TUGAS MATEMATIKA

KELOMPOK 3

DISUSUN OLEH :

1. TIA LESTARI DEWI YANTI

2. MIZA PISARI

3. NIKMAH UTAMI

4. RIA AYU WAN

KELAS :

1 ELEKTRONIKA A

POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG

TAHUN AJARAN 2014/2015

Industri air kantung Sungailiat, 33211

Bangka induk propinsi kepulauan Bangka Belitung

Telpon : (0717) 431335 ext. 2281, 2126

FAX : (0717) 93585 email “polman-babel@yahoo.co.id

http//www.polman-babel.ac.id

II

Diferensiasi

Diferensiasi adalah proses menentukan turunan dari suatu fungsi. Pada bagian II ini, dimulai

dengan definisi formal dari turunan suatu fungsi dan menunjukkan bagaimana definisi yang

digunakan untuk mencari turunan. Namun, untuk cepat mempelajari cara mencari derivatif,

maka dengan menggunakan rumus standar untuk diferensiasi jenis fungsi dasar tertentu. Sifat

turunan, turunan numerik, diferensiasi implisit, dan turunannya tingkat tinggi juga disajikan.

BAB 4

Definisi Derivatif dan Derivatif dari Beberapa Fungsi Sederhana

Definisi Derivatif

Turunan f’ (dibaca “f perdana”) dari f fungsi pada nomor x didefinisikan sebagai

f ' ( x )=limh→0

f ( x+h )−f (x)h

, jika terdapat batas pada limit. Jika tidak terdapat batas limit, maka f

tidak memiliki turunan di x. Limit ini juga dapat ditulis f ' (c )=limx → c

f ( x )−f (c )x−c

pada turunan

pada c.

Permasalahan : Pada fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = -2x + 5, menggunakan definisi

turunan untuk menemukan f’(x)

Solusi : Menurut definisi, f ' ( x )=limh→0

f ( x+h )−f (x)h

¿ limh→ 0

(−2 ( x+h )+5 )−(−2x+5)h

=limh → 0

(−2 x−2h+5 )+2 x−5h

¿ limh→ 0

−2 x−3 h+5+2 x−5h

=limh →0

−2 hh

=limh → 0

(−2)=−2

Permasalahan : Pada fungsi f didefinisikan sebagai f ( x )=x2+2 x, menggunakan definisi

turunan untuk menemukan f’(x).

Solusi : Menurut definisi, f ' ( x )=limh→0

f ( x+h )−f (x)h

¿ limh→ 0

((x+h)¿¿2+2(x+h))−(x2+2 x)h

¿

¿ limh→ 0

( x2+2 xh+h2+2 x+2 h )−x2−2 xh

¿ limh→ 0

x2+2 xh+h2+2 x+2 h−x2−2 xh

=limh→ 0

2 xh+h2−2 hh

¿ limh→ 0

h (2 x+h+2 )h

=limh→ 0

(2x+h+2 )=2 x+2

Berbagai simbol yang digunakan untuk mewakili turunan dari fungsi f. Jika Anda

menggunakan notasi y = f (x), maka turunan dari f dapat dilambangkan dengan f’(x), y’,

Dxf(x) , Dxydydx

, or ddx

f (x).

Latihan 4.1

1. f(x) = 4 6. f(x) = 5x2+x-3

2. f(x) = 7x+2 7. f(x) = x3+13x

3. f(x) = -3x-9 8. f(x) = 2x3+15

4. f(x) = 10-3x 9. f(x) = -1/x

5. f(x) = -3/4x 10. f(x) =1/√ x

Pembahasan 4.1

1.f(x) = 4 = dudx

= 0

2. f(x) = 7x +2 = dudx

=¿ 7

3. f(x) = -3x-9 = dudx

= -3

4. f(x) = 10 – 3x =dudx

= -3

5. f(x) = −34

x =dudx

=¿ −34

6. f(x) = 5 x2 + x-3 = dudx

= 10x + 1

7. f (x) = x3 + 13x =dudx

= 3x2 + 13

8. f (x) = 2x3 + 13x = dudx

= 6x2

9. f(x) = −1x

=dudx

= −x−1 = x-2

10. f (x) = 1

√x =

dudx

=x−12 = -

12

x−32

Turunan dari fungsi konstan

Untungnya, Anda tidak harus untuk menemukan turunan dari fungsi langsung dari definisi

derivatif. Sebaliknya, Anda dapat menghafal rumus standar untuk membedakan fungsi dasar

tertentu. Misalnya, turunan dari fungsi konstan selalu nol. Dengan kata lain, jika f (x) = c

adalah fungsi konstan, maka f '(x) = 0; yaitu, jika c adalah setiap konstan, d / dx (c) = 0.

Contoh berikut menggambarkan penggunaan rumus ini:

ddx

(25 )=0

ddx

(−100 )=0

Latihan 4.2

1.f(x) = 7 6. g(x)= 25

2. y = 5 7. s(t) = 100

3. f(x) = 0 8. z(x) = 23

4. f(t) = -3 9. y = - 1/2

5. f(x) = π 10. f(x) = √41

Pembahasan 4.2

1. f(x) = 7 = dudx

= 0

2. y =5=dudy

= 0

3. f (x) = 0 = dudx

= 0

4. f (t) = –3 =dudt

= 0

5. f (x) = π = dudx

= 0

6. g (x) = 25 = dudx

= 0

7. s (t) = 100 = dudx

= 0

8. z (x) = 23 = dudx

= 0

9. y = -12

= dudy

= 0

10. f (x) = √41 = dudx

= 0

Turunan dari fungsi linear

Turunan dari fungsi linear adalah kemiringan grafik nya. Jadi, jika f(x) = mx+b adalah fungsi

linear, maka f’(x) = m; yaitu, ddx

(mx+b )=m.

Contoh berikut menggambarkan penggunaan rumus ini:

Jika f(x) = 10x – 2, maka f’(x) = 10

Jika y = -2x + 5 , maka y’ =-2

ddx ( 3

5x)=3

5

Latihan 4.3

1. f(x) = 9x 6.f(x) =πx−25

2. g(x) =-75x 7. f(x) = -3/4x

3. f(x) = x+1 8. s(t) = 100t-45

4. y = 50x+30 9. z(x) = 0.08x+400

5. f(t) = 2t+5 10. f(x) = √ 41 x+1

Pembahasan 4.3

1. f (x) = 9x = dudx

= 9

2. g (x) = -75x = dudx

= -75

3. f (x) = x + 1 = dudx

= 1

4. y = 50x + 30 = dudx

= 50

5. f (t) = 2t + 5 = dudt

= 2

6. f (x) = πx – 25 = dudx

= π

7. f (x) = −34

x =dudx

= - 34

8. s (t) = 100t - 45 =dudt

= 100

9. z (x) = 0,08x + 400 = dudx

= 0,08

10. f(x) = √41 x + 1 =dudx

= 41 x12 =

412

x−12

Turunan dari fungsi daya (tenaga)

Fungsi f(x) = xn disebut fungsi daya(tenaga). Berikut rumus untuk menemukan turunan dari

fungsi daya(tenaga) adalah salah satu Anda akan sering digunakan dalam kalkulus:

Jika n adalah bilangan real, maka ddx

( xn )=nxn−1.

Contoh berikut menggambarkan penggunaan rumus ini:

Jika f ( x )=x2 ,maka f’(x) = 2x

Jika y=x12 , maka y '=1

2x

−12

ddx

( x−1 )=−1 x−2.

Latihan 4.4

1.f(x) = x3 6. F(x) = 5xπ

2. f(x) = x100 7.f(x) = 1/x5

3.f(x) = x1/4 8.s(t) = t 0,6

4. y = √ x 9.h (s) = s45

5.f(t) = t’ 10.f(x) = 1/∛ x2

Pembahasan 4.4

1.f(x) = x3 = dudx

= 3x2

2.g(x) =x100 = dudx

=100x99

3.f(x) = x1/4 = dudx

= i4

x−34

4.y =f(x) = √ x = x12=du

dx= 1

2x

−12

5.f(t) = t1=du

dt=1

6.f(x) = xπ= dudx

= πxπ−1

7.f(x) = 1

x5=x−5=du

dx=−5 x−6

8.s(t) = t 0,6 = t35 =

dudx

= 35

t−25

9.h(s) = s45 =

duds

=¿ 45

s−15

10.f(x) = 1

3√x2 =dudx

=¿ −23

x−53

Derivatif Numerik

Dalam banyak pengaplikasian, turunan harus dihitung secara numerik. Turunan numerik

derivatif merujuk pada nilai numerik dari turunan suatu titik tertentu, asalkan fungsi tersebut

memiliki turunan di titik tertentu.

Misalkan k adalah bilangan real dan fungsi f terdiferensialkan pada k, maka turunan numerik

dari f pada titik k adalah nilai f’(x) ketika x = k. Untuk menemukan turunan numerik dari

fungsi pada suatu titik tertentu, pertama menemukan turunan dari fungsi, dan mengevaluasi

derivatif pada titik tertentu. Notasi yang tepat untuk mewakili nilai turunan dari fungsi f pada

titik k termasuk f' (k ) , dy

dx|x=k

,∧ dydx|k

Permasalahan Jika f(x) = x2, Temukan f’(5).

Solusi Untuk f(x) = x2, f’(x) = 2x; maka, f’(5) = 2 (5) = 10

Permasalahan jika y=x12, temukan

dydx|x=9

Solusi untuk y=x12 , y '=dy

dx=1

2x

−12 ; maka

dydx|x=9

=12(9)

12=1

2.13=1

6

Permasalahan Temukan ddx

(x-1) = -1x-2 ; pada x = 25, -1x-2 = -1(25)-2= 1

625

Perhatikan dua situasi khusus berikut:

1. Jika f (x) = c adalah fungsi konstan, maka f '(x) = 0, untuk setiap bilangan real x; dan

2. Jika f (x) = mx + b adalah fungsi linear, maka f '(x) = m, untuk setiap bilangan real x.

Turunan numerik dari fungsi-fungsi ini diilustrasikan dalam contoh berikut:

Jika f(x) = 25, maka f’(5) = 0

Jika y = -2x + 5, maka dydx|x=9

=−2

Latihan 4.5

1. if f(x) = x3 find f’ (5) 6. if F(x)=xπ find f’ (10)

2. if g(x) = -100 find g’ (25) 7. if f(x)= 1

x5 find f’ (2)

3. if f(x) = x1/4 find f’ (81) 8. if s(t) = t 0.6 find s’ (32)

4. if y = √ x find dy/dx 9. if h(s) = s45 fin d h’ (32)

5. if f(t)=t, find f’(19) 10.if y = 1

3√x2 find dydx

(64)

Pembahasan 4.5

1. if f(x) = x3 f’(5)

F’(x) = 3x2

F’(5) = 3 (5)2

F’(5) = 75

2. if g (x) = -100 find g’ (25)

= 0

3.if f (x) = x14 find f’ (81)

f(x) = x14

F’ (x) = 14

x−34

F’ (81) = 14

x−34

=

14

4√x3

=14

4√(81)3

=14

4√531441

=14

27

=14

×1

27 = 1

108 = 0,009

4.if y=√ x find dydx

Y = x12

Y’ = 12

x−12

5. if f(t)=t, find f’(19)

=0

6. if F(x)=xπ find f’ (10)

f’ = π xπ−1

π=227

f’ = 227

x227

−1

f’ = 227

x157

f’ = 227

7√ x15

f’ = 227

7√(10)15

f’ = 227

×13894954,9

f’ = 43669858,3

7. if f(x)= 1

x5 find f’ (2)

F(x) = 1.x-5

F’(x) = -5x-6

F’(2) = −5

x6

= −5

26

= −564

8. if s(t) = t 0.6 find s’ (32)

t’ = t 0,6

t’ = 35

t−25

t’ (32) = 35

(32)−25

= 35

15√322

= 35

15√1024

= 35

.14 =

320 = 0,5

9. if h(s) = s45 find h’ (32)

h’ = 45

x−15

h’(32) = 45

32−1

5

= 45

. 1

5√32

= 45

. 12

= 4

10

10.if y = 1

3√x2 find dydx

(64)

Y = x−23

y’ = −23

x−53

y’ = −23

x−53

y’ = −23

. 1

5√(64)3

y’ = −23

. 1

5√262144

y’ = −23

. 1

12,13

y’ = −2

36,39

y’ = 0,055