repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/35371/2/151414046_full.pdf · 2019. 8. 21. · analisis...

ANALISIS PEMAHAMAN KONSEP MAHASISWA

PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SANATA DHARMA

KELAS A PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TAHUN AKADEMIK

2018/2019 PADA MATERI PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Disusun oleh:

Mateas Handy Wicaksono

151414046

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i





SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Disusun oleh:


151414046

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019


ii


iii


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Dalam hidup ini saya memiliki mental seperti orang yang

bermain sepeda, bila saya tidak mengayuh sepeda maka saya

akan jatuh”

(B.J. Habbie)

Skripsi ini saya persembahkan untuk:

Bapak Vitus Supardi dan Ibu Christina Sri Mulatsih

Timotius Vivid Nugroho, Ludovikus Farrel Setiawan, Maria Setia Ifani

Keluarga besar di Ketapang, Klaten, Gamping, dan Jakarta

Keluarga besar Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma


v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 19 Juli 2019

Penulis,



vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH

UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIK

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Mateas Handy Wicaksono

NIM : 151414046

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:





Dengan demikian, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma

hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelola dalam bentuk

pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet

atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun

memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai

penulis.

Demikian pernyataan ini yang dibuat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal 19 Juli 2019

Yang menyatakan,



vii

ABSTRAK

Mateas Handy Wicaksono. 2019. Analisis Pemahaman Konsep Mahasiswa

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma Kelas A Persamaan Diferensial

Biasa Tahun Akademik 2018/2019 pada Materi Persamaan Diferensial Orde Satu .

Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika. Jurusan Pendidikan

Matematika dan Ilmu Pengetahuan. Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan.

Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan pemahaman konsep mahasiswa

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma pada materi persamaan diferensial

orde satu dan mengetahui faktor-faktor yang menyebabkan mahasiswa kesulitan dalam

memahami konsep persamaan diferensial orde satu.

Jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian deskriptif dengan pendekatan

kualitatif. Subjek penelitian ini adalah 43 mahasiswa Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma yang sedang menempuh perkuliahan Persamaan

Diferensial Biasa pada tahun akademik 2018/2019 di kelas A. Metode pengambilan

data berupa tes esai dan wawancara. Data yang diperoleh berupa lembar jawaban

mahasiswa dan transkip wawancara. Teknik analisis data yang digunakan adalah

reduksi data, penyajian data dan kesimpulan.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa 23,36% mahasiswa mampu menggunakan

prosedur atau operasi tertentu untuk memperlihatkan suatu fungsi merupakan solusi

persamaan diferensial; 18,60% mahasiswa mampu mengklasifikasikan persamaan

diferensial orde satu menurut sifat-sifat atau ciri-ciri tertentu; 4,65% mahasiswa

mampu menggunakan prosedur atau operasi tertentu untuk menentukan penyelesaian

umum persamaan diferensial orde satu; dan hanya 2,33% mahasiswa mampu

mengaplikasikan konsep atau algoritma persamaan diferensial orde satu ke pemecahan

masalah. Adapun faktor-faktor yang menyebabkan mahasiswa kesulitan dalam

memahami konsep persamaan diferensial diantaranya faktor internal, yaitu: belum

menguasai materi prasyarat yaitu turunan dan integral; terburu-buru dalam

mengerjakan soal sehingga tidak membaca soal hingga tuntas; kurang memahami ciri-

ciri dari jenis persamaan diferensial orde satu, cara memperlihatkan suatu fungsi

merupakan solusi dari persamaan diferensial, langkah-langkah menentukan solusi dari

persamaan diferensial orde satu, kurang memahami maksud soal; dan tidak teliti dalam

melakukan perhitungan. Faktor eksternal yaitu: kurangnya diskusi dengan teman atau

dosen di kelas ketika belum memahami materi, aktivitas yang tidak berhubungan

dengan perkuliahan persamaan diferensial.

Kata Kunci : Kemampuan pemahaman konsep, persamaan diferensial orde satu.


viii

ABSTRACT

Mateas Handy Wicaksono. 2019. Analysis of Students’ Concept Understanding of

Mathematics Education Sanata Dharma University in Class A Ordinary Differential

Equation Academic Year 2018/2019 on First Order Differential Equations. Thesis.

Mathematics Education Study Program. Faculty of Teacher Training and

Education.

The research aimed to describe the concept understanding ability of

Mathematics Education students of Sanata Dharma University on first order

differential equations and knowing the factors those causes the students had trouble

when they understood the first order differential equations.

The type of research is decriptive research with qualitative research. Subject of

the research were 43 students of Mathematics Education of Sanata Dharma University

on the course of Ordinary Differential Equation class A on academic year 2018/2019.

The collecting data methods used an essay test and interviews. Data obtained were the

students’ answer sheets and interviews transcipt. The analysis data technique used

data reduction, display data, and conclusion.

The result of the research showed that 25,58% students could use the procedure

or operation when they showed that a function is solution of differential equation;

18,60% students could classify first order differential equations into the

characteristics; 4,65% students could use the procedure or operation to determine the

general solution of the first order differential equations; and only 2,33% students could

apply the concepts or algorithms of first order differential equations to solve problem.

The factors those causes the students had trouble when they understood the first order

differential equations were internal factors and external factors. Then internal factors

were have not understood the previous materials yet (derivative and integral),

answered the questions rashly so they did not read and understand the questions; have

not understood characteristics of types of first order differential equations, the way to

show that a function is general solution of differential equations, the procedure to

determine a solution of first order differential equations, and the point of questions;

answered the counting not carefully. External factors were less discussed with friends

or lecture when have not understood the material and the activities that are not related

to Ordinary Differential Equation class.

Keywords : Concept understanding ability, first order differential equations


ix

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat-Nya yang melimpah.

Oleh karena rahmat-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi

ini berjudul Analisis Pemahaman Konsep Mahasiswa Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma Kelas A Persamaan Diferensial Biasa Tahun Akademik

2018/2019 pada Materi Persamaan Diferensial Orde Satu. Skripsi ini disusun sebagai

pemenuhan salah satu syarat untuk memperoleh sarjana pendidikan Program Studi

Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata

Dharma.

Penulis menyadari bahwa dalam menyelesaikan skripsi ini, penulis mendapat

banyak bimbingan, penilaian, saran, dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena

itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Febi Sanjaya, M.Sc. selaku dosen pembimbing sekaligus dosen pengampu

mata kuliah Persamaan Diferensial Biasa kelas A tahun ajaran 2018/2019 yang

telah memberikan kesempatan kepada peneliti untuk melakukan penelitian di kelas

yang beliau ampu serta meluangkan waktu untuk membimbing, mengarahkan dan

memberikan masukan sebagai penyempurnaan skripsi ini;

2. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si. selaku Dekan Fakultas Keguruan dan

Ilmu Universitas Sanata Dharma Yogyakarta;

3. Bapak Beni Utomo, M.Sc. selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta;

4. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, M.Si dosen pendidikan matematika yang

membantu dalam membuat instrumen yang digunakan, seluruh dosen dan

karyawan Program Studi Pendidikan Matematika yang telah memberikan ilmu,

bimbingan, dan pengalaman belajar yang memadai kepada penulis selama belajar

di Universitas Sanata Dharma;

5. Mas Arif, Bu Tari dan Pak Sugeng selaku staf JPMIPA yang telah membantu segala

hal terkait administrasi penulis selama kuliah;


x

6. Mahasiswa Progam Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma yang

mengikuti perkuliahan Persamaan Diferensial Biasa kelas A tahun ajaran

2018/2019 yang telah bersedia menjadi subjek penelitian.

7. Sahabat dan teman-teman Pendidikan Matematika 2015 yang telah membuka diri

untuk berdinamika, berbagi pengalaman, membantu, memberi semangat, dan

menerima penulis selama empat tahun perkuliahan.

8. Semua pihak yang secara langsung ataupun tidak langsung sudah membantu

selama perkuliahan.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini belum sempurna. Penulis membuka diri

untuk menerima kritik dan saran yang membangun demi pengembangan ke arah yang

lebih baik. Semoga skripsi ini dapat menjadi referensi untuk keperluan studi dan

penelitian lebih lanjut.

Yogyakarta, 19 Juli 2019

Penulis


xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ..................................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ..................................................................................... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................................. iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ....................................................................... v

LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK

KEPENTINGAN AKADEMIK ................................................................................... vi

ABSTRAK .................................................................................................................. vii

ABSTRACT ............................................................................................................... viii

KATA PENGANTAR ................................................................................................. ix

DAFTAR ISI ................................................................................................................ xi

DAFTAR TABEL ...................................................................................................... xiv

DAFTAR GAMBAR .................................................................................................. xv

DAFTAR BAGAN .................................................................................................... xix

DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................... xx

DAFTAR SIMBOL ................................................................................................... xxi

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................ 1

A. Latar Belakang ............................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah .......................................................................................... 4

C. Tujuan Penelitian ........................................................................................... 4

D. Pembatasan Masalah ...................................................................................... 4

E. Penjelasan Istilah ........................................................................................... 5

F. Manfaat Penelitian ......................................................................................... 5

BAB II LANDASAN TEORI ...................................................................................... 6

A. Pemahaman Konsep Matematis ..................................................................... 6

B. Persamaan Diferensial.................................................................................. 10

C. Persamaan Diferensial Orde Satu ................................................................ 14


xii

D. Penelitian yang Relevan ............................................................................... 24

E. Kerangka Berpikir ........................................................................................ 25

BAB III METODOLOGI PENELITIAN .................................................................. 27

A. Jenis Penelitian ............................................................................................. 27

B. Subjek Penelitian ......................................................................................... 27

C. Bentuk Data ................................................................................................. 27

D. Waktu dan Tempat Pelaksanaan Penelitian ................................................. 28

E. Metode Pengumpulan Data .......................................................................... 28

F. Instrumen Pengumpulan Data ...................................................................... 29

G. Teknik Analisis Data .................................................................................... 31

H. Prosedur Pelaksanaan Penelitian Secara Keseluruhan ................................. 32

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ................................................................... 34

A. Deskripsi Hasil Tes ...................................................................................... 34

1. Jawaban Soal Nomor 1a .......................................................................... 34

2. Jawaban Soal Nomor 1b .......................................................................... 40

3. Jawaban Soal Nomor 2a .......................................................................... 46

4. Jawaban Soal Nomor 2b .......................................................................... 51

5. Jawaban Soal Nomor 2c .......................................................................... 58

6. Jawaban Soal Nomor 2d .......................................................................... 64

7. Jawaban Soal Nomor 3 ............................................................................ 69

8. Jawaban soal Nomor 4............................................................................. 79

B. Deskripsi Hasil Tes dan Wawancara ........................................................... 87

1. Subjek M32 ............................................................................................. 87

2. Subjek M41 ............................................................................................. 99

3. Subjek M9 ............................................................................................. 110

4. Subjek M24 ........................................................................................... 121

5. Subjek M15 ........................................................................................... 130

6. Subjek M18 ........................................................................................... 141


xiii

C. Pembahasan ................................................................................................ 151

1. Ketercapaian Indikator Pemahaman Konsep......................................... 151

2. Faktor-faktor yang Menyebabkan Mahasiswa Kesulitan dalam Memahami

Konsep Persamaan Diferensial Orde Satu ................................................. 155

D. Keterbatasan Penelitian .............................................................................. 155

BAB V PENUTUP ................................................................................................... 157

A. Kesimpulan ................................................................................................ 157

B. Saran .......................................................................................................... 158

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................... 160

LAMPIRAN .............................................................................................................. 162


xiv

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1. Kategori Hasil Tes ..................................................................................... 28

Tabel 3.2. Kisi-Kisi Soal Tes Esai .............................................................................. 29

Tabel 3.3. Pertanyaan Wawancara .............................................................................. 30

Tabel 4.1. Kategori Nilai ............................................................................................ 87

Tabel 4.2. Ketercapaian Indikator Pemahaman Konsep ........................................... 152


xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.1. Kelompok jawaban 1 soal nomor 1a ...................................................... 35







Gambar 4.8. Kelompok jawaban 1 soal nomor 1b ...................................................... 41

Gambar 4.9. Kelompok jawaban 2 soal nomor 1b ...................................................... 42

Gambar 4.10. Kelompok jawaban 3 soal nomor 1b .................................................... 43





Gambar 4.15. Kelompok jawaban 1 soal nomor 2a .................................................... 47














xvi

Gambar 4. 28. Kelompok jawaban 7 soal nomor 2b ................................................... 56



Gambar 4.31. Kelompok jawaban 1 soal nomor 2c .................................................... 59









Gambar 4.40. Kelompok jawaban 1 soal nomor 2d .................................................... 64




Gambar 4 44. Kelompok jawaban 5 soal nomor 2d .................................................... 67




Gambar 4.48. Kelompok jawaban 1 soal nomor 3 ...................................................... 70









xvii







Gambar 4.62. Jawaban M32 untuk nomor 1a ............................................................. 88

Gambar 4.63. Jawaban M32 untuk nomor 1b ............................................................. 89



Gambar 4.66. Jawaban M32 untuk nomor 2c ............................................................. 93

Gambar 4.67. Jawaban M32 untuk nomor 2d ............................................................. 94

Gambar 4.68. Jawaban M32 untuk nomor 3 ............................................................... 96



Gambar 4.71. Jawaban M41 untuk nomor 1b ........................................................... 101

Gambar 4.72. Jawaban M41 untuk nomor 2a ........................................................... 102


Gambar 4.74. Jawaban M41 untuk nomor 2c ........................................................... 104

Gambar 4.75. Jawaban M41 untuk nomor 2d ........................................................... 105

Gambar 4.76. Jawaban M41 untuk nomor 3 ............................................................. 106






Gambar 4.82. Jawaban M9 untuk nomor 2c ............................................................. 115

Gambar 4.83. Jawaban M9 untuk nomor 2d ............................................................. 116


xviii

















Gambar 4.100. Jawaban M15 untuk nomor 3 ........................................................... 138


Gambar 4.102. Jawaban M18 untuk nomor 1a ......................................................... 141

Gambar 4.103. Jawaban M18 untuk nomor 1b ......................................................... 143

Gambar 4.104. Jawaban M18 untuk nomor 2a ......................................................... 144

Gambar 4.105. Jawaban M18 untuk nomor 2b ......................................................... 145

Gambar 4.106. Jawaban M18 untuk nomor 2c ......................................................... 146

Gambar 4.107. Jawaban M18 untuk nomor 2d ......................................................... 147




xix

DAFTAR BAGAN

Bagan 2. 1. Kerangka Berpikir Penelitian................................................................... 26


xx

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Surat Ijin ............................................................................................... 163

Lampiran 2. Soal Tes Esai ........................................................................................ 164

Lampiran 3. Kunci Jawaban...................................................................................... 165

Lampiran 4. Lembar Validasi ................................................................................... 172

Lampiran 5. Nilai Tes Mahasiswa ............................................................................ 174

Lampiran 6. Jawaban Subjek M32 ............................................................................ 175


Lampiran 8. Jawaban Subjek M9 .............................................................................. 183


Lampiran 10. Jawaban Subjek M15 .......................................................................... 190

Lampiran 11. Jawaban Subjek M18 .......................................................................... 194

Lampiran 12. Transkip Wawancara Mahasiswa yang Pernah Mengambil Mata Kuliah

Persamaan Diferensial Bisa ...................................................................................... 197


xxi

DAFTAR SIMBOL MATEMATIKA

Simbol Keterangan

𝑎𝑛(𝑥), 𝑓(𝑥), ℎ(𝑥), 𝑃(𝑥), 𝐹(𝑥),𝑄(𝑥) fungsi dalam variabel 𝑥

𝑔(𝑦) fungsi dalam variabel 𝑦

𝑔(𝑣) fungsi dalam variabel 𝑣

𝑓(𝑥, 𝑦), 𝐹(𝑥, 𝑦) 𝑀(𝑥, 𝑦), 𝑁(𝑥, 𝑦) fungsi dalam variabel 𝑥 dan 𝑦

𝑑𝑥 diferensial dari variabel 𝑥

𝑑𝑦 diferensial dari variabel 𝑦

𝑑𝑣 diferensial dari variabel 𝑣

𝑑𝑧 diferensial dari variabel 𝑧

𝜕𝑥 diferensial parsial dari variabel 𝑥

𝜕𝑦 diferensial parsial dari variabel 𝑦

𝜕𝑧 diferensial parsial dari variabel 𝑧 𝑑𝑦

𝑑𝑥 turunan pertama 𝑦 terhadap 𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥 turunan pertama 𝑦 terhadap 𝑣

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 turunan kedua 𝑦 terhadap 𝑥

𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛 turunan ke-𝑛 dari 𝑦 terhadap 𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑠 turunan parsial pertama 𝑣 terhadap 𝑠

𝜕𝑣

𝜕𝑡 turunan parsial pertama 𝑣 terhadap 𝑡

𝜕𝑧

𝜕𝑥 turunan parsial pertama 𝑧 terhadap 𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑦 turunan parsial pertama 𝑧 terhadap 𝑦

𝜕2𝑧

𝜕𝑥2 turunan parsial kedua 𝑧 terhadap 𝑥

𝜕2𝑧

𝜕𝑦2 turunan parsial kedua 𝑧 terhadap 𝑦

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 integral tak tentu dari 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥

∫ 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 integral tak tentu dari 𝑔(𝑦) terhadap 𝑦

𝑒 konstanta Euler

𝑐, 𝑐0, 𝑐1, 𝑐2 konstanta

𝜆 lambda

𝜖 anggota/elemen

ℝ bilangan riil

ln logaritma natural


xxii

𝜇(𝑥) faktor integral (fungsi dalam variabel 𝑥)

𝑥𝑖 nilai mahasiswa

�̅� rata-rata nilai mahasiswa

𝑠 simpangan baku sampel/nilai mahasiswa


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika berperan penting dalam perkembangan ilmu pengetahuan dan

teknologi sehingga berpengaruh kepada kehidupan sehari-hari. Matematika

merupakan ilmu dasar yang sebaiknya dipelajari oleh semua orang dari tingkat SD

sampai SMA bahkan perguruan tinggi karena membantu seseorang dalam

memperoleh, mengelola, dan memanfaatkan informasi secara logis, kritis dan

kreatif untuk bertahan hidup pada keadaan yang selalu berubah-ubah dan

kompetitif (Lestari, 2015). Pembelajaran matematika di perguruan tinggi bertujuan

untuk mengembangkan segala kemampuan matematis mahasiswa dalam

memperoleh hasil belajar yang maksimal. Salah satu kemampuan yang

dikembangkan dalam pembelajaran matematika yaitu kemampuan pemahaman

konsep. Pemahaman konsep merupakan kemampuan mengklasifikasikan dan

menjelaskan informasi atau objek yang diperoleh berdasarkan karakteristiknya.

Kesumawati (dalam Ningsih, 2016), menyatakan bahwa landasan penting

yang harus dimiliki oleh peserta didik dalam usahanya untuk berpikir

menyelesaikan permasalahan matematika maupun permasalahan dalam kehidupan

sehari-hari adalah kemampuan dalam memahami konsep matematika. Konsep-

konsep membantu kita untuk mengidentifikasi objek-objek yang ada di sekitar kita

dengan cara mengenali ciri-ciri masing-masing objek (Hamalik, 2001 : 16).

Pentingya kemampuan pemahaman konsep juga disampaikan oleh National

Council of Teacher of Mathematics (2000: 11), yaitu peserta didik harus belajar

matematika dengan pemahaman, secara aktif membangun pengetahuan baru dari

pengalaman dan pengetahuan sebelumnya. Prinsip ini didasarkan pada ide bahwa

belajar matematika dengan pemahaman adalah penting. Belajar matematika tidak

hanya terkait keterampilan menghitung tetapi juga memerlukan kemampuan untuk

berpikir beralasan secara matematis untuk menyelesaikan masalah-masalah baru.


2

Mahasiswa pendidikan matematika juga sebagai calon guru matematika

harus mengembangkan kemampuan pemahaman konsep karena menjadi tujuan

pertama yang diharapkan dapat tecapai dalam pembelajaran matematika di sekolah.

KTSP 2006 yang disempurnakan pada Kurikulum 2013 (Hendriana dan Soemarno,

2014 :7), mencantumkan tujuan pembelajaran matematika yang intinya terdiri dari

kemampuan dalam: (1) memahami konsep matematika, (2) menggunakan

penalaran, (3) memecahkan masalah, (4) mengomunikasikan gagasan, dan (5)

memiliki sikap menghargai kegunaan matematika.

Salah satu mata kuliah yang ada di program studi pendidikan matematika

adalah persamaan diferensial biasa. Menurut Ross (1984), persamaan diferensial

adalah persamaan yang memuat turunan-turunan dari satu atau lebih variabel tak

bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial seringkali

muncul dalam model matematika yang mencoba menggambarkan dunia nyata,

seperti laju perubahan suhu, konsentrasi zat, pertumbuhan penduduk dan bidang

ilmu lainnya. Mallet (dalam Ningsih dan Rohana, 2018) berpendapat bahwa

persamaan diferensial memfokuskan pada teknik algoritma untuk menentukan

solusi dari beberapa tipe spesifik persamaan diferensial.

Berdasarkan pengalaman ketika belajar persamaan diferensial di semester

VI, kemampuan pemahaman konsep sangat penting. Pada persamaan diferensial

orde satu, mahasiswa harus mampu membedakan bentuk persamaan diferensial

seperti persamaan diferensial separabel, homogen, eksak, linear dan Bernoulli.

Berdasarkan hasil wawancara dengan 4 mahasiswa angkatan 2015 yang pernah

mengambil mata kuliah persamaan diferensial biasa, letak kesulitan dalam

menyelesaikan soal terkait persamaan diferensial orde satu diantaranya, kesulitan

dalam memahami materi, menemukan ide awal dalam hal ini membedakan jenis-

jenis persamaan diferensial orde satu, serta menyelesaikan turunan dan integral

untuk mencari solusi dari persamaan diferensial orde satu.


3

Hasil penelitian yang dilakukan Oktavia dan Khotimah (2016 : 99 – 108)

terkait analisis kesulitan mahasiswa dalam menyelesaikan persamaan diferensial

tingkat satu adalah pertama, kesulitan pemahaman konsep yang meliputi kesulitan

merumuskan ciri atau bentuk umum persamaan diferensial, kesulitan menentukan

teknik penyelesaian persamaan diferensial. Kedua, kesulitan penerapan konsep

yang terdiri terdiri kesulitan dalam langkah-langkah perhitungan, kesulitan dalam

materi prasyarat. Sementara penelitian yang dilakukan Naisunis, Taneo, dan Daniel

(2018: 107 – 119) terkait analisis kesalahan mahasiswa dalam pemecahan masalah

persamaan diferensial memperlihatkan bahwa kesalahan yang paling banyak

dilakukan mahasiswa dalam tahap pemecahan masalah adalah kesalahan konsep.

Ningsih dan Rohana (2018: 168 – 176) melakukan penelitian terkait pemahaman

mahasiswa terhadap persamaan diferensial biasa berdasarkan teori APOS (Action

– Process – Object – Schema). Hasil penelitian yang dilakukan memperlihatkan

bahwa sebagian besar mahasiswa hanya mampu memahami konsep pada tahap

aksi. Pada teori APOS, seseorang yang memiliki kemampuan pemahaman konsep

yang baik akan mencapai pada tahap skema.

Berdasarkan pengamatan yang dilakukan pada tanggal 15 Februari 2019

terhadap mahasiswa yang mengambil mata kuliah Persamaan Diferensial Biasa

tahun akademik 2018/2019 di kelas A, peneliti menemukan masalah terhadap

kemampuan pemahaman mahasiswa. Ketika dosen memberikan soal terkait

integral, mahasiswa kesulitan dalam menyelesaikannya karena tidak mampu

mengidentifikasi bentuk integral yang diberikan. Konsep integral sendiri sangat

penting dalam pembelajaran persamaan diferensial. Penyelesaian pada persamaan

diferensial berkaitan dengan teknik pengintegralan. Kemudian saat dosen

memberikan contoh persamaan diferensial dan meminta mahasiswa memberikan

contoh yang lain, mahasiswa mengalami kesulitan.

Dari uraian di atas, peneliti tertarik untuk mengetahui secara mendalam

kemampuan pemahaman konsep mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas


4

Sanata Dharma yang mengambil mata kuliah Persamaan Diferensial Biasa tahun

akademik 2018 / 2019 di kelas A. Materi yang digunakan yaitu persamaan

diferensial orde satu.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, peneliti merumuskan masalah sebagai

berikut:

1. Bagaimana kemampuan pemahaman konsep mahasiswa Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma yang mengambil mata kuliah

Persamaan Diferensial Biasa tahun akademik 2018/2019 kelas A terhadap

materi persamaan diferensial orde satu?

2. Faktor-faktor apa saja yang menyebabkan mahasiswa kesulitan dalam

memahami konsep persamaan diferensial orde satu?

C. Tujuan Penelitian

Sesuai rumusan masalah di atas, penelitian ini bertujuan untuk:

1. mendeskripsikan kemampuan pemahaman konsep mahasiswa Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma yang mengambil mata kuliah

Persamaan Diferensial Biasa tahun akademik 2018/2019 kelas A pada materi

persamaan diferensial orde satu.

2. mengetahui faktor-faktor yang menyebabkan mahasiswa kesulitan dalam

memahami konsep persamaan diferensial orde satu.

D. Pembatasan Masalah

Batasan masalah pada penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Mahasiswa yang menjadi subyek penelitian ialah mahasiswa Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma yang mengikuti mata kuliah Persamaan

Diferensial Biasa di tahun akademik 2018/2019 kelas A.

2. Materi yang digunakan pada soal adalah persamaan diferensial orde satu.


5

E. Penjelasan Istilah

1. Pemahaman konsep adalah kemampuan seseorang untuk menerjemahkan,

menjelaskan, menganalisis dan menyimpulkan informasi atau materi yang

diperolehnya dalam bentuk ucapan maupun tulisan

2. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan-turunan dari satu

atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas.

3. Persamaan diferensial orde satu adalah persamaan diferensial yang indeks

tertinggi dari turunan yang terlibat dalam persamaannya yaitu satu.

F. Manfaat Penelitian

1. Bagi Dosen

a. Penelitian ini dapat memberikan informasi kepada dosen Program Studi

Pendidikan Matematika mengenai kemampuan pemahaman konsep

mahasiswa pada materi persamaan diferensial orde satu.

b. Informasi yang diperoleh dari penelitian ini dapat membantu dosen

pengampu mata kuliah persamaan diferensial biasa untuk melakukan evaluasi

pada sistem pembelajaran yang dilakukan.

2. Bagi Mahasiswa

Penelitian ini membantu mahasiswa mengetahui kemampuan pemahaman

konsep mereka terkait persamaan diferensial orde satu dan memotivasi mereka

untuk meningkatkan kemampuannya.

3. Bagi peneliti

Penelitian ini dapat menambah wawasan dan pengalaman baru dalam penelitian

terkait kemampuan pemahaman konsep terhadap materi persamaan diferensial

orde satu. Hasil penelitian ini dapat digunakan sebagai salah satu referensi para

peneliti yang lain untuk mengetahui pemahaman mahasiswa.


6

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Pemahaman Konsep Matematis

1. Pengertian Pemahaman

Pemahaman menurut Bloom (Susanto, 2013: 6) diartikan sebagai

kemampuan untuk menyerap arti dari materi atau bahan yang dipelajari. Maksud

dari pemahaman Bloom ini adalah seberapa besar peserta didik mampu

menerima, menyerap, dan memahami pelajaran yang diberikan oleh guru kepada

peserta didik, atau sejauh mana peserta didik dapat memahami serta mengerti apa

yang ia baca, yang dilihat, yang dialami, atau yang ia rasakan berupa hasil

penelitian observasi langsung yang ia lakukan.

Susanto (2013: 7) sendiri mengkategorikan pemahaman dalam beberapa

aspek dengan kriteria-kriteria sebagai berikut:

a. Pemahaman merupakan kemampuan untuk menerangkan dan

menginterpretasikan sesuatu; ini berarti bahwa seseorang yang telah

memahami sesuatu atau telah memperoleh pemahaman akan mampu

menerangkan atau menjelaskan kembali apa yang telah ia terima. Selain itu,

bagi mereka yang telah memahami tersebut, maka ia mampu memberikan

interpretasi atau menafsirkan secara luas sesuai dengan keadaan yang ada di

sekitarnya, ia mampu menghubungkan dengan kondisi yang ada saat ini dan

yang akan datang.

b. Pemahaman bukan sekadar mengetahui, yang biasanya hanya sebatas

mengingat kembali pengalaman dan memproduksi apa yang pernah dipelajari.

Bagi orang yang benar-benar telah paham ia akan mampu memberikan

gambaran, contoh, dan penjelasan yang lebih luas dan memadai.

c. Pemahaman lebih dari sekadar mengetahui, karena pemahaman melibatkan

proses mental yang dinamis dengan memahami ia akan mampu memberikan


7

uraian dan penjelasan yang lebih kreatif, tidak hanya memberikan gambaran

yang lebih luas dan baru sesuai dengan kondisi saat ini.

d. Pemahaman merupakan suatu proses bertahap yang masing-masing tahap

mempunyai kemampuan tersendiri, seperti menerjemahkan, menginterpretasi,

ekstrapolasi, aplikasi, analisis, sintesis, dan evaluasi.

Menurut Van De Walle (2008: 26), pemahaman dapat didefinisikan sebagai

ukuran kualitas dan kuantitas hubungan suatu ide dengan ide yang telah ada.

Tingkat kemampuan pemahaman peserta didik berbeda tergantung kemampuan

awal yang dimilikinya. Pemahaman membantu peserta didik untuk melihat

hubungan yang sederhana di antara fakta-fakta atau konsep. (Arikunto, 2012:

131)

2. Pengertian Konsep

Woolfolk (dalam Suradi, 2004) mendefinisikan konsep sebagai suatu

kategori yang digunakan untuk mengelompokkan ide-ide, peristiwa-peristiwa,

orang-orang, dan objek-objek yang similar atau serupa. Sementara Hulse, Egeth

dan Deese (dalam Suharnan, 2005: 115) mendefinisikan konsep sebagai

sekumpulan atau seperangkat sifat yang dihubungkan oleh aturan-aturan tertentu.

Suatu sifat merupakan setiap aspek dari sesuatu objek, atau kejadian yang

memiliki sifat-sifat yang sama dengan objek atau kejadian yang lain. Suatu aturan

adalah instruksi untuk berbuat sesuatu.

Menurut Hamalik (2001: 162), suatu konsep adalah suatu kelas atau

kategori stimuli yang memiliki ciri-ciri umum. Stimuli adalah objek-objek atau

orang. Belajar konsep berguna dalam rangka pendidikan peserta didik atau paling

tidak punya pengaruh tertentu. Orang yang telah memiliki konsep, berarti orang

tersebut telah memiliki pemahaman jelas tentang suatu konsep atau citra mental

tentang sesuatu. Sesuatu tersebut dapat berupa objek konkret ataupun gagasan

yang abstrak.


8

Soedjadi (2000: 4) mendefinisikan konsep sebagai ide abstrak yang dapat

digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek.

Kosep berhubungan erat dengan definisi. Definisi adalah ungkapan yang

membatasi suatu konsep. Dengan adanya definisi orang dapat membuat ilustrasi

atau gambar atau lambang dari konsep yang didefinisikan.

Berdasarkan pengertian-pengertian mengenai pemahaman dan konsep,

dapat dikatakan pemahaman konsep adalah kemampuan seseorang untuk

menerjemahkan, menjelaskan, menganalisis dan menyimpulkan informasi atau

materi yang diperolehnya dalam bentuk ucapan maupun tulisan.

3. Pemahaman Konsep Matematis

Hudojo (2001 : 136) mendefinsikan konsep matematika merupakan suatu

ide abstrak yang memungkinkan kita mengklasifikasikan objek-objek dan

peristiwa-peristiwa ke dalam ide abstrak tersebut. Lebih lanjut Hudojo

berpendapat bahwa belajar matematika berarti belajar tentang konsep-konsep dan

struktur-struktur yang terdapat dalam bahasan yang dipelajari serta mencari

hubungan-hubungan antara konsep-konsep dan struktur-struktur tersebut.

Konsep dalam matematika biasanya dituliskan dalam bentuk definisi.

Dubinsky dan McDonald (dalam Ningsih dan Rohana, 2018: 169),

berpendapat bahwa pemahaman terhadap suatu konsep matematika merupakan

hasil konstruksi atau rekonstruksi dari objek-objek matematika. Proses konstruksi

atau rekonstruksi konsep matematika tersebut terjadi melalui tahapan aksi, proses

dan objek, yang tergabung membentuk suatu skema dalam menyelesaikan

permasalahan matematika.

Menurut Lestari dan Yudhanegara (2015: 81), kemampuan pemahaman

matematis adalah kemampuan menyerap ide-ide matematika. Sementara Skemp

(dalam Hendriana dan Soemarmo, 2014: 20) menggolongkan pemahaman dalam

dua tingkat, yaitu pemahaman instrumental dan pemahaman relasional.

Pemahaman instrumental merupakan kemampuan menghafal dan memahami


9

konsep/prinsip secara terpisah, menerapkan rumus dalam perhitungan sederhana,

dan mengerjakan perhitungan secara algoritmik. Pemahaman relasional

merupakan kemampuan mengaitkan suatu konsep/prinsip lainnya.

Secara sederhana kemampuan pemahaman konsep matematis merupakan

kemampuan untuk mengklasifikasikan dan menjelaskan ide-ide matematika.

Untuk mencapai pemahaman yang bermakna maka pembelajaran matematika

harus diarahkan pada pengembangan kemampuan koneksi matematik antar

berbagai ide, memahami bagaimana ide-ide matematik saling terkait satu sama

lain sehingga terbangun pemahaman menyeluruh, dan menggunakan matematika

dalam konteks di luar matematika. (NCTM, 2000)

4. Indikator Pemahaman Konsep

Menurut Hamalik (2001: 166), untuk mengetahui apakah peserta didik

mengetahui suatu konsep paling tidak ada empat hal yang dapat diperbuatnya,

yaitu sebagai berikut.

a. Ia menyebutkan nama contoh-contoh konsep bila dia melihatnya.

b. Ia dapat menyatakan ciri-ciri (properties) konsep tersebut.

c. Ia dapat memilih, membedakan antara contoh-contoh dari yang bukan contoh.

d. Ia mungkin lebih mampu memecahkan masalah yang berkenaan dengan

konsep tersebut.

Sementara menurut Depdiknas (dalam Yunika dan Rohana, 2018) indikator

pemahaman konsep antara lain yaitu:

1) Menyatakan ulang sebuah konsep;

2) Mengklasifikasikan objek-objek menurut sifat-sifat tertentu sesuai dengan

konsepnya;

3) Memberikan contoh dan non-contoh dari konsep;

4) Menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematis;

5) Mengembangkan syarat perlu atau syarat cukup suatu konsep;

6) Menggunakan, memanfaatkan, dan memilih prosedur atau operasi tertentu;


10

7) Mengaplikasikan konsep atau algoritma ke pemecahan masalah.

5. Faktor- Faktor yang Mempengaruhi Kemampuan Pemahaman Konsep

Tinggi rendahnya kemampuan pemahaman konsep seseorang sangat

berkaitan dengan faktor-faktor yang mempengaruhi proses belajar. Menurut

Suradi (2002) mengemukakan beberapa faktor yang mempengaruhi mudah atau

sulitnya orang belajar konsep, yaitu: (a) kejelasan dan kekonkretan ciri-ciri utama

definisi; (b) tersedianya definisi; (c) penyajian contoh-contoh positif; (d)

penyajian contoh-contoh negatif; dan (e) penyajiannya yang simultan dilawankan

dengan penyajian yang sekuensial dari contoh-contoh positif dan contoh-contoh

negatif.

Pemahaman konsep merupakan bagian dari hasil belajar. Menurut Susanto

(2013: 12), faktor yang mempengaruhi hasil belajar peserta didik dibagi menjadi

dua faktor internal dan eksternal.

a. Faktor internal

Faktor internal merupakan faktor yang bersumber dari dalam diri peserta didik,

mempengaruhi kemampuan belajarnya. Faktor internal ini meliputi:

kecerdasan, minat dan perhatian, motivasi belajar, ketekunan, sikap, kebiasaan

belajar, serta kondisi fisik dan kesehatan.

b. Faktor eksternal

Faktor yang berasal dari luar diri peserta didik yang mempengaruhi hasil

belajar . Faktor eksternal ini diantaranya teman belajar, guru, kejelasan materi,

dan lingkungan sekitarnya.

B. Persamaan Diferensial

Berikut adalah penjelasan materi persamaan diferensial menurut Ross (1984).

Definisi 1

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan-turunan dari

satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas.

Definisi 2


11

Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan yang memuat turunan-

turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.

Definisi 3

Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan yang memuat turunan-

turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu

variabel bebas.

Berikut adalah beberapa contoh untuk persamaan diferensial biasa atau parsial.

Contoh 1

a. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 5𝑥 − 5

b. 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 + 3𝑑𝑦

𝑑𝑥− 7𝑦 = 0

c. 𝜕𝑣

𝜕𝑠+

𝜕𝑣

𝜕𝑡= 𝑣

d. 𝜕2𝑧

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑧

𝜕𝑦2 = 𝑥2

Berdasarkan contoh (1) serta mengacu definisi (2) dan definisi (3), persamaan (a)

dan (b) termasuk ke dalam persamaan diferensial biasa. Persamaan (c) dan (d)

termasuk ke dalam persamaan diferensial parsial.

Tingkat turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial disebut order

Definisi 4.

Orde persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari semua turunan yang

terdapat pada persamaan diferensial tersebut.

Definisi 5.

Pangkat dari persamaan diferensial adalah pangkat dari turunan tingkat

tertinggi setelah persamaan diferensial setelah persamaan diferensial tersebut

ditulis dalam bentuk polinomial dalam turunan.

Contoh 2

a. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥 + 2

b. (𝑑4𝑦

𝑑𝑥2)

2

+ 5𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 6 = 0


12

c. 𝜕𝑧

𝜕𝑥= 𝑧 + 𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑦

Pada contoh (2) persamaan (a) merupakan persamaan diferensial orde satu dan

berpangkat satu. Persamaan (b) merupakan persamaan diferensial orde empat dan

berpangkat dua. Persamaan (c) merupakan persamaan diferensial orde satu dan

berpangkat satu.

Definisi 6

Persamaan diferensial orde 𝑛, dengan variabel tak bebas 𝑦 dan variabel bebas

𝑥, dapat dinyatakan dalam bentuk

𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥)𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑃(𝑥) (2.1)

Dimana 𝑎0 ≠ 0

Persamaan diferensial dikatakan memiliki bentuk linear jika memenuhi syarat-

syarat berikut ini

1. Derajat dari variabel tak bebas dan turunan-turunannya adalah satu.

2. Tidak ada perkalian antara variabel bebas dan turunan-turunannya maupun

perkalian antara turunan dengan turunannya.

3. Tidak ada fungsi transenden dari variabel-variabel tak bebas.

Jika tidak memenuhi syarat-syarat disebut persamaan diferensial tak linear.

Penyelesaian Persamaan Diferensial

Definisi 7

Misalkan persamaan diferensial orde 𝑛

𝐹 (𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛 ,𝑑𝑛−1

𝑑𝑥𝑛−1 , … ,𝑑𝑦

𝑑𝑥, 𝑥) = 0 (2.2)

1. Misal 𝑓 adalah fungsi 𝑥 real pada interval 𝐼 dan mempunyai turunan sampai

orde 𝑛 pada interval 𝐼. Fungsi 𝑓 disebut penyelesaian (solusi) eksplisit

persamaan diferensial (2.2) jika memenuhi persamaan :

𝐹 (𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛 ,𝑑𝑛−1

𝑑𝑥𝑛−1 , … ,𝑑𝑦

𝑑𝑥, 𝑥) = 0

Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼


13

2. Fungsi implisit 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 disebut penyelesaian (solusi) implisit persamaan

diferensial (2.2) apabila 𝑔 dapat mendefinisikan penyelesaian eksplisit

persamaan diferensial.

3. Penyelesaian eksplisit dan implisit persamaan diatas disebut penyelesaian

(solusi) persamaan diferensial.

Contoh 3

Diberikan sembarang persamaan diferensial 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 − 4𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0

Selidikilah apakah 𝑦 = 𝑒2𝑥, merupakan penyelesaian bagi persamaan diferensial

diatas.

Penyelesaian:

Diketahui 𝑦 = 𝑒2𝑥 sehingga 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑒2𝑥 ,

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = 4𝑒2𝑥, disubstitusikan pada ruas

kiri persamaan diferensial semula dihasilkan

𝑑2𝑦


𝑑𝑥+ 4𝑦 = 4𝑒2𝑥 − 4(2𝑒2𝑥) + 4(𝑒2𝑥) = 0

Karena dihasilkan kesamaan identitas, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑦 = 𝑒2𝑥

merupakan penyelesaian bagi persamaan diferensial 𝑑2𝑦


𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0

Masalah Syarat Batas

Diberikan persamaan diferensial

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 dengan syarat 𝑦(1) = 4

Tentukan penyelesaian persamaan diferensial tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui persamaan diferensial

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥

𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥

dengan mengintegralkan kedua ruas didapatkan

𝑦 = 𝑥2 + 𝑐

Karena 𝑦(1) = 4, maka


14

4 = 12 + 𝑐

𝑐 = 3

Sehingga penyelesaian persamaan diferensial tersebut menjadi 𝑦 = 𝑥2 + 3

Secara garis besar konsep penyelesaian persamaan diferensial dapat digolongkan

menjadi:

1. Penyelesaian umum, bilamana penyelesaian persamaan diferensial memuat

sembarang konstanta.

2. Penyelesaian khusus, bilamana konstanta dari penyelesaian umum persamaan

diferensial diberikan oleh nilai tertentu. Penyelesaian khusus ini biasa dikenal

dengan masalah syarat batas persamaan diferensial.

C. Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan diferensial orde satu adalah persamaan yang dapat ditulis dalam

bentuk

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦) (2.3)

atau dapat ditulis

𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 (2.4)

Contoh 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥2+𝑦2

𝑥−𝑦

dapat ditulis dalam bentuk persamaan diferensial (2.4) menjadi

(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0

1. Persamaan Diferensial Separabel

Persamaan diferensial separabel adalah persamaan diferensial yang memiliki

bentuk umum

𝑔(𝑦)𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥) (2.5)

Persamaan diferensial (2.4) dapat ditulis menjadi 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Persamaan diferensial tersebut kemudian dikenakan operasi integral sehingga


15

∫ 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Jika fungsi-fungsi f dan g kontinu, maka nilai integralnya ada dan hasil

integralnya merupakan penyelesaian persamaan diferensial tersebut.

Contoh 5

Tentukan penyelesaian persamaan diferensial 16𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 9𝑥 = 0.

Penyelesaian:

16𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 9𝑥 = 0

16𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥= −9𝑥

16𝑦 𝑑𝑦 = −9𝑥 𝑑𝑥

∫ 16𝑦 𝑑𝑦 = ∫ −9𝑥 𝑑𝑥

8𝑦2 = −9

2𝑥2 + 𝑐

8𝑦2 +9

2𝑥2 = 𝑐

Jadi, penyelesaian persamaan diferensial di atas adalah 8𝑦2 +9

2𝑥2 = 𝑐

2. Persamaan Diferensial Homogen

Fungsi 𝐹(𝑥, 𝑦) disebut fungsi homogen bila terdapat 𝑛 ∈ ℝ sehingga berlaku

𝐹(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆𝑛𝐹(𝑥, 𝑦), dengan 𝑛 order dari fungsi homogen 𝐹(𝑥, 𝑦).

Ciri umum persamaan diferensial homogen adalah tiap suku derajatnya sama.

Contoh 6

Diberikan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 − 2𝑥𝑦2 + 𝑦3, fungsi 𝑓 adalah fungsi homogen

bederajat tiga karena berlaku

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = (𝜆𝑥)3 − 2(𝜆𝑥)(𝜆𝑦)2 + (𝜆𝑦)3

= 𝜆3𝑥3 − 𝜆32𝑥𝑦2 + 𝜆3𝑦3

= 𝜆3(𝑥3 − 2𝑥𝑦2 + 𝑦3)

= 𝜆3𝑓(𝑥, 𝑦)

Persamaan diferensial homogen adalah persamaan diferensial yang memiliki

bentuk umum


16

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑔 (

𝑦

𝑥) (2.6)

Penyelesaian persamaan diferensial homogen.

Untuk menentukan penyelesaian umumnya, persamaan diferensial homogen

direduksi menjadi persamaan diferensial separabel, dengan substitusi 𝑦 = 𝑣𝑥

Sehingga 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑣 + 𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥

Persamaan (2.6) akan menjadi

𝑣 + 𝑥𝑑𝑣

𝑑𝑥= 𝑔(𝑣)

[𝑣 − 𝑔(𝑣)]𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑣 = 0

Persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan diferensial separabel.

Dengan mengalikan 1

[𝑣−𝑔(𝑣)]𝑥 diperoleh

𝑑𝑥

𝑥+

𝑑𝑣

𝑣−𝑔(𝑣)= 0

Kemudian dengan pengintegralan akan didapatkan penyelesaiannya.

Contoh 7

Tentukan penyelesaian persamaan diferensial (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑦 .

Penyelesaian :

(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑦 .

𝑥−𝑦

𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑥

1 −𝑦

𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑥

Persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan diferensial homogen,

dengan memisalkan 𝑦 = 𝑣𝑥 atau 𝑦

𝑥= 𝑣, diperoleh

1 − 𝑣 = 𝑣 + 𝑥𝑑𝑣

𝑑𝑥

1 − 2𝑣 = 𝑥𝑑𝑣

𝑑𝑥

1

1−2𝑣𝑑𝑣 =

1

𝑥𝑑𝑥

∫1

1−2𝑣𝑑𝑣 = ∫

1

𝑥𝑑𝑥


17

ln|1 − 2𝑣| = ln|𝑥| + 𝑐

ln |1 −2𝑦

𝑥| = ln|𝑥| + 𝑐

3. Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial orde satu

𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0

Dikatakan sebagai persamaan diferensial eksak jika persamaan itu mempunyai

diferensial total dari 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑐

𝑑𝐹(𝑥, 𝑦) =𝜕𝐹(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥 𝑑𝑥 +

𝜕𝐹(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦𝑑𝑦 (2.7)

dimana

𝜕𝐹(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥= 𝑀(𝑥, 𝑦) dan

𝜕𝐹(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦= 𝑁(𝑥, 𝑦). (2.8)

Andaikan 𝑀(𝑥, 𝑦) dan 𝑁(𝑥, 𝑦) memiliki turunan di semua titik maka dari

persamaan (2.8) diperoleh

𝜕2𝐹(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦𝜕𝑥=

𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦 dan

𝜕2𝐹(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥

karena 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦 dan

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥 kontinu, maka

𝜕2𝐹(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦𝜕𝑥=

𝜕2𝐹(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥𝜕𝑦

Sehingga

𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦=

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥

merupakan syarat perlu dan syarat cukup agar 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0.

Penyelesaian persamaan diferensial eksak.

Fungsi 𝐹(𝑥, 𝑦) sebagai fungsi penyelesaian persamaan diferensial eksak

diperoleh melalui operasi pengintegralan sebagai berikut.

a. Integralkan terhadap variabel 𝑥 sehingga diperoleh

𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)


18

𝑔(𝑦) adalah konstanta pengintegralan dan nilainya dapat ditentukan dengan

𝜕𝐹(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦= 𝑁(𝑥, 𝑦).

b. Integralkan terhadap variabel 𝑦, sehingga diperoleh

𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + ℎ(𝑥)

ℎ(𝑥) adalah konstanta pengintegralan dan nilainya ditentukan dengan

𝜕𝐹(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥= 𝑀(𝑥, 𝑦).

Contoh 8

Tentukan penyelesaian persamaan diferensial (3𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥 + (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 = 0

Penyelesain:

Buktikan terlebih dahulu persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial

eksak.

𝑀(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 2𝑦 𝑁(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦

𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦= 2

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥= 2

karena 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦=

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥, maka persamaan tersebut merupakan persamaan

diferensial eksak.

𝜕𝐹(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥= 𝑀(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 2𝑦

𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ 3𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑥 =3

2𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑔(𝑦)

mencari nilai 𝑔(𝑦)

𝜕𝐹(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦= 𝑁(𝑥, 𝑦)

2𝑥 +𝑑𝑔(𝑦)

𝑑𝑦= 2𝑥 + 𝑦

sehingga

𝑑𝑔(𝑦)

𝑑𝑦= 𝑦

∫ 𝑑(𝑔(𝑦)) = ∫ 𝑦 𝑑𝑦

𝑔(𝑦) =1

2𝑦2 + 𝑐0


19

Penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut yaitu 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑐1

3

2𝑥2 + 2𝑥𝑦 +

1

2𝑦2 + 𝑐0 = 𝑐1

3

2𝑥2 + 2𝑥𝑦 +

1

2𝑦2 + 𝑐0 − 𝑐1 = 0

3

2𝑥2 + 2𝑥𝑦 +

1

2𝑦2 + 𝑐2 = 0

Faktor Integral

Persamaan 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 belum tentu eksak. Tetapi dengan

mengalikannya dengan sebuah fungsi tertentu, persamaan diferensial tersebut

menjadi eksak. Fungsi pengali itu disebut sebagai faktor integral.

Contoh 9

Persamaan diferensial (2𝑥2 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥2𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0 bukan merupakan

persamaan diferensial eksak akan tetapi dengan mengalikan dengan faktor

integral 1

𝑥2 maka persamaan diferensial menjadi

(2𝑥2+𝑦

𝑥2 ) 𝑑𝑥 + (𝑥2𝑦−𝑥

𝑥2 ) 𝑑𝑦 = 0

(2 +𝑦

𝑥2) 𝑑𝑥 + (𝑦 −1

𝑥) 𝑑𝑦 = 0

sehingga

𝑀(𝑥, 𝑦) = 2 +𝑦

𝑥2 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑦 −1

𝑥

𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦=

1

𝑥2 𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥=

1

𝑥2

4. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Persamaan linear orde satu memiliki bentuk umum

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) (2.9)

Untuk menentukan penyelesaian umumnya, persamaan (2.9) dapat ditulis

menjadi

[𝑃(𝑥)𝑦 − 𝑄(𝑥)]𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0 (2.10)

Berdasarkan persamaan (2.4) maka


20

𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥)𝑦 − 𝑄(𝑥) 𝑁(𝑥, 𝑦) = 1

𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦= 𝑃(𝑥)

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥= 0

Jika 𝑃(𝑥) ≠ 0 maka persamaan diferensial tersebut tidak eksak. Dibutuhkan

faktor integral 𝜇(𝑥) supaya persamaan diferensial tersebut menjadi eksak.

Persamaan (2.10) akan menjadi

[𝜇(𝑥)𝑃(𝑥)𝑦 − 𝜇(𝑥)𝑄(𝑥)]𝑑𝑥 + 𝜇(𝑥)𝑑𝑦 = 0 (2.11)

karena persamaan (2.11) merupakan persamaan diferensial eksak maka

𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦=

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥

𝜕[𝜇(𝑥)𝑃(𝑥)𝑦−𝜇(𝑥)𝑄(𝑥)]

𝜕𝑦=

𝜕[𝜇(𝑥)]

𝜕𝑥

𝜇(𝑥)𝑃(𝑥) =𝑑[𝜇(𝑥)]

𝑑𝑥

𝑑[𝜇(𝑥)]

𝜇(𝑥)= 𝑃(𝑥)𝑑𝑥

Kemudian dengan pengintegralan diperoleh

ln|𝜇(𝑥)| = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥

𝜇(𝑥) = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 (2.12)

Karena 𝜇(𝑥) merupakan faktor integral maka persamaan (2.9) akan menjadi

𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥[𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑦] = 𝑄(𝑥)𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥

dengan pengintegralan diperoleh

𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑦 = ∫ 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐 (2.13)

Contoh 10

Tentukan penyelesaian persamaan diferensial 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ (

1

𝑥) 𝑦 = 𝑒−2𝑥.

Penyelesaian:

Bentuk tersebut merupakan persamaan diferensial orde satu tetapi tidak eksak

maka terlebih dahulu dicari faktor integral


21

𝑃(𝑥) =1

𝑥

𝜇(𝑥) = 𝑒∫1

𝑥𝑑𝑥 = 𝑒ln|𝑥| = 𝑥

Cara I

Kalikan persamaan diferensial dengan faktor integralnya akan menjadi

𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑒−2𝑥.

𝑑

𝑑𝑥(𝑥𝑦) = 𝑒−2𝑥.

dengan pengintegralan, diperoleh

𝑥𝑦 = −1

2𝑒−2𝑥 + 𝑐

𝑦 = −1

2𝑥𝑒−2𝑥 +

𝑐

𝑥

Cara II

Karena ketika dikalikan dengan faktor integral persamaan tersebut menjadi

persamaan diferensial eksak, maka penyelesaiannya menjadi

𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑒−2𝑥.

𝑥 𝑑𝑦 + 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥

𝑥 𝑑𝑦 + 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥 = 0

𝑥 𝑑𝑦 + (𝑦 − 𝑒−2𝑥) 𝑑𝑥 = 0

𝑀(𝑥, 𝑦) = (𝑦 − 𝑒−2𝑥) dan 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥

𝜕𝐹(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥= 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑒−2𝑥

𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑦 − 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 +1

2𝑒−2𝑥 + 𝑔(𝑦)

mencari nilai 𝑔(𝑦)

𝜕𝐹(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦= 𝑁(𝑥, 𝑦)

𝑥 +𝑑𝑔(𝑦)

𝑑𝑦= 𝑥

sehingga

𝑑𝑔(𝑦)

𝑑𝑦= 0


22

∫ 𝑑(𝑔(𝑦)) = ∫ 0 𝑑𝑦

𝑔(𝑦) = 𝑐0

Penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut yaitu 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑐1

𝑥𝑦 +1

2𝑒−2𝑥 + 𝑐0 = 𝑐1

𝑥𝑦 = −1

2𝑒−2𝑥 + 𝑐1 − 𝑐0

𝑦 = −1

2𝑥𝑒−2𝑥 +

𝑐1−𝑐0

𝑥

𝑦 = −1

2𝑥𝑒−2𝑥 +

𝑐

𝑥 dimana 𝑐 = 𝑐1 − 𝑐0

5. Persamaan Diferensial Bernoulli

Persamaan diferensial Bernoulli memiliki bentuk umum

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑦𝑛 (2.14)

dengan 𝑛 ≠ 0 dan 𝑛 ≠ 1

Untuk menentukan penyelesaian umumnya, reduksilah persamaan Bernoulli

menjadi persamaan diferensial linear orde satu.

Bagilah persamaan (2.14) dengan 𝑦𝑛 maka diperoleh

𝑦−𝑛 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦1−𝑛 = 𝑄(𝑥) (2.15)

dengan memisalkan 𝑣 = 𝑦1−𝑛 sehingga

𝑑𝑣 = (1 − 𝑛)𝑦−𝑛𝑑𝑦

𝑦−𝑛𝑑𝑦 =𝑑𝑣

1−𝑛

Substitusikan ke dalam persamaan (2.15)

𝑑𝑣

(1−𝑛)𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑣 = 𝑄(𝑥)

𝑑𝑣

𝑑𝑥+ (1 − 𝑛)𝑃(𝑥)𝑣 = (1 − 𝑛)𝑄(𝑥)

𝑑𝑣

𝑑𝑥+ 𝑃1(𝑥)𝑣 = 𝑄1(𝑥) (2.16)

dengan 𝑃1(𝑥) = (1 − 𝑛)𝑃(𝑥) dan 𝑄1(𝑥) = (1 − 𝑛)𝑄(𝑥)

Persamaan (2.16) merupakan persamaan diferensial linear orde satu.


23

Contoh 11

Tentukan penyelesaian persamaan diferensial 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥𝑦3

Penyelesaian:

Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial Bernoulli dimana 𝑛 = 3.

Langkah pertama, bagi persamaan tersebut dengan 𝑦3, maka diperoleh

𝑦−3 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦−2 = 𝑥 (2.17)

Misalkan 𝑣 = 𝑦1−𝑛 = 𝑦−2 sehingga

𝑑𝑣 = −2𝑦−3𝑑𝑦

−1

2𝑑𝑣 = 𝑦−3𝑑𝑦

Substitusikan ke persamaan (2.17) diperoleh

−1

2

𝑑𝑣

𝑑𝑥+ 𝑣 = 𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥− 2𝑣 = −2𝑥 (2.18)

Persamaan (2.18) merupakan persamaan diferensial linear orde satu tetapi tidak

eksak. Sehingga terlebih dahulu mencari faktor integral

𝜇(𝑥) = 𝑒∫ −2𝑑𝑥 = 𝑒−2𝑥

Kalikan persamaan (2.18) dengan faktor integralnya sehingga menjadi

𝑒−2𝑥 𝑑𝑣

𝑑𝑥− 2𝑒−2𝑥𝑣 = −2𝑥𝑒−2𝑥

𝑑

𝑑𝑥(𝑒−2𝑥𝑣) = −2𝑥𝑒−2𝑥


𝑒−2𝑥𝑣 =1

2𝑒−2𝑥(2𝑥 + 1) + 𝑐

𝑣 = 𝑥 +1

2+ 𝑐𝑒2𝑥

Karena 𝑣 = 𝑦−2, maka

1

𝑦2 = 𝑥 +1

2+ 𝑐𝑒2𝑥


24

D. Penelitian yang Relevan

1. Oktavia dan Khotimah (2016) melakukan penelitan yang bertujuan untuk

menganalisis kesulitan dan faktor penyebab kesulitan mahasiswa dalam

menyelesaikan persamaan diferensial orde satu. Subjek penelitian ini adalah

mahasiswa program studi Pendidikan Matematika FKIP UMS yang berjumlah 7

orang. Metode pengumpulan data menggunakan wawancara dan dokumentasi.

Jenis penelitian ini adalah deskriptif kualitatif. Teknik analisis data melalui tiga

tahap: reduksi data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan. Data yang

dianalisis merupakan hasil Ujian Tengah Semester (UTS). Hasil penelitian

menunjukkan jenis-jenis kesulitan yang dialami mahasiswa dalam

menyelesaikan persamaan diferensial orde satu dibagi menjadi 2 kategori, yaitu

pertama kesulitan pemahaman konsep yang meliputi: (1) kesulitan merumuskan

ciri atau bentuk umum persamaan diferensial; (2) kesulitan menentukan teknik

penyelesaian persamaan diferensial. Kedua kesulitan penerapan konsep yang

terdiri dari: (1) kesulitan dalam langkah-langkah perhitungan; (2) kesulitan

dalam materi prasyarat. Faktor penyebab mahasiswa mengalami kesulitan,

pertama faktor intrinsik, yaitu: aktivitas belajar kurang, kurang mengingat

rumus, kebiasaan yang kurang baik, kurang latihan soal, tidak adanya motivasi

belajar, latar belakang pendidikan yang tidak sesuai. Kedua faktor ekstrinsik,

yaitu aktif dalam kegiatan sosial di lingkungan masyarakat.

2. Naisunis, Taneo, dan Daniel (2018) melakukan penelitian yang bertujuan untuk

mengetahui kesalahan apa saja yang dilakukan oleh mahasiswa dalam

pemecahan masalah pada mata kuliah persamaan diferensial. Tempat penelitian

di STKIP Soe pada semester genap tahun akademik 2016/2017 dengan subjek

penelitan sebanyak 15 mahasiswa. Jenis penelitan ini merupakan penelitian

deskriptif kualitatif dengan teknik pengumpulan datanya melalui observasi,

analisis kerja dan wawancara. Teknik analisis data yang digunakan adalah teknik

analisis Miles and Huberman yaitu reduksi data, penyajian data dan penarikan


25

kesimpulan. Hasil penelitiannya adalah kesalahan yang dilakukan mahasiswa

pada tahap pertama (memahami) meliputi kesalahan fakta 7%, kesalahan konsep

13,33% dan kesalahan operasi 7%. Kesalahan tahap kedua (merencanakan)

meliputi kesalahan fakta 13,33%, kesalahan konsep 13,33% dan kesalahan

operasi 13,33%. Kesalahan tahap ketiga (menyelesaikan) adalah kesalahan fakta

12,22%, kesalahan konsep 50,56%, kesalahan prinsip 16,67% dan kesalahan

operasi 15%. Seluruh mahasiswa tidak melakukan pengecekan kembali dalam

tahapan masalah, sehingga seluruh mahasiswa melakukan kesalahan pada tahap

ini.

3. Ningsih dan Rohana (2018) melakukan penelitian terkait pemahaman

mahasiswa terhadap persamaan diferensial biasa berdasarkan teori APOS.

APOS adalah singkatan dari Action – Process – Object – Schema yang

dikemukan oleh Ed Dubinsky untuk mengetahui kemampuan pemahaman

konsep seseorang. Subjek penelitian ini adalah 33 mahasiswa semester 5B

Program Studi Pendidikan Matematika tahun akademik 2017/2018 pada salah

satu Universitas Swasta di kota Palembang, Sumatera Selatan. Penelitian ini

merupakan penelitian deskriptif. Data dikumpulkan melalui tes dan wawancara.

Hasil penelitian memperlihatkan bahwa sebagian besar mahasiswa hanya

mampu memahami konsep persamaan diferensial biasa pada tahap aksi. Padahal

berdasarkan teori APOS, jika seseorang memahami konsep dengan baik, dia

akan mampu mencapai tahap skema. Mahasiswa mampu menyelesaikan

persamaan diferensial orde satu homogen yang sederhana, kesalahan terbanyak

terletak pada penggunaan prinsip turunan dan pengintegralan dari suatu fungsi

eksponen dan logaritma.

E. Kerangka Berpikir

Matematika merupakan ilmu dasar yang wajib dipelajari oleh semua orang

dari tingkat SD sampai SMA bahkan perguruan tinggi. Pembelajaran matematika

di perguruan tinggi bertujuan untuk mengembangkan segala kemampuan


26

matematis mahasiswa dalam memperoleh hasil belajar yang maksimal. Salah satu

kemampuan yang dikembangkan dalam pembelajaran matematika yaitu

kemampuan pemahaman konsep. Pemahaman konsep merupakan kemampuan

mengklasifikasikan dan menjelaskan informasi atau objek yang diperoleh

berdasarkan karakteristiknya. Kemampuan pemahaman konsep merupakan

kemapuan yang sangat penting dalam menyelesaikan masalah dalam matematika.

Salah satu mata kuliah yang ada di program studi pendidikan matematika

adalah persamaan diferensial biasa. Masalah-masalah yang ada dalam persamaan

diferensial memerlukan kemampuan pemahaman konsep untuk menyelesaikannya.

Salah satu materi persamaan diferensial biasa yaitu persamaan diferensial orde

satu. Mahasiswa dalam belajar persamaan diferensial orde satu harus mampu

membedakan jenis-jenisnya. Kemampuan pemahaman konsep mahasiswa pada

materi persamaan diferensial orde satu dapat ditinjau dari beberapa indikator

diantaranya: 1) mengklasifikasikan objek-objek menurut sifat-sifat tertentu., 2)

menggunakan, memanfaatkan, dan memilih prosedur atau operasi tertentu dan 3)

mengaplikasikan konsep atau algoritma ke pemecahan masalah.

Pentingnya dan Masalah

Pemahaman Konsep

Perkuliahan

Persamaan Diferensial

Biasa

Materi

Persamaan Diferensial

Orde Satu

Kemampuan

pemahaman konsep

mahasiswa ditinjau

dari indikator.

Faktor yang

mempengaruhi kesulitan

dalam memahami

konsep persamaan

diferensial orde satu

Bagan 2. 1. Kerangka Berpikir Penelitian


27

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

A. Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang dilakukan oleh peneliti adalah penelitian deskriptif

dengan pendekatan kualitatif. Penelitian deskriptif adalah penelitian yang bertujuan

untuk menggambarkan atau mendeskripsikan suatu masalah atau objek apa adanya.

Sedangkan penelitian kualitatif merupakan penelitian yang bermaksud memahami

fenomena tentang apa yang dialami oleh subjek penelitian misalnya perilaku,

persepsi, motivasi, tindakan dll., secara holistik dan dengan cara deskripsi dalam

bentuk kata-kata dan bahasa, pada suatu konteks khusus yang alamiah dan dengan

memanfaatkan berbagai metode alamiah (Moleong, 2008: 6).

Peneliti memilih penelitian kualitatif karena tujuan dari penelitian ini untuk

mendeskripsikan kemampuan pemahaman konsep mahasiswa pada materi

persamaan diferensial orde satu dan faktor-faktor yang menyebabkan mahasiswa

kesulitan dalam memahami konsep persamaan diferensial orde satu.

B. Subjek Penelitian

Subjek dari penelitian ini adalah 43 mahasiswa Program Studi Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma yang mengambil mata kuliah Persamaan

Diferensial Biasa pada tahun ajaran 2018/2019 di kelas A.

C. Bentuk Data

Pada penelitian ini, bentuk data yang digunakan adalah data kuantitatif dan

kualitatif. Pada penelitian ini yang termasuk data kuantitatif adalah hasil tes

mahasiswa dan yang termasuk data kualitatif adalah hasil wawancara. Data yang

diperoleh dalam penelitian akan dideskripsikan untuk menjawab rumusan masalah

yang ditentukan


28

D. Waktu dan Tempat Pelaksanaan Penelitian

Penelitian ini dilakukan bulan Februari-April 2019. Penelitian ini

dilaksanakan di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta.

E. Metode Pengumpulan Data

Metode pengumpulan data yang digunakan dalam penelitian ini :

1. Tes Esai

Tes dilakukan untuk mengetahui kemampuan pemahaman konsep

mahasiswa pada materi persamaan diferensial orde satu. Tes dilakukan saat

materi terkait persamaan diferensial orde satu telah selesai dipelajari yaitu pada

bulan Maret.

2. Wawancara

Peneliti melakukan wawancara kepada mahasiswa dengan tujuan untuk

mendalami hasil jawaban tes mahasiswa dan mengetahui faktor-faktor yang

membuat mahasiswa kesulitan memahami konsep persamaan diferensial orde

satu. Wawancara dilakukan setelah hasil tes dikoreksi. Peneliti

mengelompokkan mahasiswa menjadi tiga kelompok berdasarkan hasil tes

menurut Arikunto (2012: 299) dan memilih dua mahasiswa dari masing-masing

kelompok untuk diwawancarai.

Tabel 3.1. Kategori Hasil Tes

Kategori Ketentuan

Kelompok Tinggi 𝑥𝑖 ≥ �̅� + 𝑠

Kelompok Sedang �̅� − 𝑠 < 𝑥𝑖 < �̅� + 𝑠

Kelompok Rendah 𝑥𝑖 ≤ �̅� − 𝑠

Keterangan :

𝑥𝑖 : nilai mahasiswa

�̅� : rata-rata nilai mahasiswa

𝑠 : simpangan baku dari nilai mahasiswa


29

F. Instrumen Pengumpulan Data

Instrumen penelitian yang akan digunakan oleh peneliti adalah sebagai berikut :

1. Lembar Tes Esai

Tes esai yang dibuat digunakan dalam ujian tengah semester berisikan

pertanyaan mengenai solusi dari persamaan diferensial dan persamaan

diferensial orde satu. Data yang diperoleh akan dianalisis untuk mengetahui

kemampuan pemahaman konsep mahasiswa berdasarkan indikator.

Tabel 3.2. Kisi-Kisi Soal Tes Esai

Indikator Soal Indikator

Pemahaman Konsep Soal

Memperlihatkan

bahwa suatu fungsi

merupakan solusi

dari persamaan

diferensial.

Menggunakan prosedur

atau operasi tertentu.

1. a. Tunjukkan bahwa

𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥 dimana 𝑐1 dan

𝑐2 konstan, merupakan solusi dari

persamaan diferensial

𝑑2𝑦


𝑑𝑥− 8𝑦 = 0

b. Tentukan nilai m agar 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥

merupakan solusi dari persamaan

diferensial

𝑑2𝑦


𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0

Menentukan jenis-

jenis persamaan

diferensial orde

satu

Mengklasifikasikan

objek-objek menurut

sifat-sifat tertentu

2. Tentukan jenis persamaan diferensial di

bawah ini. (separabel/ homogen/ eksak/

linear/ Bernoulli). Berikan penjelasan

secukupnya.

a. [(𝑥 + 1)𝑒𝑥 − 𝑒𝑦]𝑑𝑥 − 𝑥𝑒𝑦𝑑𝑦 = 0

b. (4𝑥2𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥4 + 1)𝑑𝑦 = 0

c. (3𝑥2 − 2𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0

d. 𝑥4𝑑𝑦 + (2𝑥3𝑦 − 1)𝑑𝑥 = 0

Menentukan

penyelesaian umum

persamaan

Menggunakan prosedur


3. Tentukan penyelesaian umum persamaan

diferensial berikut

(1 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2


30

2. Lembar Wawancara

Peneliti juga mengumpulkan informasi mengenai kemampuan pemahaman

konsep mahasiswa dengan melakukan wawancara untuk mendalami hasil tes

mahasiswa. Sebelum melakukan wawancara, peneliti membuat pedoman

wawancara secara garis besar yang berisi tentang poin-poin yang akan

ditanyakan oleh penelitian. Berikut adalah poin-poin pertanyaan wawancara:

Tabel 3.3. Pertanyaan Wawancara

No. Pertanyaan

1 a. Apa yang diketahui dari soal nomor 1a?

b. Apa yang ditanyakan pada soal nomor 1a?

c. Apa langkah pertama yang harus dilakukan dalam menyelesaiakan soal

nomor 1a?

d. Bagaimana hasil turunan pertama dan kedua dari fungsi yang diketahui

di soal nomor 1a??

e. Jelaskan proses untuk menunjukkan bahwa suatu fungsi merupakan

solusi dari persamaan diferensial pada nomor 1a!

f. Apa yang diketahui dari soal nomor 1b?

g. Apa yang ditanyakan pada soal nomor 1b?

h. Apa langkah pertama yang harus dilakukan dalam menyelesaikan soal

nomor 1b?

i. Bagaimana hasil turunan pertama dan kedua dari fungsi yang diketahui

soal nomor 1b?

j. Jelaskan proses selanjutnya untuk menyelesaikan soal nomor 1b!

diferensial orde

satu

Menyelesaikan

masalah yang

berkaitan dengan

penerapan

persamaan

diferensial orde

satu

Mengaplikasikan

konsep atau algoritma

ke pemecahan masalah

4. Laju perubahan suhu sebuah benda yang

dicelupkan ke dalam air dinyatakan dalam

bentuk 𝑑𝑇

𝑑𝑡= −5(𝑇 − 30)

dengan 𝑇 = 𝑇(𝑡) merupakan suhu benda

pada saat t menit. Jika pada saat 𝑡 = 0 , suhu

benda 100°𝐶, tentukan persamaan 𝑇(𝑡).


31

2 a. Soal nomor 2a termasuk jenis persamaan diferensial apa? Berikan

penjelasan secukupnya.

b. Soal nomor 2b termasuk jenis persamaan diferensial apa? Berikan


c. Soal nomor 2c termasuk jenis persamaan diferensial apa? Berikan


d. Soal nomor 2d termasuk jenis persamaan diferensial apa? Berikan


3 a. Apa yang diketahui dari soal nomor 3?

b. Apa yang ditanyakan dari soal nomor 3?

c. Apa langkah pertama yang harus dilakukan dalam menyelesaikan soal

nomor 3?

d. Jelaskan proses selanjutnya untuk menyelesaikan soal nomor 3!

4 a. Apa yang diketahui dari soal nomor 4?

b. Apa yang ditanyakan dari soal nomor 4?

c. Bentuk persamaan diferensial pada soal nomor 4 termasuk jenis

persamaan diferensial apa? Berikan penjelasan.

d. Jelaskan proses menyelesaikan soal nomor 4!

5 a. Faktor-faktor apa saja yang menyebabkan anda kesulitan dalam

mengerjakan soal nomor 1 sampai 4?

G. Teknik Analisis Data

Teknik analisis data dalam penelitian ini menggunakan cara analisis data

menurut Miles dan Huberman, yang terdiri dari reduksi data, penyajian data, dan

penarikan kesimpulan (Ali dan Asrori, 2018: 288-289)

1. Reduksi Data

Reduksi data berarti merangkum, memilih hal-hal yang pokok, memfokuskan

pada hal-hal yang penting, dicari tema dan polanya. Dalam mereduksi data,

peneliti akan menyesuaikan dengan tujuan penelitian yang akan dicapai. Data

dikelompokkan menjadi dua kategori yaitu:

a. Data yang berkaitan dengan kemampuan pemahaman konsep dalam

menyelesaikan soal persamaan diferensial orde satu, yang terdiri atas

indikator:


32

1) Menggunakan prosedur atau operasi tertentu untuk memperlihatkan suatu

fungsi merupakan solusi persamaan diferensial.

2) Mengklasifikasikan persamaan diferensial orde satu menurut sifat-sifat

atau ciri-ciri tertentu.

3) Menggunakan prosedur atau operasi tertentu untuk menentukan

penyelesaian umum persamaan diferensial orde satu.

4) Mengaplikasikan konsep atau algoritma persamaan diferensial orde satu

ke pemecahan masalah.

b. Data yang berkaitan dengan faktor-faktor yang mempengaruhi kesulitan

dalam memahami konsep persamaan diferensial orde satu.

2. Penyajian Data

Pada tahap penyajian data, peneliti menyajikan temuan dalam penelitian berupa

pengelompokan berdasarkan klasifikasi di tahap reduksi data. Penyajian data

pada penelitian ini berupa uraian hasil tes dan wawancara. Melalui penyajian

data, maka data terorganisasikan, tersusun dalam pola hubungan, sehingga akan

semakin mudah dipahami.

3. Kesimpulan

Hasil tes dan wawancara yang telah dianalisis akan diverifikasi dengan

mengecek kembali proses analisis data. Setelah proses analisis data sudah

diverifikasi, maka hasil analisis tersebut dapat digunakan untuk menarik

kesimpulan.

H. Prosedur Pelaksanaan Penelitian Secara Keseluruhan

1. Penentuan Masalah

Pada tahap ini peneliti menentukan topik penelitian yaitu pemahaman

konsep mahasiswa pada materi persamaan diferensial orde satu. Kemudian

peneliti menyusun latar belakang masalah, yang membahas alasan mengapa

peneliti memilih topik tersebut, batasan masalah yang akan diteliti, rumusan

masalah serta tujuan dari penelitian secara jelas. Kemudian, peneliti


33

memikirkan tentang faktor-faktor pendukung pelaksanaan penelitian termasuk

ketersediaan literatur, metode penelitian, waktu yang tersedia, dan lokasi

penelitian. Setelah dilakukan beberapa pertimbangan, maka peneliti memilih

mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta yang sedang mengikuti perkuliahan Persamaan Diferensial Biasa

tahun akademik 2018/2019 kelas A sebagai subjek penelitian.

2. Menyusun Desain Penelitian

Sebelum melaksanakan penelitian, peneliti terlebih dahulu menyusun

desain penelitian yang berisikan rancangan penelitian. Rancangan ini dimaksud

untuk menjelaskan secara garis besar penelitian yang akan dilakukan.

Rancangan yang dibuat dikonsultasikan dengan dosen pembimbing.

3. Pelaksanaan Penelitian

Sebelum melakukan penelitian, peneliti mempersiapkan instrumen yang

digunakan sebagai alat pengumpulan data. Instrumen yang dibuat adalah soal

tentang pemahaman konsep persamaan diferensial orde satu yang diberikan

setelah materi dibahas. Setelah soal diujikan, peneliti mendapat data berupa

hasil tes esai. Dari hasil tes esai, peneliti mengelompokkan mahasiswa ke dalam

tiga kategori yaitu mahasiswa mendapat nilai di atas rata-rata, pada rata-rata

dan di bawah rata-rata. Kemudian dua mahasiswa dari masing-masing kategori

diwawancarai agar data yang diperoleh sungguh valid. Semua data yang

terkumpul kemudian dianalisis berdasarkan tujuan penelitian. Lalu peneliti

akan menuliskan hasil-hasil penelitian tersebut. Berdasarkan hasil pembahasan

tersebut, peneliti menarik kesimpulan hasil penelitian.

4. Penulisan Laporan Penelitian

Tahap terakhir yaitu penulisan hasil penelitian ke dalam bentuk laporan

penelitian, yaitu skripsi. Laporan ditulis secara rinci dan apa adanya sesuai

dengan yang terjadi.


34

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

A. Deskripsi Hasil Tes

Data hasil tes esai diperoleh dari lembar jawaban tes mahasiswa. Tes ini diuji

kepada 43 mahasiswa yang mengambil mata kuliah Persamaan Diferensial Biasa

di kelas A tahun akademik 2018/2019 yang diampu oleh Bapak Febi Sanjaya M.Sc.

Berdasarkan tes yang dilakukan, peneliti mengukur kemampuan mahasiswa dalam

materi persamaan diferensial orde satu. Berikut ini adalah deskripsi hasil analisis

jawaban subjek terhadap soal tes esai yang disesuaikan dengan indikator soal dan

indikator pemahaman konsep.

1. Jawaban Soal Nomor 1a

Indikator soal nomor 1a yaitu memperlihatkan bahwa suatu fungsi

merupakan solusi dari persamaan diferensial. Indikator pemahaman konsep

yang terdapat pada soal nomor 1a yaitu menggunakan prosedur atau operasi

tertentu. Pada soal nomor 1a mahasiswa dikatakan mampu menggunakan

prosedur atau operasi tertentu untuk memperlihatkan bahwa suatu fungsi

merupakan solusi dari persamaan diferensial, jika mampu menentukan turunan

pertama dan kedua dari fungsi yang diberikan serta melakukan perhitungan

dengan benar ketika mensubstitusikan fungsi dan turunannya ke persamaan

diferensial.

a. Kelompok jawaban 1 terdiri dari 12 mahasiswa

Salah satu jawaban dari 12 mahasiswa untuk soal nomor 1a dapat

dilihat pada Gambar 4.1.


35

Mahasiswa dalam kelompok ini terlebih dahulu mencari turunan

pertama dan kedua dari 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥. Turunan pertama yang

diperoleh yaitu 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑐1𝑒4𝑥 − 2𝑐2𝑒−2𝑥. Turunan kedua yang diperoleh yaitu

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = 16𝑐1𝑒4𝑥 + 4𝑐2𝑒−2𝑥. Langkah selanjutnya mahasiswa mensubstitusi

𝑓(𝑥) dan turunannya ke persamaan diferensial nomor 1a. Hasil yang

diperoleh yaitu 0. Mahasiswa menuliskan bahwa 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥

merupakan solusi dari persamaan diferensial 𝑑2𝑦

𝑑𝑥− 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 8𝑦 = 0.

Mahasiswa pada kelompok ini sudah mampu menggunakan prosedur atau

operasi tertentu untuk memperlihatkan suatu fungsi merupakan solusi dari

persamaan diferensial karena jawabannya sudah tepat.

b. Kelompok jawaban 2 terdiri dari 1 mahasiswa

Jawaban 1 mahasiswa untuk soal nomor 1b dapat dilihat pada Gambar

4.2.

Gambar 4.1. Kelompok jawaban 1 soal nomor 1a


36

\


pertama dan turunan kedua dari 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥. Turunan pertama

yang diperoleh yaitu 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑐1𝑒4𝑥 − 2𝑐2𝑒−2𝑥. Turunan kedua yang diperoleh

yaitu 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = 16𝑐1𝑒4𝑥 + 4𝑐2𝑒−2𝑥. Langkah selanjutnya mahasiswa

mensubstitusi turunan pertama dan kedua yang diperoleh ke persamaan

diferensial nomor 1a. Hasilnya yang diperoleh 16𝐶3𝑒6𝑥 − 8𝑦 ≠ 0.

Mahasiswa menuliskan kesimpulan yaitu 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥 bukan

merupakan penyelesaian dari persamaan diferensial 𝑑2𝑦

𝑑𝑥− 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 8𝑦 = 0.

Mahasiswa kurang mampu menggunakan prosedur atau operasi tertentu

untuk memperlihatkan suatu fungsi merupakan solusi dari persamaan

diferensial karena tidak mensubstitusikan 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥 ke


c. Kelompok jawaban 3 terdiri dari 4 mahasiswa

Salah satu jawaban dari 4 mahasiswa untuk soal nomor 1a dapat dilihat

pada Gambar 4.3.



37


pertama dan kedua dari 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥. Hasil turunan pertama yang

diperoleh yaitu 𝑑𝑓

𝑑𝑥= 𝑒4𝑥 + 4𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑒−2𝑥 − 2𝑐2𝑒−2𝑥. Turunan kedua yang

diperoleh yaitu 𝑑2𝑓

𝑑𝑥2 = 5𝑒4𝑥 + 16𝑐1𝑒4𝑥 − 3𝑒−2𝑥 − 4𝑐2𝑒−2𝑥. Turunan

pertama dan kedua dari 𝑓(𝑥) yang diperoleh mahasiswa kurang tepat

sehingga ketika 𝑓(𝑥) dan turunannya disubstitusikan ke persamaan

diferensial, hasil yang diperoleh menjadi kurang tepat. Mahasiswa

menuliskan kesimpulan yaitu 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥 bukan merupakan

penyelesaian dari persamaan diferensial 𝑑2𝑦

𝑑𝑥− 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 8𝑦 = 0. Mahasiswa

kurang mampu menggunakan prosedur atau operasi tertentu untuk

memperlihatkan suatu fungsi merupakan solusi dari persamaan diferensial

karena salah dalam menentukan turunan pertama dan kedua dari 𝑓(𝑥).

d. Kelompok jawaban 4 terdiri dari 2 mahasiswa


dari Gambar 4.4.



38

Mahasiswa langsung menuliskan hasil turunan pertama dan kedua

pada persamaan diferensial yang diberikan terlihat pada Gambar 4.4. Hasil

turunan pertama yang diperoleh yaitu 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥. Hasil turunan kedua

yang diperoleh yaitu 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥. Hasil akhir yang diperoleh mahasiswa

yaitu 9𝑐1𝑒4𝑥 + 9𝑐2𝑒−2𝑥 = 0. Mahasiswa tidak menuliskan apakah

𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥 merupakan solusi dari persamaan diferensial

𝑑2𝑦

𝑑𝑥− 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 8𝑦 = 0 atau bukan. Mahasiswa pada kelompok ini belum

mampu menggunakan prosedur atau operasi tertentu untuk memperlihatkan

suatu fungsi merupakan solusi dari persamaan diferensial karena turunan

pertama dan kedua dari 𝑓(𝑥) yang diperoleh kurang tepat sehingga hasil yang

diperoleh kurang tepat.

e. Kelompok jawaban 5 terdiri dari 2 mahasiswa


pada Gambar 4.5.



39

Mahasiswa pada kelompok ini hanya mengerjakan soal sampai pada

tahap turunan pertama saja. Turunan pertama yang diperoleh yaitu

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥. Mahasiswa belum mampu menggunakan prosedur

atau operasi tertentu untuk memperlihatkan suatu fungsi merupakan solusi

dari persamaan diferensial karena hanya mencari turunan pertama 𝑓(𝑥) dan

hasilnya kurang tepat.

f. Kelompok jawaban 6 terdiri dari 14 orang






40

Mahasiswa pada kelompok ini tidak terlebih dahulu mencari turunan

pertama dan kedua dari fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥. Mahasiswa berusaha

menyelesaikan persamaan diferensial yang diberikan. Mahasiswa pada

kelompok ini belum mampu menggunakan prosedur atau operasi tertentu


diferensial karena langkah-langkah yang dipilih salah.

g. Kelompok jawaban 7 terdiri dari 8 mahasiswa


pada Gambar 4.7.

Mahasiswa pada kelompok ini tidak menjawab soal nomor 1a.

Mahasiswa pada kelompok ini belum mampu menggunakan prosedur atau



2. Jawaban Soal Nomor 1b

Indikator soal nomor 1b yaitu memperlihatkan suatu fungsi merupakan

solusi dari persamaan diferensial. Indikator pemahaman konsep yang terdapat

pada soal nomor 1b yaitu menggunakan prosedur atau operasi tertentu. Pada soal

nomor 1b mahasiswa dikatakan mampu menggunakan prosedur atau operasi

tertentu untuk memperlihatkan suatu fungsi merupakan solusi dari persamaan

diferensial, jika mampu menentukan turunan pertama dan kedua dari fungsi

yang diberikan serta menentukan nilai m dengan benar.

a. Kelompok jawaban 1 terdiri dari 10 orang



41

Salah satu jawaban dari 10 mahasiswa untuk soal nomor 1b dapat


Mahasiswa pada kelompok ini terlebih dahulu mecari turunan pertama

dan kedua dari fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥. Turunan pertama yang diperoleh

yaitu 𝑦′ = 𝑚𝑒𝑚𝑥 dan turunan kedua yang diperoleh yaitu 𝑦′′ = 𝑚2𝑒𝑚𝑥.

Langkah selanjutnya mahasiswa mensubstitusikan 𝑓(𝑥) dan turunannya ke

persamaan diferensial nomor 1b. Hasil yang diperoleh mahasiswa yaitu

𝑚 = 4 atau 𝑚 = 1. Mahasiswa menuliskan bahwa 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥 merupakan

solusi dari persamaan diferensial 𝑑2𝑦


𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0 jika nilai 𝑚 = 4 atau

𝑚 = 1. Mahasiswa pada kelompok ini sudah mampu menggunakan prosedur

atau operasi tertentu untuk memperlihatkan suatu fungsi merupakan solusi

dari persamaan diferensial karena jawabannya sudah tepat.


Salah satu jawaban dari 2 mahasiswa untuk soal nomor 1b dapat dilihat

pada Gambar 4.9.

Gambar 4.8. Kelompok jawaban 1 soal nomor 1b


42

Mahasiswa terlebih dahulu menentukan turunan pertama dan kedua

dari 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥. Turunan pertama yang diperoleh yaitu 𝑓′(𝑥) = 𝑚𝑥𝑒𝑚𝑥.

Turunan kedua yang diperoleh yaitu 𝑓′′(𝑥) = 𝑚2𝑥2𝑒𝑚𝑥. Mahasiswa

kemudian mensubstitusikan 𝑓(𝑥) dan turunannya ke persamaan

diferensialnya sehingga diperoleh 𝑚 =1

𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚 =

4

𝑥. Mahasiswa

menuliskan 𝑚 =1

𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚 =

4

𝑥 merupakan solusi dari persamaan

diferensial. Prosedur yang digunakan mahasiswa pada kelompok ini sudah

tepat, hanya saja dalam menentukan turunan pertama dan kedua dari 𝑓(𝑥)

sedikit kurang tepat sehingga nilai 𝑚 yang diperoleh menjadi kurang tepat.

Turunan pertama yang diperoleh seharusnya 𝑓′(𝑥) = 𝑚𝑒𝑚𝑥 dan turunan

kedua 𝑓′′(𝑥) = 𝑚2𝑒𝑚𝑥. Nilai 𝑚 yang diperoleh seharusnya 𝑚 = 1 atau

𝑚 = 4.

c. Kelompok jawaban 3 terdiri dari 3 orang


pada Gambar 4.10.



43

Mahasiswa pada kelompok ini dalam menyelesaikan soal terlebih

dahulu mencari turunan pertama dan kedua dari 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥. Turunan

pertama yang diperoleh yaitu 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑚𝑒𝑚𝑥. Turunan kedua yang diperoleh

yaitu 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑚2𝑒𝑚𝑥. Langkah selanjutnya mahasiswa mensubstitusikan

turunan pertama dan kedua yang diperoleh ke persamaan diferensial. Pada

proses pengerjaannya, mahasiswa memisalkan nilai 𝑚 = 5 terlihat pada

Gambar 4.9. Hasil akhir yang diperoleh yaitu 0 + 4𝑦 = 0. Mahasiswa

menuliskan nilai m agar 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥 merupakan solusi dari persamaan

diferensial 𝑑2𝑦


𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0 adalah 𝑚 = 5. Mahasiswa kurang mampu

menggunakan prosedur atau operasi tertentu untuk memperlihatkan suatu

fungsi merupakan solusi dari persamaan diferensial karena dalam

menentukan nilai 𝑚 agar 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥 merupakan solusi dari persamaan

diferensial 𝑑2𝑦


𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0, tidak memisalkan atau mengambil

sembarang nilai terlebih dahulu. Mahasiswa juga tidak mensubstitusikan

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥 ke persamaan diferensial nomor 1b.

Gambar 4.9. Kelompok jawaban 2 soal nomor



44



pada Gambar 4.11.

Mahasiswa pada kelompok ini terlebih dahulu menentukan turunan

pertama dan kedua dari 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥. Turunan pertama yang diperoleh yaitu

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒𝑚𝑥. Turunan kedua yang diperoleh yaitu

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = 𝑒𝑚𝑥. Turunan pertama

dan kedua dari 𝑓(𝑥) yang diperoleh kurang tepat, sehingga ketika

mensubstitusikan 𝑓(𝑥) dan turunannya hasilnya menjadi kurang tepat. Hasil

yang diperoleh yaitu 0 terlihat pada Gambar 4.11. Mahasiswa dalam mencari

nilai m menuliskan 𝑒𝑚𝑥 = 0. Nilai m yang diperoleh yaitu 1

𝑥. Turunan

pertama yang diperoleh seharusnya 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑚𝑒𝑚𝑥 dan turunan kedua diperoleh

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = 𝑚2𝑒𝑚𝑥. Mahasiswa kurang mampu menggunakan prosedur atau


persamaan diferensial karena turunan pertama dan turunan kedua dari 𝑓(𝑥)

kurang tepat sehingga nilai m yang diperoleh kurang tepat.



45


Jawaban 1 mahasiswa untuk soal nomor 1b dapat dilihat pada Gambar

4.12.

Mahasiswa pada kelompok ini hanya menentukan turunan pertama dari

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥. Hasil turunan pertama yang diperoleh yaitu 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥.

Mahasiswa belum mampu menggunakan prosedur atau operasi tertentu untuk


karena tidak menentukan turunan kedua dari 𝑓(𝑥) dan menentukan nilai 𝑚.

f. Kelompok jawaban 6 terdiri dari 13 mahasiswa






46

Mahasiswa pada kelompok ini dalam menyelesaikan soal tidak terlebih

dahulu mencari turunan pertama dan kedua dari fungsi yang diberikan.

Mahasiwa berusaha menyelesaikannya dari persamaan diferensial

𝑑2𝑦


𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0 untuk mencari nilai m terlihat pada Gambar 4.12.

Mahasiswa belum mampu menggunakan prosedur atau operasi tertentu untuk


karena langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaikan soal nomor 1b

salah.

g. Kelompok jawaban 7 terdiri dari 9 orang

Salah satu jawaban dari 7 mahasiswa untuk soal nomor 1 dapat dilihat

pada Gambar 4.14.

Mahasiswa pada kelompok jawaban ini tidak menjawab soal.




3. Jawaban Soal Nomor 2a

Indikator soal nomor 2a yaitu menentukan jenis-jenis persamaan

diferensial orde satu. Indikator pemahaman konsep yang terdapat pada nomor

2a adalah mengklasifikasikan objek-objek menurut sifat-sifat tertentu. Pada soal

nomor 2a, mahasiswa dikatakan mampu mengklasifikasikan persamaan

diferensial orde satu menurut sifat-sifat tertentu apabila mengklasifikasikan



47

persamaan nomor 2a merupakan persamaan diferensial eksak dan memberikan

alasan dengan tepat.




Mahasiswa pada kelompok ini dalam menyelesaikan soal terlebih

dahulu menuliskan 𝑀(𝑥, 𝑦) = [(𝑥 + 1)𝑒𝑥 − 𝑒𝑦] dan 𝑁(𝑥, 𝑦) = −𝑥𝑒𝑦.

Kemudian menentukan 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦 dan

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥. Hasil yang diperoleh yaitu

𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦= −𝑒𝑦 dan

𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦= −𝑒𝑦. Mahasiswa kemudian menuliskan bahwa

persamaan [(𝑥 + 1)𝑒𝑥 − 𝑒𝑦]𝑑𝑥 − 𝑥𝑒𝑦𝑑𝑦 = 0 merupakan persamaan

diferensial eksak karena 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦=

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥. Mahasiswa pada kelompok ini

sudah mampu mengklasifikasikan persamaan diferensial orde satu menurut

sifat-sifat tertentu karena benar dalam menentukan jenis persamaan

diferensial orde satu dan memberikan alasan dengan tepat.



pada Gambar 4.16.



48

Mahasiswa terlebih dahulu menuliskan 𝑀(𝑥, 𝑦) = [(𝑥 + 1)𝑒𝑥 − 𝑒𝑦]

dan 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑦. Kemudian menentukan 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦 dan

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥. Hasil yang

diperoleh yaitu 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦= 𝑒𝑦 dan

𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦= 𝑒𝑦. Mahasiswa menentukan

bahwa jenis persamaan diferensial pada soal nomor 2a adalah persamaan

diferensial eksak. Mahasiswa pada kelompok ini mampu mengklasifikasikan

persamaan diferensial orde satu menurut sifat-sifat tertentu karena menyadari

bahwa untuk mengetahui persamaan yang diberikan merupakan persamaan

diferensial eksak jika 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦=

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥 terlihat pada lembar jawaban. Hanya

saja dalam menentukan 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦 dan

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥 sedikit kurang tepat.



pada Gambar 4.17.




49

Mahasiswa pada kelompok ini mengklasifikasikan persamaan nomor

2a ke dalam persamaan diferensial eksak tetapi tidak memberikan alasan

dengan benar. Persamaan diferensial merupakan persamaan diferensial eksak

jika 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦=

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥. Pada jawaban mahasiswa tidak memperlihatkan

apakah 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦=

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥 atau tidak. Mahasiswa pada kelompok ini belum

mampu mengklasifikasikan persamaan diferensial orde satu menurut sifat-

sifat tertentu.





2a merupakan persamaan diferensial separabel. Mahasiswa terlebih dahulu

menjabarkan persamaan yang diberikan kemudian mengintegralkannya

seperti terlihat pada Gambar 4.18. Jawaban mahasiswa pada kelompok ini

kurang tepat karena persamaan nomor 2a bukan merupakan persamaan

diferensial separabel. Mahasiswa belum mampu mengkalsifikasikan

persamaan diferensial orde satu menurut sifat-sifat tertentu.




50


pada Gambar 4.19.

Mahasiswa pada kelompok jawaban ini mengklasifikasikan persamaan

nomor 2a merupakan persamaan diferensial linear. Mahasiswa terlebih

dahulu menjabarkan bentuk persamaan yang diberikan sehingga menjadi

bentuk 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

𝑒𝑦

𝑥𝑒𝑦=

(𝑥+1)𝑒𝑥

𝑥𝑒𝑦 terlihat seperti pada Gambar 4.19. Mahasiswa pada

kelompok ini belum mampu mengklasifikasikan persamaan diferensial orde

satu menurut sifat-sifat tertentu karena persamaan nomor 2a bukan

merupakan persamaan diferensial linear. Bentuk umum dari persamaan

diferensial linear orde satu yaitu 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥).



pada Gambar 4.20.




51

Mahasiswa pada kelompok ini mengkalsifikasikan persamaan nomor

2a merupakan persamaan diferensial Bernoulli dengan alasan dilihat dari

bentuk umumnya. Jawaban mahasiswa pada kelompok ini salah karena

persamaan nomor 2a bukan merupakan persamaan diferensial Bernoulli.

Bentuk umum persamaan diferensial Bernoulli yaitu 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑦𝑛.

Mahasiswa belum mampu mengkalsifikasikan persamaan diferensial orde

satu menurut sifat-sifat tertentu.



pada Gambar 4.21.

Mahasiswa pada kelompok jawaban ini tidak menjawab soal nomor 2a.

Mahasiswa pada kelompok ini belum mampu mengklasifikasikan persamaan

diferensial orde satu menurut sifat-sifat tertentu.

4. Jawaban Soal Nomor 2b

Indikator soal nomor 2b yaitu menentukan jenis-jenis persamaan


2b adalah mengklasifikasikan objek-objek menurut sifat-sifat tertentu. Pada soal

nomor 2b, mahasiswa dikatakan mampu mengklasifikasikan persamaan


persamaan nomor 2b merupakan persamaan diferensial separabel atau linear dan

memberikan alasan dengan tepat.






52

Mahasiswa pada kelompok ini terlebih dahulu menjabarkan bentuk

(4𝑥2𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥4 + 1)𝑑𝑦 = 0 sehingga menjadi 4𝑥2+3

𝑥4+1𝑑𝑥 = −

1

𝑦𝑑𝑦.

Kemudian menuliskan bahwa persamaan pada nomor 2b merupakan

persamaan diferensial separabel karena memenuhi bentuk umum persamaan

diferensial separabel yaitu 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑄(𝑦)𝑑𝑦 dimana 𝑃(𝑥) =4𝑥2+3

𝑥4+1 dan

𝑄(𝑦) = −1

𝑦. Mahasiswa pada kelompok ini sudah mampu

mengklasifikasikan persamaan diferensial orde satu menurut sifat-sifat

tertentu karena menentukan jenis persamaan diferensial orde satu dan




pada Gambar 4.23.




53

Mahasiswa pada kelompok ini dalam menjawab soal nomor 2b terlebih

dahulu menjabarkan bentuk (4𝑥2𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥4 + 1)𝑑𝑦 = 0 sehingga

menjadi 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

(4𝑥2+3)𝑦

𝑥4+1= 0. Kemudian mahasiswa menuliskan bahwa

persamaan nomor 2b merupakan persamaan diferensial linear karena

memenuhi bentuk umum 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥). Mahasiswa pada kelompok ini


sifat-sifat tertentu karena mampu menentukan jenis persamaan diferensial

orde satu dan memberikan alasan dengan tepat. Persamaan merupakan

persamaan diferensial linear orde satu jika memiliki bentuk umum yaitu

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) dengan 𝑃(𝑥) dan 𝑄(𝑥) adalah fungsi dalam variabel 𝑥.



pada Gambar 4.24.



54

Mahasiswa dalam menjawab soal terlebih dahulu menjabarkan bentuk

(4𝑥2𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥4 + 1)𝑑𝑦 = 0 sehingga menjadi 4𝑥2+3

𝑥4+1𝑑𝑥 = −

1

𝑦𝑑𝑦.

Langkah selanjutnya mahasiswa mengintegralkan kedua ruas seperti pada

Gambar 4.23. Mahasiswa menuliskan bahwa persamaan nomor 2b bukan

merupakan persamaan diferensial separabel karena 4𝑥3 bukan faktor dari

4𝑥2 + 3. Mahasiswa pada kelompok ini belum mampu mengklasifikasikan

persamaan diferensial orde satu menurut sifat-sifat tertentu karena belum

mampu menentukan jenis persamaan diferensial. Padahal pada proses

pengerjaan mahasiswa menuliskan 4𝑥2+3

𝑥4+1𝑑𝑥 = −

1

𝑦𝑑𝑦 yang memenuhi

bentuk umum persamaan diferensial separabel yaitu 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑄(𝑦)𝑑𝑦.



pada Gambar 4.25.

Mahasiswa pada kelompok ini dalam mengerjakan soal nomor 2b

terlebih dahulu menuliskan (4𝑥2𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥 = −(𝑥4 + 1)𝑑𝑦 kemudian

mengintegralkan seperti pada Gambar 4.25. Mahasiswa mengklasifikasikan

persamaan nomor 2b merupakan persamaan diferensial separabel karena

dapat diintegralkan secara langsung. Mahasiswa pada kelompok ini kurang


sifat tertentu karena belum tepat dalam memberikan alasan. Mahasiswa tidak



55

memisahkan fungsi dalam variabel x dan y untuk menunjukkan persamaan

nomor 2b merupakan persamaan diferensial separabel.



pada Gambar 4.26.


2b merupakan persamaan diferensial separabel. Mahasiswa terlebih dahulu

menjabarkan bentuk (4𝑥2𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥4 + 1)𝑑𝑦 = 0. Hasil yang

diperoleh 6𝑥34𝑦2𝑑𝑥 = −4𝑥5𝑑𝑦. Mahasiswa pada kelompok ini belum

mampu mengklasifikasikan persamaan diferensial orde satu karena tidak

menjabarkan persamaan (4𝑥2𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥4 + 1)𝑑𝑦 = 0 menjadi bentuk

umum persamaan diferensial separabel yaitu 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑄(𝑦)𝑑𝑦.



pada Gambar 4.27.




56


2b merupakan persamaan diferensial linear. Mahasiswa terlebih dahulu

menjabarkan bentuk (4𝑥2𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥4 + 1)𝑑𝑦 = 0 sehingga menjadi

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

4𝑥2+3

𝑥4 =−2

𝑦 terlihat pada Gambar 4.27. Mahasiswa pada kelompok ini

belum mampu mengklasifikasikan persamaan orde satu menurut sifat-sifat

tertentu karena kurang tepat dalam menjabarkan persamaan

(4𝑥2𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥4 + 1)𝑑𝑦 = 0 ke bentuk umum persamaan diferensial

linear. Bentuk umum dari persamaan diferensial linear yaitu

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥).



pada Gambar 4.28.


nomor 2b merupakan persamaan diferensial homogen. Mahasiswa

menentukan terlebih dahulu 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) dan 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦). Hasil yang diperoleh

𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆4𝑁(𝑥, 𝑦) dan 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆4𝑁(𝑥, 𝑦) terlihat pada gambar

4.26. Kemudian mahasiswa menuliskan persamaan nomor 2b adalah

persamaan diferensial homogen dengan 𝜆4. Mahasiswa belum mampu




57

tertentu karena persamaan nomor 2b bukan merupakan persamaan diferensial

homogen.

h. Kelompok jawaban 8 terdiri dari 3 mahasiswa


pada Gambar 4.29.

Mahasiswa pada kelompok ini tidak menuliskan jenis persamaan

diferensial nomor 2b. Mahasiswa pada kelompok ini berusaha menyelesaikan

persamaan diferensial yang diberikan dengan cara penyelesaian persamaan

diferensial eksak terlihat pada gambar 4.29. Padahal persamaan nomor 2b

bukan merupakan persamaan diferensial eksak. Mahasiswa belum mampu



58


tertentu.

i. Kelompok jawaban 9 terdiri dari 2 mahasiswa


pada Gambar 4.30.

Mahasiswa pada kelompok ini tidak menjawab soal sehingga belum


sifat tertentu.

5. Jawaban Soal Nomor 2c

Indikator soal nomor 2c yaitu menentukan jenis-jenis persamaan


2c adalah mengklasifikasikan objek-objek menurut sifat-sifat tertentu. Pada soal

nomor 2c, mahasiswa dikatakan mampu mengklasifikasikan persamaan


persamaan nomor 2c merupakan persamaan diferensial homogen dan



Salah satu jawaban dari 18 mahasiswa untuk soal nomor 2c dapat




59

Mahasiswa pada kelompok ini terlebih dahulu mencari 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) dan

𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦). Hasil yang diperoleh 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆2(𝑀(𝑥, 𝑦)) dan

𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆2(𝑁(𝑥, 𝑦)). Kemudian mahasiswa menuliskan bahwa

persamaan nomor 2c merupakan persamaan diferensial homogen karena

memiliki lambda (𝜆) berpangkat sama yaitu pangkat 2. Mahasiswa pada

kelompok ini sudah mampu mengklasifikasikan persamaan diferensial orde

satu menurut sifat-sifat tertentu karena mampu menentukan jenis persamaan




pada Gambar 4.32

Gambar 4.31. Kelompok jawaban 1 soal nomor 2c



60

Mahasiswa dalam menjawab soal nomor 2c terlebih dahulu

menjabarkan persamaan (3𝑥2 − 2𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 sehingga menjadi

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

3𝑥

𝑦− 2

𝑦

𝑥. Mahasiswa pada kelompok ini mampu mengklasifikasikan

persamaan diferensial orde satu menurut sifat-sifat tertentu karena

menentukan jenis persamaan nomor 2c merupakan persamaan diferensial

homogen. Mahasiswa memberikan alasan dengan menjabarkan persamaan

nomor 2c ke bentuk umum dari persamaan diferensial homogen tetapi tidak

menuliskan bentuk umum persamaan diferensial homogen yaitu 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑔 (

𝑦

𝑥)

dan hasil yang dituliskan sedikit kurang tepat. Mahasiswa seharusnya

menuliskan 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

3𝑥

𝑦+ 2

𝑦

𝑥 atau

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

3𝑦

𝑥

+ 2𝑦

𝑥.


Salah satu jawaban dari 2 mahasiswa untuk soal nomor 2c dapat dilihat

pada Gambar 4.33.


2c merupakan persamaan diferensial homogen tetapi tidak memberikan

alasan dengan benar. Mahasiswa seharusnya terlebih dahulu mencari

𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) dan 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦). Jika memiliki pangkat lambda (𝜆) yang sama maka

persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan diferensial homogen.


diferensial orde satu menurut sifat-sifat tertentu.




61


pada Gambar 4.34.

Mahasiswa pada kelompok ini menjabarkan persamaan

(3𝑥2 − 2𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 sehingga menjadi 𝑑𝑦

𝑑𝑥−

2𝑦

𝑥=

3𝑥

𝑦. Mahasiswa

tidak menuliskan jenis persamaan diferensial pada soal nomor 2c. Mahasiswa

pada kelompok ini belum mampu mengklasifikasikan persamaan diferensial

orde satu menurut sifat-sifat tertentu.



pada Gambar 4.35.




62

Mahasiswa pada kelompok jawaban ini dalam mengerjakan soal

nomor 2c menjabarkan bentuk (3𝑥2 − 2𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 sehingga

menjadi 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

3𝑥

𝑦=

2𝑦

𝑥. Mahasiswa kemudian menuliskan bahwa persamaan

nomor 2c merupakan persamaan diferensial Bernoulli karena memenuhi

bentuk umum dari persamaan diferensial Bernoulli 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑦𝑛.

Jawaban mahasiswa pada kelompok ini salah karena persamaan nomor 2c

bukan merupakan persamaan diferensial Bernoulli. Mahasiswa pada





pada Gambar 4.36.

Mahasiswa pada jawaban kelompok ini mengklasifikasikan persamaan

nomor 2c merupakan persamaan separabel. Mahasiswa menuliskan

𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) dimana 𝑃(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑦2𝑑𝑥 dan 𝑄(𝑥) = 𝑥𝑦 𝑑𝑦. Kemudian

mahasiswa mengintegralkan fungsi kedua fungsi terlihat pada Gambar 4.36.


diferensial orde satu menurut sifat-sifat tertentu karena persamaan nomor 2c

bukan merupakan persamaan diferensial separabel.



63



pada Gambar 4.37.

Mahasiswa pada jawaban kelompok ini mengklasifikasikan persamaan

nomor 2c merupakan persamaan diferensial linear. Mahasiswa menjabarkan

bentuk (3𝑥2 − 2𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 terlihat pada Gambar 4.37.


diferensial orde satu menurut sifat-sifat tertentu karena persamaan nomor 2c

bukan merupakan persamaan diferensial linear.

h. Kelompok jawaban 8 terdiri dari 3 mahasiswa


pada Gambar 4.38.


nomor 2c merupakan persamaan diferensial eksak dengan alasan harus

menentukan 𝑀(𝑥, 𝑦) dan 𝑁(𝑥, 𝑦) eksak atau tidak. Kemudian diturunkan

terhadap 𝑑𝑥 dan 𝑑𝑦 terlihat pada gambar 4.38. Mahasiswa pada kelompok ini

belum mampu mengklasifikasikan persamaan diferensial orde satu menurut

sifat-sifat tertentu karena persamaan nomor 2c bukan merupakan persamaan

diferensial eksak.




64

i. Kelompok jawaban 9 terdiri dari 2 mahasiswa


pada Gambar 4.39.

Mahasiswa pada kelompok ini tidak menjawab soal nomor 2c sehingga


sifat-sifat tertentu.

6. Jawaban Soal Nomor 2d

Indikator soal nomor 2d yaitu menentukan jenis-jenis persamaan


2d adalah mengklasifikasikan objek-objek menurut sifat-sifat tertentu. Pada soal

nomor 2d, mahasiswa dikatakan mampu mengklasifikasikan persamaan


persamaan nomor 2d merupakan persamaan diferensial linear dan memberikan

alasan dengan tepat.


Salah satu jawaban dari 16 mahasiswa untuk soal nomor 2c dapat



Gambar 4.40. Kelompok jawaban 1 soal nomor 2d


65

Mahasiswa pada kelompok ini dalam mengerjakan soal nomor 2d

menjabarkan persamaan 𝑥4𝑑𝑦 + (2𝑥3 − 1)𝑑𝑥 = 0 sehingga menjadi

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

2

𝑥 𝑦 =

1

𝑥4. Kemudian mahasiswa menuliskan 𝑥4𝑑𝑦 + (2𝑥3 − 1)𝑑𝑥 = 0

merupakan persamaan diferensial linear karena membentuk persamaan

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) dan 𝑦 berpangkat satu. Mahasiswa pada kelompok ini


sifat-sifat tertentu karena mampu menentukan jenis persamaan diferensial

orde satu dan memberikan alasan dengan tepat.


Salah satu jawaban dari 2 mahasiswa untuk soal nomor 2d dapat dilihat

pada Gambar 4.41.

Mahasiswa pada kelompok ini mengklasifikasikan bahwa bentuk

𝑥4𝑑𝑦 + (2𝑥3 − 1)𝑑𝑥 = 0 merupakan persamaan diferensial linear karena

persamaan diferensial tersebut dapat diubah ke bentuk umum dari persamaan

diferensial linear. Mahasiswa menjabarkan bentuk 𝑥4𝑑𝑦 + (2𝑥3 − 1)𝑑𝑥 = 0

sehingga menjadi 𝑥4 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑥3𝑦 = 1 dimana 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 dan 𝑄(𝑥) = 1

terlihat pada Gambar 4.41. Mahasiswa pada kelompok ini kurang mampu


tertentu karena kurang tepat dalam menjabarkan persamaan



66

𝑥4𝑑𝑦 + (2𝑥3 − 1)𝑑𝑥 = 0 menjadi bentuk umum persamaan diferensial

linear. Bentuk umum dari persamaan diferensial yaitu 𝑑𝑦



Jawaban dari 1 mahasiswa untuk soal nomor 2d dapat dilihat pada

Gambar 4.42.

Mahasiswa dalam mengerjakan soal nomor 2d terlebih dahulu

mengubah bentuk 𝑥4𝑑𝑦 + (2𝑥3 − 1)𝑑𝑥 = 0 menjadi 𝑑𝑦 +(2𝑥3−1)

𝑥4 𝑑𝑥 = 0.

Langkah selanjutnya mahasiswa menentukan 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦 dan

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥. Hasil yang

diperoleh yaitu 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦= (2𝑥3 − 1)𝑥−4 dan

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥= 1 terlihat pada

Gambar 4.42. Mahasiswa mengklasifikasikan persamaan nomor 2d

merupakan persamaan diferensial linear. Mahasiswa pada kelompok ini

kurang mampu mengklasifikasikan persamaan diferensial orde satu menurut

sifat-sifat tertentu karena alasan yang dituliskan kurang tepat. Mahasiswa

seharusnya mengubah persamaan nomor 4 ke bentuk umum persamaan

diferensial linear yaitu 𝑑𝑦




67



pada Gambar 4.43.

Mahasiswa pada kelompok ini terlebih dahulu menentukan 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦)

dan 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦). Hasil yang diperoleh yaitu 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆4𝑥4 dan

𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆42𝑥3𝑦 − 1. Mahasiswa mengklasifikasikan persamaan nomor

2d merupakan persamaan diferensial homogen. Mahasiswa pada kelompok

ini belum mampu mengklasifikasikan persamaan diferensial orde satu

menurut sifat-sifat tertentu karena persamaan nomor 2d bukan merupakan

persamaan diferensial homogen.

e. Kelompok jawaban 5 terdiri dari 8 mahasiswa.


pada Gambar 4.44.




68


2d merupakan persamaan diferensial separabel. Mahasiswa terlebih dahulu

menjabarkan bentuk 𝑥4𝑑𝑦 + (2𝑥3 − 1)𝑑𝑥 = 0 sehingga menjadi 𝑑𝑦 =6𝑥2

𝑥4

terlihat pada Gambar 4.44. Mahasiswa pada kelompok ini belum mampu


tertentu karena persamaan nomor 2d bukan merupakan persamaan diferensial

separabel.



Gambar 4.45.


2d merupakan persamaan diferensial Bernoulli. Mahasiswa dalam menjawab

terlebih dahulu menjabarkan 𝑥4𝑑𝑦 + (2𝑥3 − 1)𝑑𝑥 = 0 sehingga menjadi

4𝑥3𝑑𝑦 = 2𝑥3𝑦 𝑑𝑥 terlihat pada Gambar 4.45. Mahasiswa pada kelompok ini


sifat-sifat tertentu karena persamaan nomor 2d bukan merupakan persamaan

diferensial Bernoulli.



Gambar 4.46.



69


2d merupakan persamaan diferensial eksak dengan alasan harus menentukan

𝑀(𝑥, 𝑦) dan 𝑁(𝑥, 𝑦) eksak atau tidak. Kemudian diturunkan terhadap 𝑑𝑥 dan

𝑑𝑦. Mahasiswa pada kelompok ini belum mampu mengklasifikasikan

persamaan diferensial orde satu menurut sifat-sifat tertentu karena persamaan

nomor 2d bukan merupakan persamaan diferensial eksak.

h. Kelompok jawaban 8 terdiri 5 mahasiswa


pada Gambar 4.47.

Mahasiswa pada kelompok ini tidak menjawab soal. Mahasiswa pada



7. Jawaban Soal Nomor 3

Indikator soal nomor 3 yaitu menentukan penyelesaian umum persamaan

diferensial orde satu. Indikator pemahaman konsep yang terdapat pada nomor 3

yaitu menggunakan prosedur atau operasi tertentu. Mahasiswa dikatakan

mampu menggunakan prosedur atau operasi tertentu untuk menentukan

penyelesaian umum persamaan diferensial orde satu jika mahasiswa mengubah




70

persamaan nomor 3 ke bentuk umum diferensial linear, menggunakan langkah-

langkah dan melakukan perhitungan dengan tepat.



pada Gambar 4.48.

Gambar 4.48. Kelompok jawaban 1 soal nomor 3


71

Mahasiswa pada kelompok ini terlebih dahulu mengubah persamaan

(1 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2 menjadi

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

1−𝑥𝑦 = −𝑥(𝑥 − 1). Mahasiswa

sudah mampu mengubah persamaan nomor 3 ke bentuk umum persamaan

diferensial linear dengan benar. Bentuk umum persamaan diferensial linear

yaitu 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥). Langkah selanjutnya mahasiswa menentukan

faktor integral. Hasil yang diperoleh yaitu 1

𝑥−1. Mahasiswa mengalikan faktor

integral tersebut dengan persamaan 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

1−𝑥𝑦 = −𝑥(𝑥 − 1). Hasil yang

diperoleh 1

𝑥−1

𝑑𝑦

𝑑𝑥−

𝑦

(𝑥−1)2 + 𝑥 = 0. Kemudian mahasiswa menyelesaikan

persamaan tersebut sehingga diperoleh 𝑦

𝑥−1+

1

2𝑥2 = 𝑐 dimana 𝑐 ∈ ℝ terlihat

pada Gambar 4.48. Mahasiswa pada kelompok ini sudah mampu

menggunakan prosedur atau operasi tertentu untuk menentukan penyelesaian

umum persamaan diferensial orde satu karena langkah-langkah dan hasil

akhir yang dituliskan sudah benar.



pada Gambar 4.49.


72


(1 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2 dengan membagi kedua ruas dengan (1 − 𝑥)

sehingga menjadi 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

1−𝑥𝑦 = −𝑥(𝑥 − 1). Mahasiswa sudah mampu

mengubah persamaan nomor 3 ke bentuk umum persamaan diferensial linear

dengan benar. Langkah selanjutnya mahasiswa menentukan faktor integral.

Hasilnya yang diperoleh yaitu 1

1−𝑥. Faktor integral yang diperoleh sudah



73

benar. Mahasiswa kemudian mengalikan faktor integral ke persamaan

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

1−𝑥𝑦 = −𝑥(𝑥 − 1) sehingga menjadi

1

1−𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

(1−𝑥)2 𝑦 = 𝑥. Kemudian

mahasiswa menyelesaikan persamaan tersebut. Hasil yang diperoleh yaitu

𝑦 −1

2𝑥2 +

1

3𝑥3 − 𝑦 ln|1 − 𝑥| = 𝑐. Mahasiswa pada kelompok ini kurang

mampu menggunakan prosedur atau operasi untuk menentukan penyelesaian

umum persamaan diferensial orde satu karena langkah-langkah yang

digunakan kurang tepat terlihat pada Gambar 4.49. Mahasiswa setelah

menentukan faktor integral, tidak menyelesaikan persamaan nomor 3 dengan

langkah-langkah penyelesaian diferensial eksak.



pada Gambar 4.50.



74


(1 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2 sehingga menjadi

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

1−𝑥𝑦 =

𝑥(𝑥−1)2

1−𝑥..

Mahasiswa kemudian menentukan faktor integral. Hasil yang diperoleh yaitu

1 − 𝑥. Mahasiswa mengalikan faktor integral dengan persamaan

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

1−𝑥𝑦 =

𝑥(𝑥−1)2

1−𝑥 sehingga menjadi (1 − 𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2.

Langkah selanjutnya mahasiswa menyelesaikan persamaan tersebut. Hasil

yang diperoleh yaitu 𝑦 − 𝑥𝑦 −1

2𝑥2 +

2

3𝑥3 −

1

4𝑥4 − 𝑐 = 0 dimana 𝑐 ∈ ℝ.

Mahasiswa pada kelompok ini kurang mampu menggunakan prosedur atau

operasi untuk menentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde

satu karena hasil faktor integral dan langkah-langkah penyelesaian nomor 3

yang dituliskan kurang tepat.



pada Gambar 4.51.


75


(1 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2 sehingga menjadi

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

𝑦

(1−𝑥)= 𝑥(𝑥 − 1)2.

Mahasiswa kurang tepat dalam mengubah persamaan nomor 3. Mahasiswa

seharusnya menuliskan 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

𝑦

(1−𝑥)= −𝑥(𝑥 − 1). Mahasiswa kemudian

mencari faktor integral. Hasil yang diperoleh yaitu (1 − 𝑥). Mahasiswa

mengalikan faktor integral dengan persamaan 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

𝑦

(1−𝑥)= 𝑥(𝑥 − 1)2. Hasil

yang diperoleh yaitu (1 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = (1 − 𝑥)(𝑥(𝑥 − 1)2). Langkah

selanjutnya mahasiswa menyelesaikan persamaan tersebut dengan langkah-



76

langkah penyelesaian persamaan diferensial eksak. Hasil yang diperoleh yaitu

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 +1

5𝑥4 −

3

4𝑥4 + 𝑥3 −

1

2𝑥2 + 𝑦 − 2𝑥𝑦 = 𝑐1 terlihat pada

Gambar 4.51. Mahasiswa pada kelompok ini kurang mampu menggunakan

prosedur atau operasi tertentu untuk menentukan penyelesaian umum

persamaan diferensial orde satu karena kurang tepat dalam mengubah

persamaan nomor 3 ke bentuk umum persamaan diferensial linear dan

menentukan faktor integral.



pada Gambar 4.52.



77


(1 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2 dengan membagi kedua ruas dengan (1 − 𝑥).

Hasil yang diperoleh yaitu 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

𝑦

1−𝑥= −𝑥(𝑥 − 1). Mahasiswa sudah mampu

mengubah persamaan nomor 3 ke bentuk umum persamaan diferensial linear

dengan benar. Mahasiswa kemudian menentukan faktor integral. Faktor

integral yang diperoleh yaitu 𝑒𝑥−1

2𝑥2

. Mahasiswa mengalikan faktor integral

yang diperoleh ke persamaan diferensial 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

𝑦

1−𝑥= −𝑥(𝑥 − 1) terlihat pada

Gambar 4.52. Mahasiswa pada kelompok ini kurang mampu menggunakan

prosedur atau operasi tertentu untuk menentukan penyelesaian umum

persamaan diferensial orde satu karena faktor integral yang diperoleh salah

dan belum mampu menyelesaikan soal nomor 3.



pada Gambar 4.53.



78


(1 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2 dengan membagi kedua ruas dengan (1 − 𝑥).

Hasil yang diperoleh yaitu 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

𝑦

1−𝑥=

𝑥(𝑥−1)2

1−𝑥. Langkah selanjutnya

mahasiswa tidak menentukan faktor integral terlihat pada Gambar 4.53.


operasi tertentu untuk menentukan penyelesaian umum persamaan diferensial

orde satu karena tidak menentukan faktor integral terlebih dahulu dan

langkah-langkah penyelesaian yang dituliskan salah.



pada Gambar 4.54.

Mahasiswa pada kelompok ini tidak mengubah terlebih dahulu

persamaan nomor 3 menjadi bentuk umum dari persamaan diferensial linear.



79

Mahasiswa mengubah persamaan (1 − 𝑥)𝑑𝑦


(1 − 𝑥)𝑑𝑦 = (𝑥(𝑥 − 1)2 − 𝑦)𝑑𝑥. Kemudian mahasiswa mengintegralkan

secara langsung persamaan tersebut. Mahasiswa pada kelompok ini belum

mampu menggunakan prosedur atau operasi tertentu untuk menentukan

penyelesaian umum persamaan diferensial orde satu karena tidak mengubah

persamaan nomor 3 ke bentuk umum persamaan diferensial linear dan salah

dalam menggunakan langkah-langkah penyelesaian.

8. Jawaban Soal Nomor 4

Indikator soal nomor 4 yaitu menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan penerapan persamaan diferensial orde satu. Indikator pemahaman

konsep yang terdapat pada nomor 4 adalah mengaplikasikan konsep atau

algoritma ke pemecahan masalah. Mahasiswa dikatakan mampu

mengaplikasikan konsep atau algoritma persamaan diferensial orde satu ke

pemecahan masalah jika mampu menentukan atau mengetahui jenis persamaan

diferensial nomor 4, menggunakan langkah-langkah dan melakukan perhitungan

untuk menyelesaikan soal nomor 4 dengan benar.


Jawaban dari 1 mahasiswa untuk soal nomor 4 dapat dilihat pada

Gambar 4.55.


80


𝑑𝑇

𝑑𝑡= −5(𝑇 − 30) sehingga menjadi

1

𝑇−30𝑑𝑇 = −5𝑑𝑡. Mahasiswa

mengklasifikasikan persamaan nomor 4 merupakan persamaan diferensial

separabel terlihat dari jawaban mahasiswa yang memisahkan fungsi dalam

variabel 𝑇 dan 𝑡. Langkah selanjutnya mahasiswa mengintegralkan

1

𝑇−30𝑑𝑇 = −5𝑑𝑡 tetapi mahasiswa tidak menuliskan lambang integral terlihat

pada Gambar 4.55. Hasil yang diperoleh yaitu 𝑇 = 𝑒−5𝑡𝑒𝑐 + 30. Kemudian

mahasiswa mencari nilai 𝑒𝑐 dengan mensubstitusikan nilai 𝑡 = 0 dan

𝑇(0) = 100. Hasil yang diperoleh yaitu 𝑒𝑐 = 70. Mahasiswa kemudian

mensubstitusikan nilai 𝑒𝑐 = 70 ke persamaan 𝑇 = 𝑒−5𝑡𝑒𝑐 + 30 sehingga

menjadi 𝑇 = 70𝑒−5𝑡 + 30. Mahasiswa sudah mampu mengaplikasikan

konsep atau algoritma persamaan diferensial orde satu ke pemecahan masalah

karena jawaban yang dituliskan sudah benar.




81


pada Gambar 4.56.


𝑑𝑇


1

𝑇−30𝑑𝑇 = −5𝑑𝑡. Mahasiswa

mengklasifikasikan persamaan nomor 4 merupakan persamaan diferensial

separabel terlihat dari jawaban mahasiswa yang memisahkan fungsi dalam

variabel 𝑇 dan 𝑡. Langkah selanjutnya mahasiswa mengintegralkan

persamaan tersebut. Hasil yang diperoleh yaitu ln|𝑇 − 30| = −5𝑡 + 𝑐.

Kemudian mahasiswa mencari nilai 𝑐 dengan mensubstitusikan nilai 𝑡 = 0



82

dan 𝑇(0) = 100. Hasil yang diperoleh 𝑐 = ln|70|. Mahasiswa

mensubstitusikan nilai 𝑐 = ln|70| ke persamaan ln|𝑇 − 30| = −5𝑡 + 𝑐.

Hasil yang diperoleh 𝑇 = 𝑒−5𝑡 + 100. Mahasiswa kurang tepat dalam

melakukan perhitungan. Mahasiswa menuliskan ln|𝑇 − 30| = −5𝑡 + ln|70|

menjadi 𝑇 − 30 = 𝑒−5𝑡 + 𝑒ln 70. Mahasiswa seharusnya menuliskan

𝑇 − 30 = 𝑒−5𝑡+70. Hasil akhir yang diperoleh mahasiswa menjadi kurang

tepat sehingga mahasiswa kurang mampu mengaplikasikan konsep atau

algoritma persamaan diferensial orde satu ke pemecahan masalah dengan

benar.



pada Gambar 4.57.



83

Mahasiswa pada kelompok ini terlebih dahulu mengklasifikasikan

persamaan nomor 4 merupakan persamaan diferensial linear terlihat dari

jawaban mahasiswa yang mengubah persamaan nomor 4 ke bentuk umum

persamaan diferensial linear, hanya saja sedikit kurang tepat. Mahasiswa

menuliskan 𝑑𝑇

𝑑𝑡+ 5𝑇 = 60. Mahasiswa seharusnya seharusnya menuliskan

𝑑𝑇

𝑑𝑡+ 5𝑇 = 150. Mahasiswa kemudian menentukan faktor integral. Hasil

yang diperoleh yaitu 𝑒5𝑡. Langkah selanjutnya mahasiswa menyelesaikan

persamaan 𝑑𝑇

𝑑𝑡+ 5𝑇 = 150 dengan mengalikan terlebih dahulu dengan faktor

integralnya. Hasil yang diperoleh 𝑒5𝑡𝑇 − 300𝑒5𝑡 − 𝑐 = 0. Mahasiswa

mencari nilai 𝑐 dengan mensubstitusikan 𝑡(0) = 100. Hasil yang diperoleh

𝑐 = −100. Mahasiswa pada kelompok ini kurang mampu mengaplikasikan

konsep atau algoritma persamaan diferensial orde satu ke pemecahan masalah

dengan benar karena kurang tepat dalam melakukan perhitungan dan

mengintegralkan bentuk eksponen terlihat pada Gambar 4.57.



pada Gambar 5.8.


84


𝑑𝑇


1

150−5𝑇𝑑𝑇 = 𝑑𝑡. Mahasiswa pada

kelompok ini mengklasifikasikan persamaan nomor 4 merupakan persamaan

diferensial separabel terlihat dari jawaban mahasiswa yang memisahkan

fungsi dalam variabel 𝑇 dan 𝑡. Kemudian mahasiswa pada kelompok ini

menyelesaikan persamaan 1

150−5𝑇𝑑𝑇 = 𝑑𝑡 dengan mengintegralkan kedua

ruas. Hasil yang diperoleh 𝑇 =−𝑒−5𝑡

5−

𝑒−5𝑐

5−

𝑒−5𝑐

5+ 30. Mahasiswa kurang

mampu mengaplikasikan konsep atau algoritma persamaan diferensial orde

satu ke pemecahan masalah karena perhitungan dan langkah-langkah dalam

menyelesaikannya kurang tepat. Mahasiswa dalam jawabannya menuliskan

ln|150 − 5𝑇| = −5𝑡 − 5𝑐 menjadi 150 − 5𝑇 = 𝑒−5𝑡 + 𝑒−5𝑐. Mahasiswa

seharusnya menuliskan 150 − 5𝑇 = 𝑒−5𝑡−5𝑐. Mahasiswa juga tidak

menentukan penyelesaian khusus dari persamaan diferensial nomor 4.



85



pada Gambar 4.59.


𝑑𝑇


𝑑𝑇

𝑑𝑡= −5𝑇(𝑡) + 150. Mahasiswa tidak

menentukan jenis persamaan diferensial orde satu terlihat dari jawaban yang

tidak menunjukkan ciri-ciri khusus dari jenis persamaan diferensial orde satu.

Langkah selanjutnya mahasiswa mengintegralkan persamaan

𝑑𝑇

𝑑𝑡= −5𝑇(𝑡) + 150. Hasil yang diperoleh yaitu 𝑇(𝑡) =

−5

2𝑇(𝑡)2 + 𝑡.

Mahasiswa mensubstitusikan nilai 𝑡 = 0 dan 𝑇 = 0. Hasil akhir yang

diperoleh yaitu 𝑇(𝑡) =−5

2𝑇(𝑡)2 + 𝑡 terlihat pada Gambar 4.59. Mahasiswa

belum mampu mengaplikasikan konsep atau algoritma persamaan diferensial



86

orde satu ke pemecahan masalah karena tidak menentukan jenis persamaan

diferensial orde satu nomor 4 dan langkah-langkah yang digunakan untuk

menyelesaikan soal nomor 4 salah.



pada Gambar 4.60.

Mahasiswa pada kelompok ini menyelesaikan soal nomor 4 dengan

menggunakan langkah-langkah yang salah. Mahasiswa tidak menentukan

terlebih jenis persamaan diferensial nomor 4. Mahasiswa pada kelompok ini

belum mampu mengaplikasikan konsep atau algoritma persamaan diferensial

orde satu ke pemecahan masalah.

g. Kelompok jawaban 7 terdiri dari 3 orang


pada Gambar 4.61.



87

Mahasiswa pada kelompok ini tidak menjawab soal nomor 4.

B. Deskripsi Hasil Tes dan Wawancara

Berdasarkan rata-rata dan simpangan baku dari nilai tes, peneliti

mengelompokkan mahasiswa menjadi tiga kelas yaitu tinggi, sedang, dan rendah.

Rata-rata nilai tes esai yang diperoleh adalah 34,90 dan simpangan bakunya adalah

23,79. Sehingga kelas-kelas yang terbentuk adalah sebagai berikut :

Tabel 4.1. Kategori Nilai

Kategori Rentang Nilai Banyak

Mahasiswa

Mahasiswa yang

diwawancarai

Kelompok Tinggi 𝑥𝑖 ≥ 58,69 9 M15 dan M18

Kelompok Sedang 11,11 < 𝑥𝑖 < 58,69 24 M9 dan M24

Kelompok Rendah 𝑥𝑖 ≤ 11,11 10 M32 dan M41

Berikut adalah deskripsi dari hasil wawancara jawaban subjek terhadap soal

tes esai :

1. Subjek M32

Jawaban subjek nomor 1a :



88

Transkip wawancara nomor 1a :

P : “Menurutmu yang diketahui dan ditanyakan dari nomor 1a itu apa?”

M32 : “Jadi 𝑓(𝑥) ya itu udah diketahui, terus kita ingin menunjukkan bahwa

𝑓(𝑥) ini merupakan penyelesaian dari persamaan diferensial linear ini

eh.. persamaan diferensial ini.”

P : “Kemudian ketika kamu mengerjakan, langkah pertama yang kamu

lakukan apa?”

M32 : “Yang pertama, saya membuat turunan dari 𝑓(𝑥).”

P : “Ya kemudian.”

M32 : “Terus turunan keduanya, terus saya substitusi ke dalam persamaan

diferensial.”

P : “Hasil turunan pertamanya apa?”

M32 : “4𝑐1𝑒4𝑥 − 2𝑐2𝑒−2𝑥.”

P : “Turunan kedua hasilnya?”

M32 : “16𝑐1𝑒4𝑥 + 4𝑐2𝑒−2𝑥.”

Gambar 4.62. Jawaban M32 untuk nomor 1a


89

P : “Tadi kan kamu substitusikan turunan pertama sama keduanya ke

dalam persamaan diferensial ini. Hasilnya apa?”

M32 : “Hasilnya 0 atau memenuhi gitu.”

P : “Artinya kalo hasilnya 0 ?”

M32 : “Merupakan salah satu penyelesaian dari persamaan diferensial ini.”

Berdasarkan hasil jawaban subjek dan transkip wawancara, M32 mampu

menjelaskan langkah-langkah untuk memperlihatkan bahwa suatu fungsi

merupakan solusi dari persamaan diferensial yaitu mencari turunan pertama

𝑓(𝑥), turunan kedua 𝑓(𝑥), dan kemudian mensubstitusikan 𝑓(𝑥) dan

turunannya ke persamaan diferensialnya. Turunan pertama 𝑓(𝑥) yang diperoleh

yaitu 4𝑐1𝑒4𝑥 − 2𝑐2𝑒−2𝑥. Turunan kedua 𝑓(𝑥) yang diperoleh yaitu

16𝑐1𝑒4𝑥 + 4𝑐2𝑒−2𝑥. Ketika 𝑓(𝑥) dan turunannya ke persamaan diferensialnya

hasilnya 0. M32 menjelaskan jika 𝑓(𝑥) dan turunannya disubstitusikan ke

persamaan diferensial hasilnya 0 maka 𝑓(𝑥) merupakan solusi dari persamaan

diferensialnya. Hasil yang diperoleh sudah benar sehingga M32 sudah mampu

menggunakan prosedur atau operasi tertentu untuk memperlihatkan suatu fungsi

merupakan solusi dari persamaan diferensial.

Jawaban subjek nomor 1b :

Transkip wawancara nomor 1b : Gambar 4.63. Jawaban M32 untuk nomor 1b


90

P : “Sekarang masuk ke nomor 1b, Kalo 1b yang diketahui dan ditanyakan

apa?”

M32 : “Yang diketahui itu 𝑓(𝑥) nya, terus kita ingin menunjukkan bahwa

𝑓(𝑥) ini merupakan solusi dari persamaan disini.”

P : “Tapi yang diminta mencari nilai 𝑚.”

M32 : “O..ya mencari nilai 𝑚.”

P : “Langkah pertama yang kamu lakukan apa?”

M32 : “Yang pertama cari turunan pertama terus turunan kedua terus

disubstitusikan ke persamaan diferensialnya. Lalu kita menggunakan

perhitungan aljabar terus ketemu nilai m nya. Selesai.”

P : “Turunan pertamanya apa?”

M32 : “𝑚𝑒𝑚𝑥.”

P : “Turunan keduanya?”

M32 : “𝑚2𝑒𝑚𝑥.”

P : “Kemudian nilai 𝑚 nya ketemu berapa?”

M32 : “4 sama 1.”


menjelaskan langkah-langkah untuk mencari nilai 𝑚 yaitu mencari turunan

pertama 𝑓(𝑥), turunan kedua 𝑓(𝑥), dan kemudian mensubstitusikan 𝑓(𝑥) dan


yaitu 𝑚𝑒𝑚𝑥. Turunan kedua 𝑓(𝑥) yang diperoleh yaitu 𝑚2𝑒𝑚𝑥. Nilai 𝑚 yang

diperoleh yaitu 1 dan 4. Pada lembar jawaban M32 menuliskan 𝑓(𝑥) = 𝑒4𝑥 dan

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 merupakan solusi 𝑑2𝑦


𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0. Hasil yang diperoleh sudah

benar sehingga M32 mampu menggunakan prosedur atau operasi tertentu untuk

memperlihatkan suatu fungsi merupakan solusi dari persamaan diferensial.


91


Transkrip wawancara nomor 2a :

P : “Sekarang kita masuk nomor 2. Nomor 2 itu soalnya tentang apa dan

yang diminta apa?”

M32 : “Jadi dari banyak persamaan diferensial ini, kita disuruh menentukan

jenis persamaan diferensial mana yang digunakan untuk menyelesaikan

persamaan diferensial ini.”

P : “Jenis persamaan diferensialnya ya. Sekarang yang nomor 2a itu

menurutmu termasuk jenis persamaan diferensial yang mana?”

M32 : “Eksak.”

P : “Eksak. Alasannya apa?”

M32 : “Alasannya karena kita bisa mengubah bentuk itu ke dalam bentuk

bentuk umum persamaan diferensial eksak. Persamaan diferensial eksak

itu kan kalo kita misalkan menentukan 𝑀(𝑥, 𝑦) = [(𝑥 + 1)𝑒𝑥 − 𝑒𝑦]

terus 𝑁(𝑥, 𝑦) = −𝑥𝑒𝑦. Lalu kita turunkan 𝑀(𝑥, 𝑦) terhadap y, itu harus

sama dengan turunan 𝑁(𝑥, 𝑦) terhadap 𝑥.”

P : “Turunannya hasilnya sama?”

M32 : “Hasilnya sama.”

Berdasarkan hasil jawaban subjek dan transkip wawancara, M32

mengklasifikasikan persamaan nomor 2a termasuk persamaan diferensial eksak.



92

M32 memberikan alasan jika 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦=

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥 maka termasuk persamaan

diferensial eksak. Hasil yang diperoleh M32 sudah benar. M32 sudah mampu

mengklasifikasikan persamaan diferensial orde satu menurut sifat-sifat tertentu.


Transkrip wawancara nomor 2b :

P : “Kalo nomor 2b termasuk persamaan diferensial apa?”

M32 : “Persamaan diferensial linear.”

P : “Linear?”

M32 : “Ya.”

P : “Alasannya apa?”

M32 : “Karena kita bisa mengubah ke bentuk umum persamaan diferensial

jenis linear. Persamaan diferensial jenis linear itu kan

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥).”

P : “Disini kan benar, menurutmu persamaan diferensial linear. Disini

𝑄(𝑥) = 0. Sebenarnya persamaan diferensial ini bisa dituliskan ke jenis

persamaan diferensial yang lain. Menurutmu bisa dikelompokkan ke

dalam jenis persamaan diferensial apa?”

Gambar 4.65. Jawaban M32 untuk nomor 2b


93

M32 : “Kalo konstanta 𝑦 = 0?”

P : “Ini kan 𝑄(𝑥) = 0. Sebenarnya ini bisa dikelompokkan ke dalam jenis

persamaan diferensial apa?”

M32 : “Separarel.”

P : “Separabel?”

M32 : “Separabel.”


mengklasifikasikan persamaan nomor 2b termasuk persamaan diferensial linear.

M32 memberikan alasan karena persamaan nomor 2b dapat diubah ke bentuk

umum persamaan diferensial linear yaitu 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥). Hasil yang

diperoleh M32 sudah benar. M32 juga mengetahui jika 𝑄(𝑥) = 0, persamaan 2b

dapat diklasifikasikan ke dalam persamaan diferensial separabel. M32 sudah

mampu mengklasifikasikan persamaan diferensial orde satu menurut sifat-sifat

tertentu karena mampu menentukan jenis persamaan diferensial orde satu dan


Jawaban subjek nomor 2c :

Transkip wawancara nomor 2c :

P : “Sekarang nomor 2c, jenis persamaan diferensialnya apa?”

M32 : “Homogen.”

Gambar 4.66. Jawaban M32 untuk nomor 2c


94

P : “Homogen. Alasannya?”

M32 : “Ee… misalkan 𝑀(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 − 2𝑦2, terus 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦. Terus kita

cari 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦), ketika kita cari pangkat lambda(𝜆) itu harus sama

dengan pangkat dari lambda(𝜆) 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦).”

P : “Sama?”

M32 : “Sama.”


mengklasifikasikan persamaan nomor 2c termasuk persamaan diferensial

homogen. M32 memberikan alasan jika 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) dan 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) memiliki

pangkat 𝜆 yang sama maka termasuk persamaan diferensial homogen. Hasil

yang diperoleh M32 sudah benar dimana 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) dan 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) memiliki

pangkat 𝜆 yang sama yaitu 2. M32 sudah mampu mengklasifikasikan persamaan

diferensial orde satu menurut sifat-sifat tertentu karena mampu menentukan

jenis persamaan diferensial orde satu dan memberikan alasan dengan tepat.

Jawaban subjek nomor 2d :

Transkip wawancara nomor 2d :

P : “Yang nomor 2d. Nomor 2d itu jenis persamaan diferensial apa?”

M32 : “Linear.”

Gambar 4.67. Jawaban M32 untuk nomor 2d


95

P : “Linear. Alasannya?”

M32 : “Karena kita bisa mengubah ke bentuk umum persamaan diferensial

linear yaitu 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥).”


mengklasifikasikan persamaan nomor 2d termasuk persamaan diferensial linear.

M32 memberikan alasan karena persamaan nomor 2d dapat diubah ke bentuk



diperoleh M32 sudah benar. M32 sudah mampu mengklasifikasikan persamaan




96

Jawaban subjek nomor 3 :

Transkip wawancara nomor 3 :

P : “Sekarang nomor 3. Nomor 3 itu yang diketahui dan ditanyakan dari

soal itu apa?”

Gambar 4.68. Jawaban M32 untuk nomor 3


97

M32 : “Ee… Disitu kan udah ada persamaan diferensialnya linear. Terus

diminta untuk mencari penyelesaian umum.”

P : “Langkah pertama untuk menyelesaikannya bagaimana?”

M32 : “Cari faktor integralnya dulu.”

P : “Tapi disini kamu tidak menulis faktor integralnya.”

M32 : “Iya. Kesalahan pertama yang saya lakukan itu sih. Buru-buru jadinya

cuma baca tentukan penyelesaian umum, langsung baca ini. Saya kurang

teliti. Terus yang kedua disininya kan sebenarnya pakai eksak itu kan

tidak bisa tapi ini kan pakai cara eksak. Ini juga ada salah hitung.”

Berdasarkan hasil jawaban subjek dan transkip wawancara, M32 tidak

mengubah terlebih dahulu persamaan nomor 3 ke bentuk umum persamaan

diferensial linear dan langkah-langkah penyelesaian yang dituliskan salah. M32

dalam wawancara mengakui bahwa dia terburu-buru dalam mengerjakan soal

sehingga kurang teliti membaca soal saat UTS sehingga jawabannya salah. M32

belum menggunakan prosedur atau operasi tertentu untuk menentukan

penyelesaian umum persamaan diferensial orde satu.




98

Transkrip wawancara nomor 4 :

P : “Nomor 4 itu di soal yang diketahui sama yang ditanyakan itu apa?”

M32 : “Ee.. Disini kan diketahui 𝑇 = 𝑇(𝑡) merupakan suhu benda saat 𝑡 menit

dan suhu awal 100°𝐶. Terus dari bentuk persamaan diferensial ini kita

diminta untuk mencari.. Eh tunggu kak.”

P : “Ini yang diketahui persamaan diferensial 𝑑𝑇

𝑑𝑡= −5(𝑇 − 30) dimana 𝑇

merupakan suhu benda saat 𝑡 menit. Suhu mula-mula 100°𝐶. Kemudian

yang ditanyakan tentukan suhu benda tersebut pada saat tertentu atau

persamaan suhu benda pada saat tertentu ( 𝑇(𝑡)).Persamaan diferensial

ini termasuk jenis apa?”


P : “Separabel. Alasannya?”

M32 : “Karena bisa kita pecah jadinya satu ruas fungsi dalam 𝑇, yang satu

fungsi dalam 𝑡.”

P : “Terus?”

M32 : “Terus integralkan.”

P : “Terus tinggal diintegralkan, ketemu hasilnya?”

M32 : “𝑇 = 𝑒−5𝑡𝑒𝑐 + 30.”

P : “Habis itu langkah selanjutnya apa?”

M32 : “Kita substitusi yang udah diketahui saat 𝑡 = 0 berartikan 𝑇(0) =

100°𝐶. Ketemu 𝑒𝑐 = 70.”

P : “Jadi jawabannya?”

M32 : “Persamaaan 𝑇(𝑡) = 70𝑒−5𝑡 + 30.”


mengklasifikasikan persamaan nomor 4 termasuk persamaan diferensial

separabel dengan alasan fungsi 𝑇 dan fungsi 𝑡 dapat dipisah. M32 mampu

menentukan jenis persamaan diferensial orde satu nomor 4 dengan tepat. M32


99

setelah memisahkan fungsi 𝑇 dan fungsi 𝑡 kemudian mencari solusi umum dari

persamaan diferensial separabel. Solusi umum yang diperoleh yaitu

𝑇 = 𝑒−5𝑡𝑒𝑐 + 30. M32 kemudian mencari solusi khusus persamaan diferensial

separabel. Hasil yang diperoleh 𝑇 = 70𝑒−5𝑡 + 30. Hasil yang diperoleh sudah

benar sehingga M32 sudah mampu mengaplikasikan konsep atau algoritma

persamaan diferensial orde satu ke pemecahan masalah.

Transkip wawancara faktor penyebab kesulitan M32 dalam menjawab soal:

P : “Tadi nomor 3 kamu salah karena buru-buru atau apa?”

M32 : “Karena buru-buru sih, cepat-cepat gitu ngerjain soalnya tidak baca

soal. Itu sebenarnya sudah coba pakai persamaan diferensial linear, disitu

ada tipe-x. Udah coba, cuman sampai ketemu faktor integralnya. Tapi

setelah itu kok susah untuk teknik integralnya itu rumit gitu, jadinya

tidak ketemu juga.”

Berdasarkan hasil jawaban subjek dan transkip wawancara, faktor

penyebab M32 kesulitan dalam menjawab soal adalah terburu-buru dalam

membaca soal dan kurang mampu menggunakan teknik integral pada nomor 3.

2. Subjek M41




100


P : “Nomor 1 itu, apa yang diketahui dan ditanyakan dari soal? Nomor 1a.”

M41 : “Disitu kan ada 𝑓(𝑥). Pokoknya ini tu, buktiin kalo misalnya ini tu

(menunjuk 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥) solusi dari persamaan diferensial

yang di bawahnya ( 𝑑2𝑦


𝑑𝑥− 8𝑦 = 0 ).”

P : “Langkah pertama yang harus dilakukan untuk menyelesaikan soal

nomor 1a?”

M41 : “Langkah pertamanya kan ini sama saja turunan kedua dan ini turunan

pertama. (menunjukkan 𝑑2𝑦


𝑑𝑥− 8𝑦 = 0). Menurutku ini

(𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥) diturunkan dulu, cari turunan pertama habis

itu turunan kedua. Baru disubstitusikan. Kalo misalnya hasilnya 0, itu

merupakan solusinya.”


M41 : “Turunan pertamanya itu kan … (mahasiswa kelihatan tidak yakin

dengan jawabannya)”

P : “Ini turunan pertamanya sudah benar. Turunan keduanya juga sudah

benar. Terus ketika disubstitusikan hasilnya apa?”

M41 : “Hasilnya berarti turunan kedua disubstitusikan dan ini (menunjuk

turunan kedua dan pertama dari 𝑓(𝑥)). Nantinya hasilnya 0.”


menjelaskan langkah-langkah untuk memperlihatkan suatu fungsi merupakan

solusi dari persamaan diferensial yaitu mencari turunan pertama 𝑓(𝑥), turunan

kedua 𝑓(𝑥), dan kemudian mensubstitusikan 𝑓(𝑥) dan turunannya ke persamaan

diferensialnya. Turunan pertama 𝑓(𝑥) yang diperoleh yaitu 4𝑐1𝑒4𝑥 − 2𝑐2𝑒−2𝑥.

Turunan kedua 𝑓(𝑥) yang diperoleh yaitu 16𝑐1𝑒4𝑥 + 4𝑐2𝑒−2𝑥. Ketika 𝑓(𝑥) dan

turunannya ke persamaan diferensialnya hasilnya 0. M41 menjelaskan jika

setelah 𝑓(𝑥) dan turunannya disubstitusikan ke persamaan diferensial hasilnya


101

0 maka 𝑓(𝑥) merupakan solusi dari persamaan diferensialnya. M41 sudah


bahwa suatu fungsi merupakan solusi dari persamaan diferensial karena

jawabannya sudah benar.


Transkip wawancara nomor 1b :

P : “Sekarang nomor 1b. Nomor 1b itu yang diketahui dan ditanyakan

apa?”

M41 : “Nah yang diketahui itu kan ada 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥. Kita disuruh

membuktikan kalo 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥 solusi dari persamaan diferesial di

bawahnya (menunjuk 𝑑2𝑦


𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0). Hampir sama contohnya

dengan yang pertama (nomor 1a). Dicari turunan pertama habis turunan

kedua, kemudian di substitusikan.”


M41 : “Hasil turunan pertamanya 𝑚𝑒𝑚𝑥. Habis itu turunan keduanya

𝑚2𝑒𝑚𝑥.”

P : “Terus ketika disubstitusikan hasilnya apa?”



102

M41 : “Ketika disubstitusikan hasilnya, ini kan turunan keduanya 𝑚2𝑒𝑚𝑥.

Terus ini (menunjuk turunan pertama 𝑓(𝑥)). Nanti hasilnya memuat 𝑒𝑚𝑥

di setiap suku-sukunya ( menunjuk 𝑚2𝑒𝑚𝑥 − 5𝑚𝑒𝑚𝑥 + 4𝑒𝑚𝑥 = 0).

Nah itu aku dengan sifat distributif. Jadi ini aku keluarkan 𝑒𝑚𝑥

(mahasiswa menuliskan 𝑒𝑚𝑥(𝑚2 − 5𝑚 + 4) = 0 ). 𝑒𝑚𝑥 = 0 itu kan

sama aja e pangkat apa gitu. Habis itu jadinya 𝑚2 − 5𝑚 + 4 = 0. Ini

aku faktorkan, kemudian ketemu 𝑚 = 1 atau 𝑚 = 4. Nah ini kan disini

dicari nilai 𝑚 agar 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥 memenuhi. Berarti setahuku 𝑚 nya yang

ini 1 atau 4.”

P : “Berarti kalo 𝑚 = 1 atau 𝑚 = 4, 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥 ini merupakan solusi?”

M41 : “Solusi.”





yaitu 𝑚𝑒𝑚𝑥. Turunan kedua 𝑓(𝑥) yang diperoleh yaitu 𝑚2𝑒𝑚𝑥. Nilai 𝑚 yang

diperoleh yaitu 1 dan 4. Hasil yang diperoleh sudah benar sehingga. M41 ketika

wawancara mengatakan jika 𝑚 = 1 atau 𝑚 = 4 maka 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥 merupakan

solusi dari 𝑑2𝑦


𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0. M41 sudah mampu menggunakan prosedur

atau operasi tertentu untuk memperlihatkan suatu fungsi merupakan solusi dari





103


P : “Sekarang nomor 2. Nomor 2 itu yang ditanyakan itu apa?”

M41 : “Jadikan disitu ada beberapa persamaan diferensial. Nah itu menebak

sih ini persamaan diferensial apa? Apakah persamaan diferensial

separabel/ homogen/eksak/linear/Bernoulli?”

P : “Sekarang nomor 2a itu, menurutmu persamaan diferensial apa?”

M41 : “Lupa. Sebenarnya kemarin itu kendalanya disini kak. Karena lupa

sifat-sifat, bentuk umumnya terus ciri-cirinya itu gimana. Jadi lupa

penyelesaiannya.”

P : “Tapi menurutmu saja. 2a itu termasuk persamaan diferensial apa?”

M41 : “Persamaan diferensial linear gak sih? (mahasiswa kelihatan bingung)”

P : “Persamaan diferensial?”

M41 : “Aduh gak tau kak.”


menentukan jenis persamaan diferensial nomor 2a. M41 lupa sifat-sifat, bentuk

umum dan ciri-ciri dari jenis-jenis persamaan diferensial orde satu. M41 belum

mampu mengklasifikasikan persamaan diferensial orde satu menurut sifat-sifat

tertentu.



P : “Kalo 2b persamaan diferensial apa?”



104

M41 : “Linear.”

P : “Linear?”

M41 : “Enggak deh. Bukan linear. Itu separabelnya (mahasiswa kelihatan

bingung).”


M41 : “Oh enggak ding bukan separabel.”


mengetahui jenis persamaan diferensial nomor 2b. M41 belum mampu




P : “Nomor 2c menurutmu persamaan diferensial apa?”

M41 : “… (mahasiswa bingung). Tidak tahu kak.”


menentukan jenis persamaan diferensial nomor 2c. M41 belum mampu




105



P : “Kalo nomor 2d persaman diferensial apa?”


P : “Alasannya?”

M41 : “Alasannya bisa diubah ke bentuk persamaan diferensial linear”






diperoleh M41 sudah benar. M41 mampu mengklasifikasikan persamaan


jenis persamaan diferensial orde satu nomor 4 dan memberikan alasan dengan

tepat.



106




107


P : “Nomor 3 yang diketahui sama yang ditanyakan itu apa?”

M41 : “Kan diketahui persamaan diferensial linear. Ini persamaannya

(menunjuk (1 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2 ). Terus habis itu dicari

penyelesaian umumnya.”

P : “Langkah pertama yang harus dilakukan apa?”

M41 : “Ubah ke bentuk umumnya. Habis itu setelah diubah ke bentuk umum,

aku mencari faktor integralnya.”

P : “Hasil faktor integralnya apa?”

M41 : “1

𝑥−1.”

P : “Habis itu setelah ketemu faktor integralnya?”

M41 : “Habis faktor integralnya dikalikan dengan persamaan diferensialnya.

Penyelesaian umumnya 𝑦

𝑥−1+

1

2𝑥2 − 𝑐 = 0.”

Berdasarkan hasil jawaban subjek dan transkip wawancara, M41 terlebih

dahulu mengubah persamaan nomor 3 ke bentuk umum persamaan diferensial

linear dengan benar. Langkah selanjutnya M41 mencari faktor integral. Faktor

integral yang diperoleh sudah benar yaitu 1

𝑥−1. Kemudian mengalikan faktor

integral dengan persamaan diferensial linearnya dan menentukan penyelesaian

umumnya. Hasil yang diperoleh yaitu 𝑦

𝑥−1+

1

2𝑥2 − 𝑐 = 0. M41 sudah mampu


umum persamaan diferensial orde satu dengan benar.


108



P : “Nomor 4 itu yang diketahui dan ditanyakan apa?”



109

M41 : “Jadi kan itu ada laju, terus ada persamaan 𝑑𝑇

𝑑𝑡= −5(𝑇 − 30). Terus

habis itu ada keterangan bahwa saat 𝑡 = 0 itu suhu bendanya adalah

100℃.”

P : “Langkah pertama yang kamu kerjakan apa?”

M41 : “Pertama kali aku itu, 𝑑𝑇

𝑑𝑡= −5(𝑇 − 30) diubah ke bentuk umum eee..”

P : “Menurutmu nomor 4 persamaan diferensial apa?”

M41 : “Kalo berdasarkan jawabanku linear.”

P : “Ini −5 dikalikan (𝑇 − 30) hasilnya benar atau salah? (menunjuk

jawaban mahasiswa yaitu −5𝑇 + 60)”

M41 : “Benar. Ini kan −5 dikalikan 𝑇, −5𝑇. Terus −5 dikalikan −30 berarti

150. Astaga 150. (mahasiswa menyadari kesalahannya)”

P : “Sudah tahu letak kesalahannya? Ya disini sudah kelihatan salah tetapi

langkah selanjutnya apa?”

M41 : “Langkah selanjutnya nyari faktor integralnya. Habis itu sama dengan

nomor 3 cara pengerjaannya.”


mengklasifikasikan persamaan nomor 4 termasuk persamaan diferensial linear

karena dapat diubah ke bentuk umum persamaan diferensial linear, hanya saja

kurang tepat dalam mengalikan. M41 menuliskan 𝑑𝑇

𝑑𝑡+ 5𝑇 = 60. Mahasiswa

seharusnya menuliskan 𝑑𝑇

𝑑𝑡+ 5𝑇 = 150. Langkah selanjutnya M41 mencari

faktor integral kemudian mengalikannya ke persamaan diferensialnya. M41

kemudian mencari solusi umum dan khusus. Langkah-langkah yang dituliskan

M41 sudah tepat hanya saja kurang tepat dalam melakukan perhitungan

sehingga hasil yang diperoleh kurang tepat. M41 kurang mampu

mengaplikasikan konsep atau algoritma persamaan diferensial orde satu ke

pemecahan masalah.


110

Transkip wawancara faktor penyebab kesulitan M41 dalam menjawab soal :

P : “Faktor kesulitanmu belajar persamaan diferensial apa?”

M41 : “Menurutku karena banyaknya tadi persamaan diferensial separabel,

homogen, eksak, linear, dan Bernoulli. Jadi itu beberapa kesulitanku

disitu. Kalo aku tidak lihat dulu sebenarnya paham tetapi buat

mengelompokkan ini susah.”

P : “Habis itu ada lagi?”

M41 : “Kurang teliti. Terus sebenarnya kalo belajar di kelas, aku kan

sebelumnya bukan kelas ini (kelas A). Ada beberapa teman yang bisa

diajak diskusi tetapi mereka duduk di depan, aku duduknya di belakang

jadi kurang bisa diskusi dengan mereka.”

Berdasarkan hasil jawaban dan transkip wawancara, faktor penyebab

M32 kesulitan dalam menjawab soal karena kurang memahami ciri-ciri

persamaan diferensial separabel, homogen, eksak, linear dan Bernoulli.

Kemudian M32 kurang teliti dalam mengerjakan soal dan mengatakan teman

belajar di kelas juga mempengaruhinya untuk bisa berdiskusi memahami materi.

3. Subjek M9




111


P : “Nomor 1a, menurutmu apa yang diketahui dan ditanyakan dari soal?”

M9 : “Menurutku yang ditanyakan itu kita harus menunjukkan bahwa

𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥 merupakan solusi dari persamaan diferensial

𝑑2𝑦


𝑑𝑥− 8𝑦 = 0.”

P : “Apa langkah pertama yang dilakukan dalam menyelesaikan soal

nomor 1a?”

M9 : “Berdasarkan yang saya jawab, ini saya salah mengerjain. Setelah saya

pahami lagi ini kan 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥 terus kita cari turunan

pertamanya, habis itu turunan keduanya. Langkah selanjutnya

disubstitusikan ke persamaan diferensial yang diketahui. Kalo itu sama

dengan 0 benar bahwa 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥 merupakan solusi.”

Berdasarkan hasil jawaban subjek dan transkip wawancara, M9 salah

dalam menjawab soal. M9 hanya menentukan turunan pertama dari 𝑓(𝑥) tetapi

kurang tepat. M9 menyadari kesalahannya ketika di wawancarai. M9 kurang


suatu fungsi merupakan solusi dari persamaan diferensial karena tidak

menyelesaikan soal nomor 1a.


112



P : “Nomor 1b, apa yang diketahui dan ditanyakan?”

M9 : “Yang ditanyakan kita disuruh menentukan nilai 𝑚 agar 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥



𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0. “

P : “Apa langkah pertama yang harus dilakukan?”

M9 : “Langkahnya sama. Pertama kita nyari turunan pertama, terus turunan

keduanya. Terus langkah selanjutnya substitusikan.”

P : “Hasil turunan pertaman apa?”

M9 : “Hasil turunan pertama berdasarkan jawabanku 𝑒𝑚𝑥.”


M9 : “Turunan keduanya juga 𝑒𝑚𝑥.”

P : “Ketika disubstitusikan hasilnya apa?”

M9 : “0 sih.”

P : “Hasilmu menurutmu benar atau salah?”

M9 : “Hasil pekerjaan saya salah.”



113





yaitu 𝑒𝑚𝑥. Turunan kedua 𝑓(𝑥) yang diperoleh yaitu 𝑒𝑚𝑥. Hasil turunan pertama

dan kedua dari 𝑓(𝑥) kurang tepat sehingga nilai 𝑚 yang diperoleh kurang tepat.

M9 kurang mampu menggunakan prosedur atau operasi tertentu untuk

memperlihatkan suatu fungsi merupakan solusi dari persamaan diferensial.



P : “Soal nomor 2 itu yang ditanyakan apa?”

M9 : “Yang ditanyakan itu kita harus menentukan dari a,b,c,d ini termasuk

persamaan diferensial separabel / homogen / eksak / linear / Bernoulli.”

P : “Soal nomor 2a itu termasuk jenis persamaan diferensial apa?”

M9 : “Aku menjawabnya persamaan diferensial separabel.”


M9 : “Karena dapat diubah ke bentuk umum persamaan diferensial

separabel.”

Gambar 4. 80. Jawaban M9 untuk nomor 2a


114

P : “Bentuk umum persaman diferensial separabel itu apa?”

M9 : “Bentuk umumnya itu 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦, eh bukan. Pokoknya

fungsi 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑦)𝑑𝑦.”


mengklasifikasikan persamaan nomor 2a termasuk persamaan diferensial

separabel. M9 memberikan alasan karena persamaan nomor 2a dapat diubah ke

bentuk umum persamaan diferensial separabel. M9 belum mampu

mengklasifikasikan persamaan diferensial orde satu menurut sifat-sifat tertentu

karena persamaan nomor 2a bukan persamaan diferensial separabel.



P : “Nomor 2b termasuk jenis persamaan diferensial apa?”

M9 : “Persamaan diferensial separabel juga.”


M9 : “Bisa diubah ke bentuk umum persaman diferensial separabel.”


mengklasifikasikan persamaan nomor 2b termasuk persamaan diferensial

separabel. M9 memberikan alasan karena persamaan nomor 2b dapat diubah ke

bentuk umum persamaan diferensial separabel. Jawaban yang diperoleh sudah

benar. M32 sudah mampu mengklasifikasikan persamaan diferensial orde satu

Gambar 4. 81. Jawaban M9 untuk nomor 2b


115

menurut sifat-sifat tertentu karena mampu menentukan jenis persamaan




P : “Nomor 2c, menurutmu persamaan diferensial apa?”

M9 : “Homogen.”


M9 : “Nyari eh menentukan persamaan homogen itu kan yang 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦)

dan 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦). 𝜆 yang 𝑀 dan 𝑁 dan itu kan berpangkat 1 eh 2.”



homogen. M9 memberikan alasan jika 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) dan 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) memiliki

pangkat 𝜆 yang sama maka termasuk persamaan diferensial homogen. Hasil

yang diperoleh M32 sudah benar dimana 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) dan 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) memiliki

pangkat 𝜆 yang sama yaitu 2. M9 sudah mampu mengklasifikasikan persamaan





116



P : “Nomor 2d, menurutmu jenis persamaan diferensial apa?”



M9 : “Bisa diubah ke bentuk umum persamaan diferensial linear.”






diperoleh M9 sudah benar. M9 mampu mengklasifikasikan persamaan





117



P : “Nomor 3, yang diketahui dan ditanyakan itu apa?"

M9 : “Yang diketahui persamaannya (1 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2. Terus

disuruh mencari penyelesaian umum dari persamaan itu.”

P : “Apa langkah pertama yang harus dilakukan menyelesaikan soal nomor

3?”

M9 : “Mencari faktor integralnya.”

P : “Sebelum faktor integral?”



118

M9 : “Ini depannya ada (1 − 𝑥) (menunjuk (1 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2).”

P : “Diubah ke bentuk umum persamaan diferensial linear?”

M9 : “Iya.”

P : “Habis itu dicari faktor integralnya, hasilnya apa?”

M9 : “(1 − 𝑥).”

P : “Habis mencari faktor integral, terus apa langkahnya?”

M9 : “Menyelesaikan pakai persamaan diferensial eksak.”

P : “Menurutmu faktor integral kamu peroleh udah benar atau belum?”

M9 : “Iya."



linear dengan benar. Langkah selanjutnya M9 mencari faktor integral. Faktor

integral yang diperoleh yaitu 1 − 𝑥. Kemudian M9 mengalikan faktor integral

ke persamaan diferensialnya dan menyelesaikannya dengan menggunakan cara

penyelesaian persamaan diferensial eksak. Hasil faktor integral yang diperoleh

kurang tepat tetapi M9 tidak menyadarinya sehingga penyelesaian umum dari

persamaan diferensial linear yang diperoleh menjadi kurang tepat. Langkah-

langkah yang dituliskan M9 sebenarnya sudah tepat hanya saja kurang tepat

dalam menentukan faktor integral. M9 kurang mampu menggunakan prosedur



119



P : “Apa yang diketahui dan ditanyakan dari soal nomor 4?”

M9 : “Yang diketahui ini persamaan laju perubahan suhunya. (menunjuk

persamaan 𝑑𝑇

𝑑𝑡= −5(𝑇 − 30) ). Terus suhu bendanya dan waktunya.

Yang ditanyakan persamaan 𝑇(𝑡).”

P : “Menurutmu soal nomor 4 persamaan diferensial apa?”



M9 : “Bisa dipisahkan variabelnya.”

P : “Tetapi kamu menyelesaikannya seperti ini (menunjukkan jawaban

mahasiswa) saat UTS?”

M9 : “Ngeblank, pasti kalo aku udah tau ini persamaan diferensial separabel

ngerti cara penyelesaiannya. Tapi aku gak tahu jenisnya.”

Berdasarkan transkip wawancara, M9 mengklasifikasikan persamaan

nomor 4 merupakan persamaan diferensial separabel dengan alasan variabelnya

dapat dipisahkan. M9 tidak menuliskannya pada lembar jawaban karena pada



120

saat tes kurang paham. M9 tidak memahami langkah-langkah untuk

menyelesaikan soal nomor 4 karena tidak mengetahui jenis persamaan

diferensialnya pada saat mengerjakannya. M9 belum mampu mengaplikasikan

konsep atau algoritma persamaan diferensial orde ke pemecahan masalah.

Transkip wawancara faktor penyebab kesulitan M9 :

P :“Apa saja faktor-faktor yang menyebabkan kamu kesulitan

mengerjakan soal?”

M9 : “Kalo menurut aku yang pertama, nomor 1 itu aku lupa turunan dari 𝑒𝑥.

Setahu aku 𝑒𝑥 diturunkan tetap 𝑒𝑥 karena koefisien x itu 1. Itu kalo

koefisien 𝑥 itu 𝑚. Aku lupa turunan 𝑒𝑚𝑥 , ternyata hasilnya itu 𝑚𝑒𝑥.

Terus yang nomor 2, itu aku coba di kertas coretan termasuk ke

persamaan diferensial yang mana tapi masih ada yang salah. Aku salah

di operasi. Nomor 3, tidak ada karena jelas persamaan diferensialnya.

Kalo nomor 4 yaitu tadi, tidak paham maksud soalnya.”

P : “Ada lagi faktor yang lain?”

M9 : “Waktu ngerjain tidak ada kendala sih. Cara belajarnya aku gak tahu

sih tipeku gimana. Kalo di kelas masih bingung tapi kalo udah di kos

maksudnya mendekati kuis atau ujian belajar dengan temanku cuman

berapa jam udah paham.”

Berdasarkan hasil jawaban subjek dan transkip wawancara, pada soal

nomor 1 M9 kesulitan dalam mengintegralkan bentuk eksponen. Pada soal

nomor 2, M9 masih belum memahami sepenuhnya ciri-ciri atau bentuk umum

dari setiap jenis persamaan diferensial orde satu. Pada soal nomor 3, M9 masih

belum menguasai materi integral. Pada soal nomor 4, M9 kurang memahami

soal.


121

4. Subjek M24



P : “Nomor 1a, apa yang diketahui dan ditanyakan dari soal?”

M24 : “Tunjukkan bahwa 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥 dimana 𝑐1 dan 𝑐2 konstan


𝑑𝑥− 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 8𝑦 = 0.”

P :“Terus, apa langkah pertama yang harus dilakukan untuk menyelesaikan

soal 1a?”

M24 :“Pertama saya menurunkan dua kali ini (menunjuk

𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥)”

P : “Hasil turunan pertama 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥?”

M24 : “Hasil turunan pertama 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥.”


M24 : “Turunan keduanya 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥.”

P : “Habis itu setelah kamu turunkan, fungsinya itu diapakan ke persamaan

diferensial?”

M24 : “Disubstitusikan, disederhanakan.”

P : “Hasilnya apa?”

M24 : “Hasilnya 9𝑐1𝑒4𝑥 + 9𝑐2𝑒−2𝑥 = 0.”

P : “Artinya apa jika hasinya itu?”



122

M24 : “Konstan.”

P : “Menurutmu ada yang keliru tidak turunan pertama sama turunan

kedua?”

M24 : “Sepertinya ada.”


menjelaskan langkah-langkah untuk memperlihatkan bahwa suatu fungsi

merupakan solusi dari persamaan diferensial yaitu mencari turunan pertama

𝑓(𝑥), turunan kedua 𝑓(𝑥), dan kemudian mensubstitusikan 𝑓(𝑥) dan


yaitu 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥. Turunan kedua 𝑓(𝑥) yang diperoleh yaitu

𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥. Ketika 𝑓(𝑥) dan turunannya disubsitusikan ke persamaan

diferensialnya diperoleh 9𝑐1𝑒4𝑥 + 9𝑐2𝑒−2𝑥 = 0. M24 belum mampu

menggunakan prosedur atau operasi tertentu dalam memperlihatkan suatu fungsi

merupakan merupakan solusi dari persamaan diferensial karena hasil turunan

pertama dan kedua dari 𝑓(𝑥) serta belum memahami materi solusi dari




P : “Lanjut ke nomor 1b, yang diketahui dan ditanyakan dari soal apa?”



123

M24 : “Yang diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥, tentukan nilai 𝑚 merupakan solusi dari

persamaan diferensial 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 5

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0.”

P : “Apa langkah pertama yang harus dilakukan untuk menyelesaikan

nomor 1b?”

M24 : “Langkah pertama hampir mirip yang 1a, turunan kedua, turunan

pertama.”

P : “Hasil yang diperoleh?”

M24 : “Ini kebetulan kek.e… salah turunannya. Masih belum selesai ini.”




turunannya ke persamaan diferensialnya. Hasil turunan pertama dan kedua dari

𝑓(𝑥) yang diperoleh kurang tepat sehingga langkah selanjutnya mencari nilai 𝑚

kurang tepat. M24 belum mampu menggunakan prosedur atau operasi tertentu


diferensial.



P : “Nomor 2 itu yang ditanyakan apa?”



124

M24 : “Ditanyakan, tentukan jenis persamaan diferensial di bawah ini

separabel, homogen, eksak, linear atau Bernoulli.”

P : “Dari nomor 2a dulu, menurutmu itu termasuk jenis persamaan

diferensial apa?”

M24 : “Nomor 2a, menurut saya eksak.”


M24 : “Alasannya persamaannya mirip persamaan eksak.”

P : “Ciri-ciri dari persamaan eksak apa?”

M24 : “Udah lupa mas.”


mengklasifikasikan persamaan nomor 2a termasuk persamaan diferensial eksak.

M24 memberikan alasan karena persamaan nomor 2a mirip persamaan eksak.

M24 tidak menjelaskan ciri khusus dari persamaan diferensial eksak. M24


sifat-sifat tertentu karena alasan yang diberikan kurang tepat.




125


P : “Nomor 2b, menurutmu jenis persamaan diferensial apa?”

M24 : “2b menurut saya linear.”

P : “Alasannya apa?

M24 : “Karena persamaannya seperti persamaan linear.”

P : “Bentuk umum dari persamaan linear apa?”

M24 : “Lupa hehehe…”


mengklasifikasikan persamaan nomor 2b termasuk persamaan diferensial linear.

M24 memberikan alasan karena persamaan nomor 2b persamaannya seperti

persamaan diferensial linear. M24 lupa bentuk umum persamaan diferensial

linear dan dari jawaban M24 kurang tepat dalam mengubah persamaan 2b

menjadi bentuk umum persamaan diferensial linear. M24 belum mampu




P : “Kalo nomor 2c, menurutmu persamaan diferensial apa?”

M24 : “Nomor 2c, eksak seperti 2a.”



126

P : “Tapi lupa ya ciri-cirnya?”

M24 : “Lupa mas.”


mengklasifikasikan persamaan nomor 2c termasuk persamaan diferensial eksak.

M24 tidak memberikan alasan dengan benar. M24 belum mampu


karena persamaan 2c bukan merupakan persamaan diferensial eksak.



P : “Kalo nomor 2d?”

M24 : “2d linear juga, sama seperti 2b.”

P : “Tapi alasannya lupa?”

M24 : “Sama lupa hehe..”



Pada lembar jawaban tes, M24 mengubah persamaan 2d menjadi bentuk umum

persamaan diferensial linear. Bentuk umum dari persamaan diferensial linear

yaitu 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥). Namun M24 pada saat wawancara tidak mengetahui

bentuk umum persamaan diferensial linear. M24 kurang mampu


Gambar 4. 91. Jawaban M24 untuk nomor 2d


127

karena tidak menuliskan bentuk umum persamaan diferensial linear dan ketika

wawancara M24 menjawab lupa.



P : “Nomor 3 yang diketahui dan ditanyakan dari soal apa?”

M24 :“Diketahui persamaan diferensial (1 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2.

Tentukan solusi umumnya.”

P : “Apa langkah pertama yang harus dilakukan dalam menyelesaikan soal

nomor 3.”

M24 : “Dari persamaan ini diubah menjadi persamaan linear. Jadi kedua ruas

di..eee.. menghilangkan (1 − 𝑥) nya biar kayak linear.”

P : “Habis itu langkah selanjutnya?”



128

M24 : “Faktor integral dari 1

1−𝑥. Setelah diintegral mendapatkan 𝑒− ln|1−𝑥|,

terus di… (mahasiswa bingung)”

P : “Faktor integralnya dikalikan?”

M24 : “Hee. faktor integralnya dikalikan dengan persamaan diferensialnya.

Kemudian diselesaikan.”

P : “Hasil akhir yang diperoleh apa?”

M24 : “Hasil akhir yang diperoleh 1

3𝑥3 −

1

2𝑥2 + ln|1 − 𝑥| 𝑦 = −𝑐.”

P : “Menurutmu faktor yang integral ini, bisa diubah lagi gak yang

𝑒− ln|1−𝑥|?”

M24 : “Pas kemarin keluar kelas habis UTS kek e bisa disederhanain lagi

𝑒− ln|1−𝑥| tapi saya ga bisa.”

P : “Langkah-langkah selanjutnya menurutmu ada yang kurang tepat?”

M24 : “Kalo langkahnya sudah tepat tapi yang salah cara menghitungnya.”



linear tetapi sedikit kurang tepat. M24 menuliskan 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

𝑦

1−𝑥= 𝑥2 − 𝑥. M24

seharusnya menuliskan 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

𝑦

1−𝑥= 𝑥 − 𝑥2. Langkah selanjutnya M24 mencari

faktor integral dan mengalikannya ke persamaan diferensial. Faktor integral

yang diperoleh yaitu 𝑒− ln|1−𝑥|. Setelah mengalikan faktor integral M24

menyelesaikan persamaan diferensial tersebut. Hasil yang diperoleh

1

3𝑥3 −

1

2𝑥2 + ln|1 − 𝑥| 𝑦 = −𝑐. M24 kurang mampu menggunakan prosedur

atau operasi tertentu untuk menentukan penyelesaian umum persamaan

diferensial orde satu karena tidak menyederhanakan lagi faktor integralnya dan

langkah-langkah penyelesaian yang dituliskan kurang tepat..


129




soal apa?”

M24 : “Yang diketahui laju perubahan suhu sebuah benda dicelupkan ke

dalam air dinyatakan dalam bentuk 𝑑𝑇

𝑑𝑡= −5(𝑇 − 30). 𝑇 = 𝑇(𝑡)

merupakan suhu benda pada saat 𝑡 menit. Jika pada 𝑡 = 0 suhu benda

100℃. Tentukan persamaan 𝑇(𝑡).”

P : “Menurutmu bentuk persamaan diferensial nomor 4 itu termasuk jenis


M24 : “Sepertinya Bernoulli.”

P : “Terus cara kamu menyelesaikan soal nomor 4 gimana?”

M24 : “Kalo nomor 4 kebetulan saya bingung mas kemarin. Terus saya

mengerjakannya cuma dari persamaan itu langsung saya integralin.”





130

Bernoulli. M24 belum mampu menentukan persamaan diferensial nomor 4

dengan benar karena bukan merupakan persamaan diferensial Bernoulli. M24

mengerjakan nomor 4 langsung mengintegralkan persamaan diferensialnya.

M24 belum mampu mengaplikasikan konsep atau algoritma ke pemecahan

masalah karena belum mampu menentukan jenis persamaan diferensial nomor 4

dengan benar dan langkah-langkah penyelesaian yang dituliskan kurang tepat.

Transkip wawancara faktor penyebab M9 kesulitan mengerjakan soal :

P : “Sekarang, menurutmu faktor-faktor apa saja yang membuat kamu

kesulitan dalam menyelesaikan soal nomor 1 sampai 4?”

M24 : “Kalo dari saya menghafal persamaannya.”

P : “Terus ada lagi?”

M24 : “Terus langkah-langkah tapi gak terlalu cuma persamaannya yang

separabel, homogen, eksak, linear, dengan bernoulli kadang kecampur-

campur.”

P : “Kalo faktor yang lain?”

M24 : “Faktor kemarin pas UTS ini. Kalo faktor lain pas malamnya itu banyak

kegiatan jadi belajar gak maksimal.”


penyebab M24 kesulitan dalam mengerjakan soal diantaranya kurang menguasai

materi turunan dan ciri-ciri dari jenis-jenis persamaan diferensial orde satu.

Aktivitas kepanitian di kampus membuat M24 belajarnya tidak maskimal.

5. Subjek M15




131


P : “Nomor 1a, menurutmu yang diketahui sama yang ditanyakan apa?”

M15` : “Nomor 1 itu yang diketahui 𝑓(𝑥) nya. Ini kan 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥,

dimana 𝑐1, 𝑐2 konstan. Habis itu yang ditanyakan, tentukan bahwa 𝑓(𝑥)

ini merupakan solusi dari persamaan ( menunjuk 𝑑2𝑦


𝑑𝑥− 8𝑦 = 0).”

P : “Terus cara kamu mengerjakan nomor 1a bagaimana?”

M15 : “Eeee…”

P : “Nomor 1a itu kamu mengubah bentuk persamaan diferensialnya

sampai kamu ketemu 𝑑2𝑥𝑦 − 8𝑥𝑦 = −𝑑2𝑥−1.”

M15 : “Oh ini dikelompokin yang 𝑥𝑦 sama 𝑥𝑦. Terus habis itu dia 𝑥 nya

dipindah ruas.”

P : “Kamu ingat gak materi membuktikan suatu fungsi itu merupakan

solusi dari persamaan diferensial.”

M15 : “Gak ingat.”

P : “Kenapa kamu tidak mencari turunan pertama 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥

sama turunan kedua?”

M15 : “Soalnya tu kayak keingatnya tu menurutku pakainya, duh lupa.

Pokoknya keingatnya kalo nyari yang kayak gini dibuat gini kelompok-

kelompokin. Terus dikerjainnya kan akhir-akhir seingatnya tahu aku

ini.”


terlebih dahulu mencari turunan pertama dan kedua dari 𝑓(𝑥). M15 mengubah



𝑑𝑥− 8𝑦 = 0 menjadi 𝑑2𝑥𝑦 − 8𝑥𝑦 = −𝑑2𝑥−1.

M15 belum mampu menggunakan prosedur atau operasi untuk memperlihatkan

suatu fungsi merupakan solusi dari persamaan diferensial karena langkah-

langkah dalam menjawab soal nomor 1a salah.


132



P : “Sekarang nomor 1b. Nomor 1b itu yang diketahui sama ditanyakan

apa?”

M15 : “Yang diketahui itu nilai m ini kan 𝑓(𝑥) nya ini. Terus dari 𝑓(𝑥)nya itu

dicari solusinya dari persamaan diferensial ini.”

P : “Bagaimana cara kamu mengerjakan nomor 1b?”

M15 : “Ini tu sama seperti yang dikerjakan bagian a.”

P : “Kenapa kamu tidak mencari turunan pertama 𝑓(𝑥).”

M15 : “Ya itu, karena ini terakhir. Jadinya kepikiran yang atas-atas itu (soal

yang lain), ini los.”


terlebih dahulu mencari turunan pertama dan kedua dari 𝑓(𝑥). M15 mengubah



𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0 menjadi 𝑑2𝑥𝑦 − 4𝑥𝑦 = −𝑑2𝑥−1.

M15 belum mampu menggunakan prosedur atau operasi tertentu untuk


karena langkah-langkah dalam menjawab soal nomor 1b salah.



133



P : “Lanjut nomor 2. Nomor 2 itu yang ditanyakan di soal apa?”

M15 : “Nomor 2 itu disuruh nentuin ini tu persamaan diferensial separabel,

homogen, eksak, atau linear. Jadi dari ini kita harus mengerjakan semua

untuk membuktikan.”

P : “Dari nomor 2a dulu. 2a menurutmu persamaan diferensial apa?”

M15 : “Ini tu aku gak tahu cara bedainnya gimana. Tapi gini, aku paham

maksud e ngerti runtutan penyelesaian persamaan diferensial separabel

ini ini ini, eksak ini ini ini. Tapi kalo untuk ekspose masih bingung

nyarinya tu gimana sih. Biar ini separabel gimana. Eksak tu yang gimana.

Tapi kalo misalnya suruh cari caranya (solusi) oh.. separabel ini paham.”

P : “Tapi untuk cara membedakannya belum tahu?”

M15 : “Hee. belum. Gak ngerti gitu.”

P : “Berarti nomor 2a sampai d ada yang bisa?”



134

M15 : “Sebenarnya itu kalo nyelesain pakai rumus itu bisa. Tapi ya itu

bedainnya pasti kebalik-balik.”

P : “Nomor 2a disini kamu mencari nilai 𝜕𝐹

𝜕𝑦 terus

𝜕𝐹

𝜕𝑥, menurutmu jenis

persamaan diferensial jenis apa kalo mengerjakan seperti itu?”

M15 : “Haduh lupa.”

P : “Lupa?”

M15 : “Iya.”


menentukan jenis persamaan diferensial nomor 2a. M15 mencari nilai 𝜕𝐹

𝜕𝑦 dan

𝜕𝐹

𝜕𝑥

terlihat pada Gambar 4.96. M15 belum mampu mengklasifikasikan persamaan

diferensial orde satu menurut sifat-sifat tertentu karena belum mampu

menentukan jenis persamaan diferensial nomor 2a dengan benar.


135



P : “Lanjut ke yang b. Kalo yang b? Lupa juga?”

M15 : “Aku tu ngerti, tapi kalo ditanya apa-apa lupa. Sudah lewat soalnya.”


menentukan jenis persamaan diferensial nomor 2b. M15 berusaha

menyelesaikan persamaan 2b dengan cara persamaan diferensial eksak terlihat

pada Gambar 4.97. M15 belum mampu mengklasifikasikan persamaan

diferensial orde satu menurut sifat-sifat tertentu karena tidak menentukan jenis

persamaan diferensial nomor 2b dengan benar.



136




137


P : “Kalo yang 2c itu, cara kerjanya seperti itu persamaan diferensial apa?”

M15 : “Lupa, lupa.”


menentukan jenis persamaan diferensial nomor 2c. Padahal M15 berusaha

menyelesaikan persamaan nomor 2c dengan cara persamaan diferensial

homogen. M15 belum mampu mengklasifikasikan persamaan diferensial orde

satu menurut sifat-sifat tertentu karena tidak menentukan jenis persamaan

diferensial nomor 2c.



P : “Nomor 2d menurutmu jenis persamaan diferensial apa?”

M15 : “Lupa.”


menentukan jenis persamaan diferensial nomor 2d. M15 berusaha

menyelesaikan persamaan diferensial nomor 4. M15 belum mampu



138


karena tidak menentukan jenis persamaan diferensial nomor 2d.



P : “Nomor 3 yang diketahui terus yang ditanyakan apa?”

M15 : “Nomor 3 itu kan disuruh menyelesaikan persamaan diferensial linear.”

P : “Terus cara mengerjakannya bagaimana?”

M15 : “Awalnya kan itu dikelompokin gitu. Terus habis itu difaktorin.”



139

P : “Kamu tahu tidak bentuk umum dari persamaan diferensial linear?”

M15 : “Pokoknya itu kalo persamaan linear itu di kelompok-kelompokin aja.”

P : “Terus kenapa kamu tidak mencari faktor integral?”

M15 : “Ha.. soalnya kepepet.”


mengubah bentuk (1 − 𝑥)𝑑𝑦


1−𝑥

𝑥3−2𝑥2+𝑥= −

1

𝑦. M15

tidak mengubah terlebih dahulu persamaan nomor 3 ke bentuk umum persamaan

diferensial linear karena tidak mengetahui. Langkah-langkah M15 dalam

menyelesaikan soal nomor 3 salah sehingga M15 belum mampu menggunakan

prosedur atau operasi tertentu untuk menentukan penyelesaian umum persamaan

diferensial orde satu.



P : “Lanjut lagi nomor 4.”

M15 : “Sama sekali gak tahu.”

P : “Nomor 4?”

M15 : “Iya sama sekali gak paham.”

P : “Yang diketahui dan ditanyakan apa?”

M15 : “Diketahuinya kan 𝑑𝑇

𝑑𝑡= −5(𝑇 − 30). Kemudian 𝑇 = 𝑇(𝑡) merupakan

suhu saat 𝑡 menit. Jadi kalo misalnya 𝑡 = 0 suhunya itu berapa saat

100℃.”



140

P : “Bisa mengerjakannya?”

M15 : “Gak paham.”


mengetahui jenis persamaan diferensial nomor 4. M15 juga tidak memahami

cara mengerjakan soal nomor 4. M15 belum mampu mengaplikasikan konsep

atau algoritma persamaan diferensial orde ke pemecahan masalah.


P : “Faktor yang menyebabkan kamu kesulitan mengerjakan soal apa?”

M15 : “Sebenarnya kalo ditanya. Aku belajarnya lebih suka yang baca-baca

dulu baru coba ngerjain. Nah kesulitannya itu adalah pribadiku sendiri

itu udah paham sama cara-cara untuk nyari persamaan diferensialnya itu

tapi belum bisa bedain separabel itu gimana, homogen gimana, eksak

gimana. Jadi itu kan yang bikin kita bingung. Kalo misalnya kita gak

tahu separabel gimana, homogen gimana. Kita udahlah pasti asal yang

ini aja.”

P : “Ada faktor lain?”

M15 : “Udah sih itu aja.”


penyebab M24 kesulitan dalam mengerjakan soal yaitu belum memahami materi

terkait solusi dari persamaan diferensial dan ciri-ciri jenis persamaan diferensial

orde satu.


141

6. Subjek M18



P : “Nomor 1a, menurutmu yang diketahui dan ditanyakan dari soal itu

apa?”

M18 :“Kalo yang diketahui itu solusinya 𝑓(𝑥) eh persamaan

𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥 dimana 𝑐1, 𝑐2 konstan. Terus ini tu merupakan

solusinya dari persamaan diferensial 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 8𝑦 = 0. Kita harus

membuktikan bahwa ini tadi (menunjuk 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥)

merupakan solusinya.”

P : “Sekarang coba jelaskan bagaimana kamu menyelesaikan soal nomor

1a? “

M18 : “Ini tu menggunakan 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥). Terus habis itu dimasukkin

𝑑𝑦

𝑑𝑥 nya

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 terus dikurangi 𝑃(𝑥)𝑦 itu 2𝑑𝑦

𝑑𝑥 terus dikurangi 8𝑦 sama



142

dengan 0. Terus cari integral dari 𝑃(𝑥) nya nilainya 2𝑑𝑦

𝑑𝑥. Jadi dapatnya

𝑒2𝑑𝑦

𝑑𝑥. Kemudian cari faktor integral dari 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 8𝑦 = 0. Kan tadi

integral dari 2𝑑𝑦

𝑑𝑥 udah diketahui 𝑒2

𝑑𝑦

𝑑𝑥, kemudian itu diintegral lagi. Terus

dapatnya 𝑦2

𝑥2 − 𝑒2𝑑𝑦

𝑑𝑥 − 4𝑦2. Kemudian 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥 itu

disubstitusiin lagi pakai integral tadi jadinya 𝑒 ∫ 4𝑥 + 𝑒 ∫ −2𝑥. Jadi

ketemunya 𝑒4𝑥 + 𝑒−2𝑥 dengan 𝑐1, 𝑐2 konstan. Itu merupakan solusi dari



𝑑𝑥− 8𝑦 = 0.”

P : “Mengapa kamu menyelesaikan dari persamaan diferensialnya?

Mengapa kamu tidak mencari turunan pertama dan kedua dari 𝑓(𝑥)

kemudian disubstitusikan ke persamaan diferensialnya?”

M18 : “Karena mikirnya pakai 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥). Tidak kepikiran buat cari

turunan pertama sama turunan kedua 𝑓(𝑥).”


menentukan terlebih dahulu turunan pertama dan kedua dari 𝑓(𝑥). M18

berusaha menyelesaikan persamaan diferensial nomor 1a. M18 belum mampu


merupakan solusi dari persamaan diferensial karena tidak mengetahui cara atau

langkah-langkah dalam menjawab soal nomor 1a.


143



P : “Sekarang lanjut nomor 1b. Nomor 1b yang diketahui dan ditanyakan

dari soal apa?”

M18 : “Yang diketahuinya itu 𝑑2𝑦


𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0 terus kita disuruh nentuin

nilai 𝑚 agar 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥 merupakan solusi dari persamaan diferensial

itu.”

P : “Jelaskan proses kamu menyelesaikan nomor 1!”

M18 : “Sama seperti nomor 1a tadi, dikerjainnya pakai 𝑑𝑦


Terus masukan ke persamaan diferensialnya. Terus dicari integral dari

5𝑑𝑦

𝑑𝑥 jadinya 𝑒5

𝑑𝑦

𝑑𝑥. Kemudian dicari faktor integralnya ketemu hasil

akhirnya itu 𝑦2

𝑥2 − 𝑒5𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 2𝑦2 + 𝑐 = 0. Nilai 𝑚 agar 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥


𝑑𝑥2− 5

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0

adalah 5.”



144

P : “Sama seperti nomor 1, kenapa kamu tidak mencari turunan pertama

dan kedua dari 𝑓(𝑥)? Kamu menyelesaikan dari persamaan

diferensialnya dan tiba-tiba bisa dapat 𝑚 = 5.”

M18 : “Kalo dapat nilai 𝑚 nya dari faktor integralnya. Jadikan tadi 𝑒5,

mikirnya pangkat ini sama dengan pangkat 𝑒𝑚𝑥. Terus kalo cara

pengerjaannya sama seperti a karena mikirnya soalnya hampir sama.”


menentukan terlebih dahulu turunan pertama dan kedua dari 𝑓(𝑥). M18

berusaha menyelesaikan persamaan diferensial nomor 1b. M18 belum mampu


merupakan solusi dari persamaan diferensial karena langkah-langkah yang

digunakan untuk menyelesaikan soal nomor 1b salah.



P : “Nomor 2 itu yang ditanyakan dari soal apa?”

M18 : “Menentukan jenis persamaan diferensial dari keempat soal. Apakah

separabel/ homogen/ eksak/ linear/ Bernoulli?”



145

P : “Sekarang mulai dari nomor 2a. Menurut kamu nomor 2a termasuk ke

jenis persamaan diferensial apa? Berikan alasannya juga!”

M18 : “a itu persamaan diferensial separabel karena jika diselesaikan dengan

separabel kita dapatkan persamaan, kan 𝑃(𝑥) = [(𝑥 + 1)𝑒𝑥 − 𝑒𝑦]𝑑𝑥

dan 𝑄(𝑥) = 𝑥𝑒𝑦. Terus ketemunya yang integral dari 𝑃(𝑥) itu

(1

2𝑥2) 𝑒𝑥 − 𝑒𝑦. Terus yang integral dari 𝑄(𝑥) itu −

1

2𝑥2𝑒𝑦. Terus hasil

akhirnya (1

2𝑥2) 𝑒𝑥 − 𝑒𝑦 −

1

2𝑥2𝑒𝑦 + 𝑐 = 0.”

P : “Bagaimana ciri-ciri dari persamaan diferensial separabel?”

M18 : “Harusnya 𝑃(𝑥) itu sama dengan 𝑄(𝑥), jadi ini salah.”

P : “Menurutmu persamaan 2a itu variabel 𝑥 dan 𝑦 bisa dipisah?”

M18 : “Enggak.”


mengklasifikasikan persamaan nomor 2a termasuk persamaan diferensial

separabel. M18 memberikan alasan persamaan nomor 2a dapat diselesaikan

dengan cara persamaan diferensial separabel. M18 belum mampu


karena persamaan nomor 2a bukan merupakan persamaan diferensial separabel.




146


P : “Sekarang nomor 2b. Menurutmu jenis persamaan diferensial apa?”



M18 : “Karena kita dapat pangkat yang sama (pangkat 𝜆) yaitu 4. Pertama kita

cari pangkatnya dulu sama atau tidak. Ketemu pangkatnya sama yaitu

pangkat 4.”

P : “Menurutmu nilai 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) dan 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) udah benar atau belum?

Yang 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦), kalo 𝜆4(4𝑥2𝑦 + 3𝑦) sama tidak hasilnya dengan

𝜆44𝑥2𝑦 + 3𝜆𝑦?”

M18 : “Beda. Jadinya 𝜆44𝑥2𝑦 + 3𝜆4𝑦.”


mengklasifikasikan persamaan nomor 2b termasuk persamaan diferensial

homogen. M18 memberikan alasan karena pangkat 𝜆 dari 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) dan

𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) yaitu 4. Jawaban M18 kurang tepat karena salah dalam menentukan

𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦). M18 belum mampu mengklasifikasikan persamaan diferensial orde

satu menurut sifat-sifat tertentu karena persamaan nomor 2b bukan merupakan





147


P : “Lanjut nomor 2c. Menurutmu nomor 2c ini jenis persamaan diferensial

apa?”

M18 : “Separabel, kayaknya salah.”

P : “Variabel 𝑥 dan 𝑦 bisa dipisahkan?”

M18 : “Ga bisa.”



separabel. M18 memberikan alasan persamaan nomor 2c dapat diselesaikan

dengan cara persamaan diferensial separabel. M18 belum mampu


karena persamaan nomor 2c bukan merupakan persamaan diferensial separabel.



P : “Nomor 2d, menurutmu jenis persamaan diferensial apa?”



M18 : “Eee. Sepertinya 𝜆 ini salah hehehe. Ini benar (menunjuk 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦))

pangkat 𝜆 nya 4 tapi kalo yang disini (menunjuk menunjuk 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦))

salah.”



148


mengklasifikasikan persamaan nomor 2d termasuk persamaan diferensial

homogen. M18 memberikan alasan karena pangkat 𝜆 dari 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) dan

𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) yaitu 4. Jawaban M18 kurang tepat karena salah dalam menentukan

𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦). M18 belum mampu mengklasifikasikan persamaan diferensial orde

satu menurut sifat-sifat tertentu karena persamaan nomor 2d bukan merupakan





soal apa?”

M18 : “Yang diketahui (1 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2. Yang ditanyakan

penyelesaian umum dari persamaan diferensial itu.”

P : “Terus bagaimana kamu menyelesaikan soal nomor 3? Langkah

pertama?”



149

M18 : “Langkahnya seperti yang nomor 1 tadi pakai 𝑑𝑦


Terus dimasukkin angkanya kan (1 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2.

Kemudian di operasikan jadi (1 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥.”

P : “Kemudian ?”

M18 : “Kemudian cari integral dari 𝑦, ketemunya 𝑒𝑦. Kemudian cari faktor

integralnya.”

P : “Ketemunya?”

M18 : “Penyelesaian akhirnya 1 − 2𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑥3 + 𝑐 = 0.”

P : “Sekarang mau tanya yang langkah awal ini. Kenapa kamu tidak

mengubah ke bentuk umum persamaan diferensial linear? Padahal

kamu udah menuliskannya. Kenapa bagian sini tidak kamu ubah

(menunjuk jawaban mahasiswa).”

M18 : “Kan mikirnya udah ada 𝑑𝑦

𝑑𝑥 yang ini mengikuti sama kayak 3

𝑑𝑦

𝑑𝑥 .”


terlebih dahulu mengubah persamaan nomor 3 ke bentuk umum persamaan

diferensial linear. M18 belum memahami bentuk umum dari persamaan

diferensial linear. M18 juga belum memahami makna faktor integral terlihat

pada lembar jawabannya yang menuliskan 𝑃(𝑥) = 𝑦 . M18 belum mampu


umum persamaan diferensial linear orde satu pada soal nomor 3 karena belum

memahami bentuk umum persamaan diferensial linear dan langkah-langkah

penyelesaian yang dituliskan kurang tepat.


150



P : “Nomor 4, yang diketahui dan ditanyakan dari soal itu apa?”

M18 : “Yang diketahui itu 𝑑𝑇

𝑑𝑡= −5(𝑇 − 30) dengan 𝑇 = 𝑇(𝑡) merupakan

suhu benda pada saat 𝑡 menit . Terus yang ditanyakan, jika pada saat

𝑡 = 0 suhu benda 100℃. Tentukan persamaan 𝑇(𝑡).”

P : “Menurutmu bentuk persamaan diferensial nomor 4 itu termasuk jenis


M18 : “Bernoulli.”


M18 : “Eh bukan. Ini separabel karena 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑦).”

P : “Cara kamu menyelesaikan nomor 4 bagaimana?”



151

M18 : “Ini cuma disubstitusiin dan dijabarin aja.”

Berdasarkan hasil jawaban subjek, M18 tidak menentukan terlebih dahulu

jenis persamaan diferensial nomor 4 tetapi saat wawancara M18


separabel. M18 memberikan alasan karena persamaan nomor 4 dapat diubah

menjadi 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑦). M18 belum mampu menentukan jenis persamaan

diferensial orde satu pada soal nomor 4 karena pada lembar jawaban tidak

menunjukkan ciri-ciri khusus dari persamaan diferensial separabel dan ketika

wawancara alasan yang diberikan kurang tepat. Langkah-langkah penyelesaian

yang dituliskan juga salah sehingga M18 belum mampu mengaplikasikan



P :“Faktor-faktor apa saja yang menyebabkan kamu kesulitan mengerjakan

soal nomor 1 sampai 4?”

M18 : “Pertama bingung dan masih belum menguasai materi. Materinya

banyak ada separbel, homogen, eksak, linear dan Bernoulli. Terus karena

sifatnya close book, jadinya bingung belajarnya apa. Akhirnya yang udah

dipelajarin itu malah gak keluar.”

P : “Terus ada lagi?”

M18 : “Udah hanya itu aja.”

Berdasarkan hasil jawaban dan transkip wawancara, faktor penyebab

M18 kesulitan mengerjakan soal yaitu belum menguasai materi terkait solusi

dari persamaan diferensial dan jenis-jenis persamaan diferensial orde satu.

C. Pembahasan

1. Ketercapaian Indikator Pemahaman Konsep


152

Tabel 4.2. Ketercapaian Indikator Pemahaman Konsep

Kode Subjek Ketercapaian Indikator Pemahaman Konsep

1 2 3 4

M1 − − − −

M2 − − − −

M3 − − − −

M4 − − − −

M5 − − − −

M6 − − − −

M7 − − − −

M8 − − − −

M9 − − − −

M10 − − − −

M11 − − − −

M12 − − − −

M13 − − − −

M14 − − − −

M15 − − − −

M16 ✓ − − −

M17 − − − −

M18 − − − −

M19 − − − −

M20 − ✓ − −

M21 − − − −

M22 − − − −

M23 − − − −

M24 − − − −

M25 ✓ − − −

M26 − − − −

M27 − − − −

M28 − − − −

M29 ✓ ✓ − −

M30 − ✓ − −

M31 − − − −


153

M32 ✓ ✓ − ✓

M33 ✓ ✓ ✓ −

M34 − − − −

M35 − − − −

M36 − − − −

M37 ✓ − − −

M38 − − − −

M39 ✓ ✓ − −

M40 ✓ ✓ − −

M41 ✓ − ✓ −

M42 − − − −

M43 ✓ ✓ − −

Banyak

Mahasiswa 10 8 2 1

Persentase 23,26% 18,60% 4,65% 2,33%

Keterangan:

✓ : memenuhi indikator

− : tidak memenuhi indikator

Pada soal nomor 1, ada 10 mahasiswa yang mampu menjawab soal

dengan tepat. Sepuluh mahasiswa tersebut mampu menjawab soal nomor 1a dan

1b dengan benar. Letak kesalahan mahasiswa dalam memperlihatkan suatu

fungsi merupakan solusi dari persamaan diferensial yaitu menentukan turunan

pertama dan kedua dari fungsi yang diberikan. Mahasiswa kurang memahami

cara menentukan turunan dari fungsi eksponen. Hal ini senada dengan pendapat

Ningsih dan Rohana (2018) yang menyatakan kesalahan terbanyak dalam

menyelesaikan soal persamaan diferensial terletak pada penggunaan prinsip

turunan dan pengintegralan dari suatu fungsi eksponen dan logaritma.

Mahasiswa juga belum memahami langkah-langkah untuk memperlihatkan

suatu fungsi merupakan solusi dari persamaan diferensial terlihat dari

wawancara dengan subjek M15 dan M18.


154

Pada soal nomor 2, ada 8 mahasiswa yang mampu mengklasifikasikan

empat persamaan diferensial dengan benar. Berdasarkan hasil tes dan

wawancara, mahasiswa belum memahami ciri-ciri dari setiap jenis persamaan

diferensial orde satu. Mahasiswa cenderung mengingat cara untuk menentukan

penyelesaian umum dari setiap jenis persamaan diferensial orde satu tanpa

memahami ciri-cirinya. Menurut Hamalik (2001: 166), peserta didik memahami

suatu konsep paling tidak salah satunya ia dapat menyatakan ciri-ciri konsep

tersebut.

Pada soal nomor 3, ada 2 mahasiswa yang mampu menentukan

penyelesaian umum persamaan diferensial linear orde satu dengan benar. Letak

kesalahan yang dilakukan mahasiswa adalah menentukan faktor integral dan

kurang memahami langkah-langkah menentukan penyelesaian umum

persamaan diferensial orde satu. Hal ini sesuai dengan penelitian yang dilakukan

Oktavia dan Khotimah (2016) yang menyatakan kesulitan yang dijumpai dalam

materi persamaan diferensial non eksak adalah materi prasyarat integral, materi

prasyarat turunan, dan langkah-langkah perhitungan. Mahasiswa juga terburu-

buru dalam membaca soal terlihat dari transkip wawancara dengan M32.

Pada soal nomor 4, hanya ada 1 mahasiswa yang mampu mengaplikasikan

konsep atau algoritma ke pemecahan masalah. Berdasarkan hasil tes dan

wawancara kesulitan mahasiswa dalam menyelesaikan soal nomor 4 yaitu tidak

memahami soal, tidak mengetahui jenis persamaan diferensialnya dan tidak

memahami langkah-langkah penyelesaian. Hal ini sesuai penelitian yang

dilakukan Naisunis, Taneo, dan Daniel (2018) yang menyatakan kesalahan

mahasiswa dalam mengaplikasikan konsep ke pemecahan masalah karena tidak

memahami maksud ataupun makna soal.


155

2. Faktor-faktor yang Menyebabkan Mahasiswa Kesulitan dalam Memahami

Konsep Persamaan Diferensial Orde Satu

Berdasarkan hasil wawancara yang diperoleh dari 6 mahasiswa dapat

diketahui faktor-faktor yang menyebabkan mahasiswa dalam memahami konsep

atau mengerjakan soal persamaan diferensial orde satu diantaranya faktor

internal dan eksternal.

Faktor internal adalah faktor yang berasal dalam diri mahasiswa terkait

kemampuan memahami materi dan proses menyelesaikan soal. Faktor internal

ini diantaranya:

a. Belum menguasai materi prasyarat yaitu materi turunan dan integral.

b. Kurang memahami langkah-langkah untuk memperlihatkan suatu fungsi


c. Kurang memahami ciri-ciri dari jenis persamaan diferensial orde satu yaitu

persamaan diferensial separabel, homogen, eksak, linear dan Bernoulli.

d. Belum menguasai cara atau langkah-langkah menentukan solusi dari

persamaaan diferensial orde satu khususnya persamaan diferensial linear.

e. Terburu-buru dalam mengerjakan soal sehingga tidak membaca soal hingga

tuntas.

f. Kurang memahami maksud dari soal.

g. Tidak teliti dalam melakukan perhitungan

Sementara itu faktor eksternal adalah faktor yang berasal luar mahasiswa

yang meliputi:

a. Kurangnya diskusi dengan teman atau dosen di kelas ketika kesulitan

memahami materi.

b. Aktivitas yang tidak berhubungan dengan perkuliahan persamaan diferensial.

D. Keterbatasan Penelitian

Adapun keterbatasan penelitian yang dialami adalah sebagai berikut :

1. Pelaksanaan wawancara


156

Keterbatasan dalam melakukan wawancara yaitu kesanggupan subjek dan

waktu pelaksanaan. Pelaksanaan wawancara dilakukan setelah hasil tes selesai

dikoreksi. Pelaksanaan tes dilakukan pada akhir bulan Maret 2019 dan

wawancara dilakukan mulai akhir bulan April 2019. Selang waktu antara tes

dan wawancara cukup lama akibatnya subjek penelitian mengalami kesulitan

dalam mengingat proses mengerjakan tes.


157

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian, kesimpulan yang dapat diambil adalah sebagai

berikut:

1. Kemampuan pemahaman konsep mahasiswa Pendidikan Matematika

Universitas terhadap materi persamaan diferensial berdasarkan indikator adalah

sebagai berikut:

a. 23,36% mahasiswa mampu menggunakan prosedur atau operasi tertentu


diferensial. Sebagian besar mahasiswa belum memahami cara atau langkah-

langkah untuk memperlihatkan suatu fungsi merupakan solusi dari


b. 18,60% mahasiswa mampu mengklasifikasikan empat persamaan

diferensial orde satu menurut sifat-sifat atau ciri-ciri tertentu dengan benar.

c. 4,65% mahasiswa mampu menggunakan prosedur atau operasi tertentu

untuk menentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde satu.

Sebagian besar mahasiswa salah dalam menentukan faktor integral.

d. 2,33% mahasiswa mampu mengaplikasikan konsep atau algoritma


2. Faktor-faktor yang menyebabkan mahasiswa kesulitan dalam memahami

konsep persamaan diferensial adalah sebagai berikut:

a. Faktor internal adalah faktor yang berasal dari dalam diri mahasiswa.

1) Belum menguasai materi prasyarat yaitu materi turunan dan integral.

2) Kurang memahami langkah-langkah untuk memperlihatkan suatu fungsi



158

3) Kurang memahami ciri-ciri dari jenis persamaan diferensial orde satu

yaitu persamaan diferensial separabel, homogen, eksak, linear dan

Bernoulli.

4) Belum menguasai cara atau langkah-langkah menentukan solusi dari

persamaaan diferensial orde satu khususnya persamaan diferensial

linear.

5) Terburu-buru dalam mengerjakan soal sehingga tidak membaca soal

hingga tuntas.

6) Kurang memahami maksud dari soal.

7) Tidak teliti dalam melakukan perhitungan.

b. Faktor eksternal adalah faktor yang berasal dari luar diri mahasiswa.

1) Kurangnya diskusi dengan teman atau dosen di kelas ketika kesulitan

memahami materi.

2) Aktivitas yang tidak berhubungan dengan perkuliahan persamaan

diferensial.

B. Saran

Saran yang dapat peneliti berikan berdasarkan hasil penelitian adalah sebagai

berikut

1. Bagi dosen, dosen diharapkan memberikan perhatian dan melatih mahasiswa

untuk memahami ciri-ciri dari setiap jenis persamaan diferensial orde satu dan

penerapannya ke soal pemecahan masalah. Selain itu dosen diharapkan

memberikan penguatan pada materi prasyarat yaitu turunan dan integral

sehingga mahasiswa dapat memahami materi persamaan diferensial dengan

baik.

2. Bagi mahasiswa, mahasiswa diharapkan lebih meningkatkan kemampuan

pemahaman konsep persamaan diferensial orde satu khususnya penerapan

persamaan diferensial orde satu ke pemecahan masalah karena materi ini juga


159

akan digunakan pada mata kuliah tingkat selanjutnya yaitu Pemodelan

Matematika.

3. Bagi pembaca yang ingin melakukan penelitian lebih lanjut untuk:

a. melakukan penelitian tentang metode pembelajaran yang mampu

memfasilitasi agar bisa meningkatkan kemampuan pemahaman konsep

mahasiswa pada materi persamaaan diferensial orde satu.

b. melakukan penelitian untuk melihat hubungan atau seberapa besar

pengaruh materi prasyarat yaitu turunan dan integral terhadap kemampuan

pemahaman konsep persamaan diferensial.


160

DAFTAR PUSTAKA

Ali, M. dan Asrori, M. 2018. Metodologi dan Aplikasi Riset Pendidikan. Jakarta: PT

Bumi Aksara.

Arikunto, S. 2012. Dasar-Dasar Evaluasi Pendidikan. Edisi 2. Jakarta : PT Bumi

Aksara.

Hamalik. 2002. Perencanaan Pengajaran Berdasarkan Pendekatan Sistem. Jakarta:

PT. Bumi Aksara.

Hendriana, H.H dan Soemarmo. 2014. Penilaian Pembelajaran Matematika. Bandung:

PT Refika Aditama

Hudojo. 2001. Pengembangan Kurikulum dan Pembelajaran Matematika. Malang:

Universitas Negeri Malang.

Lestari, I. 2015. Pengaruh Waktu Belajar dan Minat Belajar Terhadap Hasil Belajar

Matematika. Jurnal Online Formatif, Vol 3. No 2. Hal 115 – 125.

https://journal.lppmunindra.ac.id/index.php/Formatif/article/view/118/115 [ 9

Juli 2019]

Lestari, K.E dan Yudhanegra, M.R. 2015. Penelitian Pendidikan Matematika.

Bandung: PT Refika Aditama.

Moleong, L.J. 2008. Metodologi Penelitian Kualitatif. Edisi revisi. Bandung: PT

Remaja Rosdakarya.

Naisunis, Y.P., Taneo, P.N.L., dan Daniel, F. 2018. Analisis Kesalahan Mahasiswa

dalam Pemecahan Masalah pada Mata Kuliah Persamaan Diferensial. Dalam

Jurnal Online Edumatica, Vol 08. No. 02. Hal 107 – 119.

https://www.online-journal.unja.ac.id/edumatica/article/view/5548 [25 Ferbruari

2019]

Ningsih, Y.L. 2016. Pemahaman Mahasiswa Pendidikan Matematika Tentang Konsep

Turunan Berdasarkan Teori Apos. Dalam Prosiding Seminar Internasional dan

Rapat Tahunan Badan Kerja Sama Perguruan Tinggi Negeri Wilayah Barat,

Mei. Hal 877 – 885. Palembang: Universitas Sriwijaya.

https://jurnal.univpgri-

palembang.ac.id/index.php/prosiding/article/viewFile/822/683 [24 Februari

2019]

Ningsih, Y.L dan Rohana. 2018. Pemahaman Mahasiswa Terhadap Persamaan

Diferensial Biasa Berdasarkan Teori APOS. Dalam Jurnal Online Penelitian dan


https://journal.lppmunindra.ac.id/index.php/Formatif/article/view/118/115

https://www.online-journal.unja.ac.id/edumatica/article/view/5548

https://jurnal.univpgri-palembang.ac.id/index.php/prosiding/article/viewFile/822/683

https://jurnal.univpgri-palembang.ac.id/index.php/prosiding/article/viewFile/822/683

161

Pembelajaran Matematika, Vol. 11. No 1. Hal 168 – 176.

http://jurnal.untirta.ac.id/index.php/JPPM/article/download/2995/2326 [17

Desember 2018]

NCTM. 2000. Principles and Standards for School Mathematics. Reston: VA.

Oktavia, A dan Khotimah, R.P. 2016. Analisis Kesulitan Mahasiswa Dalam

Menyelesaikan Persamaan Diferensial Tingkat Satu. Dalam Prosiding Koferensi

Nasional Pendidikan Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP I). Hal 99 –

108

https://publikasiilmiah.ums.ac.id/bitstream/handle/11617/6946/10_71_Makalah

%20Rev%20Ayu%20Oktavia.pdf?sequence=1&isAllowed=y [22 Februari

2019]

Ross, S.L. 1984. Differential Equations : Third Edition. New York : John Wiley &

Sons, Inc.

Soedjadi. 2000. Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia. Jakarta: Direktorat Jenderal

Pendidikan Tinggi Departemen Pendidikan Nasional.

Suharnan. 2005. Psikologi Kognitif. Surabaya: Srikandi.

Suradi. 2002. Teori Pembentukan Konsep dan Hubungannya dengan Pembelajaran

Matematika. Dalam Jurnal Matematika. Edisi khusus. Juli. Hal 587 - 591.

Susanto. 2013. Teori Belajar & Pembelajaran di Sekolah Dasar. Jakarta:

Prenadamedia Group.

Van De Walle, J.A. 2008. Matematika Sekolah Dasar dan Menengah. Edisi 6. Jakarta:

Erlangga.


http://jurnal.untirta.ac.id/index.php/JPPM/article/download/2995/2326

https://publikasiilmiah.ums.ac.id/bitstream/handle/11617/6946/10_71_Makalah%20Rev%20Ayu%20Oktavia.pdf?sequence=1&isAllowed=y

https://publikasiilmiah.ums.ac.id/bitstream/handle/11617/6946/10_71_Makalah%20Rev%20Ayu%20Oktavia.pdf?sequence=1&isAllowed=y

162

LAMPIRAN


163

Lampiran 1. Surat Ijin


164

Lampiran 2. Soal Tes Esai

Soal (120 Menit)

Petunjuk:

Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan teliti!

Sifat close book

1. a. Tunjukkan bahwa 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥 dimana 𝑐1 dan 𝑐2 konstan, merupakan

solusi dari

persamaan diferensial

𝑑2𝑦


𝑑𝑥− 8𝑦 = 0

b. Tentukan nilai m agar 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥 merupakan solusi dari persamaan diferensial

𝑑2𝑦


𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0

(Skor 25)

2. Tentukan jenis persamaan diferensial di bawah ini ! (separabel/ homogen/ eksak /

linear / Bernoulli). Berikan penjelasan secukupnya.

a. [(𝑥 + 1)𝑒𝑥 − 𝑒𝑦]𝑑𝑥 − 𝑥𝑒𝑦𝑑𝑦 = 0

b. (4𝑥2𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥4 + 1)𝑑𝑦 = 0

c. (3𝑥2 − 2𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0

d. 𝑥4𝑑𝑦 + (2𝑥3𝑦 − 1)𝑑𝑥 = 0

(Skor 25)

3. Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial linear berikut

(1 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2

(Skor 25)

4. Laju perubahan suhu sebuah benda yang dicelupkan ke dalam air dinyatakan dalam

bentuk

𝑑𝑇

𝑑𝑡= −5(𝑇 − 30)

dengan 𝑇 = 𝑇(𝑡) merupakan suhu benda pada saat t menit. Jika pada saat 𝑡 = 0 ,

suhu benda 100°𝐶, tentukan persamaan 𝑇(𝑡).

(Skor 25)


165

Lampiran 3. Kunci Jawaban

Kunci Jawaban

1a. Diketahui 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥 dimana 𝑐1 dan 𝑐2 konstan

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑐1𝑒4𝑥 − 2𝑐2𝑒−2𝑥

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = 16𝑐1𝑒4𝑥 + 4𝑐2𝑒−2𝑥

Substitusikan fungsi dan turunannya ke persamaan diferensial

𝑑2𝑦

𝑑𝑥− 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 8𝑦 = (16𝑐1𝑒4𝑥 + 4𝑐2𝑒−2𝑥) − 2(4𝑐1𝑒4𝑥 − 2𝑐2𝑒−2𝑥) −

8(𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥)

= 16𝑐1𝑒4𝑥 + 4𝑐2𝑒−2𝑥 − 8𝑐1𝑒4𝑥 + 4𝑐2𝑒−2𝑥 − 8𝑐1𝑒4𝑥 −

8𝑐2𝑒−2𝑥

= 0

Karena menghasilkan kesamaan identitas (0) atau memenuhi persamaan

diferensial tersebut, maka dapat disimpulkan 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥 merupakan

solusi dari persamaan diferensial 𝑑2𝑦

𝑑𝑥− 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 8𝑦 = 0

1b. Diketahui 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑚𝑒𝑚𝑥

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = 𝑚2𝑒𝑚𝑥

Substitusikan fungsi dan turunannya ke persamaan diferensial

𝑑2𝑦

𝑑𝑥− 5

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0

𝑚2𝑒𝑚𝑥 − 5𝑚𝑒𝑚𝑥 + 4𝑒𝑚𝑥 = 0

(𝑚2 − 5𝑚 + 4)𝑒𝑚𝑥 = 0

𝑚2 − 5𝑚 + 4 = 0

Skor 6

Skor 6

Skor 6

Skor 7


166

(𝑚 − 1)(𝑚 − 4) = 0

𝑚 = 1 atau 𝑚 = 4

Jadi, nilai m agar 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥 merupakan solusi dari persamaan diferensial

𝑑2𝑦

𝑑𝑥− 5

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0 yaitu 1 atau 4.

2a. Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial eksak.

Alasannya

[(𝑥 + 1)𝑒𝑥 − 𝑒𝑦]𝑑𝑥 − 𝑥𝑒𝑦𝑑𝑦 = 0

dari persamaan diferensial tersebut diperoleh

𝑀(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 1)𝑒𝑥 − 𝑒𝑦 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦= −𝑒𝑦

𝑁(𝑥, 𝑦) = −𝑥𝑒𝑦 𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥= −𝑒𝑦

Karena 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦=

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥, maka persamaan tersebut merupakan persamaan

diferensial eksak

2b. Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel.

Alasannya

(4𝑥2𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥4 + 1)𝑑𝑦 = 0

Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut

(4𝑥2 + 3)𝑦𝑑𝑥 + (𝑥4 + 1)𝑑𝑦 = 0

dengan mengalikan kedua ruas dengan (𝑥4 + 1) dan (1

𝑦), diperoleh

4𝑥2+3

𝑥4+1𝑑𝑥 +

1

𝑦𝑑𝑦 = 0

Bentuk tersebut merupakan bentuk persamaan diferensial separabel

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 0

dimana

𝑓(𝑥) =4𝑥2+3

𝑥4+1 dan 𝑔(𝑦) =

1

𝑦

Persamaan nomor 2b dapat juga diklasifikasikan ke persamaan diferensial linear.

Skor 6

Skor 6


167

Alasannya

(4𝑥2𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥4 + 1)𝑑𝑦 = 0

Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut

(4𝑥2 + 3)𝑦𝑑𝑥 + (𝑥4 + 1)𝑑𝑦 = 0

dengan membagi kedua ruas dengan (𝑥4 + 1) dan 𝑑𝑥 diperoleh

( 4𝑥2+3

𝑥4+1) 𝑦 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

Bentuk tersebut merupakan bentuk persamaan diferensial linear

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)

dimana

𝑃(𝑥) =4𝑥2+3

𝑥4+1 dan 𝑄(𝑥) = 0

2c. Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial homogen.

Alasannya

Cara I

(3𝑥2 − 2𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0

dengan membagi kedua ruas dengan 𝑥2 diperoleh

(3 −2𝑦2

𝑥2 ) 𝑑𝑥 + (𝑦

𝑥) 𝑑𝑦 = 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

(3−2(𝑦

𝑥)

2)

(𝑦

𝑥)

Bentuk tersebut merupakan bentuk persamaan diferensial homogen

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑔 (

𝑦

𝑥)

dimana 𝑔 (𝑦

𝑥) = −

(3−2(𝑦

𝑥)

2)

(𝑦

𝑥)

Cara II

𝑀(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 − 2𝑦2

𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 3(𝜆𝑥)2 − 2(𝜆𝑦)2

Skor 6


168

= 3𝜆2𝑥2 − 2𝜆2𝑦2

= 𝜆2(3𝑥2 − 2𝑦2)

= 𝜆2𝑀(𝑥, 𝑦)

𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦

𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = (𝜆𝑥)(𝜆𝑦)

= 𝜆2𝑥𝑦

= 𝜆2𝑁(𝑥, 𝑦)

Karena 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆2𝑀(𝑥, 𝑦) dan 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆2𝑁(𝑥, 𝑦) memiliki pangkat 𝜆

yang sama yaitu 2, maka 𝑀(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 − 2𝑦2 dan 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 merupakan

fungsi homogen berderajat dua. Jadi, (3𝑥2 − 2𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 merupakan


2d. Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial linear

Alasannya

𝑥4𝑑𝑦 + (2𝑥3𝑦 − 1)𝑑𝑥 = 0

Bentuk persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi

𝑥4 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ (2𝑥3𝑦 − 1) = 0

𝑥4 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑥3𝑦 = 1

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

2

𝑥 𝑦 =

1

𝑥4 (kedua ruas dibagi 𝑥4)

Bentuk persamaan tersebut merupakan bentuk persamaan diferensial linear orde

satu.

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)

dimana 𝑃(𝑥) =2

𝑥 dan 𝑄(𝑥) =

1

𝑥4

Skor 7


169

3. Diketahui persamaan diferensial linear

(1 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2

dengan membagi kedua ruas dengan (1 − 𝑥) diperloeh

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

1−𝑥𝑦 = 𝑥(1 − 𝑥)

Mencari faktor integral

𝑃(𝑥) =1

1−𝑥

𝜇(𝑥) = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒∫1

1−𝑥𝑑𝑥 = 𝑒− ln|1−𝑥| =

1

1−𝑥

Cara I

Kemudian dengan mengalikan faktor integral dan persamaan diferensialnya

diperoleh

1

1−𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

(1−𝑥)2 𝑦 =𝑥(1−𝑥)

1−𝑥

1

1−𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

(1−𝑥)2 𝑦 = 𝑥

𝑑

𝑑𝑥(

1

1−𝑥 𝑦) = 𝑥


∫ 𝑑 (1

1−𝑥 𝑦) = ∫ 𝑥 𝑑𝑥

1

1−𝑥 𝑦 =

1

2𝑥2 + 𝑐

𝑦 =1

2𝑥2(1 − 𝑥) + 𝑐(1 − 𝑥)

Cara II

Karena dengan mengalikan persamaan tersebut faktor integral akan menjadi

persamaan eksak maka dapat diselesaikan dengan cara berikut

1

1−𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

(1−𝑥)2𝑦 =

𝑥(1−𝑥)

1−𝑥

1

1−𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

(1−𝑥)2 𝑦 = 𝑥

Skor 2

Skor 8

Skor 15


170

1

1−𝑥𝑑𝑦 +

1

(1−𝑥)2 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥

1

1−𝑥𝑑𝑦 +

1

(1−𝑥)2 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥 = 0

1

1−𝑥𝑑𝑦 + (

1

(1−𝑥)2 𝑦 − 𝑥) 𝑑𝑥 = 0

𝑀(𝑥, 𝑦) =1

(1−𝑥)2 𝑦 − 𝑥 dan 𝑁(𝑥, 𝑦) =1

1−𝑥

𝜕𝐹(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥= 𝑀(𝑥, 𝑦) =

1

(1−𝑥)2 𝑦 − 𝑥

𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫1

(1−𝑥)2 𝑦 − 𝑥 𝑑𝑥 =1

1−𝑥𝑦 −

1

2𝑥2 + 𝑔(𝑦)

Mencari nilai 𝑔(𝑦)

𝜕𝐹(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦= 𝑁(𝑥, 𝑦)

1

1−𝑥+ 𝑔′(𝑦) =

1

1−𝑥

Sehingga

𝑔′(𝑦) = 0

∫ 𝑔′(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 0 𝑑𝑦

𝑔(𝑦) = 𝑐0

Penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑐1

1

1−𝑥𝑦 −

1

2𝑥2 + 𝑐0 = 𝑐1

1

1−𝑥𝑦 =

1

2𝑥2 + 𝑐1 − 𝑐0

𝑦 =1

2𝑥2(1 − 𝑥) + (𝑐1 − 𝑐0)(1 − 𝑥)

𝑦 =1

2𝑥2(1 − 𝑥) + 𝑐(1 − 𝑥)

Jadi penyelesaian umum dari persamaan diferensial linear tersebut adalah

𝑦 =1

2𝑥2(1 − 𝑥) + 𝑐(1 − 𝑥)


171

4. Diketahui : laju perubahan suhu sebuah benda yang dicelupkan ke dalam air

dinyatakan dalam bentuk 𝑑𝑇

𝑑𝑡= −5(𝑇 − 30) dengan 𝑇 = 𝑇(𝑡) merupakan suhu

benda (°𝐶) pada saat t menit dan 𝑘 adalah konstanta.

Suhu benda pada saat 𝑡 = 0 adalah 100℃

Ditanya : Berapakah suhu benda pada saat tertentu?

Penyelesaian :

𝑑𝑇

𝑑𝑡= −5(𝑇 − 30)

𝑑𝑇

(𝑇−30)= −5 𝑑𝑡

Bentuk persamaan tersebut merupakan persamaan separabel, dengan

pengintegralan diperoleh

∫𝑑𝑇

(𝑇−30)= ∫ −5𝑑𝑡

ln|𝑇 − 30| = −5𝑡 + 𝑐

𝑇 − 30 = 𝑒−5𝑡+𝑐

𝑇 − 30 = 𝑐𝑒−5𝑡

𝑇 = 30 + 𝑐𝑒−5𝑡

Ketika 𝑡 = 0, 𝑇(0) = 100 maka

𝑇 = 30 + 𝑐𝑒−5𝑡

100 = 30 + 𝑐𝑒−5(0)

100 = 30 + 𝑐𝑒0

100 = 30 + 𝑐

𝑐 = 70

sehingga 𝑇 = 30 + 70𝑒−5𝑡

Jadi suhu benda pada saat tertentu adalah 𝑇 = 30 + 70𝑒−5𝑡 dimana 𝑇(°𝐶)

dipengarui t (menit).

Skor 5

Skor 10

Skor 10


172

Lampiran 4. Lembar Validasi


173


174

Lampiran 5. Nilai Tes Mahasiswa

No Kode Nilai No Kode Nilai

1 M1 6 23 M23 7

2 M2 32 24 M24 32

3 M3 19 25 M25 62

4 M4 34 26 M26 15

5 M5 8 27 M27 11

6 M6 18 28 M28 8

7 M7 27 29 M29 65

8 M8 47 30 M30 61

9 M9 38 31 M31 24

10 M10 12 32 M32 76

11 M11 10 33 M33 91

12 M12 39 34 M34 27

13 M13 15 35 M35 18

14 M14 8 36 M36 33

15 M15 11 37 M37 49

16 M16 58 38 M38 44

17 M17 17 39 M39 68

18 M18 11 40 M40 71

19 M19 49 41 M41 74

20 M20 69 42 M42 21

21 M21 36 43 M43 65

22 M22 15


175

Lampiran 6. Jawaban Subjek M32


176


177


178


179



180


181


182


183



184


185


186


187



188


189


190



191


192


193


194



195


196


197

Lampiran 12. Transkip Wawancara Mahasiswa yang Pernah Mengambil Mata

Kuliah Persamaan Diferensial Bisa

1. Transkip wawancara S1

P : “Menurutmu kesulitan dalam belajar persamaan diferensial biasa atau

mengerjakan soal, khususnya persamaan diferensial orde satu itu apa?”

S1 : “Itu kan ada banyak caranya.”

P : “Banyak cara atau bentuk (jenis) persamaan diferensial orde satu?”

S1 : “Hooh, itu kan ada beberapa metode pengerjaan to. Terus ya kesulitannya

disitu sih. Jadi, kan kita harus melihat dulu soalnya nanti dapat dikerjakan

dengan apa. Padahal gak semua cara itu bisa untuk satu soal itu.”

P : “Lebih ke beda kan ini, ini termasuk persamaan diferensial apa?”

S1 : “Iya.”


P : “Ini mau bertanya seputar persamaan diferensial orde satu?”

S2 : “Orde satu?”

P : “Iya. Kan ada beberapa macam persamaan diferensial orde satu, menurutmu

kesulitan kamu mengerjakan soal persamaan diferensial orde satu waktu

semester kemarin?”

S2 : “Kalo kesulitan, pertama gara-gara kurang paham. Kedua tidak begitu

memperhatikan dosen, itu secara internal. Tapi diajarin teman pasti bisa.”

P : “Kalo dari segi materi, kesulitannya di bagian mana? Misalkan ada soal, terus

cara untuk menyelesaikan itu gimana masih bingung.”

S2 : “Iya masih bingung idenya. Soalnya dari awal jarang memperhatikan dosen,

kalo diterangkan itu jarang paham. Nanti idenya itu darimana.”

P : “Lebih ke idenya?”

S2 : “Hooh lebih ke ide.”


198


P : “Menurutmu kesulitan belajar persamaan diferensial orde satu apa?”

S3 : “Kesulitan belajar persamaan diferensial orde satu adalah ketika tidak tahu

langkah-langkahnya dalam menyelesaikan. Lalu lupa bentuk (jenis) setiap

persamaan diferensial orde satu dan terkait integral.”


P : “Menurutmu kesulitan belajar persamaan diferensial orde satu apa?”

S4 :“Membedakan jenis-jenis persamaan diferensialnya sih karena cara

penyelesaiannya beda. Suka ke tukar-tukar gitu. Sama susah dalam turunan dan

integral karena lupa tekniknya.”


repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/35371/2/151414046_full.pdf · 2019. 8. 21. · analisis...

Documents