determinan matriks derajat dua, tiga, empat dan lebih tinggi

Determinan

Determinan

Yang dimaksud dengan determinan atau disingkat D adalah suatu bentuk susunan elemen elemen a ij yang disusun menurut jejeran baris-baris dan jejeran kolom-kolom sedangkan banyaknya jejeran baris haruslah sama dengan banyaknya jejeran kolom. Matriks adalah susunan unsur-unsur / bilangan yang berbentuk baris dan kolom. Banyaknya baris dan banyaknya kolom dari sebuah matriks disebut ordo matriks.

det A=|a11 a12 a13 ⋯ a1 i a1 j ⋯ a1n

a21 a22 a23 ⋯ a2 i a2 j ⋯ a2n

a31 a32 a33 ⋯ a3 i a3 j ⋯ a3n

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ai1 ai2 ai3 ⋯ aii aij ⋯ a¿

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯an1 an2 an3 ⋯ a¿ anj ⋯ ann

|……. (1)Atau disingkat :

det A=|aij|, (i=1 ,2 ,3 ,…n ) ,( j=1 ,2,3 ,…n)

a) Transpose matriks

Transpose dari matriks a, ditulis At adalah dengan merubah baris dari matriks semula menjadi kolom atau merubah baris dari matriks semula menjadi kolom atau merubah kolom dari matriks semula menjadi baris

Contoh:matriks A=|1 2 34 −1 5|,maka A t=|1 4

2 −13 5 |

Sehingga apabila ordo dari matriks adalah m x n, maka ordo dari transposenya n x m

b) Penjumlahan dan pengurangan matriksDua buah matriks atau lebih dapat dijumlahkan atau bisa dikurangi apabila ordo dari matriks tersebut sama. Adapun cara menjumlahkan dan menguranginya adalah unsur unsur yang seletaknya dijumlahkan dan dikurangi

A=|a1 a2

a3 a4|,B=|b1 b2

b3 b4|A±B=|a1 a2

a3 a4|±|b1 b2

b3 b4|=|a1±b1 a3±b3

a2±b2 a4±b4|c) Perkalian matriks pada skalar

Untuk menetukan hasil perkalian sebuah matriks dengan skalar k adalah dengan cara mengalikan skalar k tersebut dengan semua unsur yang ada pada matriks tersebut

A=|a1 a2

a3 a4|k . A=k|a1 a2

a3 a4|=|k a1 k a2

ka3 k a4|Jika h dan k adalah bilangan real, A dan B adalah matriks matriks berordo m x n,

maka berlaku sifat sifat:(1) (h + k) A = hA + kA (4) I A = A(2) k (A + B) = kA + kB (5) (-1) A = -A(3) h (kA) = (hk) Ad) Dua buah matriks dikatakan sama apabila ordo dari kedua matriks tersebut sama dan

unsur unsur yang seletaknya samae) Perkalian dua buah matriks

Dua buah matriks dapat dikalikan apabila banyaknya kolom dari matriks yang sebelah kiri sama dengan banyaknya baris dari matriks yang sebelah kanan, dan tidak berlaku sifat komutatif A x B ≠ B x AMisalnya:

diketahui A=|a1 a2

a3 a4|, B=|b1 b3

b2 b4|A x B=|a1 a2

a3 a4||b1 b3

b2 b4|=|a1b1+a2b2 a1b3+a2b4

a3b1+a4b2 a3b3+a4b4|Berdasarkan hasil yang diperoleh, disimpulkan:

Perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif AB ≠ BA Perkalian matriks bersifat asosiatif, (AB) C = A (BC) Jika I adalah matriks identitas maka A.I = I.A = A

f) Pemangkatan matriks persegiJika A adalah sebuah matriks m x m, maka perkalian (A.A...A) = k faktor dapat dinyatakan dengan Ak, jadi jika k sebuah bilangan bulat positif, maka Ak = A.A...AA.A = A²A.A.A = A. A² = A³A.A.A....A = Aⁿ

g) Invers dari matriks ordo 2 x 2

Jika diketahui matriks A=|a bc d| maka balikan dari matriks A atau invers dari matriks

A ditulis A−1= 1ad−bc ( d −b

−c a )h) Determinan matriks derajat dua

Jika diketahui A=|a bc d| maka besarnya matriks A / determinan matriks A / det A

ditulis |A|=ad−bc i) Invers matriks ordo 3 x 3

Langkah langkah mencarinya:1) Cari kofaktor (M) dari matriks tersebut

| M 11 −M 12 M 13

−M 21 M 22 −M 23

M 31 −M 32 M 33|M11 maksudnya cari determinannya dengan mencoret baris

ke 1 dan kolom ke 12) Cari adjointnya yaitu transpose dari ke faktor diatas3) Cari determinannya

4) Cari inversnya dengan rumus A−1= 1det A

x adjointnya A

Misalnya:

Tentukan invers dari B=| 2 −1 14 3 −2

−3 1 −1|1) Cari determinan B = |B|=12) Cari kofaktor B

M11 = 3(-1)- (-2)1= -1M12 = 4 (-1) – (-2)(-3) = -10M13 = 4(1) – 3(-3) = 13M21 = -1(-1) – 1(1) = 0M22 = 2(-1) – 1(-3) = 1M23 = 2(1) – (-1)(-3) = -1M31 = -1(-2) – 1(3) = -1M32 = 2(-2) – 1(4) = -8M33 = 2(3) – (-1)(4) = 10

3) Adjoint B=|−1 0 −1−10 1 −813 −1 10|

4) Invers B=B−1= 1det B

xadjoint B

¿11|−1 0 −1

−10 1 −813 −1 10|

B−1=|−1 0 −1−10 1 −813 −1 10|

j) Dua matriks saling inversJika A dan B adalah matriks persegi dengan ordo yang sama sehingga AB = BA = I,Maka B merupakan invers dari A dan A merupakan invers dari B. perhatikan!

A=|1 11 2|, B=| 2 −1

−1 1 |,makaAB=|1 1

1 2|| 2 −1−1 1 |=|1 0

0 1|=IBA=| 2 −1

−1 1 ||1 11 2|=|1 0

0 1|=I

Terlihat bahwa AB = BA = I. Invers dari matriks A dituliskan A-1, sehingga:A . A−1=A−1 A=I

k) Membuktikan Rumus matriks berordo 2Untuk menujukkan bahwa A-1 adalah inver dari matriks A maka kita harus membuktikan bahwa A.A-1 = I

Misalnya: diket A=|a bc d|

A−1= 1ad−bc | d −b

−c a | akan dibuktikan bahwa A.A-1 = I

bukti A . A−1=IKita uraikan ruas kirinya

|a bc d|. 1

ad−bc | d −b−c a |=|a b

c d|| dad−bc

−bad−bc

−cad−bc

aad−bc

|| adad−bc

+ b(−c)ad−bc

a(−b)ad−bc

+ b (a)ad−bc

cdad−bc +

d (−c )ad−bc

c (−b)ad−bc +

d (a)ad−bc

|terbukti!| ad−bcad−bc

−ab+abad−bc

cd−ccdad−bc

ad−bcad−bc

|=|1 00 1|terbukti!

(i) Harga suatu determinan derajat dua atau tigaa) Definisi: harga suatu determinan derajat dua ditentukan dengan aturan sebagai berikut:

A2=|a11 a12

a21 a22|=a11 a22−a12 a21……(2)

b) Definisi: harga suatu determinan derajat tigaUntuk menentukan harga suatu determinan derajat tiga, ditentukan dengan suatu aturan yang dinamakan ekspansi/ babaran menurut suatu baris atau menurut suatu kolom dari determinan tersebut sebagai contoh:

A1=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a11|a22 a23

a32 a33|−a12|a21 a23

a31 a33|−a13|a21 a22

a31 a32|…… (3)

Merupakan det A3 yang dibabarkan menurut baris pertama dari (2) diperoleh harga :A3=a11 (a22a33−a23 a32)−a12 (a21 a33−a23a31 )+a13 (a21a32−a22a31)

¿a11 a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23 a31+a13 a21a32−a13 a22a31

atau¿a11 a22a33+a12a23 a31+a13 a21 a32−a13 a22 a31−a11 a23a32−a12 a21a33…….(3 ')

Bila det A3 dibabarkan menurut kolom kedua maka harga determinan adalah sebagai berikut:

A2=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=−a12|a21 a23

a31 a33|+a22|a11 a13

a31 a33|−a32|a11 a13

a21 a23|…… ( 4 )

Dari (2) diperoleh harga:A3=−a12 (a21a33−a23 a31 )+a22 (a11 a33−a13 a31 )−a32 (a11a23−a13a21)¿−a12a21 a33+a12 a23 a31+a11a22 a33−a13a22a31−a11a23 a32+a13a21a32

¿a11 a22a33+a12a23 a31+a13 a21 a32−a13 a22 a31−a11 a23a32−a12 a21a33…….(4 ' )Ternyata bahwa dari (3) dan (4) diperoleh hasil yang sama ialah (3’) = (4’)

(ii) MinorDalam bentuk (3) pada (i) diatas secara berurutan determinan determinan:

|a22 a23

a32 a33|,|a21 a23

a31 a33|,dan|a21 a22

a31 a33| masing masing disebut minor dari elemen elemen a11 ,

a12 , a13 dalam det A3 tersebutDemikian juga dalam bentuk (4) determinan determinan:

|a21 a23

a31 a33|,|a11 a13

a31 a33|,dan|a11 a13

a21 a23| masing masing adalah minor dari elemen elemen a12 ,

a22 , a32 dalam det A3 tersebutDengan demikian bila dalam determinan:

A3=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|

minor elemena ijdisebut M ij , dimana i , j=1 ,2 ,3 ,maka harga determinan dapat diperoleh sebagai berikut:

A3=a11M 11−a12M 12+a13M 13………. (5 )atau

¿−a21M 21+M 22−a23M23………. (6 )atau

¿a31M31−a32M 32+a33M 33………. (7 )

atau

¿a11M 11−a21M 21+a31M31………. (8 )

atau

¿−a12M 12+a22M22−a32M 32………. (9 )

atau

¿a13M 13−a23M 23+a33M 33………. (10 )

Bentuk (5), (6), dan (7) adalah harga det A yang masing masing dibabarkan menurut baris pertama, kedua dan ketiga sedangkan bentuk (8), (9) dan (10) adalah harga det A yang

masing masing dibabarkan menurut kolom pertama,kedua dan ketiga, dimana harga (5) = (6) = (7) = (8) = (9) = (10)

Tanda positif atau negatif dari suatu minor ditentukan oleh letak elemen yang membentuk minor tersebut yaitu sebagai berikut

Bila Mij adalah minor dari elemen aij dalam suatu determinan maka tanda Mij ditentukan dengan harga:

(-1)i+j ..............................(11)

Yang berarti bahwa:

Bentuk (11) berharga positif (+) bila i+j adalah genap dan berharga negatif (-) bila i+j adalah ganjil

Dengan menggunakan ketentuan (11) maka harga det A dapat diperoleh seperti yang diberikan dalam bentuk (5) sampai dengan (10) misalnya bentuk (5) dan (9) seperti berikut:

A3=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|

¿(−1)1+1a11M 11+(−1)1+2a12M 12+(−1)1+3a13M 13

¿a11M 11−a12M 12+a13M13 seperti pada (5 )

Atau

¿(−1)1+2a12M12+(−1)2+2a22M 22+(−1)3+2a32M 32

¿−a12M 12+a22M22−a32M 32 seperti pada (9 )

(iii) Harga determinan derajat tiga dengan metode diagonalHarga determinan derajat tiga yang telah disajikan dalam (i) bagian (b) dengan rumus (3’) atau (4’) dapat diperoleh sebagai berikut:Letakkan dua kolom pertama (dari deterinan ) pada sebelah kanan determinan, sehingga seolah-olah merupakan kolom keempat dan kelima.Maka harga determinan A3 sama dengan jumlah dari hasil pergandaan elemen elemen yang terletak pada diagonal pokok dan elemen elemen yang terletak menurut arah garis yang sejajar dengan diagonal pokok tersebut, selanjutnya dikurangi (minus) hasil pergandaan elemen elemen menurut arah diagonal yang lain seperti terbaca pada skema dibawah ini:

|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|a11 a12

a21 a22

a31 a32

jadi A3=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|

¿a11 a22a33+a12a23 a31+a13 a21 a32−a13 a22 a31−a11 a23a32−a12 a21a33

Seperti terbaca pada (3’) atau (4’) di muka

Perhatikan cara (iii) ini hanya berlaku untuk determinan derajat tiga

(iv) Harga determinan derajat empat atau lebih Menghitung harga determinan derajat empat atau lebih dapat dilakukan dengan cara babaran menurut suatu baris atau kolom seperti diuraikan dalam (ii) diatas sehingga diperoleh bentuk bentuk determinan yang berderajat satu atau lebih kecil dari derajat determinan semula. Proses babaran diteruskan, sehingga pada langkah terakhir diperoleh bentuk-bentuk determinan derajat dua atau tiga yang selanjutnya dapat diselesaikan dengan (i) atau (ii) di mukaBila An adalah determinan yang berderajatr n dengan bentuk seperti berikut:

An=| a11 a12 a13 ¿a1 j ¿a1n

a21 a22 a23 ¿a2 j ¿a2n

¿ai1 ai2 a i3 ¿a ij ¿a¿

¿an1 an2 an3 ¿anj ¿ ann|

Dan bila An dibabarkan menurut baris ke i, maka harga determinan adalah sebagai berikut:

An=|a11 a12 a13 ¿a1 j ¿a1n

a21 a22 a23 ¿a2 j ¿a2n

a31 a32 a33 ¿a3 j ¿a3n

¿ai1 ai2 a i3 ¿a ij ¿a¿

¿an1 an2 an3 ¿anj ¿ ann|

¿(−1)i+1a i1M i1+(−1)i+2ai2M i2+(−1)i+3ai3M i3+…+(−1)i+ jaijM ij+…+(−1)i+na¿M ¿…….(12)Mij adalah minor elemenaij dan Mij merupakan determinan yang berderajat (n-1) atau satu lebih kecil dari derajat An sedangkan elemen elemen Mij diambil dari (terdiri dari) elemen elemen An yang telah dibuang / dihapus baris ke i dan kolom ke j nya berarti derajat Mij adalah (n-1) Bentuk (12) di muka dapat ditulis menjadi

An=ai1 A i1+ai2 Ai2+ai3 A i3+…+aij Aij+…+a¿A ¿……. (13 )

Ai1, Ai2 , Ai3, ... Aij, ..... , Ain masing masing dinamakan kofaktor dari elemen elemen Ai1, ai2

, ai3, ... aij, ..... , ain dalam determinan An dan Aij=(−1)i+ jM ij……….(13' )

Bentuk rumus (13) berarti bahwa harga det An sama dengan jumlah hasil pergandaan

elemen elemen baris ke i dan kofaktor - kofaktor yang bersesuaian dari masing masing

elemen tersebut

Secara umum diperoleh:

Harga suatu determinan sama dengan jumlah hasil pergandaan elemen elemen menurut

suatu baris (kolom) dan kofaktor- kofaktor yang bersesuaian dari masing- masing elemen

tersebut.

Misalkan n = 4 maka diperoleh determinan berderajat empat dengan bentuk dan harganya

sebagai berikut:

A3=|a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44|

Dan bila dibabarkan menurut baris ketiga, maka:

A3=a31|a12 a13 a14

a22 a23 a24

a42 a43 a44|−a32|a11 a13 a14

a21 a23 a24

a41 a43 a44|+a33|a11 a12 a14

a21 a22 a24

a41 a42 a44|−a34|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a41 a42 a43|

Dari contoh diatas, bila suatu determinan berderajat empat dikembangkan menurut suatu

baris atau kolom, maka diperoleh empat macam / bentuk determinan derajat tiga. Demikian

juga dapat diperoleh:

Bila suatu determinan berderajat lima dibabarkan menurut suatu baris atau kolom, maka akan

diperoleh lima macam / bentuk determinan berderajat empat

|a12 a13 a14 a15

a22 a23 a24 a25

a42 a43 a44 a45

a52 a53 a54 a55|=a12|a23 a24 a25

a43 a44 a45

a53 a54 a55|−a22|a13 a14 a15

a43 a44 a45

a53 a54 a55|+a42|a13 a14 a15

a23 a24 a25

a53 a54 a55|−a52|a13 a14 a15

a23 a24 a25

a43 a44 a45|=c

Yang ke empat yaitu:

|a12 a13 a14 a15

a22 a23 a24 a25

a32 a33 a34 a35

a52 a53 a54 a55|=a12|a23 a24 a25

a33 a34 a35

a53 a54 a55|−a22|a13 a14 a15

a33 a34 a35

a53 a54 a55|+a32|a13 a14 a15

a23 a24 a25

a53 a54 a55|−a52|a13 a14 a15

a23 a24 a25

a33 a34 a35|=d

Yang kelima yaitu:

|a12 a13 a14 a15

a22 a23 a24 a25

a32 a33 a34 a35

a42 a43 a44 a45|=a12|a23 a24 a25

a33 a34 a35

a43 a44 a45|−a22|a13 a14 a15

a33 a34 a35

a43 a44 a45|+a32|a13 a14 a15

a23 a24 a25

a43 a44 a45|−a42|a13 a14 a15

a23 a24 a25

a33 a34 a35|=e

Persamaan yang a, b, c, d, dan e dimasukkan kedalam persamaan (5)

Bila suatu determinan berderajat enam dibabarkan menurut suatu baris atau kolom, maka

akan diperoleh enam macam / bentuk determinan berderajat lima

Jadi, untuk menghitung harga suatu determinan berderajat enam dengan cara babaran akan

menghasilkan:

6 x5 x 4=6 !3! macam/bentuk determinan berderajat tiga (yang selanjutnya dapat diselesaikan)

Bila suatu determinan berderajat n dibabarkan , maka dapat diperoleh n !3! macam / bentuk

determinan berderajat tiga

(v) Sifat sifat detrminan

Untuk pembuktian sifat sifat berikut ini lebih banyak disajikan dalam betuk contoh,

langkah ini diambil untuk mudah dipahami oleh para pemakai yang selanjutnya sifat sifat

tersebut dapat diperluas berlaku umum:

(a) Babaran suatu determinan berderajat n, menghasilkan/ memuat n! suku

Bukti! Seperti yang telah diuraikan pada (iv) di muka. Maka bila suatu determinan

berderajat n dibabarkan dapat diperoleh n !3! bentuk determinan derajat 3

Pada determinan derajat tiga bila dibabarkan akan memuat / menghasilkan 3 bentuk

determinan derajat dua yang masing masing menghasilkan dua suku, sehingga bila suatu

determinan berderajat n dibabarkan maka diperoleh:

( n !3 !x 3x 2) suku atau n! suku

catatan: setiap suku tersebut merupakan hasil pergandaan elemen elemen yang diambil

satu dan hanya satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom

(b) Harga suatu determinan tidak berubah, bila baris-baris dan kolom-kolom yang

bersesuaian / berkorespondensi ditukar tempatnya

Bukti: untuk bukti diambil contoh determinan derajat tiga yang selanjutnya dapat

diperluas untuk determinan dengan derajat lebih dari tiga

Misalnya: A=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|

¿a11 a22a23+a12a23a31+a13 a21 a32−a13 a22 a31−a11 a23a32−a12 a21a33

Bila pada determinan A tersebut diatas ini:

Baris pertama ditukar dengan kolom pertama

Baris kedua ditukar dengan kolom kedua

Baris ketiga ditukar dengan kolom ketiga

Maka diperoleh det B=|a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33|

¿a11 a22a33+a21a32 a13+a31 a12 a23−a31 a22 a13−a11 a32a23−a21 a12a33

¿a11 a22a23+a12a23a31+a13 a21 a32−a13 a22 a31−a11 a23a32−a12 a21a33

Yang ternyata merupakan harga det A

(c) Bila dalam suatu determinan terdapat suatu baris atau suatu kolom semua elemenya

adalah nol. Maka harga determinan tersebut sama dengan nol

Bukti: sebagai akibat dari catatan sifat (a) di muka.

(d) Bila dua baris atau dua kolom yang berurutan dalam suatu determinan ditukar tempatnya,

maka harga determinan hanya berubah dalam tanda

Bukti: diambil contoh pada determinan derajat tiga

A=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a11a22a23+a12a23 a31+a13a21a32−a13 a22a31−a11a23a32−a12a21a33

Bila kolom kedua dan ketiga ditukar maka diperoleh determinan

A=|a11 a13 a12

a21 a23 a22

a31 a33 a32|=a11a23a32+a13 a22 a31+a12a21a33−a12 a23a31−a11a22a33−a13a21a32

¿a11 a23a32+a13a22a31+a12a21a33−(a12a23 a31+a11a22a33+a13 a21 a32 )

¿−(a11 a22a33+a12a23 a31+a13a21 a32)+a13 a22a31+a11a23a32+a12a21a23

¿−A

(e) Bila dua baris atau dua kolom dari suatu determinan adalah identik, maka harga

determian tersebut sama dengan nol

Bukti: misalkan baris kedua dan ketiga dari determinan A adalah identik dan bila kedua

baris tersebut ditukar tempatnya satu dengan yang lain, maka dari sifat (d) diperoleh:

A = -A atau 2A=0 → A =0

Jadi harga determinan A = 0

(e2) Bila setiap elemen dari suatu baris atau suatu kolom dari suatu determinan digandakan

dengan suatu besaran k, maka harga determinan yang terjadi(baru) sama dengan hasil

ganda k dengan determinan semula.

Bukti: determinan dibabarkan menurut baris atau kolom yang elemen elemennya telah

digandakan k, maka akan diperoleh bentuk babaran determinan semula menurut baris

atau kolom tersebut dengan setiap sukunya digandakan k.

Misalnya determinan semula adalah A berderajat empat atau ditulis:

A3=|a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44|

baris ketiga digandakan k dan determinan yang baru dsinamakan b, maka

B=| a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

ka31 k a32 k a33 k a34

a41 a42 a43 a44|

dibabarkan menurut baris ketiga, maka diperoleh harga determinan B

B=ka31|a12 a13 a14

a22 a23 a24

a42 a43 a44|−ka32|a11 a13 a14

a21 a23 a24

a41 a43 a44|+ka33|a11 a12 a14

a21 a22 a24

a41 a42 a44|−ka34|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a41 a42 a43|yang

berarti bahwa ruas kanan adalah hasil ganda besaran k dengan determinan A (yang

dibabarkan menurut baris ketiga)

jadi| a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

ka31 k a32 k a33 k a34

a41 a42 a43 a44|=k|a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44|

(e3) bila elemen elemen yang bersesuaian / berkorespondensi dari dua baris atau dua kolom

dalam suatu determinan adalah sebanding, maka harga determinan sama dengan nol

Bukti: misalnya pada determinan derajat empat elemen elemen yang dimaksud adalah

elemen elemen dalam kolom ke dua dan ketiga yang bersesuaikan adalah sebanding,

yang berarti:

a12

a13=a22

a23=a32

a33=a42

a43=c, maka

|a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44|=|a11 a13 a13 a14

a21 a23 a23 a24

a31 a33 a33 a34

a41 a43 a43 a44|=c|a11 a13 a13 a14

a21 a23 a23 a24

a31 a33 a33 a34

a41 a43 a43 a44|…dari (e2 )

¿c .0=0…………………..dari(e1)

(f) Bila setiap elemen dari suatu baris atau suatu kolom tertentu dalam suatu determian

merupakan penjumlahan dua suku, maka bentuk determian semula dapat disajikan dalam

bentuk penjumlahan dua determinan yang elemen elemennya merupakan pemisahan dari

dua suku pada baris atau kolom yang lain adalah sama seperti pada determinan semula.

Atau lebih jelasnya sebagai berikut, pada determinan A berderajat tiga, setiap elemen

dalam baris kedua merupakan penjumlahan dua suku, maka

A=| a11 a12 a13

(a21+a'21) (a22+a

'22) ¿

a32¿a33¿|¿|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|+|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|

Bukti: untuk pembuktian disini diambil determinan A tersebut diatas dan dibabarkan

menurut baris kedua, maka:

A=| a11 a12 a13

(a21+a'21) (a22+a

'22) ¿

a32¿a33¿|¿−(a21+a

'21 )|a12 a13

a32 a33|+(a22+a'22)|a11 a13

a31 a33|−(a23+a'23)|a11 a12

a31 a32|

¿−a21|a12 a13

a32 a33|+a22|a11 a13

a31 a33|−a23|a11 a12

a31 a32|−a'21|a12 a13

a32 a33|+a'22|a11 a13

a31 a33|−a'23|a11 a12

a31 a32|Jadi dari (ii) pada (b) diperoleh:

A=| a11 a12 a13

(a21+a'21) (a22+a

'22) ¿

a32¿a33¿|

|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|+|a11 a12 a13

a '21 a' 22 a '23

a31 a32 a33|

(g) Bila setiap elemen dari suatu baris atau suatu kolom setelah digandakan dengan suatu

besaran k, kemudian ditambahkan pada setiap elemen yang bersesuaian dari baris atau

kolom yang lain dalam suatu determinan, maka harga determinan tersebut tidak berubah.

Bukti: diambil determinan A berderajat empat

A=|a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44|

bila setiap elemen dari kolom ketiga digandakan dengan k, kemudian ditambahkan pada

setiap elemen yang bersesuaian dari kolom kedua, maka diperoleh:

|a11 (a12+ka13 ) a13 a14

a21 (a22+ka23 ) a23 a24

a31 (a32+ka33 ) a33 a34

a41 (a42+ka43 ) a43 a44|=|a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44|+|a11 ka13 a13 a14

a21 ka23 a23 a24

a31 ka33 a33 a34

a41 ka43 a43 a44|……dari (f )jadi

dari (e3) diperoleh:

|a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44|=|a11 (a12+ka13) a13 a14

a21 (a22+ka23) a23 a24

a31 (a32+ka33) a33 a34

a41 (a42+ka43 ) a43 a44|

Sumber: kalkulus, karya H. M hasyim baisuni, editor: Dr. SM Nababan

determinan matriks derajat dua, tiga, empat dan lebih tinggi

Education