modul smu3063 stat asas pjj (1)

MODUL PENDIDIKAN JARAK JAUH

UNIVERSITI PENDIDIKAN SULTAN IDRIS

SMU3063

STATISTIK ASAS

FAKULTI SAINS DAN MATEMATIK

II

SMU3063

Statistik Asas

Zulkifley Mohamed

Sazelli Ab. Ghani

2013

III

PRAKATA

Modul ini dibina untuk membantu pelajar dalam proses pembelajaran dan

pembelajaran bagi kursus statistik asas. Modul ini bukan sahaja dapat

melengkapkan pelajar tentang pengetahuan berkait dengan statistik asas,

ianya juga mampu membantu pelajar untuk mengarap pengetahuan statistik

untuk digunakan di peringkat yang lebih tinggi.

IV

ISI KANDUNGAN

1. Sifat-sifat statistik

5

2. Taburan kekerapan dan graf

15

3. Statistik pemerihalan

35

4. Konsep kebarangkalian

61

5. Pembolehubah rawak diskret dan selanjar

84

6. Teknik pensampelan

97

7. Penganggaran parameter populasi

111

8. Analisis korelasi dan regresi 128

Sifat-sifat Statistik

5

UNIT PELAJARAN 1

SIFAT-SIFAT STATISTIK

HASIL PEMBELAJARAN Pada penghujung unit ini, pelajar diharap dapat:

1. Menerangkan maksud statistik, jenis-jenis statistik dan istilah-istilah

asas statistik.

2. Menerangkan dan mentakrifkan semula istilah asas statistik seperti

populasi, sampel, parameter populasi dan statistik sampel.

3. Mengenalpasti beberapa jenis pembolehubah dan sumber data.

PENGENALAN

Statistik digunakan sangat meluas bukan sahaja dalam menganalisis data

tetapi bersangkut dengan memberi makna kepada data yang dianalisis.

Statistik digunakan untuk mengumpul, mengatur, meringkaskan,

menganalisis, dan membuat kesimpulan menarik atau memberi pengertian

kepada data secara saintifik. Statistik pada masa kini bukan hanya berdiri

sendiri tetapi ia juga digabungkan dengan bidang ilmu lain seperti ekonomi

yang menjadi ekonometrik. Gabungan antara biologi dan statistik menjadi

biostatistik manakala gabungan antara psikologi dan statistik menjadi

psikometrik.


6

ISI KANDUNGAN Jenis-jenis statistik

Statistik pada umumnya boleh dibahagikan kepada dua, iaitu statistik

deskriptif dan statistik inferensi.

Statistik deskriptif adalah teknik statistik digunakan bagi merumus dan

menerangkan tentang sesuatu set data. Penjadualan dan persembahan data

adalah contoh statistik deskriptif. Begitu juga perumusan dan penerangan

tentang ukuran kecenderungan memusat dan ukuran serakan termasuk

dalam statistik deskriptif.

Statistik inferensi atau statistik induktif adalah penggunaan statistik dalam

memperihalkan beberapa aspek yang tidak diketahui dalam populasi

berdasarkan sampel. Statistik inferensi digunakan dalam penganggaran,

mengukur selang keyakinan, pengujian hipotesis, analisis regresi dan korelasi

dan lain-lain lagi.

Peranan statistik ditunjukkan pada rajah di bawah:

Istilah asas dalam statistik

Pembolehubah Pembolehubah adalah satu sifat yang menggambarkan orang, tempat, benda,

atau idea. Nilai pembolehubah boleh berbeza dari satu entiti kepada yang

lain. Dengan kata lain, apa sahaja yang berubah-ubah dikenali sebagai

pembolehubah. Ciri-ciri ahli populasi atau sampel yang dikaji dinamakan

pembolehubah. Pembolehubah adalah sesuatu tatatanda yang diberikan

kepada nilai, bilangan, kategori dan ciri-ciri. Antara contoh pembolehubah

adalah ketinggian seseorang dalam meter, berat dalam kilogram, taburan

Kumpul data

Persembah Data

Analisis Data

Interpretasi


7

hujan di sesebuah negeri, kelajuan kenderaan, jantina pelajar dalam

sesebuah kelas, kelulusan akademik, warna bunga dan sebagainya.

Pembolehubah pula boleh dibahagikan mengikut sifatnya, iaitu

pembolehubah kuantitatif dan kualitatif.

Pembolehubah yang dinyatakan dalam bentuk berangka dikenali sebagai

pembolehubah kuantitatif. Manakala pembolehubah yang dinyatakan dalam

kategori yang berbeza mengikut ciri-ciri atau atributnya dikenali sebagai

pembolehubah kualitatif. Antara contoh pembolehubah kuantitatif adalah

ketinggian seseorang dalam meter, berat dalam kilogram, taburan hujan di

sesebuah negeri, kelajuan kenderaan berat dan ketinggian seseorang, jarak

perjalanan, bilangan kesalahan menaip yang dilakukan oleh seorang jurutaip.

Pembolehubah-pembolehubah seperti jantina (sama ada lelaki atau

perempuan), warna (hitam, putih, kuning, merah dan sebagainya), taraf

pendidikan, status perkahwinan dan sebagainya dikenali sebagai

pembolehubah kualitatif.

Pembolehubah kuantitatif diskret dan delanjar

Pembolehubah kuantitatif seterusnya boleh diklasifikasikan kepada

pembolehubah kuantitatif diskret dan pembolehubah kuantitatif selanjar. Jika

sesuatu pembolehubah boleh mengambil sebarang nilai antara nilai minimum

dan nilai maksimum, ia dikenali sebagai pembolehubah kuantitatif selanjar;

sebaliknya, ia dikenali sebagai pembolehubah kuantitatif diskret. Dengan kata

lain pembolehubah yang boleh diukur secara tepat dikenali sebagai

pembolehubah diskret. Manakala pembolehubah selanjar pula ialah

pembolehubah yang diambil dari nilai-nilai sahih. Pembolehubah selanjar

diperoleh dengan cara mengukur dan mungkin terdiri dari nombor pecahan

dan nombor perpuluhan.

Rajah di bawah adalah ringkasan berkenaan dengan kategori pembolehubah

yang boleh membantu anda untuk memahami lebih lanjut tentang


8

pembolehubah kualitatif, pembolehubah kuantitatif diskret dan pembolehubah

kuantitatif selanjar.

Contoh-contoh berikut dapat membantu anda memahami perbezaan antara

pembolehubah selanjar dan diskret:

Contoh Pembolehubah kuantitatif

Diskret Selanjar

Berat pelajar √

Ketinggian bangunan di Kuala Lumpur √

Kelajuan kenderaan di litar perlumbaan √

Bilangan peserta di sebuah seminar √

Bilangan kesalahan menaip yang dilakukan oleh jurutaip

√

Bilangan aduan yang diterima oleh sesebuah organisasi

√

Populasi dan sampel

Populasi adalah keseluruhan unit-unit lengkap yang hendak dikaji, ia

mengandungi kesemua subjek berdasarkan kepentingan sesuatu kajian.

Kajian yang melibatkan kesemua unit-unit dalam populasi lazimnya besar. Ini

berkemungkinan akan menyebabkan kita gagal untuk mendapatkan data

untuk setiap objek yang dikaji. Semakin banyak unit-unit populasi yang

hendak dikaji, semakin besarlah kos yang perlu ditanggung. Untuk mengatasi

masalah ini, sampel digunakan. Perbezaan utama di antara populasi dan

sampel mempunyai kaitan dengan bagaimana pemerhatian diberikan kepada

Pembolehubah

Kuantitatif Kualitatif

Diskret Selanjar


9

sesuatu set data. Populasi merangkumi setiap unsur daripada set

pemerhatian yang boleh dibuat. Manakala sampel terdiri daripada

pemerhatian yang diambil daripada sebahagian populasi.

Parameter dan statistik

Parameter adalah ciri-ciri yang menerangkan populasi. Ukuran pemerihalan

berangka yang dihitung daripada sesebuah populasi dinamakan parameter.

Manakala statistik adalah ciri-ciri yang menerangkan sampel. Ukuran

pemerihalan yang dihitung daripada sesebuah sampel dinamakan statistik.

Perbezaan antara parameter dan statistik adalah statistik menggambarkan

sampel, manakala parameter menggambarkan keseluruhan populasi.

Sebagai contoh min bagi populasi ditanda sebagai µ dan varians bagi

populasi ditanda sebagai 2. Kedua-dua ukuran ini dinamakan parameter

populasi. Manakala min bagi sampel pula ditanda sebagai x dan varians bagi

sampel ditanda sebagai s2. Kedua-dua ukuran ini dinamakan statistik sampel.

Sebagai contoh, rajah di bawah menerangkan tentang parameter dan statistik

min yang dihitung daripada populasi dan sampel.

Populasi

Sampel


10

Sumber-sumber data

Sumber-sumber data boleh dibahagikan kepada dua, iaitu sumber primer

(peringkat pertama) dan sumber sekunder (peringkat kedua). Data mungkin

boleh diperoleh daripada penyelidikan, laporan penyelidikan, laporan tahunan

statistik, laporan tahunan syarikat, laporan terbitan kerajaan, jurnal dan lain-

lain.

Data sumber primer

Data sumber primer adalah data yang belum pernah diterbitkan, iaitu data

yang diperolehi daripada kajian penyelidikan yang baru dan dipungut dari

sumber asalnya, contohnya, dalam pemasaran, ia adalah maklumat yang

diperolehi secara langsung daripada sumber asalnya iaitu melalui kaji selidik,

pemerhatian atau eksperimen. Data yang dipungut oleh penyelidik, badan-

badan kerajaan atau organisasi yang memerlukan data dinamai data primer

atau data peringkat pertama. Data primer belum pernah dikumpul oleh

sesiapa sebelum ini. Kaedah pemerhatian, temuduga berdepan atau melalui

pos boleh digunakan untuk memunggut data primer.

Sampel Rawak

Parameter populasi, min µ.

Statistik sampel, min x .

Populasi

Sampel


11

Data sumber sekunder

Data sekunder atau data peringkat kedua adalah data yang telah pun

dikumpulkan sebelum ini dan mudah didapati daripada sumber-sumber lain.

Data sekunder lebih murah dan lebih cepat diperolehi daripada data primer.

Data sekunder kemungkinan boleh didapati apabila data primer tidak boleh

diperolehi. Data sekunder adalah data yang telah diterbitkan bertujuan untuk

kegunaan orang perseorangan atau sesebuah organisasi. Data sekunder

boleh didapati daripada laporan statistik, laporan penyelidikan, laporan

daripada terbitan kerajaan, jurnal, laporan syarikat dan seumpamanya.


12

PENILAIAN KENDIRI

1. Terdapat dua jenis pembolehubah yang dikenali sebagai:

A. Sampel dan populasi

B. Kualitatif dan kategori

C. Kuantitatif dan kualitatif

2. Antara yang berikut, yang mana merupakan pembolehubah kualitatif?

A. Siaran TV kegemaran remaja

B. Markah ujian IQ

C. Bilangan ternakan di sebuah ladang

3. Subset bagi satu populasi dikenali sebagai:

A. Statistik

B. Sampel

C. Populasi

4. Satu set unit (cth: pelajar) yang berpotensi untuk dikaji dikenali sebagai:

A. Statistik

B. Sampel

C. Populasi

5. Antara berikut, yang manakah pembolehubah kuantitatif selanjar?

A. Jantina seseorang

B. Jarak (KM) antara Tanjong Malim dan Kuala Lumpur

C. Bilangan pemilikan kenderaan sesebuah keluarga


13

6. Satu kajian telah dilakukan terhadap 200 orang pelajar yang dipilih secara

rawak daripada pelajar fakulti Sains dan Matematik, UPSI. Apakah

populasi bagi kajian ini?

A. 200 pelajar yang terpilih

B. Pelajar fakulti Sains dan Matematik

C. Pelajar UPSI

7. Satu kajian telah dilakukan terhadap 50 pelajar yang dipilih secara rawak

daripada fakulti Sains dan Matematik UPSI. Apakah sampel bagi kajian

ini?

A. 50 pelajar yang terpilih

B. Pelajar fakulti Sains dan Matematik

C. Pelajar UPSI

8. 100 batang pen telah dipilih secara rawak daripada simpanan pen yang

dikeluarkan oleh sebuah syarikat pengeluar pen. 100 batang pen ini

dikenali sebagai:

A. Parameter

B. Statistik

C. Sampel

9. 100 batang pen telah dipilih secara rawak daripada simpanan pen yang

dikeluarkan oleh sebuah syarikat pengeluar pen. Simpanan pen yang

dikeluarkan oleh sebuah syarikat pengeluar pen dikenali sebagai:

A. Parameter

B. Populasi

C. Sampel


14

10. Min dan sisihan piawai dikenali sebagai statistik jika ia dihitung daripada:

A. Sampel

B. Populasi

C. Parameter

11. Min berkemungkinan adalah:

A. Parameter sahaja

B. Statistik sahaja

C. Parameter dan statistik

RUJUKAN

Bluman, A.G.(2009). Elementary Statistics: A Step by Step Approach (7th ed). New

York: McGraw Hill.

Johnson, R. & Kuby, P. (2004). Elementary Statistics (9th ed). Boston: Duxbury

Press.

Taburan Kekerapan dan Graf

15

UNIT PELAJARAN 2

TABURAN KEKERAPAN DAN GRAF

HASIL PEMBELAJARAN Pada penghujung unit ini, pelajar diharap dapat:

1. Menentukan taburan kekerapan dan membina taburan kekerapan.

2. Membina dan mempersembahkan data dalam bentuk bergraf yang

melibatkan histogram dan graf ogif, carta bulatan dan carta bar;

3. Membezakan antara persembahan data berbentuk kuantitatif dan

kualitatif.

PENGENALAN Topik ini mendedahkan kepada pelajar tentang teknik-teknik bagi merekod

dan mempersembahkan data pembolehubah kuantitatif dan kualitatif dalam

bentuk yang sistematik dan tersusun. Topik-topik yang akan dibincangkan

merangkumi jadual taburan kekerapan, jadual taburan kekerapan selanjar,

jadual taburan kekerapan melonggok, jadual taburan kekerapan relatif,

histogram, poligon kekerapan, graf kekerapan melonggok (ogif), carta

bulatan, carta palang ringkas, carta palang berganda, carta palang

berkomponen dan carta palang berkomponen berperatusan.


16

ISI KANDUNGAN

Jadual taburan kekerapan

Pelajar boleh menggunakan beberapa kaedah dalam menghimpunkan data

supaya mudah difahami. Antara kaedah yang sering digunakan adalah

taburan kekerapan. Taburan kekerapan boleh dibentuk menjadi jadual. Ini

dikenali sebagai jadual taburan kekerapan. Jadual yang menghimpunkan

data dengan nilai yang sama atau hampir-hampir sama ke dalam satu

kumpulan dinamai jadual taburan kekerapan.

Berikut adalah contoh bagaimana kita boleh membina jadual taburan

kekerapan berdasarkan maklumat yang diberikan.

Contoh 1

Satu kajian telah dilakukan di sebuah kawasan perumahan untuk mengetahui

pemilikan telefon bimbit bagi setiap keluarga. Data pemilikan telefon bimbit

bagi 20 keluarga yang dikaji adalah seperti berikut:

2, 3, 2, 1, 4, 5, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 3, 2, 5, 1, 1

Data di atas boleh dipersembahkan dalam jadual taburan frekuensi dengan

menggunakan langkah-langkah berikut:

(i) Bahagikan nilai pembolehubah (x) kepada selang, kemudian hitung

bilangan nilai bagi setiap selang. Bagi contoh ini, selang diwakili oleh

bilangan keluarga dengan 1, 2, 3, 4, dan 5 telefon bimbit.

(ii) Bina jadual dengan tiga jalur, iaitu nombor bagi selang (x), tally

(bilangan yang dihitung) dan frekuensi.


17

Jadual Taburan Frekuensi

Bilangan Telefon Bimbit (x) Tally Frekuensi (f)

1 |||| 4

2 |||| | 6

3 |||| 5

4 ||| 3

5 || 2

Jumlah 20

Jadual di atas juga dikenali sebagai jadual taburan diskret kerana

pembolehubah bilangan telefon bimbit mengambil nilai diskret. Satu lagi

contoh jadual taburan frekuensi yang mengambil nilai diskret adalah seperti

berikut.

Contoh 2

Markah ujian statistik Frekuensi (f) /Bilangan pelajar

60 5

65 11

70 20

75 25

80 15

85 10

90 4

Jumlah 90

Jadual taburan frekuensi selanjar Jika kita menghimpunkan data berdasarkan pembolehubah selanjar dengan

nilai yang sama atau hampir-hampir sama ke dalam satu kumpulan, maka

jadual ini dikenali sebagai jadual taburan frekuensi selanjar.

Langkah-langkah berikut boleh digunakan bagi membina jadual taburan

frekuensi selanjar jika kita dihidangkan dengan data mentah:


18

(i) Tentukan selang kelas, kebiasaannya dalam gandaan 5, 10, 15,…

(ii) Kirakan bilangan selang kelas, iaitu SK

NRNTBSK

(iii) Hitungkan “tally” dan frekuensi (f).

Contoh 3

Markah yang diperoleh oleh 40 pelajar yang menduduki peperiksan kursus

statistik asas adalah seperti berikut:

51 62 72 80 87 66 73 83 74 65

78 88 53 75 92 76 82 93 77 84

89 65 81 68 75 58 94 79 67 86

69 71 77 98 81 79 64 70 85 71

Data di atas boleh dipersembahkan dalam jadual taburan frekuensi dengan

menggunakan langkah-langkah berikut:

(i) Katakan kita mengambil selang kelas 10.

(ii) Kirakan bilangan selang kelas, iaitu 510

5198

BSK

(iii) Hitungkan tally dan frekuensi (f).

Markah (y) Tally Frekuensi (f)

50-59 ||| 3

60-69 |||| ||| 8

70-79 |||| |||| |||| 14

80-89 |||| |||| | 11

90-99 |||| 4

Jumlah 40


19

Jadual taburan frekuensi melonggok

Jadual taburan frekuensi melonggok boleh dibentuk dengan mengumpulkan

(menjumlahkan) frekuensi pada setiap selang dengan selang sebelumnya.

Jadual taburan frekuensi melonggok dibina bertujuan untuk memperlihatkan

jumlah yang telah terkumpul pada sesuatu selang tertentu. Cuba kita rujuk

contoh 2 dan 3 di atas, dengan kedua-dua contoh ini kita cuba membina

jadual taburan kekerapan melonggok.

Contoh 4

Markah ujian statistik

Frekuensi (f)/ Bilangan pelajar

Frekuensi Melonggok

60 5 5

65 11 5 1116

70 20 16 2036

75 25 36 2561

80 15 61 1576

85 10 76 1086

90 4 86 490

Contoh 5

Markah (y) Tally Frekuensi (f) Frekuensi Melonggok

50-59 ||| 3 3

60-69 |||| ||| 8 3 811

70-79 |||| |||| |||| 14 11 1425

80-89 |||| |||| | 11 25 1136

90-99 |||| 4 36 440


20

Jadual taburan frekuensi relatif

Jadual taburan frekuensi yang dinyatakan dalam nilai nisbah atau peratus

dinamakan jadual taburan frekuensi relatif. Sila rujuk Contoh 2 dan 3 bagi

jadual frekuensi diskret dan jadual frekuensi selanjar di atas. Jadual-jadual

tersebut boleh ditokok menjadi jadual frekuensi relatif seperti berikut:

Contoh 6

Markah Ujian Statistik

Frekuensi (f) /Bilangan Pelajar

Frekuensi Relatif

60 5 5.56100

90

5

65 11 12.22100

90

11

70 20 22.22100

90

20

75 25 27.78100

90

25

80 15 16.67100

90

15

85 10 11.11100

90

10

90 4 444.100

90

4

Jumlah 90 100.00100

90

90

Histogram

Maklumat-maklumat daripada jadual yang telah dibina sebelum ini boleh kita

persembahkan dalam bentuk graf. Histogram boleh dilukis dengan

menggunakan maklumat yang diperoleh daripada jadual frekuensi dan

frekuensi relatif. Histogram juga boleh digunakan untuk menunjukkan bentuk

taburan sesuatu data kuantitatif. Selain daripada itu mod boleh dianggar


21

daripada histogram. Di dalam Contoh 7, kita ditunjukkan bagaimana melukis

histogram daripada jadual taburan frekuensi.

Contoh 7

Kelajuan kenderaan yang dicatatkan di sebuah lebuh raya adalah seperti

berikut:

Kelajuan kenderaan (KM/Jam)

95-99

100-104

105-109

110-114

115-119

120-124

125-129

Bil. Kenderaan/ Frekuensi 2 5 7 11 6 3 1

Histogram:

Bilangan Kenderaan Mengikut Kelajuan (KM/Jam)

0

2

4

6

8

10

12

Kelajuan (KM/Jam)

Bila

nganK

endera

an

Poligon Frekuensi

Graf poligon frekuensi diperolehi dengan melakarkan garis yang

menyambungkan titik tengah setiap palang histogram. Bentuk taburan

sesuatu data dapat dilihat dengan lebih jelas apabila terbinanya poligon

frekuensi. Contoh di bawah dipetik daripada Contoh 7 yang menunjukkan

bagaimana graf poligon frekuensi dibentuk daripada histogram.

94.5 99.5 104.5 109.5 114.5 119.5 124.5 129.5


22

Contoh 8

Kelajuan kenderaan yang dicatatkan di sebuah lebuh raya adalah seperti

berikut:

Kelajuan kenderaan (KM/Jam)

95-99

100-104

105-109

110-114

115-119

120-124

125-129

Bil. Kenderaan/ Frekuensi 2 5 7 11 6 3 1

Poligon:

Bilangan Kenderaan Mengikut Kelajuan (KM/Jam)

0

2

4

6

8

10

12

Kelajuan (KM/Jam)

Bila

nganK

endera

an

Graf frekuensi melonggok (ogif) Jika pelajar melakar graf daripada jadual frekuensi melonggok, graf yang

diperolehi dinamakan ogif. Terdapat dua bentuk ogif yang boleh dibentuk,

iaitu ogif “kurang daripada” dan ogif “lebih daripada”. Bagi ogif “kurang

daripada” paksi-x diwakili oleh had bawah data dan paksi-y mewakili frekuensi

melonggok. Manakala bagi ogif “lebih daripada” paksi-x diwakili oleh had atas

data dan paksi-y mewakili frekuensi melonggok. Daripada ogif yang diperoleh,

pelajar boleh menganggar nilai median. Perhatikan contoh di bawah, iaitu

data berkenaan taburan hujan di bandar Tanjong Malim yang dicatatkan pada

bulan Disember 2012.

94.5 99.5 104.5 109.5 114.5 119.5 124.5 129.5


23

Contoh 9

Taburan hujan (mm) Bilangan Hari/ Frekuensi Frekuensi Melonggok

300 3 3

400 6 3+6=9

500 7 9+7=16

600 8 16+8=24

700 3 24+3=27

800 2 27+2=29

900 1 29+1=30

Jumlah 30

0

5

10

15

20

25

30

35

300 400 500 600 700 800 900

Ke

ke

rap

an

Me

lon

ggo

k

Taburan hujan (mm)

Ogif Kurang Daripada

Satu lagi ogif yang boleh dibina adalah Ogif “lebih daripada”. Iaitu ogif yang

menggunakan frekuensi melonggok “lebih daripada” sebagai paksi-y. Contoh

10 menunjukkan bagaimana Ogif “lebih daripada” dibina.


24

Contoh 10

Taburan Hujan (mm) Bilangan Hari/ Frekuensi Frekuensi Melonggok

300 3 27+3=30

400 6 21+6=27

500 7 14+7=21

600 8 6+8=14

700 3 3+3=6

800 2 1+2=3

900 1 1

Jumlah 30

0

5

10

15

20

25

30

35

300 400 500 600 700 800 900

Ke

ke

rap

an

Me

lon

ggo

k

Taburan hujan (mm)

Ogif Lebih Daripada

Carta bulatan Sebelum ini kita telah mempelajari bagaimana mempersembahkan data

kuantitatif dalam bentuk bergraf. Seterusnya kita akan mempelajari

bagaimana untuk mempersembahkan data kualitatif dalam bentuk bergraf.


25

Data kualitatif boleh dipersembahkan dalam bentuk carta bulatan dan carta

palang.

Carta bulatan sesuai digunakan jika kita ingin membuat perbandingan

beberapa sektor yang dibentuk. dalam sesuatu bulatan, maka carta yang

paling sesuai digunakan adalah carta bulatan. Sebagai contoh jika kita ingin

membanding penduduk bagi negara-negara Malaysia, Thailand dan Filipina.

Ini boleh dilakukan dengan mempersembahkan data penduduk dalam bentuk

carta bulatan. Perbandingan penduduk bagi negara-negara ini dilakukan

dengan membahagikan sektor-sektor mengikut Negara.

Contoh 12

Bilangan program yang ditawarkan di sebuah universiti tempatan.

Negara Bilangan penduduk Sudut sector

Malaysia 29 oo 53.6360195

29

Thailand 70 oo 129.2360195

70

Filipina 96 oo 177.2360445

96

Jumlah 195

Setiap sudut sektor dalam carta bulatan dihitung seperti berikut: Sudut sektor = (Jumlah item / jumlah keseluruhan)


26

Carta Bulatan:

Penduduk di Negara Asean Terpilih

Malaysia 29

Thailand 70

Filipina 96

Carta Palang

Carta yang sering digunakan untuk mempersembahkan data kualitatif adalah

carta palang. Terdapat beberapa jenis carta palang yang boleh digunakan.

Antaranya carta palang ringkas; carta palang berganda; carta palang

berkomponen; dan carta palang berkomponen berperatusan. Carta-carta

palang yang dinyatakan digunakan untuk mempersembahkan data begantung

kepada kesesuaiannya.

Carta palang ringkas digunakan untuk membanding beberapa perkara atau

pembolehubah secara serentak. Setiap komponen diwakili oleh hanya satu

pembolehubah atau perkara sahaja.


27

Contoh 13

Jadual di bawah menunjukkan bilangan pelajar Ijazah Sarjana Muda yang

mendaftar di Fakulti Sains dan Matematik, UPSI mengikut program pada

Semester 1 Sesi 2012/2013.

Pelajar boleh menggunakan carta palang ringkas untuk membentangkan

maklumat seperti Rajah di bawah.

0

50

100

150

200

250

Sarjana MudaPendidikan

(Biologi)


(Fizik)


(Kimia)

Sarjana MudaPendidikan(Matematik)

Sarjana MudaSains

(Matematik)

Bila

nga

n P

ela

jar

Program

Carta Palang: Pendaftaran Pelajar Mengikut Program di FSM, UPSI

Carta palang berganda pula digunakan untuk membanding beberapa perkara

atau pembolehubah dalam sesuatu kelompok. Setiap kelompok diwakili oleh

perkara atau pembolehubah yang sama.

Program Bilangan Pelajar

Sarjana Muda Pendidikan (Biologi) 150

Sarjana Muda Pendidikan (Fizik) 70

Sarjana Muda Pendidikan (Kimia) 80

Sarjana Muda Pendidikan (Matematik)

200

Sarjana Muda Sains (Matematik) 150

Jumlah 650


28

Contoh 14

Jadual di bawah menunjukkan jualan minyak di dua buah stesyen minyak di

sebuah bandar dalam masa sehari.

Carta palang berganda boleh digunakan untuk mempersembahkan data di

atas. Carta palang berganda yang dihasilkan daripada maklumat di atas

adalah seperti berikut:

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

Ron 95 Ron 97 Diesel

Juala

n (

Liter)

Jenis Minyak

Carta Palang Berganda: Jualan Minyak di Stesyen Minyak A dan Stesyen Minyak B

Stesyen Minyak A

Stesyen Minyak B

Carta palang berkomponen mempunyai cara yang sama pembinaannya

seperti carta palang berganda. Perbezaannya hanyalah dari segi bentuk.

Carta palang berkomponen berbentuk bertingkat.

Minyak Jualan (Liter)

Stesyen Minyak A

Stesyen Minyak B

Ron 95 7000 6000

Ron 97 8000 7000

Diesel 4000 7000

Jumlah 19000 20000


29

Contoh 15

Dengan menggunakan data daripada Contoh 14, lakarkan carta palang

berkomponen.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000


Juala

n (

Liter)

Jenis Minyak

Carta Palang Berkomponen: Jualan Minyak di Stesyen Minyak A dan Stesyen Minyak B

Stesyen Minyak B

Stesyen Minyak A

Carta

palang berkomponen berperatusan mempunyai bentuk yang sama dengan

carta palang berkomponen. Walau bagaimanapun nilai palang bagi setiap

komponen dihitung dalam bentuk peratus.

Minyak Jualan (Liter)

Stesyen Minyak A

Stesyen Minyak B

Ron 95 7000 6000

Ron 97 8000 7000

Diesel 4000 7000

Jumlah 19000 20000


30

Contoh 16

Cuba kita perhatikan contoh di bawah. Untuk melakarkan carta palang

berkomponen berperatusan kita perlu menukarkan setiap nilai komponen

kepada nilai peratus.

Minyak Hasil Jualan

Stesyen Minyak A

Peratus Stesyen Minyak B

Peratus

Ron 95 7000 36.8100

19000

7000

6000 30100

20000

6000

Ron 97 8000 42.1100

19000

8000

7000 35100

20000

7000

Diesel 4000 21.1100

19000

4000 7000

3510020000

7000

Jumlah 19000 100 20000 100

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%


Juala

n (

Pera

tus)

Jenis Minyak

Carta Palang Berkomponen Berperatusan: Jualan Minyak di Stesyen Minyak A dan Stesyen Minyak B

Stesyen Minyak B

Stesyen Minyak A


31

PENILAIAN KENDIRI

1. Senaraikan graf dan carta yang sesuai digunakan bagi

mempersembahkan data kuantitatif dan data kualitatif, mengikut jenis data

masing-masing.

2. Bayaran bil letrik (RM) yang dicatatkan oleh sebuah keluarga setiap bulan

dalam tempoh 36 bulan adalah seperti berikut:

191 162 143 150 175 154 167 146 129

170 133 122 185 135 151 108 111 169

148 152 115 102 183 168 124 149 155

198 125 131 174 144 112 157 166 137

Bina jadual taburan frekuensi dengan mengambil nilai 10 sebagai selang

kelas.

3. Sekumpulan pelajar ditanya tentang minuman kegemaran mereka.

Maklum balas adalah seperti di bawah:

Minuman Kegemaran “Tally” Frekuensi

Kopi |||| ||||

Teh |||| |||| ||

Coklat |||| ||||

Bijirin |||| ||

Berkarbonat |||| |||| |||| ||||

(a) Lengkapkan jadual di atas.

(b) Lakarkan carta palang.

(c) Lakarkan carta bulatan.

4. Lakarkan carta yang sesuai bagi data di bawah untuk mengambarkan

rancangan TV kegemaran remaja.


32

Rancangan TV Remaja lelaki Remaja perempuan

Komedi |||| |||| |||| |||| |||| |||| ||

Nyayian |||| |||| ||| |||| |||| ||||

Drama |||| |||| |||| |||| ||

Berita |||| ||| |||| |

Dokumentari |||| |||| |||| |

5. Bilangan pinjaman buku yang dibuat oleh pelajar yang mengikuti program

PhD di sebuah IPTA dalam masa satu semester dicatatkan seperti di

bawah:

Bil. Pinjaman Buku 1 2 3 4 5 6 7

Bil. Pelajar 6 10 12 15 13 11 5

Bina jadual frekuensi melonggok.

6. Pendaftaran pelajar tempatan dan luar negara di sebuah IPTA adalah

seperti di bawah:

Program Bilangan

Tempatan Luar negara

BSc 3000 1000

BEd 5000 1500

MSc 400 200

MEd 600 200

PhD 200 100

Jumlah 9200 3000

Lakarkan carta yang sesuai bagi mempersembahkan maklumat di atas.

7. Jumlah masa yang dihabiskan oleh pelajar bagi menganalisis data projek

tahun akhir adalah seperti berikut:

Masa (Jam) 1-3 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15

Bil. Pelajar 5 10 13 25 8 6 4

Lakar histogram dan poligon frekuensi.


33

8. Pinjaman peribadi yang diluluskan oleh sebuah bank komersial setiap

bulan adalah seperti berikut:

Nilai Pinjaman (RM) Bilangan

20,000-39,999 3

40,000-59,999 5

60,000-79,999 7

80,000-99,999 9

100,000-119,999 11

120,000-139,999 8

140,000-159,999 6

160,000-179,999 4

Jumlah 53

Lakarkan ogif kurang daripada bagi maklumat di atas.

9. Pecahan bajet bagi perbelanjaan operasi bagi sebuah negara dicatatkan

seperti berikut:

Perbelanjaan Operasi Bilangan (‘000,000,000)

Emolumen 50

Perkhidmatan dan bekalan

30

Pemberian dan kenaan bayaran tetap

100

Pembelian asset 10

Lakar carta yang sesuai bagi maklumat di atas.


34

10. Paparan carta di bawah menunjukan bilangan pekerja tempatan dan

asing bagi sebuah negeri.

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

Pertanian Pengilangan Pembinaan Perkhidmatan

Bila

ngan

Carta Palang Berkomponen: Bilangan Pekerja Tempatan dan Asing Mengikut Sektor

Asing

Tempatan

(a) Berapa ramaikah pekerja tempatan yang bekerja di sektor

perkhidmatan?

(b) Berapa ramaikah pekerja asing yang bekerja di sektor pengilangan dan pembinaan?

(c) Dalam sektor apakah pekerja tempatan banyak bekerja?

(d) Berapakah nisbah pekerja tempatan dan asing dalam semua

sektor?

RUJUKAN Bluman, A.G.(2009). Elementary Statistics: A Step by Step Approach (7th ed). New York: McGraw Hill. Johnson, R. & Kuby, P. (2004). Elementary Statistics (9th ed). Boston: Duxbury Press.

Statistik Pemerihalan

35

UNIT PELAJARAN 3

STATISTIK PEMERIHALAN

HASIL PEMBELAJARAN

Pada penghujung unit ini, pelajar diharap dapat:

1. Menguasai konsep kecenderungan memusat iaitu min, median dan

mod.

2. Mengaplikasikan min, median dan mod.

3. Menguasai konsep ukuran serakan iaitu julat, sisihan kuartil, sisihan

piawai dan sukatan kepencongan bagi menerangkan sesuatu data.

PENGENALAN

Ukuran kecenderungan memusat banyak digunakan dalam kehidupan harian.

Purata taburan hujan, purata kelajuan kenderaan di sebuah lebuhraya, purata

perbelanjaan isi rumah dalam sebulan, purata markah kursus statistik yang

diperolehi oleh sekumpulan pelajar dan sebagainya adalah antara contoh

ukuran kecenderungan memusat yang melibatkan min. Purata atau min

merupakan salah satu ukuran kecenderungan memusat. Selain daripada min

kita juga akan mempelajari median dan mod yang juga merupakan ukuran

kecenderungan memusat yang terkandung dalam ukuran memusat yang

akan diterangkan.

Ukuran kecenderungan memusat hanya mengukur satu nilai yang mewakili

sekumpulan data. Jika kita ingin mengetahui lebih lanjut mengenai sesuatu

data, kita bolehlah menghitung sisihan atau serakan data tersebut. Selain

daripada ukuran kecenderungan memusat, pelajar juga akan diterangkan

mengenai ukuran serakan yang melibatkan julat, sisihan kuartil dan sisihan


36

piawai. Seterusnya daripada nilai-nilai ukuran kencenderungan memusat dan

ukuran serakan pelajar akan didedahkan kaitan antara kedua-dua ukuran ini.

ISI KANDUNGAN

Min aritmetik

Satu nilai yang mewakili sekumpulan data dinamakan ukuran memusat. Min

aritmetik adalah salah satu ukuran memusat. Min diperoleh dengan

menjumlahkan keseluruhan data, kemudian dibahagikan dengan bilangan

data yang dijumlahkan tadi. Sebagai contoh, katakan markah yang diperoleh

oleh sepuluh (10) orang pelajar dalam ujian statistik adalah seperti berikut:

5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9.

Nilai min dihitung seperti berikut:

6.710

67

10

9887766655

Bagi menghitung min, pelajar terlebih dahulu perlu mengenal pasti jenis data

kuantitatif. Jenis data yang dimaksudkan adalah data tak terkumpul dan data

terkumpul. Kaedah menghitung min bagi data tak terkumpul dan data

terkumpul ditunjukkan seperti di bawah:

Menghitung min aritmetik daripada data tak terkumpul

Rumus bagi menghitung min aritmetik bagi data tak terkumpul adalah seperti berikut:

n

x

x

n

ii

1

Dengan xi ialah cerapan ke-i; dan n ialah bilangan data.


37

Contoh 1

Markah matematik bagi ujian percubaan PMR yang diperoleh oleh tujuh (7) orang

pelajar di sebuah sekolah adalah seperti berikut:

50, 65, 78, 73, 75, 84, 90

Min dihitung seperti berikut.

73.37

513

7

90827875736550

n

x

x

n

ii

1

Menghitung min aritmetik daripada data terkumpul

Bagi menghitung min yang melibatkan data terkumpul, rumus berikut digunakan:

n

ii

n

iii

f

xf

x

1

1

Dengan xi ialah nilai tengah; dan fi ialah frekuensi.

Contoh 2

Sekumpulan pelajar diberi ujian matematik. Markah yang diperoleh dikumpulkan

dalam bentuk jadual seperti di bawah:

Markah Matematik 55 65 75 80 85 90 95

Bilangan pelajar 5 10 15 20 14 12 6

Nilai min bagi taburan data di atas dihitung dengan menggunakan rumus:

n

ii

n

iii

f

xf

x

1

1


38

xi 55 65 75 80 85 90 95

fi 5 10 15 20 14 12 6

fi xi 275 650 1125 1600 1190 1080 570

79.182

6490

612142015105

5701080119016001125650275

7

1

7

1

ii

iii

f

xf

x

Nilai di atas juga dikenali sebagai min berpemberat. Dengan fi sebagai

pemberat. Seterusnya Contoh 3 dan Contoh 4 dapat memahirkan pelajar

dalam menghitung min bagi data terkumpul.

Contoh 3

Taburan hujan yang dicatatkan pada bulan tertentu di sebuah daerah di

Malaysia adalah seperti berikut:

Taburan Hujan (mm) Bilangan Hari

300 – 349 3

350 – 399 5

400 – 449 7

450 – 499 9

500 – 549 3

550 – 599 2

600 – 649 1

Jumlah 30

Nilai min taburan hujan (mm) dihitung menggunakan rumus yang berikut:

n

ii

n

iii

f

xf

x

1

1

Taburan Hujan (mm) fi xi fi xf

300 – 349 3 324.5 973.5

350 – 399 5 374.5 1872.5


39

400 – 449 7 424.5 2971.5

450 – 499 9 474.5 4270.5

500 – 549 3 524.5 1573.5

550 – 599 2 574.5 1149.0

600 – 649 1 624.5 624.5

Jumlah 30 13435

447.830

13435

n

ii

n

iii

f

xf

x

1

1

Contoh 4

Seorang pegawai statistik ingin menghitung min pendapatan isi rumah bagi

sebuah bandar. Maklumat yang telah dikumpul adalah seperti berikut:

Pendapatan Isi rumah (RM’000) Frekuensi

10 dan kurang daripada 20 5









Rumus yang digunakan ialah:

n

ii

n

iii

f

xf

x

1

1

Pendapatan Isi rumah (RM’000) fi xi fi xf

10 dan kurang daripada 20 5 15 75





40






Jumlah 162 9230

57162

9230

n

ii

n

iii

f

xf

x

1

1 (RM’000)

Median

Selain daripada min, ukuran kecenderungan memusat yang sering digunakan

ialah median. Nilai yang berada di kedudukan tengah bagi sekumpulan data

dinamakan median dengan syarat data tersebut telah disusun sama ada

mengikuti turutan menaik atau menurun.

Menghitung median daripada data tak terkumpul

Bagi menghitung nilai median bagi data tak terkumpul, kita hanya perlu

menyusun data sama ada mengikut turutan menaik atau menurun. Dengan

kata lain tiada rumus khusus bagi menghitung median bagi data tak

terkumpul.

Contoh 5

Wang saku (RM) yang dibawa oleh tujuh (7) pelajar ke sekolah setiap hari


4.00, 2.00, 2.50, 1.50, 3.50, 3.00, 4.50

Bagi menghitung nilai median, pelajar perlu menyusun mengikut turutan

menaik, diberikan seperti berikut:

1.50, 2.00, 2.50, 3.00, 3.50, 4.00, 4.50 (susunan menaik)


41

Maka median ialah 003.~ x

Contoh 6

Katakan wang saku (RM) yang dibawa oleh lapan (8) pelajar semasa ke

sekolah adalah seperti berikut:

4.00, 2.00, 2.50, 1.50, 3.50, 3.00, 4.50, 3.50

1.50, 2.00, 2.50, 3.00, 3.50, 3.50, 4.00, 4.50 (susunan menaik)

Maka median ialah 2532

506

2

503003.

...~

x

Menghitung median daripada data terkumpul

Bagi menghitung median untuk data terkumpul, kita memerlukan maklumat

tentang kekerapan dan kekerapan melonggok. Rumus yang boleh digunakan

bagi menghitung median bagi data terkumpul adalah seperti berikut:

cf

FLx

m

m

f

m

n

1i

i

12~

Dengan:

mL had bawah kelas median;

1mF kekerapan melonggok kelas sebelum kelas median;

mf kekerapan kelas median;

c selang kelas.


42

Contoh 7

Bayaran penggunaan air bagi sebuah keluarga besar di bandar Kuala Lumpur

untuk tempoh dua (2) tahun dicatatkan seperti berikut:

Bayaran Penggunaan Air (RM)

100-149 150-199 200-249 250-299 300-349

Bilangan Bulan 2 4 8 6 4

Median bayaran penggunaan air (RM) dihitung dengan menggunakan rumus

seperti berikut:

cf

FLx

m

m

f

m

n

1i

i

12~

Had bawah 99.5 149.5 199.5 249.5 299.5

if 2 4 8 mf 6 4

iF 2 6

1mF

14 20 24

237508

6125.199~ 12

cf

FLx

m

m

f

m

n

1i

i

Contoh 8

Markah yang diperoleh oleh tiga puluh (30) pelajar Program Matematik yang

mengambil kursus Fizik adalah seperti berikut:

Markah Fizik Bilangan Pelajar






Kelas median


43



Jumlah 30

Median markah Fizik dihitung dengan menggunakan rumus seperti berikut:

cf

FLx

m

m

f

m

n

1i

i

12~

Had bawah if iF

30 3 3

40 4 7

50 5 12 1mF

60 mL 7 mf 19

70 5 24

80 4 28

90 2 30

Jumlah 30

3.64107

121560~ 12

cf

FLx

m

m

f

m

n

1i

i

Menganggar median dengan menggunakan ogif

Salah satu cara untuk mengganggar median adalah dengan menggunakan

Ogif. Median boleh dianggar sama ada dengan menggunakan ogif “kurang

daripada” atau “lebih daripada”.

Contoh 9

Dengan merujuk pada Contoh 8, data adalah seperti berikut:

Markah Fizik Bilangan Pelajar




Kelas median


44





Jumlah 30

Anggaran median markah Fizik dengan menggunakan ogif “kurang daripada”

dilakukan seperti berikut:

Had atas if iF

40 3 3

50 4 7

60 5 12

70 7 19

80 5 24

90 4 28

100 2 30

Jumlah 30

0

5

10

15

20

25

30

35

0 40 50 60 70 80 90 100

Ke

kera

pan M

elo

nggok

Markah Fizik (Had Atas)

Ogif "Kurang daripada"

Nilai median bagi contoh di atas ialah 64.

Anggaran nilai median


45

Mod

Mod ialah nilai yang paling kerap berlaku dalam sesuatu kumpulan data. Mod

juga boleh diperolehi jika data tersebut adalah data kualitatif.

Menghitung mod daripada data tak terkumpul

Bagi data tak terkumpul mod diperoleh dengan memilih cerapan yang paling

kerap berlaku.

Contoh 10

Harga tiket yang dibeli oleh sepuluh orang pengunjung bagi satu perlumbaan

kereta adalah seperti berikut:

200, 150, 100, 50, 100, 300, 100, 50, 300, 200

Nilai yang paling kerap berlaku bagi contoh ini ialah 100. Ini bermaksud nilai

mod bagi harga tiket ialah 100.

Contoh 11

Program yang diminati oleh sepuluh orang pelajar untuk kemasukan ke

universiti adalah seperti berikut:

Matematik, Pengurusan, Perakaunan, Perakaunan, Matematik, Kejuruteraan,

Sains, Matematik, Pengurusan

Maka mod bagi program yang diminati pelajar ialah Matematik.

Contoh 12

Jumlah bulan yang dihabiskan oleh penyelidik-penyelidik di sebuah universiti

untuk melengkapkan projek mereka adalah seperti berikut:

Jumlah Bulan 6 7 8 9 10 11 12

Bilangan Projek 2 5 7 13 4 3 1

Daripada jadual di atas didapati nilai yang mempunyai kekerapan tertinggi

ialah 9 dengan kekerapan sebanyak 13. Maka nilai mod ialah 9 bulan.


46

Menghitung mod daripada data terkumpul

Pelajar boleh menggunakan rumus seperti di bawah dalam menghitung mod

daripada data terkumpul.

cLx m

21

1ˆ

Dengan

mL had bawah kelas mod;

;11 mm ff

;12 mm ff

c selang kelas;

mf kekerapan kelas mod;

1mf kekerapan sebelum kelas mod;

1mf kekerapan selepas kelas mod.

Contoh 13

Jangka masa menunggu pelanggan yang dicatatkan di sebuah bank

komersial sebelum mendapat perkhidmatan di kaunter bank adalah pada hari

Isnin minggu pertama adalah seperti berikut:

Jangka Masa Menunggu (Minit)

0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29

Bilangan Pelanggan 10 15 20 7 6 2

Nilai mod dihitung seperti berikut:

8910

39159

5135

559

21

1

.

..

.

ˆ

cLx m

Mod bagi jangka masa menunggu ialah 10.89 minit.

Kelas mod


47

Menganggar mod daripada histogram

Pelajar juga boleh memperoleh mod dengan menganggar daripada

histogram. Bagi menganggar mod dari histogram, pelajar boleh menggunakan

contoh seperti di bawah.

Contoh 14

Jangka masa menunggu pelanggan yang dicatatkan di sebuah bank

komersial sebelum mendapat perkhidmatan di kaunter bank adalah pada hari

Isnin minggu pertama adalah seperti berikut:

Jangka Masa Menunggu (Minit)

0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29

Bilangan Pelanggan 10 15 20 7 6 2

Anggaran mod daripada histogram dilakukan seperti berikut:

0

5

10

15

20

25

Bilangan P

ela

nggan

Jangka Masa Menunggu

Histogram

Nilai mod yang dianggarkan daripada histogram di atas ialah 11 minit.

Anggaran nilai mod

4.5 9.5 14.5 19.5 24.5 29.5

Kelas mod


48

Kebaikan dan kelemahan min, median dan mod

Kebaikan dan kelemahan min, median dan mod boleh disenaraikan seperti

berikut:

Kebaikan min

1. Min merupakan pengukur yang sesuai digunakan jika kesemua

cerapan perlu diambil kira dalam menghitung ukuran kecenderungan

memusat

2. Min merupakan pengukuran yang baik jika terdapat bilangan data yang

besar

3. Min memberi pemberat yang seragam secara relatif mengikut saiz data

4. Min sering digunakan dalam analisis lanjutan

Kelemahan min

1. Min tidak dapat dianggarkan secara bergraf

2. Min tidak boleh digunakan bagi mengukur data kualitatif

3. Min dipengaruhi oleh nilai melampau

Kebaikan median

1. Median tidak dipengaruhi oleh nilai melampau

2. Median sesuai digunakan dalam ukuran kecenderungan memusat

yang melibatkan data yang berkelas terbuka

3. Median boleh dianggarkan daripada ogif

Kelemahan median

1. Median tidak seuai digunakan sebagai ukuran kecenderungan

memusat jika kesemua nilai termasuk yang terkecil dan terbesar dalam

sesuatu kumpulan data perlu diambil kira

2. Median tidak mengambil kira kesemua cerapan dalam kumpulan data

Kebaikan mod

1. Mod tidak dipengaruhi oleh nilai melampau


49

2. Mod boleh diperolehi jika data melibatkan dalam selang terbuka

3. Mod boleh dianggarkan dari histogram

Kelemahan Mod

1. Mod tidak boleh dihitung jika melibatkan data berbentuk bi-modal

2. Mod tidak mengambil kira kesemua cerapan dalam kumpulan data

Serakan berasaskan julat

Julat merupakan salah satu ukuran serakan yang mengambil perbezaan

antara nilai kecil dan nilai terbesar bagi sesuatu data.

Contoh 15

Markah matematik yang diperoleh oleh sekumpulan sepuluh orang pelajar


85, 92, 70, 68, 60, 65, 75, 62, 73, 64

Julat = 92 – 62=30

Serakan berasaskan sisihan kuartil

Dalam penghitungan julat, pelajar akan berhadapan dengan masalah nilai

ekstrim. Sebagai contoh jika kita diberi data seperti di bawah :

2, 2, 4, 5, 6, 100

Nilai julat bagi data in ialah julat=100-2=98 walaupun kebanyakan data

berada dalam lingkungan 2 dan 6. Untuk mengatasi masalah ini kita gunakan

sisihan kuartil. Sebelum pelajar dapat mengira nilai sisihan kuartil, pelajar

perlu terlebih dahulu mengira kuartil atau penyuku bagi sesuatu data.

Kuartil bagi data tak terkumpul

Untuk mengira kuartil, perhatikan bentuk data yang telah disusun mengikut

jujukan menaik seperti di bawah


50

. . . k1 . . . k2 . . . k3 . . .

25% 25% 25% 25%

k1, k2 dan k3 mewakili kuartil pertama kuratil kedua (median) dan kuartil

ketiga.

Kuartil pertama boleh dihitung dengan mula-mula mencari kedudukan kuartil

tersebut. Rumus yang digunakan adalah seperti berikut:

4

)1(Kedudukan 1

nk

4

)1(3Kedudukan 3

nk

Seterusnya dapatkan nilai kuartil pertama dan ketiga pada kedudukan

tersebut.

Contoh 16

Markah diperolehi oleh 9 orang pelajar dalam satu ujian matematik adalah

seperti berikut:

55, 57,70, 73,74, 77,81, 84,85

5.24

)19(

4

)1(Kedudukan 1

nk

Maka nilai 5.635.657)5770(5.0571 k

5.74

)19(3

4

)1(3Kedudukan 3

nk

Maka nilai 5.825.181)8184(5.0813 k

Sisihan kuartil kita boleh menggunakan rumus seperti berikut:

.5.92

5.635.82

2

13

kk

sk


51

Kuartil bagi data terkumpul

Pelajar boleh menggunakan rumus berikut bagi menghitung nilai kuartil

pertama dan kuartil ketiga bagi data terkumpul:

Rumus kuartil pertama

cf

FLk

k1

k1

f

k1

n

i

i

141

1

dengan k1L had bawah kelas kuartil pertama; 1k1F kekerapan melonggok

kelas sebelum kelas kuartil pertama; k1f kekerapan kelas kuartil pertama; c

selang kelas.

Rumus kuartil ketiga

cf

FLk

k3

k3

f

k3

n

i

i

14

3

3

1

Dengan k3L had bawah kelas kuartil ketiga; 1k3F kekerapan melonggok kelas

sebelum kelas kuartil ketiga; k3f kekerapan kelas kuartil ketiga; c selang

kelas.


52

Contoh 17

Bayaran bulanan sewa premis perniagaan di sebuah kompleks membeli

belah adalah seperti berikut:

Bayaran Bulanan (RM) Bilangan Premis








Jumlah 50

Kuartil pertama, kuartil ketiga dan sisihan kuartil dihitung seperti berikut:

(1) Dapatkan kedudukan kelas 4

1

fk

(2) Dapatkan kedudukan kelas 4

33

fk

(3) Seterusnya pelajar dikehendaki membina jadual kekerapan bagi

menentukan nilai-nilai yang akan digunakan dalam rumus kuartil.

Jadual kerapan adalah seperti berikut:

Had Bawah if iF

999.5 2 2

1999.5 4 6 1k1F

k1L 2999.5 8 k1f 14

3999.5 12 26 1k3F

k3L 4999.5 14 k3f 40

5999.5 8 48

6999.5 2 50

Jumlah 50

Kelas k1

Kelas k3


53

381210008

65.125.2999

14

cf

Fk

k1

k

f

k1

n

1i

i

11 L

5821100014

265.375.4999

14

3n

1i

cf

FLk

k3

k3

f

k33

i

Maka sisihan kuartil ialah 510042

38125821

2.

13 kk

Sisihan piawai

Antara ukuran serakan yang kerap digunakan dalam statistik adalah sisihan

piawai. Pelajar boleh mendapatkan sisihan piawai dengan mengira punca

kuasa dua min perbezaan kuasa dua antara nilai sesuatu cerapan dan min.

Sisihan piawai bagi data tak terkumpul

Rumus berikut digunakan bagi menghitung nilai sisihan piawai data tak

terkumpul.

Sisihan piawai berdasarkan data populasi:

2

1i1i

2

1i

2μ

N

x

N

x

N

xnn

i

n

i

Dengan

xi cerapan ke-i;

N ialah bilangan data.

Sisihan piawai berdasarkan data sampel:


54

1

2

1i

1i

2

1i

2

-n

n

x

x

1-n

xx

s

n

n

i

n

i

Dengan

xi cerapan ke-i;

n ialah bilangan data.

Contoh 18

Berat badan (kg) yang diperoleh daripada sampel yang terdiri daripada enam

orang pelajar adalah seperti berikut:

50, 55, 60, 70, 80, 85

Sisihan piawai boleh dihitung seperti berikut:

02.14

5

6

858070605550858070605550

1

2222222

1

1

2

n

n

x

x

s

2n

in

i

i

Sisihan piawai bagi data terkumpul

Sisihan piawai bagi data terkumpul daripada populasi dihitung dengan

menggunakan rumus berikut:

2

1i

2

1i1i

2

N

xf

N

xf

n

ii n

ii

n

ii

N

xxf

Dengan xi titik tengah ke-i; dan fi ialah kekerapan ke-i.


55

Contoh 19

Catatan masa yang dibuat oleh 20 orang atlet dalam saringan larian 100

meter adalah seperti berikut:

Catatan Masa (Minit) 8 8.5 9.0 9.5 10

Bilangan Atlet 2 5 6 4 3

Sisihan piawai dihitung seperti berikut:

ix 8 8.5 9.0 9.5 10

if 2 5 6 4 3 20

ii xf 16 42.5 54 38 30 180.5

2ii xf 128 361.25 486 361 300 1636.25

6016.03619.020

5.180

20

25.16362

2

NN1i1i

2

6

ii

6

ii xfxf

Jika data yang diperoleh adalah daripada sampel, rumus sisihan piawai di

atas menjadi

11

2

1

1

2

1

2

n

n

xf

xf

n

xxf

s

n

iin

ii

n

ii

i

ii

Contoh 20

Masa (saat) yang diambil oleh seorang telefonis di sebuah syarikat untuk

menjawab panggilan telefon dicatatkan seperti berikut:

Masa(saat) Bilangan Panggilan

10 – 14 3

15 – 19 6

20 – 24 8

25 – 29 7

30 – 34 4

35 – 39 2

Jumlah 30


56

Maklumat di atas diambil daripada sampel 30 panggilan telefon. Sisihan

piawai dihitung seperti berikut:

ix 12 17 22 27 32 37

if 3 6 8 7 4 2 30

ii xf 36 102 176 189 128 74 705

2ii xf 432 1734 3872 5103 4096 2738 17975

97629

30

70517975

1

2

2

1

1

2

.

n

n

xf

xf

σ

n

iiin

i

ii


57

PENILAIAN KENDIRI

1. Dalam ukuran kecenderungan memusat, nyatakan perbezaan antara min,

median dan mod.

2. Dapatkan min, median bagi cerapan berikut:

10, 13, 35, 17, 10, 15, 32.

3. Bilangan komputer riba yang dimiliki penduduk di sebuah bandar

dicatatkan seperti berikut:

Bilangan Komputer Riba 1 2 3 4

Bilangan Keluarga 60 150 50 5

Kira nilai min, median dan mod bilangan komputer riba.

4. Seorang pegawai pemasaran syarikat minyak telah mengumpul maklumat

tentang pembelian petrol di sebuah pinggir bandar dalam masa sehari.

Maklumat yang diperoleh adalah seperti berikut:

Pembelian Petrol (RM) Bilangan Kenderaan

30-<50 20

50-<70 25

70-<90 35

90-<110 40

110-<130 50

130-<150 70

150-<170 50

170-<190 40

190-<210 30

210-<230 50


58

Kira min, median dan mod pembelian petrol.

5. Anggarkan nilai median dan mod dengan menggunakan graf yang sesuai

daripada soalan 4.

6. Ketua sebuah kesatuan kakitangan menjangkakan nilai median dapat membantu

bagi menentukan tuntutan kenaikan gaji bulanan yang dicadangkan terhadap

organisasinya. Maklumat gaji bulanan yang diperoleh adalah seperti berikut:

Gaji Bulanan (RM) Bilangan Kakitangan







Jumlah 45

Kira nilai median gaji bulanan (RM) kakitangan.

7. Harga jualan ikan bawal yang dicatatkan oleh pegawai LKIM di sebuah pasar

runcit dalam masa sebulan adalah seperti berikut:

Harga (RM) Bilangan Hari

10-<12 2

12-<14 4

14-<16 7

16-<18 8

18-<20 6

20-<22 3

Jumlah 30

Kira nilai median jualan ikan kembong.

8. Lebihan potongan besi yang dilakukan oleh sebuah syarikat kejuruteraan dalam

penghasilan cerucuk besi bagi tujuan pembinaan dicatatkan seperti berikut:

Lebihan Potongan Besi (cm) Bilangan Batang Besi

0.95-<1.45 210

1.45-<1.95 160


59

1.95-<2.45 240

2.45-<2.95 120

2.95-<3.45 50

Jumlah 780

Kira nilai min lebihan potongan besi.

9. Hitung nilai julat dan sisihan kuartil bagi data di bawah:

22, 15, 47, 19, 22, 17, 35

10. Bilangan motosikal yang dimiliki penduduk di sebuah bandar dicatatkan seperti

berikut:

Bilangan Motosikal 1 2 3 4 5

Bilangan keluarga 10 150 50 7 3

Kira sisihan piawai.

11. Seorang pegawai pemasaran syarikat minyak telah mengumpul maklumat

tentang pembelian petrol di sebuah pinggir bandar dalam masa sehari. Maklumat

yang diperoleh adalah seperti berikut:

Pembelian Petrol (RM) Bilangan Kenderaan

30-<50 20

50-<70 25

70-<90 35

90-<110 40

110-<130 50

130-<150 70

150-<170 50

170-<190 40

190-<210 30

210-<230 50

Jumlah 410

Kira nilai sisihan kuartil.


60

12. Perbelanjaan bulanan daripada sampel 40 keluarga di sebuah taman perumahan


Perbelanjaan bulanan(RM)

1000- 1099

1100- 1199

1200- 1299

1300- 1399

1400- 1499

1500- 1599

Bilangan Keluarga 1 4 12 7 6 10

Hitung min, mod, sisihan piawai dan tentukan bentuk taburan data ini.

13. Maklumat tentang gaji bulanan yang diperoleh oleh kakitangan awam di sebuah

organisasi adalah seperti berikut:

Gaji Bulanan (RM) Bilangan Kakitangan

1000-<1250 5

1250-<1500 7

1500-<1750 12

1750-<2000 8

2000-<2250 7

2250-<2500 6

Jumlah 45

Tentukan bentuk taburan data di atas.

RUJUKAN


York: McGraw Hill.


Press.

Konsep Kebarangkalian

61

UNIT PELAJARAN 4

KONSEP KEBARANGKALIAN

HASIL PEMBELAJARAN

Pada akhir unit ini, anda diharap dapat:

1. Memahami dan menerangkan konsep asas kebarangkalian.

2. Memahami aksiom kebarangkalian, petua-petua kebarangkalian,

ruang kebarangkalian terhingga dan tak terhingga.

3. Memahami dan mengaplikasi kebarangkalian bersyarat.

PENGENALAN

Peluang, kemungkinan dan kebarangkalian terjadinya sesuatu perkara dan

peristiwa sering kita dengar dalam kehidupan harian. Kadangkala kita lebih

lebih suka menyebutnya sebagai kebarangkalian. Kebarangkalian terjadinya

sesuatu perkara amat menarik untuk kita ketahui kerana dengan berbuat

demikian kita mampu membuat perancangan. Umpamanya jika kita

mengetahui bahawa kemungkinan hari ini akan berlaku kesesakan disebuah

lebuhraya, sudah pasti kita akan mengelak daripada melalui lebuhraya seperti

berikut. Begitu juga, jika seorang penganalisis pemasaran merasakan

sesuatu produk tidak lagi diterima oleh penggunaan, sudah pasti beliau akan

memikirkan produk yang disukai oleh pelanggan.

Contoh yang diberikan ialah beberapa keadaan yang melibatkan

kemungkinan atau dengan istilah matematiknya ia disebut sebagai

kebarangkalian.


62

Kebarangkalian boleh ditakrifkan sebagai kajian secara rawak atau

kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa yang dikaitkan dengan

ujikaji.

Jika kita ambil contoh mudah iaitu melambung duit syiling (ujikaji), kesudahan

ujikaji ini adalah sama ada mendapat bunga (X) atau sen (Y). Ini dikenali

sebagai ruang sampel S{X, Y}.

Maka kebarangkalian untuk mendapatkan bunga, K(X) pada lambungan itu

adalah:

[(Bilangan bunga pada lambungan n(X)]/ [(Jumlah keseluruhan n(S)] atau ia

boleh ditulis sebagai:

.2

1

)(

)()(

Sn

XnXK

Perlu diingat lambungan dilakukan secara adil, di mana peluang untuk

berlakunya sesuatu peristiwa sama ada bunga (X) atau sen (Y) adalah

saksama.

Sebelum ini kita telah ditunjukkan peristiwa dan ujikaji dalam sesuatu

kebarangkalian, seterusnya kita akan diterangkan mengenai ruang sampel.

ISI KANDUNGAN

Ruang sampel

Ruang sampel ialah set yang mengandungi kesudahan yang mungkin dari

sesuatu ujikaji. Simbol yang biasa digunakan bagi ruang sampel ialah S.

Setiap kesudahan dalam sesuatu ruang sampel dikenali sebagai unsur atau

elemen atau titik sampel. Sebagai contoh dalam lambungan sebiji buah dadu,

ruang sampel bagi kesudahan lambungan ini boleh ditulis sebagai:


63

}6,5,4,3,2,1{S .

Ruang sampel juga boleh dinyatakan dalam bentuk pernyataan. Sebagai

contoh:

S { x | x ialah kesudahan mendapat nombor ganjil dalam lambungan sebiji

buah dadu}.

Ruang sampel juga boleh ditulis seperti berikut:

4,2,01 xxS

ialah set nombor ganjil dalam lambungan sebiji buah dadu.

Aksiom kebarangkalian

Ukuran kebarangkalian atau taburan kebarangkalian K bagi ujikaji rawak

adalah nilai nyata ditakrifkan ke atas himpunan peristiwa yang mematuhi

aksiom berikut:

a) Bagi setiap peristiwa .1)(0, XKX

b) 1)( SK di mana S ialah ruang sampel.

c) Jika peristiwa X dan Y adalah saling eksklusif maka,

).()()( YKXKYXK

d) Jika ,...,, 321 XXX adalah jujukan terhingga atau tak terhingga peristiwa

saling eksklusif maka,

...)()()(...)( 321321 XKXKXKXXXK


64

Hukum asas kebarangkalian

Jika X dan Y ialah dua peristiwa dari satu ujikaji rawak dengan ruang sampel

S, maka hukum asas kebarangkaliannya adalah:

a) K(Xc ) 1 – K(X).

Pembuktian

S= X Xc dan X Xc ,

maka dari aksiom (b) dan (d),

1 K(X) + K(Xc), maka

K(Xc) 1 – K(X)

b) K() 0.

Pembuktian

Jika X maka Kc S. Maka

K() 1 - K(S) 1 - 1 0.

c) K(Y Xc) K(Y) – K(X Y).

Pembuktian

X Y = X (Y Xc ), dan dari aksiom (d)

K(X Y) = K(X) + K(Y Xc ), walaubagaimanapun

Y = (X Y) (Y Xc ), dan

K(Y) = K(X Y) + K(Y Xc ), maka

K(Y Xc) K(Y) – K(X Y).

d) Jika X Y, maka K(Y X c) K(Y) – K(X).


65

Pembuktian

Y = X (Y Xc ), daripada aksiom (d),

K(Y) = K(X) + K(Y X c ), maka

K(Y X c) K(Y) – K(X).

e) Jika X Y, maka K(X) K(Y).

Pembuktian

Y = X (Y X c ) dan X (Y X c ) ,

daripada aksiom (d),

K(Y) = K(X) + K(Y X c ) K(X),

disebabkan aksiom (a) maka,

K(Y X c ) 0.

f) Jika X dan Y ialah dua peristiwa, maka

K(X Y) = K(X) + K(Y) – K(X Y )

Pembuktian

(X Y) boleh diwaklili oleh kesatuan bagi peristiwa saling eksklusif,

iaitu,

X Y = X (X c Y), dan dari aksiom (d),

K(X Y) = K(X) + K(X c Y),

walaubagaimanapun,

Y = (X Y) (X c Y) iaitu kesatuan bagi peristiwa saling eksklusif.

Maka

K(Y) = K(X Y) + K(X c Y), dan

K(X c Y) K(Y) – K(X Y). Jika ini digantikan ke dalam (1),

memberikan hasil

K(X Y) = K(X) + K(Y) – K(X Y ).

(1)


66

g) Jika X, Y dan Z ialah tiga peristiwa, maka

K(X Y Z) = K(X) + K(Y) + K(Z) – K(X Y )

- K(X Z ) - K(Y Z ) + K(X Y Z )

secara umumnya untuk sebarang peristiwa

X1 , X2 , X3 , …, Xn petua berikut boleh digunakan:

ni

kji

kji

ji

Ji

i

in XXKXXXKXXKXKXXK

.........1

Pembuktian

K(X Y Z) = K(X) + K(Y)+ K(Z) – K(X Y )

- K(X Z ) - K(Y Z ) + K(X Y Z )

Biar WY Z, maka X W X (Y Z) (X Y) (X Z) dan

K(X W) K(X Y) K(X Z) - K(X Y X Z)

= K(X Y) + K(X Z) - K(X Y Z) maka,

K(X Y Z ) K(X W)

=K(X) + K(W) - K(X W)

=K(X) + K(Y) + K(Z) - K(Y Z)

-[K(X Y) + K(X Z) - K(XY Z)]

K(X Y Z) = K(X) + K(Y)+ K(Z) – K(X Y )

- K(X Z ) - K(Y Z ) + K(X Y Z ).


67

Ruang kebarangkalian terhingga dan tak terhingga

Ruang kebarangkalian diperolehi dengan menguntukkan kebarangkalian

nombor nyata ki bagi setiap titik xi S di mana ruang sampel S { x1, x2 ,…,

xn } yang memenuhi syarat:

a) 0ik

b) 1321 nk...kkk

Jika ruang sampel S { x1, x2 ,…, xn }, maka ia dikenali sebagai ruang sampel

terhingga dan akan menghasilkan ruang kebarangkalian terhingga. Manakala,

jika ruang sampel S { x1, x2 ,…, ∞} maka ia dikenali sebagai ruang sampel

tak terhingga dan akan menghasilkan ruang kebarangkalian tak terhingga.

Ruang kebarangkalian sama terhingga Ruang kebarangkalian sama terhingga adalah ruang kebarangkalian

terhingga dengan setiap titik sampel mempunyai kebarangkalian yang sama.

Jika ruang S mengandungi N titik (unsur), maka setiap titik mempunyai

kebarangkalian .1N

Seterusnya jika peristiwa X mengandungi n titik, maka kebarangkaliannya

adalah:

Nn

Nn 1. atau

.

)(.

.

N

n

XKNdalamunsurbil

ndalamunsurbil

Pembuktian

Katakan nXXX ,...,, 21 mewakili kesudahan dari ruang sampel S dengan

kebarangkalian setiap satu ialah N1 . Jika peristiwa X ialah kesatuan bagi

kesudahan saling eksklusif peristiwa nXXX ,...,, 21 maka,


68

.

...

)(...)()(

)...()(

111

21

21

Nn

NNN

n

n

XKXKXK

XXXKXK

Contoh 1

Jika X dan Y ialah dua peristiwa dengan

31

21 )(,)( YKXK dan .)(

41YXK

Kira nilai bagi:

a) )( cXK e) )( cYXK

b) )( cYK f) )( cc YXK

c) )( YXK g) )( cc YXK

d) )( YXK c

Penyelesaian:

a) 21

211)(1)( XKXK c

b) 32

311)(1)( YKYK c

c)

127

41

31

21

)()()()(

YXKYKXKYXK

d)

121

41

31

)()()(

YXKYKYXK c

e)

41

41

21

)()()(

YXKXKYXK c


69

f)

125

1271

)(1

)()(

YXK

YXKYXK ccc

g)

43

411

)(1

)()(

YXK

YXKYXK ccc

Contoh 2

Katakan ruang sampel S terdiri daripada 3 unsur iaitu S{x,y,z}. Bagi setiap

yang berikut tentukan sama ada ia merupakan fungsi bagi ruang

kebarangkalian S.

a) 103

21

51 )(,)(,)( zKyKxK

b) 72

71

31 )(,)(,)( zKyKxK

c) 76

72

71 )(,)(,)( zKyKxK

d) 0)(,)(,)(87

81 zKyKxK

Penyelesaian:

Dengan menggunakan aksiom (a) dan (b), fungsi bagi ruang kebarangkalian

S adalah seperti berikut:

a) 1)()()(103

21

51 zKyKxK

Merupakan fungsi bagi ruang kebarangkalian S.

b) 2116

72

71

31)()()( zKyKxK

Ia bukan fungsi bagi ruang kebarangkalian S.

c) Disebabkan 71)( xK

Ia bukan fungsi bagi ruang kebarangkalian S.


70

d) 10)()()(87

81 zKyKxK

Merupakan fungsi bagi ruang kebarangkalian S.


71

PENILAIAN KENDIRI

1. Ruang sampel S mengandungi 4 unsur iaitu S{w,x,y,z}. Fungsi berikut

yang manakah merupakan ruang kebarangkalian S.

a) 41

41

41

41 )()()()( zK ,yK,xK,wK

b) 0031

32 )()()()( zK ,yK,xK,wK

c) 31

121

125

61 )()()()( zK ,yK,xK,wK

d) 72

73

71

73 )()()()( zK ,yK,xK,wK

2. Diberi 54c )( YK ,

71)( YXK dan

5523)( YXK , kira

a) )(YK

b) )(XK

c) )( cc YXK

d) )( cc YXK

e) )( cYXK

3. Jika X dan Y ialah dua peristiwa dengan71

51 )(,)( YKXK dan

91)( YXK .

Kira nilai bagi:

a) )( cXK

b) )( cYK

c) )( YXK

d) )( YXK c

e) )( cYXK

f) )( cc YXK

g) )( cc YXK


72

4. Diberi 31)( XK ,

54)( cYK ,

71)( YXK dan

91)( ZYXK

kira

a) )( cc YXK

b) )( ccc ZYXK

c) )( cYXK

5. Kirakan K(X Y Z) jika K(X) 0.3, K(Y) 0.4, K(Z) 0.5 dan ruang

sampel S X Y Z.

6. Senaraikan ruang sampel S bagi ujikaji melambung dadu adil sebanyak

dua kali.

7. Satu ujikaji melambung syilling adil sebanyak tiga kali telah dilakukan.

Katakan X adalah kesudahan mendapat bunga pada lambungan pertama,

Y mendapat sekurang-kurangnya satu bunga dan Z mendapat bunga

pada lambungan terakhir. Dapatkan K(Xc), K(X Y) dan K(X Z).

8. Lokman, Mizah dan Hanim menyertai satu pertandingan berpidato.

Kebarangkalian Lokman memenangi pertandingan berpidato adalah tiga

kali berbanding Hanim. Kebarangkalian Mizah memenangi pertandingan

berpidato adalah dua kali berbanding Lokman. Kira kebarangkalian:

a) Lokman memenangi pertanding berpidato.

b) Mizah atau Hanim memenangi pertandingan berpidato.

Kebarangkalian bersyarat

Dalam situasi tertentu, kebarangkalian terjadinya sesuatu peristiwa berkait

atau bergantung kepada sesuatu peristiwa yang lain. Umpamanya

kemampuan menjawab soalan peperiksaan bergantung kepada persediaan


73

sebelum peperiksaan. Serangan jantung berkait dengan amalan hidup.

Kebarangkalian bersyarat akan dihasilkan apabila kebarangkalian bagi

peristiwa-peristiwa di atas dihitung.

Katakan X Berlaku kemalangan jalanraya , dan Y Berlakunya kehilangan

jiwa

Kebarangkalian bersyarat K(Y | X) bermaksud “berlakunya kehilangan jiwa

diberi berlakunya kemalangan jalanraya”. K(Y | X) boleh ditulis seperti

berikut:

)(

)(

)()(

)()()(

XK

XYK

SnXn

SnXYnXYK

Daripada kebarangkalian bersyarat )(

)()(

XK

YXKXYK

, kita akan perolehi:

K(X Y) K(X ) K(Y | X).

begitu juga jika )(

)()(

YK

XYKYXK

maka:

K(X Y) K(Y ) K(X | Y).

Dalam teorem pendaraban, untuk setiap peristiwa X1, X2 ,…, Xn

K(X1 X2 X3 … Xn)K(X1) K(X2 | X1) P(X3) K(X3 | X1 X2)…

K(Xn | X1 X2 … Xn-1 )

Kebarangkalian bersyarat juga membabitkan beberapa aksiom, iaitu:

a) K(X | Y) 0.

b) K(Y | Y) 1.

c) Jika X1, X2, X3,…, Xr adalah peristiwa saling eksklusif, maka:

K(X1 X2 X3 … X v | Y)K(X1 | Y)+ K(X2 | Y) +…+ K(Xr | Y),


74

untuk semua integer positif r, dan

K(X1 X2 X3 … | Y ) K(X1 | Y) + K(X2 | Y)+…

untuk peristiwa tak terhingga.

Pembuktian

)(

)()(

)()(

YK

...YXYXK

K(Y)

Y...XXKY...XXK

21

2121

disebabkan (X1Y ), (X2 Y),… ialah peristiwa saling eksklusif, maka:

...YXKYXK

...K(Y)

YXK

K(Y)

YXK

K(Y)

...YXKYXKY...XXK

)()(

()(

)()()(

21

21

2121

Contoh 3

Jika kebarangkalian untuk dua peristiwa X dan Y adalah seperti berikut:

,XK5

2)( ,YK

4

1)( dan .)(

2

1YXK

Kira

a) K(X Y)

b) K(X | Y)

c) K(Y | X)

d) K(Xc | Y c)

e) K(Yc | Xc)


75

Penyelesaian:

a) ,)()()()( YXKYKXKYXK maka:

20

3

2

1

4

1

5

2

)()()()( YXKYKXKYXK

b) ./

/

)(

)()(

5

3

41

203

YK

YXKYXK

c) ./

/

)(

)()(

8

3

52

203

XK

YXKXYK

d)

3

2

43

21

1

1

1

/

/

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

YK

YXK

YK

YXK

YK

YXKY|XK

c

c

cccc

e)

18

5

53

61

1

1

1

/

/

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

XK

YXK

XK

YXK

XK

YXKX|YK

c

c

cccc


76

Persitiwa merdeka

Dua peristiwa X dan Y dikatakan merdeka jika kebarangkalian terjadinya

peristiwa X tidak mempengaruhi kebarangkalian terjadinya peristiwa Y. Ia

ditulis sebagai:

K(X Y) K(X) K(Y|X)

K(X) K(Y)

Peristiwa-peristiwa,

a) Xc dan Y

b) X dan Yc

c) Xc dan Yc

merupakan peristiwa merdeka jika X dan Y ialah peristiwa merdeka.

Pembuktian

a)

)()(

)]([)(

)()(

)()(

c

c

cc

XKYK

YXK1YK

YXKYK

XYKYXK

maka Xc dan Y ialah peristiwa merdeka.

b)

)()(

)]([)(

)()()(

c

cc

YKXK

XYK1XK

XYKXKYXK

maka X dan Yc ialah peristiwa merdeka.


77

c)

)()(

)()(

)()()(

)(

)()(

cc

ccc

YKXK

YK1XK1

YXKYKXK1

YXK1

YXKYXK

maka Xc dan Yc ialah peristiwa merdeka.

Jika terdapat tiga peristiwa X, Y dan Z. Peristiwa-peristiwa ini ialah peristiwa

saling merdeka jika dan hanya jika memenuhi dua syarat berikut:

a) K(X Y) K(X) K(Y)

K(X Z) K(X) K(Z)

K(Y Z) K(Y) K(Z)

b) K(X Y Z) K(X) K(Y) K(Z).

Jika terdapat X1, X2, … , Xn peristiwa merdeka, maka:

K(X1 X2 … Xn) K(X1)K(X2) … K(Xn).

Contoh 4

Katakan X dan Y ialah dua peristiwa merdeka dengan 4

1)( XK dan

,5

1)( YK kira

a) K(X Y)

b) K(X Y)

c) K(Xc Yc)


78

d) K(Xc Yc)

e) K(Xc Y)

f) K(Xc Y)

Penyelesaian:

a) 20

1

5

1

4

1 )(()( YX)KKYXK

b) 20

8

5

1

4

1

5

1

4

1 )()()()()( YKXKYKXKYXK

c) 20

12

20

811 )()()( YXKYXKYXK ccc

d) 20

19

20

111 )()()( YXKYXKYXK ccc

e) 20

3

5

1

4

3 )()()()()( YKXK1YKXKYXK cc

f) 20

16

5

1

4

3

5

1

4

3 )()()()()( YKXKYKXKYXK ccc

Gambarajah pokok

Gambarajah pokok amat sesuai digunakan dalam menyelesaikan masalah

kebarangkalian bersyarat. Untuk memahami pengunaan gambarajah pokok

dalam menyelesaikan masalah kebarangkalian, cuba kita perhatikan contoh

berikut.

Contoh 5

Katakan kebarangkalian berlaku kemalangan di sebuah lebuh raya pada hari

tertentu ialah 0.30. Jika kemalangan berlaku, kebarangkalian akan

menyebabkan lebuh raya sesak adalah 0.50. Manakala jika kemalangan tidak

berlaku, kebarangkalian akan lebuh raya sesak 0.05.


79

Lukiskan gambarajah pokok bagi situasi di atas dan kira kebarangkalian

kemalangan tidak berlaku.

Penyelesaian:

Katakan X = peristiwa berlaku kemalangan.

Y = peristiwa berlakunya kesesakan lebuh raya.

Daripada gambarajah pokok, kita telah diperlihatkan dua peristiwa saling

eksklusif iaitu berlaku kemalangan dan tidak berlaku kemalangan.

Kebarangkalian berlakunya kesesakan lebuh raya boleh dihitung seperti

berikut:

185.0

05.070.050.030.0

)()()()()( cc XYKXKXYKXKYK

Manakala kebarangkalian tidak berlaku kemalangan adalah seperti berikut

815.0

95.070.050.030.0

)()()()()( ccccc X|YKXKX|YKXKYK

atau

815.0185.011 )()( YKYK c

K(Xc)= 0.70

K(Yc | X)=0.50

K(Y |X)=0.50

K(X)= 0.30

K(Y | Xc)=0.05

K(Yc | Xc)=0.95


80

Contoh 6

Kebarangkalian seorang perlumba kereta memenangi perlumbaan dalam

setiap perlumbaan ialah 0.20. Perlumba berkenaan telah berlumba dalam tiga

perlumbaan.

a) Lukiskan gambarajah pokok bagi situasi di atas.

b) Kira kebarangkalian perlumba tersebut memenangi dalam kesemua

perlumbaan.

c) Kira kebarangkalian perlumba memenangi dalam perlumbaan kedua

sahaja.

d) Kira kebarangkalian perlumba memenangi dalam perlumbaan dalam

sekurang-kurang dua perlumbaan.

Penyelesaian:

Katakan X = peristiwa perlumba memenangi perlumbaan.

a)

b) K(X X X ) K(X)× K(X) × K(X) (0.20)3 0.008


81

c) K(Xc X Xc ) K(Xc)×K(X)×K(Xc)

=0.80 0.20 0.80=0.128 d) Katakan

K(0) kebarangkalian tiada menangi perlumbaan.

K(1) kebarangkalian menang dalam satu perlumbaan.

K(2) kebarangkalian menang dalam dua perlumbaan.

K(3) kebarangkalian menang dalam tiga perlumbaan.

Di mana berdasarkan hukum kebarangkalian:

K(0)+ K(1) + K(2) + K(3) 1

maka kebarangkalian perlumba memenangi dalam sekurang-kurang dua

perlumbaan adalah seperti berikut:

K(2) + K(3) 1 - K(0) - K(1)

1 - K(Xc Xc Xc ) -

[ K(X Xc Xc )+ K(Xc X Xc )+ K(Xc Xc X )]

1 - (0.80)3 - 3(0.2) (0.80)2

1- 0.896

0.104.


82

PENILAIAN KENDIRI

1. X dan Y ialah dua peristiwa dengan

K(X) 0.35 , K(Y) 0.55 dan K[(X Y)c] 0.15. Kira

a) K(X Y)

b) K(X | Y)

c) K( Xc | Y)

2. X dan Y ialah dua peristiwa dengan

K(X) 5

2 , K(Y) 3

2 dan K[(X Y)] 5

1 . Kira

a) K(X Y)

b) K(Y | X)

c) K( Yc | X)

3. Kebarangkalian pelajar di sebuah universiti dapat menamatkan pengajian

peringkat doktor falsafah ialah 0.55. Jika pelajar berjaya menamatkan

pengajian, kebarangkalian pelajar dapat menamatkan pengajian dalam

masa yang ditetapkan ialah 0.6.

a) Lukis gambarajah pokok bagi situasi ini.

b) Kira kebarangkalian pelajar berjaya menamatkan pengajian dalam

masa yang ditetapkan.

c) Jika pelajar tidak berjaya menamatkan pengajian dalam masa yang

ditetapkan, kira kebarangkalian ia dapat menamatkan pengajian.

4. Seorang calon guru dikehendaki menduduki tiga ujian dan perlu lulus

sekurang-kurangnya dua ujian sebelum boleh menjadi guru. Ujian-ujian

tersebut adalah ujian emosi, ujian ketrampilan diri dan ujian pengucapan

awam. Kebarangkalain calon guru berjaya dalam setiap ujian ialah 0.80.


83

a) Lukis gambarajah pokok bagi situasi ini.

b) Kira kebarangkalian calon guru layak menjadi guru.

5. X dan Y ialah dua peristiwa merdeka dengan

K(X ) 0.2 dan K(Y) 0.5. Kira

a) K(X Y)

b) K(Xc Y)

c) K(X Yc)

d) K(Xc Yc)

e) K[(X Y)c]

6. K(X) 0.2, K(Y) 0.5 dan K(Z) 0.7 ialah kebarangkalian bagi ujikaji

peristiwa-peristiwa merdeka X, Y dan Z. Kira kebarangkalian:

a) Satu peristiwa berlaku.

b) Sekurang-kurangnya dua peristiwa berlaku.

c) Kesemua peristiwa tidak berlaku.

7. X dan Y ialah dua peristiwa merdeka dengan

K(X) =3

1 dan K(X Y) = 5

4 . Kira

a) K(Y)

b) K(X|Y)

c) K(Y|X)

d) K(Yc|X)

RUJUKAN

Seymour, L. & Schiller, J. (1998). Introduction to Probability and Statistics. San

Francisco: McGraw-Hill.

Jusoh, M. (1986). Kebarangkalian dan Statistik. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan

Pustaka.

Pembolehubah Rawak Diskret dan Selanjar

84

UNIT PELAJARAN 5

PEMBOLEHUBAH RAWAK DISKRET DAN SELANJAR

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir topik ini, anda diharap dapat:

1. Memahami apakah yang dikatakan pembolehubah rawak diskret dan

selanjar.

2. Mendapatkan fungsi kebarangkalian sesuatu pembolehubah rawak diskret

dan selanjar.

PENGENALAN

Bahagian ini akan membincangkan fungsi kebarangkalian pembolehubah

rawak diskret dan selanjar. Selain daripada itu fungsi taburan kebarangkalian

pembolehubah rawak diskret dan selanjar turut dibincangkan.

ISI KANDUNGAN

Pembolehubah rawak diskret

Pembolehubah rawak ialah kesudahan bagi ruang sampel S dari satu ujikaji

rawak dengan fungsi X yang memetakan setiap unsur s dalam S bagi

nombor nyata X(s) x. Ia ditulis sebagai {x: X(s) x, s S} yang mana sS

bermaksud unsur s dipunyai oleh set S. Bagi pembolehubah rawak diskret X,

kebarangkalian K(Xx) kebiasaanya ditulis sebagai f(x). f(x) dikenali sebagai

fungsi kebarangkalian.


85

Teorem 1

Sifat-sifat bagi fungsi kebarangkalian f(x) pembolehubah rawak diskret adalah

seperti berikut:

a) f(x) 0, x R.

b) xR f(x) 1.

c) K(XA) xA f(x) , yang mana A R.

Contoh 1

Katakan 15

)(x

xf untuk x1,2,3,4, 5 merupakan fungsi pembolehubah rawak

diskret X. Ia dikatakan fungsi kebarangkalian kerana memenuhi Sifat-sifat

bagi fungsi kebarangkalian f(x) pembolehubah rawak diskret seperti berikut:

(i) f(x) 0, x R iaitu:

015

5)5(,

15

4)4(,

15

3)3(,

15

2)2(,

15

1)1( fffff

(ii) xR f(x) 1 iaitu:

.1)5()4()3()2()1( fffff

(iii) K(XA) xA f(x) , yang mana A R.

Contoh 2

Sebiji buah dadu adil dilambung. Ruang sampel yang terbentuk dalam

lambungan dadu ini adalah seperti berikut:

S{1,2,3,4,5,6}

Kebarangkalian bagi setiap titik sampel pula adalah seperti berikut:

K(1) ;6

1

K(2) ;6

1

K(3) ;6

1


86

K(4) ;6

1

K(5) ;6

1

K(6) .6

1

Contoh 3

Katakan X ialah pembolehubah rawak dalam ruang sampel S mendapat

nombor ganjil dalam lambungan dadu. Maka

Jika sekeping siling dilambung sebanyak dua kali. Ruang sampel yang

terbentuk daripada dua lambungan ini ialah:

S{KK, KB,BB, BK}.

Manakala kebarangkalian bagi setiap titik sampel ialah:

K(KK)

;4

1 K(KB) ;

4

1 K(BB) ;

4

1 K(BK) .

4

1

Katakan X ialah pembolehubah rawak dalam ruang sampel S mendapat

kepala dalam lambungan siling. Maka

X(BB)0, tiada kepala,

X(KB)1, X(BK)1 mendapat satu kepala,

X(KK)2, mendapat dua kepala.

Set imej bagi X ialah X(S){0,1,2}. Maka fungsi kebarangkalian bagi X ialah:

f(0) K(BB) 4

1

f(1) K(KB,BK) 4

1 +

4

1

4

2

f(2) K(KK) 4

1


87

Dalam bentuk jadual, fungsi kebarangkalian bagi X dipersembahkan seperti

berikut:

xi 0 1 2

f(xi) 41

42

41

Dengan menggunakan sifat-sifat yang terdapat dalam fungsi kebarangkalian

kita boleh mendapat nilai pekali atau konstan yang tidak diketahui dalam

dalam sesuatu fungsi kebarangkalian. Cuba kita lihat contoh di bawah:

Contoh 4

Katakan beberapa fungsi kebarangkalian pembolehubah rawak X adalah

seperti berikut:

a) qxxf )( x1, 2, 3.

b) 2)2()( xqxf x 1, 2, 3.

c)

1

4

3)(

x

qxf x0, 1, 2.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan syarat fungsi kebarangkalian pembolehubah rawak X,

xR f(x) 1. Nilai-nilai q di atas diperoleh seperti berikut:

a) 1)3)2)1 ((( fff

.6

1

16

132

q

q

qqq

b) 1)3)2)1 ((( fff


88

.50

1

150

125169

1)23()22()21( 222

q

q

qqq

qqq

c) 1)3)2)1 ((( fff

.37

16

1

1

1)()()(

1637

169

43

2

431

430

43

q

q

qqq

qqq

Fungsi taburan atau taburan melonggok pembolehubah rawak diskret

Fungsi taburan atau taburan melonggok bagi pembolehubah rawak X dengan

F: R R ditakrifkan seperti berikut:

xx

i

i

xfxXKxF - x

Teorem 2

Jika F(x) ialah fungsi taburan pembolehubah rawak X, maka ia perlu

memenuhi syarat-syarat seperti di bawah:

1. F(-)0;

2. F()1;

3. Jika v w, maka F(v) F(w) untuk sebarang nombor nyata v dan w.

Contoh 6

Jika fungsi kebarangkalian pembolehubah rawak X diberi seperti berikut:


89

X 1 2 3 4

f(x) 101

102

103

104

Maka fungsi kebarangkalian melonggok pembolehubah rawak X yang

dihasilkan adalah seperti berikut:

X 1 2 3 4

F(x) 101

103

106

1010

Contoh 7

Tunjukkan fungsi20

42

xxF )( untuk x1, 2, 3, 4 memenuhi syarat fungsi

taburan pembolehubah rawak diskret X.

Penyelesaian:

,)(20

51 F ,)(

20

82 F ,)(

20

133 F .)( 14 F

F(-)0;

F()1;

F(1) F(2) F(3) F(4).

Teorem 3

Bagi pembolehubah rawak diskret X dengan fungsi kebarangkalian dan fungsi

taburan masing-masing f(x) dan F(x), begitu juga ,x.xxx n321 .. maka

)() 11 xFf(x dan i1i1i xFxFxf untuk i 1, 2, 3, …, n.


90

Contoh 8

Katakan fungsi taburan pembolehubah rawak X diberi seperti berikut:

1071

757

6

537

3

317

110

x

x

x

x

x

xF )(

Dapatkan fungsi kebarangkalian X, K(X=5) dan K(3 X 5)

Penyelesaian:

Fungsi kebarangkalian X adalah seperti berikut:

X 1 3 5 7

f(x)

7

1

7

2

7

3

7

1

.)()(7

35

5

5

x

xfXK

.)()()()()(7

5

7

30

7

254353

5

3

fffxfXKx

Fungsi ketumpatan kebarangkalian pembolehubah rawak selanjar

Fungsi pembolehubah rawak selanjar f(x) bagi set nombor nyata R dikenali

sebagai fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak

selanjar X jika dan hanya jika

b

adxxfbXaK .)()(


91

yang mana a b.

Sifat-sifat bagi fungsi ketumpatan kebarangkalian f(x) pembolehubah rawak

selanjar adalah seperti berikut:

a) f(x) 0, x R.

b)

1)dxxf( .

Contoh 9

Tunjukkan fungsi kebarangkalian yang berikut merupakan fungsi ketumpatan

kebarangkalian pembolehubah rawak selanjar X.

sebaliknya

)(

0

1037

1x

xf

Penyelesaian:

Fungsi ketumpatan kebarangkalian f(x) pembolehubah rawak selanjar di atas

mempunyai sifat-sifat berikut:

a) f(x) 0, x R.

b)

1dxxf )( iaitu:

.110

371

10

3 71 xdx

maka pembolehubah rawak selanjar X merupakan fungsi ketumpatan

kebarangkalian.

Contoh 10

Fungsi ketumpatan kebarangkalian f(x) pembolehubah rawak selanjar X

diberi sebagai:


92

sebaliknya0

31)(

xqxxf

dapatkan nilai q dan K(X2)

Penyelesaian:

12

8

22

9

2

3

1

23

1

qqqx

qdxqx

maka .4

1q

.)2(85

84

89

3

28x

3

2 41 2

dxxXK

Fungsi taburan kebarangkalian pembolehubah rawak selanjar

Bagi pembolehubah rawak selanjar X, fungsi taburan kebarangkalian atau

taburan melonggok F(x) ditakrifkan sebagai:

x

f(x)dxF(x) - x

Syarat-syarat bagi fungsi taburan kebarangkalian pembolehubah rawak X

adalah seperti di bawah:

a) F(-)0;

b) F()1;

c) Jika v w, maka F(v) F(w) untuk sebarang nombor nyata v dan w.

Contoh 11

Fungsi ketumpatan kebarangkalian pembolehubah rawak selanjar X diberi

seperti berikut:


93

sebaliknya

30

0

)(

67

xx

xf

Fungsi taburan kebarangkalian F(x) diperolehi dengan mengkamilkan fungsi

ketumpatan kebarangkalian f(x).

Untuk x 0,

x.x

xx

dxxdxxfxF67

2

0

67

2

0 67

22

xxx

-)()(

Fungsi taburan kebarangkalian F(x) ditulis sebagai:

sebaliknya0

302

)(

67

2

xxx

xF

Teorem 4

Bagi pembolehubah rawak selanjar X dengan fungsi ketumpatan

kebarangkalian f(x) dan fungsi taburan kebarangkalian F(x), nilai

kebarangkalian di antara 1x dan 2x ialah:

2121 xFxFxXxK

untuk nilai sahih 1x dan 2x dengan 21 xx ,

dan perlu wujudnya pembezaan bagi dx

xdFxf

)()(


94

PENILAIAN KENDIRI

1. Tunjukkan bahawa

50

22

xxf )( untuk x1,2,3 merupakan fungsi

kebarangkalian pembolehubah rawak diskret dengan menggunakan

syarat-syarat fungsi kebarangkalian pembolehubah rawak diskret.

2. Tunjukkan bahawa x

xf25

12)( untuk x1,2,3,4 merupakan fungsi

kebarangkalian pembolehubah rawak diskret dengan menggunakan

syarat-syarat fungsi kebarangkalian pembolehubah rawak diskret.

3. Fungsi kebarangkalian pembolehubah rawak diskret X diberi sebagai

14

2xxf )( untuk x1,2,3. Dapatkan fungsi taburan kebarangkalian

fungsi kebarangkalian ini.

4. Dapatkan nilai k yang memenuhi syarat fungsi kebarangkalian

pembolehubah rawak X.

a) kxxf )( x 1, 2, 3, 4, 5.

b)

2

1xkxf )( x 2, 3, 4.

c)

33

xkxf )( x 1, 2, 3.

5. Fungsi taburan pembolehubah rawak X diberi seperti berikut:


95

1191

975

4

755

3

535

130

)(

x

x

x

x

x

xF

Dapatkan fungsi kebarangkalian X, K(X=3) dan K(5 X 9)

6. Fungsi ketumpatan kebarangkalian pembolehubah rawak selanjar X

ialah seperti berikut:

sebaliknya0

51)(

xqxxf

Dapatkan:

a) Nilai q,

b) K(X<3).



sebaliknya0

507x2)(

xqxf

Dapatkan:

a) Nilai q,

b) Fungsi taburan kebarangkalian,

c) K(X < 3).



sebaliknya0

30)3()(

2

274 xxx

xf


96

Dapatkan:

a) Fungsi taburan kebarangkalian,

b) K(1<X<2).



sebaliknya0

41)2()( 3

2 x-xxf

Dapatkan:

a) Fungsi taburan kebarangkalian,

b) F(x=2).

RUJUKAN


York: McGraw Hill.


Press.

Teknik Pensampelan

97

UNIT PELAJARAN 6

TEKNIK PENSAMPELAN

HASIL PEMBELAJARAN


1. Menerangkan maksud pensampelan dan mengapa pensampelan

diperlukan

2. Menerangkan teknik-teknik pensampelan rawak dan teknik-teknik

pensampelan bukan rawak dalam pengambilan sampel

3. Menerangkan maksud ralat pensampelan dan ralat bukan

pensampelan atau ralat sistematik

PENGENALAN

Dalam Unit Pelajaran 1, telah dibincang tentang populasi dan sampel. Dalam

melakukan sesuatu kajian atau penyelidikan, proses mendapatkan data yang

tepat daripada populasi atau sampel adalah penting bagi menerbitkan hasil

yang boleh dipercayai serta boleh membuat keputusan yang jitu. Daripada

manakah data ini diperolehi? Data bagi sesuatu penyelidikan itu boleh

diperolehi melalui tinjauan, melakukan eksperimen, meneliti dokumen atau

cara-cara yang lain.

Dalam tinjauan dan melakukan eksperimen, data diperolehi daripada sampel

sesuatu populasi itu atau keseluruhan populasi. Jika tinjauan itu melibatkan

keseluruhan populasi, proses pengumpulan data itu dipanggil banci. Tinjauan

sampel pula melibatkan satu sampel yang dipilih secara rawak atau atidak

rawak. Pemilihan sampel ini melibatkan teknik-teknik pensampelan tertentu.

Teknik Pensampelan

98

Ada tiga sebab utama mengapa teknik pensampelan digunakan dalam

memilih sampel dan bukannya banci apabila melakukan sesuatu kajian

terutamanya yang berkenaan dengan tinjauan dan kajian eksperimen:

a) Dalam kebanyakan kes, saiz populasi adalah agak besar. Oleh itu

penglibatan keseluruhan populasi mungkin mengambil masa yang lama.

Sebaliknya, jika sampel digunakan akan mengambil masa yang lebih singkat.

Menemubual atau menghubungi ratusan atau ribuan orang sudah tentu

memerlukan masa yang panjang. Di akhir proses yang panjang ini, mungkin

hasil dapatan kajian yang diperolehi tidak berguna lagi bagi penyelidik

tersebut.

b) Kos untuk mengumpul maklumat bagi semua ahli dalam sesuatu

populasi itu mungkin melebihi bajet yang terhad bagi kebanyakan kajian. Oleh

sebab ltu, maka mengambil sampel adalah opsyen yang paling sesuatu

dalam menangani masalah bajet yang terhad ini

c) Adakalanya amat mustahil sekali untuk melakukan sesuatu banci atas

sebab-sebab berikut: (1) seseorang penyelidik itu mungkin tidak boleh

mengenal pasti atau mendekati setiap ahli bagi sesuatu populasi. Sebagai

contoh seorang penyelidik itu ingin mengkaji tentang orang-orang yang

merempat di bandaraya Kuala Lumpur mungkin tidak tahu lokasi setiap ahli

bagi golongan tersebut. (2) Kadang-kadang dalam melakukan sesuatu kajian

atau tinjauan mungkin terpaksa menghapuskan item-item yang berharga.

Sebagai contoh untuk mengkaji tentang purata hayat mentol lampu

terpaksalah pengkaji menyalakan mentol-mentol tersebut sehingga malap.

Bolehkah anda fikirkan sebab-sebab lain mengapa teknik pensampelan perlu

digunakan?

Teknik Pensampelan

99

ISI KANDUNGAN

Jenis-jenis sampel

Bergantung kepada cara sampel diambil, sampel-sampel itu mungkin sampel

rawak atau tidak rawak. Sampel rawak adalah sampel di mana

pengambilannya adalah dengan cara setiap ahli dalam populasi mempunyai

peluang yang sama untuk dipilih dalam sampel itu. Sebaliknya sampel bukan

rawak adalah sampel di mana pengambilannya mungkin tidak melibatkan

peluang yang sama bagi setiap ahli dalam populasi itu.

Katakan kita mempunyai satu senarai nama 100 orang pelajar dan kita

berhasrat memilih 10 orang pelajar sahaja. Jika kita menulis setiap satu nama

itu di atas secebis kertas dan kemudian memasukkannya ke dalam satu

kotak, goncangkan kotak itu dan seterusnya mengambil 10 nama daripada

kotak itu, maka ini dipanggil pengambilan sampel secara rawak. Sebaliknya,

jika kita menyenaraikan 100 nama mengikut abjad dan kemudian memilih 10

nama teratas, maka pengambilan sampel ini bukan secara rawak kerana 90

nama yang lain di bawah senarai itu langsung tidak berpeluang untuk dipilih.

Bolehkah anda memberi contoh yang lain bagi pengambilan secara rawak

dan bukan rawak?

Tujuan pengambilan sampel secara rawak adalah untuk membuat kesimpulan

umum bagi sesuatu populasi itu berdasarkan kepada maklumat yang

diperolehi daripada data sampel. Persoalannya sekarang adalah sampel

hanya merupakan sebahagian kecil sampel daripada populasi. Jadi,

bagaimanakah sampel itu boleh dibebankan sebagai asas untuk membuat

satu kesimpulan umum bagi populasi tersebut?

Bagi menjawab soalan di atas, seseorang penyelidik itu mestilah memastikan

dua perkara berikut apabila mengambil secara rawak sesuatu sampel

daripada sesuatu populasi:

Teknik Pensampelan

100

i) Sampel yang dipilih mestilah mewakili ciri-ciri populasi asalnya dengan

jelas. Dalam erti kata yang lain, sampel mestilah semirip mungkin dengan

populasi asal.

ii) Sampel yang dipilih mestilah saksama. Sebagai contoh, jika kita ingin

meninjau pilihan rakyat tentang parti politik mana yang sesuai untuk

mentadbir Malaysia dan kita hanya memilih rakyat yang tinggal di bandar-

bandar besar sahaja, maka ini tidak mencerminkan keseluruhan rakyat

Malaysia kerana tidak ada penglibatan rakyat di luar bandar. Sudah tentu

data yang dperolehi itu pincang dan tidak saksama.

Untuk pengambilan sampel secara rawak, ada empat teknik pensampelan

yang boleh kita gunakan berdasarkan kepada kehendak kajian kita dan

populasi itu sendiri. Empat teknik pensampelan rawak itu adalah

i) Pensampelan rawak mudah

ii) Pensampelan rawak sistematik

iii) Pensampelan rawak berstrata

iv) Pensampelan rawak berkelompok (kluster)

Pensampelan rawak mudah

Pensampelan rawak mudah adalah satu teknik pengambilan sampel yang

dipilih dengan cara setiap ahli dalam sesuatu populasi mempunyai peluang

yang sama untuk dipilih sebagai ahli sampel. Begitu juga bagi setiap

gabungan sampel rawak yang mungkin wujud mempunyai peluang yang

sama untuk dipilih.

Untuk mendapatkan sampel rawak mudah, biasanya kesukaran dihadapi bagi

mencapai keadaan untuk memenuhi syarat bagi mewujudkan peluang yang

Teknik Pensampelan

101

sama. Ahli statistik selalunya menggunakan jadual sifir nombor rawak bagi

mengatasi kesukaran ini. Jadual sifir nombor rawak adalah adalah satu jadual

dengan senarai digit dari 0 sehingga 9 yang diperolehi dengan syarat setiap

digit wujud dengan peluang yang sama. Jadual sifir ini amat berguna apabila

kita hendak membentuk suatu sampel rawak daripada suatu populasi.

Cara yang biasa digunakan dalam menggunakan jadual sifir ini ialah setiap

ahli dalam satu populasi itu diberi satu nombor. Nombor-nombor ini mestilah

berbeza di antara satu sama lain dn digit-digitnya mestilah berturutan.

Kemudian kita pilih nombor daripada jadual sifir nombor rawak.

Ada banyak langkah memilih nombor daripada jadual sifir rawak. Di antaranya

adalah:

a) Memilih baris mana yang perlu dilihat dahulu.

b) Memilih lajur mana untuk mula-mula dibaca.

c) Memilih digit dan padankannya dengan nombor yang diberi kepada ahli

-ahli populasi.

Contoh 1

Katakan kita hendak memdapatkan satu sampel rawak mudah seramai 50

orang pelajar daripada 1000 orang pelajar di sebuah fakulti di UPSI untuk

meninjau sama ada mereka memiliki komputer riba atau sebaliknya.

Mula-mula setiap 1000 orang pelajar dari fakulti itu diberi satu nombor yang

berlainan dari 000 sehingga 999. Kemudian kita pilih mana-mana baris

katakan baris ke-10, dan lajur pertama untuk memulakan bacaan.

Jadi, nombor yang didapati daripada jadual sifir adalah seperti berikut:

32 70 17 72 03 61 66 26 24 71 22 77 88 33 17 78 08 92 73 49…

Teknik Pensampelan

102

Didapati, sampel kita terdiri daripada pelajar-pelajar dengan nombor-nombor

berikut:

327 017 720 361 662 624 712 277 883 317 780 892 734 ...

Nombor-nombor yang wujud lebih daripada sekali, misalnya nombor 327,

akan digunakan sekali sahaja. Nombor-nombor di luar julat ini tidak akan

dipertimbangkan. Proses ini diteruskan sehingga diperolehi saiz sampel yang

dikehendaki (dalam contoh di atas seramai 50 orang pelajar).Kaedah ini

dianggap mudah oleh kerana berpandukan jadual sifir nombor rawak sahaja.

Pensampelan rawak sistematik

Pensampelan rawak sistematik adalah satu teknik pengambilan sampel di

mana ahli-ahli sampel dipilih daripada populasi pada jarak selang yang

teratur. Jika satu populasi bersaiz N dan kita bertujuan untuk memilih satu

sampel bersaiz n, maka saiz jarak selangnya k = N/n. Dengan demikian ada n

selang yang masing-masing mempunyai k ahli dan daripada setiap selang

diambil satu ahli.Pemilihan ahli yang pertama dari selang pertama dilakukan

secara rawak manakala ahli-ahli selanjutnya dipilih pada setiap jarak selang

k.

Satu kelebihan menggunakan teknik pensampelan sistematik adalah kosnya

yang rendah dan tidak memerlukan usaha yang berat untuk mengendalikan

teknik ini. Namun demikian terdapat satu kelemahan dalam menggunakan

teknik ini di mana hanya k ahli populasi yang pertama sahaja yang

mempunyai yang sama untuk dipilih. Selepas pemilihan k ahli populasi yang

pertama ini, ahli-ahli yang lain tidak mempunyai peluang untuk dipilih lagi.

Teknik Pensampelan

103

Contoh 2

Katakan kita hendak menguji kualiti bateri kecil yang dikeluarkan oleh sebuah

kilang. Jadi kita mengambil satu sampel bersaiz 100 daripada 3000 bateri

kecil yang dikeluarkan oleh kilang tersebut setiap hari.

Oleh itu N = 3000 dan n = 100. Maka k = 3000/100 = 30.

Pada mulanya, kita pilih sebiji bateri kecil secara rawak daripada 30 biji bateri

kecil yang pertama dihasilkan. Jika bateri kecil yang terpilih adalah bateri ke-

7, bateri yang seterusnya ialah bateri yang mempunyai selang 30, iaitu ke-37,

ke-67, ke-97, ke-127 dan seterusnya sehinggalah 100 bateri kecil diperolehi.

Pensampelan rawak berstrata

Pensampelan rawak berstrata adalah satu teknik pengambilan sampel di

mana populasi dibahagikan kepada beberapa strata atau lapisan mengikut

syarat-syarat yang ditetapkan oleh penyelidik seperti umur, etnik, pekerjaan

dan sebagainya. Jika sampel rawak dipilh daripada setiap stratum ini, maka

sampel yang terkumpul adalah sampel yang berstrata. Untuk mendapatkan

sampel rawak daripada setiap stratum menggunakan jadual sifir nombor

rawak atau dengan cara lain.

Hasil keputusan yang diperolehi daripada sampel satu stratum akan

digabungkan dan dihitungkan bersama dengan hasil keputusan sampel strata

yang lain untuk mendapatkan hasil keputusan keseluruhan.

Kelebihan pensampelan rawak berstrata adalah ahli daripada setiap stratum

akan diwakili dalam sampel yang diambil. Seterusnya ini akan memberi satu

gambaran yang lebih bersifat realiti. Kelemahan bagi teknik pensampelan ini

adalah ianya melibatkan kos yang agak tinggi dan perlu usaha yang gigih dari

pihak penyelidik untuk mengendalikan teknik pensampelan ini.

Teknik Pensampelan

104

Contoh 3

Jadual menunjukkan pendapatan bulanan 1000 orang pekerja di dalam satu

zon industri bebas.

Strata Pendapatan Bilangan pekerja

1 < RM 1000 600

2 RM 1000 – RM 3000 300

3 > RM 3000 100

Jumlah 1000

Katakan seorang penyelidik ingin mengkaji mengenai pendapatan minimum

bagi pekerja-pekerja di zon industri bebas itu. Diketahui pendapatan

meningkat dari golongan kolar biru ke golongan staf sokongan dan golongan

eksekutif. Setiap golongan mempunyai bilangan pekerja yang berlainan. Oleh

itu, setiap golongan pekerja membentuk satu strata yang berlainan dan

populasi pekerja di zon industri bebas ini dikatakan terdiri daripada 3 strata.

Jika kita ingin mengambil satu sampel rawak bersaiz 50 orang daripada

populasi keseluruhan pekerja di zon industri bebas ini, maka saiz sampel

daripada setiap strata adalah seperti berikut:

Strata Pendapatan Populasi setiap strata

Saiz sampel

1 < RM 1000 600 600 × 50/1000 = 30

2 RM 1000 – RM 3000 300 300 × 50/1000 = 15

3 > RM 3000 100 100 × 50/1000 = 5

Jumlah 1000 50

Pensampelan rawak berkelompok

Kadang-kadang populasi yang ingin diselidiki adalah bertaburan pada satu

kawasan geografi yang luas.Akibatnya, jika digunakan pensampelan rawak

mudah mungkin melibatkan kos yang tinggi untuk mendapatkan setiap ahli

bagi sampel tersebut. Dalam situasi sebegini, kita bahagikan populasi kepada

Teknik Pensampelan

105

kumpulan-kumpulan geografi yang berbeza. Kumpulan-kumpulan ini dipanggil

kelompok atau kluster. Sebagai langkah pertama, pilih secara rawak

beberapa kelompok. Kemudian kita pilih secara rawak satu sampel yang

terdiri daripada ahli-ahli tertentu bagi setiap kelompok yang terpilih itu.

Contoh 4

Katakan kita ingin meninjau tentang keberkesanan metodologi pengajaran

yang baru di sekolah-sekolah dalam satu negeri yang besar. Mula-mula kita

bahagikan negeri itu kepada katakan 20 buah daerah yang kita rujukkan

sebagai kelompok-kelompok. Pastikan kesemua 20 daerah ini adalah hampir

serupa dan oleh itu adalah mewakili ciri-ciri populasi. Kemudian kita pilih

secara rawak katakan 4 daerah daripada 20 daerah tersebut. Selepas itu kita

pilih pula beberapa sekolah secara rawak daripada setiap kelompok untuk

meninjau tentang keberkesanan kaedah pengajaran yang baru itu.

Keseluruhan sekolah yang dipilih daripada kelompok yang terpilih itu

dipanggil sampel kelompok.

Ralat pensampelan dan ralat bukan pensampelan

Hasil dapatan kajian daripada tinjauan atau melakukan eksperimen mungkin

mengandungi dua jenis ralat: ralat-ralat pensampelan atau bukan

pensampelan. Ralat pensampelan juga dikenali sebagai ralat peluang dan

ralat bukan pensampelan dipanggil juga ralat sistematik.

Ralat pensampelan adalah perbezaan antara hasil kajian yang diperolehi

dengan hasil kajian yang mungkin diperolehi jika keseluruhan populasi

digunakan. Misalnya perbezaan antara min sampel dan min populasi. Apabila

kita membuat tinjauan atau sebagainya, ralat ini tidak dapat dielakkan.

Ralat bukan pensampelan atau ralat sistematik berlaku disebabkan oleh

penyelidik sendiri semasa melakukan pengumpulan dan penganalisisan data.

Sebagai contoh, soalan-soalan yang dikemukakan oleh penyelidik dalam soal

selidik atau dalam temubual mungkin tidak difahami oleh reponden,

Teknik Pensampelan

106

responden mungkin memberi maklumat palsu atau penyelidik membuat

kesilapan apabila memasuki data ke dalam komputer dan sebagainya.

Teknik pensampelan bukan rawak

Dalam menjalankan sesuatu tinjauan atau kajian, bukan semua sampel boleh

diperolehi secara rawak oleh sebab-sebab tertentu. Dalam sesuatu populasi

itu, tidak semua ahli mempunyai peluang untuk dipilih menganggotai ssesuatu

sampel. Jadi, pengambilan sampel tidak dapat dilakukan secara rawak.

Misalnya seorang penyelidik ingin mengkaji sikap pelajar tingkatan 4 terhadap

pembelajaran statistik dan pengetua hanya membenarkan kajian dijalankan

ke atas sebuah kelas sahaja. Penyelidik tidak dapat mendapatkan sampel

secara rawak.

Antara teknik-teknik pensampelan bukan rawak adalah seperti berikut:

(a) Teknik pensampelan keselesaan (convenience)

(b) Teknik pensampelan pertimbangan (judgment)

(c) Teknik pensampelan kuota

Teknik pensampelan keselesaan

Dalam teknik pensampelan keselesaan, pengambilan sampel dilakukan

terhadap ahli-ahli yang senang didekati atau dicapai dalam sesuatu populasi

itu bagi mendapatkan hasil kajian dengan cepat. Misalnya satu tinjauan

pendapat umum (opinion poll) boleh dilakukan dalam masa yang singkat

dengan mendapatkan maklumat daripada pengunjung-pengunjung di sebuah

kompleks membeli-belah.

Teknik Pensampelan

107

Teknik pensampelan pertimbangan

Dalam teknik pensampelan pertimbangan, pengambilan sampel di kalangan

ahli-ahli dalam sesuatu populasi dibuat berdasarkan pertimbangan penyelidik

atau pengetahuan awalannya tentang populasi berkenaan. Sebagai contoh,

seorang penyelidik ingin mengkaji tentang kelemahan pelajar dalam

matematik dan dia pergi mengumpul maklumat dari satu sekolah yang

memang diketahui mempunyai prestasi yang rendah dalam matematik.

Teknik pensampelan kuota

Dalam teknik pensampelan kuota penyelidik menentukan terlebih dahulu

kuota atau bilangan untuk setiap kumpulan yang ada dalam sesuatu populasi

itu untuk dimasukkan ke dalam sampelnya. Penentuan ini dilakukan sendiri

oleh penyelidik dan tidak berdasarkan kepada ciri-ciri setiap kumpulan yang

ada. Kelebihan teknik ini adalah ia memerlukan kos yang lebih rendah dan

usaha yang lebih senang jika dibandingkan dengan teknik pensampelan

rawak berstrata. Kekurangan teknik jika dibandingkan dengan pensampelan

rawak berstrata adalah teknik ini kurang diyakini hasil kajiannya oleh kerana

bukan semua ahli dalam seeuatu kumpulan itu mempunyai peluang yang

sama untuk dipilih.

Sebagai contoh, katakan seorang pengkaji itu ingin memilih satu sampel

bersaiz 1000 orang daripada satu bandaraya dengan populasinya terdiri

daripada 52% lelaki dan 48% perempuan. Untuk memilih atu sampel kuota,

pengkaji itu akan memilih 520 orang lelaki dan 480 orang perempuan yang

pertama didekatinya. Dengan ini sampel itu memgandungi dengan tepat 52%

lelaki dan 48% perempuan.

Teknik Pensampelan

108

PENILAIAN KENDIRI

1. Nyatakan dengan ringkas sebab-sebab sampel-sampel diambil apabila

menjalankan kajian.

2. Terangkan kelebihan mengambil satu sampel rawak berstrata berbanding

dengan sampel rawak mudah.

3. Sebuah ladang mempunyai 6 baris pokok kelapa sawit di mana setiap baris

mengandungi 15 pokok kelapa sawit. Nyatakan secara ringkas sama ada

sampel-sampel yang diperolehi dengan cara-cara berikut adalah adil.

(a) 10 keping kad dipilih secara rawak daripada sebuah kotak yang

mengandungi 90 keping kad bernombor di mana setiap kad sepadan

dengan sepohon pokok kelapa sawit.

(b) Pokok yang kelapan dalam setiap baris dipilih.

(c) Pokok yang ketujuh dipilih daripada pokok-pokok yang telah

dinomborkan daripada 1 hingga 90.

4. Dengan menggunakan jadual sifir nombor rawak, dapatkan suatu sampel

rawak yang mengandungi 10 nombor daripada integer-integer berikut:

(a) daripada 000 hingga 999

(b) daripada 100 hingga 999

5. Seorang professor ingin memilih 20 orang pelajar daripada kelas kuliahnya

seramai 300 orang di mana maklumat terperinci mengenai pelajar yang

terpilih diambil. Professor itu menggunakan pengetahuannya yang ada

mengenai pelajar-pelajarnya dan juga kepakarannya untuk memilih 20

orang pelajar itu.

Teknik Pensampelan

109

(a) Adakah sampel yang diambil itu sampel rawak atau sampel bukan

rawak?

(b) Apakah teknik pensampelan yang digunakan dan terangkan?

(c) Apakah ralat sistematik yang mungkin telah dilakukan?

6. Rujuk soalan 5. Katakan professor tersebut memasukkan semua 300 nama

pelajar yang mengikuti kelas kuliahnya ke dalam komputer. Kemudian

beliau memilih secara rawak 20 orang pelajar dengan menggunakan

nombor rawak yang terdapat dalam perisian statistik seperti MINITAB.

(a) Adakah sampel yang diambil itu sampel rawak atau sampel bukan

rawak?

(b) Jika sampel rawak, apakah teknik pensampelan yang digunakan?

(c) Apakah ralat sistematik yang mungkin telah dillakukan?

7. Untuk mengetahui reaksi pengundi di sebuah kawasan parlimen, seorang

pengundi ditemubual. Dua kaedah pengambilan sampel dicadangkan:

(a) memilih secara rawak nama-nama dari buku panduan telefon.

(b) memilih pengundi dari kalangan pengunjung di beberapa pusat

membeli belah di kawasan parlimen tersebut.

Terangkan mengapa kedua-dua kaedah ini kurang memuaskan.

Cadangkan satu kaedah yang lebih berkesan.

8. Sebuah syarikat mempunyai 100 orang pekerja di mana 58% adalah lelaki

dan 48% adalah perempuan. Jabatan sumber manusia syarikat itu ingin

meninjau pendapat para pekerja mengenai satu isu dengan mengambil

satu sampel seramai 50 orang pekerja. Untuk menjalankan tinjauan ini,

para pekerja dibahagikan kepada dua kumpulan iaitu lelaki dan

perempuan.dan kemudian dipilih secara rawak 29 orang lelaki dan 21

orang perempuan daripada kumpulan-kumpulan itu. Apakah teknik

pensampelan yang digunakan untuk mengambil sampel? Terangkan.

Teknik Pensampelan

110

RUJUKAN


York: McGraw Hill.


Press.

Mann, P.S.(2005). Introductory Statistics Using Technology (5th ed). Hoboken,NJ:

Wiley.

Penganggaran Parameter Populasi

111

UNIT PELAJARAN 7

PENGANGGARAN PARAMETER POPULASI

HASIL PEMBELAJARAN


1. Menerangkan maksud anggaran titik dan anggaran selang

keyakinan

2. Menyelesaikan masalah untuk menentukan anggaran titik bagi min

populasi

3. Menyelesaikan masalah untuk menentukan selang keyakinan bagi

min populasi menggunakan taburan z dan juga taburan t

PENGENALAN

Satu masalah statistik yang biasa dihadapi oleh para penyelidik adalah untuk

mendapatkan maklumat mengenai parameter sesuatu populasi, misalnya min

populasi µ. Jika saiz populasi adalah besar, kita boleh mendapatkan

maklumat yang secukupnya dengan mengambil satu sampel daripada

populasi berkenaan. Dengan pengambilan sampel ini melalui teknik-teknik

pensampelan yang telah dipelajari dalam Unit Pelajaran 6, seseorang

penyelidik itu dapat membuat penganggaran tentang nilai parameter populasi

yang sedang dikaji.

Penganggaran adalah satu prosedur di mana satu nilai berangka atau nilai-

nilai berangka diberikan kepada satu parameter populasi berdasarkan

maklumat yang diperolehi daripada sampel yang diambil. Parameter populasi


112

ini boleh jadi min populasi, perkadaran populasi, sisihan piawai dan lain-lain.

Dalam unit ini, kita hanya akan mencari penganggaran bagi min populasi.

Nilai atau nilai-nilai yang diberikan kepada parameter populasi ini adalnh

berasaskan kepada nilai satu statistik sampel yang dipanggil anggaran bagi

parameter populasi tersebut. Statistik sampel itu pula dipanggil penganggar.

Sebagai contoh, min sampel x adalah penganggar bagi min populasi µ. Ada

dua jenis penganggaran yang akan dibincangkan iaitu penganggaran titik dan

penganggaran selang.

Prosedur bagi mendapatkan penganggaran itu melibatkan langkah-langkah

berikut:

a) Pilih satu sampel

b) Kumpul maklumat yang dikehendaki daripada sampel itu

c) Hitungkan nilai statistik sampel yang dihajati

d) Berikan nilai atau nilai-nilai yang diperolehi kepada parameter populasi

yang sepadan.

ISI KANDUNGAN

Penganggaran titik

Penganggaran titik adalah satu prosedur untuk mendapatkan nilai satu

statistik sampel (contoh: min sampel) untuk menganggarkan parameter

populasi (contoh: min populasi). Nilai ini di panggil anggaran titik. Sebagai

contoh, nilai yang dihitungkan untuk min sampel x , daripada satu sampel

adalah anggaran titik bagi min populasi µ.

Contoh 1


113

Dewan Bandaraya Kuala Lumpur mengisytiharkan harga-harga semasa bagi

rumah-rumah kos rendah di bandaraya tersebut dalam satu laporan yang

diwartakan. Angka-angka yang dinyatakan adalah diperolehi daripada

pensampelan. Satu sampel mengandungi data harga bagi 36 buah rumah kos

rendah adalah diberikan di bawah. Gunakan data tersebut untuk

menganggarkan min populasi harga bagi semua rumah kos rendah di

bandaraya itu. (Angka dalam ribu RM)

53.8 54.4 45.2 42.9 49.9 48.2 41.6 58.9 48.6 53.1 59.4 49.7 43.7 52.7

47.7 41.5 35.3 58.9 35.9 42.5 57.2 45.1 50.3 50.0 41.9 37.3 39.7 42.0

62.7 62.8 46.6 60.5 43.9 56.4 49.8 63.9

Penyelesaian:

Kita anggarkan min populasi harga bagi semua rumah kos rendah di Kuala

Lumpur dengan menggunakan nilai min sampel harga , bagi sampel

sebanyak 36 buah rumah kos rendah.

Maka, 284936

01774.

.

n

xx

Oleh itu, min populasi harga bagi semua rumah kos rendah adalah

dianggarkan sebanyak RM 49,280.

Perlu diingatkan bahawa anggaran titik ini mungkin berlainan jika kita ambil

sampel yang lain daripada populasi yang sama. Jadi, nilai yang diberikan

kepada sesuatu min populasi itu bergantung kepada anggaran titik daripada

mana sampel itu diambil.

Contoh 2

Satu sampel seramai 32 orang murid daripada sebuah sekolah mengambil

bahagian dalam satu kajian di mana mereka diminta menyatakan jarak rumah

mereka ke sekolah. Dapatan kajian adalah seperti berikut (dalam kilometer).


114

12 9 7 2 8 7 3 27 21 10 13 3 7 2 30 7

6 13 6 14 4 1 10 3 13 6 2 9 2 12 16 18

Cari anggaran titik bagi min populasi.

Penyelesaian:

Cari min sampel sebagai anggaran titik bagi min populasi

Min sampel km.47932

303

n

xx

Jadi anggaran titik bagi min populasi adalah 9.47 km.

Penganggaran selang

Penganggaran selang adalah satu prosedur untuk mendapatkan satu selang

atau julat nilai-nilai sesuatu sampel statistik (contoh: min sampel) untuk

menganggarkan parameter populasi (contoh: min populasi). Anggaran yang

diperolehi dipanggil anggaran selang.

Perlu ditegaskan di sini bahawa anggaran selang ini mungkin mengandungi

nilai parameter populasi yang dianggarkan dan kemungkinan juga tidak.

Walau bagaimanapun, adalah dijangkakan bahawa nilai parameter populasi

itu terletak di antara dua nilai. Sebagai contoh, jika anggaran titik bagi purata

umur bagi semua mahasiswa di sebuah universiti ialah 20.9 tahun dengan

ralat margin (margin of error) 0.4 tahun, maka anggaran selang bagi purata

umur itu boleh dituls sebagai 20.9 ± 0.4 tahun atau 20.5 < µ < 21.3 (µ adalah

purata umur populasi).


115

Nilai kebarangkalian yang kita yakin betul yang nilai parameter populasi

berada dalam anggaran selang adalah ditetapkan sebelum anggaran selang

ditentukan. Sebagai contoh, kita mungkin berkehendakkan 90%, 95% atau

99% keyakinan bahawa anggaran selang yang akan ditentukan mengandungi

nilai parameter populasi itu. Nilai kebarangkalian ini (90%, 95% atau 99%)

dipanggil aras keyakinan bagi anggaran selang. Oleh itu, selang keyakinan

bagi sesuatu parameter populasi adalah satu anggaran selang yang spesifik

yang ditentukan dengan menggunakan data yang diperolehi daripada sampel

dan aras keyakinan yang spesifik bagi anggaran itu.

Mencari anggaran selang bagi min populasi µ

Rumus untuk mendapatkan anggaran keyakinan bagi min populasi µ adalah

seperti berikut:

)/( nσzx α/2 < µ < )/( nσzx α/2 atau )/( nσzx α/2

di mana x adalah anggaran titik (iaitu min sampel)

)/( nσ adalah sisihan piawai bagi min sampel atau ralat piawai bagi min

α adalah jumlah luas bagi kedua-dua hujung bagi satu lengkongan taburan

normal piawai. 2/σ mewakili luas bagi setiap hujung.

α/2

α/2


116

Aras keyakinan yang diperlukan adalah bersamaan dengan (1 – α)100%.

Sebagai contoh, apabila α=0.05, maka anggaran selang mempunyai aras

keyakinan 95%; apabila α=0.01, maka anggaran selang mempunyai aras

keyakinan 99% dan seterusnya.

Bagi selang keyakinan 95%, zα/2 = 1.96 dan

selang keyakinan 99%, zα/2 = 2.58 (diperolehi daripada jadual sifir taburan

normal)

Sebutan zα/2 .(σ/√n) dikenali sebagai ralat margin atau ralat maksimum

anggaran.

Rumus bagi selang keyakinan di atas boleh digunakan jika diandaikan

populasi bertaburan normal tidak kira apa saiz bagi sampel, n. Jika n > 30,

taburan bagi min sampel dianggap lebih kurang normal walaupiu populasi

asal tidak bertaburan normal. Bagi populasi yang bertaburan normal atau

dianggap bertaburan normal, sisihan piawai sampel, s boleh digunakan jika

sisihan piawai populasi, σ tidak diketahui.

Peraturan pembundaran

Apabila menghitung sesuatu selang keyakinan bagi min populasi yang

menggunakan data mentah, bundarkan kepada lebih satu titik perpuluhan

berbanding dengan data asal. Jika min sampel diberi di dalam masalah itu,

bundarkan selang keyakinan kepada bilangan titik perpuluhan yang sama

seperti yang diberikan kepada min sampel


117

Contoh 3

Timbalan Naib Canselor (HEP) sebuah universiti ingin menganggarkan purata

umur bagi semua pelajar-pelajar yang berdaftar dengan universiti tersebut.

Daripada data yang lepas, diketahui sisihan piawai adalah 2 tahun. Satu

sampel seramai 50 orang pelajar dipilih dan didapati bahawa purata umur

bagi sampel itu adalah 23.2 tahun. Cari selang keyakinan 95% bagi purata

umur populasi.

Penyelesaian:

Diberi = 23.2, σ = 2, n = 50,

Juga, zα/2 = 1.96 (untuk selang keyakinan 95%)

Masukkan nilai-nilai di atas ke dalam rumus:

– zα/2 .(σ/√n) < µ < + zα/2 .(σ/√n)

Kita perolehi:

23.2 – (1.96) (2/√50) < µ < 23.2 + (1.96) (2/√50)

23.2 – 0.55 < µ < 23.2 + 0.55

22.65 < µ < 23.75

22.7 < µ < 23.8

atau 23.2 + 0.55

Oleh itu Timbalan Naib Canselor (HEP) itu boleh menyatakan dengan

keyakinan 95% bahawa purata umur bagi pelajar-pelajar yang berdaftar

dengan universiti tersebut adalah di antara 22.7 tahun dan 23.8 tahun

berdasarkan kepada sampel bersaiz 50 orang pelajar.


118

Contoh 4

Suatu ubat tertentu diketahui boleh meningkatkan kadar denyutan nadi

penggunanya. Diketahui juga yang sisihan piawai bagi kadar denyutan nadi

itu adalah 5 denyutan setiap minit. Satu sampel seramai 30 orang pengguna

diambil datanya dan didapati min kadar denyutan nadi mereka adalah 104

denyutan setiap minit. Cari selang keyakinan 99% bagi min populasi.

Penyelesaian:

Diberi = 104, σ = 5, n = 30, µ = 104,

Juga, zα/2 = 2.58 (bagi selang keyakinan 99%)

Masukkan nilai-nilai di atas ke dalam rumus

– zα/2 .( σ/√n) < µ < + zα/2 .( σ/√n)

Diperolehi:

104 – (2.58) (5/√30) < µ < 104 + (2.58) (5/√30)

104 – 2.4 < µ < 104 + 2.4

101.6 < µ < 106.4

(bundarkan kepada titik perpuluhan yang sama dengan min sampel)

102 < µ < 106

atau 104 + 2

Oleh itu kita boleh nyatakan dengan keyakinan 99% bahawa min bagi kadar

denyutan nadi adalah di antara 102 dan 106 denyutan setiap minit.


119

Contoh 5

Satu sampel sebanyak 50 hari menunjukkan yang sebuah restoran makanan

segera melayani seramai 182 orang pelanggan waktu makan tengahari.

Diberi sisihan piawai bagi sampel itu adalah 8 orang pelanggan. Cari selang

keyakinan 90% bagi min populasi.

Penyelesaian:

Diberi = 182, s = 8, n = 50,

Juga, zα/2 = 1.65 (untuk selang keyakinan 90%)


– zα/2 .(s/√n) < µ < + zα/2 .( s/√n),

Diperolehi,

182 – 1.65(8/√50) < µ < 182 + 1.65(8/√50)

180.1 < µ < 18.3.9

180 < µ < 184 (bundarkan)

atau 182 ± 2

Oleh itu, kita boleh nyatakan dengan keyakinan 90% bahawa pada sesuatu

waktu makan tengahari, restoran itu melayani antara 180 dan 184 pelanggan

Contoh 6


120

Satu sampel seramai 32 orang murid daripada sebuah sekolah mengambil

bahagian dalam satu kajian di mana mereka diminta menyatakan jarak rumah

mereka ke sekolah. Dapatan kajian adalah seperti berikut (dalam kilometer).

12 9 7 2 8 7 3 27 21 10 13 3 7 2 30 7

6 13 6 14 4 1 10 3 13 6 2 9 2 12 16 18

Bentukkan satu selang keyakinan 95% bagi min populasi.

Penyelesaian:

Sebelum dibentuk selang keyakinan itu, perlu di cari anggaran titik iaitu min

sampel terlebih dahulu

Didapati anggaran titik km5.932

303

n

xx

dan sisihan piawai = s = 7.1 km

Juga diketahui zα/2 = 1.96 (untuk selang keyakinan 95%)


– zα/2 ( s/√n) < µ < + zα/2 ( s/√n),

Maka diperolehi:

9.5 – 1.96 (7.1/√32) < µ < 9.5 + 1.96 (7.1/√32)

7.0 < µ < 11.0


121

Oleh itu, kita boleh nyatakan dengan keyakinan 95% bahawa min populasi

bagi jarak rumah ke sekolah ialah di antara 7.0 dan 11.0 km

Mencari selang keyakinan bagi min populasi apabila σ tidak diketahui dan n < 30

Dalam banyak situasi, sisihan piawai populasi σ tidak diketahui dan saiz

sampel mungkin kurang daripada 30. Dalam situasi begini, sisihan piawai

sampel boleh digunakan dalam membentuk selang keyakinan. Walau

bagaimanapun, taburan z tidak boleh digunakan oleh kerana tidak memenuhi

syarat-syarat yang ditetapkan. Sebaliknya, pakar statistik mengesyorkan

supaya digunakan taburan t apabila sisihan piawai populasi tidak diketahui

dan saiz sampel kurang daripada 30.

Taburan t mempunyai ciri-ciri berikut:

a) Berbentuk loceng (serupa dengan taburan normal z)

b) Bersimetri pad nilai min

c) Nilai min, median dan mod semuanya adalah sifar dan terletak ditengah-

tengah taburan

d) Lengkongan tidak akan menyentuh paksi mengufuk tetapi akan berlanutan

tak terhingga di kedua-dua hujung lengkongan

e) Nilai varians adalah besar dari 1

f) Taburan t sebenarnya adalah terdiri daripada sekelompok lengkongan-

lengkongan berdasarkan kepada konsep darjah kebebasan (d.k.) yang

berkaitan dengan saiz sampel (n) Juga diberi d.k. = n – 1.

g) Apabila saiz sampel bertambah besar (n > 100), taburan t menhampiri

taburan normal piawai z.

Untuk menentukan selang keyakinan bagi min populasi apabila σ tidak

diketahui dan n < 30, rumus berikut boleh digunakan:


122

– tα/2 .( s/√n) < µ < + tα/2 .( s/√n)

Untuk mencari nilai bagi tα/2 , lihat mana-mana jadual taburan t dan rujuk

kepada lajur “selang keyakinan’ dan kemudian lajur ‘darjah kebebasan’.

Untuk mencari nilai tα/2 bagi selang keyakinan 95% dan 21 darjah kebebasan

adalah bersamaan dengan 2.080.

Untuk mencari nilai tα/2 bagi selang keyakinan 99% dan 13 darjah kebebasan

adalah bersamaan dengan 3.012

Sebutan tα/2 (s/√n) juga dikenali sebagai ralat margin.

Contoh 7

Dalam satu pemeriksaan kenderaan oleh pihak JPJ di sebuah lebuhraya, 10

buah kenderaan telah dipilih secara rawak oleh pegawai-pengawai

penguatkuasa berkenaan. Pihak JPJ telah mengukur tahap kehausan tayar

sebelah kanan setiap kenderaan yang diarahkan berhenti untuk pemeriksaan.

Min kehausan tayar itu adalah 0.32 cm dengan sisihan piawai 0.08 cm. cari

selang keyakinan 95% bagi min kehausan tayar kanan yang diukur.

Penyelesaian:

Oleh kerana σ tidak diketahui dan mesti menggunakan sisihan piawai

sampel, s = 0.08 dan n = 10 < 30, maka taburan wajar digunakan.

Juga diberi,

= 0.32, s = 0.08, d.f. = 10 -1 = 9. Jadi, tα/2 = 2.262


123

Oleh itu, selang keyakinan 95% bagi min populasi adalah seperti berikut:

0.32 – (2.262).(0.08/√10) < µ < 0.32 + 2.262 .(0.08/√10)

0.32 – 0.057 < µ < 0.32 + 0.057

0.263 < µ < 0.377

0.26 < µ < 0.38 (bundarkan)

atau 0.32 + 0.06


bagi kehausan tayar sebelah kanan adalah di antara 0.26 cm dan 0.38 cm.

Contoh 8

Min bacaan hemoglobin bagi satu sampel tediri daripada 20 orang guru

adalah 16 g / 100 ml, dengan sisihan piawai sampel ialah 2 g. Cari selang

keyakinan 99% bagi min populasi

Penyelesaian:

Diberi n = 20, jadi d.f. = 20 – 1 = 19. Juga = 16 dan s = 2

Bagi selang keyakinan 99% dengan d.f. = 19, tα/2 = 2.861.

Oleh itu, selang keyakinan 99% bagi min populasi adalah seperti berikut:

16 – (2.861)(2/√20) < µ < 16 + (2.861)(2/√20)

14.7 < µ < 17.3


124

15 < µ < 17 (bundarkan)

atau 16 ± 1


bagi bacaan hemoglobin adalah di antara 15g / 100ml dan 17g / 100ml.

Contoh 9

Satu sampel rawak yang terdiri daripada 20 meter parker di sebuah

bandaraya menunjukkan hasil kutipan untuk sehari seperti berikut (dalam RM)

2.60 1.05 2.45 2.90 1.30 3.10 2.35 2.00 2.40 2.35 2.40 1.95

2.80 2.50 2.10 1.75 1.00 2.75 1.80 1.95

a) Cari min sampel dan sisihan piawai sampel

b) Tentukan ralat margin bagi selang keyakinan 95%

c) Bentukkan selang keyakinan 95% bagi min populasi.

Penyelesaian:

a) = 2.175, s = 0.585

b) n = 20, d.k, = 19. Juga, bagi selang keyakinan 95%, tα/2 = 2.093

Maka, ralat margin = 2.093 (0.585/√20) = 0.274

c) Selang keyakinan 95% bgi min populasi adalah:

2.175 – 0.274 < µ < 2.175 + 0.274


125

1.901 < µ < 2.449

Maka, kita boleh nyatakan dengan keyakinan 95% bahawa hasil kutipan

sehari adalah antara RM1.901 dan RM2.449

PENILAIAN KENDIRI

1. Apabila mencari selang keyakinan bagi min sesuatu populasi, nyatakan

bila anda akan menggunakan taburan z atau taburan t.

2. Bagi sesuatu set data yang diperolehi daripada satu sampel, didapati

n = 64, = 24.5 dan s = 3.1

(a) Cari anggaran titik bagi µ

(b) Bentuk selang keyakinan 99% bagi µ.

3. Sisihan piawai bagi satu populasi diketahui sebagai σ=15.3. Satu sampel

yang mempunyai 36 cerapan dipilih daripada populasi ini dan didapati =

74.8.

(a) Bentuk selang keyakinan 90% bagi min populasi.

(b) Cari selang keyakinan 95% bagi min populasi.

(c) Tentukan selang keyakinan 99% bagi min populasi.

(d) Adakah julat bagi selang keyakinan yang dibentuk dari (a) ke (c)

bertambah apabila aras keyakinan bertambah? Terangkan.

4. Penerbit UPSI telah menerbitkan sebuah statistik khusus untuk peringkat

Sarjana. Sebelum menetapkan harga untuk buku tersebut, pihak penerbit

telah cuba mendapatkan maklumat tentang harga buku-buku yang serupa


126

yang ada di pasaran. Satu sampel sebanyak 36 buah buku diambil purata

harga adalah RM70.50 dengan sisihan piawai RM4.50.

(a) Cari anggaran titik bgi purata harga buku. Bentukkan selang keyakinan

95% bagi purata harga semua buku .

(b) Dapatkan selang keyakinan 90% bagi purata harga semua buku.

5. Seorang penyelidik ingin mengkaji tentang ciri-ciri jutawan di Malaysia.

Di antara makumat yang hendak dianggarkan adalah purata umur para

jutawan itu. Katakan 36 orang jutawan dipilih secara rawak dan umur-

umur mereka adalah seperti berikut:

31 45 79 64 38 48 39 68 52 59 68 79 42 79 53 74 66 66

71 61 52 47 39 54 67 55 71 77 64 60 75 42 69 48 57 48

Tentukan selang keyakinan 95% bagi purata umur semua jutawan.

6. Katakan suatu sampel dipilih secara rawak daripada satu populasi dengan

= 68.50 dan s = 8.9

(a) Bina satu selang keyakinan 95% bagi µ dengan n = 16.

(b) Bina satu selang keyakinan 90% bagi µ dengan n = 16

(c) Adakah julat bagi selang keyakinan 90% dalam (a) lebih kecil dari

selang keyakinan 95%? Jika ya, terangkan mengapa.

(d) Cari selang keyakinan 95% bagi µ dengan n = 25.


127

(e) Adakah julat bagi selang keyakinan bagi 95% bagi µ dengan n = 25

seperti dalam (d) lebih kecil dari selang keyakinan 95% bagi µ dengan

n=16 seperti dalam (a)? Jika ya, terangkan mengapa.

7. Lapan orang siswa telah dipilih secara rawak daripada sebuah universiti

dan didapati dalam satu minggu secara purata, mereka telah berjalan

sejauh 39.2 km di dalam kampus untuk ke bilik kuliah dengan sisihan

piawainya adalah 3.2 km. Bentukkan satu selang keyakinan 95% untuk

min populasi.

8. Satu sampel rawak sebanyak 16 akaun bank pelajar yang diambil daripada

sebuah bank tempatan di kampus sebuah universiti untuk meninjau jumlah

wang yang dikeluarkan daripada akaun mereka dalam sebulan telah

menghasilkan data berikut (dalam RM):

302 512 97 316 69 16 133 701 107 156 401 14 465 72

128 68

Bentukkan satu selang keyakinan 90% bagi min jumlah wang yang

dikeluarkan oleh semua pelajar universiti tersebut yang ada akaun dalam

bank itu.

RUJUKAN

Bluman, A.G. (2009). Elementary Statistics: A Step by Step Approach (7th ed). New

York: McGraw Hill.


Press.

Mann, P.S.(2005). Introductory Statistics Using Technology (5th ed). Hoboken,NJ:

Wiley.

Analsis Korelasi dan Regresi

128

UNIT PELAJARAN 8

ANALISIS KORELASI DAN REGRESI

HASIL PEMBELAJARAN


1. Menerangkan maksud analisis korelasi dan regresi.

2. Menguji kesignifikanan hubungan antara dua pembolehubah dengan

pekali kolerasi.

3. Menganggar parameter dalam garis regresi ringkas.

.

PENGENALAN

Kadangkala seseorang penyelidik ingin melihat hubungan antara dua perkara

yang selidik. Umpamanya seorang pegawai pendidikan ingin mengetahui

hubungan antara jumlah jam belajar dengan pencapaian akademik pelajar.

Untuk tujuan ini analisis statistik yang dikenali sebagai analisis korelasi boleh

dilakukan. Tujuan melakukan analisis korelasi bukan sahaja untuk

menentukan hubungan antara dua pembolehubah tetapi ia juga digunakan

bagi menentukan kekuatan hubungan antara dua pembolehubah. Kedua-dua

pembolehubah yang ingin ditentukan kekuatan hubungannya dikenali sebagai

pembolehubah bersandar dan pembolehubah tak bersandar. Setelah kita

dapati terdapat hubungan antara dua pembolehubah, seterusnya kita

mungkin ingin menjelaskan hubungan antara dua pembolehubah. Ini boleh

dilakukan dengan menyesuaikan data kepada satu garis lurus yang dikenali


129

sebagai garis regresi ringkas. Analisis yang dilakukan terhadap penyuaian ini

disebut analisis regresi.

ISI KANDUNGAN

Analisis korelasi

Analisis korelasi digunakan bagi menentukan hubungan dan kekuatan

hubungan antara dua pembolehubah. Ini dilakukan dengan menghitung

pekali korelasi. Pekali korelasi Pearson dihitung seperti berikut:

2222 yynxxn

yx-xynr

Nilai r melambangkan kekuatan hubungan antara dua pembolehubah. Jika

nilai r menghampiri +1, menunjukkan hubungan positif yang kuat. Manakala

jika nilai r menghampiri -1, menunjukkan hubungan negatif yang kuat. Dengan

kata lain hubungan positif bermaksud hubungan terus, manakala hubungan

negatif bermaksud hubungan arah songsang. Sekiranya nilai r menghampiri

0, maka kita katakan tiada hubungan antara dua pembolehubah. Kekuatan

hubungan, iaitu nilai r boleh digambarkan seperti berikut:

-1 0 +1

Contoh 1

Seorang guru ingin menentukan adakah terdapat hubungan antara jumlah

jam belajar dan pencapaian matematik pelajar. Jika terdapat hubungan

berapa kuatkah hubungan tersebut? Data mengenai jumlah jam belajar dan

markah matematik pelajar adalah seperti berikut:

Pelajar Jumlah jam belajar (x) Markah matematik (y)

Ali 1 60

Badariah 1 65

Chin 2 70

Hubungan positif yang kuat Hubungan negatif yang kuat Tiada hubungan


130

Daud 2 70

Erma 2 75

Faridah 3 80

Ganesan 3 85

Habibah 3 85

Idris 3 90

Jasmin 4 90

Penyelesaian:

X Y Xy x2 y2

1 60 60 1 3600

1 65 65 1 4225

2 70 140 4 4900

2 70 140 4 4900

2 75 150 4 5625

3 80 240 9 6400

3 85 255 9 7225

3 85 255 9 7225

3 90 270 9 8100

4 90 360 16 8100

24x 770y 1935xy 662x 603002y

945.0

)770(-)60300(10)24(-)66(10

)770)(24(-)60300)(10(

222222

yynxxn

yx-xynr

Nilai r=0.945 menunjukkan hubungan positif yang kuat antara jumlah jam

belajar dengan markah matematik pelajar.

Menguji kesignifikanan hubungan

Dalam analsis korelasi, kita bukan sekadar menghitung nilai pekali korealsi

bagi menentukan kekuatan hubungan antara dua pembolehubah. Kita juga

harus menentukan kesignifikan hubungan antara kedua-dua pembolehubah.

Perkara ini dilakukan supaya kita mempunyai asas yang kukuh dalam

memperkatakan tentang kekuatan hubungan tersebut. Ujian kesignifikan

hubungan antara dua pembolehubah dilakukan seperti berikut:


131

(i) H0: ρ = 0 (tiada hubungan antara pembolehubah)

H1: ρ ≠ 0 (terdapat hubungan yang signifikan antara pembolehubah)

(ii) H0: ρ ≥ 0 (tiada hubungan negatif antara pembolehubah)

H1: ρ < 0 (terdapat hubungan negatif yang signifikan antara

pembolehubah)

(iii) H0: ρ ≤ 0 ( tiada hubungan positif antara pembolehubah)

H1: ρ < 0 (terdapat hubungan positif yang signifikan antara

pembolehubah)

Rumus ujian t bagi pekali kolerasi Pearson adalah seperti berikut:

tujian= 21

2

r

nr

dengan darjah kebebasan n-2.

Contoh 2

Dengan menggunakan Contoh 1, pada aras keertian =0.01, tunjukkan terdapat

hubungan antara jumlah jam belajar dengan markah matematik pelajar.

Penyelesaian:

LANGKAH 1: Menyatakan hipotesis

H0: = 0 (tidak terdapat hubungan korelasi)

H1: ≠ 0 (terdapat hubungan korelasi)

LANGKAH 2: Mencari nilai kritikal

=0.01

Darjah kebebasan = n – 2 = 8

Nilai kritikal, 3554.38,2

αt


132

LANGKAH 3: Menghitung nilai ujian

172.8945.01

210945.0

1

222

r

nrtujian

LANGKAH 4 : Membuat keputusan

Menolak H0

LANGKAH 5 : Membuat kesimpulan

Terdapat hubungan kolerasi yang signifikan antara jumlah jam belajar dengan

markah matematik.

Persamaan garis regresi ringkas

Setelah kita mendapati bahawa terdapat hubungan korelasi yang signifikan

barulah kita melanjutkan kepada satu lagi analisis yang dikaitkan dengan

analisis korelasi. Analisis ini dikenali sebagai analisis regresi. Di dalam

analisis regresi ringkas, kita cuba menyuaikan data pada satu garis lurus

yang dikenali sebagai garis regresi. Penyuaian data pada satu garis lurus

melibatkan pembolehubah bersandar dan pembolehubah tak bersandar. Garis

regresi juga dikenali sebagai garis penyuaian terbaik di mana jumlah jarak

mencancang daripada setiap titik adalah paling minimum. Dengan membina garis

regresi kita boleh melakukan peramalan. Pembolehubah yang diramalkan dikenali

sebagai pembolehubah bersandar manakala pembolehubah yang digunakan

untuk meramal nilai pembolehubah bersandar dikenali sebagai

pembolehubah tak bersandar. Sebagai contoh, kita boleh meramalkan

markah matematik pelajar jika pelajar tersebut belajar dengan jumlah jam

-3.3554 3.3554 8.172


133

tertentu. Seringkali pembolehubah bersandar ditandakan sebagai y manakala

pembolehubah tak bersandar ditandakan sebagai x.

Persamaan garis regresi ringkas ditulis sebagai:

ebxay

dengan

y adalah pembolehubah bersandar

x adalah pembolehubah tak bersandar

e adalah ralat

Penganggaran pembolehubah bersandar y ditulis sebagai

bxay ˆ

dengan

xbya

Contoh 3

Dengan menggunakan Contoh 1, dapatkan garis regresi dengan menyuaikan

data tersebut. Seterusnya anggarkan markah matematik yang akan diperoleh

oleh pelajar jika jumlah masa yang dihabiskan untuk belajar adalah 3.5 jam.

22 xxn

yx-xynb


134

Penyelesaian:

x y xy x2

1 60 60 1

1 65 65 1

2 70 140 4

2 70 140 4

2 75 150 4

3 80 240 9

3 85 255 9

3 85 255 9

3 90 270 9

4 90 360 16

24x 770y 1935xy 662x

Bagi mendapatkan persamaan garis regresi, penghitungan seperti berikut

boleh dilakukan:

36.10

)24()66(10

)770)(24()1935(10222

xxn

yx-xynb

14.5210

24)36.10(

10

770

n

xb

n

yxbya

Maka persamaan garis regresi mudah boleh ditulis sebagai:

exy 36.1014.52

Manakala anggaran bagi y adalah

xy 36.1014.52ˆ

Bagi contoh ini, katakan kita ingin meramal markah yang bakal diperoleh oleh

pelajar apabila beliau menghabiskan masa belajar selama 3.5 jam. Nilai

anggaran markah adalah seperti berikut:

4.88)5.3)(36.10(14.5236.1014.52ˆ xy


135

Huraian persamaan regresi

Setiap pertambahan satu unit dalam x (jumlah jam belajar) akan

menyebabkan y (markah) berubah/bertambah sebanyak 10.36.

y

x

xy 36.1014.52ˆ


136

PENILAIAN KENDIRI

1. Seorang pensyarah ingin mengetahui kaitan antara ketidakhadiran kuliah

pelajarnya dengan pencapaian bagi kursus statistik asas yang diajar.

Data yang dikumpul ditunjukkan seperti berikut:

Nama Pelajar Ahmad Badrul Chin Daim Elias Faridah Gobalan

Bilangan hari tidak hadir kuliah

1 1 2 3 3 3 4

Markah statistik asas

80 80 78 75 74 74 65

a. Adakah terdapat hubungan yang signifikan antara ketidakhadiran kuliah dengan markah statistik asas? Uji pada aras keertian =0.05.

b. Suaikan garis regresi linear bagi data di atas.

2. Taburan hujan (mm) dan harga cili bagi bulan tertentu di sebuah kawasan adalah seperti berikut:

Taburan hujan (mm)

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Harga cili per kg

4.50 5.00 5.00 5.50 6.00 6.00 6.00 6.50 6.50 7.00

a. Adakah terdapat hubungan yang signifikan antara taburan hujan

dengan harga cili? Uji pada aras keertian =0.01.

b. Suaikan garis regresi linear bagi data di atas.


137

3. Peratus kerosakan bahan yang dihasilkan oleh sebuah mesin mengikut

jangka hayat mesin adalah seperti berikut:

Jangka hayat mesin (tahun)

1 2 3 8 10 12 14 16 18 20

Peratus kerosakan

4 5 7 10 12 15 15 18 18 20

Pada aras keertian α=0.05, uji sama ada terdapat hubungan antara jangka

hayat mesin (tahun) dengan peratus kerosakan.

4. Sebuah pertubuhan sosial mengatakan bahawa terdapat hubungan antara

kadar jenayah dengan kepadatan penduduk di sesuatu kawasan. Bagi

menguji kenyataan ini, pegawai di pertubuhan sosial tersebut telah

mengumpul data bagi jangka masa 6 bulan seperti berikut:

Kawasan Bilangan penduduk (‘000) Bilangan jenayah

A 1.0 7

B 2.0 6

C 2.5 5

D 3.0 7

E 3.3 4

F 4.5 6

G 5.0 5

Berdasarkan data di atas, pada aras keertian α=0.05, adakah kenyataan

pertubuhan sosial tersebut benar?

5. Seorang pegawai pendidikan ingin mengetahui adakah terdapat hubungan

antara bilangan pelajar di dalam sesebuah bilik darjah dengan peratus

pencapaian gred A pelajar bagi matapelajaran matematik. Sepuluh buah

bilik darjah dipilih secara rawak disebuah daerah untuk kajian ini. Data

yang diperoleh adalah seperti berikut.


138

Bilik darjah Bilangan pelajar Peratus pencapaian gred A matematik

1 15 70

2 20 65

3 22 60

4 25 60

5 28 58

6 39 55

7 32 50

8 33 50

9 34 48

10 35 45

a. Pada paras keertian α = 0.05, uji sama ada terdapat hubungan antara

bilangan pelajar dengan peratus pencapaian gred A matematik.

b. Jika terdapat hubungan yang signifikan, anggarkan peratus

pencapaian gred A matematik bagi bilik darjah yang mengandungi 30

pelajar.

RUJUKAN Bluman, A.G. (2009). Elementary Statistics: A Step by Step Approach (7th ed). New York: McGraw Hill. Johnson, R. & Kuby, P. (2004). Elementary Statistics (9th ed). Boston: Duxbury Press. Mann, P.S.(2005). Introductory Statistics Using Technology (5th ed). Hoboken,NJ: Wiley.

Appendiks: Jadual Statistik

i

APPENDIKS

JADUAL STATISTIK

Jadual Binomial

Jadual Poisson

Jadual Normal Piawai

Jadual Songsang Normal Piawai

Jadual Taburan t

Jadual Khi Kuasadua

Jadual Taburan F


ii

Jadual Binomial

Bagi pembolehubah rawak binomial (n, p), nilai dalam jadual adalah Kb{X x} untuk setiap x, n dan p.

Contoh: Kb{X 3} = 0.8125 bagi n=5 dan p=0.50,

Kb{X 6} = 0.3504 bagi n=10 dan p=0.70.

n x Nilai p

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

5 0 0.5905 0.3277 0.1681 0.0778 0.0313 0.0102 0.0024 0.0003 0.0000 1 0.9185 0.7373 0.5282 0.3370 0.1875 0.0870 0.0308 0.0067 0.0005

2 0.9914 0.9421 0.8369 0.6826 0.5000 0.3174 0.1631 0.0579 0.0086

3 0.9995 0.9933 0.9692 0.9130 0.8125 0.6630 0.4718 0.2627 0.0815

4 1.0000 0.9997 0.9976 0.9898 0.9688 0.9222 0.8319 0.6723 0.4095

5 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

7 0 0.4783 0.2097 0.0824 0.0280 0.0078 0.0016 0.0002 0.0000 0.0000 1 0.8503 0.5767 0.3294 0.1586 0.0625 0.0188 0.0038 0.0004 0.0000

2 0.9743 0.8520 0.6471 0.4199 0.2266 0.0963 0.0288 0.0047 0.0002

3 0.9973 0.9667 0.8740 0.7102 0.5000 0.2898 0.1260 0.0333 0.0027

4 0.9998 0.9953 0.9712 0.9037 0.7734 0.5801 0.3529 0.1480 0.0257

5 1.0000 0.9996 0.9962 0.9812 0.9375 0.8414 0.6706 0.4233 0.1497

6 1.0000 1.0000 0.9998 0.9984 0.9922 0.9720 0.9176 0.7903 0.5217

7 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

10 0 0.3487 0.1074 0.0282 0.0060 0.0010 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 1 0.7361 0.3758 0.1493 0.0464 0.0107 0.0017 0.0001 0.0000 0.0000

2 0.9298 0.6778 0.3828 0.1673 0.0547 0.0123 0.0016 0.0001 0.0000

3 0.9872 0.8791 0.6496 0.3823 0.1719 0.0548 0.0106 0.0009 0.0000

4 0.9984 0.9672 0.8497 0.6331 0.3770 0.1662 0.0473 0.0064 0.0001

5 0.9999 0.9936 0.9527 0.8338 0.6230 0.3669 0.1503 0.0328 0.0016

6 1.0000 0.9991 0.9894 0.9452 0.8281 0.6177 0.3504 0.1209 0.0128

7 1.0000 0.9999 0.9984 0.9877 0.9453 0.8327 0.6172 0.3222 0.0702

8 1.0000 1.0000 0.9999 0.9983 0.9893 0.9536 0.8507 0.6242 0.2639

9 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9990 0.9940 0.9718 0.8926 0.6513

10 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000


iii

Jadual Binomial (samb.)

n x Nilai p

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

15 0 0.2059 0.0352 0.0047 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1 0.5490 0.1671 0.0353 0.0052 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.8159 0.3980 0.1268 0.0271 0.0037 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.9444 0.6482 0.2969 0.0905 0.0176 0.0019 0.0001 0.0000 0.0000

4 0.9873 0.8358 0.5155 0.2173 0.0592 0.0093 0.0007 0.0000 0.0000

5 0.9978 0.9389 0.7216 0.4032 0.1509 0.0338 0.0037 0.0001 0.0000

6 0.9997 0.9819 0.8689 0.6098 0.3036 0.0950 0.0152 0.0008 0.0000

7 1.0000 0.9958 0.9500 0.7869 0.5000 0.2131 0.0500 0.0042 0.0000

8 1.0000 0.9992 0.9848 0.9050 0.6964 0.3902 0.1311 0.0181 0.0003

9 1.0000 0.9999 0.9963 0.9662 0.8491 0.5968 0.2784 0.0611 0.0022

10 1.0000 1.0000 0.9993 0.9907 0.9408 0.7827 0.4845 0.1642 0.0127

11 1.0000 1.0000 0.9999 0.9981 0.9824 0.9095 0.7031 0.3518 0.0556

12 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9963 0.9729 0.8732 0.6020 0.1841

13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9948 0.9647 0.8329 0.4510

14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9953 0.9648 0.7941

15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

20 0 0.1216 0.0115 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3917 0.0692 0.0076 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.6769 0.2061 0.0355 0.0036 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.8670 0.4114 0.1071 0.0160 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.9568 0.6296 0.2375 0.0510 0.0059 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.9887 0.8042 0.4164 0.1256 0.0207 0.0016 0.0000 0.0000 0.0000

6 0.9976 0.9133 0.6080 0.2500 0.0577 0.0065 0.0003 0.0000 0.0000

7 0.9996 0.9679 0.7723 0.4159 0.1316 0.0210 0.0013 0.0000 0.0000

8 0.9999 0.9900 0.8867 0.5956 0.2517 0.0565 0.0051 0.0001 0.0000

9 1.0000 0.9974 0.9520 0.7553 0.4119 0.1275 0.0171 0.0006 0.0000

10 1.0000 0.9994 0.9829 0.8725 0.5881 0.2447 0.0480 0.0026 0.0000

11 1.0000 0.9999 0.9949 0.9435 0.7483 0.4044 0.1133 0.0100 0.0001

12 1.0000 1.0000 0.9987 0.9790 0.8684 0.5841 0.2277 0.0321 0.0004

13 1.0000 1.0000 0.9997 0.9935 0.9423 0.7500 0.3920 0.0867 0.0024

14 1.0000 1.0000 1.0000 0.9984 0.9793 0.8744 0.5836 0.1958 0.0113

15 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9941 0.9490 0.7625 0.3704 0.0432

16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9987 0.9840 0.8929 0.5886 0.1330

17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9964 0.9645 0.7939 0.3231

18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9924 0.9308 0.6083

19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9992 0.9885 0.8784

20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000


iv

Jadual Poisson

Jadual memberikan Kb{X x} bagi taburan Poisson ().

Contoh:

Kb{X 2} = 0.9921 bagi = 0.4, Kb{X 7} = 0.9858 bagi = 2.5, dan Kb{X 5} =

0.1912 bagi = 8.

X Nilai

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.5488 0.4493 0.4066 1 0.9953 0.9825 0.9631 0.9384 0.9098 0.8781 0.8442 0.8088 0.7725

2 0.9998 0.9989 0.9964 0.9921 0.9856 0.9769 0.9659 0.9526 0.9371

3 1.0000 0.9999 0.9997 0.9992 0.9982 0.9966 0.9942 0.9909 0.9865

4 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9992 0.9986 0.9977

5 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9997

6 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

X Nilai

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0 0.3679 0.2231 0.1353 0.0821 0.0498 0.0302 0.0183 0.0111 0.0067 1 0.7358 0.5578 0.4060 0.2873 0.1991 0.1359 0.0916 0.0611 0.0404

2 0.9197 0.8088 0.6767 0.5438 0.4232 0.3208 0.2381 0.1736 0.1247

3 0.9810 0.9344 0.8571 0.7576 0.6472 0.5366 0.4335 0.3423 0.2650

4 0.9963 0.9814 0.9473 0.8912 0.8153 0.7254 0.6288 0.5321 0.4405

5 0.9994 0.9955 0.9834 0.9580 0.9161 0.8576 0.7851 0.7029 0.6160

6 0.9999 0.9991 0.9955 0.9858 0.9665 0.9347 0.8893 0.8311 0.7622

7 1.0000 0.9998 0.9989 0.9958 0.9881 0.9733 0.9489 0.9134 0.8666

8 1.0000 1.0000 0.9998 0.9989 0.9962 0.9901 0.9786 0.9597 0.9319

9 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9989 0.9967 0.9919 0.9829 0.9682

10 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9990 0.9972 0.9933 0.9863

11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9991 0.9976 0.9945

12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9992 0.9980

13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9993

14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998

15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999

16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000


v

Jadual Poisson (samb.)

X Nilai

5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5

0 0.0041 0.0025 0.0015 0.0009 0.0006 0.0003 0.0002 0.0001 0.0001 1 0.0266 0.0174 0.0113 0.0073 0.0047 0.0030 0.0019 0.0012 0.0008

2 0.0884 0.0620 0.0430 0.0296 0.0203 0.0138 0.0093 0.0062 0.0042

3 0.2017 0.1512 0.1118 0.0818 0.0591 0.0424 0.0301 0.0212 0.0149

4 0.3575 0.2851 0.2237 0.1730 0.1321 0.0996 0.0744 0.0550 0.0403

5 0.5289 0.4457 0.3690 0.3007 0.2414 0.1912 0.1496 0.1157 0.0885

6 0.6860 0.6063 0.5265 0.4497 0.3782 0.3134 0.2562 0.2068 0.1649

7 0.8095 0.7440 0.6728 0.5987 0.5246 0.4530 0.3856 0.3239 0.2687

8 0.8944 0.8472 0.7916 0.7291 0.6620 0.5925 0.5231 0.4557 0.3918

9 0.9462 0.9161 0.8774 0.8305 0.7764 0.7166 0.6530 0.5874 0.5218

10 0.9747 0.9574 0.9332 0.9015 0.8622 0.8159 0.7634 0.7060 0.6453

11 0.9890 0.9799 0.9661 0.9467 0.9208 0.8881 0.8487 0.8030 0.7520

12 0.9955 0.9912 0.9840 0.9730 0.9573 0.9362 0.9091 0.8758 0.8364

13 0.9983 0.9964 0.9929 0.9872 0.9784 0.9658 0.9486 0.9261 0.8981

14 0.9994 0.9986 0.9970 0.9943 0.9897 0.9827 0.9726 0.9585 0.9400

15 0.9998 0.9995 0.9988 0.9976 0.9954 0.9918 0.9862 0.9780 0.9665

16 0.9999 0.9998 0.9996 0.9990 0.9980 0.9963 0.9934 0.9889 0.9823

17 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9992 0.9984 0.9970 0.9947 0.9911

18 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9997 0.9993 0.9987 0.9976 0.9957

19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9995 0.9989 0.9980

20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9991

21 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996

22 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999

23 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999

24 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000


vi

Jadual Poisson (samb.)

x Nilai

10 11 12 13 14 15 16 17 18

0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.0028 0.0012 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.0103 0.0049 0.0023 0.0011 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000

4 0.0293 0.0151 0.0076 0.0037 0.0018 0.0009 0.0004 0.0002 0.0001

5 0.0671 0.0375 0.0203 0.0107 0.0055 0.0028 0.0014 0.0007 0.0003

6 0.1301 0.0786 0.0458 0.0259 0.0142 0.0076 0.0040 0.0021 0.0010

7 0.2202 0.1432 0.0895 0.0540 0.0316 0.0180 0.0100 0.0054 0.0029

8 0.3328 0.2320 0.1550 0.0998 0.0621 0.0374 0.0220 0.0126 0.0071

9 0.4579 0.3405 0.2424 0.1658 0.1094 0.0699 0.0433 0.0261 0.0154

10 0.5830 0.4599 0.3472 0.2517 0.1757 0.1185 0.0774 0.0491 0.0304

11 0.6968 0.5793 0.4616 0.3532 0.2600 0.1848 0.1270 0.0847 0.0549

12 0.7916 0.6887 0.5760 0.4631 0.3585 0.2676 0.1931 0.1350 0.0917

13 0.8645 0.7813 0.6815 0.5730 0.4644 0.3632 0.2745 0.2009 0.1426

14 0.9165 0.8540 0.7720 0.6751 0.5704 0.4657 0.3675 0.2808 0.2081

15 0.9513 0.9074 0.8444 0.7636 0.6694 0.5681 0.4667 0.3715 0.2867

16 0.9730 0.9441 0.8987 0.8355 0.7559 0.6641 0.5660 0.4677 0.3751

17 0.9857 0.9678 0.9370 0.8905 0.8272 0.7489 0.6593 0.5640 0.4686

18 0.9928 0.9823 0.9626 0.9302 0.8826 0.8195 0.7423 0.6550 0.5622

19 0.9965 0.9907 0.9787 0.9573 0.9235 0.8752 0.8122 0.7363 0.6509

20 0.9984 0.9953 0.9884 0.9750 0.9521 0.9170 0.8682 0.8055 0.7307

21 0.9993 0.9977 0.9939 0.9859 0.9712 0.9469 0.9108 0.8615 0.7991

22 0.9997 0.9990 0.9970 0.9924 0.9833 0.9673 0.9418 0.9047 0.8551

23 0.9999 0.9995 0.9985 0.9960 0.9907 0.9805 0.9633 0.9367 0.8989

24 1.0000 0.9998 0.9993 0.9980 0.9950 0.9888 0.9777 0.9594 0.9317

25 1.0000 0.9999 0.9997 0.9990 0.9974 0.9938 0.9869 0.9748 0.9554

26 1.0000 1.0000 0.9999 0.9995 0.9987 0.9967 0.9925 0.9848 0.9718

27 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9994 0.9983 0.9959 0.9912 0.9827

28 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9991 0.9978 0.9950 0.9897

29 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9989 0.9973 0.9941

30 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9994 0.9986 0.9967

31 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9993 0.9982

32 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9990

33 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9995

34 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998

35 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999

36 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999

37 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000


vii

Jadual Normal Piawai

Luas berlorek adalah, F(z),

atau Kb{Z<z} = dxe

zx

2/2

2

1

,

pada seluruh papahan taburan normal (- , ).

Z -0.00 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 -0.06 -0.07 -0.08 -0.09

-3.70 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 -3.60 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 -3.50 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 -3.40 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 -3.30 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003 -3.20 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 -3.10 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 -3.00 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 -2.90 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 -2.80 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 -2.70 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 -2.60 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 -2.50 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 -2.40 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 -2.30 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 -2.20 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 -2.10 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 -2.00 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 -1.90 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 -1.80 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 -1.70 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 -1.60 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 -1.50 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 -1.40 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 -1.30 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 -1.20 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 -1.10 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 -1.00 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 -0.90 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 -0.80 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 -0.70 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 -0.60 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 -0.50 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 -0.40 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 -0.30 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 -0.20 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 -0.10 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 -0.00 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641

Baca: Mendapat luas sehingga z = -1.25, lihat nilai –1.20 di lajur pertama dan nilai –0.05 di baris pertama, nilai F(z) yang dikehendaki adalah tempat pertemuan baris dan lajur berkenaan. Bagi luas sehingga +1.96, lihat 1.90 di lajur pertama dan nilai +0.06 di baris pertama, nilai F(z) diperolehi begitu juga.

Di sini, F(-1.25) = 0.1056, dan F(1.96) = 0.9750.

z


viii

Jadual Normal (samb.)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.00

00

0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.10 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.20 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.30 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.40 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.50 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.60 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.70 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.80 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.90 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.00 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.10 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.20 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.30 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.40 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.50 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.60 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.70 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.80 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.90 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.00 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.10 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.20 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.30 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.40 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.50 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.60 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.70 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.80 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.90 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.00 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.10 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.20 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.30 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.40 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

3.50 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998

3.60 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.70 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.80 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999


ix

Jadual Songsang Normal Piawai

Nilai z bila luas sebelah kiri bersamaan , atau dxe xz

2/2

2

1

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009

0.00 -3.090 -2.878 -2.748 -2.652 -2.576 -2.512 -2.457 -2.409 -2.366 0.01 -2.326 -2.290 -2.257 -2.226 -2.197 -2.170 -2.144 -2.120 -2.097 -2.075 0.02 -2.054 -2.034 -2.014 -1.995 -1.977 -1.960 -1.943 -1.927 -1.911 -1.896 0.03 -1.881 -1.866 -1.852 -1.838 -1.825 -1.812 -1.799 -1.787 -1.774 -1.762 0.04 -1.751 -1.739 -1.728 -1.717 -1.706 -1.695 -1.685 -1.675 -1.665 -1.655 0.05 -1.645 -1.635 -1.626 -1.616 -1.607 -1.598 -1.589 -1.580 -1.572 -1.563 0.06 -1.555 -1.546 -1.538 -1.530 -1.522 -1.514 -1.506 -1.499 -1.491 -1.483 0.07 -1.476 -1.468 -1.461 -1.454 -1.447 -1.440 -1.433 -1.426 -1.419 -1.412 0.08 -1.405 -1.398 -1.392 -1.385 -1.379 -1.372 -1.366 -1.359 -1.353 -1.347 0.09 -1.341 -1.335 -1.329 -1.323 -1.317 -1.311 -1.305 -1.299 -1.293 -1.287 0.10 -1.282 -1.276 -1.270 -1.265 -1.259 -1.254 -1.248 -1.243 -1.237 -1.232 0.11 -1.227 -1.221 -1.216 -1.211 -1.206 -1.200 -1.195 -1.190 -1.185 -1.180 0.12 -1.175 -1.170 -1.165 -1.160 -1.155 -1.150 -1.146 -1.141 -1.136 -1.131 0.13 -1.126 -1.122 -1.117 -1.112 -1.108 -1.103 -1.098 -1.094 -1.089 -1.085 0.14 -1.080 -1.076 -1.071 -1.067 -1.063 -1.058 -1.054 -1.049 -1.045 -1.041 0.15 -1.036 -1.032 -1.028 -1.024 -1.019 -1.015 -1.011 -1.007 -1.003 -0.999 0.16 -0.994 -0.990 -0.986 -0.982 -0.978 -0.974 -0.970 -0.966 -0.962 -0.958 0.17 -0.954 -0.950 -0.946 -0.942 -0.938 -0.935 -0.931 -0.927 -0.923 -0.919 0.18 -0.915 -0.912 -0.908 -0.904 -0.900 -0.896 -0.893 -0.889 -0.885 -0.882 0.19 -0.878 -0.874 -0.871 -0.867 -0.863 -0.860 -0.856 -0.852 -0.849 -0.845 0.20 -0.842 -0.838 -0.834 -0.831 -0.827 -0.824 -0.820 -0.817 -0.813 -0.810 0.21 -0.806 -0.803 -0.800 -0.796 -0.793 -0.789 -0.786 -0.782 -0.779 -0.776 0.22 -0.772 -0.769 -0.765 -0.762 -0.759 -0.755 -0.752 -0.749 -0.745 -0.742 0.23 -0.739 -0.736 -0.732 -0.729 -0.726 -0.722 -0.719 -0.716 -0.713 -0.710 0.24 -0.706 -0.703 -0.700 -0.697 -0.693 -0.690 -0.687 -0.684 -0.681 -0.678 0.25 -0.674 -0.671 -0.668 -0.665 -0.662 -0.659 -0.656 -0.653 -0.650 -0.646 0.26 -0.643 -0.640 -0.637 -0.634 -0.631 -0.628 -0.625 -0.622 -0.619 -0.616 0.27 -0.613 -0.610 -0.607 -0.604 -0.601 -0.598 -0.595 -0.592 -0.589 -0.586 0.28 -0.583 -0.580 -0.577 -0.574 -0.571 -0.568 -0.565 -0.562 -0.559 -0.556 0.29 -0.553 -0.550 -0.548 -0.545 -0.542 -0.539 -0.536 -0.533 -0.530 -0.527 0.30 -0.524 -0.522 -0.519 -0.516 -0.513 -0.510 -0.507 -0.504 -0.502 -0.499 0.31 -0.496 -0.493 -0.490 -0.487 -0.485 -0.482 -0.479 -0.476 -0.473 -0.470 0.32 -0.468 -0.465 -0.462 -0.459 -0.457 -0.454 -0.451 -0.448 -0.445 -0.443 0.33 -0.440 -0.437 -0.434 -0.432 -0.429 -0.426 -0.423 -0.421 -0.418 -0.415 0.34 -0.412 -0.410 -0.407 -0.404 -0.402 -0.399 -0.396 -0.393 -0.391 -0.388 0.35 -0.385 -0.383 -0.380 -0.377 -0.375 -0.372 -0.369 -0.366 -0.364 -0.361 0.36 -0.358 -0.356 -0.353 -0.350 -0.348 -0.345 -0.342 -0.340 -0.337 -0.335 0.37 -0.332 -0.329 -0.327 -0.324 -0.321 -0.319 -0.316 -0.313 -0.311 -0.308 0.38 -0.305 -0.303 -0.300 -0.298 -0.295 -0.292 -0.290 -0.287 -0.285 -0.282 0.39 -0.279 -0.277 -0.274 -0.272 -0.269 -0.266 -0.264 -0.261 -0.259 -0.256 0.40 -0.253 -0.251 -0.248 -0.246 -0.243 -0.240 -0.238 -0.235 -0.233 -0.230 0.41 -0.228 -0.225 -0.222 -0.220 -0.217 -0.215 -0.212 -0.210 -0.207 -0.204 0.42 -0.202 -0.199 -0.197 -0.194 -0.192 -0.189 -0.187 -0.184 -0.181 -0.179 0.43 -0.176 -0.174 -0.171 -0.169 -0.166 -0.164 -0.161 -0.159 -0.156 -0.154 0.44 -0.151 -0.148 -0.146 -0.143 -0.141 -0.138 -0.136 -0.133 -0.131 -0.128 0.45 -0.126 -0.123 -0.121 -0.118 -0.116 -0.113 -0.111 -0.108 -0.105 -0.103 0.46 -0.100 -0.098 -0.095 -0.093 -0.090 -0.088 -0.085 -0.083 -0.080 -0.078 0.47 -0.075 -0.073 -0.070 -0.068 -0.065 -0.063 -0.060 -0.058 -0.055 -0.053 0.48 -0.050 -0.048 -0.045 -0.043 -0.040 -0.038 -0.035 -0.033 -0.030 -0.028 0.49 -0.025 -0.023 -0.020 -0.018 -0.015 -0.013 -0.010 -0.008 -0.005 -0.003 0.50 0.000 0.003 0.005 0.008 0.010 0.013 0.015 0.018 0.020 0.023


x

Jadual Songsang Normal Piawai (samb.)

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009

0.51 0.025 0.028 0.030 0.033 0.035 0.038 0.040 0.043 0.045 0.048 0.52 0.050 0.053 0.055 0.058 0.060 0.063 0.065 0.068 0.070 0.073 0.53 0.075 0.078 0.080 0.083 0.085 0.088 0.090 0.093 0.095 0.098 0.54 0.100 0.103 0.105 0.108 0.111 0.113 0.116 0.118 0.121 0.123 0.55 0.126 0.128 0.131 0.133 0.136 0.138 0.141 0.143 0.146 0.148 0.56 0.151 0.154 0.156 0.159 0.161 0.164 0.166 0.169 0.171 0.174 0.57 0.176 0.179 0.181 0.184 0.187 0.189 0.192 0.194 0.197 0.199 0.58 0.202 0.204 0.207 0.210 0.212 0.215 0.217 0.220 0.222 0.225 0.59 0.228 0.230 0.233 0.235 0.238 0.240 0.243 0.246 0.248 0.251 0.60 0.001 0.256 0.259 0.261 0.264 0.266 0.269 0.272 0.274 0.277 0.61 0.279 0.282 0.285 0.287 0.290 0.292 0.295 0.298 0.300 0.303 0.62 0.305 0.308 0.311 0.313 0.316 0.319 0.321 0.324 0.327 0.329 0.63 0.332 0.335 0.337 0.340 0.342 0.345 0.348 0.350 0.353 0.356 0.64 0.358 0.361 0.364 0.366 0.369 0.372 0.375 0.377 0.380 0.383 0.65 0.385 0.388 0.391 0.393 0.396 0.399 0.402 0.404 0.407 0.410 0.66 0.412 0.415 0.418 0.421 0.423 0.426 0.429 0.432 0.434 0.437 0.67 0.440 0.443 0.445 0.448 0.451 0.454 0.457 0.459 0.462 0.465 0.68 0.468 0.470 0.473 0.476 0.479 0.482 0.485 0.487 0.490 0.493 0.69 0.496 0.499 0.502 0.504 0.507 0.510 0.513 0.516 0.519 0.522 0.70 0.524 0.527 0.530 0.533 0.536 0.539 0.542 0.545 0.548 0.550 0.71 0.553 0.556 0.559 0.562 0.565 0.568 0.571 0.574 0.577 0.580 0.72 0.583 0.586 0.589 0.592 0.595 0.598 0.601 0.604 0.607 0.610 0.73 0.613 0.616 0.619 0.622 0.625 0.628 0.631 0.634 0.637 0.640 0.74 0.643 0.646 0.650 0.653 0.656 0.659 0.662 0.665 0.668 0.671 0.75 0.674 0.678 0.681 0.684 0.687 0.690 0.693 0.697 0.700 0.703 0.76 0.706 0.710 0.713 0.716 0.719 0.722 0.726 0.729 0.732 0.736 0.77 0.739 0.742 0.745 0.749 0.752 0.755 0.759 0.762 0.765 0.769 0.78 0.772 0.776 0.779 0.782 0.786 0.789 0.793 0.796 0.800 0.803 0.79 0.806 0.810 0.813 0.817 0.820 0.824 0.827 0.831 0.834 0.838 0.80 0.842 0.845 0.849 0.852 0.856 0.860 0.863 0.867 0.871 0.874 0.81 0.878 0.882 0.885 0.889 0.893 0.896 0.900 0.904 0.908 0.912 0.82 0.915 0.919 0.923 0.927 0.931 0.935 0.938 0.942 0.946 0.950 0.83 0.954 0.958 0.962 0.966 0.970 0.974 0.978 0.982 0.986 0.990 0.84 0.994 0.999 1.003 1.007 1.011 1.015 1.019 1.024 1.028 1.032 0.85 1.036 1.041 1.045 1.049 1.054 1.058 1.063 1.067 1.071 1.076 0.86 1.080 1.085 1.089 1.094 1.098 1.103 1.108 1.112 1.117 1.122 0.87 1.126 1.131 1.136 1.141 1.146 1.150 1.155 1.160 1.165 1.170 0.88 1.175 1.180 1.185 1.190 1.195 1.200 1.206 1.211 1.216 1.221 0.89 1.227 1.232 1.237 1.243 1.248 1.254 1.259 1.265 1.270 1.276 0.90 1.282 1.287 1.293 1.299 1.305 1.311 1.317 1.323 1.329 1.335 0.91 1.341 1.347 1.353 1.359 1.366 1.372 1.379 1.385 1.392 1.398 0.92 1.405 1.412 1.419 1.426 1.433 1.440 1.447 1.454 1.461 1.468 0.93 1.476 1.483 1.491 1.499 1.506 1.514 1.522 1.530 1.538 1.546 0.94 1.555 1.563 1.572 1.580 1.589 1.598 1.607 1.616 1.626 1.635 0.95 1.645 1.655 1.665 1.675 1.685 1.695 1.706 1.717 1.728 1.739 0.96 1.751 1.762 1.774 1.787 1.799 1.812 1.825 1.838 1.852 1.866 0.97 1.881 1.896 1.911 1.927 1.943 1.960 1.977 1.995 2.014 2.034 0.98 2.054 2.075 2.097 2.120 2.144 2.170 2.197 2.226 2.257 2.290 0.99 2.326 2.366 2.409 2.457 2.512 2.576 2.652 2.748 2.878 3.090


xi

Jadual Taburan t Nilai dalam jadual adalah nilai t supaya luas sebelah kanan, Kb{T>t}= ,bagi d.k.

tertentu. Contoh: Kb{T>2.0150}= 0.05, =5,

Kb{T>2.7181}= 0.01, =11.

Darjah kebebasan

Luas pada hujung kanan, α

0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001

1 1.0000 3.0777 6.3137 12.7062 31.8210 63.6559 318.2888 2 0.8165 1.8856 2.9200 4.3027 6.9645 9.9250 22.3285 3 0.7649 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8408 10.2143 4 0.7407 1.5332 2.1318 2.7765 3.7469 4.6041 7.1729 5 0.7267 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 5.8935 6 0.7176 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 5.2075 7 0.7111 1.4149 1.8946 2.3646 2.9979 3.4995 4.7853 8 0.7064 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 4.5008 9 0.7027 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 4.2969

10 0.6998 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 4.1437

11 0.6974 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 4.0248 12 0.6955 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 3.9296 13 0.6938 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 3.8520 14 0.6924 1.3450 1.7613 2.1448 2.6245 2.9768 3.7874 15 0.6912 1.3406 1.7531 2.1315 2.6025 2.9467 3.7329

16 0.6901 1.3368 1.7459 2.1199 2.5835 2.9208 3.6861 17 0.6892 1.3334 1.7396 2.1098 2.5669 2.8982 3.6458 18 0.6884 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524 2.8784 3.6105 19 0.6876 1.3277 1.7291 2.0930 2.5395 2.8609 3.5793 20 0.6870 1.3253 1.7247 2.0860 2.5280 2.8453 3.5518

21 0.6864 1.3232 1.7207 2.0796 2.5176 2.8314 3.5271 22 0.6858 1.3212 1.7171 2.0739 2.5083 2.8188 3.5050 23 0.6853 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 3.4850 24 0.6848 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922 2.7970 3.4668 25 0.6844 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 3.4502

26 0.6840 1.3150 1.7056 2.0555 2.4786 2.7787 3.4350 27 0.6837 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707 3.4210 28 0.6834 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633 3.4082 29 0.6830 1.3114 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564 3.3963 30 0.6828 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500 3.3852

35 0.6816 1.3062 1.6896 2.0301 2.4377 2.7238 3.3400 40 0.6807 1.3031 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045 3.3069 50 0.6794 1.2987 1.6759 2.0086 2.4033 2.6778 3.2614 60 0.6786 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603 3.2317 80 0.6776 1.2922 1.6641 1.9901 2.3739 2.6387 3.1952 100 0.6770 1.2901 1.6602 1.9840 2.3642 2.6259 3.1738


xii

Jadual Khi Kuasadua

Luas sebelah kanan Kb{2() > x} = , dan x tercatat dalam jadual untuk

beberapa x dan , darjah kebebasan.

Contoh: Kb{2(4) > 0.297} = 0.99,

Kb{2(9) > 11.07} = 0.05,

dan Kb{2(23) > 41.638} = 0.01.

Darjah kebebasan

Luas sebelah kanan, α

0.995 0.990 0.975 0.950 0.050 0.025 0.010 0.005

1 0.000 0.000 0.001 0.004 3.841 5.024 6.635 7.879 2 0.010 0.020 0.051 0.103 5.991 7.378 9.210 10.597 3 0.072 0.115 0.216 0.352 7.815 9.348 11.345 12.838 4 0.207 0.297 0.484 0.711 9.488 11.143 13.277 14.860 5 0.412 0.554 0.831 1.145 11.070 12.832 15.086 16.750 6 0.676 0.872 1.237 1.635 12.592 14.449 16.812 18.548 7 0.989 1.239 1.690 2.167 14.067 16.013 18.475 20.278 8 1.344 1.647 2.180 2.733 15.507 17.535 20.090 21.955 9 1.735 2.088 2.700 3.325 16.919 19.023 21.666 23.589

10 2.156 2.558 3.247 3.940 18.307 20.483 23.209 25.188 11 2.603 3.053 3.816 4.575 19.675 21.920 24.725 26.757 12 3.074 3.571 4.404 5.226 21.026 23.337 26.217 28.300

13 3.565 4.107 5.009 5.892 22.362 24.736 27.688 29.819 14 4.075 4.660 5.629 6.571 23.685 26.119 29.141 31.319 15 4.601 5.229 6.262 7.261 24.996 27.488 30.578 32.801 16 5.142 5.812 6.908 7.962 26.296 28.845 32.000 34.267

17 5.697 6.408 7.564 8.672 27.587 30.191 33.409 35.718 18 6.265 7.015 8.231 9.390 28.869 31.526 34.805 37.156 19 6.844 7.633 8.907 10.117 30.144 32.852 36.191 38.582 20 7.434 8.260 9.591 10.851 31.410 34.170 37.566 39.997

21 8.034 8.897 10.283 11.591 32.671 35.479 38.932 41.401 22 8.643 9.542 10.982 12.338 33.924 36.781 40.289 42.796 23 9.260 10.196 11.689 13.091 35.172 38.076 41.638 44.181 24 9.886 10.856 12.401 13.848 36.415 39.364 42.980 45.558

25 10.520 11.524 13.120 14.611 37.652 40.646 44.314 46.928 26 11.160 12.198 13.844 15.379 38.885 41.923 45.642 48.290 27 11.808 12.878 14.573 16.151 40.113 43.195 46.963 49.645 28 12.461 13.565 15.308 16.928 41.337 44.461 48.278 50.994 29 13.121 14.256 16.047 17.708 42.557 45.722 49.588 52.335 30 13.787 14.953 16.791 18.493 43.773 46.979 50.892 53.672


xiii

Jadual Taburan F

Menunjukkan nilai genting bagi luas sebelah kanan = 0.10, pada darjah kebebasan tertentu.

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 39.86 49.50 53.59 55.83 57.24 58.20 58.91 59.44 59.86 60.19 2 8.53 9.00 9.16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38 9.39 3 5.54 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28 5.27 5.25 5.24 5.23 4 4.54 4.32 4.19 4.11 4.05 4.01 3.98 3.95 3.94 3.92

5 4.06 3.78 3.62 3.52 3.45 3.40 3.37 3.34 3.32 3.30 6 3.78 3.46 3.29 3.18 3.11 3.05 3.01 2.98 2.96 2.94 7 3.59 3.26 3.07 2.96 2.88 2.83 2.78 2.75 2.72 2.70 8 3.46 3.11 2.92 2.81 2.73 2.67 2.62 2.59 2.56 2.54

9 3.36 3.01 2.81 2.69 2.61 2.55 2.51 2.47 2.44 2.42 10 3.29 2.92 2.73 2.61 2.52 2.46 2.41 2.38 2.35 2.32 11 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.39 2.34 2.30 2.27 2.25 12 3.18 2.81 2.61 2.48 2.39 2.33 2.28 2.24 2.21 2.19

13 3.14 2.76 2.56 2.43 2.35 2.28 2.23 2.20 2.16 2.14 14 3.10 2.73 2.52 2.39 2.31 2.24 2.19 2.15 2.12 2.10 15 3.07 2.70 2.49 2.36 2.27 2.21 2.16 2.12 2.09 2.06 16 3.05 2.67 2.46 2.33 2.24 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03

17 3.03 2.64 2.44 2.31 2.22 2.15 2.10 2.06 2.03 2.00 18 3.01 2.62 2.42 2.29 2.20 2.13 2.08 2.04 2.00 1.98 19 2.99 2.61 2.40 2.27 2.18 2.11 2.06 2.02 1.98 1.96 20 2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.09 2.04 2.00 1.96 1.94

21 2.96 2.57 2.36 2.23 2.14 2.08 2.02 1.98 1.95 1.92 22 2.95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.06 2.01 1.97 1.93 1.90 23 2.94 2.55 2.34 2.21 2.11 2.05 1.99 1.95 1.92 1.89 24 2.93 2.54 2.33 2.19 2.10 2.04 1.98 1.94 1.91 1.88

25 2.92 2.53 2.32 2.18 2.09 2.02 1.97 1.93 1.89 1.87 26 2.91 2.52 2.31 2.17 2.08 2.01 1.96 1.92 1.88 1.86 27 2.90 2.51 2.30 2.17 2.07 2.00 1.95 1.91 1.87 1.85 28 2.89 2.50 2.29 2.16 2.06 2.00 1.94 1.90 1.87 1.84

29 2.89 2.50 2.28 2.15 2.06 1.99 1.93 1.89 1.86 1.83 30 2.88 2.49 2.28 2.14 2.05 1.98 1.93 1.88 1.85 1.82 40 2.84 2.44 2.23 2.09 2.00 1.93 1.87 1.83 1.79 1.76 45 2.82 2.42 2.21 2.07 1.98 1.91 1.85 1.81 1.77 1.74

50 2.81 2.41 2.20 2.06 1.97 1.90 1.84 1.80 1.76 1.73 60 2.79 2.39 2.18 2.04 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71 70 2.78 2.38 2.16 2.03 1.93 1.86 1.80 1.76 1.72 1.69 80 2.77 2.37 2.15 2.02 1.92 1.85 1.79 1.75 1.71 1.68

90 2.76 2.36 2.15 2.01 1.91 1.84 1.78 1.74 1.70 1.67 100 2.76 2.36 2.14 2.00 1.91 1.83 1.78 1.73 1.69 1.66 120 2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65


xiv

Jadual Taburan F (samb.), = 0.10.

1

2

12 15 20 25 30 40 60 90 120

1 60.71 61.22 61.74 62.05 62.26 62.53 62.79 62.97 63.06 2 9.41 9.42 9.44 9.45 9.46 9.47 9.47 9.48 9.48 3 5.22 5.20 5.18 5.17 5.17 5.16 5.15 5.15 5.14 4 3.90 3.87 3.84 3.83 3.82 3.80 3.79 3.78 3.78 5 3.27 3.24 3.21 3.19 3.17 3.16 3.14 3.13 3.12 6 2.90 2.87 2.84 2.81 2.80 2.78 2.76 2.75 2.74 7 2.67 2.63 2.59 2.57 2.56 2.54 2.51 2.50 2.49 8 2.50 2.46 2.42 2.40 2.38 2.36 2.34 2.32 2.32 9 2.38 2.34 2.30 2.27 2.25 2.23 2.21 2.19 2.18

10 2.28 2.24 2.20 2.17 2.16 2.13 2.11 2.09 2.08 11 2.21 2.17 2.12 2.10 2.08 2.05 2.03 2.01 2.00 12 2.15 2.10 2.06 2.03 2.01 1.99 1.96 1.94 1.93

13 2.10 2.05 2.01 1.98 1.96 1.93 1.90 1.89 1.88 14 2.05 2.01 1.96 1.93 1.91 1.89 1.86 1.84 1.83 15 2.02 1.97 1.92 1.89 1.87 1.85 1.82 1.80 1.79 16 1.99 1.94 1.89 1.86 1.84 1.81 1.78 1.76 1.75

17 1.96 1.91 1.86 1.83 1.81 1.78 1.75 1.73 1.72 18 1.93 1.89 1.84 1.80 1.78 1.75 1.72 1.70 1.69 19 1.91 1.86 1.81 1.78 1.76 1.73 1.70 1.68 1.67 20 1.89 1.84 1.79 1.76 1.74 1.71 1.68 1.65 1.64

21 1.87 1.83 1.78 1.74 1.72 1.69 1.66 1.63 1.62 22 1.86 1.81 1.76 1.73 1.70 1.67 1.64 1.62 1.60 23 1.84 1.80 1.74 1.71 1.69 1.66 1.62 1.60 1.59 24 1.83 1.78 1.73 1.70 1.67 1.64 1.61 1.58 1.57

25 1.82 1.77 1.72 1.68 1.66 1.63 1.59 1.57 1.56 26 1.81 1.76 1.71 1.67 1.65 1.61 1.58 1.56 1.54 27 1.80 1.75 1.70 1.66 1.64 1.60 1.57 1.54 1.53 28 1.79 1.74 1.69 1.65 1.63 1.59 1.56 1.53 1.52

29 1.78 1.73 1.68 1.64 1.62 1.58 1.55 1.52 1.51 30 1.77 1.72 1.67 1.63 1.61 1.57 1.54 1.51 1.50 40 1.71 1.66 1.61 1.57 1.54 1.51 1.47 1.44 1.42 45 1.70 1.64 1.58 1.55 1.52 1.48 1.44 1.41 1.40

50 1.68 1.63 1.57 1.53 1.50 1.46 1.42 1.39 1.38 60 1.66 1.60 1.54 1.50 1.48 1.44 1.40 1.36 1.35 70 1.64 1.59 1.53 1.49 1.46 1.42 1.37 1.34 1.32 80 1.63 1.57 1.51 1.47 1.44 1.40 1.36 1.33 1.31

90 1.62 1.56 1.50 1.46 1.43 1.39 1.35 1.31 1.29 100 1.61 1.56 1.49 1.45 1.42 1.38 1.34 1.30 1.28 120 1.60 1.55 1.48 1.44 1.41 1.37 1.32 1.28 1.26


xv

Jadual Taburan F


1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14

10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75

13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49

17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35

21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25

25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 28 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19

29 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 45 4.06 3.20 2.81 2.58 2.42 2.31 2.22 2.15 2.10 2.05

50 4.03 3.18 2.79 2.56 2.40 2.29 2.20 2.13 2.07 2.03 60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 70 3.98 3.13 2.74 2.50 2.35 2.23 2.14 2.07 2.02 1.97 80 3.96 3.11 2.72 2.49 2.33 2.21 2.13 2.06 2.00 1.95

90 3.95 3.10 2.71 2.47 2.32 2.20 2.11 2.04 1.99 1.94 100 3.94 3.09 2.70 2.46 2.31 2.19 2.10 2.03 1.97 1.93 120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91


xvi


1

2

12 15 20 25 30 40 60 90 120

1 243.9 245.9 248.0 249.3 250.1 251.1 252.2 252.9 253.3 2 19.41 19.43 19.45 19.46 19.46 19.47 19.48 19.48 19.49 3 8.74 8.70 8.66 8.63 8.62 8.59 8.57 8.56 8.55 4 5.91 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.69 5.67 5.66 5 4.68 4.62 4.56 4.52 4.50 4.46 4.43 4.41 4.40 6 4.00 3.94 3.87 3.83 3.81 3.77 3.74 3.72 3.70 7 3.57 3.51 3.44 3.40 3.38 3.34 3.30 3.28 3.27 8 3.28 3.22 3.15 3.11 3.08 3.04 3.01 2.98 2.97 9 3.07 3.01 2.94 2.89 2.86 2.83 2.79 2.76 2.75

10 2.91 2.85 2.77 2.73 2.70 2.66 2.62 2.59 2.58 11 2.79 2.72 2.65 2.60 2.57 2.53 2.49 2.46 2.45 12 2.69 2.62 2.54 2.50 2.47 2.43 2.38 2.36 2.34

13 2.60 2.53 2.46 2.41 2.38 2.34 2.30 2.27 2.25 14 2.53 2.46 2.39 2.34 2.31 2.27 2.22 2.19 2.18 15 2.48 2.40 2.33 2.28 2.25 2.20 2.16 2.13 2.11 16 2.42 2.35 2.28 2.23 2.19 2.15 2.11 2.07 2.06

17 2.38 2.31 2.23 2.18 2.15 2.10 2.06 2.03 2.01 18 2.34 2.27 2.19 2.14 2.11 2.06 2.02 1.98 1.97 19 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.95 1.93 20 2.28 2.20 2.12 2.07 2.04 1.99 1.95 1.91 1.90

21 2.25 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.88 1.87 22 2.23 2.15 2.07 2.02 1.98 1.94 1.89 1.86 1.84 23 2.20 2.13 2.05 2.00 1.96 1.91 1.86 1.83 1.81 24 2.18 2.11 2.03 1.97 1.94 1.89 1.84 1.81 1.79

25 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.79 1.77 26 2.15 2.07 1.99 1.94 1.90 1.85 1.80 1.77 1.75 27 2.13 2.06 1.97 1.92 1.88 1.84 1.79 1.75 1.73 28 2.12 2.04 1.96 1.91 1.87 1.82 1.77 1.73 1.71

29 2.10 2.03 1.94 1.89 1.85 1.81 1.75 1.72 1.70 30 2.09 2.01 1.93 1.88 1.84 1.79 1.74 1.70 1.68 40 2.00 1.92 1.84 1.78 1.74 1.69 1.64 1.60 1.58 45 1.97 1.89 1.81 1.75 1.71 1.66 1.60 1.56 1.54

50 1.95 1.87 1.78 1.73 1.69 1.63 1.58 1.53 1.51 60 1.92 1.84 1.75 1.69 1.65 1.59 1.53 1.49 1.47 70 1.89 1.81 1.72 1.66 1.62 1.57 1.50 1.46 1.44 80 1.88 1.79 1.70 1.64 1.60 1.54 1.48 1.44 1.41

90 1.86 1.78 1.69 1.63 1.59 1.53 1.46 1.42 1.39 100 1.85 1.77 1.68 1.62 1.57 1.52 1.45 1.40 1.38 120 1.83 1.75 1.66 1.60 1.55 1.50 1.43 1.38 1.35


xvii

Jadual Taburan F


1

2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 4052 4999 5404 5624 5764 5859 5928 5981 6022 6056 2 98.50 99.00 99.16 99.25 99.30 99.33 99.36 99.38 99.39 99.40 3 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.34 27.23 4 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55

5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05 6 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81

9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30

13 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10 14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80 16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69

17 8.40 6.11 5.19 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59 18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51 19 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 20 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37

21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31 22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21 24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17

25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09 27 7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06 28 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03

29 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 3.00 30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 45 7.23 5.11 4.25 3.77 3.45 3.23 3.07 2.94 2.83 2.74

50 7.17 5.06 4.20 3.72 3.41 3.19 3.02 2.89 2.78 2.70 60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 70 7.01 4.92 4.07 3.60 3.29 3.07 2.91 2.78 2.67 2.59 80 6.96 4.88 4.04 3.56 3.26 3.04 2.87 2.74 2.64 2.55

90 6.93 4.85 4.01 3.53 3.23 3.01 2.84 2.72 2.61 2.52 100 6.90 4.82 3.98 3.51 3.21 2.99 2.82 2.69 2.59 2.50 120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47


xviii


1 2

12 15 20 25 30 40 60 90 120

1 6107 6157 6209 6240 6260 6286 6313 6331 6340 2 99.42 99.43 99.45 99.46 99.47 99.48 99.48 99.49 99.49 3 27.05 26.87 26.69 26.58 26.50 26.41 26.32 26.25 26.22 4 14.37 14.20 14.02 13.91 13.84 13.75 13.65 13.59 13.56 5 9.89 9.72 9.55 9.45 9.38 9.29 9.20 9.14 9.11 6 7.72 7.56 7.40 7.30 7.23 7.14 7.06 7.00 6.97 7 6.47 6.31 6.16 6.06 5.99 5.91 5.82 5.77 5.74 8 5.67 5.52 5.36 5.26 5.20 5.12 5.03 4.97 4.95 9 5.11 4.96 4.81 4.71 4.65 4.57 4.48 4.43 4.40

10 4.71 4.56 4.41 4.31 4.25 4.17 4.08 4.03 4.00 11 4.40 4.25 4.10 4.01 3.94 3.86 3.78 3.72 3.69 12 4.16 4.01 3.86 3.76 3.70 3.62 3.54 3.48 3.45

13 3.96 3.82 3.66 3.57 3.51 3.43 3.34 3.28 3.25 14 3.80 3.66 3.51 3.41 3.35 3.27 3.18 3.12 3.09 15 3.67 3.52 3.37 3.28 3.21 3.13 3.05 2.99 2.96 16 3.55 3.41 3.26 3.16 3.10 3.02 2.93 2.87 2.84

17 3.46 3.31 3.16 3.07 3.00 2.92 2.83 2.78 2.75 18 3.37 3.23 3.08 2.98 2.92 2.84 2.75 2.69 2.66 19 3.30 3.15 3.00 2.91 2.84 2.76 2.67 2.61 2.58 20 3.23 3.09 2.94 2.84 2.78 2.69 2.61 2.55 2.52

21 3.17 3.03 2.88 2.79 2.72 2.64 2.55 2.49 2.46 22 3.12 2.98 2.83 2.73 2.67 2.58 2.50 2.43 2.40 23 3.07 2.93 2.78 2.69 2.62 2.54 2.45 2.39 2.35 24 3.03 2.89 2.74 2.64 2.58 2.49 2.40 2.34 2.31

25 2.99 2.85 2.70 2.60 2.54 2.45 2.36 2.30 2.27 26 2.96 2.81 2.66 2.57 2.50 2.42 2.33 2.26 2.23 27 2.93 2.78 2.63 2.54 2.47 2.38 2.29 2.23 2.20 28 2.90 2.75 2.60 2.51 2.44 2.35 2.26 2.20 2.17

29 2.87 2.73 2.57 2.48 2.41 2.33 2.23 2.17 2.14 30 2.84 2.70 2.55 2.45 2.39 2.30 2.21 2.14 2.11 40 2.66 2.52 2.37 2.27 2.20 2.11 2.02 1.95 1.92 45 2.61 2.46 2.31 2.21 2.14 2.05 1.96 1.89 1.85

50 2.56 2.42 2.27 2.17 2.10 2.01 1.91 1.84 1.80 60 2.50 2.35 2.20 2.10 2.03 1.94 1.84 1.76 1.73 70 2.45 2.31 2.15 2.05 1.98 1.89 1.78 1.71 1.67 80 2.42 2.27 2.12 2.01 1.94 1.85 1.75 1.67 1.63

90 2.39 2.24 2.09 1.99 1.92 1.82 1.72 1.64 1.60 100 2.37 2.22 2.07 1.97 1.89 1.80 1.69 1.61 1.57 120 2.34 2.19 2.03 1.93 1.86 1.76 1.66 1.58 1.53

Sumber keseluruhan jadual dalam appendiks: Mohd Nawi Ab Rahman, (2000). Teras Penyelidikan. Serdang: Penerbit Universiti Putra Malaysia, ms: 159-179.


xix

modul smu3063 stat asas pjj (1)

Education