SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA DAN TIGA VARIABEL

Pangestika S. S. (4101412004)Batul Fatin H.Heni Kholiqowati

Standar Kompetensi:• Memahami sistem persamaan linier dua variabel dan tiga

variabel serta menggunakannya dalam pemecahan masalahKompetensi Dasar:• 2.1. Menyelesaikan sistem persamaan linier dua dan tiga

variabel• 2.2. Mengidentifikasi langkah-langkah penyelesaian sistem

persamaan linier dua dan tiga variabel.• 2.3. Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan

dengan sistem persamaan linier dua dan tiga variabel• 2.4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang

berkaitan dengan sistem persamaan linier dua dan tiga variabel dan penafsirannya

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA DAN TIGA VARIABEL

Indikator :• Menyebutkan perbedaan PLDV dan SPLDV• Mengenal SPLDV dalam berbagai bentuk dan

variabel• Menentukan akar SPLDV dengan substitusi dan

eliminasi• Membuat model matematika dari masalah sehari-

hari yang berkaitan dengan SPLDV dan SPLTV• Menyelesaikan model matematika dari masalah

yang berkaitan dengan sistem persamaan linier dua dan tiga variabel dan penafsirannya

SISTEM PERSAMAAN

LINEAR

• Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah

ax + b = c, dengan a,b,c R dan a 0• Persamaan linear dua variabel adalah persamaan

yang mengandung dua variabel dengan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah

ax + by = c, dengan a,b,c R dan a 0, b 0

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Persamaan Linier Dua Variabel

(PLDV)

A. Persamaan Linier Dua Variabel (PLDV)

1. Pengertian PLDVPerhatikan persamaan 2x+3y=5.Persamaan ini memiliki 2 variabel yaitu x dan y dan variabel tersebut berpangkat satu. Persamaan seperti 2x+3y=5 ini termasuk persamaan linier dua variabel.Contoh lain Persamaan linier dua variabel adalah:• x+2y = 0• 3a+2b = 7• y = 3x+5• + = 4

Perhatikan persamaan 2x + y = 6. Bagaimana cara menyelesaikan?

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan cara mensubstitusi satu nilai pada x seperti berikut ini.

Untuk x=1 maka 2x + y = 6

2(1) + y = 6

2 + y = 6

2 + y-2 = 6-2

y = 4

Jika x diganti 1 dan y diganti 4 maka 2x + y = 6

2(1)+ 4 = 6

6 = 6 (benar)

Jadi x = 1 dan y = 4 merupakan penyelesaian dari 2x + y = 6

2. Penyelesaian PLDV

Untuk x = -1 maka 2x + y = 6 2(-1) + y = 6 - 2 + y = 6 -2 + y + 2 = 6 + 2 y = 8

Jika x diganti 1 dan y diganti 4 maka 2x + y = 6 2(-1) + 8 = 6 -2 + 8 = 66 = 6 (benar)

Jadi x=-1 dan y=8 merupakan penyelesaian dari2x + y = 6

Kesimpulan• Banyaknya penyelesaian PLDV adalah tidak

berhingga• Pada PLDV jika penyelesaiannya dipilih bilangan

bulat bentuk grafiknya adalah berupa titik-titik• Pada PLDV jika penyelesaiannya dipilih bilangan

real bentuk grafiknya adalah berupa garis lurus

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Bentuk UmumPasangan dua persamaan linear dua veriabel (atau lebih) yang ekuivalen dengan bentuk umum : a, b, c, d, p, qR

a, c = koefisien dari xb, d = koefisien dari yp, q = konstantax, y = variabel

dengan penyelesaian, simultan atau serentak terpenuhi oleh pasangan terurut (x0, y0) dinamakan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)

B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel, antara lain :a. Metode GrafikAdalah metode penyelesaian SPLDV yang dilakukan dengan cara menggambar grafik dari kedua persamaan tersebut yang kemudian menentukan titik potongnya.Langkah-langkahnya sebagai berikut :

– Gambarlah grafik garis lurus pada bidang koordinat.– Tentukan titik potong kedua garis tersebut. Koordinat titik

potong tersebut merupakan pasangan penyelesaian dari system persamaan yang dimaksud.

2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Perhatikan sistem persamaan dua variable berikut :

– Solusi dari sistem ini adalah himpunan pasangan terurut yang merupakan solusi dari kedua persamaan.

– Grafik garis menunjukkan himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan dalam sistem. Oleh karena itu, perpotongan kedua garis adalah gambar dari penyelesaian sistem.

– Solusi dari sistem adalah 2,3

Grafik mungkin sejajar atau mungkin berimpit.

Sistem Kemiringan Grafik Penyelesaian

Konsisten (mempunyai penyelesaian) dan bebas

Berbeda Garis berpotongan di satu titik

Satu

Inkonsistent dan bebas atau berlawanan

Sama Garis sejajar Tidak ada

Konsisten dan bergantungan Sama Garis berimpit Tak terhingga

Hubungan yang mungkin diantara sebuah sistem, kemiringan dari masing masing grafik, dan penyelesaian persamaan ditunjukkan pada table berikut.

Dengan a,b,c,d,p,q, R dan a,b,c,d ≠0

1022

1935

yx

yx

Adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel. Langkah-langkahnya sebagai berikut :• Menyamakan koefisien salah satu variabel dengan cara

mengalikan dengan bilangan selain nol.• Menjumlahkan atau mengurangkan ruas-ruas yang

bersesuaian dari kedua persamaan linear yang baru tersebut.

Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

dengan cara eliminasi !

b. Metode Eliminasi

Jawab:

Eliminir y

4x = 8

x = 2

Eliminir x

-4y = -12

y = 3

Jadi HP = {(2,3)}

1022

1935

yx

yx

2

2

x

x

3066

38610

yx

yx

1022

1935

yx

yx

5

2

x

x

501010

38610

yx

yx

9

1224

yx

yx

c. Metode Substitusi

Adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lainSubstitusi artinya mengganti. Langkah-langkahnya sebagai berikut :• Nyatakan salah satu variabel yang memuat variabel yang lain

dari salah satu persamaan.• Substitusikan hasil dari langkah 1) ke persamaan yang lain.Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : dengan cara substitusi !

Jawab: 4x-2y = 12 …………… (1)

x + y = 9 x = 9 – y ….. (2)

(2) substitusi ke (1)

4(9-y) – 2y = 12 36 – 4y – 2y = 12 -6y = 12 - 36 -6y = -24 y = 4 ………………… (3)

(3) substitusi ke (2)

x = 9 – 4x = 5

Jadi HP = {(5,4)}

102

53

yx

yx

d. Cara Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)

Adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggabungkan metode eliminasi dan metode substitusi. Metode eliminasi digunakan untuk mendapatkan variabel pertama, dan hasilnya disubstitusikan ke persamaan untuk mendapatkan variabel keduaContoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : dengan cara gabungan antara eliminasi dan substitusi !

Jawab:Eliminir y3x – y = 52x + y = 10 +

5x = 15 x = 3x = 3 substitusi ke 3x – y = 5

3(3) – y = 5 9 – y = 5 -y = 5 - 9 -y = -4 y = 4

Jadi HP = {(3,4)}

e. Cara Determinan

Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi).

Untuk menyelesaikan dengan cara determinan dari bentuk persamaan :

ax + by = c

px + qy = r

diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, Dx, Dy.

Dengan :

D = = aq – bp

Dx = = cq – br

Dy = = ar – cp

Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan :

x = dan y =

 

 

qp

ba

qr

bc

rp

ca

D

Dx

D

Dy

Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

dengan cara determinan !

Jawab:D = = 2.1 – 3.3 = 2 – 9 = -7

Dx = = 1.1 – 3.5 = 1 – 15 = -14

Dy = = 2.5 – 1.3 = 10 – 3 = 7

x = = = 2

y = = = -1

Jadi HP = {(2, -1)}

53

132

yx

yx

13

32

15

31

53

12

D

Dx

7

14

D

Dy

7

7

Contoh :

Dua tahun yang lalu umur ayah 6 kali umur Adi, 18 tahun kemudian umur ayah menjadi 2 kali umur Adi. Tentukan persamaan linear dari permasalahan tersebut!Penyelesaian :•Permasalahan tersebut dapat dibuat dalam model matematika sebagai berikut :

sekarang 2 tahun yg lalu 18 th kemudian

Umur ayah x x - 2 x + 18

Umur adi y y - 2 y + 18

Perbandingan x – 2 = 6 (y – 2) x + 18 = 2 (y + 18)

Penyelesaian model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier

Perbedaan PLDV dan

SPLDV

• Sebuah PLDV mempunyai penyelesaian yang tidak berhingga banyaknya, sedangkan SPLDV pada umumnya hanya mempunyai satu pasangan nilai sebagai penyelesaiannya.

• PLDV adalah sebuah persamaan yang mandiri, artinya penyelesaian satu PLDV tidak terkait dengan PLDV yang lain. Sedangkan SPLDV terdiri dari dua PLDV yang saling terkait dalam arti penyelesaian dari PLDV harus sekaligus memenuhi kedua PLDV pembentuknya.

Perbedaan PLDV dan SPLDV

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

ax + by + cz = pdx + ey + fz = qgx + hy + iz = r

C. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

1. Bentuk Umuma, b, c, d, e, f, g, h, I, p, q,

r Ra, d, g = koefisien dari xb, e, h = koefisien dari yc, f, i = koefisien dari zp, q, r = konstantax, y, z = variabel

122

112

1

zyx

zyx

zyx

2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, antara lain :a. Cara Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)

Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem

persamaan : dengan cara gabungan antara

eliminasi dan substitusi !

Dari (4) dan (5) eliminir y

5x = 10

x = 2

x = 2 substitusi ke (5)

x – y = -1

2 – y = -1

-y = -1 – 2

y = 3

x = 2, y = 3 substitusi ke (1)

x + y – z = 1

2 + 3– z = 1

-z = 1 – 5

z = 4

Jadi HP = {(2, 3, 4)}

1- y - x

12 2y 3x

2

1

x

x

222

1223

yx

yx

Jawab :

Dari (1) dan (2) eliminir z x + y – z = 12x + y +z = 11 _

3x + 2y = 12 ….. (4)

Dari (2) dan (3) eliminir z2x + y +z = 11x + 2y +z = 12 _

x - y = -1 ….. (5)

122

112

1

zyx

zyx

zyx

)3.....(

)2.....(

)1.....(

b. Cara Determinan

Sistem persamaan : diubah menjadi bentuk susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, Dx, Dy, dan Dz.

D = Dx = Dy = Dz=

x = y = z =

ihg

fed

cba

irg

fqd

cpa

D

Dx

D

Dy

D

Dz

ihr

feq

cbp

rhg

qed

pba

1) Determinan cara sarrus- - -

D = = aei + bfg + cdh – gec – hfa - idb

+ + +

2) Determinan cara cramer

D = = a - b + c

= a(ei-fh) – b(di-fg) + c(dh-eg)

= aie – afh – bdi + bfg + cdh – ceg

 

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

dengan cara determinan !

hg

ed

ba

hg

ed

ihg

fed

cba

ih

feig

fd

ihg

fed

cba

03

932

52

zyx

zyx

zyx

Jawab:

- - -

D =

+ + +

= -4 + (-3) + 3 – (-2) – 18 - (-1) = -4 – 3 + 3 + 2 – 18 + 1 = -19

- - -

Dx =

+ + +

= (-10) + 0 + 27 – 0 – 45 - (-9) = -10 + 0 + 27 – 0 – 45 + 9 = -19

 

131

321

112

31

21

12

130

329

115

30

29

15

- - -

Dy = = 18 + 15 + 0 – 9 – 0 - 5 = 19

+ + +

- - -

Dz =

+ + +

= 0 + (-9) + 15 – (-10) – 54 - 0 = 0 - 9 + 15 +10 – 54 - 0 = -38

x = = = 1y = = = -1 z = = = 2 Jadi HP ={(1, -1, 2)}

101

391

152

01

91

52

031

921

512

31

21

12

D

Dx

19

19

D

Dy

19

19

D

Dz

19

38

Sistem Persamaan Dua Variabel,

Satu Linear Dan Satu Kuadrat

y = ax + b

y = px2 + qx + r

D. Sistem Persamaan Dua Variabel, Satu Linear Dan Satu Kuadrat

Bentuk umum:

dengan a, b, p, q, r R

Secara umum, langkah-langkah penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas sebagai berikut :

1. Substitusikan bagian linear y = ax + b ke bagian kuadrat y = px2 + qx + r, diperoleh:

ax + b = px2 + qx + rpx2 + qx – ax + r – b = 0px2 + (q – a)x + (r – b = 0 (merupakan persamaan dalam x)

2. Nilai-nilai x pada langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke persamaan y = ax + b.

Contoh: Selesaikan sistem persamaan :

Jawab:

Dari x – y = 2 x = y + 2

x = y + 2 substitusikan ke

(y + 2)2 + y2 = 20

y2 + 4y + 4 + y2 = 20

2y2 + 4y + 4 – 20 = 0

2y2 + 4y – 16 = 0

y2 + 2y – 8 = 0

(y + 4)(y – 2) = 0

y + 4 = 0 atau y - 2 = 0

y = -4 atau y = 2

Untuk y = -4 x = -4 + 2 = -2

y = 2 x = 2 + 2 = 4

Jadi HP = {(-2, -4),(4,2)} 

2

2022

yx

yx

222 yx

LATIHAN SOAL !

Latihan Soal1. Gunakan metode grafik untuk mencari penyelesaikan SPLDV berikut :

x-y = 1 dan 3x-y = 6

x + 2y = 8 dan 2x – y = 6

2. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier berikut

a. Dengan substitusi

2x + y = 5 . . . . . . . ( i )

x + 3y = 10 . . . . . . . ( ii )

b. Dengan eliminasi

2x + y = 0 . . . . . . . ( i )

x + 3y = 15 . . . . . . . ( ii )

3. Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,- Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk ?

5. Adik berusia 13 tahun lebih muda dari kakak. Sembilan tahun kemudian, umur kakak dua kali lipat dari usia adik. Berapa jumlah umur adik dan kakak saat ini?

6. Tiga tahun yang lalu jumlah umur ayah dan ibu adalah 58 tahun. Lima tahun yang akan datang, umur ayah ditambah dua kali umur ibu adalah 110 tahun. Tentukan umur ayah dan ibu saat ini !

7. Dengan metode subsitusi tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut !

2x + y- z = 3 ....(1)

x + y + z = 1 ....(2)

x - 2y -3z = 4 ....(3)