2. Fungsi

Definisi

Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x

anggota A dengan tepat satu y anggota B.

A disebut domain (daerah asal) fungsi f dan B disebut kodomain (daerah kawan). Sedangkan

himpunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range (daerah hasil).

Definisi di atas tidak memberikan pembatasan pada domain dan kodomain. Domain dapat berupa

himpunan yang beranggotakan orang atau yang lain, demikian pula kodomain. Dalam uraian

selanjutnya domain dan kodomain dibatasi pada himpunan-himpunan bilangan real. Jadi fungsi

bisa didefinisikan sebagai:

Definisi : Fungsi dari R (bilangan real) ke R adalah suatu aturan yang mengaitkan

(memadankan) setiap dengan tepat satu

Notasi: : )(xfyx

Dimana x disebut peubah bebas, y peubah tak bebas.

Untuk memberi nama fungsi digunakan huruf tunggal seperti f (atau g, atau F),

maka f(x) menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x.

Jadi jika () = 3 4, maka (2) = 23 4 = 4

( 1) = ( 1)3 4 = 5 () = 3 4

( + ) = ( + )3 4 = 3 + 32 + 32 + 3 4

Contoh fungsi yang lain:

1. () = 2 + 2 + 4

2. () = 1 + 3. () = 2, 2 3

Domain/daerah asal dari (), notasi , yaitu : = { |() }.

Range/daerah hasil dari (), notasi , yaitu : = {() | }.

Bilamana untuk sebuah fungsi daerah asalnya tidak dirinci, maka dianggap daerah asal fungsi

tersebut adalah himpunan bilangan real sehingga aturan fungsinya bermakna dan memberikan nilai

bilangan real.

Contoh:

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari:

1. () = 2 + 2 + 4 2. () = 1 +

Jawab:

1. Karena fungsi () selalu terdefinisi untuk setiap x maka: = { } = (, ).

() = 2 + 2 + 4 =( + 1)2 + 3 Karena ( + 1)2 0 maka = [3, )

2. = { | 0 } = [0, )

Karena 0 untuk 0 maka daerah hasil () = 1 + adalah = [1, )

Latihan :

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari:

1. () =1

(19)

2. () = 36 2

Grafik Fungsi

Misal = (), himpunan titik {(, )| , } disebut grafik fungsi .

Berikut ini contoh grafik fungsi sederhana

a. Fungsi linear Grafik dari fungsi () = + berupa garis lusur. Untuk menggambar fungsi ini maka perlu menentukan titik potong dengan sumbu x dan y. Misalkan fungsi = + 1

Titik potong dengan sumbu x: = 0 = 1 (1,0) Titik potong dengan sumbu y: = 0 = 1 (0,1)

b. Fungsi kuadrat Grafik dari fungsi ()2 = 2 + + berbentuk parabola. Bila = 2 4 maka bentuk grafik fungsi diatas akan seperti:

Menggambar Grafik Fungsi dengan Pergeseran

Jika diketahui grafik fungsi = (), maka : Grafik = ( ) + diperoleh dengan cara menggeser grafik = ()

(i) sejauh satuan ke kanan jika positif dan satuan ke atas jika positif (ii) sejauh satuan ke kiri jika negatif dan satuan ke bawah jika negatif.

c. Fungsi banyak aturan Bentuk umum dari fungsi banyak aturan adalah sebagai berikut:

)(

.

.

)(

)(

1

xg

xg

xf

n

Contoh gambarkan grafik

1,2

10,

0,

)(2

2

xx

xx

xx

xf

Untuk 0, maka () = 2 berbentuk parabola. Untuk 0 < < 1, maka () = berbentuk garis lurus. Untuk 1, maka () = 2 + 2 berbentuk parabola.

Jenis-Jenis Fungsi

Operasi Pada Fungsi

1. Operasi Aljabar

Jika dan g dua fungsi maka jumlah + , selisih hasil kali , hasil bagi / dan perpangkatan adalah fungsi-fungsi dengan daerah asal berupa dan maka:

1. ( + )() = () + (), dimana + =

2. ( )() = () (), dimana =

3. ( )() = ()(), dimana =

4. ( / )() = () / () asalkan () 0,

dimana / = {|() = 0}

2. Fungsi komposisi

Jika dan dua fungsi dengan daerah asal merupakan daerah hasil maka komposisi memenuhi

( )() = (())

Syarat yang harus dipenuhi agar ada (terdefinisi) adalah

Perlu diingat untuk fungsi komposisi berlaku dimana = { |() }

dan = { | = (), }

Contoh soal:

1. Diketahui () = dan g(x) = 2 1. Tentukan (jika ada) dan ,

Jawab:

Untuk () = , maka daerah asal = [0, ), dan daerah hasil = [0, ).

Untuk g(x) = 2 1 , maka daerah asal = dan daerah hasil = [1, )

karena = [1, ) [0, ) = [0, ) 0 maka terdefinisi,

dan ( )() = (()) = (2 1) = (2 1).

= { |() } = { |2 1 [0, )}

= { |2 1 0} = { |( 1)( + 1) 0} = [, 1) [1, ) = { | = (), }

= { 0| = , 1} = [0, )

2.

Jawaban