kalkulus i 04 fungsi

8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi

1/29

FUNGSI dan GRAFIK

Kalkulus I Materi 4


2/29

Definisi Fungsi :

Fungsi dalam bahasa matematika dinyatakansebagai pemetaan, di mana fungsi merupakankejadian khusus dari suatu relasi. Misalkanhimpunan A dan B dengan relasi R yang

menghubungkan elemen A dengan elemen B.Suatu fungsi f dari A ke B didenisikansebagai suatu relasi antara A dan B dengansifat : f menghubungkan setiap elemen A

dengan satu dan hanya satu elemen B. Ditulis f : AB


3/29

!nt!h : Misalkan A " #a,b,$,d% dan B "#&,',(% maka :


4/29

Grafik Fungsi, Sistem Koordinat

Suatu fungsi riil dapat digambarkan graknyadengan menggambarkan pasangan)pasanganterurut dari fungsi tersebut pada sebuahsystem k!!rdinat artesius yang terdiri dari '

sumbu yang saling tegak lurus. Sumbumendatar *sumbu + menyatakan sumbu dariprapeta *sumbu -ariable bebas dan sumbutegak *sumbu menyatakan sumbu peta

*sumbu -ariable bergantung


5/29

Daerah Definisi dan Daerah Nilai (Domaindan Range)• Jika fungsi f memetakan setiap elemen pada himpunan A ke

elemen pada himpunan B, atau

f : A

B, maka yang dimaksud dengan :• Daerah Definisi (Domain) dari f adalah himpunan A, ditulis A

= Df (harus habis, artinya setiap elemen pada himpunan A

harus mempunyai pasangan pada himpunan B).

• edangkan himpunan B disebut !odomain dari f (tidak harushabis, artinya ada kemungkinan elemen pada himpunan Btidak mempunyai pada himpunan A).

• "impunan bagian dari B merupakan himpunan semua peta(bayangan) dari f, disebut Daerah #ilai ($ange), ditulis $ f

=%y&y=f('), '∈ A


6/29

Contoh :

• Dari fungsi f : A B pada gambar di atas makaDf = A = %a,b,*,d dan $ f = %,+,

• Jika f : $ - $ - di mana ' '+ maka

Df = $ - , sedangkan

$ f = %y&y/ = himpunan bilangan nonnegatif

• Jika f(') = y = maka

Df = %'&−'+ /= %'&0 ≤ ' ≤ dan

$ f = %y&/ ≤ y ≤

21 x−


7/29

Operasi pada Fungsi

• Jika f dan g dua fungsi maka 1umlah f 2 g, selisihf 3 g, hasil kali fg, hasil bagi f4g danperpangkatan fn adalah fungsi0fungsi dengan

daerah asal berupa irisan dari daerah asal f dandaerah asal g, dan dirumuskan sebagai berikut.

• (f 2 g)(') = f (') 2 g(')

• (f 3 g)(') = f (') 3 g(')

• (f g)(') = f (') g(')

• (f 4 g)(') = asalkan g(') ≠ /( )

( ) x g

x f


8/29

Jenis-jenis fungsi riil (R #) :

• 5ungsi 6olinom4suku banyak,

f(x) = a0.x n + a1.x n-1 + …… + an-1 x + an ….

• 5ungsi Al1abar,

y = f(x) = P 0(x)yn + P 1(x)yn-1 + ….. + P n-1(x)y + P n(x)

• 5ungsi 7ransenden4bukan fungsi al1abar, antaralain :8 a. fungsi 9ksponensial : f(x) = a x , a ≠ 0,1

8 b. fungsi ogaritma : f(x) = alogx , a ≠ 0,1


9/29

• 5ungsi 7rigonometri :

• 5ungsi iklometri (5ungsi ;n


10/29

Fungsi PolinomBentuk umum fungsi p!lin!m order atau pangkat

n ( n bilangan bulat positif ) dinyatakan !leh

f(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + an-1 x n-1 + an x n

dengan an ≠ / . Berikut bentuk khusus dari fungsi

p!lin!m, yaitu:Fungsi k!nstan : f(x) = a0.

Fungsi 0inear : f (x) = a0 + a1 x . * f(x) = x : fungsi

identitas Fungsi 1uadrat : f (x) = a

0 + a

1 x + a

2 x 2

Misal f*2 merupakan fungsi p!lin!m !rder n makaakan mempunyai paling banyak n buah pembuat n!lyang berbeda. 3ntuk mendapatkan pembuat n!lfungsi p!lin!m dapat digunakan aturan h!rner.


11/29

Fungsi RasionalBentuk umum fungsi rasi!nal adalah

dengan p*2 dan 4*2 merupakan fungsip!lin!m.

Fungsi rasi!nal f*2 tidak terdenisi padanilai 2 yang menyebabkan penyebut samadengan n!l atau 4*2 " /.

Sedangkan pembuat n!l dari pembilangatau p*2 tetapi bukan pembuat n!lpenyebut merupakan pembuat n!l darifungsi rasi!nal f*2.

!nt!h:

5entukan nilai 2 yang menyebabkan fungsi

( ) ( )( ) xq x p x f =

( )4

232

2

−

+−=

x

x x x f


12/29

Fungsi bernilai mutlak Bentuk dasar fungsi bernilai mutlak

dinyatakan !leh

f*2 " 6 2 6.

7rak fungsi f*2 simetris terhadap sumbu dan terletak di atas dan atau pada sumbu+. Se$ara umum fungsi bernilai mutlakdapat dinyatakan !leh :( ) ( )

( )

( )

∪=∈−

∈== C f C A A D A x x g

A x x g x g x f ;

,

,


13/29

!nt!h : 5entukan nilai 2 agar grak fungsi f(x) = | x 2 + 1| terletak di ba8ah garis y " '.


14/29

Fungsi banyak aturanFungsi ini merupakan bentuk

pengembangan dari fungsi bernilai mutlak,untuk fungsi dengan dua aturan dinyatakan!leh:

Fungsi banyak aturan dapat dikembangkansampai n buah fungsi f j*2 dengan j " &,',

9,n.

( ) ( )( )

∪=∈∈= C f C A A D A x x f A x x f x f ;

,

,

2

1


15/29

Fungsi Genap dan FungsiGanjilFungsi f*2 disebut fungsi genap bila f*2 " f*)2

untuk setiap 2 di d!main f*2 grak f*2 simetristerhadap sumbu y ;. Fungsi f*2 disebut fungsi ganjilbila f*2 " ) f*)2 untuk setiap 2 di d!main f*2 grakf*2 simetris terhadap titik pusat atau pusat sumbu ;.

Bila suatu fungsi bukan merupakan fungsi genap makabelum tentu merupakan fungsi ganjil.

!nt!h :

Manakah diantara fungsi berikut yang merupakanfungsi genap, ganjil atau bukan keduanya

&. f *2 " 2' < '

'. f *2 " *2' < '='

(. f *2 " 2' < '2 >&


16/29

Fungsi Periodik Fungsi f*2 disebut fungsi periodik jika ada

bilangan real positif p sehingga berlaku

f*2>p " f*2 untuk setiap 2 di d!main f*2.?ilai p terke$il disebut periode dari f(x).

Fungsi dasar trig!n!metri merupakan fungsiperi!dik dengan peri!de,

f*2 " sin 2 " sin * 2 > 'π " f* 2 > 'π f*2 " $!s 2 " $!s * 2 > ' π " f* 2 > 'π f*2 " tan 2 " tan * 2 > π " f* 2 > π


17/29

Translasi ( Pergeseran )Bila grak fungsi f*2 digeser ke kanan

* searah atau sejajar sumbu 2 sepanjang k maka hasil pergeseranmerupakan grak dari fungsi

f( x - k ).

Bila grak fungsi f*2 digeser ke atas* searah atau sejajar sumbu y

sepanjang a maka hasil pergeseranmerupakan grak fungsi

f(x) a.


18/29

Fungsi !omposisi1!mp!sisi dari fungsi f*2 dan g*2

didenisikan sebagai

( g o f ) ( x ) " g ( f (x) )

Sebagai $atatan bah8a tidak semua fungsidapat dilakukan k!mp!sisi. Agar dapatdilakukan k!mp!sisi antara fungsi f dan gyaitu g ! f maka syarat yang harusdipenuhi adalah

Rf ∩ #g


19/29

!nt!h :Diketahui fungsi dan

&. 5entukan d!main dan range dari fungsif*2 dan g*2.

'. Apakah g ! f terdenisi @ Bila yatentukan rumusannya.

(. Apakah f ! g terdenisi @ Bila ya,

tentukan rumusannya.

( ) x x f −= 1 ( ) x x x g −= 1


20/29

$ifat-sifat %

&. f ! g ≠ g ! f '. * f ! g ! h " f ! * g ! h

(. Dg ! f ⊆ Df dan Dg ⊆ Rf . Bila Dg " Rf maka Dg!f " Df


21/29

Menggambar 7rak

>

≤≤


22/29

Menggambar grak

4.5

.4

−== x y

x y


23/29

Fungsi n-ers#e&nisi %Misal dua fungsi f dan g berlaku k!mp!sisi

berikut :

*i f * g*2 " 2 , untuk setiap 2 ∈ Dg.

*ii g * f*y " y, untuk setiap y ∈ Df.Maka f disebut in'ers dari g ( notasi f " g

- ) atau g disebut in'ers dari f ( g " f - ).

Sehingga diper!leh hubungan,

f ! f )& " f )& ! f "

merupakan fungsi identitas, yaitu fungsi yangmemetakan ke dirinya sendiri.


24/29

Berikut merupakan $!nt!h fungsi danin-ersnya.

Fungsi f*2 " & > 2 mempunyai in-ers

f )&*2 " 2 )&, sebab *f ! f )&*2 " f *f )&*2" f*2 ) & " &> *2 )& " 2 " *2 .

Satu hal yang menarik bagi kita, apakahsetiap fungsi punya in-ers @ Bagaimana

$ara mendapatkan in-ers dari suatu fungsi@Beberapa sifat berikut dapat digunakanuntuk menja8ab pertanyaan ini.


25/29

Sifat)sifat :&. Sifat antara fungsi dan in-ersnya.

*i 7rak fungsi f dan f )& simetri terhadapgaris y " 2.*ii D!main f sama dengan range f )& atau

range f sama dengan d!main f )&.

'. Sifat 1eberadaan fungsi in-ers*i Fungsi f*2 punya in-ers jika dan hanya jika tidak ada garis mendatar yang

mem!t!ng grak f*2 lebih dari satu titik.*ii Fungsi f*2 punya in-ers jika dan hanya jika f*2 berk!resp!ndensi satu)satu yaitubila f*2& ≠ f*2' maka 2& ≠ 2' ;.

*iii Misal inter-al merupakan d!main f*2


26/29

!nt!h 5entukan in-ers dari fungsi

( )

( )

( )1

12

1

12

2

1

:

2

1

1

−

−−=

−

−−=

+−=

+−=

−

x

x x f

x

x

y

y

y y f

Jawab

x

x x f


27/29

n'ers Fungsi Trigonometri

!nt!h:

&. ( ) x x f y sin==


28/29

$e*ant

Cerlu di$atat bah8a )&sin 2& sehingga argumen untukin-ers fungsi

trig!n!metri adalah berbatas

x x y

sec

1cos ==

x x

1cossec

11 −−=

x x 1sincsc 11 −− =

x x

1tancot

11 −−=

1cos1


29/29

Sifat)sifat lain

2111cossin x x −= −−

( ) 21 1cossin x x −=−

( ) 21 1sincos x x −=−

( ) 1tansec 21 +=− x x

( ) 1sectan 21 −±=− x x

kalkulus i 04 fungsi

Documents