1. analisis vektor-1

26
ANALISIS VEKTOR (1) Ir. HUDIONO, M.T. ELEKTROMAGNETIK 1

Upload: nora-asteria

Post on 25-Sep-2015

291 views

Category:

Documents


4 download

DESCRIPTION

Analisis Vektor-1

TRANSCRIPT

ANALISIS VEKTOR

ANALISIS VEKTOR (1)Ir. HUDIONO, M.T.

ELEKTROMAGNETIK 1DAFTAR ISI ...................................... (1)PendahuluanSkalar dan Vektor Vektor Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Posisi dan JarakVektor Perkalian Sistem Koordinat Hubungan Integral untuk Vektor Hubungan Diferensial untuk Vektor Soal-soalPENDAHULUAN ............................. (1)Analisis vektor adalah ilmu matematika yang sangat sesuai digunakan untuk mengungkapkan konsep gelombang elektromagnetik (EM), sehingga sangat mudah untuk dipahami. Besaran A disebut skalar jika hanya memiliki magnitudo (misalnya; massa, suhu, potensial listrik, populasi). Besaran A disebut vektor jika memiliki magnitudo dan juga arah (misalnya; kecepatan, daya, intensitas medan listrik). Magnitudo sebuah vektor A adalah memiliki besaran skalar yang ditulis sebagai A atau |A|SKALAR DAN VEKTOR ................. (1)Vektor satuan aA didefinisikan sebagai vektor yang nilainya adalah satu(yaitu = 1) dan arahnya sepanjang |A|. ; aA = 1

Sehingga, dapat juga dituliskan bahwa : A = A aA Sebuah vektor A adalah pada koordinat Cartesian (atau persegi panjang) yang dapat direpresentasikan sebagai :

Di mana AX, Ay, dan AZ disebut sebagai komponen vektor A yang masing-masing memiliki arah sumbu x, y, dan z, dan ax, ay, az adalah vektor satuan dengan arah x, y dan z.

SKALAR DAN VEKTOR ................. (2)Vektor satuan ax, ay, az dapat digambarkan seperti gambar di atas, sedangkan komponen vektor A di sepanjang sumbu koordinat x, y dan z.

SKALAR DAN VEKTOR ................. (3)Magnitudo vektor A diberikan dengan :

Vektor satuan sepanjang koordinat, adalah :

PENAMBAHAN DAN PENGURANGAN (1)Dua buah vektor A (Ax, Ay, Az) dan B (Bx, By, Bz) dapat dijumlahkan, sehingga menghasilkan vektor lain C (Cx, Cy, Cz) C = A + B C = (Ax+ Bx) ax +(Ay+ By) ay +(Az+ Bz) az

Dengan cara sama untuk pengurangan vektor.D = A + (-B) D = (Ax- Bx) ax +(Ay- By) ay +(Az- Bz) az

PENAMBAHAN DAN PENGURANGAN (2)Tiga hukum aljabar dasar untuk tiga vektor A, B, dan C dapat diringkas seperti berikut :

VEKTOR POSISI DAN JARAK .............. (1)Vektor posisi atau vektor radius titik P adalah jarak berarah dari titik asal O ke PTitik P pada koordinat kartesian dapat dinyatakan dengan (x, y, z), adalah :rp = OP = x ax + y ay + z az

Vektor posisi titik P berguna untukmendefinisikan posisinya padasuatu ruang.

Vektor Jarak adalah pergeseran dari titik satu ke titik yang lainJika 2 titik P dan Q diberikan masing-masing dengan (xP, yP, zP) dan (xQ, yQ, zQ)

Perbedaan di antara titik P dan vektor A adalah ; Baik titik P Maupun vektor A masing-masingdapat direpresentasikan dengan cara sama yaitu sebagai (x, y, z) dan (Ax, Ay, Az). Titik P bukan vektor, hanya vektor posisinya rp yang vektorVektor A bisa tergantung pada titik P

VEKTOR POSISI DAN JARAK .............. (2)

VEKTOR POSISI DAN JARAK .............. (3)Jika A = 2xy ax + y2 ay xz2 az dan P adalah (2, -1, 4) maka A pada P akan menjadi -4 ax + ay 32 az . Medan vektor dikatakan konstan atau uniform jika tidak tergantung pada variabel ruang x, y, z.

Contoh :Vektor B = 3 ax + 2 ay 10 az adalah sebuah vektor uniform, Sedangkan vektor A = 2xy ax + y2 ay xz2 az adalah tidak uniform

Karena B adalah konstan, sedangkan A adalah sangat tergantung pada variabel x, y, z. Sehingga nilai A bervariasi.

VEKTOR POSISI DAN JARAK ............. (4)Contoh Soal :1.1Jika A = 10ax - 4ay + 6az dan B = 2ax + ay , tentukan :Komponen A sepanjang ay Magnitudo 3A BVektor satuan sepanjang A + 2B1.2Diberikan vektor A = ax + 3az dan B = 5ax + 2ay - 6az , tentukan :|A + B|5A BKomponen A sepanjang ay Vektor satuan paralel dengan 3A + B1.2Titik P dan Q berada pada (0, 2, 4) dan (-3, 1, 5), tentukan :Vektor posisi PVektor jarak dari P ke QJarak di antara P dan QVektor paralel terhadap PQ dengan magnitudo 10VEKTOR POSISI DAN JARAK ............. (5)Jawaban Contoh Soal 1.1 :

VEKTOR POSISI DAN JARAK ............. (6)Jawaban Contoh Soal 1.2 :

Jawaban Contoh Soal 1.3 :

VEKTOR POSISI DAN JARAK ............. (7)3. Karena rp adalah vektor jarak P ke Q Jarak di antara P dan Q adalah nilai magnitudo vektor ini.

atau,

4. Vektor A = A aA, dan magnitudo A = 10. Karena A adalah paralel dengan PQ maka vektor A memiliki vektor satuan yang sama dengan rPQ atau rQP , sehingga :

VEKTOR POSISI DAN JARAK ............. (8)dan,

PERKALIAN ........................................... (1)Perkalian vektor dengan Skalar

Konstanta k dan l adalah skalar.

Perkalian vektor dengan vektorScalar (Dot) product A . BVector (Cross) product A x B

PERKALIAN ........................................... (2)Perkalian tiga vektorScalar triple product A . (B . C)Vector triple product A x (B x C)

(Skalar) Dot ProductA . B = AB cos AB, AB adalah sudut di antara vektor A dan B

Jika A = (Ax, Ay, Az) dan B = (Bx, By, Bz) A . B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

PERKALIAN ........................................... (3)Contoh Soal : Jika A . B = A . C, Apakah B selalu sama dengan C ...?

Jawaban :Karena A . B = A . C A . B A . C = 0, sehingga A . (B-C) = 0Dari sini dapat disimpulkan bahwa :A adalah tegak lurus dengan (B C)A bisa merupakan vektor 0, atauB C = 0 Jawaban yang ini : B = CKesimpulannya : Untuk A . B = A . C , maka B tidak selalu sama dengan C

PERKALIAN ........................................... (4)Cross ProductCross Produk dua vektor A dan B, yang ditulis dengan A x B adalah Besaran vektor yang magnitudonya berupa bidang yang dibentuk oleh A dan B, yang arahnya tegak lurus terhadap bidang A dan B, yang ditunjukkan seperti Skrup putar kanan A ke B

A x B = AB sin AB an, an adalah vektor satuan biasa

PERKALIAN ........................................... (5)Jika A = (Ax, Ay, Az) dan B = (Bx, By, Bz), maka :

az

Sifat Sifat Cross Product :1. 2.3.4.5.

PERKALIAN ........................................... (6)Contoh Soal :Buktikan persamaan Lagrange , Jika A dan B adalah vektorJawaban :

PERKALIAN ........................................... (7)Skalar Triple Product1.2.

Vektor Triple Product1.Contoh Soal :

Jika , dan , maka Tentukan sudut di antara A dan B

PERKALIAN ........................................... (8)Jawaban :

Atau,

, sehingga :

PERKALIAN ........................................... (9)Latihan :A. Jika vektor Medan, didefinisikan sebagai berikut :

Tentukan : 14 14 0,5976 (2, 3, 4)6. Vektor satuan yang tegak lurus Q dan R7. Komponen P di sepanjang Q

PERKALIAN ......................................... (10)B.Vektor medan , Tentukan : Komponen medan E di sepanjang F (-0.2837, 0.7092, -0.3546) Vektor satuan yang tegak lurus E dan F (0.9398, 0.2734, -0.205)

C.Tiga simpul segitiga, terletak pada A(6,-1,2), B(-2,3,-4) and C(-3,1,5), Tentukan :RAB x RAC Luas Segitiga 42Vektor satuan yang tegak lurus bidang segitiga

Tentukan volume, yang dibentuk oleh tiga vektor A, B dan C, di mana :

57