Transformasi untuk Memperoleh Sebaran t dan FSebaran t dan F

Dr. Kusman Sadik, M.SiDepartemen Statistika IPB, 2016

1

Transformasi : Sebaran t-Student dan Sebaran F Metode transformasi yang telah dibahas sebelumnya dapat digunakan untuk mendapatkan fkp baru dari p.a. hasil transformasi. Dua sebaran dalam statistika yang merupakan

2

transformasi. Dua sebaran dalam statistika yang merupakan hasil dari metode transformasi tersebut adalah sebaran t-Student dan sebaran F.

Sebaran t-Student Misalkan X dan Y adalah dua p.a. yang saling bebas dengan fkp sebagai berikut: X N(0, 1) dan Y 2(r). Jika kemudiandidefinisikan p.a. lainnya T = rYX // maka p.a. T memiliki

3

didefinisikan p.a. lainnya T = rYX // maka p.a. T memiliki sebaran t-Student dengan derajat bebas r.

Karena X N(0, 1) dan Y 2(r) maka dapat dinyatakan sebagai berikut:

xexf xX - ,21)( 2)2/1(

yr1 2/1)2/(

4

yeyryf yrrY 0 ,2)2/(1)( 2/1)2/()2/1(

kemudian didefinisikan p.a. lainnya T = rYX //

Perlu didefinisikan satu peubah acak lain agar transformasi terjadi dari ruang berdimensi dua ke ruang berdimensi dua. Misalkan U = Y, sehingga diperoleh sepasang transformasi yaitu t = ryx // dan u = y. Trasformasi ini bersifat satu-satu untuk seluruh daerah fungsi.

5

t = ryx // dan u = y Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan di atas, akan diperoleh persamaan berikut:

x = rut dan y = u

x = rut dan y = u

x/t = r

u ; x/u = rut 21 ;

y/t= 0; y/u = 1;

6

y/t= 0; y/u = 1;

ruru

tru

J 10

2

Selanjutnya menentukan batas nilai bagi t dan u yaitu : karena - < x < , 0 < y < , dan 0 < r < maka dapat dinyatakan bahwa 0 < ry / < , sehingga

7

- < (t = ryx // ) < - < t < 0 < (u = y) < 0 < u <

Berdasarkan hasil di atas, maka fungsi kepekatan peluang bersama bagi p.a. T dan U adalah

uruufr

utfJyfxfJyxfutf

YX

YXYXUT ,,

11).().(

).().().,( ),(

8

rtuurr

rueure

rr

urr

rut

21)1)(2/1(2/

2/1)2/(2/

2/

12exp2)2/(21

2)2/(1

21 2

dimana - < t < dan 0 < u <

Sebaran marjinal bagi p.a. T adalah

durtuurrtf

rrT

0

21)1)(2/1(2/ 12exp2)2/(2

1 )( misalkan

9

zrtu

212 sehingga

dzrtdurtz

rtzu )/(1

2 ,)/(1212 22

12

dzrtdurtz

rtzu )/(1

2 ,)/(1212 22

12

durtuurrtf

rrT

0

21)1)(2/1(2/ 12exp2)2/(2

1 )(

10

dzrtert

zrrtf

zr

rT

0 2

1)1)(2/1(22/ )/(1

2)/(1

22)2/(2

1)( dzezrtrr

zrr

rr 0 1)1)(2/1()1)(2/1(2

)1)(2/1(2/ )]/(1[

22)2/(2

1

dzezrtrrzr

rr

r 0 1)1)(2/1()1)(2/1(2)1)(2/1(

2/ )]/(1[2

2)2/(21

Karena zr ezr

1)1)(2/1(]2/)1[(1 untuk z > 0 merupakan fkp

Gamma dengan = (r +1)/2 dan = 1, maka persamaan di

11

atas dapat dinyatakan sebagai berikut:

trtrrr

rrtrrtf

r

rT

- ,)]/(1[1

)2/(]2/)1[(

]2/)1[()]/(1[1

)2/(1)(

)1)(2/1(2

)1)(2/1(2

trtrrr

rrtrrtf

r

rT

- ,)]/(1[1

)2/(]2/)1[(

]2/)1[()]/(1[1

)2/(1)(

)1)(2/1(2

)1)(2/1(2

12

fT(t) tersebut dikenal sebagai fungsi kepekatan peluang t-Student dengan derajat bebas r.

Sebaran F Misalkan X dan Y adalah dua p.a. yang saling bebas dengan fkp sebagai berikut: X 2 )( 1r dan Y 2 )( 2r . Jika kemudian didefinisikan p.a. lainnya F =

21

//rYrX maka p.a. F memiliki

sebaran F dengan derajat bebas r1 dan r2 yaitu:

13

sebaran F dengan derajat bebas r1 dan r2 yaitu:

f

rrfrrf

rrrrrrff rrF

0 dimana

,))(2/1]()/(1[)2/()2/()/](2/)[()(

2121

1)2/(

21

2/2121 11

Pembuktian untuk sebaran F tersebut disediakan sebagai latihan (Lihat : Roussas, sub-bab 6.2, hlm. 179-181)

14

Latihan 1. Jika diketahui bahwa peubah acak X memiliki sebaran t-

Student dengan derajat bebas r, buktikan bahwa: dan

15

2. Jika diketahui bahwa peubah acak Y memiliki sebaran F dengan derajat bebas r1 dan r2, buktikan bahwa:

22 2

2

22 1 2

1 2 2

th

16

th

th

Bisa di-download di

17

http://www.stat.ipb.ac.id/en/index.php?page=dr-kusman-sadik

18