STATISTIKA MATEMATIKA

Dr. Akhmad Jazuli, M.Si.

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (FKIP)

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO 2012

Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberi kekuatan

sehingga buku ajar dengan judul Statistika Matematika ini dapat diselesaikan.

ajar statistika matematika ini digunakan sebagai acuan untuk mata kuliah statistika

matematika yang berbobot 3 sks khususnya pada program studi Pendidikan Matematika.

Namun demikian buku ajar ini juga dapat digunakan sebagai acuan untuk mata kuliah

statistika pada program studi di luar program studi Pendidikan Matematika.

Buku ajar ini disusun secara sederhana,

pengertian dasar yang meliputi

contoh penyelesaian. Disajikan seperti ini

para mahasiswa,maupun dosen yang mengampu mata kuliah statistik

soal latihan disajikan secara komprehensif

sampai bentuk-bentuk yang lebih komplek.

Rujukan utama penulisan buku ini adalah buku Introduction to Probability and

Mathematical Statistics karangan Bain

yang sebesar-besarnya kepada Universitas Muhammadiyah Purwokerto yang telah

memberikan kesempatan kepada penulis untuk menyusun

teman yang telah meluangkan waktu untuk membaca serta m

tulisan ini. Semoga kehadiran

kepada berbagai pihak. Tak lupa segala kritik yang

harapkan.

PRAKATA

Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberi kekuatan dan kesehatan

ajar dengan judul Statistika Matematika ini dapat diselesaikan.

ajar statistika matematika ini digunakan sebagai acuan untuk mata kuliah statistika

matematika yang berbobot 3 sks khususnya pada program studi Pendidikan Matematika.

ajar ini juga dapat digunakan sebagai acuan untuk mata kuliah

statistika pada program studi di luar program studi Pendidikan Matematika.

ajar ini disusun secara sederhana, diawali dengan memaparkan pengertian

pengertian dasar yang meliputi definisi dan teorema serta dilengkapi dengan beberapa

. Disajikan seperti ini dengan harapan agar mudah dipelajari oleh

maupun dosen yang mengampu mata kuliah statistika matematika

disajikan secara komprehensif dari bentuk yang sederhana meningkat

bentuk yang lebih komplek.

Rujukan utama penulisan buku ini adalah buku Introduction to Probability and

Mathematical Statistics karangan Bain Engelhardt. Penulis mengucapkan terima kasih

besarnya kepada Universitas Muhammadiyah Purwokerto yang telah

memberikan kesempatan kepada penulis untuk menyusun buku ajar ini, serta teman

teman yang telah meluangkan waktu untuk membaca serta memberi masukan terhadap

Semoga kehadiran buku ajar ini banyak memberi sumbangan yang berharga

ak lupa segala kritik yang bersifat membangun sangat penulis

Purwokerto, Maret 2012

Penulis

dan kesehatan,

ajar dengan judul Statistika Matematika ini dapat diselesaikan. Buku

ajar statistika matematika ini digunakan sebagai acuan untuk mata kuliah statistika

matematika yang berbobot 3 sks khususnya pada program studi Pendidikan Matematika.

ajar ini juga dapat digunakan sebagai acuan untuk mata kuliah

memaparkan pengertian-

dilengkapi dengan beberapa

dengan harapan agar mudah dipelajari oleh

matematika.Soal-

dari bentuk yang sederhana meningkat

Rujukan utama penulisan buku ini adalah buku Introduction to Probability and

Penulis mengucapkan terima kasih

besarnya kepada Universitas Muhammadiyah Purwokerto yang telah

serta teman-

ri masukan terhadap

ajar ini banyak memberi sumbangan yang berharga

membangun sangat penulis

Purwokerto, Maret 2012

Penulis

iii

DAFTAR ISI

Hal

.

HALAMAN JUDUL…………………………………………………………….. i

PRAKATA …………………………………………………………….............. ii

DAFTAR ISI……………………………………………………………............. iii

BAB 1 : PELUANG…………………………………………………………….. 1

BAB 2 : VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA................................ 22

BAB 3 : DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM KHUSUS ................................. 44

BAB 4 : DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM BERSAMA ............................. 76

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 97

1

BAB 1

PELUANG

1. PENDAHULUAN

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak dijumpai fenomena yang dapat dibawa

ke dalam model matematika. Secara garis besar dikenal ada dua model yaitu model

deterministik dan model probabilistik. Sebagai contoh model deterministik adalah

kecepatan jatuhnya benda setelah waktu t. Model ini membawa pengulangan

eksperimen terhadap kondisi ideal yang akan menghasilkan secara esensial

kecepatan yang sama pada setiap waktu. Dalam kasus lain model deterministik

mungkin tidak tepat jika pengulangan eksperimen dibawa ke dalam kondisi ideal,

karena kemungkinan adanya variabel-variabel yang tidak terkontrol atau tidak

diketahui. Variabel yang tidak terkontrol tersebut meliputi temperatur udara;

kelembaban; kesalahan pengukuran; atau faktor lain yang menyebabkan hasil

bervariasi atau berbeda-beda dari sejumlah eksperimen tersebut.

Ada juga tipe fenomena lain yang hasilnya secara natural berbeda karena suatu

perubahan, dan model deterministik tidak akan tepat untuk memprediksinya. Sebagai

contoh: eksperimen tentang banyaknya pertikel yang dipancarkan oleh sumber radio

aktif; waktu sampai gagalnya komponen yang diproduksi; atau hasil dari suatu

permainan. Motivasi mempelajari peluang adalah untuk mengarah model

matematika pada situasi nondeterministik. Kaitannya dengan model matematika,

yaitu dikenal sebagai model probabilistik.Selanjutnya untuk dapat memahami kasus

peluang ini dengan baik, maka konsep himpunan perlu dikuasai terlebih

dahulu.Dalam bab ini akan dibahas terlebih dahulu konsep-konsep yang berkaitan

dengan peluang, seperti ruang sampel dan peristiwa..

2. RUANG SAMPEL (SAMPLE SPACE) DAN PERISTIWA (EVENT)

Definisi 1.1

Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu experiment disebut ruang

sampel. Yang dinotasikan dengan S

2

Contoh 1 :

Sebuah eksperimen pelemparan dua koin, dan diamati muka dari masing-masing

koin yang diharapkan. Himpunan hasil yang mungkin disajikan dalam ruang sampel

S= { AA, AG, GA, GG} ket.: A : angka dan G : gambar

Definisi 1.2.

Jika ruang sampel S berhingga (finite) atau tak berhingga yang dapat dihitung

( countably infinite) maka S disebut ruang sampel diskrit.

S={e1, e2, ..., eN} : ruang sampel berhingga (finite)

S={e1, e2, ...... } : ruang sampel tak berhingga (countably infinite).

Contoh 2:

S = {1,2,3,...} = Himp. Bil Asli : ruang sampel tak berhingga

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} : ruang sampel berhingga

Definisi 1.3

Suatu peristiwa (event) adalah subset dari ruang sampel S.

Contoh 3 :

P merupakan peristiwa muncul paling sedikit 1 angka (A) dalam pelemparan dua koin.

Jadi P = {AA, AG, GA } yang mana S={AA, GA, AG, GG}, sehingga P⊂S.

Definisi 1.4.

Suatu peristiwa disebut elementary event(peristiwa sederhana) jika memuat tepat satu

hasil dari eksperimen tersebut.

Sebagai contoh pada kasus pelemparan sebuah koin, muncul gambar atau angka..

Definisi 1.5.

Dua peristiwa P dan Q disebut mutually exclusive [saling lepas] jikaP∩ Q = φ

3

Contoh 4:

Pada kasus pelemparan dua koin,

P : peristiwa munculnya paling sedikit 1 angka dan

Q : peristiwa munculnya 2 gambar.

Karena P∩ Q = φ jadi, P dan Q dikatakan saling lepas.

Kasus di atas akan berakibat pada definisi berikut :

Definisi 1.6.

Peristiwa-peristiwa A1, A2, A3, . . ., dikatakan saling lepas [mutually exclusive] jika

mereka adalah pasangan saling lepas, yaitu jika Ai ∩ Aj = φ bilamana i ≠ j.

Catatan :

• Peristiwa-peristiwa yang komplementer adalah saling lepas, dan tak berlaku

sebaliknya.

3. PENGERTIANPELUANG (PROBABILITY)

Definisi 1.7

Suatu eksperimen yang diberikan, S adalah ruang sampel dari A, dan

A1, A2, . . . menyatakan peristiwa-peristiwa yang mungkin. Suatu himpunan fungsi

yang mengkaitkan suatu nilai real P(A) dengan masing-masing peristiwa A disebut

peluang himpunan fungsi, dan P(A) disebut peluang dari A, jika sifat-sifat berikut

dipenuhi :

0 ≤P(A) untuk setiap A

P(S) = 1

P ∑∞

=

∞

=

=

1i

i

1i

i )A(PAU

Dimana A1, A2, . . . adalah pasangan peristiwa-peristiwa yang saling lepas.

Pengambilan obyek secara random menjadi syarat perlu dalam statistika parametrik.

Pengertian random mudah dipahami tetapi dalam prakteknya sering mengalami

kesulitan untuk dilaksanakan. Sehingga kasus random dalam pengambilan sampel

4

akan didekati dengan berbagai cara. Kasus pengambilan sampel dibahas tersendiri

dalam teknik pengambilan sampel (teknik sampling)

4. SIFAT-SIFAT PELUANG

Ada beberapa sifat peluang yang perlu diketahui untuk mendukung pemahaman

lebih lanjut.

Teorema 1.1:

Jika A adalah suatu peristiwa dan A’ adalah komplemennya, maka

P(A) = 1 - P(A’)

Bukti :

S= A∪ A’ dan A∩ A’=φ

1 = P(S) = P(A ∪ A’) = P(A)+P(A’)⇒ P(A) = 1 – P(A’)

Teorema 1.2. :

Untuk sebarang peristiwa A, P(A)≤1

Bukti :

P(A) = 1 – P(A’)

Karena P(A’)≥ 0 maka P(A) ≤ 1

Teorema 1.3. :

Untuk sebarang dua peristiwa A dan B, P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).

Bukti :

A∪B = (A∩B’) ∪ B , dimana (A∩B’) dan B saling lepas.

A = (A∩B) ∪ (A∩B’), dimana (A∩B) dan (A∩B’) saling lepas.

P(A∪B) = P(A∩B’) + P(B) dan P(A) = P(A∩B) + P(A∩B’)

P(A∪B) = P(A∩B’) + P(B)

= P(A) - P(A∩B) + P(B)

= P(A) + P(B)- P(A∩B)

Teorema 1.4. :

Untuk sebarang tiga peristiwa A, B, dan C

P(A∪B∪C) = P(A) + P(B)+P(C) - P(A∩B) -P(A∩C) -P(B∩C) +P(A∩B∩C).

5

Bukti :

Untuk latihan.

Teorema 1.5:

Jika A⊂ B maka P(A) ≤ P(B)

Bukti :

B= A∪(B∩A’) dimana A dan (B∩A’) saling lepas

P(B) = P(A) + P(B∩A’)

⇒ P(B) ≥ P(A)

Teorema 1.6 :

Boole’s Inequality (Ketaksamaan Boole)

Jika A1, A2, ... adalah sebuah barisan peristiwa, maka

P ∑∞

=

∞

=

≤

1i

i

1i

i )A(PAU

Bukti :

Untuk latihan

Teorema 1.7:

Bonferroni’s Inequality (Ketaksamaan Bonferroni)

JikaA1, A2, ... Ak adalah peristiwa-peristiwa, maka

∑==

−≥

k

1i

'

i

k

1i

i )A(P1AP I

Bukti :

Untuk latihan

5. PELUANG BERSYARAT (CONDITIONAL PROBABILITY)

Definisi 1.9.

Peluang bersyarat (The conditional probabillity) dari suatu peristiwa A, dimana

peristiwa B telah terjadi, didefinisikan dengan

)B(P

)BA(P)B|A(P

∩= jika P(B) ≠ 0.

6

Teorema 1.8:

Untuk sebarang peristiwa A dan B,

P(A∩B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)

Teorema 1.9 :

Peluang Total

Jika B1, B2, B3,...., Bkadalah sebuah kumpulan dari peristiwa-peristiwa yang saling

lepas dan sempurnamaka untuk sembarang peristiwa A,

P(A) =∑=

k

1i

ii )B|A(P)B(P

Bukti :

A

B1 B2 Bk

Himpunan A terletak pada himpunan B, yang dipartisi menjadi B1, B2, … Bk

Jadi, himpunan Adapat dinyatakan sebagai berikut

A= (A∩B1) ∪ (A∩B2) ∪ ….. ∪(A∩Bk)

P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2)+ ….. +P(A∩Bk)

P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2)+ ….. +P(Bk)P(A|Bk)

P(A) =∑=

k

1i

ii )B|A(P)B(P

Teorema 1.10 :

Bayes’ Rule (Aturan Bayes)

Jika kita mengasumsi bersyarat teorema 1.9 maka untuk masing-masing j=1,2,...,k

∑=

=k

1i

ii

jj

j

)B|A(P)B(P

)B|A(P)B(P)A|B(P

7

Bukti :

)B|A(P)B(P)A(P)A|B(P jjj =

)A(P

)B|A(P)B(P)A|B(P

jjj =

∑=

=k

1i

ii

jjj

)B|A(P)B(P

)B|A(P)B(P)A|B(P

Contoh 5:

Suatu uji laboratorium untuk penggunaan narkobaoleh atlit professional,

mempunyai deteksi rata-rata sebagai berikut :

PENGGUNAAN

NARKOBA

HASIL TES

Positif (+) Negatif (-)

Ya (Y)

Tidak (T)

0.90

0.01

0.10

0.99

Jika rata-rata penggunaan narkoba oleh atlit professional adalah 3 diantara 100 atlit,

a. Berapa peluang bahwa atlit professional yang dipilih secara random akan

mempunyai hasil tes negatif untuk penggunaan narkoba?

b. Jika tes atlit positif, berapa peluang bahwa dia benar-benar menggunakan

narkoba?

Penyelesaian :

Ditanya :

a. P(-)

b. P(Y|+)

Jawab:

(+) 0,90

0,03 (Y)

(-) 0,10

Peluang penggunaan narkoba

(+) 0,01

0,97 (T)

(-) 0,99

8

a. )T|(P)T(P)Y|(P)Y(P)(P −⋅+−⋅=−

99,097,010,003,0 ⋅+⋅=

9633,09603,0003,0 =+=

b. )T|(P)T(P)Y|(P)Y(P

)Y|(P)Y(P)|Y(P

+⋅++⋅++

=+

736,00367,0

027,0

01,097,090,003,0

90,003,0==

⋅+⋅⋅

=

6. PERISTIWA-PERISTIWA SALING BEBAS (INDEPENDENT EVENTS)

Definisi 1.10.

Dua peristiwa A dan B disebut independent events [peristiwa-peristiwa saling

bebas] jika

P(A ∩ B ) = P(A)P(B)

Selanjutnya jika tidak dipenuhi, maka A dan B disebut dependent events [peristiwa-

peristiwa bergantung].

Teorema 1.11 :

Jika A dan B adalah peristiwa-peristiwa sedemikian hingga P(A)>0 dan P(B)>0,

maka A dan B adalah independen jika dan hanya jika salah satu berikut dipenuhi.

( ) ( )APBAP = ( ) ( )BPABP =

Teorema 1.12 :

Dua peristiwa A dan B adalah independen jika dan hanya jika berikut pasangan-

pasangan peristiwa juga independen:

i. A dan B’.

ii. A’ dan B.

iii. A’ dan B’.

Definisi 1.11.

Sejumlah k peristiwa A1, A2, . . . , Ak dikatakan independent (bebas) atau mutually

Independent [saling bebas] jika untuk setiap j = 2, 3, . . ., k dan setiap subset yang

berbeda ditunjukkan dengan i1, i2, . . ., ij, maka

P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aij) = P(Ai1)P(Ai2) . . .P(Aij)

9

7. TEKNIK MENGHITUNG/MENCACAH

a. Pergandaan

Teknik pergandaan ini adalah teknik mencacah menggunakan perkalian. Misal ada 3

soal tipe B-S, maka kemungkinan jawaban yang diberikan siswa adalah:

BBS, BSB, BBB, SBB, SSB, SBS, BSS, SSS. Jadi, ada 8 macam kemungkinan

jawab.

Teorema 1.13 :

Jika ada N hasil yang mungkin dari masing-masing r trial (percobaan) dari suatu

experimen, maka ada Nr

hasil yang mungkin dalam ruang sampel.

Contoh 6:

Berapa banyaknya cara untuk dapat menjawab 5 pertanyaan benar-salah?

Jawab :

N=2 yaitu banyaknya pilihan benar-salah

r=5 yaitu banyaknya pertanyaan.

Sehingga banyaknya hasil yang mungkin adalah 25 [ N=2 dan r=5]= 32

b. Permutasi dan Kombinasi

Permutasi dan kombinasi, keduanya merupakan teknik dalam pengambilan sampel.

Dalam teknik kombinasi urutan data tidak diperhatikan. Misal mengambil dua pensil

warna merah dan biru. Pengambilan pensil merah kemudian biru dianggap sama

dengan pengambilan pensil biru kemudian merah. Lain halnya dalam teknik

permutasi, pengambilan pensil merah kemudian biru berbeda dengan pengambilan

pensil biru kemudian merah.

Teorema 1.14 :

Banyaknya kombinasi dari n objek yang berbeda, yang dipilih r obyek adalah:

C(n,r) = )!rn(!r

!n

r

n

−=

Adapun banyaknya permutasi untuk memilih r obyek dari n obyek yang tersedia

adalah:

P(n,r) = C(n,r).r! = !rr

n

=

)!rn(

!n

−

10

Contoh 7:

Banyaknya kombinasi dari 4 huruf, untuk 2 huruf yang diambil adalah

2

4=

!2)!24(

!4

−= 6.

Jika urutan huruf diperhatikan maka banyaknya hasil menjadi 6.2! = 12.

Penggunaan notasi kombinasi biasa digunakan dalam expansi binomial, yaitu

∑

=+

=

−n

0k

knknba

k

n)ba(

Teorema 1.15 :

Banyaknya permutasi yang dapat dibedakan yang mana r dari jenis pertama dan

(n-r) dari jenis kedua adalah :

)!rn(!r

!n

r

n

−=

Teorema 1.16 :

Banyaknya permutasi dari n obyek yang mana r1 dari jenis pertama, r2 dari jenis

kedua, …, rk dari jenis ke-k adalah :

!r!...r!r

!n

k21

Teorema 1.17 :

Banyaknya cara partisi suatu himpunan dari n obyek ke dalam k sel dengan r1 obyek

dalam sel pertama dan r2 dalam sel kedua, dan seterusnya, adalah

!r!...r!r

!n

k21

dimana∑=

=k

1l

l .nr

Contoh 8:

Sepuluh orang yang terdiri dari 2 orang Indonesia; 3 orang USA dan 5 orang Arab.

Banyaknya posisi duduk, yang mana mereka pada kelompoknya masing-masing

adalah posisi2520!5!3!2

!10=

11

c. Menghitung Peluang Suatu Peristiwa

Probabilitas (peluang ) suatu peristiwa adalah banyaknya cacah peristiwa dibagi

banyaknya cacah dalam semesta. Misal A adalah suatu peristiwa, maka peluang dari

A ditulis P(A) = ��������

Pada permutasi dan kombinasi hanya berbicara tentang banyaknya cara atau cacah..

Selanjutnya kasus tersebut akan digunakan dalam menghitung peluang.

Contoh 9:

Sebuah kotak berisi 10 bola hitam dan 20 bola putih, dan 5 bola dipilih tanpa

pengembalian. Disini menggunakan konsep kombinasi, sehingga peluang

diperolehnya tepat 2 bola hitam adalah sebagai berikut:

Karena diambil tepat 2 bola hitam berarti sisanya 3 bola berwarna putih, sehingga

P(tepat 2 hitam) = 360.0

5

30

3

20

2

10

=

12

SOAL-SOAL LATIHAN BAB 1

1. Sebuah mesin gum-ball mengeluarkan sebuah bola merah, hitam atau hijau.

a. sajikan ruang sampel yang cocok

b. daftarkan seluruh peristiwa yang mungkin

c. Jika R adalah peristiwa “merah” selanjutnya daftarkan hasil di dalam R’

d. Jika G adalah peristiwa “hijau” selanjutnya apakah R ∩ G ?

Jwb: a. S={r,g,b} b. {r}, {g}, {b}, {r,g}, {r,b}, {g,b}, S, φ c. {b,g} d. φ

2. Dua bola diperoleh dari mesin seperti pada nomor 1 dari dua percobaan.

Urutan hasil diperhatikan. Diasumsikan bahwa paling sedikit dua bola dari

masing-masing warna ada di dalam mesin.

a. Bagaimana ruang sampel yang cocok.

b. Berapa banyak seluruh peristiwa yang mungkin yang memuat delapan hasil

(outcome).

c. Nyatakan peristiwa-peristiwa berikut sebagai gabungan dari peristiwa-

peristiwa elementer. C1 ∩ C2, dan C1’∩ C1 dimana

C1 : mendapatkan bola merah pada percobaan pertama, dan

C2 : mendapatkan paling sedikit satu bola merah.

Jwb: a. S={(r,r),(r,b),(r,g),(b,r),(b,b),(b,g),(g,r),(g,b),(g,g)} b. 9

c. C1 ∩ C2=C1dan C1’∩ C1= {(b,r),(g,r)}

3. Ada 4 grup darah yaitu O, A, B, dan AB. Secara umum seseorang dapat menerima

donor darah dari grupnya sendiri. Juga seseorang dapat menerima donor darah dari

grup O, dan 4 grup darah dapat digunakan oleh penerima dari grup AB. Semua

kemungkinan yang lain dianggap tak ada.Suatu experiment pengambilan darah dan

menentukan tipenya untuk masing-masing dua donor berikut yang masuk bank

darah.

a. Daftarkan urutan hasil yang mungkin dari experiment ini.

b. Daftarkan hasil-hasil yang berkaitan terhadap peristiwa bahwa pedonor kedua

dapat menerima darah dari pedonor pertama.

c. Daftarkan hasil-hasil yang berkaitan terhadap peristiwa bahwa masing-masing

pedonor dapat menerima darah dari pedonor yang lain.

13

4. Suatu experimen pengambilan bola dari mesin gum-ball sampai bola merah

diperoleh. Sajikan ruang sampel untuk experimen ini.

Jwb : S= {r,br,gr,bbr,ggr,bgr,gbr, ...}

{x | x = r atau x = c1c2....ckr, dimana ci= b atau g}

5. Banyaknya partikel alpha yang dipancarkan oleh sampel radioaktif dalam interval

waktu yang tetap adalah terhitung.

a. Berikan ruang sampel untuk experimen ini.

b. Waktu jeda diukur sampai partikel alpha pertama dipancarkan. Berilah ruang

sampel untuk experimen ini.

Jwb : a. S={0,1,2,...} b. S=[0, )∞

6. Suatu experimen dikendalikan untuk menentukan apakah pecahan dari bagian

logam adalah emas. Berilah ruang sampel untuk experiman ini.

Jwb : S=[0,1]

7. Sebuah mobil baterai dipilih secara random dites dan waktu rusak dicatat. Berilah

ruang sampel yang cocok untuk experimen ini.

Jwb : S=[0, )∞

8. Kita memperoleh 100 bola dari mesin, dan kita peroleh 20 bola merah, 30 bola

hitam dan 50 bola hijau.

a. Dapatkah kita gunakan sebagai model peluang untuk warna sebuah bola dari

mesin tersebut, yang diberikan oleh p1=P(M), p2=P(Ht) dan p3=P(Hj)

b. Pandang bahwa bola kuning juga di dalam mesin. Dapatkah kita gunakan

sebagai model p1=0.2, p2=0.3, p3=0.5 dan p4=P(K)=0.1

9. pada soal nomor 2, pandang bahwa masing-masing dari 9 kemungkinan hasil dalam

ruang sampel adalah berkemungkinan sama terjadi. Hitung masing-masing berikut :

a. P(keduanya merah)

b. P(C1)

c. P(C2)

14

d. P(C1 ∩ C2)

e. P(C1’ ∩ C2)

f. P(C1 ∪ C2)

Jwb : a. 1/9 b. 1/3 c. 5/9 d. 1/3 e. 2/9 f. 5/9

10. Pandang soal nomor 3. Misal 4 tipe darah berkemungkinan sama terjadi.

a. Hitung peluang bahwa pedonor kedua dapat menerima darah dari pedonor

pertama

b. Hitung peluang bahwa masing-masing pedonor dapat menerima darah dari

pedonor yang lain.

c. Hitung peluang bahwa tidak ada yang dapat menerima darah dari pedonor yang

lain.

Jwb : a. 9/16 b. ¼ c. 1/8

11. Buktikan bahwa P(φ )=0 (Ingat ambil Ai=φ untuk semua i)

12. Bila suatu eksperimen ditampilkan, satu dan hanya satu dari peristiwa A1, A2, atau

A3 akan terjadi. Tentukan P(A1), P(A2), dan P(A3) terhadap masing-masing asumsi

berikut:

a. P(A1) = P(A2) = P(A3)

b. P(A1) = P(A2) dan P(A3) = ½

c. P(A1) =2P(A2) = 3P(A3)

13. Sebuah koin yang seimbang dilambungkan empat kali. Daftarkan hasil yang

mungkin dan hitung peluang dari masing-masing peristiwa berikut :

a. Tepat tiga gambar.

b. Paling sedikit satu gambar.

c. Banyaknya gambar sama dengan banyaknya angka.

d. Banyaknya gambar melampaui banyaknya angka.

Jwb : a. ¼ b. 15/16 c. 3/8 d. 5/16

14. Dua guru disewa oleh Prodi Pendidikan Matematika dan masing-masing dipilih

secara random untuk mengajar satu matakuliah trigonometri, aljabar, atau kalkulus.

15

Daftarkan hasilnya dalam ruang sampel. Tentukan peluang bahwa mereka akan

mengajar matakuliah yang berbeda.

Jwb : S= {(t,t),(t,a),(t,c),(a,t),(a,a),(a,c), (c,t),(c,a),(c,c)} 2/3

15. Jika A dan B adalah peristiwa-peristiwa, tunjukkan bahwa :

a. P (A∩ B’) = P (A) – P (A∩ B).

b. P (A∪ B) = 1 – P (A’ ∩ B’).

16. Jika P (A) = P (B) = 1/3 dan P (A∩ B) = 1/10. Maka tentukan :

a. P (B’).

b. P (A∪ B’).

c. P (B ∩ A’).

d. P (A’ ∪ B’).

Jwb : a. 2/3 b. 23/30 c. 7/30 d. 9/10

17. Jika P (A) = ½, P (B) = 1/8, dan P(C) = ¼, dimana A, B, dan C adalah saling lepas,

maka tentukan :

a. P (A∪ B ∪ C).

b. P(A’ ∩ B’∩ C’)

Jwb : a. 7/8 b. 1/8

18. Peristiwa bahwa tepat satu dari peristiwa-peristiwa A atau B terjadi dapat disajikan

sebagai (A∩ B’) ∪ (A’ ∩ B). Tunjukkan bahwa

P [(A∩ B’) ∪ (A’ ∩ B)] = P (A) + P (B) – 2P(A ∩ B)

19. Seorang pelari melakukan pertandingan dua kali pada suatu hari tertentu. Peluang

bahwa dia menang dalam pertandingan pertama adalah 0,7. Peluang dia menang

dalam pertandingan kedua adalah 0,6 dan peluang bahwa dia menang dalam kedua

pertandingan adalah 0,5. Tentukan peluang bahwa :

a. Dia menang sekurang-kurangnya satu pertandingan.

b. Dia menang tepat satu pertandingan.

c. Dia tidak menang pertandingan.

Jwb : a. 0.8 b. 0.3 c. 0.2

16

20. Suatu keluarga mempunyai dua TV, TV berwarna dan TV hitam putih.Misal A

peristiwa TV berwarna hidup dan B peristiwa TV hitam putih hidup. If P(A) = 0.4,

P(B) = 0.3, dan P(A∪ B) = 0.5, tentukan peluang masing-masing peristiwa:

a. Keduanya hidup.

b. Hanya TV berwarna yang hidup.

c. Tepat satu TV yang hidup.

d. Tidak ada TV yang hidup.

Jwb : a. 0.2 b. 0.2 c. 0.3 d. 0.5

21. Pandang P(A1) = 1/ (3 + i) untuk i = 1, 2, 3, 4. Tentukan batas atas untuk

P(A1∪ A2∪ A3 ∪ A4).

Jwb : 319/420

22. Sebuah kotak berisi 3 kartu baik dan 2 kartu rusak.Pemain A memilih sebuah kartu

dan kemudian pemain B memilih sebuah kartu. Hitung peluang berikut :

a. P(A baik)

b. P(B baik|A baik)

c. P(B baik|A rusak)

d. P(B baik∩ A baik)

e. P(B baik)

f. P(A baik|B baik)

Jwb : a. 3/5 b.½ c. ¾ d. 3/10 e. 3/5 f. ½

23. Sebuah tas berisi 5 bola biru dan 3 bola merah. Seorang anak mengambil sebuah

bola dan selanjutnya mengambil yang lain tanpa pengembalian. Hitung peluang

berikut :

a. P(2 bola biru)

b. P(1 bola biru dan 1 merah)

c. P(sekurang-kurangnya 1 bola biru)

d. P(2 bola merah)

Jwb : 5/14

17

24. Dalam soal no.23, jika diambil 3 bola tanpa pengembalian. Tentukan :

a. P(tak ada bola merah setelah pengambilan ketiga)

b. P(1 bola merah yang tertinggal)

c. P(bola merah pertama pada pengambilan terakhir)

d. P(bola merah pada pengambilan terakhir)

25. Dua kartu diambil dari deck kartu tanpa pengembalian.

a. Berapa peluang bahwa kartu kedua adalah heart, jika kartu pertama adalah heart.

b. Berapa peluang bahwa kedua kartu adalah heart

26. Sebuah kotak berisi 5 bola hijau, 3 bola hitam, dan 7 bola merah. Dua bola dipilih

secara random tanpa pengembalian. Berapa peluang bahwa :

a. kedua bola adalah merah.

b. kedua bola sama warnanya.

27. Tim softball mempunyai 3 pemukul A, B, dan C dengan persentasi menang masing-

masing 0.4, 0.6 dan 0.8. Pemukul-pemukul ini memukul sebanyak masing-masing

2, 3, dan 5 setiap 10 permainan. Dengan kata lain, untuk permainan yang dipilih

secara random, P(A)=0.2, P(B)=0.3 dan P(C)=0.5. Tentukan :

a. P(tim memenangkan permainan)= P(W)

b. P(A yang memukul|tim menang)=P(A|W)

28. Satu kartu dipilih dari deck yang terdiri 52 kartu dan ditempatkan di deck kedua.

Sebuah kartu selanjutnya dipilih dari deck kedua.

a. Berapa peluang bahwa kartu kedua adalah ace.

b. Jika kartu pertama ditempatkan di deck 54 kartu yang memuat 2 joker,

selanjutnya berapa peluang bahwa sebuah kartu yang diambil dari deck kedua

adalah ace.

c. Diberikan ace yang telah diambil dari deck kedua pada pertanyaan (b), berapa

peluang bersyarat bahwa kartu ace telah dipindah.

18

29. Sebuah kantong memuat 3 koin, satu koin mempunyai muka di dua sisi, dan dua

koin yang lain adalah normal. Sebuah koin dipilih secara random dan dilempar 3

kali.

a. tentukan peluang diperoleh 3 muka

b. Jika sebuah muka muncul di 3 kali lemparan , berapa peluang bahwa muka itu

berasal dari koin yang bermuka dua.

30. Diketahui P(A)=0.4 dan P(A ∪ B)=0.6

a. Tentukan P(B) agar A dan B saling lepas.

b. Tentukan P(B) agar A dan B saling bebas.

31. A, B, dan C adalah peristiwa-peristiwa sedemikian hingga P(A)= 1/3 , P(B)=1/4

dan P(C)= 1/5 Tentukan P(A ∪ B ∪ C) terhadapmasing-masingasumsi berikut :

a. jika A, B, C adalah saling lepas

b. jika A, B, C adalah saling bebas

32. Sebuah mangkuk berisi 4 tiket lottre dengan nomor 111, 221, 212, dan 122. Satu

tiket diambil secara random dari mangkuk dan A1 adalah peristiwa “2 di dalam

tempat yang ke-i.; i=1,2,3 . Tentukan apakah A1,A2,A3 independen?

33. Kode kata dibentuk dari huruf A s.d. Z

a. Berapa banyak 26 huruf kata dapat dibentuk tanpa pengulangan sembarang

huruf.

b. Berapa banyak 5 huruf kata dapat dibentuk tanpa pengulangan

c. Berapa banyak 5 huruf kata dapat dibentuk jika huruf-hurufnya dapat diulang.

34. Plat nomor kendaraan terdiri dari 2 huruf dan dilanjutkan 4 digit angka. Seperti :

AB3166.

a. Berapa banyak plat berbeda yang mungkin jika huruf dan digit dapat berulang?

b. Berapa banyak plat berbeda yang mungkin jika huruf dapat berulang tetapi digit

tidak?

c. Berapa banyak plat berbeda yang mungkin jika huruf dapat berulang dan nomor

digit lebih besar dari 5500?

19

35. Seorang pelatih sepakbola mempunyai 49 pemain yang dapat dipilih untuk menjadi

duta dalam pertandingan .

a. Jika 11 orang harus dipilih untuk bermain, berapa banyak tim yang mungkin?

b. Jika dari 49 pemain ada 24 penyerang dan 25 penahan, berapa peluang bahwa

tim yang dipilih secara random mempunyai 5 penyerang dan 6 penahan?

36. Berapa banyak cara yang dapat anda bagikan 26 huruf ke dalam 3 kotak yang

memuat 9; 11; dan 6 huruf.

37. Berapa banyak cara siswa menjawab 10 soal pilihan ganda dengan 4 option.

38. Suatu uji laboratorium untuk penggunaan steroid dalam atlit professional

mempunyai deteksi rata-rata sebagai berikut :

PENGGUNAAN

STEROID

HASIL TES

POSITIF NEGATIF

Yes

No

0.90

0.01

0.10

0.99

Jika rata-rata penggunaan steroid dalam atlit professional adalah 1 diantara 50 atlit,

a. berapa peluang bahwa atlit professional yang dipilih secara random akan

mempunyai hasil tes negative untuk penggunaan steroid?

b. Jika tes atlit positif, berapa peluang bahwa dia benar-benar menggunakan

steroid?

39. Sebuah kotak berisi empat disket yang mempunyai warna berbeda pada masing-

masing sisinya. Disket 1 adalah merah dan hijau, disket 2 adalah merah dan putih,

disket 3 adalah merah dan hitam, dan disket 4 adalah hijau dan putih. Satu disket

dipilih secara random dari kotak. Definisikan berikut: A = satu sisi adalah merah,

B = satu sisi adalah hijau, C = satu sisi adalah putih dan D = satu sisi adalah hitam.

a. Apakah A dan B peristiwa bebas? Mengapa atau mengapa tidak ?

b. Apakah B dan C peristiwa bebas? Mengapa atau mengapa tidak ?

c. Apakah sebarang pasangan peristiwasaling lepas? Yang mana?

20

40. Misalkan sejumlah kelereng berwarna dimasukkan ke dalam tiga kotak yang tidak

dapat dibedakan sebagai berikut:

Kotak

1 2 3

Merah

Putih

Biru

2

3

5

4

1

3

3

4

3

Sebuah kotak diambil secara acak dan kemudian dari kotak yang terpilih tersebut

diambil secara acak sebuah kelereng.

a. Hitung peluang terambilnya kelereng merah !

b. Bila diketahui kelerengnya merah, berapa peluang bahwa kotak yang terambil

adalah kotak 3?

41. Seseorang memiliki dua kendaraan, mobil dan motor. Kurang lebih 75% ia

menggunakan mobil untuk pergi bekerja, dan 25% ia menggunakan motor. Bila

menggunakan mobil kemungkinannya 75% ia sampai di rumah pukul 17.30 atau

kurang; sedangkan bila menggunakan motor, kemungkinannya 60% ia sampai di

rumah pukul 17.30 atau kurang. Bila suatu hari diketahui ia sampai di rumah

pukul 17.30, berapa peluang ia menggunakan mobil.

42. Diberikan ruang sampel S menyatakan orang dewasa yang tamat SMU di

kecamatan Sukamadu. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status

pekerjaan

Bekerja Tidak bekerja

Laki-laki 460 40

Wanita 40 260

21

Kecamatan tersebut akan dijadikan daerah Pariwisata dan seseorang akan dipilih

secara acak untuk mempromosikan ke Luar Negeri. Tentukan peluang yang terpilih

adalah laki – laki jika diketahui telah bekerja.

43. Susunan murid di kelas I SD Margobiso adalah sebagai berikut.

Lima anak adalah putra petani; 6 anak adalah putra Guru; 4 anak adalah putra TNI;

dan 7anak adalah putra wiraswasta.

Dipilih secara acak 3 murid di kelas tersebut. Berapa peluang bahwa ketiga murid

yang terpilih tersebut, 2 murid diantaranya adalah putra guru.

44. Sebuah dadu tidak seimbang dilempar sekali, muncul sisi mata dadu genap dua kali

lebih sering daripada sisi ganjil. Berapa peluang munculnya sisi mata dadu yang

lebih besar dari 4 ?

45. Dua dadu dilempar. Bila diketahui bahwa satu dadu munculnya 2, berapa peluang

bahwa jumlah keduanya lebih besar dari 6?

46. Tes darah Laboratorium adalah 95% tertedeteksi penyakit tertentu. Bagaimanapun

tes juga dapat memberikan hasil positif yang salah yaitu 1% dari orang-orang sehat

yang dites. Jika 0,5 % populasi benar-benar sakit, berapa peluang hasil tesnya

positif sedangkan orangtersebut benar-benar sakit.

Jwb: 0,0256

22

BAB 2

VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA

1. Pendahuluan

Dalam bab ini akan dibahas tentang variabel random beserta distribusinya.

Variabel random pada hakekatnya adalah fungsi yang terdefinisi dalam ruang

sampel, sehingga dari variabel random tersebut dapat dibentuk distribusinya.

Variabel random dibedakan menjadi dua yaitu variabel random diskrit dan variabel

random kontinu. Fungsi yang berkaitan dengan variabel random disebut probability

density function (pdf) atau disebut fungsi pekat peluang. Berkaitan dengan pdf

tersebut dapat dibentuk CDF (Cumulative Distrubution Function), ekspektasi dan

variansi termasuk juga MGF (Moment Generating Function).

2. Pengertian Variabel Random

Definisi 2.1. :

Variabel random, yang dinyatakan dengan X adalah suatu fungsi yang didefinisikan

pada ruang sampel S, yang dikaitkan sebuah bilangan real X(e)=x dengan masing-

masing hasil yang mungkin e dalam S.

Contoh 1 :

Dadu sisi empat mempunyai nomor 1, 2, 3, atau 4 pada masing–masing sisi yang

berkemungkinan sama.Satu permainan dengan menggulirkan dadu tersebut dua kali

dan skor adalah maksimum dari 2 bilangan yang muncul. Walaupun skor tersebut

tidak dapat diprediksi, kita dapat menentukan himpunan nilai–nilai yang mungkin

dari variabel random. Khususnya jika e = (i, j) dimana i, j ∈ {1, 2, 3, 4}, dan

X(e)=max (i, j), maka ruang sample S dan X digambarkan sebagai berikut.

23

1 2 3 4

Ada dua macam variabel random yaitu variabel random diskrit dan variabel random

kontinu.

b. Variabel Random Diskrit

Definisi 2.2

Jika himpunan semua nilai variabel random X yang mungkin adalah himpunan yang

dapat dihitung (countable) ,x,...,x,x n21 or ,...,x,x 21 maka X disebut variabel

random diskrit (a discrete random variabel). Fungsi tersebut

f(x) = P[X=x] x = ,...,x,x 21

disebut fungsi masa peluang diskrit (discrete probability mass function).

1) Fungsi Masa Peluang (pmf)

Teorema 2.1

Fungsi f(x) adalah pmf (probability mass function) diskrit jika dan hanya jika

dipenuhi kedua sifat-sifat berikut untuk paling banyak himpunan bilangan real

:,...x,x 21 tak hingga yang dapat dihitung (at most a countably infnite).

f ( ) 0xi ≥ untuk semua ix , dan

∑

ixall

f(xi) = 1

contoh 2 :

Maksimum dari dua guliran dadu sebagai berikut :

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2)

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1)

X 1 2 3 4

f(X) 1/16 3/16 5/16 7/16

24

f(x)

7/16-

5/16-

3/16-

1/16-

X

1 2 3 4

Contoh 3 :

Dalam menggelindingkan sebuah dadu bermuka 12 sebanyak dua kali, dan masing-

masing muka diberi nomor 1 s.d 12, yang berkemungkinan sama untuk muncul pada

setiap penggelindingan. Jika X menyatakan nilai maksimum dalam dua

penggelindingan, maka pdf dari X akan berbentuk

f(x) = c(2x-1) untuk x =1, 2, 3 ,..., 12

dan c dapat dicari dengan menggunakan sifat pmf, yaitu

1 = ∑∑==

=−=12

1x

12

1x

144c)1x2(c)x(f144

1c =⇒

2) CDF (Cumulative Distribution Function)

Definisi 2.3

The cumulative distribution function (CDF) dari suatu variabel random

Xdidefinisikan untuk sebarang bilangan real x dengan

F(x) = P [X ≤x]

Teorema 2.2. :

X adalah variabel random diskrit dengan pdf f(x) dan CDF F(x).

Jika nilai yang mungkin dari X diindeks dalam urutan menaik x1<x2<x3<…, maka

f(x1)=F(x1)untuk i=1, dan

f(xi)=F(xi)-F(xi-1) untuk i>1

Selanjutnya jika x<x1maka F(x)=0 dan

untuk sebarang nilai real x yang lain F(x) = ∑≤xx

i

i

)x(f

25

dimana penjumlahan tersebut meliputi semua yang ditunjukkan i sedemikian hingga

xx i ≤

Teorema 2.3 :

Fungsi F(x) adalah CDF untuk suatu variabel random X jika dan hanya jika

memenuhi sifat berikut :

1) −∞→x

lim F(x) = 0

2) ∞→x

lim F(x) = 1

3) =→0h

lim F(x + h) = F(x)

4) a < b implies F(a) ≤ F(b)

selanjutnya menjadi penting untuk digunakan

P[a<X<b] = F(b)-F(a)

Berdasarkan contoh 2, diperoleh CDF sebagai berikut:

F(1) = f(1) = ���, 1x<2

F(2) = f(2)+F(1) = �� + ��� =

��� , 2x<3

F(3) = f(3)+F(2) = ��� + ��� =

�� , 3x<4

F(4) = f(4)+F(3) = ��� + �� =

���� , 4x

dan grafiknya diperoleh sebagai berikut:

F(x)

1

9/16

4/16

1/16

x

1 2 3 4

26

3) Ekspektasi (Expectation)

Definisi 2.4

Jika X adalah variabel diskrit dengan pdf f(x), maka nilai ekspektasi dari X

didefinisikan,

E(X) =∑x

xf(x)

Contoh 4 :

Sebuah kotak berisi 4 kartu. Dua kartu diberi label dengan nomor 2 ; satu diberi label

dengan nomor 4 dan yang lain dengan nomor 8. Rata-rata bilangan pada keempat

kartu adalah 44

8422=

+++. Percobaan memilih sebuah kartu secara random dan

dicatat nomornya dapat dikaitkan dengan variabel random diskrit X yang

mempunyai nilai berbeda x = 2, x = 4, dan x = 8 dengan f(2) = 1/2 ; f(4) = f(8) = 1/4.

Jadi, nilai expektasinya adalah

E(x) = 2(1/2) + 4(1/4) + 8(1/4) = 4.

c. Variabel Random Kontinu

1) Fungsi peluang (pdf) dan CDF nya

Definisi 2.5

A variabel random X disebut variabel random kontinu jika ada fungsi f(x) adalah the

probability density function (pdf) of X, sehingga CDF nya dapat disajikan sebagai

F(x) = ∫ ∞−

x

f(t) dt

Jika pdf f(x) diberikan, maka secara khusus,

f(x) = )x(F)x(Fdx

d '=

catatan :

P[a≤X≤b] = ∫b

a

dx)x(f

27

Teorema 2.4 :

Fungsif(x) adalah pdf untuk suatu variabel random kontinu X jika dan hanya jika

dipenuhi sifat-sifat :

1) f(x) ≥ 0untuksemuax, dan

2) ∫∞

∞−= 1dx)x(f

Bukti :

Lihat teorema 2.3

Contoh 5 :

Sebuah mesin yang menghasilkan kabel tembaga, dan kadang-kadang ada kerusakan

pada suatu titik sepanjang kabel. Panjang kabel (dlm meter) diproduksi antara sukses

rusak adalah variabel random kontinu X dengan pdf berbentuk

f(x) =

≤

>+ −

0x0

0x)x1(c 3

dimana c adalah konstan.

Untuk mencari nilai c ditentukan dari sifat pdf

1= ∫∞

∞−

dx)x(f = ∫∞

−+0

3 dx)x1(c = c(1/2) 2c =⇒

Contoh 6:

Diketahui

f(x) =

≤

>−

0x0

0xe3x3

CDF F(x)= � 3��� dt � �e��|�� � 1 � e���� , x>0 dan F(x)=0 untuk x≤0

jadi, F(x) = � 0 untuk x ≤ 01 � e�� untuk x % 0&

2. Ekspektasi

Definisi 2.6

Jika X adalah variabel random kontinu dengan pdf f(x), maka nilai ekspektasi dari X

didefinisikan dengan

E(X) = ∫∞

∞−xf(x) dx

28

Jika integral adalah konvergen absolut maka dikatakan E(X) tidak ada.

Contoh 7:

Jika diketahui

f(x) =

≤

>−

0x0

0xe3x3

maka diperoleh

E(x) = � x3e�� dx � �xe��|�∞ ' � e��dx∞� � ∞� � xe��|�∞ � � e��|�∞ � � Catatan : Biasanya E(x) dilambangkan dengan µ.

Definisi 2.7

Jika 0 < p < 1, maka percentile ke-100p dari distribusi variabel random kontinu X

adalah penyelesaian xp terhadap persamaan.

F(xp) = p

Median dari distribusi X adalah persentil ke-50 yang dinotasikan dengan X0,5 atau

m. Ini adalah kasus dari persentil khusus yang sangat penting, sehingga nilai

setengah dari populasi adalah setengah ke atas atau setengah ke bawah. Median

digunakan dalam beberapa aplikasi sebagai ukuran tengah.

Definisi 2.8

Jika pdf mempunyai maximum tunggal di x = mo, katakan max f(x) = f(mo), maka

mo disebut modus dari X.

Catatan :

Penyelesaian untuk f’(x)=0 adalah maksimum dari f(x) yang tunggal. Secara umum

Mean; Median; dan Modus mungkin semuanya berbeda tetapi ada kasus-kasus

tertentu dimana semuanya itu sama.

Definisi 2.9

Distribusi dengan pdf f(x) dikatakan simetrik di sekitar c jika f(c – x) = f(c + x)

untuk semua x.

29

d. Variabel Campuran

Mungkin sekali bahwa variabel random mempunyai distribusi yang tidak diskrit

murni atau tidak kontinu murni. Distribusi untuk variabel random X adalah tipe

campuran jika CDF mempunyai bentuk

F(x) = a Fd(x) + (1-a) Fc(x) ; 0<a<1

Keterangan :

Fd(x) : CDF dari distribusi diskrit

Fc(x) : CDF dari distribusi kontinu

e. Beberapa Sifat Ekspektasi

Teorema 2.5 :

Jika X variabel random dengan pdf f(x) and u(x) adalah fungsi bernilai real yang

domainnya meliputi nilai-nilai X yang mungkin, maka

E[u(X)] = ∑x

)x(f)x(u jika X diskrit

E[u(X)] = ∫∞

∞−)x(f)x(u dx jika X kontinu

Ini jelas bahwa nilai ekspektasi akan mempunyai sifat linearitas terkait dengan

integral dan penjumlahan.

Teorema 2.6 :

Jika X variabel random dengan pdf f(x), a dan b adalah konstan, serta g(x) dan h(x)

adalah fungsi bernilai real yang domainnya memuat nilai X yang mungkin, maka

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]XhbEXgaEXbhXagE +=+

f. Variansi dan Sifat-Sifatnya

Definisi 2.10

Variansi variabel random X diberikan

Var (X) = E[(X - µ)2] dimana µ = E(x)

Definisi 2.11

moment ke-k di sekitar pusat variabel random X adalah

'

kµ = E(Xk)

30

momentke-k di sekitar mean adalah kµ = E[X – E(X)]k = E(X - µ )

k

Teorema 2.7:

Jika X adalah variabel random, maka

( ) ( ) 22XEXVar µ−=

Bukti :

( ) 2)X(EXVar µ−=

( )22 X2XE µ+µ−=

22 )X(E2)X(E µ+µ−=

222 2)X(E µ+µ−=

( ) 22XE µ−=

Contoh 8:

Jika diketahui f(x) seperti pada contoh 7

f(x) =

≤

>−

0x0

0xe3x3

maka diperoleh

E(x) = � x. 3e�� dx ∞� � 3 � xe�� dx �∞� � E(x

2) =� x). 3e�� dx � �x)e��|�∞ ' � 2xe��dx∞� � ∞� 0 ' 2 � xe��dx∞�

� 0 ' 29 � 29

Jadi, Var(X)= ) � ���) � �

Teorema 2.8:

Jika X adalah variabel random dengan a dan b adalah konstanta, maka

( ) ( )XVarabaXVar 2=+

Bukti :

( ) 2)]ba()baX[(EbaXVar +µ−+=+

2)]X(a[E µ−=

31

22 )]X[(Ea µ−=

)X(Vara2=

Teorema 2.9.:

Jika distribusi dari X simetrik di sekitar mean ( )XE=µ , maka moment ketiga di

sekitar µ adalah nol, 03 =µ .

Teorema 2.10.:

Jika X adalah variabel random dan u(X) adalah fungsi bernilai real nonnegative,

maka untuk sebarang konstanta positive c>0,

Bukti :

Untuk latihan

Teorema 2.11.:

Jika X adalah variabel random dengan meanµ dan variansi2σ , maka untuk sebarang

k>0.

[ ]2k

1kXP ≤σ≥µ−

Bukti :

Untuk latihan

Teorema 2.12.:

( )XE=µ dan ( )XVar2 =σ . Jika 02 =σ , maka [ ] 1XP =µ=

Bukti :

Untuk latihan

a. Moment Generating Function (MGF)

Definisi 2.12

Jika X variabel random, maka nilai expektasi

( )[ ] ( )[ ]c

XuEcXuP ≤≥

32

Mx(t) = E(etx

)

Disebut moment generating function (MGF) dari X jika nilai expectasi ada untuk

semua nilai dari t dalam suatu interval bentuk – h < t < h untuk suatu h > 0.

1) MGF Variabel Random Diskrit

Contoh 6 :

Asumsikan bahwa X adalah variabel random diskrit bernilai hingga, dengan nilai-

nilai yang mungkin x1, …, xm . MGF nya adalah

Mx(t) = ∑=

m

1iix

tx)x(fe i

merupakan fungsi yang dapat didiferensialkan ke- t, dengan derivative

∑==

m

1iix

tx

i

'

x )x(fex)t(M i

dan secara umum untuk sembarang bilangan bulat positif r,

∑==

m

1iix

txr

i

)r(

x )x(fex)t(M i

jika kita menghitung )t(M )r(

x untuk t=0 diperoleh

)X(E)x(fx)0(M rm

1iix

r

i

)r(

x =∑==

Teorema 2.13.:

Jika MGF(X) ada, maka )0(x

)r(M)X(E r = untuksemuar = 1,2,…

dan

∑∞

=

+=1r

rr

x!r

t)X(E1)t(M

Bukti :

Untuk latihan

2) MGF Variabel Random Kontinu

Contoh 7 :

Pandang variabel random kontinu X dengan pdf f(x) = e-x

jika x>0 dan f(x)=0 untuk

33

x yang lain. MGF nya adalah

Mx(t) = ∫∞

−

0

xtx dxee

= ∫∞

−−

0

)t1(x dxe

= ∞−−

−− 0

)t1(xe)t1(

1

= )t1(

1

−, t<1

Contoh 8:

Variabel random diskrit X mempunyai pdf f(x)=1x

21 )( +

jika x=0, 1, 2, … dan f(x)=0

untuk x yang lain. MGF dari X adalah

Mx(t)= ∑∞

=

+

0x

1x

21tx )(e

= 2

1∑∞

=0x

xt )2/e(

dibuat deret geometri tak hingga dengan s= et/2 diperoleh

= 1 + s + s2 + s

3 + … =

s1

1

−, -1<s<1

jadidiperolehMx(t) =

− )2/e(1

1

2

1t

= te2

1

− , t < ln 2

Turunan pertamanya adalah )t(M '

x = et(2 - e

t)-2

dan E(X) = )0(M'

x =1.

b. Sifat-Sifat Moment Generating Function (MGF)

Teorema 2.14.:

Jika Y = aX + b,maka ( ) ( )atMetM x

bt

Y = .

Bukti :

Untuk latihan

Teorema 2.15.:

34

KetunggalanJika 1X dan 2X mempunyai CDF masing-masing ( )xF1 dan ( )xF2 , dan

mempunyai MGF masing-masing ( )tM1 dan ( )tM2 maka ( )xF1 = ( )xF2 untuk semua

bilangan real x jika dan hanya jika ( )tM1 = ( )tM2 untuk semua t dalam suatu interval

–h<t<huntuk suatu h>0.

c. MGF Faktorial

Definisi 2.13

Moment faktorial ke-r dari X adalah

E[X(X-1) …(X-r+1)]

dan Factorial Moment Generating Function (FMGF) dari Xadalah

Gx(t) = E(tx)

Jika expectasi ini ada untuk semua t dalam suatu interval bentuk 1– h < t < 1+h

FMGF lebih cocok daripada MGF dalam beberapa masalah.

Gx(t) = E(tx) = E(e

x ln t) = Mx(ln t)

Teorema 2.16 :

Jika Xmempunyai FMGF, ( )tGX , maka

( ) ( )XE1G'

x =

( ) ( )[ ]1XXE1G"

x −=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1rX...1XXE1G r

x +−−=

Bukti :

Untuk latihan.

Catatan :

E(X(X-1)) = E(X2-X) = E(X

2) - E(X) sehingga E(X

2) = E(X) + E(X(X-1))

Contoh 10:

Kita pandang variabel random diskrit X mempunyai pdf

f(x)=1x

21 )( +

jika x=0, 1, 2, … dan f(x) = 0 untuk x yang lain.

FMGF dari X adalah Gx(t) = Mx(ln t)

35

Berdasarkan contoh 9 di atas,

Mx(ln t) =tlne2

1

− =

t2

1

− = (2 - t)

-1 , t<2

turunannya diperoleh,

( ) =tG'

x (2 - t)-2

( )1G)X(E '

x= = 1

( )tG"

x = 2(2 - t)-3

( )[ ] ( )1G1XXE "

x=− = 2

selanjutnya E(X2) = E(X) + 2 = 3 dan Var(X) = 3 – 1

2 = 2.

36

SOAL-SOAL LATIHAN BAB 2

1. Jika e=(i,j)menyajikan sebarang hasil dari menggelindingkan dua dadu bersisi

empat, seperti pada contoh 1, tabulasikan pdf diskrit dan gambar grafik CDF untuk

variabel random berikut:

a. Y(e) = i + j.

b. Z(e) = i – j.

c. W(e) = ( ) .ji2−

2. Suatu permainan terdiri dari pertama menggelindingkan sebuah dadu sisi enam

beraturan sekali dan selanjutnya melemparkan sebuah koin tak bias sekali. Skor

adalah menjumlah bilangan yang muncul pada dadu ditambahkan ke bilangan yang

muncul pada koin (0 atau 1), adalah variabel random, katakan X. Sajikan nilai

yang mungkin dari X dan tabulasikan nilai dari:

(a) pdf diskrit.

(b) CDF pada titik-titik diskontinunya.

(c) sket grafik dari CDFnya.

(d) tentukan P[X>3].

(e) tentukan peluang bahwa skor tersebut adalah bilangan ganjil.

3. Sebuah kotak berisi tiga koin, satu yang mempunyai gambar pada kedua sisinya,

sedangkan dua koin yang lain normal. Sebuah koin dipilih secara random dari

kotak dan ditos (dilempar) tiga kali. Banyaknya gambar adalah variabel random

yang dinyatakan dengan X.

(a) Tentukan pdf diskrit dari X. (petunjuk :gunakan the Law of Total Probability

dengan =1B koin normal dan 2B = koin dg dua gambar.)

(b) sket pdf diskrit dan CDF dari X.

4. Sebuah kotak berisi lima bola berwarna, dua hitam dan tiga putih. Bola diambil

tanpa pengembalian. Jika X adalah banyaknya pengambilan bola sampai diperoleh

bola hitam terakhir, tentukan pdf f(x).

37

5. Variabel random diskrit mempunyai pdf f(x).

a. jika f(x) = ( )x21k untuk x = 1, 2, 3, dan nol untuk yang lain, tentukan k.

b.apakah bentuk f(x)= ])[(k21x

21 − untuk x = 0, 1, 2 merupakan pdfuntuk

sebarang k?

6. Notasi [x] adalah bilangan bulat terbesar yang tidak melampaui x. Untuk pdf

f(x)= )1x2(12

12

− x = 1, 2, …., 12 , tunjukkan bahwa CDF dapat disajikan

sebagai F(x)=

2

12

]x[

untuk 0<x<13, nol jika X ≤ 0, dan satu jika x≥13.

7. Variabel random diskrit X mempunyai pdf yang berbentuk f(x) = c(8-x) untuk

x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan nol untuk yang lain. Tentukan:

a. konstanta c.

b. CDF, F(x).

c. P[X>2].

d. E(X).

8. Variabel random bulat nonnegative X mempunyai CDF yang berbentuk

F(x)=1- (1/2)x+1

untuk x = 0, 1, 2, … dan nol jika x <0. Tentukan:

a. pdf dari X.

b. P[10<X≤20].

c. P[X genap].

9. Sering diinginkan untuk menandai secara numerik nilai kode untuk merespon

eksperimen. Untuk contoh dalam menguji warna pilihan dari subyek eksperimen,

pandang bahwa warna-warna biru, hijau, dan merah yang terjadi dengan peluang

masing-masing ¼, ¼, dan ½ . Nilai bilangan bulat yang berbeda untuk menandai

masing-masing warna, dan hal ini terkait dengan variabel random X yang dapat

mengambil satu dari tiga bilangan bulat tersebut.

a. Dapatkah f(x) = ( ) ( ) x1x2141

−untuk x = -1, 1, 0 digunakan sebagai pdfuntuk

experiment ini?

38

b. Dapatkah f(x) = 2

)2/1(x

2

untuk x = 0, 1, 2 digunakan ?

c. Dapatkah f(x) = (1-x)/4,untuk x = -1, 0, 2 digunakan ?

10. X adalah variabel random diskrit sedemikian hingga P[X=x]>0 jika x=1,2,3 atau 4

dan P[X=x]=0 untuk yang lainnya. Pandang CDF adalah F(x)= 0,05x(1+x) pada

nilai-nilai x=1,2,3 atau 4.

a. gambar grafik CDF

b. gambar grafik pdf diskrit f(x)

c. tentukan E(x)

11. Seseorang menggelindingkan dadu sisi enam dan menerima sejumlah dolar terkait

dengan banyaknya titik pada muka yang muncul. Berapa banyak yang pemain

harus bayar untuk menggelindingkan sehingga permainan fair.

12. Variabel random kontinu X mempunai pdf f(x) = c(1 – x) x2jika 0 < x < 1 dan nol

untuk x yang lain.

a. tentukan konstanta c.

b. tentukan E(X).

13. Fungsi (x) mempunyai bentuk berikut :

f(x) = kx-(k +1)

1 < x < ∞ dannol untuk x yang lain.

a. Tentukan nilai k agar f(x) pdf ?

b. Tentukan CDF berdasarkan jawaban (a)

c. Untuk nilai k berapakah agar E(X) ada?

Ans. a. k>0 b. F(x)= -x-k

+ 1 c. k>1

14. Tentukan apakah dapat dibentuk fungsi dari masing-masing CDF pada domain

tersebut:

a. F(x) = e-x

; 0≤ x <∞.

b. F(x) = ex; - ∞< x ≤ 0.

c. F(x) = 1 – e-x

; - 1 ≤ x <∞.

39

15. Tentukan pdf yang berkaitan terhadap masing-masing CDF berikut:

a. F(x) = (x2 + 2x + 1)/16; - 1 ≤ x ≤ 3.

b. F(x) = 1 – e- λ x

- xeλ - λ x;0≤ x <∞ ; λ > 0.

16. Jika fi(x), i = 1, 2, . . . .,n, adalah pdf.Tunjukkan bahwa

∑=

n

1i

ii )x(fp adalah pdfdimana pi≥ 0 dan∑=

n

1i

ip =1

17. Variabel random X mempunyai CDF sedemikian hingga

F(x) =

≤<−

≤<

2

3x1,

2

1x

1x0,2

x

a. Gambarkan grafik F(x)

b. Gambarkan grafik pdf f(x)

c. Tentukan P[X≤1/2]

d. Tentukan P[X≥1/2]

e. Tentukan P[X≤1,25]

f. Bagaimana P[X=1,25]?

18. Sebuah variabel random kontinu X mempunyai pdf yang berbentuk

f(x)= x9

2 untuk 0<x<3 dan bernilai nol untuk x yang lainnya. Tentukan :

a. CDF dari X

b. P[X≤2]

c. P[-1<x<1,5]

d. bilangan m sedemikian hingga P[X≤m]=P[X≥m]

e. E(x)

19. Sebuah variabel random X mempunyai pdf

40

f(x) =

,-.-/ 1x0jikax2 ≤<

2x1jika3/2 ≤<

lainyangxuntuk0

& a. tentukan median dari X.

b. gambar grafik CDF dan tunjukkan posisi median pada grafik tersebut.

20. Variabel random kontinu X mempunyai CDF

F(x) =

<

≤≤+−

<

x2jika1

2x1jika)x/12x(2

1xjika0

a. tentukan 100 x percentile ke-p dari distribusi dengan p = 1/3

b. tentukan pdf dari X.

21. Jelaskan bahwa fungsi berikut mempunyai 4 sifat dari Teorema 2.3 dan tentukan

titik-titik diskontinunya

F(x) =

,-.-/ 0xjikae25,0 x <<∞−

1x0jika5,0 <≤

∞<≤− − x1jikae1 x

&

22. X adalah variabel random diskrit, mempunyai pdf f(x) = x/8 jika x = 1, 2, 5, dan

nol untuk x yang lain. Tentukan:

a. E(X)

b. Var (X)

c. E(2X + 3)

23. Diketahui pdf f(x) =3x2jika 0 < x < 1, dan nol untuk x yang lain.Tentukan:

a. E(X)

b. Var (X)

c. E(Xr)

d. E(3X – 5X2 + 1)

24. Diketahui X variabel random kontinu dengan pdf f(x) = 1/x2jika 1 < x <∞dan nol

41

untuk x yang lain.

a. apakah E(X) ada ?

b. apakah E(1/X) ada?

c. untuk nilai k berapakah E(Xk) ada ?

25. Stok komputer mempunyai cadangan tahunan untuk paket copi software yang

merupakan variabel random diskrit X. Pemilik stok memesan empat copi paket

dengan harga Rp 10 ribu per copi dan mejualnya kepada pengguna dengan harga

Rp 35 ribu per copi. Pada akhir tahun copi paketdianggap kadaluarsa dan pemilik

dianggap rugi pada copi yang tak terjual. pdf X disajikan dalam tabel berikut :

a. tentukan E(X)

b. tentukan Var (X)

c. Sajikan keuntungan bersih pemilik, Y sebagai fungsi linier dari X, serta

tentukan E(Y) dan Var (Y).

26. Jari-jari lingkaran diukur, mempunyai pdf f(r) = 6r(1 – r), 0 < r <1. Tentukan :

a. nilai ekspektasi jari-jari

b. nilai ekspektasi keliling

c. luas yang diharapkan.

27. Pandang variabel random diskrit X dengan pdf yang disajikan dalam tabel berikut:

X -3 -1 0 2 2 2

f(x) ¼ ¼ (6-3 2 )/16

1/8 3 2 /16

Distribusi X tidak simetri. Mengapa? Tunjukkan bahwa µ3 = 0.

28. X adalah variabel random kontinu nonnegatif dengan CDF F(x) dan E(X) < ∞ .

Gunakan integration by parts untuk menunjukkan bahwa

[ ]dx)X(F1)X(Eo∫∞

−=

Catatan: Untuk sebarang variabel kontinu dengan ∞<|)X(|E , kembangkan ke

X 0 1 2 3 4

f(x) .1 .3 .3 .2 .1

42

[ ]dx)X(F1dx)X(F)X(Eo

0

∫∫∞

∞−−+−=

29. Gunakan Chebychev’s inequality untuk memperoleh batas bawah pada

P[5/8 < X < 7/8] dalam soal 24.

a. Apakah batas ini berguna?

b. kerjakan kembali (a) untuk peluang P[1/2<X<1].

c. bandingkan batas ini terhadap peluang secara exact.

30. Pandang E(X) =µdan Var(X) = 2σ . Tentukan approximate mean dan variansi

dari:

a. xe .

b. 1/X (asumsikan µ ≠ 0).

c. ln (X) (asumsikan X>0).

31. Pandang bahwa X adalah variabel random dengan MGF

( ) ( ) ( ) ( ) .e85e41e81tM t5t2tx ++=

a. bagaimana distribusi dari X?

b. bagaimana P[X=2]?

32. Asumsikan bahwa X adalah variabel random kontinu dengan pdf

f(x) = exp[-(x+2)] jika -2<x< ∞ dan nol untuk yang lain.

a. tentukan MGF dari X.

b. gunakan MGF pada (a) untuk menentukan E(X) dan E(X2).

33. Pada soal no. 25, pandang pemilik stok menyediakan c copi (0≤ c≤4). Kemudian

sejumlah copi terjual, katakan S yang kurang dari c atau X.

a. sajikan keuntungan bersih Y sebagai fungsi linier dari S.

b. tentukan E(Y) untuk masing-masing nilai c dan indikasi penyelesaian c yang

memaksimalkan ekspektasi keuntungan.

43

34. Diketahui f(x) =���, x= 1, 2, 3, 4, 5 dan fungsi bernilai nol untuk x yang lain.

Tentukan :

a. F(x)

b. P(X=4)

c. P(2<X<5)

d. E(x) dan Var (x)

35. Diketahui

F(x)=0 0 1 01 0 2 1 2 11 1 3 1& a. Gambarkan grafik CDF nya

b. Tentukan f(x)

c. Gambarkan f(x)

d. Tentukan E(x) dan Var(x)

36. Diketahui

f(x) =

,-.-/

�) , 0 2 1 1�) , 1 2 1 2��) , 2 2 1 2 30, untuk x yang lain

&

tentukan :

a. Sket f(x)

b. F(x)

c. P(1x 2,5�

44

BAB 3

DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM KHUSUS

1. DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM DISKRIT KHUSUS

a. Distribusi Bernoulli

Variabel randomX mempunyai distribusi Bernoulli jika (untuk suatu p, 0≤ p ≤ 1)

P[ X = x ] = f(x) = =− −

lainnyayangxuntuk,0

1,0xbila,)p1(p x1x

[Tidak diperlukan tabel karena kesederhanaan f(x). Ingat bahwa p0 = 1].

Untuk membuktikan bahwa ini suatu fungsi peluang (pdf), kita hanya perlu

menunjukkan bahwa f(xi) ≥ 0(i = 1, 2, . . . .) dan ∑∞

=

=1i

i 1)x(f . Dalam distribusi

Bernoulli ini jelas, bahwa variabel randomBernoulli hanya dapat mencapai dua nilai

(0 dan 1) dengan peluang masing – masing 1 – p dan p, dan bahwa 1 – p + p = 1.

(Dalam kasus yang lebih rumit, yang tak Bernoulli, keadaannya sering tidak jelas,

dan buktinya akan sulit.) Perhatikan bahwa nilai 0 dan 1 biasanya dikaitkan dengan

‘gagal’ dan ‘berhasil’ dalam suatu arti.

Contoh 1:

Lampu hijau pada suatu persimpangan nyala selama 15 detik, yang kuning 5 detik,

dan yang merah 55 detik. Misalkan bahwa keadaan lalu lintas mengakibatkan variasi

acak dalam waktu tiba di persimpangan, sehingga ‘mendapat lampu hijau’

merupakan peristiwa yang berpeluang (disebut ‘berhasil’) dan kita tiba pada setiap

saat dalam siklus lampu dengan peluang yang sama, cari distribusi X, banyaknya

yang berhasil dalam suatu usaha perjalanan ke persimpangan itu.

Misalkan H menyataka hijau, K menyatakan kuning, M menyatakan merah; siklus

lampu yang lengkap adalah H, K, M. Total panjang siklus T = 15 + 5 + 55 = 75 detik,

45

dan peluang kita tiba pada bagian T yang H ialah 15/75 = 0,2 (karena kita tiba secara

acak dalam T dan 15/75 dari T adalah H). Jadi, P[X = 0] = 0,8, P[X = 1] =

0,2;sehingga X Bernoulli dengan p = 0,2.(Kita selalu dapat menafsirkan sesuatu

variabel random Bernoulli Y sebagai banyaknya yang berhasil dalam suatu usaha

dari suatu percobaan dengan peluang berhasil p)

Variabel random yang berdistribusi Bernoulli dinotasikan sebagai berikut :

X~ Ber(p)

Catatan :

E(X)=p dan Var(X)=p(1-p)=pq , jika p+q=1

Bukti :

E(X)=∑ x f(x) = 1.p + 0.q = p

[bukti yang lain untuk latihan]

b. Distribusi Binomial

Suatu variabel random X mempunyai distribusi binomial jika (untuk suatu bilangan

bulat positif n, dan suatu p dengan 0≤ p ≤ 1).

P[X = x] = f(x) =

,./ n,,1,0x,)p1(p

x

nxnx L=−

−

lainnyayangxuntuk,0

& Sering, suatu variabel random binomial (yakni, suatu variabel random dengan

distribusi binomial) muncul dari serangkaian usaha Bernoulli dengan sifat bahwa

(a) Usaha merupakan peristiwa bebas.

(b) Tiap usaha menghasilkan tepat salah satu dari dua hasil yang selalu sama dan

terpisah (saling meniadakan), biasanya disebut berhasil (B) dan gagal (G).

(c) Peluang hasil B tidak berubah dari suatu usaha ke usaha lainnya (dan karena itu

peluang hasil G juga tetap sama dari suatu usaha ke yang lainnya).

Jadi, pada setiap usaha P(B) = p; P(G) = 1 – p dalam persoalan ini. Bila kita

definisikan suatu variabel random X = 0 bila G terjadi dan X = 1 bila B terjadi,

maka

f(x) = =− −

lainnyayanguntuk,0

1,0xbila,)p1(p x1x

Adalah fungsi peluang suatu variabel random Bernoulli.

46

Suatu variabel random binomial dapat dipandang sebagai jumlah n variabel

random Bernoulli, yakni, sebagai banyaknya yang berhasil dalam n usaha

Bernoulli. Dalam n usaha Bernoulli, misalkan Xivariabel random

Xi =

−

−

)gagal(Gikeusahabila,0

)benar(Bikeusahabila,1

dan definisikan X = X1 + X2 + . . . + Xn. Maka X mempunyai kemungkinan

nilai 0, 1, 2, . . . ., n dan mempunyai distribusi binomial dengan

n = banyaknya usaha) dan

p = (peluang B) sepanjang seluruh usaha bebas satu sama lain dengan

peluangberhasiltidak berubah.

Untuk menunjukkan hal ini, perhatikanbahwa untuk setiapx∈{0, 1, 2,. . ., n},

f(x) = P(x yang berhasil dalam nusaha).

Sekarang x yang berhasil dapat terjadi dalam n usaha dalam

x

n’cara’,

banyaknyakemungkinan rincian (susunan) mendapat B terjadi sebanyak x kali

dalam n usaha. Salah satu dari cara ini mempunyai x yang berhasil diikuti oleh

n – x yang gagal, dan cara ini mempunyai peluang x suku dan (n – x) suku

P(BB . . . BGG . . .G) = 44 844 7644 844 76 sukuxnsukux

)G(P)...G(P)G(P)B(P)...B(P)B(P

−

= p x p x . . .x p(1 – p)(1 – p) . . .(1 – p)

= px(1 – p)

n – x

Karena kebebasan dan peluang berhasil yang tidak berubah. Akan tetapi

‘cara’ yang lain (susunan B sebanyak x dan G sebanyak n – x) mempunyai peluang

yang sama (karena kebebasan dan peluang yang berhasil adalah tetap).

Peluangnya adalahperkalian p sebanyak x dan (1 – p) sebanyak (n – x), hanya

susunannya yang berlainandengan persamaan di atas. Jadi

f(x) =

,./ n,...,2,1,0xbila,)p1(p

x

nxnx =−

−

lainnyayanguntuk,0

& adalah fungsi peluangvariabel random binomial .

Perhatikan bahwa bila X berdistribusi binomial dengan n ( banyaknya usaha)

dan p(peluang berhasil) [lambangnya X~ Bin(n,p)] maka Y = n – X juga

berdistribusibinomial dengan n (banyaknya usaha) tetapi peluang berhasil

47

(1 – p). Dalam lambangyang baru X~ Bin(n,p)⇒(n – X) ~ Bin(n, 1 – p)

Contoh 2 :

Distribusi Xadalah banyaknya berhasil dalam 25 usaha yang saling bebas.

Dengan peluang berhasil 0.2

[ ] ( ) ( ) x25x8,02,0

x

25xXP

−

== , x = 0, 1, ...,25;

yakni, X adalah binomial dengan n = 25; p = 0,2.[Umumnya, bila terjadinya

suatu peristiwa E berpeluang, banyaknya E yang terjadi dalam n usaha

bebas merupakanvariabel random X yang diskret dengan kemungkinan nilai

0, 1, ..., n. Bila peluang terjadinya E darisuatu usaha ke usaha lainnya

tidakberubah, yakni suatu nilai ( )1p0p ≤≤ , maka X suatu variabel random

binomial.]

Bila mengambil sampel dari populasi yang berhingga, distribusi binomial hanya

muncul jika pensampelan dikerjakan dengan pengembalian (yang menjadi peluang

berhasil tidak berubah dari satu usaha ke usaha lainnya), seperti pada contoh berikut.

Contoh 3 : Main dadu.

Suatu permainan di pasar malam terdiri atas melantun tiga dadu setangkup. Tiap

orang membayar Rp 1000 untuk main, menang Rp 1000 bila tepat satu muncul muka

angka 6, Rp 2000 bila tepat dua muncul muka angka 6, dan Rp 3000 bila ketiganya

muncul muka angka 6. (selanjutnya pemain menang Rp 0.) Cari fungsi peluang dari

variabel random kemenangan bersih pemain.

Misalkan Y menyatakan kemenangan bersih. Kemungkinan nilai Y adalah 0-1, 1-

1,2-1, 3-1; yakni, -1, 0, 1, 2, : Misalkan S menyatakan peristiwa 6 muncul pada suatu

lantunan satu dadu, dan perhatikan bahwa percobaan itu sepadan dengan

pensampelan dengan pengembalian bola tiga kali dari suatu kantong yang berisi 6

bola bernomor 1, 2, 3, 4, 5, 6. Bila X menyatakan jumlah angka 6 yang muncul

dalam lantunan ketiga dadu, maka X ~ Bin(3,p) dengan p = P(B) = 1/6, sehingga

f(x) =

=

−

lainnyayangxuntuk0

3,2,1,0xbila,6

5

6

1

x

3x3x

untuk mencari fungsi peluang Y perhatikan bahwa Y=X-1. Jadi

48

( ) ( )216

1250f1f XY ==−

( ) ( )216

751f0f XY ==

( ) ( )216

152f1f XY ==

( ) ( )216

13f2f XY ==

Perhatikan bahwa, bila tadinya pensampelan tanpa pengembalian dari suatu

kantongyang berisi enam bola bernomor masing-masing 1, 2, 3, 4, 5, 6,

maka akan diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) 03f2f,1f,0f XX21

X21

X ====

karena bola nomor 6 tidak terambil (X = 0) ataupun nomor 6 terambil; dalam

keadaan yang terakhir, karena pensampelan tanpa pengembalian, maka bola nomor

6 tidak lagi dapat diambil pada pengambilan berikutnya ( jadi X = 1). Dengan

demikian kemenangan bersih Y menjadi

( ) ( ) .0f,1f21

Y21

Y ==−

Melalui FMGF (X) diperoleh E(X)=np dan Var(X)= np(1-p)=npq jika

p+q=1

[buktikan sendiri]

c. Distribusi Hiper Geometrik

Suatu variabel random X berdistribusi hipergeometrik jika (untuk suatu bilangan

bulat n, a, N dengan 1 ≤ n ≤ N dan 0 ≤ a ≤ N)

P[X = x] = f(x)

f(x) =

,--.--/ )a,n(min)),....,aN(n,0(maksx,

n

N

xn

aN

x

a

−−=

−

−

lainnyayangxuntuk,0

&

Perhatikan bahwa batas untuk x dapat ditulis sebagai

Maks (0, n – (N – a)) ≤ x ≤ min (n, a).

Keterangan :

49

Misal dalam suatu kotak terdiri dari 10 komponen baik dan 5 komponen rusak.

Jika dari kotak tersebut diambil tiga komponen secara bersama sama maka

peluang terambilnya 2 komponen baik dan 1 komponen rusak adalah sebagai

berikut :

N = 15; n = 3; a = 10;x = 2

f(x)=

−

−

3

15

23

1015

2

10

Contoh berikut memberikan bukti yang tidak langsung, dari segi peluang.

Contoh 4:

Suatu populasi dari N benda (N≥ 1) mengandung sebanyak a dari jenis A (0≤a≤ N).

Suatu sampel acak berukuran n(1 ≤ n ≤N) diambil tanpa pengembalian. Misalkan X

banyaknya jenis A dalam sampel, maka X≥0 dan X ≥ n –(N – a) [karena banyaknya

jenis A dalam sampel tidak mungkin negatif, dan karena n – (N – a) merupakan

selisih antara ukuran sampel dengan benda yang bukan sejenis A ];

jadi, X≥maks (0, n(N –a)). Juga X ≤ n (tidak mungkin melebihi ukuran sampel) dan

x ≤ a (tidak mungkin melebihi banyaknya anggota jenis A); jadi, X≤min(n, a).dan

terdapat sebanyak

n

Nkemungkinan sampel,

−

−

xn

aN

x

abanyaknya pengambilan

yang mengandung jenis a sebanyak x. Jadi, X suatu variabel random hipergeometrik

dengan parameter n, a, N.

Model Hipergeometrik digunakan di berbagai bidang, seperti pengendalianmutu,

pensampelan penerimaan (acceptance sampling) dan ekologi (pensampelanbinatang

liar), seperti contoh berikut

Contoh 5 :

50

Pensampelan penerimaan dalam pengendalian mutu Sejumlah besar bahan tiba

di suatu pabrik. Untuk menentukan proporsi bahan yang cacat, yang sering menjadi

permasalahan, kita dapat mensampel seluruh pengiriman dan mengujinya satu per

satu. Akan tetapi, proses ini sering terlalu mahal.(Juga, dalam beberapa hal

pengujian justru merusak, misalnya, bahan yang diuji menjadi rusak, sebagai contoh

dalam pengujian umur baterai digunakan terus – menerus sampai habis, dan menguji

seluruh barang justru merusak seluruhnya sehingga yang baik akan rusak seperti

cacat.) Jadi, biasanya penerima barang mengambil suatu sampel acak (kecil) (tanpa

pengembalian) dari seluruh populasi barang kiriman. Seluruh pengiriman diterima

bila dalam sampel tersebut tidak lebih dari sejumlah tertentu barang yang cacat.

Sebagai contoh, misalkan ada 200 barang dalam suatu pengiriman, dan pembuatnya

menyatakan tidak lebih dari 10% cacat. Misalkan sesudah penerimaan kiriman kita

mengambil sampel acak barang sebesar 10 dari padanya tanpa pengembalian dan

menganggap seluruh kiriman baik bila yang cacat daripadanya tidak lebih dari 2.

Berapa peluang kita menerima (menganggapnya baik) seluruh kiriman? Sudah

barang tentu, peluangnya tergantung pada persentase yang cacat dalam kiriman, jadi

misalkan A(p) peluang menerima seluruhnya dengan jumlah yang cacat 100p%.

Bila 0% yang cacat, maka peluang menerima seluruh kiriman 1,0000, karena hanya

0 yang cacat dalam sampel berukuran 10. Jadi

A(0,00) = P

cacatyang%0dengankirimandari10

sampeldalamcacatyang2atau1atau0= 1,0000.

Bila yang cacat 5% dari seluruhnya, maka 10 yang cacat dan 190 yang baik.

Banyaknya X yang cacat dalam sampel berukuran 10 jadinya berdistribusi

hipergeometrik dengan fungsi peluang

f(x) =

−

10

200

x10

190

x

10

Sehingga

A(0,05) = P(menerima pengiriman dengan 5% yang cacat)

= P(X ≤ 2) = f(0) + f(1) + f(2)

51

=

10

200

10

190

0

10

+

10

200

9

190

1

10

+

10

200

8

190

2

10

= 0,59145 + 0,32677 + 0,072715

= 0,990935

Bila 10% yang cacat, maka 20 yang cacat dan 180 yang tidak cacat, jadi

f(x) =

−

10

200

x10

180

x

20

dan

A(0,10) = P(Menerima pengiriman dengan 10% yang cacat)

= f(0) + f(1) + f(2)

=

10

200

10

180

0

20

+

10

200

9

180

1

20

+

10

200

8

180

2

20

= 0,33977 + 0,39739 + 0,19754

= 0,9347

Jadi, peluang menerima pengiriman yang 10% cacat lebih kecil dari

Peluangmenerima pengiriman 5% yang cacat. Sebetulnya, hasil yang lebih kuat

dapat diberikan: peluang menerima pengiriman (karena dianggap baik) mengecil

bilapersentase yang cacat membesar, dan besarnya antara 1,0000 dan 0,9347 bila

tidak lebih dari 10% yang cacat.

Jika

f(x) =

,-.-/

)a,n(min)),....,aN(n,0(maksx,

n

N

xn

aN

x

a

−−=

−

−

lainnyayanguntuk,0

&

maka N

na)X(E = dan

1N

)nN)(N

a1)(

N

a(n

)X(Var−

−−=

catatan :

52

untuk N ∞→ distribusi hipergeometrik akan menjadi distribusi Binomial.

d. Distribusi Poisson

Suatu variabel random X mempunyai distribusi Poisson bila (untuk suatuµ> 0,

disebut parameterdistribusi)

p[X = x] = f(x) =

=µµ−

lainnyayanguntuk,0

,....2,1,0x,!x

e x

Suatu variabel random X mempunyai distribusi Poisson dinotasikan

X~POI(µ )

Contoh 6:

Suatu printer berkecepatan tinggi membuat kesalahan secara acak pada kertas cetak,

rata-rata 2 kesalahan per halaman. Berapa peluang bahwa dari 10 halaman yang

dihasilkan printer ini paling sedikit 7 halaman yang tidak mempunyai kerusakan?

(anggap kesalahan terjadi secara bebas dari halaman ke halaman).

Misalkan X menyatakan banyaknya kesalahan per halaman, maka

f(x) = !x

2ex2−

x=0,1,2,3,...

Peluang suatu halaman tidak terjadi kesalahan adalah

f(0) = 1353353,0e!0

2e 202

== −−

Jika y menyatakan banyaknya halaman tanpa kesalahan, maka y dapat dinyatakan

sebagai variabel random Binomial dengan n=10 dan p=e-2

.

Jadi fy(y)=y102y2 )e1()e(

y

10 −−− −

y=0,1,2,3,...,10

Sehingga untuk P(y≥7)=fy(7) + fy(8) + fy(9) + fy(10) = 0,00007

Melalui MGF (X) diperoleh E(X)= µ dan var(X)= µ

Catatan : Distribusi binomial, jika n ∞→ maka akan menjadi distribusiPoisson

e. Distribusi Geometri

Suatu variabel random X berdistribusi geometrik bila (untuk suatu p, 0 ≤ p < 1)

53

[ ] ( ) ( ) =−

===−

.lainnyayanguntuk,0

...3,2,1x,pp1xfxXP

1x

[Tidak diperlukan tabel karena kesederhanaan f(x).]

Misalkan peristiwa E mempunyai peluangsukses p yang tidak berubah pada setiap

usaha. Usaha-usaha tersebutsaling bebas satu sama lain. Misalkan X menyatakan

banyaknya usaha yang diperlukan sampai E sukses. Jadi, X dikatakan berdistribusi

geometrik.

Pdf geometrik dinyatakan:

( ) ( ) =−

=−

.lainnyayanguntuk,0

...3,2,1x,pp1xf

1x

Sehingga E(X) = 1/p dan Var(X)= (1-p)/p2

[Bukti untuk latihan]

f. Distribusi Negatif Binomial

Suatu variabel random X berdistribusi negatif binomial bila (untuk suatu bilangan

bulat r≥ 1, dan suatu p dengan 0 ≤ p ≤ 1

(Di sini telah digunakan lambang baku q = 1 – p). Suatu peristiwa tertentu terjadi

(berhasil) dengan peluang p (jadi, gagal terjadi dengan peluang q = 1 – p), dan

usaha yang dikerjakan bebas satu sama lain. Misalkan X banyaknya usaha yang

diperlukan dikurangi r untuk mendapatkan r berhasil; jadi X = x berarti kita

memerlukan x + r usaha (x = 0, 1, 2, ...), dan X menyatakan banyaknya yang gagal

dalam usaha untuk memperoleh r yang berhasil.

Distribusi geometrik ialah kasus khusus dengan r = 1, dengan satu ditambahkan ke

X (yakni, dalam kasus geometrik kita memandang banyaknya usaha yang

diperlukan untuk memperoleh keberhasilan yang pertama, sedangkan dalam kasus

negatifbinomial kita memandang banyaknya yang gagal ditemukan dalam usaha

memperoleh r pertama yang berhasil).

catatan :

[ ] ( )

=

−

−===

−

.lainnyayanguntuk,0

,...2,1,0x,q1r

1xp

xfxXPrxr

54

E(X)=p

rdan Var(X)=

2p

rq [bukti untuk latihan]

g. Distribusi Uniform (seragam) Diskrit

Berbagai masalah penting yang melibatkan kasus peluang klasikal, dapat dibuat

model variabel random diskrit yang mengasumsikan semua nilainya berpeluang

sama. Variabel random diskrit X mempunyai distribusi uniform (seragam) diskrit

pada bilangan bulat 1,2,3,...N dan mempunyai pdf yang berbentuk

f(x)=N

1 x= 1,2,3,...N

Notasi khusus untuk kasus ini

X~DU(N)

E(X)= 2

1N + dan Var(X)=

12

)1N( 2 −

Bukti :

E(X)= ∑ )x(xf

= f(x)∑x

=N

1(1+2+3+...+N)

= N

1

2

N(1+N)

= 2

1N +

(Selanjutnya Var(X) dicari sendiri untuk latihan)

2. DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM KONTINU KHUSUS

a. Distribusi Uniform(Seragam) Kontinu

Pandang bahwa variabelrandom kontinu X dapat mengasumsikan nilai hanya dalam

interval terbatas, katakan interval buka (a, b), dan pandang bahwa pdf adalah

konstan, katakan f(x) = c pada interval tersebut. Berimplikasi c = 1/(b – a), karena

55

( )∫ −==b

aabcdxc1 . Jika didefinisikan f(x) = 0 di luar interval, maka sifat tersebut

juga dipenuhi.Distribusi khusus ini dikenal sebagai distribusi uniform pada interval

(a, b). pdf nya adalah

bxaab

1)b,a;x(f <<

−=

dan fungsi bernilai nol untuk x yang lain.

Notasi yang melambangkan bahwa X mempunyai pdf dari bentuk tersebut adalah

X~UNIF(a, b)

Distribusi uniform kontinu ini merupakan pasangan dari distribusi uniform

diskrit.Ini memberikan model peluang untuk memilih sebuah titik secara random

pada interval (a,b).Contoh yang lebih khusus adalah waktu menunggu bus secara

random. Sebagaimana yang dicatat di awal, tidak masalah apakah akan melibatkan

atau tidak, titik batas a=0 dan b=5

Barangkali aplikasi yang lebih penting terjadi dalam kasus simulasi komputer. Yang

terkait dalam pembentukan bilangan random. Pembentuk bilangan random adalah

fungsi dalam bahasa komputer atau dalam suatu kasus program subrutinyang

didesain untuk menghasilkan bilangan-bilangan yang tertentu jika mereka adalah

data dari UNIF(0,1)

CDF dari X ~ UNIF(a, b) mempunyai bentuk

( )

≤

<<−−

≤

=

xb1

bxaab

ax

ax0

b,a;xF

Bentuk umum grafik f(x; a, b) dan F(x; a, b) dapat dilihat pada gambar, dimana

secara umum titik batas menggunakan a dan b.

Jika X ~ UNIF(a, b), maka

( )

( )

2

ba

)ab(2

)ab)(ab(

ab2

ab

dxab

1xXE

22

b

a

+=

−−+

=

−−

=

−

= ∫

56

Var(X)= 12

)ab( 2− (buktikansendiri)

b. Distribusi Gamma

Distribusi kontinu yang sering terjadi dalam aplikasi adalah distribusi Gamma.

Nama tersebut terkait dengan fungsi yang disebut fungsi Gamma.

Definisi3.1

Fungsi gamma, dinotasikan dengan )k(Γ untuk semua κ> 0, dan didefinisikan

dengan ( ) ∫∞ −−κ=κΓ0

t1dtet

Contoh, jika κ=1, maka ( ) ∫∞ − ==Γ

0

t 1dte1 . Fungsi gamma mempunyai beberapa

sifat sebagaimana yang dinyatakan dalam teorema berikut:

Teoremafungsi gamma memenuhi sifat-sifat berikut:

( ) ( ) ( ) 111 >κ−κΓ−κ=κΓ

( ) ( ) ...,2,1n!1nn =−=Γ

π=

Γ2

1

Variabel random kontinu X dikatakan berdistribusi gamma dengan parameter κ> 0

dan θ> 0 jika mempunyai pdf yang berbentuk

( ) 0xex)(

1,;xf /x1 >

κΓθ=κθ θ−−κ

κ

dan fungsi bernilai nol untuk sebaliknya.

X~GAM(θ,κ)

CDF dari X~GAM(θ,κ) adalah

dtet)(

1),;x(F

x

0

/x1x∫ θ−−κ κΓθ

=κθ

Teorema3.1

jika X~GAM(θ,n), dimana n adalah bulat positif, maka CDF dapat ditulis

57

ekspektasinya diperoleh sebagai berikut:

dxex)(

1x)X(E

0

/x1K∫∞ θ−−

κ κΓθ=

dxex)(

1

0

/x1)1(∫∞ θ−−κ+

κ κΓθ=

dxex)1(

1

)(

)1(0

/x1)1(

t

t

∫κ+ΓθκΓθ

κ+Γθ= ∞ θ−−κ+

κ+κ

κ+

)(

)1(t

κΓθ

κ+Γθ=

κ

κ+

)(

)(

κΓκΓκ

θ=

= κθ

Dengan cara yang sama, E(X2) = θ2κ(1+κ), dan diperoleh

Var(X) = θ2κ(1+κ) – (κθ)2 = κθ2

c. Distribusi Exponensial

Variabel random kontinu X berdistribusi exponential dengan parameter θ>0 jika

mempunyai pdf yang berbentuk

f(x;θ)= θ−

θ/xe

1 x>0

dan fungsi bernilai nol untuk sebaliknya.

CDF dari X adalah

F(x;θ)= 1- θ− /xe x>0

Notasi yang menunjukkan bahwa X mempunyai pdf di atas adalah

X~ EXP (θ)

dan

E(X) = θ

Var(X) = θ2

(Buktikan sendiri untuk latihan)

d. Distribusi Weibull

∑θ

−=θ−

=

θ−1n

0i

/xi

e!i

)/x(1)n,;x(F

58

Variabel random kontinu X dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan

parameter β>0 dan θ>0 jika mempunyai pdf yang bebentuk

f(x,θ,β)= 2

)/x(1ex θ−−ββθ

β x>0

dan nol untuk x ≤0.

Yang dinotasikan dengan

X~WEI(θ,β)

CDF diperoleh dengan mengintegralkan pdf, dan diperoleh

F(x;θ,β) = 1-eβθ− )/x(

x>0

Dengan proses integral diperoleh ,

E(X)= θΓ

β+

11

Var(X)=θ2

β

+Γ−

β

+Γ1

12

1 2

(Buktikan sendiri untuk latihan)

e. Distribusi Pareto

Variabel random X dikatakan berdistribusi Pareto dengan parameter θ>0 dan κ>0

jika mempunyai bentuk pdf

f(x;θ,κ) = θκ

)1(x

1

+κ−

θ

+ x>0

yang dinotasikan dengan

X~ PAR(θ,κ)

CDF distribusi tersebut berbentuk

F(x;θ,κ) = 1-

κ−

θ

+x

1 x>0

E(X) =;

κ�� dan Var(X) = θ<κ�κ�)��κ���<

f. Distribusi Normal

Distribusi Normal pertama kali dikenalkan oleh Abraham de Moivre pada tahun

1733.Distribusi tersebut merupakan aproksimasi untuk distribusi variabel random

Binomial. Distribusi ini merupakan distribusi yang sangat penting dalam dunia

59

statistika dan peluang.Variabel random X yang berdistribusi Normal dengan

parameter µ dan σ2 mempunyai pdf

f(x;µ,σ) =

σ

µ−−

πσ

2x

2

1exp

2

1 - ∞ <x,µ< ∞ dan σ>0

Ini dinotasikan dengan

X~ N(µ,σ2)

Jika disubstitusikan ke dalam variabel bakuσ

µ−=

xz akan diperoleh Normal Baku

yang mempunyai pdf

)xexp(2

1)x(

2

21−

π=φ

yang dinotasikan dengan Z~N(0,1)

60

SOAL-SOAL LATIHAN BAB 3

1. Suatu kantor mempunyai 10 printers. Masing-masing printer membutuhkan ribbon

baru hampir setiap tujuh pekan. Jika stok mendapatkan awal pekan tertentu hanya

ada 5 ribbon, berapa peluang bahwa persediaan akan habis dalam pekan itu.

Jwb: 0,008

2. Dalam 10 soal tes tipe B-S

(a) Berapa peluang diperolehnya semua jawaban benar dengan cara menebak?

(b) Berapa peluang diperolehnya delapan jawaban benar dengan cara menebak?

Jwb.: a. 0,000977 b. 0,0439

3. Seorang pemain basket melakukan shootsebanyak 10 shotdan peluang sukses

masing-masing shot 0.5

(a) Berapa peluang sukses 8 shot?

(b) Berapa peluang sukses 8 shot jika peluang sukses masing-masing shot 0,6?

(c) Berapa nilai ekspektasi dan variansi dari banyaknya shot sukses jika p=0,5?

Jwb.: a. 0,0439 b. 0,1209 c.

4. Empat mesin pesawat dapat terbang jika sekurang-kurangnya dua mesin bekerja.

(a) Jika mesin-mesin bekerja secara independen dan masing-masing mesin

mempunyai kegagalan (malfunctions) dengan peluang q,

Berapa peluang bahwa pesawat itu akan terbang selamat?

(b) Pesawat dengan dua mesin dapat terbang jika sekurang kurangnya satu mesin

bekerja. Jika sebuah mesin mempunyai kegagalan dengan peluang q, berapa

peluang bahwa pesawat akan terbang selamat?

(c) Pesawat manakah yang paling selamat?

Jwb.: a. 1-4q3+3q

4 b. 1-q

2

c. Dua mesin lebih selamat jika q> 1/3; empat mesin lebih selamat

jika q<1/3 dan keselamatan yang sama jika q=1/3.

61

5. Jika peluang menang dalam pacuan adalah 0,2 dan jika X adalah banyaknya

menang dalam 20 pacuan, berapakah:

(a) P[X = 4]

(b) P[X ≤ 4]

(c) E(X) dan Var (X)

Jwb.: a. 0,2182 b. 0,6292 c. 4 dan 3,2

6. Jika X~ BIN (n, p), tentukan E(X).

7. Sebuah toples berisi 30 jelly hijau and 20 jelly ungu. Dipilih 10 jelly secara

random dari toples tersebut.

(b) Tentukan peluang diperolehnya tepat lima jelly ungu jika jelly tersebut dipilih

dengan pengembalian.

(c) Tentukan peluang diperolehnya tepat lima jelly ungu jika jelly tersebut dipilih

dengan tanpa pengembalian.

Jwb: a. 0,2007 b. 0,2151

8. Sebuah kantor mempunyai 10 karyawan, 3 laki-laki dan 7 wanita. Manajer memilih

4 karyawan secara random untuk mengikuti short course pada perbaikan kualitas.

(a) Berapa peluang bahwa banyaknya wanita dan laki-laki yang dipilih sama?

(b) Berapa peluang bahwa lebih banyak wanita yang dipilih?

Jwb: a. 0,3 b. 0,667

9. Lima kartu diambil tanpa pengembalian dari tumpukan yang berisi 52 kartu.

Tentukan peluang masing-masing peristiwa berikut:

(a) Tepat dua aces.

(b) Tepat dua kings.

(c) Kurang dari dua aces.

(d) Sekurang-kurangnya dua aces.

Jwb : a. 0,03993 b. 0,03993 c. 0,9583 d. 0,0417

10. Suatu kiriman 50 alat mesin terdiri 42 yang baik dan 8 yang rusak. Seorang

inspektur memilih 5 alat secara random tanpa pengembalian.

(a) Berapa peluang tepat 3 yang baik?

(b) Berapa peluang bahwa paling banyak 3 yang baik?

Jwb: a. 0,1517 b. 0,1759

62

11. Seseorang membayar Rp 1000,- untuk sekali lemparan boneka yang jika menang

akan mendapatkan Rp 3000,- .Peluang sukses masing-masing lemparan adalah 0,1.

(a) Berapa peluang bahwa dua lemparan bisa menang.?

(b) Berapa peluang bahwa x lemparan akan diperoleh menang?.

(c) Berapa peluang bahwa lebih dari 3 kali lemparan akan diperoleh menang?.

(d) Berapa ekspektasibanyaknya lemparan yang dibutuhkan untuk menang?

Jwb: a. 0,0465 b. 0,0465 c. 0,9494 d. 0,0506

12. Tiga orang bersama sama melemparkan (toss) koin untuk melihat siapakah yang

akan membayar kopi. Jika semua ketiganya muncul muka yang sama, mereka

melempar lagi. Jika ketiganya tidak sama, maka orang yang ganjil (yang beda)

membayar kopi.

(a) Berapa peluang bahwa mereka akan butuh untuk melakukannya lebih dari

sekali?

(b) Berapa peluang pelemparan paling banyak dua kali?

Jwb: a. ¼ b. 15/16

13. Seperti pada soal no.11, seseorang mempunyai tiga anak, dan dia harus menang

boneka untuk masing-masing anak.

(a) Berapa peluang bahwa 10 lemparan akan diperlukan untuk menang tiga

boneka?

(b) Berapa peluang bahwa sekurang kurangnya 4 lemparan yang akan

dibutuhkan untuk menang tiga boneka?

(c) Berapa ekspektasi banyaknya lemparan yang dibutuhkan untuk menang tiga

boneka?

Jwb: a. 0,01722 b. 0,999 c. 30

14. Pandang tujuh seri pertandingan dunia antara team A dan B, yang mana untuk

masing-masing pertandingan, P(A menang) = 0,6.

(a) Tentukan P(A menang series dalam x pertandingan).

(b) Anda memegang tiket untuk pertandingan ketujuh. Berapa peluang bahwa

anda akan menggunakannya?

(c) Jika P(A menang pertandingan) = p, berapa nilai p yang memaksimalkan

kesempatanmu dalam (b)?

(d) Berapa kemungkinan paling banyak pertandingan yang dimainkan dalam seri

untuk p = 0,6?

63

Jwb: a. C(x-1,3)(0,6)4(0,4)

x-4 ;x=4,5,6,7 b. 0,2765 c. p= ½ d. x=6

15. Peluang sukses peluru meluncur adalah 0.9. Uji luncur dikendalikan sampai tiga

luncuran sukses. Berapa peluang masing-masing berikut:

(a) Tepat enam luncuran yangakan dibutuhkan

(b) Kurang dari enam luncuran yang akan dibutuhkan.

(c) Sekurang-kurangnya empat luncuran yang akan dibutuhkan.

Jwb: a. 0,00729 b. 0,99144 c. 0,271

16. Diketahui X~GEO(p)

(a ) Jelaskan untuk mendapatkan MGF dari X

(b ) Tentukan FMGF dari X

(c ) Tentukan E(X)

(d ) Tentukan E[X(X-1)]

(e ) Tentukan Var(X)

17. Diketahui X~NB(r,p)

(a) Jelaskan untuk mendapatkan MGF dari X

(b) tentukan E(X)

(c) tentukan Var(X)

18. Pandang dadu sisi enam beraturan digelindingkan berulang-ulang, dan hasilnya 1,

2, 3, 4, 5 atau 6yang dicatat pada setiap gelindingan. .

(a) Berapa peluang bahwa muncul muka enam yang ketiga terjadi pada

penggelindingan yang ketujuh.

(b) Berapa peluang bahwa banyaknya penggelindingan sampai muncul muka

enam yang pertama paling banyak 10?

Jwb: a. 0,0335 b. 0,8385

19. Banyaknya telpon (call) yang datang di switchboard dalam satu jam adalah

berdistribusi Poisson dengan meanµ = 10. Tentukan peluang peristiwa dalam satu

jam untuk masing-masing peristiwa berikut:

(a) Tepat tujuh calls yang datang

(b) Paling banyak tujuh calls yang datang.

(c) Antara tiga dan tujuh calls (inclusive) yang datang.

Jwb: a. 0,090 b. 0,220 c. 0,217

64

20. Jika X berdistribusi Poisson dan jika P[X = 0] = 0.2, tentukan P[X > 4]

Jwb: 0,0242

21. Dalam perakitan komponen eleltronik tertentu, kerusakan komponen terjadi secara

independen dengan peluang 0.01. Diperoleh perakitan 500 komponen dalam setiap

jam,

(a) Untuk berapa jam, bahwa peluang banyaknya komponen yang rusak paling

banyak dua?

(b) Gunakan approximation Poisson untuk (a).

Jwb: a. 0,1234 b. 0,1247

22. Peluang bahwa tipe komponen elektronik tertentu akan gagal dalam jam operasi

pertama adalah 0,005. Jika 400 komponen dites secara independen, tentukan

dengan approximation Poisson, peluang bahwa paling banyak dua komponen akan

gagal dalam jam pertama.

Jwb: 0,677

23. Pandang bahwa 3% item yang diproduksi oleh suatu perusahaan adalah rusak.

Seorang inspektur memilih 100 item secara random dari perusahaan tersebut.

Approximate peluang bahwa tepat lima item yang rusak terpilih.

Jwb: 0,1008

24. Banyaknya kendaraan yang sampai pada perempatan tertentu dalam interval waktu

[0,t] adalah proses Poisson X(t) dengan mean E[X(t)] = 3t, dimana satuan waktu

adalah menit.

(a) Tentukan peluang bahwa sekurang kurangnya dua kendaraan akan sampai

dalam waktu satu menit.

(b) Didefinisikan peristiwaA = sekurang kurangnya dua kendaraan sampai dalam

menit pertama dan B = paling banyak dua kendaraan sampai dalam menit

kedua. Tentukan peluang bahwa keduanya A dan B terjadi.

Jwb: a. 0,8009 b. 0,1493

25. Diketahui X~POI(µ)

(a) Tentukan Gx(t)

(b) Gunakan Gx(t) untuk menentukan E(X)

(c) Gunakan Gx(t) untuk menentukan E(X(X-1))

26. Pandang X~POI(10)

65

(a) Tentukan P[5<X<15]

(b) Gunakan ketidaksamaan Chebychev untuk menentukan batas bawah

P[5<X<15]

Jwb: a. 3/5 b. 3/5

27. Sebuah dadu bersisi 20 mempunyai masing-masing muka yang ditandai dengan

bilangan bulat yang berbeda dari 1 s.d 20. Diasumsikan bahwa tiap-tiap muka

berkemungkinan sama muncul pada pengguliran tunggal. Hasil tersebut merupakan

variabel random X~DU(20).

(a) Jika dadu digulirkan dua kali, tentukan pdf dari nilai terkecil yang diperoleh,

katakan Y.

(b) Jika dadu digulirkan 3 kali, tentukan peluang bahwa nilai terbesar adalah 3.

(c) Tentukan E(X) dan Var(X)

Jwb.: a. f(y)=(41-2y)/400; y=1,2,...,20 b. 19/8000 c. 21/2 dan 133/4

28. Diketahui X~DU(N). Tentukan MGF dari X (ingatgunakan s+s2+…+s

N=

s1

)s1(s N

−−

untuk s ≠ 1.

29. Diketahui X~UNIF(a,b). Tentukan MGF dari X.

30. Kekuatan logam tertentu adalah variabel random X. Asumsikan bahwa

X~UNIF(50,75)

(a) Sajikan CDF dari X

(b) Tentukan P[60<X<70]

(c) Tentukan E(X)

(d) Tentukan Var(X)

31. Waktu (dlm menit) sampai pelanggan ketiga pada hari tersebut masuk toko adalah

variabel random X~GAM(1,3). Jika toko buka pada pukul 8 pagi, tentukan peluang

bahwa :

(a) Pelanggan ketiga datang antara 8:05 dan 8:10.

(b) Pelanggan ketiga datang setelah 8:10.

(c) Gambar grafik pdf dari X.

66

32. Asumsikan bahwa waktu (dlm jam ) sampai transistor gagal adalah variabel

random X~EXP(100)

(a) Tentukan peluang bahwa X>15

(b) Tentukan peluang bahwa X>110

(c) Setelah diobservasi 95 jam bahwa transistor tersebut masih bekerja. Tentukan

peluang bersyarat bahwa X>110. Bagaimana membandingkan ini terhadap

(a)? jelaskan hasil tersebut.

(d) Berapakah var(X)

33. Pandang X~PAR(θ,κ)

(a) Dapatkan E(X); κ>1

(b) Dapatkan E(X2);κ>2

34. Jika X~PAR(100,3), tentukan E(X) dan Var(X).

35. Jarak (dlm meter) bahwa bom akan menghancurkan dari daerah pusat ledakan

adalah variabel random X~WEI(10,2)

(a) Tentukan peluang bahwa bom akan menghancurkan sekurang kurangnya 20

meter dari pusat ledakan.

(b) Gambar grafik pdf dari X

(c) Tentukan E(X) dan Var(X)

67

Catatan tambahan:

MENENTUKAN EKSPEKTASI DAN VARIANSI SUATU DISTRIBUSI

VARIABEL RANDOM DENGAN CARA BIASA

A. Distribusi Bernoulli

Bentuk pdf-nya :

P [ X = x ] = f(x) =−

=−

lainnya yanguntuk x ,0

1 0, x bila,)1( 1 xx pp

1. Mencari ekspektasi

E(X) ∑=x

xxf )(

∑=

−−=1

0

1)1(

x

xx ppx

= 0. p0 (1 – p)

1 – 0 + 1.p

1 (1 – p)

1 – 1

= 0 + 1.p.1

= p

2. mencari variansi

E(X2) = ∑

=

−−1

0

12)1(

x

xx ppx

= 02.p

0 (1 – p)

1 – 0 + 1

2.p

1 (1 – p)

1 – 1

= 0 + 1.p.1

= p

Var(X) = E(X2) – (E(X))

2

= p – p

2

= p (1 – p)

= pq

B. Distribusi Binomial

Bentuk pdf-nya :

68

P [ X = x ] = f(x)

=−

=

−

lainnya yanguntuk x , 0

n,0,1,...... x ,)1( xnx ppx

n

1. Mencari ekspektasi

E(X) ∑=

−−

=

n

x

xnx ppx

nx

0

)1(

∑=

−

−

−=

n

x

xnxqpx

nn

1 1

1

∑=

−−−

−

−=

n

x

xnxqpx

nn

1

)1()1(

1

1

Misal x – 1 = k

∑−

=

−−

−=

1

0

)1(1n

k

knk qpk

nnp

1)( −+= nqpnp

1)1( −= nnp

np=

2. Mencari variansi

E(X2) ∑

=

−−

=

n

x

xnx ppx

nx

0

2 )1(

[ ]∑=

−−

+−=

n

x

xnx ppx

nxxx

0

)1()1(

)()1()1(2

XEppx

nxx

n

x

xnx +−

−=∑

=

−

∑=

− +

−

−−=

n

x

xnx XEqpx

nnn

2

)(2

2)1(

Misal x – 2 = k

)(2

)1( )2(2

0

2 XEqpk

npnn knk

n

k

+

−−= −−

−

=∑

npqppnn n ++−= − 22 )()1(

npqpn += 22

Var(X) = E(X2) – (E(X))

2

69

= n2p

2 + npq – n

2p

2

= npq

C. Distribusi Hipergeometrik

Bentuk pdf-nya :

P[X=x]=f(x)

=

−

−

=

lainnya yanguntuk x , 0

a)-min(n...., a),-(N-n(0, maks x ,

n

N

xn

aN

x

a

1. Mencari ekspektasi

E(X) ∑=

=n

x

naNxfx0

),,,(

E(X) ∑=

−

−

=n

x

n

N

xn

aN

x

a

x0

∑=

−

−

−

−

−

−

=n

x

n

N

n

N

xn

aN

x

a

x

ax

1

1

1

1

1.

∑=

−

−

−

−

−

−

=n

x

n

N

xn

aN

x

a

N

an

1

1

1

1

1

.

Misal : x – 1 = y → x = 1 , y = 0

x = y + 1 → x = n , y = n – 1

∑−

=

−

−

−−

−−−

−

=1

0

1

1

)1(

)1()1(1

.n

y

n

N

yn

aN

y

a

N

an

N

an .=

70

2. Mencari variansi

E [x(x – 1)] ∑=

−=n

x

naNxfxx0

),,,()1(

∑=

−

−

−=n

x

n

N

xn

aN

x

a

xx0

)1(

∑=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−−

=n

x

n

N

nn

NN

an

aN

x

a

xx

aaxx

2

2

2

)1(

)1(

2

2

)1(

)1()1(

∑=

−

−

−

−

−

−

−

−−=

n

x

n

N

xn

aN

x

a

NN

aann

2

2

2

2

2

)1(

)1()1(

Misal : x – 2 = y → x = 2 , y = 0

x = y + 2 → x = n , y = n – 2 sehingga

∑−

=

−

−

−−

−−−

−

−

−−=

2

0

2

2

)2(

)2()2(2

)1(

)1()1(

n

y

n

N

yn

aN

y

a

NN

aann

)1(

)1()1(

−

−−=

NN

aann

Var(X) = E [x(x -1) + E(X) – (E(X))2 ]

2

22

)1(

)1()1(

N

an

N

an

NN

aann −+

−

−−=

−+

−

−−=

N

an

NN

an

N

an 1

)1(

)1()1(

−

−−−+−−=

)1(

)1()1()1()1(

NN

NnaNNNan

N

an

−

+−−++−−=

)1(

2

NN

nanaNNNNaNnNnaN

N

an

71

−

−−−=

)1(

)()(

NN

aNnaNN

N

an

−

−−=

)1(

)()(.

N

nN

N

aN

N

an

1

..−

−−=

N

nN

N

aN

N

an

D. Distribusi Geometrik

Bentuk pdf-nya :

P [ X = x ] = f(x) =−

=−

lainnya yanguntuk x , 0

1,2,3,.... x ,)1( 1 pp x

1. Mencari ekspektasi

E(X) ∑=

=~

1

)(x

xxf

∑=

−=~

1

1

x

xpqx dengan q = 1 – p

∑=

=~

1x

xq

dq

dp

∑=

=~

0k

kq

dq

dp

( ) 11

−−= qdq

dp

( ) 21

−−= qp

p

1=

2. Mencari variansi

E(X2) ∑

=

=~

1

)(x

xxf

∑=

−=~

1

12

x

xpqx dengan q = 1 – p

∑=

=~

1x

xq

dq

dxp

72

∑=

=~

1x

xqx

dq

dp

∑=

−=~

1

1

x

xqqx

dq

dp

∑=

−=~

1

1

x

xqx

dq

dpq

∑=

=~

1x

xq

dq

d

dq

dpq

∑=

=~

0k

kq

dq

d

dq

dpq

( ) 11

−−= qdq

d

dq

dpq

( ) 21

−−= qdq

dpq

( ){ }312

−−= qpq

( )31

2

q

pq

−=

3

2

p

pq=

2

2

p

q=

Var(X) = E(X2) – (E(X))

2

22

12

pp

q−=

22

2112

p

p

p

q −=

−=

Ternyata dengan cara biasa nilai variansi tidak mudah dicari, karena hasilnya tidak

sesuai. Sehingga distribusi geometrik lebih mudah dicari dengan MGF.

E. Distribusi Negatif Binomial

Bentuk pdf-nya :

P [X = x] = f(x)

+=

−

−

=−

lainnya yanguntuk x , 0

1,....... r r, x ,1

1rxr q

r

xp

73

1. Mencari ekspektasi

E(X) ∑=

=~

)(rx

xfx

∑=

−

−

−=

~

1

1

rx

rxr qpr

xx

misal : x – r = i

∑=

−

−++=

~

0 1

1)(

i

irqpr

irir

∑=

−

−++=

~

0 1

1)(

i

ir qr

irirp

∑=

−

−++

−

−+=

~

0i

iir q1r

1iriq

1r

1irrp

∑ ∑= =

−

−++

−

−+=

~

0i

~

0i

irir q1r

1iripq

1r

1irrp

+

−

−++

−

−+++

+

−

−++

−

−++

−

−+=

...............q1r

12r2q

1r

11r10p

....q1r

12rq

1r

11rq

1r

10rrp

21r

210r

( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )( )

+−+

+−+

+−

++

+−+

+−

+−−

=

.......q!3!1r

!2r3q

!2!1r

!1r2q

!1!1r

!r0p

.........q!2!1r

!1rq

!1!1r

!r1

!1!1r

!1rrp

32r

2r

Dari sini ternyata penulis mengalami kesulitan karena nilai i terus berjalan,

sehingga nilai ekspektasi dan variansi dari distribusi negatif binomial belum bisa

ditemukan dengan cara biasa. Setelah dikaji lebih lanjut, ternyata distribusi ini dapat

dengan mudah dicari menggunakan MGF.

F. Distribusi Poisson

Bentuk pdf-nya :

74

P [X = x] = f(x)

=

µ=

µ−

lainnya yanguntuk x , 0

..0,1,2,.... x ,!x

e x

1. Mencari ekspektasi

E(X) ∑=

µ− µ=

~

0x

x

!x

ex

∑=

µ−

−µ

=~

1x

x

!)1x(e

∑=

µ−

−µ

µ=~

1x

x

!)1x(e

µµ− µ= ee

= µ

2. Mencari variansi

E(X2) ∑

=

µ− µ=

~

0x

x2

!xex

{ }∑=

µ− µ+−=

~

0x

x

!xex)1x(x

∑=

µ− µ+−µ

=~

0x

x

!)2x(e

µ+µ= 2

Var(X) = E(X2) + (E(X))

2

= µ2 + µ - µ

2

= µ

G. Distribusi Uniform Diskrit

Bentuk pdf-nya :

P [X = x] = f(x)

==

lainnya yanguntuk x , 0

N..,1,2,3,.... x ,N

1

1.Mencari ekspektasi

E(X) ∑=

=N

1x N

1x

75

∑=

=N

1x

xN

1

)N.......321(N

1++++=

)N1(2

N

N

1+=

2

1N+=

2. Mencari variansi

E(X2) ∑

=

=N

1x

2

N

1x

∑=

=N

1x

2xN

1

)N.........941(N

1 2++++=

( )( )1N21N6

N

N

1++=

( )( )

6

1N21N ++=

Var(X) = E(X2) – (E(X))

2

4

1N2N

6

)1N2()1N( 2 ++−

++=

++−

++=

24

6N12N6

24

4N12N8 22

24

6N12N64N12N822 −−−++

=

24

2N2 2 −=

12.2

)1N(2 2 −=

12

)1N( 2 −=

76

BAB 4

DISTRIBUSI BERSAMA BEBERAPA

VARIABEL RANDOM

1. PENDAHULUAN

Dalam berbagai aplikasi, banyak kasus yang menggunakan lebih dari satu

variabel random, katakanlah X1,X2, …, Xk yang dapat dinyatakan dalam sebuah

vektor yang berdimensi k. X=(X1,X2,...,Xk) dapat memenuhi asumsi nilai

x=(x1,x2,...xk) dalam ruang Euclid berdimensi k. Nilai x mungkin merupakan hasil

pengukuran k karakter atau merupakan hasil pengukuran satu karakteristik sebanyak

k kali. Selanjutnya x dapat menyajikan hasil k ulangan percobaan variabel tunggal.

Dalam bab ini akan dikaji distribusi variabel random diskrit bersama, distribusi

variabel random kontinu bersama, dan sampel random.

2. DISTRIBUSI BERSAMA BEBERAPA VARIABEL RANDOM DISKRIT

Dalam subbab ini akan dibahas pdf bersama beberapa variabel random diskrit, pdf

marginal variabel random diskrit, dan CDF bersama beberapa variabel random

diskrit.

a. The Joint Probability Density Function (pdfBersama)

Definisi 4.1 :

Pdf bersama dari variabel random diskrit berdimensi k, X=(X1,X2,….,Xk)

didefinisikan menjadi

f(x1,x2,……xk) = P[X1=x1, X2=x2, ……, Xk=xk]

untuk semua nilai yang mungkin x = (x1,x2,…..xk).

Selanjutnya dapat dikembangkan distribusi bersama dari berbagai distribusi variabel

tunggal, misal

(i) Distribusi Hipergeometri

X= (X1,X2,….,Xk)

X~HYP(n,M1,M2,….,Mk,N)

77

f(x) =

+

+

n

N

x

M

x

M....

x

M

x

M

1k

1k

k

k

2

2

1

1

untuk semua 0 ≤xi≤Midimana Mk+1=N- ∑=

k

1iiM dan xk+1= n - ∑

=

k

1iix

(ii) Distribusi Multinomial

X~MULT(n,p1,p2,…,pk)

f(x)= 1k21 x

1k

x

2

x

1

1k21

p...pp!x!...x!x

!n+

++

untuk semua 0≤xi≤n dimana pk+1=1-∑=

k

1iip dan xk+1= n - ∑

=

k

1iix

Teorema 4.1:

Fungsi f(x1,x2,……xk) adalah pdf bersama untuk suatu variabel random bernilai

vektorX= (X1,X2,….,Xk) jika dan hanya jika sifat-sifat berikut dipenuhi :

f(x1,x2,……xk)≥0 untuk semua nilai (x1,x2,……xk)dan

∑ ∑1 kx x

... f(x1,x2,……xk)=1

Contoh 1:

Pandang bahwa X1 dan X 2 adalah variabel random diskrit dengan pdf bersama

f(x1, x 2) = c (x1 + x2 ) x1 = 0, 1, 2 ; x2 = 0, 1, 2

dan fungsi bernilai nol untuk yang lain. Tentukan konstanta c.

Jawab :

∑ ∑ c �x� ' x)� � 1)�)� ⇒ c=1/18.

b. The Marginal Probability Density Function (pdf Marginal)

Definisi 4.2 :

Jika pasangan (X1,X2) dari variabel random diskrit mempunyai pdf bersama f(x1,x2)

maka pdf marginal dari X1 dan X2 adalah

f1(x1)=∑2x

21 )x,x(f dan

78

f2(x2)=∑1x

21 )x,x(f

Contoh 2:

Diketahui X1 dan X2 adalah variabel random diskrit dengan pdf bersama f(x1, x 2)

disajikan oleh tabel berikut :

X1

X2

1 2 3

1 1/12 1/6 0

2 0 1/9 1/5

3 1/18 1/4 2/15

Tentukan pdf marginal dari X1

Jawab:

X1 1 2 3

f(x1) 3/12 14/45 79/180

c. The Joint Cumulative Distribution Function (CDF Bersama)

Definisi 4.3:

Cumulative Distribution Function (CDF) bersama dari k variabel random

X1, X2,…, Xkadalah fungsi yang didefinisikan oleh

F(x1, …, xk) = P[X1≤x1, …, Xk≤xk]

Teorema4.2 :

Fungsi F(x1,x2) adalah CDF bivariat jika dan hanya jika

2221x

xsemuauntuk0)x,(F)x,x(Flim1

=−∞=−∞→

1121x

xsemuauntuk0),x(F)x,x(Flim2

=−∞=−∞→

1),(F)x,x(Flim 21

x

x

2

1

=∞∞=∞→∞→

79

F(b,d) – F(b,c) – F(a,d) + F(a,c) ≥ 0 untuk semua a < b dan c < d

2121210h

210h

xdanxsemuauntuk)x,x(F)hx,x(Flim)x,hx(Flim =+=+++ →→

3. DISTRIBUSI BERSAMA BEBERAPA VARIABEL RANDOM KONTINU

Akan dibahas pdf bersama beberapa variabel random kontinu, pdf marginal variabel

random kontinu, dan CDF bersama beberapa variabel random kontinu.

a. The Joint Probability Density Function (pdf Bersama)

Definisi4.4 :

Sebuah variabel random bernilai vektor berdimensi k, X = (X1, X2, …, Xk) dikatakan

menjadi kontinu jika ada sebuah fungsi f(x1, x2,…,xk), yang disebut the joint

probability density function (pdf bersama), dari X,

Teorema 4.3

Sebarang fungsi f(x1, x2, …, xk) adalah pdf bersama dari variabel random berdimensi

k jika dan hanya jika f(x1, …, xk) ≥ 0 untuk semua x1, …,xkdan

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−=1dx...dx)x,...,x(f... k1k1

b. The Marginal Probability Density Function (pdf Marginal)

Definisi 4.5

Jika pasangan (X1, X2) dari variabel random kontinu mempunyai pdf bersama

f(x1, x2), maka pdf marginal X1dan X2adalah

∫= ∞∞− 12122 dx)x,x(f)x(f

∫= ∞∞− 22111 dx)x,x(f)x(f

Contoh 3 :

Diketahui pdf bersama X1 dan X2 adalah sebagai berikut :

f(x1,x2) = 4x1x2 untuk 0<x1<1 dan 0<x2<1 dan f(x1,x2) = 0 untuk nilai x yang lain

tentukan f1(x1) dan f2(x2)

jawab:

80

f1(x1) = ∫1

0

221 dxxx4

= 4x1 ∫1

0

22dxx

= 2x1 ,0<x1<1

dengan cara yang sama diperoleh

f2(x2)= 2x2

c. The Joint Cumulative Distribution Function (CDF Bersama)

CDF bersamanya dapat ditulis sebagai

∫∫ ∞−∞−= 1k x

k1k1

x

k1 dt...dt)t,...,t(f...)x,...,x(F untuksemuax = (x1, …, xk).

pdf bersama dapat diperoleh dari CDF bersama dengan cara diferensial. Dalam

bentuk khusus,

f(x1, x2, …, xk) = k21

k

x...xx ∂∂∂∂

F(x1, x2, …, xk)

Contoh 4:

Diketahui pdf bersama X1 dan X2 adalah sebagai berikut :

f(x1,x2)= 4x1x2 untuk 0<x1<1 dan 0<x2<1 dan f(x1,x2) = 0 untuk nilai x yang lain.

Tentukan CDF dari (x1,x2)

Jawab :

F(x1,x2) = ∫ ∫∞− ∞−

2 1x x

2121 dtdt)t,t(f

= ∫ ∫2 1x

0

x

0

2121 dtdttt4

= 2

2

2

1 xx 0<x1<1 dan 0<x2<1

f1(x1) = � f�x�, x)�dx) ��� � 4x�x) dx) ��� 2x�x))|�� � 2x1

F1(x1)=� 2t�dt� � x�)�A�

analog

f2(x2) = 2x2

81

F2(x2) = x))

daerahnya dapat digambarkan sebagai berikut

Jadi,

F�x�, x)� �,-.-/ 1 , jika x� % 1 danx) % 1x�)x)), jika 0 2 x� 2 1, 0 2 x) 2 1 x�), jika 0 2 x� 2 1, x) % 1x)), jika 0 2 x) 2 1, x� % 1 0, jikax� 2 0, x) 2 0

&

Contoh 5:

Dari contoh 4, kita akan menentukan peluang bahwa untuk kedua percobaan

eksperimen “ konsentrasi rata-rata kurangdari 0.5 “ peristiwa ini dapat disajikan oleh

<

+5.0

2

XX 21 atau lebih umum dengan [(X1,X2)∈A] dimana

A={(X1,X2)| 5.02

XX 21 <+

}. Selanjutnya

P

<

+5.0

2

XX 21 = P[(X1,X2)∈A]

= 212

A

1 dxdx)x,x(f∫∫

22

21 xx

21x

22x

1

1 0

1

x1

x2

82

= ∫ ∫−1

0

2x1

0

2121 dxdxxx4

= ∫ −1

0

222 dx)x1(x2

= 6

1

daerah A dapat digambarkan sebagai berikut :

Konsep sederhana yang dapat dikembangkan untuk variabel random kontinu

bersama, dengan pendekatan yang sedikit berbeda. Pandang CDF bersama F(X1,X2)

dari pasangan variabel random (X1,X2). CDF dari X1 adalah :

F1(x1) = P[X1≤x1]

= P[X1≤x1, X2< ∞ ]

= F(x1, ∞ )

= ∫ ∫∞−

∞

∞−

1x

12212x,1x dt)dt)t,t(f(

= 1

1x

11 dt)t(f∫∞−

dan pdf yang berkaitan dapat diperoleh f1(x1) = )x(Fdx

d11

1

Definisi 4.6 :

Jika X = (X1, X2, …, Xk) adalah variabel random berdimensi k dengan CDF bersama

F(x1, x2,…,xk) maka CDF marginal dari Xj adalah

0

1

1

A x1

x2

83

Fj(xj) = )x,...,x,...,x(Flim kj1

jiallx i

≠∞→

Contoh 6:

Misal X1, X2 dan X3 kontinu dengan pdf bersama

6 0<x1<x2<x3<1 dan

f(x1,x2,x3) =

0 untuk nilai x yang lain.

f3(x3) = ∫ ∫3x

0

2x

0

21dxdx6

= 6 2

3x

0

2dxx∫

= 3 23x jika 0<x3<1 dan nol untuk x yang lain.

f(x1,x2) = 3

1

2x

dx6∫

= 6(1-x2) jika 0<x1<x2<1 dan nol untuk x yang lain.

F(x1,x2)=� 6�1 � t��)� dt � 6(t - � ) t)�|��) � 6(x) � �) x)))

4. VARIABEL –VARIABEL RANDOM BEBAS

Pandang X1 dan X2 adalah variabel random diskrit dengan peluang bersama seperti

pada tabel berikut:

X2 f1(x1)

0 1 2

X1

0 0.1 0.2 0.1 0.4

1 0.1 0.2 0.1 0.4

2 0.1 0.1 0 0.2

f2(x2) 0.3 0.5 0.2

f(1,1) = 0.2=f1(1)f2(1)

f(1,2) = 0.1≠ f1(1)f2(2)

84

Jika f(x1,x2) = f(x1)f(x2) untuk semua (x1,x2) yang mungkin, selanjutnya dapat

beralasan untuk mengatakan bahwa variabel random X1 dan X2 adalah bebas

P[a≤X1≤b, c≤X2≤d] = ∫ ∫d

c

b

a

2121 dxdx)x,x(f

= ∫ ∫d

c

b

a

212211 dxdx)x(f)x(f

= ∫∫d

c

222

b

a

111 dx)x(fdx)x(f

= P[a≤X1≤b] P[c≤X2≤d]

selanjutnya peristiwa A =[a≤X1≤b] dan B = [c≤X2≤d] adalah saling bebas. Konsep

ini berlaku baik dalam variabel random diskrit maupun kontinu.

Definisi 4.6

Variabel-variabel random bebas (Independen)

Variabel-variabel random X1,X2,….,Xk dikatakan independen jika untuk setiap

ai<bi

P[a1≤X1≤b1, …, ak≤Xk≤bk] = ∏=

≤≤k

1i

iii ]bXa[P

Teorema 4.4

Variabel-variabel random X1,X2,….,Xkadalah independenjika dan hanya jika satu

dari sifat berikut dipenuhi :

F(x1, x2,…,xk) = F1(x1)F2(x2)…Fk(xk)

f(x1, x2,…,xk) = f1(x1)f2(x2)…fk(xk)

dimana Fi(xi) dan fi(xi) masing-masing adalah CDF marginal dan pdf marginal dari

Xi

Teorema 4.5

85

Dua variabel random X1dan X2dengan pdf bersama f(x1, x2) adalah independent jika

dan hanya jika :

(a) Himpunan pendukung, {(x1, x2)| f(x1, x2)>0} adalah perkalian Cartesian, A x B,

dan

(b) pdf bersama dapat difaktorkan ke dalam perkalian fungsi x1dan x2 ,

f(x1, x2)= g(x1)h(x2)

Contoh7 :

Pdf bersama dari pasangan X1 dan X2 adalah

8x1x2 untuk 0<x1<x2<1

f(x1,x2) =

0 untuk x1 dan x2 yang lain

karena 8x1x2 dapat difaktorkan sebagai g(x1)h(x2), sehingga X1 dan X2adalah

independen (bebas).

Contoh8 :

Pdf bersama dari pasangan X1 dan X2 adalah

x1+ x2 untuk 0<x1<1 ; 0<x2<1

f(x1,x2) =

0 untuk x1 dan x2 yang lain

karena x1+ x2 tak dapat difaktorkan sebagai g(x1)h(x2), sehingga X1 dan X2adalah

dependen (bergantung)

5. THE CONDITIONAL PROBABILITY DENSITY FUNCTION ( pdf Bersyarat)

Pembicaraan tentang kebebasan juga terkait pada konsep peluang bersyarat, dan

pemikiran ini bahwa definisi peluang bersyarat dari suatu peristiwa dapat

dikembangkan kepada konsep variabel random bersyarat.

Definisi 4.7

Pdf bersyarat. Jika X1 and X2 adalah variabel random diskrit atau kontinu dengan pdf

bersama f(x1,x2)maka the conditional probability density function ( pdf bersyarat)

dari X2diketahui X1=x1didefinisikan

86

f(x2|x1)= )x(f

)x,x(f

11

21

untuk nilai x1sedemikian hingga f1(x1)>0 dan nol untuk sebaliknya.

Analog untuk the conditional probability density function (pdf bersyarat) dari

X1diketahui X2 = x2 didefinisikan

f(x1|x2)= )x(f

)x,x(f

22

21

untuk nilai x2sedemikian hingga f2(x2)>0 dan nol untuk sebaliknya.

Selanjutnya peluang bersyarat dari suatu peristiwa [a≤X2≤b] diberikan X1= x1

adalah

P[a≤X2≤b|X1= x1] = ∫b

a

212 dx)x|x(f

∫

∫∞

∞−221

b

a

221

dx)x,x(f

dx)x,x(f

∫b

a

212 dx)x|x(f = ∫∞

∞−221

11

dx)x,x(f)x(f

1

= 1)x(f)x(f

111

11

=

Contoh 9 :

mengambil contoh 6, untuk menentukan pdf bersyarat dari x3,

f(x3|x1,x2)= )x,x(f

)x,x,x(f

21

321

= )x1(6

6

2−

= )x1(

1

2−, 0<x1<x2<x3<1

dan fungsi bernilai nol untuk x yang lain.

87

Teorema 4.6:

Jika X1 dan X2 adalah variabel random dengan pdf bersama f(x1, x2 ) dan pdf

marginal f1(x1) dan f2(x2) maka f(x1, x2) = f1(x1)f(x2|x1) = f2(x2)f(x1|x2)

dan jika X1 dan X2 adalah independen makaf(x2|x1) = f2(x2)dan f(x1|x2)= f1(x1)

Contoh 10:

Suatu dataran yang berbentuk segitiga dengan batas tepi selatan 2 mil dan batas

timur 1 mil. Jika daratan tersebut didistribusikan pada permukaan segitiga dengan

sumbu koordinat X dan Y, dan pasangan (X,Y) mempunyai pdf bersama konstan

f(x,y)=1 maka

f1(x) = ∫ =2/x

02

xdy 0<x<2

f2(y) = ∫ −=2

y2

)y1(2dx 0<y<1

f(y|x) = x

2

2/x

1

)x(f

)y,x(f

1

== , 0<y<2

x

dan fungsi bernilai nol untuk x; y yang lain.

berdasarkan gambar di atas pada contoh 10, dapat diperoleh

P[0.1≤Y≤0.7|X=0.5] = ∫7.0

1.0

dy)5.0|y(f

= ∫25.0

1.0

dy5.0

2 karena untuk x=0.5 diperoleh harga y=0.25,

sehingga batas atas nya berubah menjadi 0.25.

1

2

y

x

0

88

= ∫25.0

1.0

dy4

= 0.6

P[0.1≤Y≤0.7] = ∫ ∫7.0

1.0

2

y2

dydx)y,x(f

= ∫7.0

1.0

2 dy)y(f

= ∫ −7.0

1.0

dy)y1(2

= 0.72

6. SAMPEL RANDOM

Definisi 4.9

Sampel random adalah himpunan variabel random X1, …Xn dikatakan menjadi

sampel random berukuran n dari populasi dengan fungsi densitas f(x) jika pdf

bersama mempunyai bentuk

f(x1,x2,…,xn) = f(x1)f(x2) …f(xn)

Contoh 11:

waktu hidup lampu diasumsikan mengikuti distribusi exponential dengan pdf

f(x) = e-x

, 0<x< ∞

dimana waktu hidup diukur dalam tahun. Jika sampel random yang berukuran dua

diperoleh dari populasi, maka kita akan mempunyai

f(x1,x2) = e-(x1,x2)

, 0<xi< ∞

Sekarang kita pandang bahwa total waktu hidup dua lampu x1 + x2≤ 0.5 tahun.

P[x1 + x2≤ 0.5] = 2

5.0

0

2x5.0

0 1)2x1x( dxdxe∫ ∫

− +−

= 1- 0.5e-0.5

-e-0.5

= 0.09

89

SOAL-SOAL LATIHAN BAB 4

1. Lima kartu diambil tanpa pengembalian dari tumpukan 52 kartu. Jika X menyatakan

banyaknya aces, Y banyaknya kings, dan Z banyaknya queens yang diperoleh.

Tentukan peluang masing-masing peristiwa berikut :

a. A = [X = 2]

b. B = [Y = 2]

c. A ∩ B

d. A ∪ B

e. A jika diketahui B

f. [X = x]

g. [X < 2]

h. [X ≥ 2]

i. [X = 2, Y = 2, Z = 1]

j. Tuliskan persamaan pdf bersama dari X, Y, Z.

Jawab: a. 0,0399 b. 0,0399 c. 0,000609 d. 0,0793 e. 0,0153

2. Sebuah dadu sisi enam beraturan digelindingkan 12 kali. Jika X1menyatakan

banyaknya 1’s, X2 menyatakan banyaknya 2’s dan seterusnya, hitung peluang

untuk masing-masing peristiwa berikut :

a. [X1= 2, X2 = 3, X 3 = 1, X4 = 0, X 5 = 4, X 6 = 2]

b. [X1 = X2 = X 3 = X4 = X 5 = X 6]

c. [X1= 1, X2 = 2, X 3 = 3, X4 = 4]

d. Tuliskan persamaan pdf bersama dari X1,X3, dan X 5

Jawab: a. 0,000382 b. 0,00344 c. 0,00153 d. .....

3. Pandang bahwa X1 dan X 2 adalah variabel random diskrit dengan pdf bersama dari

bentuk

f(x1, x 2) = c (x1 + x2 ) x1 = 0, 1, 2 ; x2 = 0, 1, 2

dan fungsi bernilai nol untuk yang lain. Tentukan konstanta c

jawab: 1/18

4. Jika X dan Y adalah variabel random diskrit dengan pdf bersama

!y!x

2c)y,x(f

yx+

= x = 0, 1, 2,………..;y = 0, 1, 2, ……..

dan nol untuk x,y yang lain.

90

a. Tentukan constanta c

b. Tentukan pdf marginal dari X dan Y.

c. Apakah X dan Y independen? Mengapa?

Jawab: a. e-4

b. Keduanya POI(2) c. ya

5. Diketahui X1dan X2 adalah variabel random diskrit dengan pdf bersama f(x1, x 2)

disajikan oleh tabel berikut :

X1

X2

1 2 3

1 1/12 1/6 0

2 0 1/9 1/5

3 1/18 1/4 2/15

a. Tentukan pdf marginal dari X1 dan X2

b. Apakah X1 dan X2 independen ? mengapa?

c. Tentukan P[X1 ≤ 2]

d. Tentukan P[X1 ≤ X2]

e. Tabulasikan pdf bersyarat ( )12 xxf and ( )21 xxf .

Jawab: a. .... b. Tidak c. 101/180 d. 25/36 e. ....

6. Dua kartu diambil secara random tanpa pengembalian dari tumpukan kartu. Misal X

menyatakan banyaknya heart, dan Y menyatakan banyaknya kartu hitam yang

diperoleh.

a. Tulis persamaan untuk pdf bersama f(x, y)

b. Tabulasikan CDF bersama, F(x,y)

c. Tentukan pdf marginal f1(x)dan f2 (y)

d. Apakah X dan Y independen?

e. Tentukan P [ ]1X1Y ==

f. Tentukan P [ ]1XyY ==

g. Tentukan P [ ]xXyY ==

h. Tabulasikan P [ ] 2,1,0z;zYX =≤+

Jawab: a. ... b. ..... c. ...... d. Tidak e. 0,668 f. ... g. .... h. ....

91

7. Pandang fungsi F (x1, x2)didefinisikan sebagai berikut :

0,25(x1 + x2)2 jika 0 ≤ x1 ≤ 1 dan 0 ≤ x2 ≤ 1

F(x1,x2) = 0 jika x1 < 0 atau x2 < 0

1 yang lainnya

Apakah F (x1, x2) CDF bivariat? Hint : cek sifat-sifat teorema 4.

Jawab; tidak

8. Pandang pdf bersama dari waktu hidup a part and a spare tertentu diberikan oleh

f(x, y) = e-(x+y)

0 < x <∞ ,0 <y<∞

dan nol untuk nilai fungsi yang lain. Tentukan masing-masing berikut:

a. Tentukan pdf marginal dari f1 (x) dan f2 (y)

b. CDF bersama, F(x, y)

c. P[X> 2]

d. P[X< Y]

e. P[X + Y > 2]

f. Apakah X dan Y independen.

Jawab: a. keduanya EXP(1) b. F(x,y)=(1-e-x

)(1-e-y

) jika x>0; y>0 c. e-2

d. ½ e. 3e-2

f. ya

9. Pandang X1 dan X2 adalah waktu hidup (dlm hari) dua tikus putih yang dijadikan

subyek untuk tingkat radiasi yang berbeda. Asumsikan bahwa X1 and X2adalah

independen.

X1∼ PAR(1,1) dan X2∼ PAR(1,2)

a. Tentukan pdf bersama dari X1 dan X2

b. Tentukan peluang bahwa tikus kedua hidup lebih lama daripada tikus pertama,

P[X 1< X2]

Jawab: a. f(x1,x2)=2(1+x1)-2

(1+x2)-3

jika x1>0; x2>0 b. 1/3

10. Assumsikan bahwa X dan Y adalah independendengan X ∼ UNIF(-1,1) dan

Y ∼ UNIF (0,1)

Tentukan peluang bahwa akar-akar persamaan h(t) = 0 adalah real, dimana

h(t) = t2 + 2 X t + Y

jawab: 1/3

11. Untuk variabel random X1,X2, dan X 3 pada contoh 4

a. Tentukan pdf marginal f1(x2)

b. Tentukan pdf marginal f2 (x2)

92

c. Tentukan pdf bersama dari pasangan (X1 , X2).

Jawab: a. f(x1)= 3(1-x1)2 b. f(x2)=6x2(1-x2) c. f(x1,x2)=6(1-x2)

12. Pandang pasangan variabel random kontinu X dan Y dengan CDF bersama:

F(x1,x2) =

,./ 0,5 xy�x ' y�, jika 0 2 1 2 1 EFG 0 2 y 2 10,5 x�x ' 1�, jika 0 2 1 2 1 , 1 ≤y 0,5 y �y ' 1�, jika 1 ≤ x, 0 2 H 2 1 1, jika 1≤ x, 1 ≤ y

& Dan fungsi bernilai nol untuk lainnya. Tentukan masing-masing berikut:

a. Pdf bersama, f (x,y)

b. P[X ≤ 0,5, Y ≤ 0,5]

c. P [X < Y]

d. P[X + Y ≤ 0,5]

e. P[X + Y ≤ 1,5]

f. P[X + Y ≤ z] ; 0 < z

13. Diketahui X dan Y variabel random kontinu dengan pdf bersama berbentuk

f(x,y) = k(x + y), 0 ≤ x ≤ y ≤ 1dan nol yang lainnya.

a. Tentukan k sehingga f(x,y) adalah pdf bersama

b. Tentukan pdf marginals, f1(x) dan f2(y)

c. Tentukan CDF bersama, F(x,y)

d. Tentukan pdf bersyarat f(yx)

e. Tentukan pdf bersyarat f(xy)

14. Pandang bahwa X dan Y mempunyai pdf bersama

f(x,y) = 8xy jika 0 ≤ x ≤ y ≤ 1dan nol untuk yang lainnya. Tentukan masing-

masing berikut:

a. CDF bersama F(x,y)

b. f(yx)

c. f(xy)

d. P[ X ≤ 0,5Y = 0,75)

e. P[X ≤ 0,5 Y ≤ 0,75]

15. Pandang bahwa X dan Y mempunyai pdf bersama

93

f(x,y) = (2/3)(x + 1) 0 < x < 1, 0 < y < 1

dan nol untuk yang lainnya. Tentukan masing-masing berikut:

a. f1(x)

b. f2 (y)

c. f (y x)

d. P [X + Y ≤ 1]

e. P[ X < 2Y < 3X]

f. Apakah X dan Y independen?

16. Diketahui X1 , X2, …………X n , menyatakan sampel random dari populasi dengan

pdff(x) = 3 x2 ; 0 < x < 1 , dan nol untuk yang lainnya.

a. Tulis pdf bersama X1 , X2 , ………Xn

b. Tentukan peluang bahwa pengamatan pertama kurang dari 0,5 , P[X1 < 0,5]

c. Tentukan peluang bahwa semua pengamatan kurang dari 0,5.

17. Kerjakan kembali soal no.20 jika sampel random dari populasi Weibull,

X1 ∼ WEI (1,2)

18. Himpunan data berikut terdiri dari pengukuran berat (dlm ons) untuk 60 liga besar

baseball. :

5,09 5,08 5,21 5,17 5,07 5,24 5,12 5,16 5,18 5,19

5,26 5,10 5,28 5,29 5,27 5,09 5,24 5,26 5,17 5,13

5,27 5,26 5,17 5,19 5,28 5,28 5,18 5,27 5,25 5,26

5,26 5,18 5,13 5,08 5,25 5,17 5,09 5,16 5,24 5,23

5,28 5,24 5,23 5,23 5,27 5,22 5,26 5,27 5,24 5,27

5,25 5,28 5,24 5,26 5,24 5,24 5,27 5,26 5,22 5,09

a) Bentuk distribusi frequency, dengan menyortir data ke dalam 5 interval yang

panjangnya 0,05 mulai dari 5,05.

b) Berdasarkan hasil a), grafik histogram frekuensi relatif dimodifikasi.

c) Bentuk tabel yang membandingkan hasil pengamatan dan probabilitas

berdasarkan pada interval tersebut. Buatlah tabel yang membandingkan hasil

observasi dan peluang berdasarkan interval dari a), dan untuk pdf f(x) yang

uniform pada interval [5,05;5,30]

94

19. Pandang distribusi bersama variabel random X1, X2,dan X3 dari contoh 4.

a. Tentukan pdf bersama dari X1dan X2

b. Tentukan pdf bersama dari X2 and X3

c. Tentukan pdf bersyarat X2 diketahui (X1, X3) = (x1, x2)

d. Tentukan pdf bersyarat X1 diketahui (X2, X3) = (x2, x3)

e. Tentukan pdf bersyarat (X1, X2) diketahui X3 = x3

20. Pandang X1 , X 2adalah sampel random berukuran n = 2 dari distribusin diskrit

dengan pdf f(1) = f(3) = 0,2 dan f(2) = 0,6.

a. Tabulasikan nilai-nilai pdf bersama dari X1dan X 2

b. Tabulasikan nilai-nilai CDF bersama X1 dan X2 , F(x1 ,x2)

c. Tentukan P[X1 + X2 ≤ 4]

21. Pandang X dan Y adalah variabel random kontinu dengan pdf bersama

f(x,y)= 4(x - y ) jika 0 < x < 1 dan 0 < y < 1 , dan fungsi bernilai nol untuk x, y

yang lain.

a. Apakah X dan Y independen ? mengapa?

b. Tentukan P[X < Y]

22. Pandang X dan Y adalah variabel random kontinu dengan pdf bersama

f(x,y) = 24xy jika 0 < x, 0 < y, x + y < 1 , dan fungsi bernilai nol untuk x, y yang

lain.

a. Apakah X dan Y independen ? mengapa?

b. Tentukan P[Y > 2x]

c. Tentukan pdf marginal X

23. Diketahui X dan Y variabel random kontinu dengan pdf bersama

f(x,y) = 60 x2y jika 0 < x, 0 < y, x + y < 1, dan fungsi bernilai nol untuk x,y yang

lain.

a) Tentukan pdf marginal X

b) Tentukan pdf bersyarat Y diketahui X = x

c) Tentukan P[Y> 0,1X = 0,5]

95

24. Diketahui X1dan X2 variabel random kontinu dengan pdf bersama

f(x1, x2 ) = 2(x1 + x2), if 0 < x1< x2 < 1 , dandan fungsi bernilai nol untuk x, y yang

lainnya.

a. Tentukan P[X1> 2X2]

b. Tentukan pdf marginal X2

c. Tentukan pdf bersyarat X1diketahui X2= x2

96

BAB 5

SIFAT-SIFAT VARIABEL RANDOM

1. Sifat-sifat Nilai Ekspektasi

2. Korelasi

3. Ekspektasi Bersyarat

4. Soal-soal

BAB 6

FUNGSI VARIABEL RANDOM

1. Teknik CDF

2. Metode transformasi

3. Jumlahan variabel random

4. Metode MGF

5. Soal-soal

BAB 7

STATISTIKA DAN DISTRIBUSI SAMPLING

1. Statistika

2. Distribusi sampling

3. Dstribusi t, F

4. Aproksimasi sampel besar.

5. Soal-soal

97

Daftar Pustaka

Nasution A.H. dan Rambe A., 1984, Teori Statistika, Bhratara Karya Aksara, Jakarta

Bain A.,1995, Introduction to Probability and Mathematical Statistics , McGraw-Hill,

New York.

Rohatgi V.K.,1976, An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics,

John Wiley, New York.

-------- , 1980, Statistical Inference, John Wiley,New York

Roussas, 1982, A First Course in Mathematical Statistics, Addison-Wesley, Reading,

Massachusetts

Dudewich, 1995, Statistika Matematika Modern, Penerbit ITB, Bandung

Miller,I., Miller, M.(2003). John E. Freund’s Mathematical Statistics. New Delhi:

Prentice-Hall

BUKTI-BUKTI TEOREMA

Teorema B.1 : Fungsi f(x) disebut pdf diskrit jika dan hanya jika fungsi f(x) memenuhi

keduanya untuk sebagian besar tak berhingga bilangan riil x1, x2,….:

f(xi) ≥ 0 untuk semua xi dan ∑ =x

ixf 1)( (Bain, 1983:57).

Bukti

f (xi) ≥ 0 terbukti dari kebenaran bahwa nilai dari sebuah pdf diskrit adalah suatu

peluang dan tidak boleh negative. Karena x1, x2,….menggambarkan semua

kemungkinan nilai dari X, peristiwa [ X = x1 ], [ X = x2 ],menyusun suatu

kesempurnaan partisi dari ruang sample sedemikian sehingga

∑ ∑ ====i ix x

i xXPxf 1][1)(

konsekuensinya, terdapat pdf yang harus memenuhi f(xi ) ≥ 0 dan ∑ =x

ixf 1)( dan

98

beberapa fungsi yang memenuhi dua hal tersebut akan menunjuk pada peluang yang

konsisten dengan 0 ≤ P(A) untuk setiap A dimana pada suatu eksperimen, S merupakan

ruang sampel dan A1, A2, A3,……menggambarkan suatu peristiwa. A adalah himpunan

fungsi bernilai riil dengan setiap peristiwa A disebut himpunan fungsi peluang dan P(A)

disebut peluang dari A.

Teorema D.1 : Jika X adalah variabel acak, maka Var (X) = E(X2) - µ

2

(Bain;1983:74).

Bukti

Berdasarkan definisi variansi dalam buku (Bain;1983:73) bahwa variansi dari variabel

random X adalah Var(X) = E[(X - µ)2], maka

Var(X) = E( X2 - 2µX + µ

2 )

= E(X2) - 2µE(X) + µ

2

= E(X2) - 2µ

2 + µ

2

= E(X2) - µ

2

Teorema F.1: Jika Moment Generating Function Mx(t) dari peubah acak ada untuk

suatu T > 0, maka EXn ada (n = 1,2,...) dan

)0()n(

x

0t

n

x

nn M

dt

)(MdEX ==

=

t

(Dudewicz;1995:300)

Bukti

Kita tahu bahwa Mx(t) = E(etx

), dan untuk fungsi ey kita dapat menguraikannya sebagai

deret e y

............!3!2

132

++++=yy

y bila y diganti dengan tx kemudian ambil

ekspektasinya dari kedua ruas, maka kita peroleh (untuk t < T, dan ekspektasinya ada

menurut hipotesis dari teorema).

Mx(t) = E(etx

) = E ( 1 + tx + (tx)2/2! + (tx)

3/3! + ……………)

= E ( 1 + xt + x2 t

2/2! + x

3 t

3/3! + ……………)

= 1 + (EX)t + (EX2)t

2/2! +……….+(EX

n)t

n/n! +……

Bila kedua ruas diturunkan terhadap t dan kemudian dimasukan nilai t = 0 maka

99

diperoleh M'x(0)

0 t

1 -n 32

1) -n (

t)(EXt)(EXEX0

=

+++=

= EX

Teorema I.1 : Banyaknya permutasi r dari n objek adalah nPr)!(

!

rn

n

−= untuk

r = 0, 1, 2, ......., n

(Miller; 2003 : 6)

Bukti

Rumus nPr = n (n - 1). …. . (n - r + 1)

Untuk r = 0 tidak dapat digunakan, karena nP0 1!)0(

!=

−=n

n

Untuk r = 1, 2, ......,n nPr = n (n - 1) (n - 2). ...... . (n - r + 1)

=

=

Teorema J.1 : Banyaknya kombinasi dari n objek yang berbeda yang dipilih r kali

adalah

C(n,r) ! r) -(n !r

!n

r

n=

= (Bain;1983:35).

Bukti

( )!r

n

r

nr=

!r

1)r-....(n2)........-(n1)-(nn +=

( )( )!r-n

!r-n

!r

1)r-....(n2)........-(n1)-(nn +=

r)!-(n!r

!n=

!)(

!)()1.....(.)2()1(

rn

rnrnnnn

−−+−−−

!)(

!

rn

n

−