diktat kuliah kalkulus peubah banyak...

Diktat ini disusun berdasarkan “Calculus III” oleh Paul Dawkins, Lamar University dengan penyesuaian berupa penerjemahan, pengurangan dan penambahan dari sumber-sumber lainnya.

DIKTAT KULIAH

KALKULUS PEUBAH BANYAK

(IE-308)

BAB 2 RUANG 3 DIMENSI

Diktat ini digunakan bagi mahasiswa

Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik

Universitas Kristen Maranatha

Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc

JURUSAN TEKNIK INDUSTRI - FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS KRISTEN MARANATHA

BANDUNG

2012

Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 8 KALKULUS PEUBAH BANYAK

BAB 2. RUANG 3 DIMENSI.

2.1 Sistem koordinat 3-Dimensi Kita akan membahas sistem koordinat dalam 3 dimensi, yang kita nyatakan dengan , dan

notasi untuk sistem koordinat 2 dimensi kita nyatakan sebagai , sistem koordinat dalam 1

dimensi dinyatakan sebagai dan secara umum sistem koordinat dalam n dimensi

dinyatakan dalam . Secara intuitisi kita dapat menggambarkan sistem koordinat sampai 3

dimensi, lebih dari itu agak sulit untuk menggambarkannya.

Kita akan memulai dengan sistem koordinat dasar yang disebut sistem koordinat Cartesian.

Gambar 2.1. Koordinat Cartesian

Pertama digambarkan garis sumbu x, garis sumbu y dan garis sumbu z. Perpotongan antara

garis sumbu x,y dan z kita sebut sebagai titik (0,0,0), titik Original atau titik 0 yang

merupakan titik referensi.

Banyak rumus / formula di dapat diperluas ke . Contohnya jarak antara 2 titik di

yang dinyatakan sebagai:

Dalam jarak antara 2 titik dinyatakan sebagai:

Contoh lain, persamaan suatu lingkaran dengan titik pusat dan radius/jari-jari r

dinyatakan sebagai,

Dan persamaan sebuah bola dengan titik pusat / center and jari2/radius r

dinyatakan sebagai,



Contoh perbandingan bekerja dalam , dan .

Contoh 2.1.1. Gambarkan dalam , dan .

Solution

Dalam kita memiliki sistem koordinat tunggal, sehingga adalah sebuah titik di

sistem koordinat 1-D.

Gambar 2.2. Titik x=3 dalam ℝ

Dalam persamaan berarti menggambarkan seluruh titik dalam bentuk . .

Ini akan menghasilkan garis vertical dalam sistem koordinat 2-D .

Gambar 2.3. Garis x =3 dalam ℝ2

Dalam persamaan berarti mengambarkan seluruh titik dalam bentuk . .

Ini akan menghasilkan suatu bidang yang sejajar dengan bidang yz, hanya kita mempunyai

nilai .

Gambar 2.4. Bidang x=3 dalam ℝ3



Contoh 2.1.2. Gambarkan dalam dan .

Solusi

Dalam hal ini dilewat, karena kita bekerja dgn 2 variable artinya lebih 1-D tidak mungkin.

Dalam ini adalah sebuah garis dengan kemiringan/ slope 2 dan memotong y di -3.

Gambar 2.5. Persamaan di .

Namun dalam , karena kita tidak menspesifikasikan nilai z, maka berarti untuk setiap

nilai z kita meng-copy/menggandakan garis tersebut. Sehingga gambarnya akan berbentuk

suatu bidang yang memotong bidang xy menghasilkan garis .

Gambar 2.6. Persamaan dalam .

Contoh 2.1.3. Gambarkan dalam dan .

Solution

Dalam kita mendapatkan sebuah lingkaran dengan titik pusat di (0,0) dengan radius 2.



Dalam untuk setiap nilai z kita mendapatkan lingkaran seperti diatas pada bidang sejajar

xy.

Berikut gambar yang kita dapat.

Gambar 2.7. dalam dan .

2.2. Persamaan garis Dalam bagian ini kita akan meninjau bagaimana merepresentasikan suatu garis lurus atau

lengkungan dalam . Dalam kalukulus Dasar kita ketahui bahwa dalam untuk garis

lurus di representasi oleh persamaan , namun persamaan yang sama dalam ,

akan berarti sebuah bidang.

Ada dua cara untuk menyatakan suatu garis , yaitu dengan persamaan / equation seperti yang

telah kita kenal dalam Kalkulus Dasar, dan cara lain dalam bentuk persamaan vektor atau

dengan parametirasi (parameterization) yang akan kita pelajari dalam bagian ini. Untuk itu

kita akan menggunakan konsep vektor dan fungsi vektor. Apakah fungsi vektor ? Bagaimana

fungsi vektor dapat digunakan untuk menyatakan suatu kurva (lengkungan)? Perhatikan

contoh berikut ini.

Misalkan kita mempunyai suatu fungsi vektor sbb. :

Suatu fungsi vector adalah sebuah fungsi yang mempunyai satu atau lebih variabel, dalam

contoh kita diatas 1 variabel, dan menghasilkan vektor.

Vektor yang dihasilkan fungsi dapat berupa sebuah vektor dalam berbagai dimensi yang

didefinisikan, dalam contoh kita kita mendapatkan vektor dalam .

Kita akan mulai dari fungsi vektor dalam dan setelah kita mulai terbiasa kita akan

membahas dalam .

Kita akan menggambarkan fungsi vektor diatas ( ). , kita akan menamakan fungsi

vektor diatas sebagai fungsi yang menghasilkan vektor posisi.

Suatu vektor posisi, sebutlah , adalah suatu vektor yang berawal dititik awal /

origin (0,0) dan berakhir di titik .

Jadi, untuk mendapatkan gambar dari vektor posisi, kita masukkan nilai dari variabel t dan

menggambarkan vektor posisi yang didapat. Dalam hal contoh diatas kita mendapatkan :

Jadi , untuk tiap vektor posisi kita mendapatkan titik-titik pada garis.

Titik-titik tersebut,



Kita menggambarkannya sbb.:

Gambar 2.8.

Contoh lain, .

Gambar 2.9.

Dalam contoh diatas kita mendapatkan gambar sebuah elips. Dengan kata lain titik ujung dari

vektor2 posisi kita menghasilkan lengkungan ellips.

Untuk menuliskan persamaan suatu garis dalam dan seperti yang kita bahas diatas kita

membutuhkan suatu fungsi vektor untuk mengerjakannya.

Misal untuk suatu garis, dan terdapat suatu titik digaris tersebut, yaitu

, dan adalah suatu vektor yang sejajar/ parallel dengan garis

tersebut. Kita nyatakan adalah setiap titik yang ada digaris tersebut.

Kita terjemahkan kedalam vektor posisi, yaitu and yang adalah vektor posisi untuk

masing2 P0 dan P . Dan kita definisikan bahwa suatu vektor sama dengan .



Kita mendapatkan gambar sbb.:

Gambar 2.10. Garis dalam bentuk vektor 𝑟 = 𝑟0 + 𝑎

Kita dapat menuliskan sebagai: 𝑟 = 𝑟0 + 𝑎

Kita lihat bahwa vektor and adalah sejajar / parallel. Dan ada suatu besaran atau

parameter, t, sedemikian sehingga

Sehingga kita mendapatkan,

Formulasi diatas disebut sebagai bentuk vektor dari persamaan garis. Besaran yang tidak

diketahui disini adalah t. Bila t positive maka garis akan melintas kearah kanan gambar kita

dan bila t negative lintasan kearah sebaliknya (kearah kiri dalam gambar kita). Untuk setiap

nilai t yang bervariasi kita akan mendapatkan suatu garis. The following sketch shows this

dependence on t of our sketch.



Gambar 2.11. Garis dalam bentuk vektor

Kita dapat merepresentasikan persamaan garis kedalam beberapa bentuk alternatif

persamaan.

Kita menulis ulang persamaan untuk masing2 komponen vektor, sbb.:

Persamaan2 diatas disebut sebagai bentuk parametric dari persamaan garis.

Bila a, b, dan c bukan nol, maka 𝑡 = 𝑥− 𝑥0

𝑎 , 𝑡 =

𝑦− 𝑦0

𝑏 dan 𝑡 =

𝑧− 𝑧0

𝑐

Sehingga kita mendapatkan :

Bentuk ini disebut persamaan simetrik suatu garis .

Bila salah satu dari a, b, or c bernilai nol (0) kita masih dapat menuliskan persamaan

simetrik. Contoh, misal . Dalam hal ini t berpengaruh pada persamaan parametrik

untuk y, sehingga kita memcahkan persamaan parametrik untuk t hanya pada x dan z .

Sehingga persamaan kita berbentuk,

Contoh 2.2.1. Tuliskan persamaan garis lurus yang melewati titik-titik dan

. Tuliskan dalam tiga bentuk persamaan.

Penyelesaian:

Kita menentukan vektor arah / vektor yang paralel terhadap garis yaitu vector .



adalah vektor yang mempunyai titik awal dititik akhir dan titik awal di titik kedua

, (boleh dibalik) sehingga kita mendapatkan,

Kita mendapatkan bentuk persamaan vektor garis sbb:

Dan bentuk parametrik persamaan garis sbb.:

Bentuk persamaan simetrik sbb.:

Contoh 2.2.2. Tentukan apakah garis yang melewati titik dan sejajar garisyang

dinyatakan oleh , dan menembus bidang- xz. Bila ya

tentukan koordinat titik tembus tsb.

Penyelesaian: Vektor arah garis tersebut adalah:

Sehingga persamaan garis yang dimaksud adalah:

Bila garis ini menembus bidang-xz berarti koordinat- y pada titik tersebut harus = nol/zero.

Jadi, kita pecahkan persamaan untuk komponen y dari persamaan = 0 dan kita lihat apakah

kita bisa mendapatkan nilai t untuk solusi persamaan diatas. Bila kita mendapat nilai t berarti

garis tersebut menembus bidang- xz bila tidak maka garis tersebut tidak menembus bidang -

xz.

Jadi, garis tersebut menembus bidang-xz.

Dan untuk mendapat koordinat titik tembus, kita memasukkan nilai parameter

kedalam persamaan. Kita gunakan bentuk vector,

Bentuk diatas adalah sebuah vector posisi, sehingga koordinat dari titik tembus bidang-xz

yang dicari adalah titik akhir vektor posisi, yaitu : .

2.3. Persamaan Bidang Datar Pada bagian ini kita akan mempelajari bagaimana merepresentasikan bidang datar dalam

persamaan.



Misalkan kita mempunyai suatu titik, yang berada dalam suatu bidang datar .

Kita misalkan juga kita mempunyai suatu vektor yang tegak lurus /orthogonal (perpendicular)

terhadap bidang datar tadi, yaitu, . Vektor ini disebut vektor normal. Misal

adalah titik sembarang yang ada dibidang datar. Kita tetapkan vektor-vektor

dan adalah vektor posisi dari titik P0 dan P .

Gambar dari vektor-vektor diatas adalah sbb.:

Gambar 2.12. Pernyataan bidang datar dalam bentuk vektor

Dalam gambar diatas kita mendapatkan vektor berada dalam bidang. Dalam gambar

tersebut kita mempunyai vektor normal pada bidang, dan karena tegak lurus / orthogonal

pada bidang, berarti vektor normal tegak lurus pada setiap vector yang terletak dibidang

tersebut, kita dapat menyatakan orthogonal dengan . Kita tahu perkalian titik (Dot

Product) untuk 2 vektor yang orthogonal adalah = 0.

Persamaan diatas adalah persamaan vektor suatu bidang.

Bentuk lain persamaan yang dihasilkan dari persamaan diatas adalah:

Dari hasil dot product didapatkan bentuk,

Persamaan diatas disebut persamaan scalar suatu bidang. Sering ditulis sebagai,

Dimana .

Dari persamaan scalar bidang, dengan cepat kita dapat menentukan vektor normal dari

bidang tersebut, yaitu :



Contoh 2.3.1.

Tentukan persamaan bidang datar yang memiliki titik , dan

.

Solusi

Kita dapat menetapkan 2 vektor dari titik yang ada pada bidang, yaitu:

Kedua vektor ini terletak dalam bidang dimaksud dan cross product dari kedua vektor

tersebut akan menghasilkan normal vektor yang tegak lurus dengan kedua vector diatas.

Persamaan bidang datar adalah,

Kita dapat menggunakan titik selain titik P seperti Q & R dalam menentukan (𝑥0 , 𝑦0, 𝑧0)dan

akan menghasilkan persamaan bidang datar yang sama (silahkan dicoba).

Contoh 2.3.2. Tetapkan apakah bidang datar dan garis

tegak lurus/orthogonal, parallel atau bukan keduanya satu sama lain.

Solusi

Kita dapatkan vektor normal bidang datar adalah: . Kita dapatkan vektor arah

dari garis yang dimaksud adalah: .

Apabila kedua vektor, dan adalah parallel/sejajar satu sama lain,

maka garis dan bidang datar tersebut akan tegak lurus/orthogonal. Mari kita uji,

Jadi, kedua vektor tersebut tidak parallel, jadi bidang dan garis tsb tidak orthogonal.

Sekarang kita menguji jika bidang dan garis adalah sejajar satu sama lain. Jika garis dan

bidang sejajar, maka setiap vektor yang sejajar dengan garis tsb akan orthogonal dengan

normal vektor dari bidang yang dimaksud. Jadi jika dan orthogonal maka garis dan

bidang akan sejajar. Mari kita uji dengan:

Jadi kedua vektor tersebut tidak saling tegaklurus atau orthogonal, jadi garis dan bidang tidak

sejajar/parallel.



Jadi, garis dan bidang tidak orthogonal ataupun tidak sejajar.



2.4. Permukaan Quadric Pada bagian ini kita akan membahas permukaan quadric. Permukaan quadric adalah grafik

dari persamaan-persamaan yang mempunyai bentuk umum sbb.:

dimana A, … , J adalah konstanta/constants.

Berikut ini beberapa persamaan standard yang membentuk permukaan quadric yang perlu

kita kenal dengan baik, yaitu:

Ellipsoid Persamaan umum dari ellipsoid.

Gambar 2.13. Permukaan ellipsoid

Bila maka kita akan mendapatkan permukaan bola/sphere.

Disini persamaan ellipsoid berpusat dititik O (0,0,0) , bisa di (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 ) dengan melakukan

proses translasi sederhana. Persamaan menjadi : (𝑥−𝑥0)2

𝑎2 + (𝑦−𝑦0)

2

𝑏2 + (𝑧−𝑧0)2

𝑐2 = 1

Untuk memudahkan pembahasan selanjutnya maka kita memakai titik pusat di (0,0,0).

Kerucut/Cone Berikut ini persamaan suatu kerucut/cone.

Gambar 2.14 Permukaan kerucut/cone.



Perhatikan persamaan cone diatas mempunyai mulut terbuka sepanjang sumbu-z. Untuk

suatu kerucut yang memiliki mulut terbuka sepanjang sumbu-x mempunyai persamaan sbb,

Silender/Cylinder Berikut ini persamaan umum sebuah silinder.

Dalam hal ini penampang irisan/cross section berbentuk sebuah ellipse. Jika kita akan

mendapatkan sebuah silender dengan irisan berbentuk lingkaran. Persamaan silinder dengan

irisan lingkaran dengan mulut membuka sepanjang sumbu z adalah:

Gambar 2.15. Permukaan bentuk silender dengan irisan sebuah ellipse.

Silinder diatas akan mempunyai pusat sepanjang sumbu yang tidak muncul dalam persamaan,

dalam hal ini sumbu-z. Perlu diperhatikan untuk tidak bingung dengan bentuk lingkaran atau

ellips. Dalam 2 dimensi kita dengan persamaan yang sama kita memperoleh suatu ellips atau

lingkaran, tetapi dalam 3 dimensi kita mendapatkan sebuah silender.

Hyperboloid of One Sheet Berikut ini persamaan hyperboloid of one sheet.

Gambar sketsa adalah sbb.

Gambar 2.16. Hyperboloid of one sheet



Variabel dengan tanda negative didepannya akan memberikan sumbu mana grafik tsb

berpusat, untuk bentuk diatas variable z dan sumbu-z.

Hyperboloid of Two Sheets Berikut ini persamaan hyperboloid of two sheets.

Gambar 2.17. Hyperboloid of two sheets.

Variabel dengan tanda positif didepannya akan menentukan sumbu mana grafik diatas

berpusat, dalam bentuk diatas sumbu-z.

Elliptic Paraboloid Berikut ini persamaan sebuah elliptic paraboloid.

Penampang irisan dari berbentuk ellipse dan bila maka penampang irisan akan

berbentuk lingkaran.

Gambar 2.18. Elliptic paraboloid

Dalam hal ini, variabel yang tidak berpangkat menentukan pada sumbu mana bentuk ini

mempunyai mulut terbuka, dalam kasus diatas sumbu z. Tanda c menentukan arah mana



paraboloid tersebut membuka. Bila c positive maka membuka keatas dan jika c negative

maka membuka kebawah.

Hyperbolic Paraboloid Berikut persamaan hyperbolic paraboloid.

Gambar 2.19. hyperbolic paraboloid.

Bentuk diatas menyerupai bentuk pelana (saddle shaped) dan seperti juga elliptic paraboloid

tanda c menentukan arah mana permukaan tersebut membuka. Gambar diatas c positive.

With the both of the types of paraboloids discussed above the surface can be easily moved up

or down by adding/subtracting a constant from the left side.

Contoh:

Adalah elliptic paraboloid yg memiliki mulut membuka kebawah, persamaan diatas dapat

ditulis dalam bentuk (𝑧−6)

−1= 𝑥2 + 𝑦2 sehingga titik pusat adalah di bukan di .

Gambar 2.20. permukaan paraboloid dengan persamaan .



2.5. Fungsi multivariabel Pada bab ini kita akan membahas tentang fungsi multivariabel. Dari definisi fungsi kita tahu

tidak semua persamaan quadric berbentuk fungsi.

Kita meninjau grafik fungsi 2 variables, yang adalah permukaan dalam ruang 3

dimensi.Contoh sketsa graphik dari .

Gambar 2.21. Permukaan

Bentuk fungsi umum lain yang telah kita bahas adalah bidang datar. Persamaan umum bidang

datar yang telah kita bahas adalah:

Atau dengan menempatkan z dikiri dan menggantinya dengan notasi fungsi,didapat:

Menggambarkan bidang datar adalah dengan mencari titik potong/interseksi dengan ketiga

sumbu, kemudian menghubungkan ketiga titik tersebut.

Contoh: Gambarkan ,

Untuk lebih mudah menggambarkan fungsi diatas kita tulis sbb.:

Titik potong dengan salah satu garis sumbu didapat dengan menetapkan koordinat variabel

sumbu lainnya = 0. Contoh untuk mendapatkan titik potong dengan sumbu-z kita tetapkan

. Jadi, titik potong pada garis sumbu-z: (0,0,12), untuk sumbu-x:(4,0,0), sumbu-y

(0,3,0)

Sehingga bidang datar tersebut dapat kita gambarkan sbb.:

Gambar 2.22. Permukaan

Kita dapat mengembangkan fungsi menjadi permukaan 4 dimensi, misal .



Namun untuk menggambarkannya tidak bisa, karena intuisi visual kita adalah ruang 3

dimensi.

Domain.

Kita me review kembali konsep domain pada fungsi single variable, , domain x

adalah setiap nilai x yang bila dimasukkan kedalam fungsi akan memberikan kembali satu

dan hanya satu nilai (definisi fungsi). Jadi domain dari fungsi 1 variabel adalah satu garis

bilangan (1 dimensi).

Maka domain fungsi dua variable, , adalah suatu area/daerah/ regions dalam

ruang dua dimensi dan terdiri dari pasangan koordinat, , dan bila kita memasukkan

nilai x & y kedalam fungsi kita akan mendapatkan satu dan hanya satu bilangan real/real

number.

Contoh 2.5.1. Tentukan domain dari fungsi-fungsi berikut ini.

(a) (b) (c)

Solusi

(a) Dalam kasus ini kita tahu akar tidak dapat bernilai negatif, sehingga 𝑥 + 𝑦 ≥ 0

Jadi domain digambarkan sebagai daerah yang diarsir termasuk garis batasnya.

Gambar 2.23. Sketsa

(b) Utk kasus ini juga akar tidak boleh negatif, sehingga

Jadi domain digambarkan sebagai daerah yang diarsir termasuk garis batasnya.

Gambar 2.24. Sketsa 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 𝑜

(c) Dalam kasus ini nilai dalam logarithm tidak boleh negatif atau nol (0), sehingga

Jadi domain digambarkan sebagai daerah yang diarsir tidak termasuk garis batasnya



Gambar 2.25. Sketsa 𝑥2

9+ 𝑦2 < 1

Catatan domain fungsi 3 variabel , , adalah regions dalam ruang 3 dimensi.

Contoh 2.5.2. Tentukan domain dari fungsi berikut ini,

Solusi

Dalam kasus ini kita tahu bahwa akar tidak bisa negatif dan penyebut dalam pembagian tidak

boleh 0. Sehingga perlu disyaratkan,

Jadi, domain dari fungsi ini adalah setiap titik dalam himpunan yang terletak diluar

permukaan bola yang berpusat dititik (0,0,0) dengan jari-jari/radius 4.

Level curve.

Level curve suatu fungsi adalah kurva dalam 2 dimensi yang didapat dengan

menetapkan , dimana k adalah suatu bilangan. Jadi persamaan level curves adalah

. Penulisan lain yang ekivalen bisa dalam bentuk dan dalam

kasus ini persamaan level curve adalah . Level curve disebut juga sebagai

contour curve.

Contoh 2.5.3. Tetapkan level curves dari fungsi . Gambarkan beberapa.

Jawab

dapat kita tuliskan sebagai,

Bila kita pangkat 2 persamaan diatas kita mendapatkan ,

Persamaan diatas adalah persamaan cone atau kerucut dan karena kita tahu dari persamaan

dalam bentuk awal , bahwa akar akan selalu memberi hasil positif, maka dapat

kita simpulkan bahwa bentuk kerucut yang kita ambil adalah kerucut sebelah atas.

Level curves ( contour curves) untuk permukaan ini didapat dari persamaan diatas dengan

mengganti nilai . Dalam contoh kasus ini,

dimana k adalah sembarang blangan. So, in this case, the level curves are circles of radius k

with center at the origin.



Kita dapat menggambar sketsa permukaan tersebut, dan untuk setiap nilai z yang kita

tetapkan dengan bilangan k kita dapatkan sketsa dalam 2 dimensi sbb.

Gambar 2.26. sketsa dan sketsa level curve atau contour curve.

Kita dapat katakan bahwa garis kontur / level curve adalah irisan dari fungsi dan

bidang datar .

Traces.

Bila level curve adalah irisan permukaan dengan bidang datar , maka

traces suatu permukaan adalah kurva/garis lengkung yang merupakan penampang irisan

dengan bidang datar atau .

Contoh 2.5.4. Gambarkan trace dari fungsi untuk bidang dan

.

Untuk . Didapat

Yang merupakan persamaan garis trace. Gambar dibawah ini menggambarkan potongan

irisan bidang x=1 dengan permukaan

Gambar 2.27

Untuk kita

Dan gambar sketsanya berupa



Gambar 2.28.

2.6. Fungsi bernilai Vektor

Fungsi bernilai vektor (dalam buku teks berbahasa Inggris disebut vector-valued function )

adalah fungsi yang mempunyai satu atau lebih variabel dan memetakannya menghasilkan

vektor. Bila fungsi multivariabel yang lalu, memetakan domain dalam himpunan bilangan

real, menjadi bilangan real. Dalam fungsi vektor, memetakan menghasilkan vektor.

Fungsi vektor variabel tunggal dapat dalam atau dan dinyatakan sebagai,

dimana , dan disebut sebagai komponen fungsi.

Perhatikan notasi, 𝑥, 𝑦, 𝑧 menyatakan koordinat, sedangkan 𝑥, 𝑦, 𝑧 menyatakan vektor.

Domain dari fungsi vektor adalah himpunan dari semua nilai t dimana komponen fungsi

terdefinisi.

Contoh 2.6.1. Tetapkan domain dari fungsi

Komponen ke-1 terdefinisi untuk setiap t . Komponen ke-2 terdefinisi hanya untuk .

Komponen ke-3 hanya terdefinisi untuk . Sehingga domain fungsi adalah

Contoh 2.6.2. Gambarkan sketsa fungsi vector .

Domain fungsi t terdefinisi untuk semua himpunan bilangan real t.

Dengan memasukkan nilai t beberapa nilai kita dapatkan vektor diatas, makin banyak nilai

dimasukkan dan ini sangat memungkinkan dengan bantuan komputer, kita mendapatkan

gambar sketsa sbb. :



Gambar 2.29.

Contoh 2.6.3. Buat sketsa fungsi vektor berikut ini

(a) (b)

(a)

Gambar 2.30.

Dalam contoh ini kita mendapatkan sebuah ellipse.

(b)

Gambar 2.31.

Contoh 2.6.4. Gambarkan sketsa fungsi vektor

Fungsi vektor diatas dapat dituliskan sebagai

Dalam bentuk ini kita dapatkan persamaa garis yang melalui titik dan sejajar

dengan vector . Gambar sketsa adalah sbb.:



Gambar 2.32.

Contoh 2.6.5. Gambarkan sketsa fungsi vektor

Kita dapat menulis ulang dalam persamaan parametric untuk kurva

Persamaan x dan y menunjuk pada lingkaran dengan radius 2 dan pusat (0,0) pada 2 dimensi

dan pada 3 dimensi dimana z = 3. Kita dapat menggambarkan sketsa sbb.:

Gambar 2.33.

Contoh 2.6.6. Gambarkan sketsa fungsi vector

Solution Bila komponen z = k seperti contoh 5 kita akan mendapatkan hasil yang sama dengan contoh

5, tetapi dalam contoh ini z = t sehingga gambar sketsa akan berbentuk helix atau spiral.

Gambar 2.34.



Contoh 2.6.7. Tentukan persamaan vektor untuk segment garis yang berawal pada titik

dan berakhir pada titik .

Solusi Untuk mendapatkan persamaan garis bentuk vektor, kita perlu menentukan vektor arah, yaitu

Dengan satu titik P dan vektor arah 𝑣 didapat persamaan garis bentuk vektor, sbb. :

Dengan menata tulis persamaan diatas kita mendapatkan:

Persamaan garis ini dinyatakan dengan titik dan dan karena

perumusan dari soal diatas adalah persamaan segmen garis yang berawal dari P dan berakhir

di Q, tidak lebih dan kurang, maka perlu ditetapkan batasan dari nilai t.

Dari persamaan diatas didapat

Jadi dengan membatasi nilai t antara nol dan satu kita mendapatkan segment garis yang

mulai dari P dan berakhir di Q.

Jadi kesimpulan, persamaan segment garis yang mulai dari dan berakhir di

adalah

Berikut adalah contoh fungsi vektor dengan 2 variabel dalam contoh ini fungsi vektor yang

menggambarkan permukaan.

Contoh 2.6.8. Identifikasi bentuk permukaan apa yang dinyatakan oleh fungsi vektor

.

Solution Fungsi vektor diatas dapat dituliskan kedalam bentuk persamaan parametrik sbb,:

Persamaan pertama dan kedua menyatakan kita dapat mengambil bebas nilai x & y,

persamaan ketiga menyatakan persamaan elliptic paraboloid. Sehingga persamaan diatas

identik menggambarkan persamaan yang menggambarkan bentuk elliptic paraboloid.

Secara umum setiap fungsi single variabel, fungsi dua variabel maupun fungsi multivariabel

dapat dinyatakan/dituliskan dalam kedalam persamaan bentuk vektor.

Semua Fungsi Multivariabel dapat dinyatakan dalam Fungsi Vektor !!!!!!!.

Untuk fungsi single variable ( atau ) atau sembarang fungsi variabel

ganda ( , , atau ) dapat dituliskan kebentuk persamaan

fungsi vektor sbb.:

Untuk fungsi variabel tunggal dinyatakan,



Dan untuk fungsi variabel ganda dinyatakan sebagai,

Sesuai dengan bentuk awal dari fungsi multivariable.

Contoh : Fungsi hyperbolic paraboloid dapat dituliskan sebagai fungsi vektor:

Konsep ini sangat penting dalam pembahasan Kalkulus Peubah Banyak.

2.7. Kalkulus pada Fungsi bernilai Vektor

Pada bagian ini dibahas konsep dasar kalkulus, yaitu limit, turunan / derivatives dan integral

untuk fungsi bernilai vektor . Prinsip kerja, rumusan berlaku dalam dan juga berlaku

untuk perluasan ruang dimensi (ruang dimensi n).

Limit untuk fungsi bernilai vektor.

Contoh 2.7.1.

Hitung dimana fungsi vektor .

Untuk komponen y digunakan dalil L’Hospital.

Turunan Fungsi bernilai Vektor.

Contoh 2.7.2. Hitung (turunan dari) .



Teorema

Beberapa definisi yang penting: smooth curve adalah setiap kurva dimana adalah

kontinu dan untuk setiap t kecuali pada titik akhir. Contoh helix adalah smooth

curve.

Integral Fungsi bernilai Vektor.

Dan untuk definite integrals.

Untuk indefinite integral konstan hasil proses integral berbentuk vektor.

Untuk definite integral dapat dituliskan dalam bentuk,



Contoh 2.7.3. Hitung untuk fungsi vektor .

Contoh 2.7.4. Hitung untuk fungsi vektor .

2.8. Vektor Tangent, Normal dan Binormal

Untuk suatu fungsi vektor, , maka disebut vektor tangent bila terdapat

dan . Garis singgung pada titik P adalah garis yang melalui titik P dan

sejajar vektor tangent, .

Unit vektor tangent didefinisikan

Contoh 2.8.1. Tentukan rumusan vektor tangent dan unit vektor tangent untuk fungsi

vektor .

Vektor tangent adalah:

Panjang unit vektor tangent :

Maka unit vektor tangent adalah

Contoh 2.8.2. Tentukan persamaan bentuk vektor garis singgung pada lengkungan fungsi

vektor pada titik .



Vektor tangent didapat dengan memasukkan nilai pada turunan fungsi vektor,

Nilai lengkungan fungsi vektor pada adalah,

Persamaan vektor dari garis singgung adalah,

Unit vektor normal didefinisikan sebagai,

Unit vektor normal orthogonal (atau normal, atau tegaklurus) terhadap unit vektor tangent

dan juga terhadap kurva fungsi vektor.

Teorema

Bila suatu vektor sehingga untuk setiap t. Maka orthogonal

terhadap .

Vektor Binormal di definisikan sebagai,

Karena vektor binormal adalah hasil perkalian silang/cross product dari unit vektor tangent

dan unit vektor normal maka vektor binormal orthogonal terhadap vektor tangent dan vektor

normal .

Contoh 2.8.3. Tentukan vektor normal dan binormal untuk fungsi vektor

.

Maka unit vektor tangent adalah,

Unit vektor normal didapat dari turunan unit vektor tangent dibagi magnitude unit vektor

tanget.



Sehingga vektor normal adalah,

Vektor binormal adalah,

2.9. Panjang garis/lintasan Fungsi vektor Pada bab ini membahas bagaimana menentukan panjang lintasan dari fungsi vektor,

Pada interval .

Fungsi vektor dapat dituliskan dalam bentuk parametric sbb.:

Panjang lintasan kurva pada interval adalah,

Sehingga, panjang lintasan dapat dituliskan sebagai:

Contoh 2.9.1. Tentukan panjang lintasan dari kurva fungsi vektor

untuk interval .



tangent vector dan magnitude nya adalah:

Maka panjang lintasan adalah:

Fungsi panjang lintasan (arc length function).

Fungsi panjang lintasan (arc length function) didefinisikan sebagai,

Contoh 2.9.2. Tentukan fungsi panjang lintasan fungsi vektor

.

Dari contoh 1 kita dapatkan,

Sehingga kita dapatkan fungsi panjang lintasan sebagai,

Dari persamaan diatas kita dapatkan :

Dengan memasukkan nilai diatas ke fungsi vektor awal, kita melakukan reparameterize

(parameterisasi ulang) fungsi vektor kedalam bentuk, . Jadi untuk fungsi vektor

dalam contoh kita dapatkan,

Dari persamaan vektor diatas, dapat ditentukan dimana titik capai pada kurva fungsi vektor

setelah menempuh jarak tertentu sepanjang s . Pengukuran jarak s adalah jarak yang diawali

dari titik awal dimana .

Kegunaan dari fungsi lintasan diatas ditunjukkan dalam contoh dibawah ini.

Contoh 2.9.3. Tentukan titik mana yang akan dicapai pada

setelah menempuh jarak lintasan sepanjang ?

Dari proses reparametrisasi diatas, kita dapatkan:



Dengan memasukkan nilai kedalam fungsi diatas kita dapatkan lokasi akhir yang

dicapai adalah pada titik:

Jadi setelah melintasi jarak sepanjang kurva, dicapai titik akhir .

2.10. Kelengkungan/Curvature Kelengkungan/curvature adalah ukuran seberapa cepat suatu lengkungan berubah arah pada

suatu titik yang ditetapkan. Ada beberapa rumusan untuk menentukan kelengkungan suatu

kurva. Rumusan formal diberikan sebagai,

Dimana adalah unit vektor tangent dan s adalah panjang lintasan/kurva (arc length).

Rumusan formal diatas agak rumit untuk digunakan, terdapat dua alternatif rumusan

kelengkungan yang cukup praktis untuk digunakan, yaitu:

Contoh 2.10.1. Tentukan curvature dari fungsi vektor .

Solusi



Dari contoh 2.8.3. pada subbab 2.8. “Vektor Tangent, Normal and Binormal ”, kita mendapatkan hasil perhitungan untuk fungsi vektor diatas, sebagai:

Turunan unit tangent adalah,

Besaran (magnitude) kedua vektor adalah,

Maka kelengkungan didapat,

Dalam kasus contoh ini didapatkan nilai kelengkungan (curvature) adalah constant. Ini berarti

bahwa kurva berubah arah dengan laju yang sama pada tiap titik sepanjang kurva, Mengingat

fungsi kurva ini adalah lintasan helix, maka hasil yang didapat sesuai/masuk akal.

Contoh 2.10.2. Tentukan curvature dari .

Dalam contoh ini kita menggunakan rumusan kedua curvature.

Hasil perkalian silang (cross product).

Besaran (magnitudes),

Sehingga nilai untuk setiap nilai t adalah,

Misal kita mempunyai kurva yang dinyatakan dalam fungsi real dan kita ingin

mendapatkan nilai kelengkungannya / curvature.



Setiap fungsi multi variable dapat dinyatakan dalam fungsi vektor, untuk fungsi real diatas

kita dapat menuliskannya sebagai,

Dengan menggunakan rumusan kedua curvature, kita akan mendapatkan



2.11. Kecepatan dan Percepatan

Bila fungsi vektor posisi suatu benda maka kecepatan dan percepatan dari benda

tersebut adalah,

Baik kecepatan maupun percepatan berbentuk vektor.

Dalam mekanika percepatan terdiri dari dua komponen, yaitu komponen tangential, aT, dan

komponen normal , aN. Komponen tangential adalah bagian percepatan yang searah dengan

lintasan dan komponen normal percepatan adalah bagian percepatan yang normal / tegaklurus

(atau orthogonal) terhadap lintasan. Sehingga dapat dituliskan :

Dimana dan adalah unit tangent dan unit normal dari fungsi vektor posisi.

Bila didefinisikan maka komponen tangential dan normal percepatan adalah,

Dimana adalah kelengkungan (curvature) dari fungsi vektor posisi.

Contoh 2.11.1. Bila percepatan suatu benda bergerak adalah , dapatkan

fungsi kecepatan dan fungsi posisi benda , bila diketahui kecepatan awal adalah

dan posisi awal adalah .

Solusi

Fungsi posisi adalah,



Contoh 2.11.2. Untuk contoh diatas, tentukan komponen tangential dan normal percepatan.

Solusi Dengan menggunakan rumus,

Komponen tangential percepatan adalah,

Komponen normal percepatan adalah,



2.12. Koordinat silendris

Koordinat silendris dalam ditunjukan dalam gambar dibawah ini:

Gambar 2.35. Koordinat silendris.

Konversi dari koordinat silendris ke Cartesian adalah sbb.:

Sedangkan konversi dari koordinat Cartesian ke koordinat silendris dinyatakan sbb.:

Contoh 2.12.1. Identifikasi jenis permukaan/surface untuk persamaan berikut ini:

(a) (b) (c)

Solution (a) Silender dengan radius 5 berpusat disumbu-z.

(b) Dengan konversi koordinat Cartesian kita dapatkan

Jadi, bentuk permukaan adalah bola dengan radius = 10.

(c) Dalam kasus ini, dengan konversi ke koordinat kita mendapatkan



Jadi bentuk permukaan yang dimaksud adalah kerucut atau cone.

2.13. Koordinat Bola Koordinat bola digambarkan sbb.:

Gambar 2.36. Koordinat Bola.

Koordinat bola / Spherical coordinates terdiri dari tiga variabel/perubah.

Pertama variabel , yang merupakan jarak dari titik 0 (origin) dengan titik yang dimaksud,

sehingga perlu di syaratkan .

Variabel kedua adalah . Ini adalah sudut yang sama dengan yang dinyatakan dalam

koordinat polar/cylindrical coordinates. Yaitu sudut antara sumbu-x positif dan garis yang

dinyatakan dengan r (yang juga sama dengan r yang dinyatakan dalam koordinat p

olar/cylindrical coordinates). Tidak ada persyaratan untuk .

Variabel ketiga adalah . Ini adalah sudut antara sumbu-z positif dengan garis yang

menghubungkan 0 (origin) dengan titik yang dimaksud. Perlu disyaratkan .

Berikut rumus konversi antara koordinat:

Konversi dari koordinat bola ke koordinat silender, diketahui dan ingin didapat

. Dan karena dalam koordinat bola dan silender adalah sama, maka yang perlu

dicari adalah r dan z . Dengan sedikit proses geometry dan trigoneometry didapat:

Sehingga :

Juga berlaku,

Atau,

Hubungan dengan koordinat Cartesian, untuk itu kita lihat rumus konversi koordinat

Cartesian dengan koordinat silender yang telah dibahas di bab sebelum ini.



Dengan menggunaka formula r dan z kita dapatkan,

Diketahui juga sehingga,

Konversi dari Cartesian atau cylindrical coordinates ke spherical coordinates dilakukan

dengan penurunan rumus yang sama.

Contoh 2.13.1. Lakukan konversi berikut ini.

(a) Konversikan titik dari koordinat silender ke koordinat bola.

(b) Konversikan titik dari koordinat Cartessian ke koordinat bola..

(a) Nilai adalah sama dalam kedua koordinat.

Berikut didapatkan .

Untuk mendapatkan dilakukan dengan rumus konversi untuk r atau z.

Ada banyak kemungkinan untuk nilai yang memberikan , namun karena kita

mempunyai persyaratan dalam maka nilai yang diambila adalah 𝜋

3 , sehingga

koordinat bola yang didapat adalah .

(b) Langkah pertama adalah menemukan .

Untuk mendapatkan , digunakan rumus konversi untuk z.

Karena persyaratan range maka hanya nilai diatas yang diperbolehkan untuk .

Untuk mendapatkan digunakan konversi untuk x atau y. Dengan menggunakan rumus

konversi untuk y didapat,



Dari kedua nilai diatas, perlu dipilih salah satu dan karena koordinat dan

terletak dalam quadrant kedua, maka sudut haruslah sudut yang menghasilkan titik pada

quadrant kedua. Sehingga sudut yang dipilih adalah, .

Jadi koordinat bola adalah .

Contoh 2.13.2. Identifikasi permukaan yang dinyatakan persamaan berikut ini.

(a) (b) (c) (d)

(a) Bila dikonversi ke koordinat Cartesian coordinates yang telah dikenal, didapat.

Sehingga kita mendapat permukaan bola dengan radius 5 berpusat di 0 (origin).

(b)

Kita mendapatkan cone dengan sudut dengan sumbu z positive.

(c)

Didapat bidang datar vertical yang membentuk sudut dengan sumbu-x positive.

(d) Cara 1

Sisi kiri dan kanan ditambahkan dengan didapat.

Bila dikonversi ke koordinat Cartesian didapat,

Persamaan diatas menyatakan sebuah silender dengan radius 2 berpusat di sumbu-x.

Cara 2



Cara ini lebih langsung, yaitu konversi langsung ke koordinat silender dan karena

maka didapat,

Yang berarti suatu silinder dengan radius 2.

diktat kuliah kalkulus peubah banyak...

Documents