soal dan pembahasan mcshs babak penyisihan

Babak Penyisihan

Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Soal Babak Penyisihan MCSHS

(Mathematics Competition for Senior High School)

Olimpiade Matematika SMA

1. Bilangan - merupakan bilangan . . .

a. Bulat negatif c. Pecahan e. Irrasional negatif

b. Bulat positif d. Irrasional positif

2. Banyaknya soal yang dikerjakan Amin hari ini bertambah cepat 40% dibandingkan

dengan yang dikerjakannya kemarin. Banyaknya soal yang dikerjakan Amin hari ini

paling sedikit ada . . .

a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. Tidak bisa ditentukan

3. Jika = dengan x > 0dan x , maka + sama dengan . . .

a. -7 b. -5 c. -3 d. -2 e. -1

4. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positif dari 2007. Banyaknya himpunan bagian

dari H yang tidak kosong adalah . . .

a. 6 b. 31 c. 32 d. 63 e. 64

5. Misalkan N sebuah bilangan asli dua-angka dan M adalah bilangan asli yang diperoleh

dengan mempertukarkan kedua angka N. Bilangan prima yang selalu habis membagi N-

M adalah . . .

a. 2 b. 3 c. 7 d. 9 e. 11

6. Diketahui = dan F = + , maka nilai F adalah . . .

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

7. Sebuah kapur barus berbentuk tabung dengan diameter lingkaran alasnya sama dengan

tinggi tabung. Kapur barus tersebut menyublim sedemikian rupa sehingga bentuknya

selalu berbentuk tabung yang diameter alasnya sama dengan tinggi tabung. Laju

perubahan volum kapur barus terhadap tingginya pada saat tingginya 2 satuan adalah . . .

a. b. c. d. e.

8. Nilai x yang memenuhi = adalah . . .

Babak Penyisihan


a. 1 + 6 c. 1 + 6 e. 1 + 6

b. 1 + 4 d. 1 + 4

9. dan adalah akar-akar dari persamaan . Jika p

bilangan asli dan maka . . .

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 7

10. Antara pukul 09.30 dan 10.00 jarum panjang dan pendek suatu arloji akan berimpit pada

pukul 09.00 lebih . . .

a. menit c. menit e. menit

b. menit d. menit

11. Peluang menemukan di antara 3 orang ada paling sedikit 2 orang yang lahir dalam bulan

yang sama adalah . . .

a. b. c. d. . e.

12. Pertidaksamaan mempunyai sifat . . .

a. a dan b positif c. a positif dan b negatif e.

b. a dan b berlawanan tanda d.

13. Jika dan = , maka . . .

a. c. e.

b. d.

14. Diketahui dan . Nilai adalah . . .

a. c. e. .

b. d.

15. Persamaan garis singgung kurva di titik adalah . . .

a. c. e.

b. d.

Babak Penyisihan


16. Deret Geometri terdiri dari 8 suku. Jumlah tiga suku pertama adalah 210 dan jumlah tiga

suku terakhir adalah 6720. Jumlah deret geometri tersebut adalah ....

a. 6930 c. 7170 e. 7410

b. 7650 d. 5970

17. Jumlah bilangan-bilangan antara 150 dan 1000 yang habis dibagi 9 adalah ....

a. 53535 c. 66661 e. 53568

b. 53578 d. 54396

18. 56215 + = ....

a. 7 - 8 c. 9 + 6 e. 10 + 5

b. 7 + 8 d. 9 - 6

19. Jumlah dua bilangan adalah 40. Tentukan masing-masing bilangan tersebut agar hasil kali

bilangan yang satu dengan kuadrat bilangan yang lain maksimum. . .

a.3

40 dan3

80 c. 30 dan 10 e.370 dan

350

b. 20 dan 50 d.3

100 dan3

20

20. Nilai dari dxxx∫ +2

0

2 4318 = . . .

a. 72 b. 86 c. 112 d. 124 e. 128

21. Nilai dari 2)1(9

1∑

=

−p

p adalah . . .

a. 2− b. 2 c. 3 d. 3− e. 8

22. Garis dengan persamaan 042 =++ yx dicerminkan terhadap garis y = x dan dilanjutkan

dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks

1021

. Tentukan persamaan

bayangannya adalah ....

a. 04 =−x c. 042 =−y e. 042 =+xb. 04 =+x d. 042 =+y

23. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Panjang proyeksi AE pada bidang AFH adalah....a. 62 b. 63 c. 36 d. 33 e. 34

Babak Penyisihan


24. Jika 64===fe

dc

ba , maka 322

322

4545

ffddbeecca

+−+− = ….

a. 8 b. 16 c. 64 d. 512 e. 642

25. Dua orang gadis, Linda dan Yuli, menjual sari buah lemon. Untuk setiap gelas sari buah

lemon, Linda digaji 10% lebih sedikit dibanding Yuli. Tetapi setiap harinya Linda

mempersiapkan 10% sari buah jeruk lebih banyak dari Yuli. Kesimpulan yang paling tepat

adalah …

a. Linda mendapat gaji 10% lebih sedikit dari Yuli

b. Linda mendapat gaji 1% lebih sedikit dari Yuli

c. Linda dan Yuli mendapatkan gaji yang sama banyaknya

d. Linda mendapat gaji 1% lebih banyak dari Yuli

e. Linda mendapat gaji 10% lebih banyak dari Yuli

26. Nilai x yang memenuhi persamaan24

241

2

−−

=−

−x

xxx

adalah ….

a. 3 atau -2 c. -2 e. 3

b. 3 atau 2 d. 2

27. Nilai z yang memenuhi ( )( )( )[ ] 10loglogloglogloglogloglog 22222222 =−−−− Lzzzz adalah

….

a. 111 52 × c. 110 52 × e. 19 52 ×

b. 011 52 × d. 010 52 ×

28. Jumlah dari kebalikan akar-akar persamaan kuadrat ; n

1 adalah 2. Nilai 3n adalah …

a. b. c. d. e.

29. Suatu lingkaran diputar dengan R( ,90o) kemudian dicerminkan

terhadap sumbu X. Persamaan bayangannya adalah …

a.

b.

c.

d.

Babak Penyisihan


e.30. Hitunglah 17761492! (mod 2000) dengan kata lain berapakah sisa jika 17761492! dibagi 2000 ?

a. 1286 b. 1267 c. 1376 d. 1497 e. 1455

31. Determine the value of( )

....2

81

133

2

=∫+−

dxx

x

a.2732 b.

2736 c.

279 d.

274 e.

2740

32. Nilai x yang memenuhi persamaan

=−=+

8253

yx

yx

adalah....

a. 3log1 5+ c. 3log4 5+ e. 5log4 3+

b. 3log2 5+ d. 5log6 3+

33. Terdapat kubus tanpa alas dan tutup, panjang rusuk kubus = 1 cm. Tentukan jarak terpendek

yang ditempuh semut dari A ke B dengan mengelilingi seluruh sisi kubus adalah . . .

a. 1 b. c. d. 2 e.

34. A positive integer is to be placed in each box. The product of any four adjacent integers is

always 120. What is the value of x?

2 4 x 3

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

A

B

Babak Penyisihan


35. Henri scored a total of 20 points in his basketball team’s first three games. He scored of

these points in the first game and of these points in the second game. How many points

did he score in the third game?

a. b. 10 c. 11 d. e. 8

36. In the sequence of fractions . . .fractions equivalent to any given

fraction occur many times. For example, fractions equivalent to occur for the first two

times in positions 3 and 14. In which position is the fifth occurrence of a fraction equivalent

to ?

a. c. 1209 e.1211

b. 1208 d.

37. The 50th term in the sequence 5, 6x, 7x2, 8x3, 9x4, … is. . .

a. 54x49 c. 45x50 e. 46x51

b. 54x50 d. 55x49

38. When 12 345 678 is divided by 10, the remainder is. . .

a. 0 b. 2 c. 4 d. 6 e. 8

39. In a school, 500 students voted on each of two issues. Of these students, 375 voted in favour

of the first issue, 275 voted in favour of the second, and 40 students voted against both

issues. How many students voted in favour of both issues?

a. 95 b.110 c. 150 d. 190 e. 230

40. Evaluate (–50)+(–48)+(–46)+...+54+56 .

a. 10 b. 56 c. 110 d. 156 e. 162

41. A triangle can be formed having side lengths 4, 5 and 8. It is impossible, however, to

construct a triangle with side lengths 4, 5 and 9. Ron has eight sticks, each having an integer

length. He observes that he cannot form a triangle using any three of these sticks as side

lengths. The shortest possible length of the longest of the eight sticks is . . .

a. b. 21 c. 22 d. e. 24

42. Jika diketahui sin A = , maka nilai dari cos2A adalah …

Babak Penyisihan


a. b. c. d. e.

43. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,-10) dan menyinggung garis adalah

….

a.

b.

c.

d.

e.44. Tentukan bilangan dengan tepat yang memiliki 8 pembagi positif yang hasil kali pembagi-

pembaginya sama dengan 331776.

a. 23 b. 24 c. 25 d. 26 e. 27

45. Tentukan Faktor Persekutuan Terbesar dari bilangan-bilangan berbentuk nn – n untuk n = 3,

5, dan 7, = . . .

a. 20 b. 21 c. 22 d. 23 e. 24

46. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku-suku yang

bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah …

a. b. c. d. e.

47. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (a, b) yang memenuhi : FPB(a, b) + KPK(a,

b) = a + b + 6

a. (2, 7), (2, 5), (5, 2), (6, 9), (7, 2), (9, 6)

b. (2, 8), (3, 4), (4, 3), (6, 9), (8, 2), (9, 6)

c. (2, 7), (3, 4), (4, 3), (6, 9), (7, 2), (9, 6)

d. (2, 7), (3, 5), (5, 3), (6, 9), (7, 2), (9, 6)

e. (2, 7), (3, 4), (4, 3), (6, 8), (7, 2), (8, 6)

48. Jumlah 5 suku pertama dari suatu deret geometri adalah 93 dan rasio deret itu 2. Hasil kali

suku ke-3 dan suku ke-6 adalah …

a. 4.609 b. 2.304 c. 1.152 d. 768 e. 384

Babak Penyisihan


49. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan log (3x2 + 5x +11) = 1. Tentukan22

11βα

+ ….

a. 6 b. 16 c. 25 d. 19 e. 9

50. Sebuah garis l1 mempunyai kemiringan -2 dan melalui titik (p,-3). Sebuah garis lain, l2 ,

tegak lurus terhadap l1, di titik (a,b) dan melalui titik (6,p). Bila dinyatakan dalam p, maka a =

….

a. b. c. d. e.a25

23

+ a25

− a45

− a45 a

25

23

−

Babak Penyisihan


Pembahasan Soal Babak Penyisihan MCSHS

(Mathematics Competition for Senior High School)

Olimpiade Matematika SMA

1. Misal : = a dan = b

Jadi bilangan itu a – b = x

a3 – b3 = ( + 2) – ( - 2) = 4

ab= =1

= - 3ab(a-b) -

= 4 - 3x

+ 3x – 4 = 0

Dengan aturan horner akan didapat x=1(bulat positif)

Jawaban : b

2. 40% =

Hari ini lebih banyak 40% dari kemarin, jadi yang dikerjakan hari ini:1 + = kali yang

dikerjakan kemarin. Karena jumlah soal yang dikerjakan selalu berupa bilangan asli, maka

jumlah soal yang dikerjakan hari ini paling sedikit ada x 5 = 7(dikali 5 karena 5 adalah

bilangan asli terkecil yang habis dibagi 5)

Jawaban : c

3. Dipunyai =

Jelas, + = +

= +

= +

Babak Penyisihan


= +

= +

=

= -1

Jawaban : e

4. 2007 = 3 x 3 x 223 x 1

Faktor-faktor positif dari 2007 adalah:1, 3, 9, 223, 669 dan 2007 (ada 6 buah)

Jadi banyak himpunan bagian dari H yang tidak kosong adalah:

+ + + + + = 6 +15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63

Jawaban : d

5. Misal : N = 10x + y dan M = 10y + x dengan x,y bilangan asli yang lebih besar atau sama

dengan 1,dan lebih kecil atau sama dengan 9

N – M = 10x + y - 10y – x = 9x – 9y = 9(x-y)

Jadi N - M selalu habis dibagi 9, 1 dan 3.

Di antara 9, 1 dan 3 hanya 3 yang prima

Jawaban : b

6. F = +

= +

= - +

= 1

Jawaban : b

7. d = t

V Tabung = t

= t

= d

Babak Penyisihan


=

Laju perubahan volum = = d = t

=

= 4 =

Jawaban : b

8. =

=

(x + 1)log 8 = (x-1)(log 3 + log 8)

(x + 1)log 8 - (x-1)log 8 = (x-1)log 3

2log 8 = (x-1)log 3

x – 1 =

x = 1 +

x = 1 +

x = 1 + 6

Jawaban : c

9.

Babak Penyisihan


Jawaban : d

10. Lebihnya

menit

Jawaban : b

11. Peluang menemukan 2 orang yang lahir dalam bulan yang sama : =

Peluang menemukan 3 orang lahir dalam bulan yang sama : =

Jadi peluang menemukan sedikitnya 2 orang yang lahir dalam bulan yang sama : +

=

Jawaban : a

12.

Oleh karena pangkatnya ganjil, maka

Jawaban : d

13.

Babak Penyisihan


Jawaban : c

14.

,

Jawaban : a

15.

Garis singgung kurva melalui titik maka

Babak Penyisihan


Jadi

Persamaan garis yang melalui dengan

Jawaban : d

16. Tulis deret geometri = 765432 ararararararara +++++++

Jelas 2102 =++ arara

765 ararar ++ = 6720 6720)( 25 =++⇔ ararar

2

25 )(araraararar

++++ =

2106720

5r = 32

5r = 25

r = 2

2102 =++ arara

aaa 42 ++ = 210

a7 = 210

a = 30

∑ deret geometri = 384019209604802401206030 +++++++

= 7650

Jadi jumlah derat geometri tersebut adalah 7650.

Jawaban : b

Babak Penyisihan


17. Deret bilangan yang habis dibagi 9 antara 150 – 1000 adalah 153, 162, 171, ..., 999.

Maka jumlah bilangannya adalah )(2 nn UanS += .

bnaU n )1( −+=

846999)1(153999

=−−+=

nn

n9 = 837

n = 93

)999153(293

+=nS

= 53568.

Jawaban : e

18. Ingat rumus baba ×++ 2)( = ba +

Misal : 15=+ ba

56=×ba

Jelas ba −= 15

56=×ba 56)15( =−⇔ bb

5615 2 =−⇔ bb

056152 =+−⇔ bb

( )( ) 078 =−−⇔ bb

8=⇔ b atau 7=b

Untuk 8=b maka 7=a

Untuk 7=b maka 8=a

Babak Penyisihan


Jadi diperoleh 56215 + = 7 + 8 atau 56215 + = 78 + .

Jawaban : b

19. Misal bilangan I = x

bilangan II = )40( x−

)40()( 2 xxxf −=

= 3240 xx −

Untuk mencari nilai x yang mencapai nilai maksimum adalah

2' 380)( xxxf −=

0 = )380( xx −

0=x atau3

80=x

syarat untuk mencapai nilai maksimum adalah 0)(" <xf

xxf 680)(" −=

Untuk 80)0("0 =⇒= fx

803

80"80 −=

⇒= fx

Sehingga untuk mencapai maksimum nilai3

80=x

Jadi diperoleh bilangan I =3

80 dan bilangan II =3

403

8040 =− .

Jawaban : a

20. Misal 43 2 += xu

Babak Penyisihan


xdxdu 6=

dxxdu ⋅= 6

xdudx6

=

Jelas dxxx∫ +2

0

2 4318 =x

duux6

182

0

21

∫ ⋅

=2

0

23

2u

=2

0

2 43)43(2 ++ xx

= ( ) ( )4)40(216)412(2 +−+x

= 128 – 16

= 112

Jadi nilai dari dxxx∫ +2

0

2 4318 adalah 112.

Jawaban : c

21. Jelas

2)1(9

1∑

=

−p

p = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2121212121 5432 −+−+−+−+−

( ) ( ) ( ) ( ) 21212121 9876 −+−+−+−

= 2)1( 9−

= 21−

Babak Penyisihan


= 2− .

Jadi 2)1(9

1∑

=

−p

p adalah 2− .

Jawaban : a

22. Garis dengan persamaan 042 =++ yx dicerminkan terhadap garis y = x dilanjutkan

dengan trasformasi dengan matriks

1021

Jelas pencerminan terhadap garis y = x bersesuaian dengan matriks

0110

Sehingga 2M 1M =

1021

0110

=

0112

=

'

'

yx

0112

yx

yx

=

−

−− 21

101

1

'

'

yx

−

=

''

2110

yx

yx

yx

=

− '2'

'yx

y

Diperoleh 042 =++ yx

04'2''2 =+−+⇔ yxy

04' =+⇔ x

04 =+⇔ x

Jadi persamaan bayangan yang terbentuk adalah 04 =+x .

Babak Penyisihan


Jawaban : b23.

E 1 = tengah-tengah HF

AE1 = 21

2 EEAE +

= 22 )26()12( +

= 72144 +

= 216

= 66

EE2 =1

1

AEEEAE ⋅

=66

2612 ⋅

= 34

Jadi panjang proyeksi AE pada bidang AFH adalah 34 .

Jawaban : e

A B

CD

EF

GH

Babak Penyisihan


24. 64===fe

dc

ba , maka a = 64b, c = 64d, dan e = 64f.

Jelas 322

322222

322

322

45.64.64..64.4.64..64.5

4545

ffddbffddb

ffddbeecca

+−+−

=+−+−

( ) 512226445

4564 9183322

3223

====+−

+−=

ffddbffddb .

Jawaban : d

25. Tulis A: jumlah gelas sari jeruk yang dibuat Yuli setiap harinya dan B: jumlah pembayaran

untuk setiap gelas sari jeruk. Jelas gaji Yuli per hari adalah A × B. Linda menerima 10%

lebih sedikit dari Yuli, berarti 90% dari B atau B × 90%, tetapi Linda membuat 10% lebih

banyak dari Yuli, berarti 110% dari A atau A × 110%. Jadi gaji Linda per hari adalah A ×

110% × B × 90% = 99% × A × B. Jadi Linda mendapat gaji 1% lebih sedikit dari Yuli.

Jawaban : b

26. Jelas24

241

2

−−

=−

−x

xxx

24

26 2

−−=

−−⇔

xxx

xx

)4()6( 2 xxx −=−⇔

0652 =+−⇔ xx

0)2)(3( =−−⇔ xx

⇔ (x – 3) = 0 atau (x – 2) = 0

⇔ x = 3 atau x = 2.

Lakukan pengecekan. Untuk x = 2 tidak memenuhi persamaan karena menghasilkan

penyebut 0.

Jadi nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 3.

Jawaban : e

Babak Penyisihan


27. Jelas ( )( )( )[ ] 10loglogloglogloglogloglog 22222222 =−−−− Lzzzz

102

2

2

2

2

2

2

2

2 2log

loglog

loglog10

loglog

loglog =⇔=⇔

LL

zz

zz

zz

zz

10

2

2

2

210

2

2

2 2

loglog

loglog2

loglog

log

z

zz

zz

zz

zz

=⇔=⇔

LL

522

10 1110 ×=⇔=⇔ zz .

Jawaban : a

28. Misalkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah a dan b. maka

Jawaban : e

Babak Penyisihan


29. Persamaan lingkaran

Pusat = ( , B) = (3,-2)

Jari-jari =

R( ,90o)

Jadi, pusat lingkaran bayangannya adalah (2,-3)

Persamaan lingkaran bayangan:

Jawaban: a

30. 17761 = 1776 (mod 2000)

17762 = 176 (mod 2000)

17763 = 576 (mod 2000)

17764 = 976 (mod 2000)

17765 = 1376 (mod 2000)

17766 = 1776 (mod 2000)

17767 = 176 (mod 2000)

dan seterusnya.

Babak Penyisihan


Karena 17766 = 17761 = 1776 (mod 2000), maka 1776n = 1776n-5 (mod 2000) untuk n > 5.

Jelas bahwa 1492! habis dibagi 5.

17761492! = 17765 (mod 2000) = 1376 (mod 2000)

Maka sisa jika 17761492! dibagi 2000 adalah 1376.

Jawaban : c

31. Misal: 23 += xu

Maka 23xdxdu

=

23xdudx =

Jelas( )

dxx

x∫− +

1

133

2

28 = ∫

−

− ⋅⋅1

12

32

38

xduux

= ∫−

−1

1

3

38 duu

=1

1

2

34

−

−⋅− u

=( )

1

123 23

4−+

−x

=( ) ( )

+−−−

+− 2323 2)1(3

4213

4

=

⋅−−

⋅−

134

934

=34

274

+−

=27

364 +−

Babak Penyisihan


=2732 .

Jadi nilai dari( )

dxx

x∫− +

1

133

2

28 =

2732 .

Jawaban : a

32. Jelas yxyx +=⇔=+ 25log253 3 ....(1)

88 −=⇔=− xyyx ....(2)

Substitusikan persamaan (1) dan (2):

)8(25log3 −+= xx 8225log3 −=⇔ x

825log2 3 +=⇔ x

85log2 23 +=⇔ x

85log22 3 +=⇔ x

( )2

85log23 +=⇔ x

45log3 +=⇔ x

Jadi nilai x yang memenuhi persamaan

=−=+

8253

yx

yx

adalah 5log4 3+

Jawaban : e

33. Karena kenaikannya , maka diperoleh

4 AO = 4 x

= 4 x

= 4 x

Babak Penyisihan


=

Jawaban : c

34. Since the product of any four integers is 120, = =120 where an

represents the number in the nth box. Therefore, = and similarly = , = =

, or more generally, = Thus the boxes can be filled as follows:

x 4 2 3 x 4 2 3 x 4 2 3 x 4

Therefore, (4)(2)(3)(x)= 120

Jawaban : e

35. Henri scored or 10 points in his first game. In his second game, he scored or

2 points. In the third game, this means that he will score 20 – (2 or 8 points.

Jawaban : e

36. In analyzing this sequence of fractions, we start by observing that this large sequence is

itself made up of smaller sequences. Each of these smaller sequences is of the form

with the denominators increasing from 1 to n and the numerators

decreasing from n to 1. We observe that there is 1 term in the first of these smaller

sequences, 2 terms in the second of these, and so on. This can be seen in the following

grouping:

A

B

1

Babak Penyisihan


( ), ( ), ( ), ( ), ..., ( ), ...

If we take any fraction in any of these smaller sequences, the sum of the numerator and

denominator is 1 greater than the number of terms in this smaller sequence. For example, if

we take the first occurrence of , it would occur in the sequence with 9 terms. This implies

that the fifth occurrence of a fraction equivalent to , namely , would occur in the

sequence with 49 terms, and would be the term in that sequence.Since the smaller

sequences before this particular sequence have 1, 2, 3, …, 48 terms, so the term is term

number

Jawaban : e

37. If we start by looking at the numerical coefficient of each term we make the observation

that if we add 1 to 5 to get the second term and 2 to 5 to get the third term we will then add

49 to 5 to get the fiftieth term. Thus the fiftieth term has a numerical coefficient of 54.

Similarly, if we observe the literal coefficient of each term, the first term has a literal

coefficient of x0 which has an exponent of 0. The second term has an exponent of 1, the

third an exponent of 2 so that the exponent of the fiftieth term is 49 which gives a literal

part of 54x49 . Thus the fiftieth term is 54x49.

Jawaban : a

38. Applying the standard division algorithm we would have

The remainder is 8.

Jawaban : e

39.

Let x be the number of students who voted in favour of both issues. We construct a Venn

Babak Penyisihan


diagram of the results of the vote: Since the total number of students is 500, then

=190

So 190 students voted in favour of both.

Jawaban : d

40. If we add some terms to this series, we would have the following:

( –50)+(–48)+(–46)+...+48+50+52+54+56 .

Each of the negative integers has its opposite included in the sum and each pair of these

sums is 0.

This implies that, (–50)+(–48)+(–46)+...+46+48+50 is 0. The overall sum is now just

52+54+56 or 162.

Jawaban : e

41. If Ron wants the three smallest possible lengths with which he cannot form a triangle, he

should start with the lengths 1, 1 and 2. (These are the first three Fibonacci numbers). If he

forms a sequence by adding the last two numbers in the sequence to form the next term, he

would generate the sequence: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. Notice that if we take any three lengths

in this sequence, we can never form a triangle. The shortest possible length of the longest

stick is 21.

Jawaban : b

42. sin A = maka cos A =

cos 2A = 1 - 2sin2A

cos 2A = 1 – 2 = 1 - = -

cos 2A = 2 cos2A-1

ó- = 2 cos2A-1

ó 2cos2A= ó cos2A =

Jawaban: d

Babak Penyisihan


43. Diketahui persamaan garis singgung

Jari-jari lingkaran = = = = 5

Persamaan lingkaran:

Jawaban : a

44. Misalkan bilangan tersebut = n dengan d1, d2 , d3 ,…., d8 adalah pembagi-pembaginya

serta berlaku

bahwa d1 < d2 < d3 < d4 < .... < d8. Jelas bahwa d1 = 1 dan d8 = n.

Ingat bahwa d1 . d8 = d2 . d7 = d3 . d6 = d4 . d5 = n. Maka :

d1d2d3d4d5d6d7d8 = n4 = 331776 = 212 . 34

n = 23 . 3

Maka bilangan tersebut adalah 24.

Jawaban : b

45. Untuk n = 3à nn – n = 24

Maka bilangan terbesar yang membagi nn – n untuk n = 3, 5, 7, ... adalah 24.

nn – n = n(nn-1 – 1)

Karena n ganjil maka n-1 genap.

Babak Penyisihan


nn – n = n(n2k – 1)à n2k adalah bilangan genap.

Karena n2k genap maka n2k akan berbentuk 3p atau 3p + 1

Jika n2k = 3p maka 3 membagi n2kà 3 membagi nà n(n2k – 1) habis dibagi 3.

Jika n2k = 3p - 1 maka n2k – 1 habis dibagi 3à n(n2k – 1) habis dibagi 3.

Maka nn – n habis dibagi 3.

Karena bilangan kuadrat berbentuk 8q, 8q + 1, atau 8q + 4 tetapi n2k tidak mungkin

berbentuk 8qatau 8q + 4 sebab n ganjil. Maka n2k berbentuk 8q + 1à n2k – 1 habis dibagi 8

Maka nn – n habis dibagi 8.

Karena nn – n habis dibagi 3 dan 8 maka nn – n habis dibagi 24.

Faktor Persekutuan Terbesar dari bilangan-bilangan berbentuk nn – n untuk n = 3, 5, 7, ...

adalah 24

Jawaban : e

46. Misalkan deretnya a, ra, r2a, r3a, …

Deret untuk yang bernomor genap : ra, r3a, …

Dari 1) dan 2) diperoleh

Babak Penyisihan


Dari persamaan 1)

Jadi, suku pertamanya adalah .

Jawaban : b

47. Misal FPB(a,b) = x maka a = xp dan b = xq untuk x, p, q bilangan asli dan FPB (p,q) = 1

KPK (a,b) = xpq.

x + xpq = xp + xq + 6

Babak Penyisihan


x(p - 1)(q - 1) = 6

Ada beberapa kasus :

v x = 1 ; p - 1 = 1 ; q - 1 = 6

x = 1, p = 2 dan q = 7à (a, b) = (2, 7)

v x = 1 ; p - 1 = 6 ; q - 1 = 1

x = 1, p = 7 dan q = 2à (a, b) = (7, 2)

v x = 1 ; p - 1 = 2 ; q - 1 = 3

x = 1, p = 3 dan q = 4à (a, b) = (3, 4)

v x = 1 ; p - 1 = 3 ; q - 1 = 2

x = 1, p = 4 dan q = 3à (a, b) = (4, 3)

v x = 2 ; p - 1 = 1 ; q - 1 = 3

x = 2, p = 2 dan q = 4 (Tidak memenuhi sebab FPB(p, q) 1)

v x = 3 ; p - 1 = 1 ; q - 1 = 2

x = 3, p = 2 dan q = 3à (a, b) = (6, 9)

v x = 3 ; p - 1 = 2 ; q - 1 = 1

x = 3, p = 3 dan q = 2à (a, b) = (9, 6)

v x = 6 ; p - 1 = 1 ; q - 1 = 1

x = 6, p = 2 dan q = 2 (Tidak memenuhi sebab FPB(p, q) 1).

Pasangan (a, b) yang memenuhi adalah (2, 7), (3, 4), (4, 3), (6, 9), (7, 2), (9, 6).

Jawaban : c

48. Misalkan suku pertama deret tersebut adalah a.

Babak Penyisihan


U3 = ar2

U6 = ar5

U3. U6 = ar2. ar5 = 9.27 = 1.152

Jawaban : c

49. Jelas log (3x2 + 5x +11) = 1 ⇔ log (3x2 + 5x +11) = log 10

⇔ 3x2 + 5x +11= 10

⇔ 3x2 + 5x +1= 0

Jadi akar-akar persamaannya adalah35

−=−=+ab

βα dan31

==⋅ac

βα

Jelas untuk 22

22

22

11βαβα

βα+

=+

( )( )2

2 2αβ

αββα −+=

2

2

31

312

35

−

−

=

91

32

925

−=

91

96

925

−=

Babak Penyisihan


919

19

=

19= .

Jawaban : d

50. Persamaan garis l1

y - y = m(x - x)

y + 3 = -2 (x – p)

y = -2x – p – 3.

Persamaan garis l2

y – y = m(x – x)

y – p = (x – 6)

y = x – 3 + p.

Garis l1 dan garis l2 tegak lurus di (a,b)

(a,b) y = -2x – p – 3

b = -2a – p – 3,

(a,b) y = x – 3 + p

b = a – 3 + p.

⇔

⇔

⇔21

⇔21

⇒

⇔

⇒21

⇔21

Babak Penyisihan


Jadi -2a – p – 3 = a – 3 + p

- p – p = a + 2a

- 2p = a

p = - a.

Jawaban : c

21

⇔21

⇔25

⇔45

soal dan pembahasan mcshs babak penyisihan

Documents