kalkulus lanjut : deret taylor, deret maclaurin, dan aproksimasi taylor terhadap fungsi

21
ARTIKEL Deret Taylor, Deret Maclaurin, dan Aproksimasi Taylor terhadap Fungsi Untuk memenuhi tugas Matakuliah Kalkulus Lanjut yang dibina oleh Bapak Sukoriyanto Disusun oleh: Acika Karunila - 140312604858 Fenda Rizky Utami - 140312606283 Fryska Ayu Winanthi - 140312600413 Offering G UNIVERSITAS NEGERI MALANG

Upload: acika-oesodo

Post on 09-Dec-2015

1.124 views

Category:

Documents


232 download

DESCRIPTION

Mata Kuliah Kalkulus Lanjut Bab 9 Buku Karangan Purcell Edisi 9

TRANSCRIPT

ARTIKEL

Deret Taylor, Deret Maclaurin, dan Aproksimasi Taylor terhadap Fungsi

Untuk memenuhi tugas Matakuliah Kalkulus Lanjut

yang dibina oleh Bapak Sukoriyanto

Disusun oleh:

Acika Karunila - 140312604858

Fenda Rizky Utami - 140312606283

Fryska Ayu Winanthi - 140312600413

Offering G

UNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

JURUSAN MATEMATIKA

September 2015

9.8 Deret Taylor dan Maclaurin

Jika kita mempunyai sebuah fungsi dengan satu variabel, misalkan sin x atau ln(cos2x), dapatkah fungsi ini dinyatakan sebagai suatu deret pangkat dalam x atau secara lebih umum dalam (x a) ? Atau dengan kata lain, adakah bilangan c0, c1, c2, c3, . . . sehingga,

f(x) = c0 + c1(x a) + c2(x a)2 + c3(x a)3 . . .

pada sebuah selang di sekitar x = a ?

Apabila pernyataan fungsi semacam itu ada, maka menurut teorema tentang diferensiasi deret (Teorema 9.7A) akan diperoleh pendiferensialan sebagai berikut,

f’(x) = c1 + 2c2(x a) + 3c3(x a)2 + 4c4(x a)3 . . .

f’’(x) = 2!c2 + 3!c3(x a) + 4.3c4(x a)2 + . . .

f’’’(x) = 3!c3 + 4!c4(x a) + 5.4.3c5(x a)2 + . . .

.

.

.Apabila kita subtitusikan x = a, maka diperoleh,

f(a) = c0

f’(a) = c1

f’’(a) = 2c2 = 2!c2

f’’’(a) = 6c3 = 3!c3

.

.

.Dari hasil subtitusi ini selanjutnya kita dapat menghitung cn, yaitu

c0 = f(a)c1 = f’(a)

c2 =

c3 =

.

.

.Dari penentuan cn ini, kita dapat menuliskan rumus yang lebih umum, yaitu

cn =

Catatan : Agar rumus cn ini berlaku untuk n = 0, maka kita artikan f(0)(a) sebagai f(a) dan 0! = 1.

Dari hasil di atas dapat kita lihat bahwa koefisien-koefisien cn ditentukan oleh f. Hal ini berarti bahwa suatu fungsi f tidak dapat digambarkan oleh dua deret pangkat dari x a yang berbeda seperti yang dituangkan dalam teorema berikut.

Teorema A (Teorema Ketunggalan)

Andaikan f memenuhi uraian berikut,

f(x) = c0 + c1(x a) + c2(x a)2 + c3(x a)3 . . .

untuk semua x dalam selang di sekitar a, maka

cn =

Jadi suatu fungsi tidak dapat dinyatakan oleh lebih dari satu deret pangkat dalam (x a).

Bentuk koefisien cn mirip dengan koefisien yang terdapat dalam Rumus Taylor, oleh karena itu deret pangkat dari (x a) yang menggambarkan sebuah fungsi ini dinamakan deret Taylor. Apabila a = 0, maka deret dinamakan deret Maclaurin.

Teorema B (Teorema Taylor dengan Sisa)

Misalkan f adalah sebuah fungsi yang turunan ke- (n + 1) (x) ada untuk masing – masing x interval terbuka I yang mengandung a. Maka untukmasing – masing x

dalam I,

f(x)= f(a) + (x – a )+

(x a)2 + . . .

+ + Rn(x)

dengan sisa (galat) Rn(x) di berikan oleh rumus

Rn(x) =

dengan c suatu titik di antara x dan a.

Dengan deret Taylor ini kita bisa menjawab pertanyaan di awal bagian ini yaitu apakah sebuah fungsi f dapat digambarkan sebagai deret pangkat dalam x atau (x a) seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema C (Teorema Taylor)

Misalkan f adalah sebuah fungsi yang memiliki turunan dari semua tingkat dalam selang (a r, a r). Syarat perlu dan cukup supaya deret Taylor

f(a) + f’(a)(x a) + (x a)2 + (x a)3 + . . .

menggambarkan fungsi f dalam selang tersebut adalah,

dengan Rn(x) adalah suku sisa dalam Rumus taylor, yaitu

Rn(x) =

dengan c suatu bilangan dalam selang (a r, a r).

Bukti :

Untuk membuktikan teorema ini kita hanya perlu mengingat Rumus Taylor, yaitu

f(a) + f’(a)(x a) + (x a)2 + (x a)3 + . . . + + Rn(x)

dengan mengambil , maka diperoleh,

f(a) + f’(a)(x a) + (x a)2 + (x a)3 + . . .

Perhatikanlah, apabila a = 0, maka diperoleh deret Maclaurin, yaitu

f(0) + f’(0)(x) + x2 + x3 + . . .

CONTOH 1

Tentukan deret Maclaurin untuk sin x dan buktikan bahwa deret tersebut menggambarkan sin x untuk semua x.

PENYELESAIAN:f(x) = sin x f(0) = 0f’(x) = cos x f’(0) = 1f’’(x) = sin x f’’(0) = 0f’’’(x) = cos x f’’’(0) = 1f(4)(x) = sin x f(4)(0) = 0f(5)(x) = cos x f(5)(0) = 1f(6)(x) = sin x f(6)(0) = 0

f(7)(x) = cos x f(7)(0) = 1 . . . .

Dengan memasukan harga-harga turunan ini ke deret Maclaurin diperoleh,

sin x =

Uraian deret ini akan berlaku untuk semua x, asal dapat dibuktikan bahwa

= = 0

Oleh karena atau , maka

Rn(x) =

Selain itu, menurut Uji Suku ke-n diperoleh bahwa = 0. Jadi = 0.

CONTOH 2

Tentukan deret Maclaurin untuk cos x dan buktikan bahwa deret tersebut menggambarkan cos x untuk semua x.

PENYELESAIAN

f(x) = cos x f(0) = 1f’(x) = sin x f’(0) = 0f’’(x) = cos x f’’(0) = 1f’’’(x) = sin x f’’’(0) = 0f(4)(x) = cos x f(4)(0) = 1f(5)(x) = sin x f(5)(0) = 0f(6)(x) = cos x f(6)(0) = 1f(7)(x) = sin x f(7)(0) = 0

. . . . . .

Dengan memasukan harga-harga ini ke deret Maclaurin diperoleh,

cos x =

Uraian deret ini akan berlaku untuk semua x, asal dapat dibuktikan bahwa

= = 0

Oleh karena atau , maka

Rn(x) =

Selain itu, menurut Uji Suku ke-n diperoleh bahwa = 0. Jadi = 0.

CONTOH 3

Tentukan deret Maclaurin untuk f(x) = cosh x dengan dua cara, dan buktikan bahwa uraian tersebut menggambarkan cosh x untuk semua x.

PENYELESAIAN

Cara pertama,

f(x) = cosh x f(0) = 1f’(x) = sinh x f’(0) = 0f’’(x) = cosh x f’’(0) = 1f’’’(x) = sinh x f’’’(0) = 0f(4)(x) = cosh x f(4)(0) = 1f(5)(x) = sinh x f(5)(0) = 0f(6)(x) = cosh x f(6)(0) = 1

Jadi dengan memasukan harga-harga ini ke deret Maclaurin diperoleh,

cosh x =

Untuk membuktikan bahwa uraian ini menggambarkan cosh x untuk semua x, cukup

dibuktikan bahwa .

Misalkan B sebuah bilangan sebarang, dan andaikan , maka

=

dengan jalan yang sama kita peroleh juga . Oleh karena f(n+1)(x) adalah cosh x atau sinh x maka dapat kita simpulkan bahwa

Bentuk pada ruas terakhir menuju nol apabila n atau . Akibatnya

Cara kedua :

Telah kita ketahui bahwa cosh x = (i)

Dari Contoh VI.9 telah kita peroleh bahwa,

ex = (ii)

dari persamaan (ii) ini dapat ditentukan ex , yaitu

ex = (ii)

dengan mesubtitusikan persamaan (ii) dan (iii) ke persamaan (i) diperoleh,

cosh x =

=

CONTOH 4

Tentukan deret Maclaurin untuk f(x) = sinh x dengan dua cara, dan buktikan bahwa uraian tersebut menggambarkan cosh x untuk semua x.

PENYELESAIN

Cara pertama,f(x) = sinh x f(0) = 0f’(x) = cosh x f’(0) = 1f’’(x) = sinh x f’’(0) = 0f’’’(x) = cosh x f’’’(0) = 1f(4)(x) = sinh x f(4)(0) = 0f(5)(x) = cosh x f(5)(0) = 1f(6)(x) = sinh x f(6)(0) = 1

Jadi dari deret Maclaurin diperoleh,

sinh x =

DERET BINOMIAL

Dari Rumus Binomial diketahui bahwa untuk p bilangan bulat positif berlaku,

(1 + x)p =

dengan

=

Perhatikan bahwa simbol mempunyai arti untuk setiap bilangan riil p, asal saja k bulat

positif. Dengan rumus binomial ini kita dapat menyusun teorema berikut.

Teorema D (Deret Binomial)

Untuk setiap bilangan riil p dan 1 berlaku ,

(1 + x)p =

dengan seperti yang dibicarakan di atas.

Bukti :

Andaikan f(x) = (1 + x)p. Jika kita diferensialkan fungsi ini maka diperoleh,f(x) = (1 + x)p f(0) = 1f’(x) = p(1 + x)p 1 f’(0) = pf’’(x) = p(p 1)(1 + x)p 2 f’’(0) = p(p 1)f’’’(x) = p(p 1)(p 2)(1 + x)p 2 f’’’(0) = p(p 1)(p 2)

. .

. .

. .Dengan memasukan harga-harga diferensial ini ke deret Maclaurin yaitu,

f(x) = f(0) + f’(0)x + x2 + x3 + . . .

maka diperoleh,

(1 + x)p = 1 + px + x2 + x3 + . . . (i)

Karena,

maka persamaan (i) menjadi

(1 + x)p =

CONTOH 5Tuliskanlah (1 x)2 sebagai suatu deret Maclaurin pada selang 1 x 1.PENYELESAIANDengan menggunakan Teorema D diperoleh,

(1 + x)2 =

= 1 + x + x2 + x3 + . .

.

= 1 2x + x2 + x3 +. . .

= 1 2x + 3x2 4 x3 + . . .Selanjutnya ganti x dengan x, maka diperoleh,

(1 x)2 = 1 + 2x + 3x2 + 4 x3 + . . .CONTOH 7Tulislah sebagai suatu deret Maclaurin dan gunakan hasilnya untuk menghampiri sampai 5 angka desimal

PENYELESAIAN: =

Dengan menggunakan deret Binomial diperoleh,

= 1 +

= 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . .

= 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . .

= 1 + x x2 + x3 x4 + . . .

Hasil ini akan kita gunakan untuk menghampiri sampai 5 angka desimal, yaitu

= = = 1 + (0,1) (0,1)2 + (0,1)3 (0,1)4 + . . .

= 1,04881

CONTOH 7

Hitunglah sampai 5 angka desimal.

PENYELESAIAN: =

Dari Contoh 6 kita peroleh.

= 1 + x x2 + x3 x4 + . . .

Ganti x dengan x4, diperoleh

= 1 + x4 x8 + x12 x16 + . . .

Jadi,

= = dx

=

=

0,40102Deret maclaurin yang penting :

9.9 Aproksimasi Taylor terhadap Fungsi

Polinomial Taylor Orde 1 Di subbab 2.9 kita

menekankan bahwa suatu fungsi f dapat

diaproksimasikan dekat titik a oleh garis singgungnya

yang melalui titik (a, f (a)) (Gambar 1)

Kita sebut garis seperti ini sebagai aproksimasi linier

terhadap f dekat a dan kita akan mendapatkan bahwa

Setelah mempelajari deret Taylor, Anda seharusnya mengenali bahwa P1(x) disusun oleh dua

suku pertama, yakni suku-suku orde 0 dan 1, dari deret Taylor dari f yang diuraikan di sekitar

a. Karenanya kita menyebut P1 sebagai polinomial Taylor orde 1 yang terletak di a. Seperti

diperlihatkan pada Gambar 1,kita dapat mengharapkan P1 (x) sebagai aproksimasi yang baik

terhadap f(x) hanya di dekat x = a.

CONTOH 1

Carilah P1 (x) yang terletak di a=1 untuk f(x) = ln x dan gunakan untuk mengaproksimasi ln

0,9 dan ln 1,5

PENYELESAIAN Karena f(x) = ln x, f’(x)=1/x; jadi f (1) = 0 dan f’(x)=1. Karenanya

P1 (x) = 0 + 1(x-1) = x – 1

Akibatnya (lihat Gambar 2), untuk x di dekat 1,

ln x ≈ x – 1

dan

ln 0,9 ≈ 0,9 – 1 = -0,1

ln 1,5 ≈ 1,5 – 1 = 0,5

nilai yang benar dari ln 0,9 dan ln 1,5 sampai

empat angka dibelakang koma adlah – 0,1054 dan

0,4055. Seperti diharapkan, aproksimasi untuk ln

0,9 lebih baik daripada aproksimasi untuk ln 1,5,

karena 0,9 lebih dekat ke 1 daripada 1,5.

Gambar 1

Gambar 2

Polynomial Taylor Orde n

Aproksimasi linear P1 (x) bekerja dengan baik ketika x di dekat a, tetapi kurang baik ketika x

tidak berada di dekat a. Seperti yang mungkin Anda harapkan, penjumlahan sampai suku-

suku yang berorde lebih tinggi dalam deret Taylor biasanya akan memberikan aproksimasi

yang lebih baik. Jadi, polinomial kuadrat

Yang tersusun dari tiga suku pertama deret Taylor untuk f, akan memberikan aproksimasi

yang lebih baik terhadap f ketimbang aproksimasi linear P1 (x0. Polinomial Taylor orde n

yang terletak di a adalah

CONTOH 2

Carilah P2 (x) berdasarkan pada a=1 untuk f(x) = ln x dan gunakan untuk mengaproksimasi ln

0,9 dan ln 1,5.

PENYELESAIAN

Di sini f(x) = ln x, f’ (x) = - 1 / x2 , sehingga f(1) = 0, f’ (1) = 1 dan f’’ (1)= -1. Karenanya,

P2 (x) = 0 + 1 ( x – 1 ) – ½ ( x – 1 )2

Akibatnya untuk x dekat 1,

dan

Seperti diharapkan, ini adalah aproksimasi-

aproksimasi yang lebih baik daripada yang

kita peroleh menggunakan aproksimasi

linear P1 (x) (contoh 1). Gambar 3

memperlihatkan grafik y = ln x dan

aproksimasi P2 (x)

Gambar 3

Polinomial Maclaurin

Ketika a = 0, polynomial Taylor orde n menyerdehanakan polynomial Maclaurin orde n,

yang memberikan aproksimasi secara khusus dekat x = 0.

CONTOH 3

Carilah polynomial Maclaurin orde n untuk ex dan cos x. kemudian aproksimasi e0,2 dan cos

(0,2) menggunakan n = 4.

PENYELESAIAN

Perhitungan turunan-turunan yang diperlukan diperlihatkan dalam table.

Oleh karena itu

ex ≈ 1 + x +

cos (n genap)

Jadi, dengan menggunakan n = 4 dan x = 0,2 , kita peroleh

e0,2

Bandingkan hasil-hasil ini dengan nilai benar sampai tujuh angka dibelakang koma

1,2214028 dan 0,9800666.

Untuk gagasan visual bagaimana polynomial Taylor memberikan aproksimasi

terhadap cos x, kita telah mensketsakan grafik-grafik P1(x) sampai P5(x) dan P8(x), bersama

dengan grafik cos dalam Gambar 4.

Gambar 4

Galat Metode

Di subbab 9.8 kita memberikan rumus untuk galat dalam mengaproksimasi fungsi dengan

polynomial Taylornya. Rumus Taylor dengan suku sisa ada;ah

Galat atau sisa Rn(x) diberikan oleh

Dimana c suatu bilangan real di antara a dan x . Ketika a = 0, Rumus Taylor disebut Rumus

Maclaurin.

CONTOH 4

Aproksimasi e0,8 dengan galat yang lebih kecil daripada 0.001.

PENYELESAIAN Untuk f(x) = ex, Rumus Maclaurin akan menghasilkan suku sisa

Sehingga

Dengan 0<c<0,8 > sasaran kita adalah memilih n yang cukup besar sedemikian rupa sehingga

│Rn (0,8)│<0,001. Sekarang ec < e0,8 <3 dan (0,8)n+1 < (1)n+1 , sehingga

Mudah untuk memeriksa bahwa 3/(n+1)! < 0,001 ketika n ≥ 6, sehingga memperoleh akurasi

yang diinginkan dengan menggunakan polynomial Maclaurin

Kalkulator memberikan jawaban 2,2254948 untuk jumlah ini.

Alat yang Bermanfaat untuk Pembatasan Rn

Nilai │Rn (x)│ yang pasti hamper tidak pernah diperoleh, karena kita tidak mengetahui c,

selain hanya bahwa c hanya terletak dalam suatu interval tertentu. Karena itu tugas kita

adalah mencari nilai maksimum Rn yang mungkin untuk c dalam interval yang diketahui itu.

Untuk melakukan ini secara eksak seringkali sukar, kita biasanya membatasi diri dengan

memperoleh batas-batas “bagus” untuk Rn. Ini melibatkan penggunaan pertidaksamaan

secara bijaksana. Alat utama kita adalah pertidaksamaan segitiga, │ a ± b│≤ │ a + │b│, dan

fakta bahwa persamaan ini menjadi semakin besar ketika kita membuat pembilangnya lebih

besar atau lebih kecil.

CONTOH 5

Jika c diketahui berada dalam [2,4], berikanlah batas yang bagus untuk nilai maksimum dari

PENYELESAIAN

Batas yang berlainan dan yang lebih bagus diperoleh sebagai berikut.

CONTOH 6

Gunakan polinomial Taylor orde 2 untuk mengaproksimasi cos 62° kemudian memberi batas

untuk galat dri aproksimasi tersebut.

PENYELESAIAN

Karena 62° dekat dengan 60°(yang kosinus dan sinusnya diketahui), kita gunakan ukuran

radial dan polinomial Taylor yang terletak di a = /3

Sekarang 62° = + radian

Jadi

Dan

Dan

Lagi-lagi banyaknya perhitungan sedikit, sehingga kita merasa aman dalam melaporkan

bahwa cos 62° = 0,4694654 dengan galat lebih kecil daripada 0,0000071.