian :div F =!

,_

++kzjyix xy2 i + y3j + 4x2z k = y2+ 3y2+ 4x2 = 4x2+ 4y2 = 4(x2+ y2)DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que102Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaSdA n F ! =

1]1

+ +50224050222 / 3 2 2 2 2 22) 4 (314 4 ) ( 4z xxydxdz x x x dydxdz y x Misalkan :x = 2 sin t;x = -2 t = -/2 dx = 2 cos t dt;x =2 t =/2 SndA F ! =4tdtdz t t t cos 2 ) cos 8 .31cos 2 . sin 4 (3502 /2 /2 +=4dtdz t t ) cos3162 sin 4 (4502 /2 /2 +=4[ ]dz t d t t t ) 4 cos21212 cos 2 1 (38) 2 cos 1 ( 4 [502 /2 /+ + + + =4 5032 8 dzz50 =160 3. HitungSdA n F ! ; jika F = 2xy2 i + x cos z j - yz kdanS:luasanyangmembentukvolumetertutupyangdibatasiolehluasan z = 1-x ;0y2;dioktanIsepertidalamgambar berikut : z 11-x 2 y 1Penyelesaian :div F =!

,_

++kzjyix2xy i + x cos z j - yz k =2y + 0 -y = yBatas Volume T : x = 0 x = 1 y = 0 y = 2DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin UnibrawProgram Semi Que103Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya z = 0 z = 1-xSdA n F ! =dx x dx y x dydx x y dzdydx yx yxz) 4 )( 1 (21) 1 ( ) 1 (1020210201010102120 = 2( )2110221 x x4.Model Aliran