sistem persamaan linear

NORHAFIZAH RENLEI – PPG SEM 5 : MTE3

PENGENALAN

Sistem persamaan linear mengandungi pelbagai kaedah penyelesaian seperti

kaedah penggantian, penghapusan, penggantian belakang, kaedah penghapusan

Gauss, kaedah Gauss Jordan, Petua Cramer, OPB dan kaedah Adjoin. Persamaan

linear adalah satu persamaan yang mempunyai pembolehubah berdarjah satu.

Persamaan linear yang mempunyai tiga pembolehubah boleh ditulis sebagai ax + by

+ cz = d dengan a, b, c dan d adalah pemalar. Walau bagaimanapun, persamaan

linear tidak terhad kepada dua atau tiga pembolehubah sahaja, malah ia boleh

menjadi empat atau lebih banyak pembolehubah. Secara umumnya persamaan

linear boleh ditakrifkan seperti :

Persamaan Linear dengan n pembolehubah x1, x2,.... xn adalah persamaan berbentuk

[a1x1 + a2x2 + ...... + anxn = b]

[a1 , a2 ...... an dan b adalah nombor nyata]

1


Soalan penyelesaian masalah sistem persamaan linear.

1. Suatu syarikat pembuat gula-gula mencampurkan coklat, susu dan kelapa

untuk menghasilkan tiga jenis gula-gula iaitu gula-gula jenama “Manis”,

“Harum” dan “Sedap” dengan kandungan tiap-tiap jenis seperti berikut:

Manis 7 kg coklat 5 gelen susu 1 g kelapa

Harum 3 kg coklat 2 gelen susu 2 g kelapa

Sedap 4 kg coklat 3 gelen susu 3 g kelapa

Jika 67 kg coklat, 48 gelen susu dan 32 g kelapa berada dalam stok, cari

kuantiti bagi tiap-tiap jenis gula-gula yang dapat dibuat.

Penyelesaian masalah

1. x = bilangan gula-gula Manis

y = bilangan gula-gula Harum

z = bilangan gula-gula Sedap

2.

3. Coklat : 7x 3y 4z = 67

Susu : 5x 2y 3z = 48

Kelapa : x 2y 3z = 32

4. Kaedah yang digunakan adalah:i. Kaedah penghapusanii. Kaedah penggantianiii. Petua Cramer iv. Kaedah gauss

2

Coklat Susu Kelapa Bil

Manis 7 5 1 X

Harum 3 2 2 Y

Sedap 4 3 3 Z

Jumlah 67 48 32

1

2

3

4


KAEDAH 1 : Penghapusan

7x + 3y + 4z = 67 Persamaan


x + 2y + 3z = 32 Persamaan

Langkah 1 : Cari persamaan 4 dengan cara = Persamaan 1 tolak persamaan 2

7x + 3y + 4z = 67

- 5x + 2y + 3z = 48

2x + y + z = 19 Persamaan

Langkah 2 : Cari nilai x dengan cara persamaan 2 tolak persamaan 3

5x + 2y + 3z = 48

- x + 2y + 3z = 32

4x = 16

x = 164

x = 4

Langkah 3 : Gantikan x = 4 ke dalam persamaan 4 iaitu (2x + y + z = 19)

2(4) + y + z = 19

y + z = 19 - 8

y = 11 - z

Langkah 4: Gantikan x = 4 dan y = 11-z ke dalam persamaan 3 bagi mencari nilai z.

x + 2y + 3z = 32

4 + 2 (11 – z) + 3z = 32

22 – 2z + 3z = 32 – 4

z = 28 – 22

z = 6

3


Langkah 5 : Gantikan x = 4 dan z = 6 kedalam persamaan 3

x + 2y + 3z = 32

4 + 2y + 3(6) = 32

2y = 32 – 22

y = 102

y = 5

Buktinya:

7x + 3y + 4z = 67

7(4) + 3(5) + 4(6) = 67

28 + 15 + 24 = 67

67 = 67 terbukti nilainya sama

5x + 2y + 3z = 48

5(4) + 2(5) + 3(6) = 48

20 + 10 + 18 = 48

48 = 48 terbukti nilainya sama

x + 2y + 3z = 32

4 + 2(5) + 3(6) = 32

4 + 10 + 18 = 32 terbukti nilainya sama

4

Nilai yang diperolehi ialah x = 4, y = 5 dan z = 6

2

3

1

4

5


KAEDAH 2 : Penggantian



x + 2y + 3z = 32 Persamaan

Langkah 1 : Cari persamaan 4 melalui persamaan 1

7x + 3y + 4z = 67

3y = 67 - 7x – 4z

y = 67 - 7x – 4z Persamaan

3

Langkah 2 : Cari persamaan 5 melalui persamaan 2

5x + 2y + 3z = 48

2y = 48 - 5x – 3z

y = 48 - 5x – 3z Persamaan

2

Langkah 3 : Cari nilai x dengan cara menyeimbangkan persamaan 4 dengan persamaan 5

67 - 7x – 4z = 48 – 5x – 3z 3 2

2(67 - 7x – 4z) = 3(48 - 5x – 3z)

134 – 14x – 8z = 144 – 15x – 9z

– 14x + 15x = 144 – 134 – 9z + 8z

x = 10 – z

Langkah 4 : Gantikan x = 10 - z ke dalam persamaan 3 bagi mencari nilai y.

x + 2y + 3z = 32

10 - z + 2y + 3z = 32

2y = 32 – 10 – 2z

y = 11 – z

5


Langkah 5 : Gantikan x = 10 - z dan y = 11 – z ke dalam persamaan 1 bagi mencari nilai z .

7x + 3y + 4z = 677(10 – z) + 3(11 – z) + 4z = 67 70 – 7z + 33 – 3z + 4z = 67 – 7z – 3z + 4z = 67 – 70 – 33

6z = - 36

z = −366

z = 6

Langkah 6 : Gantikan z = 6 ke dalam x = 10 – z dan y = 11 - z

x = 10 – z y = 11 – z x = 10 – 6 y = 11 – 6 x = 4 y = 5

6



KAEDAH 3 : Petua Cramer

7x + 3y + 4z = 67

5x + 2y + 3z = 48

x + 2y + 3z = 32

Langkah 1 : Menulis sistem persamaan linear dalam bentuk persamaan matriks.

[7 x 3 y 4 z5 x 2 y 3 zx 2 y 3 z ][ xyz ] ¿ [674832]

A = [7 x 3 y 4 z5 x 2 y 3 zx 2 y 3 z ] x = [ xyz ] b = [674832]

Langkah 2 : Cari penentu bagi A melalui baris 3.

- baris 3 dipilih kerana nilai pembolehubahnya lebih kecil berbanding

nilai pembolehubah pada baris pertama dan kedua

A = [7 3 45 2 31 2 3 ]= ¿

|A| = (1)|3 42 3| – (2) |7 4

5 3| + (3) |7 35 2|

|A| = [ (1)(9 - 8) – (2)(21 - 20) + (3)(14 - 15) ]

|A| = [ (1)1 – (2)1 + (3)(-1) ]

|A| = [ 1 - 2 - 3 ]

|A| = - 4

7


Langkah 3 : Mencari penentu bagi A1 , gantikan lajur pertama dengan matriks b

A1 = [7 3 45 2 31 2 3 ] b = [674832] (67 3 4

48 2 332 2 3 )

| A1| = 32|3 42 3| – 2|67 4

48 3| + 3 |67 348 2|

| A1| = [ 32(9 - 8) – 2(201- 192) + (3)(134 - 144 ) ]

| A1| = [ 32(1) – 2(9) + 3(-10) ]

| A1| = [ 32 - 18 - 30 ]

= - 16

Langkah 3 : Mencari penentu bagi A2 , gantikan lajur kedua dengan matriks b

A2 = [7 3 45 2 31 2 3 ] b = [674832] (7 67 4

5 48 31 32 3)

| A2| = 1|67 448 3| – 32|7 4

5 3| + 3 |7 675 48|

| A2| = [ 1(201 - 192) – 32(21- 20) + 3(336 - 335 ) ]

| A2| = [ 1(9) – 32(1) + 3(1) ]

| A2| = [ 9 - 32 + 3 ]

= - 20

Langkah 4 : Mencari penentu bagi A3 , gantikan lajur kedua dengan matriks b

A3 = [7 3 45 2 31 2 3 ] b = [674832] (7 3 67

5 2 481 2 32)

8


| A3| = 1|3 672 48| – 2|7 67

5 48| + 32 |7 35 2|

| A3| = [ 1(144 - 134) – 2(336 - 335) + 32(14 - 15 ) ] | A3| = [ 1(10) – 2(1) + 32(-1) ]

| A3| = [ 10 - 2 - 32 ]

= - 24

Langkah 5 : Selesaikan

[7 x 3 y 4 z5 x 2 y 3 zx 2 y 3 z ][ xyz ] ¿ [674832]

x = - 164 y = -

204 z = -

244

= 4 = 5 = 6

9



KAEDAH 4 : Kaedah Gauss

7x + 3y + 4z = 67

5x + 2y + 3z = 48

x + 2y + 3z = 32

Langkah 1 : Tukarkan sistem di atas kepada bentuk matriks imbuhan seperti berikut:

(7 3 4675 2 3481 2 332)

Langkah 2 : Tukarkan semua pemasukan lajur ketiga pada baris pertama dan semua pemasukan lajur pertama pada baris ketiga iaitu kepada Bentuk Elson baris

B1−B3B3−B1

↔(1 2 3325 2 3 487 3 467) =

B2−(5 )B1→ (1 2 332

5 2 3487 3 4 67) =

(−18 )B2→

(1 2 3320 −8 −12−1127 3 4 67 ) =

B3−(7 )B1→ (

1 2 332

0 13214

7 3 467) =

10


B3+(11)B2→ (

1 2 332

0 13214

0 −11 −17−157) =

(−2)B3+B2→ (

1 2 332

0 13214

0 0−12

−3) =

(1 2 332

0 13214

0 0 16) =

Langkah 3 : Hasil matriks imbuhan dalam bentuk Eselon Baris ialah

x + 2y + 3z = 32

y + 32

(6) = 14

z = 6

Langkah 4 : Gunakan teknik penggantian belakang

y + 32

(6) = 14

y = 14 – 9

y = 5

x + 2y + 3z = 32

x + 2(5) + 3(6) = 32

x = 32 – 10 – 18

x = 4

11


JUSTIFIKASI PENGGUNAAN KAEDAH PENGGANTIAN, PENGHAPUSAN, CRAMER DAN

GAUSS

Setelah menyelesaikan Persamaan Linear yang diberikan, dengan menggunakan

empat kaedah iaitu Kaedah Penghapusan, Kaedah Penggantian, Petua Cramer dan Kaedah

Gauss, saya dapat menyimpulkan bahawa kesemua kaedah mempunyai kekuatan tersendiri.

i) KAEDAH PENGHAPUSAN

Bagi kaedah penghapusan, kita boleh memperoleh jawapan dengan cara

menghapuskan salah satu persamaan untuk mencari sesuatu nilai pembolehubah. Setelah

satu nilai diperolehi sama ada nilai x @ y @ z, maka nilai seterusnya boleh diperolehi

dengan memasukkan nilai kepada persamaan yang berkenaan. Cara yang sama akan

dilakukan kepada persamaan lain untuk memperolehi nilai pembolehubah seterusnya.

ii) KAEDAH PENGGANTIAN

Kaedah ini merupakan satu kaedah di mana satu pembolehubah dijadikan perkara

rumus untuk digantikan ke dalam persamaan yang lain. Sistem ini boleh menjadi sukar untuk

diselesaikan kecuali pendekatan yang sistematik digunakan. Tiada peraturan khusus yang

perlu dipatuhi dalam menyelesaikan sesuatu permasalahan. Pelbagai cara boleh ditunjukkan

dengan mewujudkan persamaan yang baru. Melalui persamaan-persamaan yang

diwujudkan maka sesuatu nilai pembolehubah boleh terus diperolehi atau juga perlu

dimasukkan sesuatu nilai pembolehubah kepada mana – mana persamaan yang lain.

Kaedah ini lebih kurang sama dengan kaedah penghapusan iaitu menggantikan sesuatu nilai

pembolehubah yang telah diperolehi kepada persamaan lain untuk memperoleh nilai

pembolehubah yang seterusnya.

iii) PETUA CRAMER

Petua Cramer merupakan kaedah yang agak mudah dan menyeronokkan untuk

dikendalikan kerana ia memerlukan masa yang singkat dan menggunakan penentu matriks

sahaja.

Contoh : X1 = A1A

X2 =A 2A

Xn = AnA

12



Walau bagaimanapun, saya perlu berhati – hati dalam membuat pengiraan kerana ia

melibatkan nilai negatif dan positif. Sekiranya seseorang itu melakukan kecuaian pada

peringkat awal iaitu dalam mencari nilai penentu bagi sesuatu pembolehubah maka jawapan

yang seterusnya tidak bermakna. Kepekaan mata melihat sesuatu lajur dan baris dengan

berhati-hati diutamakan. Akan tetapi petua cramer tidak boleh digunakan sekiranya nilai

penentu adalah 0.

iv) KAEDAH GAUSS

Penggunaan kaedah ini agak rumit untuk diselesaikan. Jika dilihat, pengiraan untuk

menghasilkan matrik eselon baris agak panjang dan kita juga perlu menggunakan kaedah

penghapusan pada langkah terakhir. Masalah mungkin akan timbul dengan pelbagai langkah

yang berbeza-beza untuk soalan yang berbeza. Skala yang ingin didarabkan perlu difikirkan

berdasarkan soalan yang ingin diselesaikan. Ini mungkin akan memakan masa yang lama

dalam membuat keputusan sama ada menolak, menambah, mendarab atau membahagi

dengan nilai tertentu bagi mnurunkan matriks kepada bentuk Eselon Baris.

Kesimpulannya, cara yang paling ringkas dan kebarangkalian untuk salah itu rendah

adalah melalui kaedah penghapusan. Melaui kaedah ini, jawapan yang diperolehi boleh

disemak dengan cara pembuktian.

13


REFLEKSI

Saya berasa bersyukur kerana dapat menyiapkan tugasan yang diberikan kepada

saya pada tarikh yang telah ditetapkan. Kerja kursus berasaskan ilmu ini merupakan salah

satu komponen penilaian terhadap pencapaian pelajar selain daripada menduduki

peperiksaan. Justeru itu, satu tugasan kerja kursus untuk matapelajaran MTE3110(Algebra

Linear) telah diberikan kepada pelajar-pelajar yang mengambil subjek ini.

Tugasan ini telah memberi peluang kepada saya untuk mempraktikkan apa yang

saya pelajari di dalam kelas. Tugasan ini juga telah membuatkan saya menjadi lebih faham

mengenai tajuk yang saya belajar di dalam kelas iaitu sistem algebra linear. Terdapat

pelbagai cabaran yang saya hadapi dalam menyiapkan tugasan ini. Antaranya ialah

kesukaran untuk memahami tugasan ini. Setelah mendapat penjelasan daripada pensyarah

dan rakan, barulah saya faham dan mula untuk melaksanakan tugasan ini. Selain itu, saya

juga menghadapi masalah kekangan masa. Ini kerana terdapat tugasan lain yang perlu saya

siapkan dan dalam masa yang sama tugasan ini perlu disiapkan dalam musim perayaan.

Dalam tugasan ini, saya dikehendaki menyelesaikan masalah sistem persamaan

linear dengan empat kaedah yang telah dipelajari dalam kursus algebra linear. Seterusnya,

saya perlu menunjukkan langkah-langkah penyelesaian dengan jelas dan tertib.

Tugasan ini memberi banyak pengalaman baru kepada saya. Daripada tugasan ini

juga, saya telah membaca dan mengkaji semua kaedah yang boleh digunakan untuk

menyelesaikan masalah ini. Saya yakin bahawa, jika tugasan ini tidak diberikan kepada saya

maka saya tidak akan membaca dan mengkaji dengan lebih mendalam terhadap tajuk ini.

Selain itu, saya turut berbincang dengan rakan setugas saya di sekolah bagi mendapatkan

idea untuk menyelesaikan masalah ini. Saya juga turut berhubung dan berbincang dengan

rakan sekelas yang mana mereka bertugas di sekolah lain untuk mendapatkan idea. Hal ini

menunjukkan bukti bahawa tugasan ini merapatkan hubungan silaturahim antara guru

walaupun bertugas di sekolah yang berlainan.

14


Saya mendapat pelbagai manfaat daripada tugasan ini, iaitu mengukuhkan

kemahiran dan pengetahuan berkaitan sistem persamaan linear dan meluaskan jaringan

sumber pengetahuan seperti internet, jurnal dan buku rujukan. Selain itu, saya dapat

mengaplikasikan kaedah-kaedah yang dipelajari dalam sistem persamaan linear.

Seterusnya, saya dapat membuat perbandingan antara kaedah-kaedah yang digunakan dan

memberi justifikasi penggunaan kaedah-kaedah tersebut. Akhir sekali, saya rasa lebih

bersedia untuk menghadapi peperiksaan apabila dapat menyiapkan tugasan ini.

Tajuk algebra ini merupakan satu matepelajaran yang amat berguna bagi

menyelesaikan masalah-masalah dalam bidang kejuruteraan, sains, ekonomi, perniagaan

dan pendidikan. Kesimpulannya, kita perlu belajar matematik kerana semua aktiviti seharian

melibatkan pengiraan. Jika kita memahami tajuk ini, kita akan mudah untuk mengira dan

melakukan aktiviti seharian. Ilmu matematik ini amat penting dan jika kita tidak

menguasainya, kehidupan kita mudah ditindas. Sekian terima kasih.

15


Rujukan:

Wilde C. (1998), Linear Algebra (terjemahan), Skudai: Penerbit UTM.

Lay, David C., (1997), Linear Algebra and Its Application, 2 nd Ed., London : MacMillan.

16

sistem persamaan linear

Documents