tinjauan pustaka - repository.ipb.ac.id · dengan . adalah. matriks diagonal yang elemen diagonal...
TRANSCRIPT
TINJAUAN PUSTAKA
Analisis Biplot Biasa
Analisis biplot merupakan suatu upaya untuk memberikan peragaan grafik
dari matriks data dalam suatu plot dengan menumpangtindihkan vektor-vektor
dalam ruang berdimensi rendah, biasanya dua (atau tiga) yang mewakili vektor-
vektor baris matriks (gambaran objek) dengan vektor-vektor yang mewakili
kolom matriks (gambaran peubah). Dari peragaan ini diharapkan diperoleh
gambaran tentang objek, misalnya kedekatan antarobjek, gambaran tentang
peubah, baik tentang keragamannya maupun korelasinya, serta keterkaitan antara
objek-objek dengan peubah-peubahnya. Tampilan objek dalam analisis komponen
utama (AKU, Principal Components Analysis) merupakan kasus khusus dari
analisis biplot dan penghitungan dalam analisis biplot didasarkan pada penguraian
nilai singular (PNS, Singular Value Decomposition) suatu matriks (Siswadi dan
Suharjo, 1999).
Informasi yang dapat diperoleh dari analisis biplot antara lain tentang:
1. Kedekatan antarobjek. Informasi ini dapat dijadikan panduan untuk
mengetahui objek yang memiliki kemiripan karakteristik dengan objek lain.
Dua objek yang memiliki karakteristik sama akan digambarkan sebagai dua
titik dengan posisi yang berdekatan.
2. Keragaman peubah. Informasi ini digunakan untuk melihat apakah ada
peubah yang memiliki nilai keragaman yang hampir sama. Peubah dengan
keragaman kecil digambarkan dengan vektor yang pendek, sebaliknya jika
keragamannya besar digambarkan dengan vektor yang panjang.
3. Korelasi antarpeubah. Informasi ini dapat digunakan untuk mengetahui
bagaimana hubungan satu peubah dengan peubah lainnya. Peubah
digambarkan sebagai vektor. Dua peubah berkorelasi positif digambarkan
sebagai dua vektor dengan arah yang sama atau membentuk sudut lancip, dua
peubah berkorelasi negatif digambarkan sebagai dua vektor dengan arah
berlawanan atau membentuk sudut tumpul, dan apabila sudut yang dibentuk
siku-siku maka dua peubah tersebut tidak saling berkorelasi.
4. Keterkaitan peubah dengan objek. Informasi ini digunakan untuk melihat
keunggulan dari setiap objek. Objek yang letaknya searah vektor peubah,
menunjukkan objek tersebut nilainya di atas rata-rata, jika berlawanan arah
berarti nilainya di bawah rata-rata, jika hampir di tengah-tengah berarti
nilainya mendekati rata-rata.
Analisis Biplot adalah peragaan secara grafik dari baris dan kolom sebuah
matriks data
, dengan baris mewakili objek dan kolom mewakili peubah.
Dalam setiap aplikasi, analisis biplot dimulai dengan mentransformasikan matriks
sebagai matriks data asal yang terkoreksi terhadap nilai rata-rata kolomnya
menjadi matriks yang akan digambarkan (Aitchison dan Greenacre, 2001),
11' ,
dengan 1 adalah vektor berukuran n×1 yang semua elemennya bernilai 1.
Matriks koragam yang diperoleh dari matriks ialah:
,
sedangkan matriks korelasi = yang diperoleh dari matriks ialah:
,
dengan = diag
11 22
1 1 1, ,....,
pps s s
adalah matriks diagonal dengan
elemen diagonal utama 1 iis ; i = 1,2, . . ., p. Elemen juga merupakan kosinus
sudut antara vektor peubah ke-i dan ke-j :
.
Misalnya matriks , maka jarak Euclid antara objek ke-i
dan ke-j didefinisikan oleh:
,
dan jarak Mahalanobis antara objek ke-i dan ke-j adalah:
.
Apabila matriks berpangkat r dengan r ≤ min {n, p} maka dengan
menggunakan PNS matriks dapat diuraikan menjadi:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
dengan adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya merupakan
akar dari eigennilai-eigennilai positif matriks atau , yaitu = diag ( ,
, ..., ), dengan > 0. Nilai disebut nilai
singular dari dan
merupakan eigennilai-eigennilai positif matriks
atau . Matriks dan adalah matriks ortonormal kolom, sehingga
(matriks identitas berdimensi r). Matriks adalah matriks yang
kolom-kolomnya merupakan eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai
positif dari matriks , yaitu dan adalah matriks yang
kolom-kolomnya merupakan eigenvektor-eigenvektor yang bersesuaian dengan
eigennilai-eigennilai positif dari matriks , yaitu
.
Teorema Eckart-Young (Aitchison dan Greenacre, 2001) menyatakan
bahwa jika matriks dihitung dengan s pertama nilai dan vektor singular yang
bersesuaian, sebagai contoh untuk s = 2 :
=
,
kemudian karena matriks sebagai pendekatan terbaik bagi maka :
menjadi minimum, dengan merupakan notasi dari norma Frobenius.
Dalam Jolliffe (2002), dengan mendefinisikan dan ,
maka untuk α [0,1]:
,
dan elemen ke-( ) dari matriks dapat ditulis:
,
dengan merupakan vektor baris ke-i dari matriks , i = 1, 2, …, n dan
merupakan vektor baris ke-j dari matriks , j = 1, 2, …, p; di mana vektor dan
mempunyai r elemen.
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Untuk menggambarkan pada ruang dimensi s < r, dapat didekati dengan
menggunakan matriks berpangkat s,
=
=
.
Biasanya digunakan s = 2, sehingga koordinat-koordinat dan dapat
digambarkan dalam ruang berdimensi dua (Lipkovich dan Smith, 2002).
Pengambilan nilai α tertentu berimplikasi penting dalam interpretasi biplot.
Secara umum untuk setiap nilai α yang digunakan, penumpangtindihan vektor
dan yang diplot pada ruang yang sama diperoleh nilai amatan peubah ke-j pada
objek ke-i yang telah dikoreksi terhadap nilai tengahnya yaitu . Nilai
amatan tersebut bertanda positif bila kedua vektor tersebut searah, yaitu sudut
kedua vektor tersebut ada dalam [0,
), bertanda negatif bila kedua vektor tersebut
berlawanan arah, yaitu sudut kedua vektor tersebut ada dalam (
, ] dan bernilai
nol bila kedua vektor tersebut saling tegak lurus, yaitu sudut kedua vektor tersebut
. Posisi relatif titik-titik dan akan memberikan informasi tentang objek-
objek yang mempunyai nilai relatif besar, rataan, atau kecil dari peubah-peubah
yang diamati.
1. Jika α = 0, maka dan , akibatnya :
,
sehingga diperoleh:
a. , dengan adalah koragam peubah ke-i dan ke-j.
Artinya, penggandaan titik antara vektor dan akan memberikan
gambaran koragam antara peubah ke-i dan ke-j.
b. = , = , artinya panjang vektor tersebut akan
memberikan gambaran tentang keragaman peubah ke-i. Makin panjang
vektor dibandingkan dengan vektor maka makin besar keragaman
peubah dibanding peubah .
(12)
(13)
c. Korelasi antara peubah ke-i dan ke-j dijelaskan oleh kosinus sudut antara
dan (misalnya : θ), yaitu :
cos =
=
= .
Berdasarkan sudut yang dibentuk antara vektor dan , korelasi peubah
ke-i dan ke-j dapat dijelaskan sebagai berikut:
1) semakin besar korelasi positifnya jika θ mendekati 0, dan korelasi
sama dengan 1 jika θ = 0,
2) semakin besar korelasi negatifnya jika θ mendekati π, dan korelasi
sama dengan -1 jika θ = π, dan
3) semakin kecil korelasi positif dan negatifnya jika θ mendekati
dan
tidak berkorelasi apabila θ =
.
d. Jika X berpangkat p maka
, dengan adalah
matriks koragam yang diperoleh dari . Berarti kuadrat jarak Euclid antara
vektor dan pada biplot sebanding dengan kuadrat jarak Mahalanobis
antara vektor dan (Siswadi dan Suharjo, 1999).
2. Jika α =1, maka dan atau ; akibatnya:
,
sehingga diperoleh
a.
, artinya kuadrat jarak Euclid
antara dan akan sama dengan kuadrat jarak Euclid antara dan .
b. Posisi dalam plot akan sama dengan posisi objek ke-i dengan
menggunakan r komponen utama pertama.
c. Vektor kolom sama dengan vektor yang merupakan koefisien untuk
komponen utama ke-j.
(14)
(15)
Dari interpretasi biplot di atas, penguraian tidak bersifat khas. Jika
α = 1 maka g-plot diperoleh dengan memisalkan dan , baris ke-i
matriks akan digunakan untuk merepresentasikan baris ke-i matriks , yang
berarti merepresentasikan objek ke-i, sedangkan baris ke-j matriks akan
digunakan untuk merepresentasikan kolom ke-j matriks , yang berarti
merepresentasikan peubah ke-j. Sedangkan jika α = 0 maka h-plot diperoleh
dengan memisalkan dan yang merupakan gambaran ragam dan
korelasi di dalam grafik.
Ukuran Kesesuaian Biplot Biasa
Menurut Gabriel (2002), biplot tidak hanya sebagai pendekatan matriks data
dengan menggunakan matriks , tetapi juga koragam dan korelasi
antarpeubah, serta kemiripan antarobjek. sebagai pendekatan dari
matriks terkait pada matriks koragam dan korelasi antarpeubah, sedangkan
matriks sebagai pendekatan bagi terkait pada ukuran kemiripan objek.
Rumus umum yang dikemukakan oleh Gabriel untuk ukuran kesesuaian
biplot (Goodness of Fit of Biplot) adalah sebagai berikut
,
dengan dan adalah suatu matriks, di mana merupakan pendekatan .
Ukuran kesesuaian biplot sebagai ukuran kedekatan dari tiga bentuk matriks,
yaitu:
1. Kesesuaian data : GF
.
2. Kesesuaian peubah : GF
.
3. Kesesuaian objek : GF
.
Makin besar (mendekati 100%) nilai ukuran kesesuaian untuk memperoleh
gambaran layak tidaknya analisis biplot dalam ruang dimensi s dengan matriks
sebagai matriks pendekatan terbaik berpangkat s, makin sesuai matriks
pendekatannya merepresentasikan matriks awalnya dan karenanya makin layak
analisis biplot digunakan untuk penarikan kesimpulan (Siswadi dan Suharjo,
1999).
(16)
(17)
(18)
(19)
Analisis Peubah Kanonik
Pendekatan standar untuk perlakuan data peubah ganda dengan beberapa
objek diidentifikasi a priori, kelompok memiliki sejarah panjang dalam literatur
statistika, adalah analisis peubah kanonik (APK, Canonical Variate Analysis)
yang diperkenalkan oleh Fisher (1936). APK merupakan salah satu teknik
statistika untuk analisis data dengan peubah ganda yang berbasis analisis
pengelompokan data sehingga ragam antarkelompok maksimum dan ragam di
dalam kelompok minimum (Varas et al. 2005).
Salah satu pendekatan dalam APK ialah mencari peubah kanonik yang
merupakan kombinasi linear dari peubah asal yang akan menghasilkan cara
terbaik dalam pemisahan kelompok-kelompok tersebut. Peubah ini akan
memberikan nilai sedekat mungkin bagi objek-objek dalam kelompok yang sama
dan sebesar mungkin bagi objek-objek antarkelompok.
Andaikan ada n objek dari m kelompok contoh acak dengan masing-masing
berukuran n1, n2, ..., nm (n1 + n2 + ... + nm = n) dengan p peubah yang diamati,
X1, X2, ..., Xp. Misalnya = ( X1, X2, ..., Xp) adalah vektor yang mewakili peubah,
adalah matriks data asal yang telah terkoreksi terhadap nilai rata-rata
kolomnya, dan adalah matriks indikator m kelompok (peubah dummy) yang
diberikan oleh:
.
Definisikan:
= diag (n1, n2, ..., nm),
yaitu matriks diagonal berukuran m×m dengan elemen diagonal utamanya
merupakan banyak objek dari setiap kelompok dan m p merupakan matriks yang
setiap barisnya merupakan vektor rata-rata dari peubah dalam setiap kelompok,
yaitu:
.
Analisis ragam antarkelompok dan dalam kelompok dapat dikonstruksi
seperti pada Tabel 1.
(20)
(21)
(22)
Tabel 1 Analisis ragam antarkelompok dan dalam kelompok
Sumber Keragaman Derajat Bebas
db
Jumlah Kuadrat dan Hasil Kali
JKK
Antarkelompok
(between group)
m – 1
Dalam kelompok
(within group)
n – m
Total n – 1
Untuk matriks jumlah kuadrat dan hasil kali (JKK, sums of squares and
products) data dalam kelompok dapat ditulis juga sebagai:
,
dengan adalah matriks JKK data dalam kelompok k, untuk k = 1, 2, ..., m,
yaitu untuk j, j' = 1, 2, ..., p, dan didefinisikan oleh:
,
dengan I1 = {1, 2, …, n1}, I2 = {n1 + 1, n1 + 2, …, n1 + n2}, …, Im = ,
adalah rata-rata dari peubah j dalam kelompok k, yaitu
dan nk adalah banyaknya objek dari kelompok k dengan
. Sedangkan matriks JKK data antarkelompok dapat ditulis sebagai:
,
dengan merupakan rata-rata keseluruhan dari peubah j, yaitu
dan .
Tujuannya, berdasarkan pengukuran peubah X1, X2, ..., Xp secara serempak,
akan memaksimumkan rasio antara ragam antarkelompok dengan ragam dalam
kelompok. Untuk mencapai tujuan ini, transformasikan peubah vektor x, ke dalam
peubah baru, yang membuat ragam yang tinggi antarkelompok terhadap ragam
dalam kelompok. Jika transformasi dilambangkan oleh , maka yang akan
dicari adalah vektor sehingga
maksimum dengan kendala
, yaitu solusi dibatasi untuk vektor dengan panjang satu satuan
terhadap matriks . Fungsi yang akan dimaksimumkan merupakan rasio
antara ragam antarkelompok dengan ragam dalam kelompok. Ini adalah fungsi
homogen berderajat nol di dan invarian terhadap perubahan skala.
(25)
(23)
(24)
Sekarang akan dicari vektor yang dapat memaksimumkan fungsi ,
dengan kendala . Menggunakan pengali Lagrange, berarti yang akan
dimaksimumkan adalah fungsi
,
sehingga,
,
(27)
(28)
,
atau
. (29)
Ini berarti maksimum yang dicari adalah
Matriks merupakan matriks nonsingular, sehingga dengan mengalikan
persamaan (27) dengan , diperoleh
. (30)
Artinya, vektor atau bobot kanonik yang dapat memaksimumkan adalah
eigenvektor dari matriks yang bersesuaian dengan eigennilai terbesar .
Transformasi yang diperoleh dari eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai
terbesar disebut peubah kanonik pertama. Peubah kanonik kedua diperoleh dari
eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai terbesar kedua, dan begitu pula
untuk mencari peubah kanonik yang lainya. Banyaknya peubah kanonik yang
mungkin diperoleh adalah r = pangkat ( = min (p, m – 1).
Semua penyelesaian dari (28) dapat dikumpulkan bersama dalam bentuk
, (31)
dengan dan = diag ( ,
, ..., ), di mana
≥
≥ ...
≥ > 0, sehingga . Jika r = p, maka dapat ditulis sebagai
dan . Dengan mengalikan persamaan (31) dengan diperoleh
. (32)
Jika matriks tidak simetris, dalam perhitungan eigenvektor dan
peubah kanonik secara komputasi lebih menguntungkan menggunakan matriks
(26)
simetris berukuran p×p daripada matriks (Gittins, 1985).
Dekomposisi spektral dari matriks simetris diberikan oleh:
, (33)
dengan adalah suatu matriks berukuran p×p yang elemen-elemennya
eigenvektor dan adalah matriks diagonal yang memiliki eigennilai pada
diagonal utamanya.
Berdasarkan asumsi tersebut persamaan (27) dapat ditulis menjadi
.
Jadi, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai
, (34)
dengan dan = 1.
Persamaan (34) menyatakan bahwa adalah eigenvektor dari matriks
yang bersesuaian dengan eigennilai dan = ,
sehingga, .
Semua kombinasi linear untuk sebuah objek dengan nilai-nilai diberikan
oleh:
. (35)
Hal ini memberikan sebuah transformasi dari peubah asal menjadi himpunan
peubah baru yang dikenal sebagai peubah kanonik. Ruang yang dihasilkan oleh
peubah-peubah ini disebut ruang kanonik. Rata-rata kelompok pada ruang
kanonik disebut juga rata-rata kanonik diberikan oleh:
, (36)
dan transformasi seluruh himpunan objek pada ruang kanonik diberikan oleh .
Sehingga:
. (37)
Artinya, jarak Euclid antara rata-rata dalam ruang peubah kanonik bersesuaian
dengan jarak Mahalanobis dalam ruang peubah asal. Jadi, ruang peubah kanonik
dapat dianggap sebagai ruang Euclid.
Peubah kanonik yang diperoleh, y1, y2, …, yr merupakan kombinasi linear
yang dipilih sehingga y1 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok, peubah
y2 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok yang tidak dapat dicakup oleh
y1, peubah y3 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok yang tidak dapat
dicakup oleh y1 dan y2, dan seterusnya. Diharapkan beberapa peubah kanonik
pertama, misalnya dua peubah kanonik pertama, cukup layak digunakan sehingga
masing-masing objek dan rataannya dapat digambarkan dalam ruang berdimensi
dua. Bila hal ini dimungkinkan maka bagaimana baiknya upaya pemisahan
antarkelompok dan penentuan objek ke suatu kelompok akan lebih mudah
dilakukan.
Analisis Biplot Kanonik
Analisis biplot kanonik merupakan representasi grafik dari APK,
dikembangkan oleh Gabriel (1995) untuk memperoleh representasi secara
serempak antara rata-rata kelompok dan peubah di mana dimungkinkan tidak
hanya untuk menetapkan perbedaan antarkelompok tetapi juga untuk
menggambarkan peubah yang dianggap dominan dalam membedakan
antarkelompok (Vallejo-Arboleda et al. 2007).
Misalnya adalah matriks data asal yang terkoreksi terhadap rata-rata
kolomnya dan adalah matriks indikator m kelompok (peubah dummy).
Analisis biplot kanonik merupakan peragaan secara grafik dari baris dan kolom
sebuah matriks , dengan baris mewakili rata-rata kelompok dan kolom
mewakili peubah. Matriks merupakan rata-rata objek masing-masing kelompok
untuk setiap peubah yang diamati dan terkoreksi terhadap nilai rata-rata
keseluruhan.
Untuk memperhitungkan pengaruh penyebaran objek dan skala pengukuran
peubah, diperkenalkan pembobotan sehubungan dengan matriks JKK data dalam
kelompok dan yang lainnya berkaitan dengan banyaknya objek, hal ini karena
akurasi rata-rata tergantung pada ukuran yang telah dihitung, sehingga dapat
didefinisikan:
. (38)
Artinya, baris dari terboboti oleh banyaknya objek dan peubah pada kolom
terboboti oleh invers dari matriks JKK dalam kelompok (Gabriel, 1972), dengan
, (39)
sehingga memiliki eigenvektor dan eigennilai , dengan
.
Mengkonstruksi biplot dari matriks dengan ukuran tersebut akan setara
dengan mengkonstruksi biplot untuk matriks . Biplot representasi dari matriks
diperoleh dari PNS, yaitu
, (40)
dengan adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya merupakan
akar dari eigennilai-eigennilai positif matriks atau , yaitu
, dengan . Nilai
disebut nilai singular dari dan
merupakan eigennilai-eigennilai
positif matriks atau . Matriks dan adalah matriks ortonormal kolom,
sehingga (matriks identitas berdimensi r). Matriks adalah
matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor yang bersesuaian dengan
eigennilai positif dari matriks , yaitu dan adalah
matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor-eigenvektor yang
bersesuaian dengan eigennilai-eigennilai positif dari matriks , yaitu
.
Dari persamaan (39) diperoleh:
. (41)
Penyelesaian untuk diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (38) ke
persamaan (40), diperoleh:
atau
, (42)
yang ekuivalen dengan penguraian nilai singular umum (PNSU, Generalized
Singular Value Decomposition) dari matriks dalam metrik dan , yaitu:
, (43)
dengan dan . Dengan memilih matriks definit positif
dan , sehingga
, dan
. PNSU menyediakan pendekatan terbaik
pangkat rendah dari matriks menggunakan nilai dan vektor singular pertama.
Penguraian pada (42) memungkinkan untuk mengkonstruksi representasi
biplot untuk matriks rata-rata kelompok, yaitu:
, (44)
dengan
, dan
,
di mana . Elemen ke-( ) dari matriks dapat
ditulis sebagai:
, (45)
dengan merupakan vektor baris ke-i dari matriks , i = 1, 2, …, n dan
merupakan vektor baris ke-j dari matriks , j = 1, 2, …, p; di mana vektor dan
mempunyai r elemen.
Untuk menggambarkan pada ruang dimensi s < r, dapat didekati
menggunakan matriks berpangkat s,
= , (46)
dengan mengambil s kolom pertama matriks sebagai penanda baris (rata-rata
kelompok m) dan s kolom pertama matriks sebagai penanda kolom (peubah p).
Biasanya digunakan s = 2, sehingga koordinat-koordinat dan dapat
digambarkan dalam ruang berdimensi dua. Pada diagram pencar, penanda baris
diwakili sebagai titik dan penanda kolom sebagai vektor.
Matriks dan pada biplot kanonik memenuhi sifat sebagai berikut:
1. Berdasarkan PNS matriks yang diberikan dalam persamaan (40), diperoleh
, dan
.
Oleh karena itu, matriks dapat dinyatakan dengan mengganti ekspresi P dan
pada (38) sebagai:
, (47)
dan mengganti dalam persamaan (41) kemudian mensubstitusikannya ke
(47) diperoleh:
. (48)
Persamaan (48) dapat menafsirkan matriks sebagai proyeksi pada daerah
pemisahan maksimum dari kelompok, yang dihasilkan oleh kolom dari
matriks , dan
(49)
dengan adalah matriks JKK data dalam kelompok, adalah vektor rata-
rata dari kelompok i. Artinya, kuadrat jarak Euclid antara vektor dan
pada biplot sama dengan kuadrat jarak Mahalanobis antara vektor dan .
2. Perkalian dari penanda baris dengan penanda kolom merupakan
pendekatan rata-rata dari kelompok ke-k pada peubah ke-j yang telah
terkoreksi terhadap rata-rata terboboti seluruh objek. Sehingga memungkinkan
untuk karakterisasi perbedaan antarkelompok,
. (50)
3. Kualitas representasi (atau ukuran kesesuaian dari matriks data) dapat didekati
oleh:
. (51)
4. Matriks sebagai pendekatan matriks JKK data dalam kelompok, yaitu:
. (52)
5. Panjang penanda kolom sebanding dengan variabilitas dalam kelompok-
kelompok, = , dengan = .
6. Kosinus sudut antarpeubah dapat diinterpretasikan sebagai pendekatan dari
korelasinya.
Analisis Procrustes
Dalam Bakhtiar dan Siswadi (2011) analisis Procrustes adalah alat analisis
berdasarkan asas kuadrat terkecil yang dapat digunakan untuk mengukur
kemiripan maksimal antarkonfigurasi titik melalui serangkaian transformasi
linear. Analisis ini bertujuan untuk membandingkan dua konfigurasi yang
mewakili unit pengamatan yang sama. Untuk melihat kesamaan bentuk dan
ukuran dari dua konfigurasi maka setelah kedua konfigurasi dilakukan translasi
salah satu konfigurasi dibuat tetap sementara konfigurasi yang lainnya
ditransformasikan sehingga paling sesuai dengan konfigurasi pertama.
Misalnya adalah konfigurasi titik dalam ruang Euclid
berdimensi dengan koordinat diberikan oleh matriks berikut
, (53)
dengan , untuk dan konfigurasi
yang merupakan konfigurasi titik dalam ruang Euclid berdimensi . Konfigurasi
ini akan dipasangkan dengan konfigurasi dalam bentuk baris, dengan masing-
masing baris dari konfigurasi dipasangkan dengan baris konfigurasi yang
bersesuaian. Diasumsikan bahwa dimensi kedua konfigurasi dan adalah sama,
dengan demikian tiap matriks memiliki jumlah kolom yang sama. Jika
maka kolom nol dapat ditambahkan pada matriks sehingga kedua
konfigurasi berada pada ruang dimensi yang sama. Dengan demikian tanpa
mengurangi perumuman dapat diasumsikan bahwa . Diasumsikan pula
bahwa salah satu konfigurasi, , dibuat tetap dan konfigurasi yang lain, , akan
ditransformasi agar sesuai dengan konfigurasi .
Dalam menentukan tingkat kesesuaian dua konfigurasi, analisis Procrustes
mendasarkan penghitungannya pada jumlah kuadrat jarak antartitik yang
bersesuaian, disebut juga jarak Procrustes, yaitu
. (54)
Dengan mempertimbangkan perubahan posisi, orientasi, dan skala dua
konfigurasi yang dibandingkan, analisis Procrustes mensyaratkan tiga bentuk
transformasi geometris harus dilakukan untuk mendapatkan E yang optimal.
Ketiga bentuk transformasi ini adalah translasi, rotasi dan dilasi.
Translasi
Translasi dalam analisis Procrustes merupakan proses penggeseran semua
titik pada konfigurasi dan konfigurasi dengan jarak yang tetap dan arah yang
sama sehingga kedua konfigurasi memiliki sentroid (titik berat) yang sama.
Penguraian jumlah kuadrat persamaan (54) menghasilkan
. (55)
Karena bentuk kedua dari ruas kanan persamaan (55) bernilai nol, maka
diperoleh
, (56)
di mana
1 ,
1 ,
,
dengan 1 adalah vektor berukuran yang semua elemennya bernilai 1,
dan menyatakan sentroid dari masing-masing konfigurasi dan yang
dinyatakan sebagai
dan
.
Penyesuaian optimal dengan translasi diperoleh dengan menghimpitkan
sentroid X dan Y ( . Jadi, norma kuadrat perbedaan minimum dua
konfigurasi setelah penyesuaian dengan translasi adalah:
(57)
Rotasi
Rotasi adalah proses pemindahan seluruh titik dengan sudut yang tetap
tanpa mengubah jarak setiap titik terhadap sentroidnya. Dalam analisis Procrustes
rotasi dilakukan dengan cara menggandakan konfigurasi dengan matriks
ortogonal yang meminimumkan jarak antarkonfigurasi.
Norma kuadrat perbedaan kedua konfigurasi setelah penyesuaian dengan
rotasi adalah
Q
Inf . (58)
Secara aljabar, berdasarkan (54) diperoleh:
. (59)
Untuk memperoleh nilai yang minimum harus dipilih matriks
ortogonal Q yang memaksimumkan nilai .
Misalnya merupakan hasil penguraian nilai singular bentuk lengkap
dari matriks , sehingga , dengan adalah matriks
diagonal dan merupakan matriks ortogonal, maka
, (60)
dengan merupakan perkalian matriks ortogonal, sehingga
juga matriks ortogonal dan berlaku –1 ≤ hij ≤ 1. Sehingga diperoleh
. (61)
Jadi, E minimum ketika , mengakibatkan
, (62)
atau
. (63)
Jadi, jarak Procrustes oleh rotasi yang optimal diberikan oleh:
. (64)
Dilasi
Dilasi adalah pembesaran/pengecilan jarak setiap titik dalam konfigurasi
terhadap sentroidnya. Dilasi Y terhadap X dilakukan dengan menggandakan
konfigurasi Y dengan suatu skalar c. Norma kuadrat perbedaan kedua konfigurasi
setelah penyesuaian dengan dilasi adalah
c
Inf . (65)
sehingga
. (66)
yang dapat dilihat sebagai fungsi kuadrat dalam c, sehingga nilai minimum
diperoleh dengan memilih
. (67)
Jadi, jarak Procrustes oleh dilasi yang optimal diberikan oleh:
. (68)
Bakhtiar dan Siswadi (2011) telah menunjukkan bahwa urutan optimal
transformasi linear dalam analisis Procrustes ialah translasi, rotasi dan dilasi,
dengan jarak Procrustes diberikan oleh:
Untuk memperoleh posisi yang paling sesuai sehingga kedua matriks
menjadi semakin dekat dilakukan penyesuaian seperti di atas. Ukuran kesesuaian
dua konfigurasi menggambarkan kedekatan (kesesuaian) antara dua matriks.
Semakin tinggi nilainya, maka kedua konfigurasi tersebut akan semakin dekat
(sama). Ukuran kesesuaian dapat dirumuskan sebagai:
Nilai R2 berkisar antara 0 – 100 %, semakin dekat ke 100 %, semakin dekat dua
konfigurasi tersebut.