diktat ale

Upload: kadex-naxx-bali

Post on 12-Jul-2015

505 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

1 BAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR 1. 1Sistem Persamaan Linear 1.1.1Persamaan Linear Persamaan linear adalah suatupersamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu, (tidak memuatbentuk trigonometri, eksponen, logaritma), tidak ada perkalian atau pembagian dengan variabel lain/dirinya sendiri. Misal : a1x + a2y = b Sebuah persamaan jenisini disebut sebuah PersamaanLinear dalam variabel/ peubah x dany. Secaraumum kita mendefinisikan suatu persamaan linear dalam n peubah x1,x2,,xn sebagai suatu persamaan yang bisa disajikan dalam bentuk : a1x1+a2x2++anxn = b Dengan a1,a2,,an dan b konstanta real. Peubah-peubah dalam suatu persamaan linear kadang-kadang disebut yang tak diketahui. Contoh-contoh Persamaan Linear Bukan Persamaan Linear 1.2x + y = 3 (persamaan Linear) 2.x + 3y2 = 7 (bukan persamaan Linear karena y berpangkat 2 Solusi dari persamaan linear a1x1 + a2x2+ + anxn = b adalah deret dari n bilangan s1, s2, ,sn, sehingga persamaan tersebut akan tepat bila x1 = s1, x2 = s2, , xn = sn.Solusi tersebutyaitu {s1, s2, , sn} disebut himpunan jawab (solution set) atau solusi umum (general solution) dari persamaan linear. Contoh : Himpunan jawab dari 2 x + y = 1 adalah : x = t, y=1-2t atau x = 1/2 (1-t), y=t SistemPersamaanLinearmerupakansejumlahpersamaanyangmengandungnvariable dengan himpunan jawab s1, s2, , sn jika dan hanya jika x1=s1, x2=s2=, , xn=sn

2 Tidaksemuasistempersamaanmempunyaipenyelesaian.Misalnyajikakitamengalikan persamaan keduadalam sistem berikut : x + y= 4 2x + 2y = 6 dengan , akan terbukti bahwa tidak ada penyelesaian karena terjadi ketakkonsistenan: x +y = 4 x + y = 3 Sebuahsistempersamaanyangtidakmempunyaipenyelesaiandisebutsebagaisistem yang tak konsisten; jika paling tidak ada satu penyelesaian, maka sistemitu disebut konsisten. Persamaan-persamaanlineardalamduavariabel/peubahtersebutdapatdibuatdalamsuatu grafikyangberbentukgarislurus,karenasuatutitik(x,y)terletakdalamsuatugarisjikadan hanyajikaangkaxdanymemenuhipersamaangaristersebut,penyelesaiansistempersamaantersebut berpadanan dengan titik-titik potongg1 dan g2,sehingga terdapat 3 kemungkinan : Garis g1 dan g2 mungkin sejajar, dimana tidak ada perpotongan dan akibatnya tidak ada penyelesaian terhadap sistem tersebut.Garisg1dang2mungkinberpotonganhanyadisatutitik,dimanasistemtersebuttepat mempunyai satu persamaan. Garis g1 dan g2 mungkin berimpitan,dimana ada tak terhingga titik potong dan akibatnya ada banyak penyelesaian untuk sistem tersebut. 3 Secara umum dapat diringkaskan mengenai Sistem Persamaan Linear sebagai berikut: 1.1.2Metode Eliminasi Ada3Operasidasaryangdapatdilakukanpadasistempersamaanlineartanpa mengubah jawaban sistem persamaan tersebut. 1. mengubah urutan persamaan pada sistem tersebut. 2. mengalikan sebuah persamaan dari sistem dengan bilangan tak nol. 3. untuk sembarang bilangan real,c 0. SPL TAK HOMOGEN Tidak semua bi = 0,- bi =0 bi = 0 Satu Solusi Sistem Persamaan Linear (SPL) Dengan m persamaan, n variable : m n mn m mn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a= + + += + + += + + +..... ... .........2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11 SPLHOMOGEN b1 = b2 = = bm = 0 KONSISTEN (mempunyai solusi) KONSISTEN TAK KONSISTEN Tak ada titik potong Solusi Trivial x1=x2 = =xn=0 Satu Solusi Solusi Non Trivial Ada xi 0, i=1,2,,n Banyak Solusi 4 1.1.3Matriks Yang Diperluas Untuk menyusun matriks-matriks yang diperbanyakpeubah-peubah harus ditulis dalam urutan yang sama dalam setiap persamaan dan konstanta harus berada disebelah kanan.UntukmenyederhanakanpenulisanSPLdiatas,dapatdituliskandalambentukmatriks gandengan/matriksdiperluas/matriksdiperbesar(AugmentedMatrices)denganmenuliskan koefisien-koefisien persamaan dan konstanta nilai persamaan dalam satu matriks sbb : (((((

m mn m mnnb a a ab a a ab a a a...: : : : :......2 12 2 22 211 1 12 11 1.1.4Operasi Baris Elementer Adatigaoperasiyangdapatdilakukanpadasuatusistempersamaanlineartanpa mengubah jawabannya. Ketiga operasi tersebut, yaitu : Menukar letak dari dua baris matriks tersebutMengalikan suatu baris dengan konstanta tak nolMengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan baris lain Ketigaoperasiinidapatdijalankanpadamatrikslengkapnyadandisebutoperasibaris elementer.Adapun notasiketiga baris tersebut adalah :1.Menukar baris ke-i dan ke j: Bij atauBi Bj 2.Mengalikan baris ke-i dengan bilangan c, c 0 : Bi (c) ataucBi Bi 3.Mengalikan baris ke-i dengan c, ditambahkan pada baris ke-j :Bji (c)atauBj + c Bi Bj

Contoh 1 : 2 31 3 5 1 3 52 9 7 4 6 84 6 8 2 9 7B B (( (( (( (( Contoh 2 : 5 21 3 5 1 3 52 9 7 (3) 6 27 214 6 8 4 6 8B (( (( (( (( Contoh 3:321 3 5 1 3 52 9 7 ( 2) 2 9 74 6 8 0 12 6B (( (( (( (( 1.1.5Eselon Baris BentukEselon-baris,matriksdapatdikatakanEselon-barisapabilamemenuhi persyaratan berikut : 1.Jika suatu baris tidak nol, maka angka pertama yang tidak nol pada baris tersebut harus bernilai 1 (leading 1).2.Jika ada barisyang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkanpada baris-baris bawah dari matriks.3.Jika ada dua baris tidak nol, maka posisi leading 1 pada baris di bawahnya, harus berada lebih kanan dari leading 1 baris di atasnya.4.Masing-masingkolomyangmemilikileading1,elemen-elemenlainpadakolom tersebut bernilai nol.Contoh : -Suatu proses eliminasi sampai memperoleh bentuk Eselon Baris Tereduksi (memenuhi sifat 1 s/d 4) disebut Eliminasi Gauss Jordan -Sedangkan proses eliminasi hingga memperoleh bentuk Eselon Baris (memenuhi sifat 1 s/d 3, sifat 4 tidak terpenuhi) disebut Eliminasi Gauss -Contoh matriks eselon baris tereduksi : ((((

8 1 0 03 0 1 04 0 0 1;(((((

0 0 0 0 00 0 0 0 02 1 0 0 01 0 2 1 0;((((

0 0 00 0 00 0 0 -Contoh matriks eselon baris tapi bukan eselon baris tereduksi : 6 ((((

5 1 0 02 6 1 07 3 4 1;((((

0 0 00 1 00 1 1 ;(((((

0 0 0 0 00 1 0 0 00 1 1 0 00 6 2 1 0 1. 2Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan EliminasiGaussdanEliminasiGaussJordanadalahsuatuprosedurmengoperasikan nilai-nilaididalammatrikssehinggamenjadimatriksyanglebihsederhana.Caranyaadalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yangEselon-baris. Inidapatdigunakansebagaisalahsatumetodepenyelesaianpersamaanlineardengan menggunakan matriks.Contoh : Diketahui persamaan linear x + 2y + z = 6x + 3y + 2z = 92x + y + 2z = 12Tentukan Nilai x, y dan z! Jawab:Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:21 31 32 31 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 611 3 2 9 ( 1) 0 1 1 3 ( 2) 0 1 1 3 (3) 0 1 1 3 ( ) 0 1 1 332 1 2 12 2 1 2 12 0 3 0 0 0 0 3 9 0 0 1 3B B B B ((((( ((((( ((((( ((((( Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitux + 2y + z = 6y + z = 3z = 3Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:y + z = 3 x + 2y + z = 6y + 3 = 3 x + 0 + 3 = 6y = 0 x = 3 Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3 7 1. 3Matriks dan Operasi Matriks Matriksadalahsusunanpersegipanjangdaribilangan-bilanganatauunsur-unsur (elemen-elemen) yang teratur dalam baris dan kolom. Matriksjugabisadidefinisikansebagaisuatususunanbilanganyangberbentuksegiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut elemen(unsur) dari matriks tersebut.Secara umum matriks bisa di ditulis sebagai berikut :A = [

] Ukuran (ordo) dari matriks dinyatakan dengan m x n, dimana m menyatakan banyaknya baris,dannmenyatakanbanyaknyakolomdarimatrikstersebut.Elemenmatriksdapatditulis dengan tanda kurung siku [] atau dalam tanda kurung besar (). Notasi matriks dinyatakan denganhurufcapital,sedangkanelemen-elemennyadenganhurufkecil.MakamatriksAdi atasdapatdinotasikandengan:[

]mxnatau[

]atauelemenbariske-idankolomke-j matriks A dinotasikan dengan ()

=

Matriksyangmempunyaisatubarissajadisebutmatriksbarisdansebaliknya.Secara umummatriksbarisataumatrikskolomlebihseringdinyatakandenganhurufkecildicetak tebal, misal : a = [

] ; b = [

]

Contoh : 0 1Kita mempunyai ()

()

()

()

1.3.1Ukurandan Operasi pada Matriks Ukuranmatriksdiberikanolehjumlahbarisdankolomyangdikandungnya.Misalkan, matriksB = 0

1, mempunyai 2 baris dan 3 kolom, sehingga ukurannya adalah 2x3. Dua ukuran matriks didefinisikan sama jika mempunyai ukuran yang sama dan elemen-elemen yangberpadanan/bersesuaiansama.Jika2matriksberukuransama,makajumlahdarikedua 8 matrikstersebutadalahmenjumlahkanelemen-elemenyangsepadandarikeduamatriks. Matriks yang mempunyai ukuran yang berbeda tidak bisa untuk dijumlahkan atau dikurangkan.JikamatriksA=mxrdanmeatriksB=rxn,makahasilkaliABadalahmatriksmxn. Untukmencarielemen-elemendalambarisidan kolomjdariAB,pilihbarisidarimatriks A dankolomjdanmatriksB.Kalikanelemen-elemenyangberpadanandaribarisdankolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya. Definisi definisi yang terdapat dalam operasi operasi matriks: 1.Duamatriksdidefinisikansamajikakeduanyamempunyaiukuranyangsamadan anggota anggotanya yang berpadanan sama Contoh: Tinjau matriks matriks berikut: 0 10 1 0

1 Jika makatetapi untuk semua nilailainnya matrikstidak sama, karenatidaksemuaanggotaanggotanyayangberpadanansama.Tidakadanilai yang membuatkarenamempunyai ukuran yang berbeda. 2.JikaAdanBadalahmatriksmatriksberukuransama,makajumlah adalah matriksyangdiperolehdenganmenambahkananggotaanggotaBdengananggota anggotaAyangberpadanan,danselisih adalahmatriksyangdiperolehdengan mengurangkananggotaanggotaAdengananggotaanggotaByangberpadanan. Matriks matriks berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan. ( )

()

()

( )

()

()

Contoh: Tinjau matriks matriks 6

76

70 1 Maka, 6

7 6

76

7 9 6

7 6

76

7 3.Jikaadalah sebarang matriks danadalah sebarang skalar, maka hasil kaliadalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap anggotadengan . Dalam notasi matriks, jika [

], maka ()

()

Contoh: Untuk matriks matriks0

10

1 0

1Maka kita akan mendapatkan: 0

10

1() 0

10

1

0

10

1 4.Jika

matriks dengan ukuran sama

skalar, maka bentuk

disebutsebagaikombinasilinierdari

dengan koefisien

. Contoh: Jika 0

10

1 0

1 maka,

()

0

1 0

10

1 0

1 5.Jikamatriksberukurandanmatriksberukuran,makahasilkali adalah suatu matriks berukurandengan unsur unsur sebagai berikut: ()

10 Contoh: 0

16

7 Karenaadalahmatriksdanadalahmatriks,makahasilkaliadalh sebuah matriks . Maka, 0

1 6

70

1 1.3.2Partisi Matriks Sebuahmatriksdapatdipartisikedalammatriksyanglebihkecildenganmenyisipkan garishorizontalatauvertikaldiantarabarisataukolomyangditentukan.MisalkanmatriksA berukuran m x n dapat dipartisi menjadi :A = [

] = [

] A = [

] =[

]

A = [

] = [

] Contoh: Jika 1 2 1A = 3 2 1 ( ( dan 2 11 16 8B( (= ( ( maka : a.Matriks Kolom kedua dari AB = 11 2 1 1113 2 1 98 ( (( ( = (( ( ( 11 b.Matriks Baris pertama dari AB = | | | |2 11 2 1 1 1 2 116 8( ( = ( ( 1. 4Invers dan Kaidah Aritmatika Matriks Diasumsikan bahwa matriks memenuhi sehinga operasi aritmatik matriks tersebut valid, meliputi :a.A + B = B + A b.A +(B+C) = (A+B)+ C c.A(BC) = (AB) C d.A(B+C) = AB + AC e.(B+C)A = BA + CA f.A(B-C) = AB-AC g.(B-C)A = BA-BCh.a(B+C) = aB+aC i.(a+b)C = aC+bC j.(a+b)C = aC-bC k.a(bC) = abC l.a(BC)=(aB)C = B(aC) 1.4.1Invers Matriks JikaAsebuahmatrikssegi(bujursangkar),danmatriksBberukuransamadidapatkan sedemikian hingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik (invertible) dan B adalahinvers dari A.Contoh : B = 0 1 adalah invers dariA = 0 1 Teorema : Misal A = 0 1 maka inversnyaadalah

=

0 1 = [

] 12 Contoh: 1.Tentukan invers dari matriks 0 1 Penyelesaian: Kita beri nama mtriks diatas dengan matriks , sehingga: 0 1 Sedangkan matriks identitasnya: 0 1 Kemudian kita gandengkan matriks A dengan matriks I, sehingga menjadi: ,-0

1 (matriks gandengan ini kita beri nama matriks ) Kita lakukan operasi baris dasar sampai matriksmenjadi matriks I 0

1 ()0

1 ()0

1 0

1 ()0

1 Maka

0 1 1.4.2Sifat-Sifat Invers 1.Invers suatu matriks bersifat unik. Jika B dan C keduanya merupakan invers dari A maka B = C. 2.Suatuhasilkaliberapapunbanyaknyamatriksyangbisadibalikadalahmatriksyang bisa dibalik, dan invers dari hasil kali tersebut adalah hasil kali invers inversnya dalam ukuran terbalik. Jika A dan B matriks-matriks berukuran sama dan dapat dibalik, maka: a.ABdapatdibalik b.()

=

c.Jika

= I ;

= A. A. A. . . A (n faktor, n >0). Jika A bisa dibalik, maka :

= (

)

=

(n faktor).

=

; (

)

=

13 1.4.3JenisJenis Matriks Matriks dapat dibedakan menurut jenisnya, antara lain: 1.Matriks Nol Suatu matriks dikatakan sebagai matriks nol, jika semua elemennya sama dengan nol. Misalnya, ((((

((

0 0 00 0 00 0 0,0 00 0 2.Matriks Baris Suatu matriks dikatakansebagai matriks baris, jika matriks tersebut hanya terdiri atas satu baris, misalnya | | | | 6 2 3 5 , 7 1 3.Matriks kolom Suatu matriks dikatakan sebagai matriks kolom, jika matriks tersebut hanya terdiri dari satu kolom. Misalnya, ((((

((

753,52 4.Matriks persegi dan matriks bujur sangkar Suatumatriksdikatakansebagaimatrikspersegiataumatriksbujursangkar,jika banyak baris pada matriks tersebut sama dengan banyak kolomnya. Misalnya, ((((

((

2 8 11 3 65 7 3,1 43 2 Pada suatu matriks persegi adayang dinamakan sebagai diagonal utama dan diagonal sekunder. Perhatikan matriks berikut. ((((

33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a a 14 Elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama padamatriks tersebut adalah a11, a22dana33(sesuaidenganarsiranyangberasaldarikiriataskekananbawah). Sebaliknya, elemen-elemen yang terletak pada diagonal sekunder sesuai dengan arsiran yang berasal dari kiri bawah ke kanan atas, dalam hal ini: a11, a22, a33. 5.Matriks segitiga Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks segitiga jika elemen-elemenyang ada di bawah atau di atas diagonal utamanya (salah satu, tidak kedua-duanya) bernilai nol. Jikaelemen-elemenyangadadibawahdiagonalutamabernilainolmakadisebut sebagaimatrikssegitigaatas.Sebaliknya,jikaelemen-elemenyangadadiatas diagonal utamanya bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga bawah. Misalnya,

((((

4 0 03 4 02 1 5 ((((

3 2 40 1 50 0 7 Matriks segitiga bawahMatriks segitiga atas 6.Matriks DiagonalSuatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks diagonal jika elemenelemen yangadadibawahdandiatasdiagonalutamanyabernilainol,ataudengankatalain elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol.Misalnya, ((((

((

1 0 00 2 00 0 44 00 1 7.Matriks Skalar Suatumatriksdiagonaldikatakansebagaimatriksskalarjikasemuaelemen-elemen yang terletak pada diagonal utamanya memiliki nilai yang sama, misalnya,((((

((

5 0 00 5 00 0 59 00 9 15 8.Matriks Identitas dan matriks satuan Suatumatriksskalardikatakansebagaimatriksidentitasjikasemuaelemenyang terletak pada diagonal utamanya bernilai satu, sehingga matriks identitas disebut juga matriks satuan.Misalnya, ((((

((

1 0 00 1 00 0 11 00 1 Metode untuk mencari matriks kebalikan adalah melalui operasi baris dasar matriks gandengan antaradan,-,

- Selain itu ada satu cara menentukan solusi SPL apabila matriksinvertible, maka: punya solusitunggalyaitu

Contoh: Tentukan solusi SPL berikut:

Penyelesaian: Kita ubah Sistem Persamaan Linier di atas ke dalam bentuk matriks dan kita beri nama : [

] Sedangkan matriks identitasnya: [

] Kemudian gandengkan matriksdengan matriksdan kita beri nama matriks tersebut dengan K ,- 16 [

] ()

()[

] [

] ()[

] [

] ()[

] [

] ()

()[

] [

] ()[

] Sehingga

[

] Maka

[

] [

][

] Jadi solusi untuk Sistem Persamaan Linier diatas adalah:

1.5Hasil Hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan Teorema: Setiap sistem persamaan linier bisa tidak mempunyai penyelesaian, tepat satu penyelesaian, atau tak hingga banyaknya penyelesaian 17 Teorema: Jikaadalah suatu matriks yang bisa dibalik , maka untuk setiap matriks b, sistem persamaantepat mempunyai satu penyelesaian yaitu

Contoh:

Jika sitem persamaan linier ini diubah ke dalam bentuk matriks maka: [

][

] [

] Sedangkan matriks identitasnya: [

] Kemudian kita akan mencari invers dari matriksdengan menggandengkan matriks tersebut dengan matriks identitasnya, kita beri nama matriks tersebut dengan matriks . ,- [

] ()

()[

] [

] ()[

] [

] ()[

] [

] ()

()[

] 18 [

] ()[

] Sehingga

[

] Maka

[

] [

][

] Jadi solusi untuk Sistem Persamaan Linier diatas adalah:

Latihan Soal Soal 1.

Pada sistem persamaan linier di atas tentukan nilaidansehingga sistem persamaan linier memiliki: a.Solusi tunggal b.Banyak solusi c.Tidak ada solusi ( tidak konsisten ) 2.Selesaikan sistem berikut ini dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan

3.Bila 0 1 Tentukan()jika: a.()

b.()19 4.Diketahui matriks [ ] buktikan bahwa

( )( )

5.Tentukan invers dari matriks , untuk [

] Penyelesaian 1.

Penyelesaian: Kita ubah terlebih dahulu sitem persamaan di atas ke dalam bentuk matriks. Sehingga menjadi: [

] Kemudian matriks diatas kita reduksi. [

] ()

()[

] [

]

[

] [

].

/[

( )

] [

( )

] ()

()[

( )( ) ] a.Sistem Persamaan Linier tersebut memiliki solusi tunggal jika dan hanya jika b.Sistem Persamaan Linier tersebut memiliki banyak solusi jika dan hanya jika: dan 20 c.Sistem Persamaan Linier tersebut tidak mempunyai solusi jika dan hanya jika: dan 2.

Penyelesaian: Kita ubah terlebih dahulu sistem persamaan linier di atas ke dalam bentuk matriks [

] ()

()[

] () [

] ()

()[

] .

/ [

] ()

()[

] 3.0 1 Menentukan () dari a.()

b.()Penyelesaian: a.()

dimana()

()0 1 0 10 10 1 ()0 1 0 1 0 1 ()0 1 0 1 21 ()0 1 b.()dimana()() 0 10 1 ()0 1 0 1 ()0 1 4.[ ]Kita akan membuktikan bahwa:

( ) ( )

Penyelesaian:

( ) ( )

[ ] [ ]( ) [ ] ( ) 0 1 [

][( ) ( )( ) ( )] [( ) ( )] [

][

] [( ) ( )] [

][

] Terbukti. 5.[

]Invers dari matriksadalah 22

(

)[

]

[

]

[

][

] Soal-Soal Latihan: Sistem Persamaan Linear 1.Reduksilah (lakukan operasi baris dasar) matriks berikut sehingga menjadi matriks eselon baris (bentuk eselon) dan kemudian menjadi matriks eselon baris tereduksi (bentuk kanonik baris) : a. ((((

12 5 19 1 22 1 1 b. ((((

7 7 3 6 33 2 1 4 21 2 1 2 1c. (((((

9 6 3 4 2 111 10 9 4 6 37 5 5 3 4 22 1 2 1 2 1 d. (((((

10 7 2 06 4 0 012 8 3 03 2 1 0 2.Jika ada tentukan solusi SPL-SPL berikut: a.2 33 5 41 2 3= += + = y xy xy xd.10 8 33 32 2 3= + += + = + +z y xz y xz y xg. 2 9 6 4 54 2 5 33 5 4 2= + = + + = + +t z y xt z y xt z y x b.9 4 24 2= += +y xy xe.513 4 22 2= = = + z y xz y xz y xh. 8 8 3 65 6 2 42 4 2= = = z y xz y xz y x c.3 2 71 2 22 5= + += += + +z y xz y xz y xf.4 2 5 4 35 6 8 5 22 2 3 2= + += + += + +t z y xt z y xt z y xi.10 8 6 39 3 4 4 23 3 2= + += + + += + +t z y xt z y xt z y x 3.Tentukan nilai a dan b agar SPL berikut mempunyai : (i)satu solusi (ii)tak ada solusi (iii)banyak solusi 22 a.51 2= += by axy xb. 5 21= + = +y axby x c.31= + = ay xby x d.b z y xaz y xy x= + = + = + 5 4 35 3 24 3z 2 4.Perhatikan SPL berikut : a.b z yaz y xy x= += + = 4 a112b. b az y xz ay xy x= + += + += + +113 31 2z 2c.b z y axz ay xy x= + += + += + + 41 az Untuk setiap anilai berapakah setiap sistem mempunyai solusi unik, dan untuk pasangan nilai (a, b) berapakah setiap sistem memiliki lebih dari satu solusi? 5.Jikat o 2 0 s s ,t | 2 0 s s , dant s s 0maka tentukan nilai | o , , dari sistem persamaan tak linear berikut : 9 tan cos 3 sin 62 tan 2 cos 2 sin 43 tan 3 cossin 2= + = += + | o | o | o 6.Tentukan nilai x, y, dan z dari sistem persamaan tak linear berikut: 3 22 26 2 2 22 2 22 2 2= += + = + +z y xz y xz y x 7.Tentukan syarat yang harus dipenuhib agar SPL konsisten : 3213 3 38z 5 45 2b z y xb y xb z y x= + + = + = + 8.Bila ((

=1 21 3A , Tentukan p(A) jika : (i)2 ) ( = x x p ;(ii) 1 2 ) (2+ = x x x p 23 BAB II DETERMINAN 2.1Fungsi Determinan Fungsideterminanmerupakansuatufungsibernilairealdarisuatupeubahmatriks. Fungsideterminandinyatakandengandet.MisalnyaAadalahsuatumatriksbujursangkar, maka fungsi determinan dari matriks A dapat dinyatakan dengan det(A).Terdapatbeberapakonsep-konsepyangperludipahamidalammenentukandeterminan suatu matriks segi, meliputi : 2.1.1Permutasi Permutasidarihimpunanbilanganbulat:{1,2,.,n}adalahbanyaksusunanberbeda daribilangan-bilanganintegertersebuttanpaadanyapenghilanganataupengulangan.Suatu metode yang mudah untuk mendaftarkan permutasi secara sistem adalah dengan menggunakan suatu pohon permutasi. Misalnya permutasi dari bilangan {1,2,3} dapat disusun : (1,2,3)(2,1,3)(3,1,2) (1,3,2)(2,3,1)(3,2,1) 123 231312 3 23121 Daripohonpermutasitersebutdidapatbahwaadaenampermutasiyangberbedadari himpunanbilangan{1,2,3}.Secaraumum,himpunan{1,2,3}akanmempunyain!permutasi yang berbeda (n=banyak elemen). Untuk himpunan {1,2,3}, 3! = 3.2.1 = 6. 23 2.1.2Inversi (pasangan negatif) Suatuinversi dikatakan terjadi dalam suatu permutasi (j1 , j2 , , jn) jika suatu bilangan bulatyanglebihbesarmendahuluibilanganbulatyanglebihkecil.Totaljumlahinversiyang terjadi dalam suatu permutasi bisa didapat sebagai berikut : 1)Caribilanganbulatyanglebihkecildarij1 danyangmengikutij1 dalampermutasi tersebut, 2)Caribilanganbulatyanglebihkecildarij2 danyangmengikutij2 dalampermutasi tersebut, 3)Teruskanprosesmenghitunginiuntukj3, ,jn-1. Totaldarijumlah-jumlahtersebut adalah total jumlah inversi dalam permutasi tersebut. Contoh :Jumlah pembalikan dalam permutasi (2, 4, 1, 3, 5) adalah : 1 + 2 + 0 + 0 = 3. Dari mariks segi A = (ajj)nxn, unsur-unsur aij dan akl dikatakan pasangan negatif jika dan hanya jika kj atau k>i dan l