4. fungsi dua atau tiga peubah_1

Fungsi Dua atau Tiga Peubah 1

4. FUNGSI DUA atau TIGA PEUBAH Fungsi Dua atau Tiga Peubah

Limit dan kekontinuan Derivatif Parsial

Nilai Ekstrem Integral Lipat

4.1. Fungsi Dua atau Tiga Peubah Definisi

Suatu fungsi dua peubah f, adalah suatu aturan yang

mengawankan setiap pasangan terurut bilangan real (x,y) ke

tepat satu bilangan real z, ditulis z=f(x,y).

Koleksi pasangan terurut (x,y) disebut Domain fungsi f, sedangkan

koleksi bilangan real z yang dikawankan dengan anggota Domain

disebut Range f.

Grafik z=f(x,y) adalah suatu luasan (surface).

Contoh :

1. z=f(x,y)=5−x+3y (gambar 1)

2. z=y2−x2 (gambar 2)

3. 2/)yx( 22

xyez +−= (gambar 3)

X y

gambar 1 gambar 2


Gambar 3

catatan : serupa dengan fungsi dua peubah, fungsi tiga peubah

ditulis w=f(x,y,z), hanya saja tidak ada grafiknya.

4.2. Limit dan kekontinuan

Bilangan real c disebut limit fungsi f(x,y) untuk (x,y) menuju

(x0,y0), ditulis

( ) ( )( ) cy,xflim

00 y,xy,x=

→

jika dan hanya jika :

( ) ( ) ( ) εcy,xfδyyxx0),0δ)(0ε( 20

20 <−⇒<−+−<>∃>∀ .

( ) ( )( )y,xflim

00 y,xy,x → ada jika hanya jika nilai limit tersebut sama untuk

(x,y) menuju (x0,y0) melalui sebarang kurva mulus di dalam domain f.

Pernyataan ini serupa dengan limit kiri dan limit kanan pada

pembicaraan fungsi satu peubah.

Contoh : ( ) ( ) 220,0y,x yx

xylim+→

tidak ada, sebab :

( ) ( )0

yxxylim 220,0y,x

=+→

untuk (x,y)→(0,0) melalui kurva x=0, tetapi

( ) ( )21

yxxylim 220,0y,x

=+→

untuk (x,y)→(0,0) melalui kurva y=x.


Kekontinuan

Fungsi f dikatakan kontinu di titik (x0,y0), jika hanya jika

( ) ( )( ) ( )00y,xy,x

y,xfy,xflim00

=→

Seperti fungsi satu peubah, pada prinsipnya dapat dinyatakan :

• komposisi fungsi-fungsi kontinu menghasilkan fungsi kontinu

• jumlahan, pengurangan atau perkalian fungsi-fungsi kontinu

menghasilkan fungsi kontinu

• pembagian fungsi-fungsi kontinu juga menghasilkan fungsi

kontinu, kecuali di tempat fungsi penyebut bernilai nol.

Contoh : ( )xy1yxy,xf

23

−= kontinu untuk setiap (x,y) kecuali pada

hiperbola xy=1.

4.3. Derivatif Parsial

Jika ( ) ( )h

y,xfy,hxflim0h

−+→

ada, maka nilai limit tersebut

dinamakan Derivatif Parsial fungsi f terhadap x, disimbolkan

( )x

y,xf∂

∂ atau fx(x,y). Jadi,

( ) ( ) ( )h

y,xfy,hxflim:y,xf0hx

−+=

→.

Sedangkan

( ) ( ) ( )h

y,xfhy,xflim:y,xf0hy

−+=

→

Aturan menentukan derivatif parsial suatu fungsi terhadap suatu

peubah, serupa dengan aturan derivatif fungsi satu peubah dengan

menganggap peubah lainnya sebagai konstan.


Contoh : f(x,y)=x4sin(xy3)

fx(x,y)=4x3sin(xy3)+x4y3cos(xy3)

fy(x,y)=3x5y2cos(xy3)

Interpretasi Geometri

z bidang y=b

kurva z=f(x,b)

Luasan z=f(x,y)

P

y

Q(a,b,0)

x

Tangen Garis, gradien=fx(a,b)

Tangen Bidang (Plane tangent)

z=f(x,y)

P

Tangen Bidang terhadap luasan z=f(x,y) di titik P(a,b,f(a,b))

memenuhi persamaan :

z−f(a,b)=fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b).


Derivatif Parsial Tingkat Tinggi

Tingkat 2

xx2

2

fxf

xxf

≡∂∂

∂∂

≡∂∂ yy2

2

fyf

yyf

≡∂∂

∂∂

≡∂∂

yx

2

fyf

xyxf

≡∂∂

∂∂

≡∂∂

∂ xy

2

fxf

yxyf

≡∂∂

∂∂

≡∂∂

∂

Tingkat 3

xxx2

2

3

3

fxf

xxf

≡∂∂

∂∂

≡∂∂ yyx2

2

2

3

fyf

xyxf

≡∂∂

∂∂

≡∂∂∂

xyy

2

2

3

fxyf

yxyf

≡∂∂

∂∂∂

≡∂∂

∂ zyx

23

fzyf

xzyxf

≡∂∂

∂∂∂

≡∂∂∂

∂

dan seterusnya.

Sifat

a. Diketahui f suatu fungsi dua peubah, yaitu f(x,y). Jika semua

derivatif parsial tingkat-1 dan 2 kontinu pada suatu

himpunan terbuka D, maka

fxy(x,y)= fyx(x,y) , ∀(x,y)∈D

b. Diketahui f suatu fungsi tiga peubah, yaitu f(x,y,z). Jika

semua derivatif parsial tingkat-1 dan 2 fungsi f kontinu pada

suatu himpunan terbuka D, maka

fxy=fyx, fxz=fzx dan fyz=fzy , ∀(x,y,z)∈D

Derivatif Parsial Fungsi Bersusun

Diketahui z=f(u,v) dengan u=u(x,y) dan v=v(x,y). Jika f terdiferensial

terhadap u dan v, u dan v masing-masing terdiferensial terhadap x

dan y, maka

,adayzdan

xz

∂∂

∂∂

dengan xv

vz

xu

uz

xz

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂ dan

yv

vz

yu

uz

yz

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂ .


contoh

Diketahui z=euv, dengan u=2x+y dan v=x/y tentukan yzdan

xz

∂∂

∂∂

Derivatif Parsial Fungsi Implisit

Diketahui z peubah takbebas, sedangkan x dan y masing-

masing peubah bebas. x, y dan z dihubungkan oleh suatu fungsi

F dengan rumus F(x,y,z)=c, c konstan. Jika Fx,Fy dan Fz ada,

dengan Fz ≠ 0 serta F terdeferensial pada daerah D, maka

z/Fx/F

xz

∂∂∂∂

−=∂∂ dan

z/Fy/F

yz

∂∂∂∂

−=∂∂

contoh

Jika z=f(x,y) dan 0e)yx(xyz23yxz2 =++ −− ,tentukan

yzdan

xz

∂∂

∂∂

4.4. Nilai Ekstrem

Diketahui f : D → R, D⊆R2 , dan (x0,y0)∈D

1. Fungsi f dikatakan mencapai nilai maksimum relatif di (x0,y0)

jika ( ) { }δ)yy()xx(0)y,x(Dy,x,0δ 20

20 <−+−<∩∈∀>∃

berlaku )y,x(f)y,x(f 00≤ . Jika )y,x(f)y,x(fD)y,x( 00≤⇒∈∀

maka dikatakan f mencapai nilai maksimum mutlak.

2. Fungsi f dikatakan mencapai nilai minimum relatif di (x0,y0)

jika ( ) { }δ)yy()xx(0)y,x(Dy,x,0δ 20

20 <−+−<∩∈∀>∃

berlaku )y,x(f)y,x(f 00≥ . Jika )y,x(f)y,x(fD)y,x( 00≥⇒∈∀

maka dikatakan f mencapai nilai minimum mutlak.

3. Jika f mencapai maksimum relatif atau minimum relatif di

(x0,y0), maka f dikatakan mempunyai nilai ekstrem relatif.


Maksimum mutlak

Maksimum relatif z=f(x,y)

Minimum Mutlak

Minimum relatif

(x0,y0) disebut titik kritis fungsi f jika :

1. fx(x0,y0)=0 dan fy(x0,y0)=0, atau

2. fx(x0,y0) atau fy(x0,y0) tidak ada

Teorema

Diketahui f mempunyai derivatif parsial tingkat 2 kontinu, (x0,y0)

titik kritis fungsi f dan

( ) ( ) ( )00yy00xx002xy y,xfy,xfy,xf −=∆

a. Jika ∆<0 dan fxx(x0,y0)<0, maka f mencapai maksimum relatif

di (x0,y0).

b. Jika ∆<0 dan fxx(x0,y0)>0, maka f mencapai minimum relatif

di (x0,y0).

c. Jika ∆=0, tidak dapat diambil kesimpulan.

d. Jika ∆>0, maka titik (x0,y0) adalah titik pelana (saddle point) f

Contoh : f(x,y)=4xy-x4-y4

Titik Kritis (x0,y0) fxx(x0,y0) fyy(x0,y0) fyy(x0,y0) ∆ Kesimpulan

(0,0) 0 0 4 16 titik pelana

(1,1) -12 -12 4 -128 maks. relatif

(-1,-1) -12 -12 4 -128 maks. relatif


4.5. Integral Lipat Integral Lipat Dua

Diketahui fungsi f(x,y) terdefinisi pada daerah tertutup R di

bidang xy. Diambil suatu partisi pada R, yaitu A1, A2,...,An.

Jadi lkuntukAAdanRA lk

n

1kk ≠∅==

=IU . Diambil pula

∆Ak=Luas Ak , ( ) kkk Ay,x ∈∗∗ dan { }knk1AmaksP ∆=

≤≤.

Integral Lipat Dua fungsi f pada daerah R, didefinisikan :

( ) ( ) k

n

1kkk0P

R

Ay,xflim:dAy,xf ∆= ∑∫∫=

∗∗

→

Sifat

1. ( ) ( ) tankonsc,dAy,xfcdAy,xcfRR

== ∫∫∫∫

2. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ ±=±RRR

dAy,xgdAy,xfdAy,xgy,xf

3. ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=21 RRR

dAy,xfdAy,xfdAy,xf , dengan

R1∪R2=R dan R1∩R2=∅.

Teorema

Diketahui fungsi f kontinu pada suatu daerah tertutup R.

a. Jika R={(x,y)a≤x≤b, c≤y≤d}, maka

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫∫ ==b

a

d

c

d

c

b

aR

dxdyy,xfdydxy,xfdAy,xf

b. Jika R={(x,y)g1(y)≤x≤g2(y), c≤y≤d }, maka

( ) ( )( )

( )

∫ ∫∫∫ =d

c

yg

ygR

2

1

dydxy,xfdAy,xf

c. Jika R={(x,y)a≤x≤b, h1(x)≤y≤h2(x)}, maka

( ) ( )( )

( )

∫ ∫∫∫ =b

a

xh

xhR

2

1

dxdyy,xfdAy,xf


Interpretasi geometri dari ( )∫∫R

dAy,xf adalah Volume benda tegak

dengan alas R pada bidang xy dan atap adalah proyeksi R pada

luasan f(x,y). Proyeksi R pada f(x,y) z=f(x,y)

V= ( )∫∫R

dAy,xf

R

Selain dapat digunakan untuk menghitung Volume, Integral lipat

dua juga dapat digunakan untuk menghitung luas daerah R sendiri.

Diperhatikan : ( )∫∫=R

dAy,xfV .

Di lain pihak : V=luas alas×Tinggi=Luas R × f(x,y)

Jika diambil f(x,y)=1, maka diperoleh Luas ∫∫=R

dAR .

Contoh

1. Hitung ( )∫∫R

dAy,xf , jika f(x,y)=1+8xy dan

R={(x,y)0≤x≤3, 1≤y≤2}. (jwb : 57)

2. Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y=x2/2 dan

garis y=2x. (jwb : 16/3)

3. Hitung Volume tetrahedron yang dibatasi luasan-luasan x=0,

y=0 dan z=4-4x-2y. (jwb : 4/3)

4. Hitung volume benda yang merupakan bagian bersama dari

silinder-silinder x2+y2=4 dan x2+z2=4.

(Jwb : ∫ ∫=

−

=

−=2

0x

x4

0y

2

2

dxdyx48V )


Massa Lamina

Jika suatu lamina dengan bentuk suatu daerah R pada bidang

xy dan mempunyai densitas δ(x,y), maka massa lamina tersebut

( )∫∫=R

dAy,xδM .

Kejadian khusus jika bahan lamina homogen, yaitu δ(x,y)=konstan.

Pusat Massa Lamina

Pusat massa lamina R dengan densitas δ(x,y) adalah ( )y,x

dengan

( )

( )

( )

( )∫∫

∫∫

∫∫

∫∫====

R

Rx

R

Ry

dAy,xδ

dAy,xδy

MM

ydandAy,xδ

dAy,xδx

MM

x

Mx disebut Momen pertama terhadap sumbu x

My disebut Momen pertama terhadap sumbu y.

Contoh :

Tentukan M, Mx, My dan ( )y,x lamina segitiga dengan titik-titik

sudut (0,0), (1,0) dan (0,1) jika fungsi densitas δ(x,y)=xy. (Jwb.

M=1/24, Mx=My=1/60 dan ( )y,x =(2/5,2/5)).

Momen Inersia Lamina

Momen inersia (momen kedua) lamina R dengan fungsi densitas

δ(x,y) terhadap sumbu x, sumbu y dan sumbu z, masing-masing :

( )∫∫=R

2x dAy,xδyI ,

( )∫∫=R

2y dAy,xδxI ,

( ) ( )∫∫ +=R

22z dAy,xδyxI = Ix+Iy


Integral Lipat Tiga

Diketahui fungsi f(x,y,z) terdefinisi pada daerah pejal G di ruang

xyz. Diambil suatu partisi pada G, yaitu V1, V2,...,Vn.

Jadi lkuntukVVdanGV lk

n

1kk ≠∅==

=IU . Diambil pula

∆Vk=Volume Vk , ( ) kkkk Vz,y,x ∈∗∗∗ dan { }knk1VmaksP ∆=

≤≤.

Integral Lipat Tiga fungsi f terhadap G, didefinisikan :

( ) ( ) k

n

1kkkk0P

G

Vz,y,xflim:dVz,y,xf ∆= ∑∫∫∫=

∗∗∗

→

Sifat

1. ( ) ( ) tankonsc,dVz,y,xfcdVz,y,xcfGG

== ∫∫∫∫∫∫

2. ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ±=±GGG

dVz,y,xgdVz,y,xfdV]z,y,xgz,y,xf[

3. ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=21 GGG

dVz,y,xfdVz,y,xfdVz,y,xf , dengan

G1∪G2=G dan G1∩G2=∅.

Demikian juga untuk terapan integral lipat tiga : Hitung Volume,

Massa, Pusat massa serta Momen-momen Inersia, serupa dengan

integral lipat dua.

Contoh :

Tentukan volume benda G dengan batas-batas silinder parabolik

z=4-x2 dan bidang-bidang datar x=0, y=0,y=6, z=0.

Jwb :

32

dxdydz

dxdydzV

2

0x

6

0y

x4

0z

G2

=

=

=

∫ ∫ ∫

∫∫∫

= =

−

=

z z=4-x2

G y

x


Kadang-kadang di dalam perhitungan integral lipat dua atau tiga

akan lebih sederhana jika dilakukan suatu transformasi.

Transformasi Integral Lipat Dua

Diketahui dua sistem koordinat pada ruang R2 : x0y dan u0v

dengan hubungan :

u=u(x,y) atau x=x(u,v)

v=v(x,y) y=y(u,v)

maka

dvduv,uy,x:dydxdA

∂== ,

dengan

vy

vx

uy

ux

v,uy,x

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂

Sifat

∂

=

∂

y,xv,u

1v,uy,x

Dengan demikian transformasi integral lipat dua dapat dituliskan :

( ) ( ) ( )[ ]∫∫∫∫∗

∂=

RR

dudvv,uy,xv,uy,v,uxfdAy,xf .

Contoh:

Ditinjau sistem koordinat kartesius dan sistem koordinat polar:

x = r cos θ dan y = r sin θ. Diperoleh

rθcosrθsinrθsinθcos

θy

θx

ry

rx

θ,ry,x

==

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂

Sehingga : ( ) ( )∫∫∫∫∗

=RR

θdrdrθ,rfdAy,xf .


Misalkan dihitung ∫∫ +R

22 dydxyx dengan R daerah pada

bidang xy dengan batas-batas : x2+y2=4 dan x2+y2=9, maka :

3π38θdrdrθddr

θ,ry,xrdydxyx

π2

0θ

3

2r

2

R

2

R

22 ==

∂=+ ∫ ∫∫∫∫∫

= =∗

.

Transformasi Integral Lipat Tiga

Diketahui dua sistem koordinat pada ruang R3 : xyz dan uvw

dengan hubungan :

u=u(x,y,z) atau x=x(u,v,w)

v=v(x,y,z) y=y(u,v,w)

w=w(x,y,z) z=z(u,v,w)

maka

dwdvduw,v,uz,y,xdzdydxdV

∂==

dengan wzwywxvzvyvxuzuyux

w,v,uz,y,x

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

=

∂

Contoh

1. Pada sistem koordinat bola

x = r sin ϕ cos θ

y = r sin ϕ sin θ

z = r cos ϕ

maka :

dxdydz=r2sin ϕ drdϕdθ

z •

r

ϕ

θ y

x

2. Pada sistem koordinat tabung

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

maka :

dxdydz = r dzdrdθ

z

• (r,θ,z)

θ y r

R x

y

4. fungsi dua atau tiga peubah_1

Documents