MA-1223MA-1223Aljabar LinierAljabar Linier

Transformasi Linear

Definisi Suatu fungsi yang memetakan suatu vektor di ruang

vektor V ke ruang vektor W ( dinotasikan dengan T : V W) disebut transformasi linear jika untuk setiap vektor u dan v V berlaku:

1. T(u+v) = T(u) + T(v)2. T(ku) = k T(u), dengan k skalar

Contoh:1. Diketahui T : R2 R3 dengan

y

x

yx

y

xT

Apakah T merupakan transformasi linear?

Contoh (Lanj.)Contoh (Lanj.)

2. Diketahui T : R3 R2 dengan

zyx

x

z

y

x

T

Apakah T merupakan transformasi linear?

3. Diketahui T : R2 R2 dengan

y

x

y

xT

2

Apakah T merupakan transformasi linear?

Contoh (Lanjt.)Contoh (Lanjt.)4. Misalkan V adalah ruang hasil kali dalam, dan

misalkan W adalah subruang V berdimensi berhingga yang mempunyai basis ortonormalS ={w1, w2, …,wn}Diketahui T : V W dengan fungsi yang memetakan vektor v di V ke dalam proyeksi ortogonalnya yang terletak pada W, yaitu

T (v) = <v,w1>w1 + <v, w2>w2 + … + <v, wn>wn

Pemetaan T disebut proyeksi ortogonal dari V pada W. Apakah T pemetaan linear?

Beberapa Istilah dalam TLBeberapa Istilah dalam TL Tranformasi linear yang bekerja pada ruang vektor

yang sama, T: V V disebut Operator Linear. Transformasi linear T : V W dengan T (u ) = 0

disebut Transformasi Nol. Transformasi linear T : V W dengan T (u ) = A u

disebut Transformasi Matriks. Sedangkan A disebut matriks transformasi.

Matriks TransformasiMatriks TransformasiPenentuan matriks transformasi tergantung dari faktor-faktor yang diketahui.Contoh:1. Misalkan T : R3 R2 adalah transformasi matriks. Dan misalkan

a. Cari matriks transformasinya

7

4

1

0

0

T0

3

0

1

0

T1

1

0

0

1

T

b. Cari

z

y

x

T dan

8

3

1

T

Contoh (Lanjt.)Contoh (Lanjt.)2. Tinjaulah basis S = {v1, v2, v3} untuk R3, dimana

v1=(1,1,1), v2=(1,1,0) dan v3=(1,0,0) dan misalkan T : R3 R2 adalah transformasi linear sehingga

a. Cari matriks transformasinya

3

4vT

1

2vT

0

1vT 321

b. Cari

z

y

x

T dan

5

3

2

T

Contoh (Lanjt.)Contoh (Lanjt.)3. Carilah transformasi linear T : P2 P2 yang mana

T(1)=1+x, T(x) = 3 – x2 dan T(x2) = 4 + 2x – 3x2 Hitunglah T(2 – 2x + 3x2)!

4. Carilah transformasi linear T : P2 P2 yang mana T(3x + 3x2) = 16 +51x+19x2, T(–1 + 3x + 2x2) = –6 –5x + 5x2, dan T(3 + 7x + 2x2)=7 + 40x + 15x2, Hitunglah T(1 + x2)!

5. Misalkan T : R3 W adalah proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang xz yaitu W

a. Carilah rumus untuk Tb. Carilah T (2, 7, -1)

6. Misalkan T : R3 W adalah proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang W yang mempunyai persamaan x + y + z =0

a. Carilah rumus untuk Tb. Carilah T (3, 8, 4)

Kernel (Inti) dan JangkauanKernel (Inti) dan JangkauanDiketahui transformasi linear T:V W dengan fungsi T(u), u V.Kernel dari T (disingkat Ker(T)) adalah himpunan u sedemikian hingga T(u) = 0 atau {u| T(u)=0}. Ker(T) juga disebut ruang nol dari T.Himpunan dari b sedemikian hingga T(u)=b disebut Jangkauan dari T (disingkat R(T)). R(T) disebut juga dengan bayangan u oleh T(u).Contoh:Tentukan basis dan dimensi dari Ker(T) dan R(T) dari transformasi linear T:R3 R2 dengan T(u) = A u, dengan u R3 dan

422

211A

Matriks Baku/StandarMatriks Baku/StandarMisalkan transformasi matriks T : Rn Rm dengan T(x) = A x memiliki basis standar S={e1, e2, …,en}. Maka matriks transformasi dari transformasi diatas (matriks standar untuk T) adalah

A = [T(e1) T(e2) … T(en)]

zy

zx

yx

y2x2

z

y

x

T

Contoh: Diketahui transformasi matriks T : R3 R4 dengan

Tentukan matriks standar untuk T!