sistem persamaan linear dan matriks - ... · pdf filesecara umum suatu sistem sebarang dari m...

(Oleh: Winita Sulandari, M.Si)

A. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear

B. Materi : 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2. Determinan

C. Indikator : 1. Mendefinisikan persamaan linear dan sistem

persamaan linear 2. Mengenal berbagai bentuk matriks dan

operasi dalam matriks 3. Menyajikan sistem persamaan linear dalam

bentuk matriks dan menyelesaikannya dengan operasi baris elementer

4. Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan

5. Menentukan invers matriks menggunakan operasi baris elemanter

6. Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode invers matriks

7. Menentukan determinan dari suatu matriks 8. Menyelesaikan sistem persamaan linear

menggunakan aturan Cramer.

[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012

Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 2

BAB 1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIK

A. Pengantar

Dalam bidang kimia, sistem persamaan linear dibutuhkan untuk menyelesaikan

perhitungan terkait dengan prinsip kesetimbangan kimia. Sebagai contohnya, pada proses

penyampuran toluene C7H8 dan nitric acid HNO3 yang menghasilkan trinitrotoluene

C7H5O6N3. Berdasarkan persamaan kimia

𝑥𝐶7𝐻8 + 𝑦𝐻𝑁𝑂3 ↔ 𝑧𝐶7𝐻5𝑂6𝑁3 + 𝑤𝐻2𝑂

diperoleh beberapa persamaan linear

untuk unsur C : 7𝑥 = 7𝑧

untuk unsur H : 8𝑥 + 𝑦 = 5𝑧 + 2𝑤

untuk unsur N : 𝑦 = 3𝑧 untuk unsur O : 3𝑦 = 6𝑧 + 𝑤

Keempat persamaan di atas di sebut dengan persamaan linear karena setiap variabelnya

mempunyai pangkat satu, dan bukan merupakan fungsi trigonometri, logaritma maupun

eksponensial. Himpunan dari beberapa persamaan linear yang jumlahnya berhingga disebut

dengan sistem persamaan linear.

Secara umum suatu sistem sebarang dari m persamaan linear dengan n variabel

(faktor yang tidak diketahui) dapat ditulis sebagai

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

Dengan a11, a12, …, a1n, …, amn dan b1, b2, …,bn merupakan konstanta, sedangkan x1, x2, …,

xn merupakan variabel yang dicari.

Dalam bab ini, kita akan melihat bahwa untuk menyelesaikan suatu sistem

persamaan linear di atas, seluruh informasi yang dibutuhkan untuk memperoleh

penyelesaiannya terangkum dalam matriks

m

2

1

mnm2m1

2n2221

1n1211

b

b

b

aaa

aaa

aaa



Dan penyelesaiannya dapat diperoleh dengan melakukan operasi yang sesuai terhadap

matriks ini. Metode yang digunakan adalah

1. metode matriks yang diperbesar

2. metode eliminasi Gauss

3. metode invers matriks

4. aturan Cramer

Sebelum membahas lebih lanjut mengenai metode matriks yang diperbesar, eliminasi Gauss

dan invers matriks, terlebih dahulu kita bahas mengenai matriks. Untuk metode keempat

akan dibahas pada bab berikutnya, yaitu pada pembahasan determinan.

B. Matriks

Matriks adalah suatu kumpulan data yang disusun menurut baris dan kolom dan

dituliskan di dalam tanda kurung [ ]. Bilangan-bilangan dalam matriks disebut dengan

entri/unsur. Berikut adalah contoh matriks

mnm2m1

2n2221

1n1211

aaa

aaa

aaa

A

Matriks A adalah matriks berukuran m x n, m menunjukkan banyaknya baris dan n

menunjukkan banyaknya kolom. Matriks A dapat juga dinotasikan dengan [aij]mxn atau [aij].

Entri yang terletak pada baris i dan kolom j pada matriks A dinyatakan sebagai aij.

Transpose dari matriks A dinyatakan dengan dengan AT didefinisikan sebagai matriks n x m

yang didapatkan dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A; sehingga

kolom pertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua

dari A, dan seterusnya, sehingga diperoleh

mn2n1n

m22212

m12111

T

aaa

aaa

aaa

A

Suatu matriks A dengan jumlah baris n dan jumlah kolom n disebut matriks

bujursangkar ordo n dan entri a11, a22, …, ann disebut sebagai diagonal utama. Jika A

adalah sebuah matriks bujursangkar maka trace dari A, yang dinyatakan sebagai tr(A),

didefinisikan sebagai jumlah entri-entri pada diagonal utama A.



Terdapat beberapa operasi dalam matriks, yaitu

1. Penjumlahan

Matriks jumlahan dari dua matriks A + B (A dan B mempunyai ukuran sama) adalah

matriks dengan entri-entrinya merupakan jumlahan dari entri-entri A dengan entri-

entri yang bersesuaian pada B.

2. Pengurangan (selisih)

Selisih A – B (A dan B berukuran sama) adalah matriks yang diperoleh dengan

mengurangkan entri-entri pada A dengan entri-entri yang bersesuaian pada B.

3. Perkalian

a. Jika A adalah matriks mx r dan B adalah matriks r x n maka hasilkali AB adalah

matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari

entri pada baris i dan kolom j dari AB, pisahkanlah baris i dari matriks A dan

kolom j dari matriks B. Kalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan

kolom tersebut dan kemudian jumlahkan hasil yang diperoleh.

Contoh 1:

A3 x 4 =

0563

1342

9211

dan B4 x 1 =

1

2

2

1

AB =

25

17

8

diperoleh dari

b. Jika A adalah matriks sebarang dan c adalah scalar sebarang, maka

hasilkalinya cA adalah matriks yang diperoleh dari perkalian setiap entri pada

matriks A dengan bilangan c. Matriks cA disebut sebagai kelipatan skalar dari

A. Notasi : Jika A = [aij] maka (cA)ij = c(A)ij = caij.

4. Perkalian blok

Jika A dan B dipartisi menjadi sejumlah submatriks misalnya

A =

2221

1211

AA

AA dan B =

2221

1211

BB

BB

maka AB dapat dinyatakan sebagai

2.1 + 4.2 + (-3).(-2) + 0.1



AB =

2222122121221121

2212121121121111

BABABABA

BABABABA

dengan syarat ukuran-ukuran submatriks A dan B sedemikian rupa sehingga operasi-

operasi yang disebutkan dapat dilakukan.

Metode perkalian matriks yang dipartisi ini disebut sebagai perkalian blok.

C. Bentuk Matriks Dari Suatu Sistem Linear

Perkalian matriks memiliki aplikasi penting dalam sistem persamaan linear.

Perhatikan sistem yang terdiri dari m persamaan linear dengan n faktor yang tidak diketahui

berikut ini.

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

Karena dua matriks adalah setara jika dan hanya jika entri-entri yang bersesuaian adalah

setara, maka kita dapat menukar m persamaan dalam sistem ini dengan persamaan matriks

tunggal

m

2

1

mnmn2m21m1

n2n222121

n1n212111

b

b

b

xa...xaxa

xa...xaxa

xa...xaxa

Matriks m x 1 pada ruas kiri persamaan dapat ditulis sebagai hasilkali, sehingga kita

memperoleh

m

2

1

n

2

1

mnm2m1

2n2221

1n1211

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

Jika kita menyebut matriks-matriks di atas masing-masing sebagai A, x dan b, maka sistem

asli yang terdiri dari m dari persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui telah digantikan

dengan persamaan matriks tunggal berikut ini.

Ax = b

Matriks A pada persamaan ini disebut matriks koefisien dari sistem tersebut. Matriks yang

diperbesar dari sistem tersebut diperoleh dengan menggabungkan b ke A sebagai kolom

terakhir, sehingga bentuk matriks yang diperbesar menjadi



[A|b] =

m

2

1

mnm2m1

2n2221

1n1211

b

b

b

aaa

aaa

aaa

1. Metode Matriks Yang Diperbesar

Suatu sistem persamaan linear yang terdiri dari m persamaan linear dengan n faktor

yang tidak diketahui dapat dipersingkat dengan hanya menuliskan deretan bilangan-

bilangan dalam jajaran empat persegi panjang:

m

2

1

mnm2m1

2n2221

1n1211

b

b

b

aaa

aaa

aaa

Ini disebut matriks yang diperbesar dari sistem tersebut.

Contoh 2:

Matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan

x1 + x2 + 2x3 = 9

2x1 + 4x2 - 3x3 = 1

3x1 + 6x2 - 5x3 = 0

adalah

0563

1342

9211

Ketika menyusun suatu matriks yang diperbesar, faktor-faktor yang tidak diketahui harus

ditulis dengan urutan yang sama untuk setiap persamaan dan konstanta harus berada pada

bagian paling kanan.

Metode dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah dengan

menggantikan sistem yang ada dengan suatu sistem baru yang memiliki himpunan solusi

yang sama tapi penyelesaiannya lebih mudah. Sistem baru ini biasanya diperoleh dengan

melalui beberapa langkah dengan cara menerapkan tiga jenis tipe operasi berikut untuk

mengeliminasi faktor-faktor yang tidak diketahui secara sistematis.

1. mengalikan persamaan dengan konstanta tak nol

2. menukarkan posisi dua persamaan

3. menambahkan kelipatan satu persamaan ke persamaan lainnya.



Contoh 3. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan melakukan operasi terhadap

persamaan dalam sistem.

x1 + x2 + 2x3 = 9

2x1 + 4x2 - 3x3 = 1

3x1 + 6x2 - 5x3 = 0

Langkah-langkah yang diambil untuk menyelesaikan persamaan di atas adalah

1. tambahkan -2 kali persamaan petama ke persamaan kedua untuk memperoleh

x1 + x2 + 2x3 = 9

2x2 - 7x3 = -17

3x1 + 6x2 - 5x3 = 0

2. tambahkan -3 kali persamaan pertama ke persamaan ketiga untuk memperoleh

x1 + x2 + 2x3 = 9

2x2 - 7x3 = -17

3x2 - 11x3 = -27

3. kalikan persamaan kedua dengan ½ untuk memperoleh

x1 + x2 + 2x3 = 9

x2 – 7/2x3 = -17/2

3x2 - 11x3 = -27

4. tambahkan -3 kali persamaan kedua ke persamaan ketiga untuk memperoleh

x1 + x2 + 2x3 = 9

x2 – 7/2x3 = -17/2

- 1/2x3 = -3/2

5. kalikan persamaan ketiga dengan -2 untuk memperoleh

x1 + x2 + 2x3 = 9

x2 – 7/2x3 = -17/2

x3 = 3

6. tambahkan -1 kali persamaan kedua ke persamaan pertama untuk memperoleh

x1 + 11/2x3 = 35/2

x2 – 7/2x3 = -17/2

x3 = 3

7. tambahkan -11/2 kali persamaan ketiga ke persamaan pertama dan 7/2 kali persamaan

ketiga ke persamaan kedua untuk memperoleh

x1 = 1

x2 = 2

x3 = 3



jadi diperoleh penyelesaian x1 = 1, x2 = 2, dan x3 = 3.

Selanjutnya akan kita bandingkan langkah-langkah di atas dengan menggunakan

operasi baris elementer. Karena baris-baris (urutan horizontal) dari matriks yang

diperbesar bersesuaian dengan persamaan-persamaan dalam sistem yang berkaitan,

operasi-operasi dalam persamaan di atas ini dengan operasi-operasi berikut pada

baris-baris matriks yang diperbesar.

1. mengalikan baris dengan konstanta taknol

2. menukarkan posisi dua baris

3. menambahkan kelipatan satu baris ke baris lainnya.

Inilah yang disebut dengan operasi baris elementer.

Contoh 4. Menyelesaikan sistem yang sama dengan contoh sebelumnya dengan

melakukan operasi terhadap baris pada matriks yang diperbesar.

Sistem persamaan linear terlebih dahulu disajikan dalam matriks yang diperbesar, yaitu

0563

1342

9211

Langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan sistem di atas adalah

1. tambahkan -2 kali baris pertama ke baris kedua untuk memperoleh

0563

17720

9211

2. tambahkan -3 kali baris pertama ke baris ketiga untuk memperoleh

271130

17720

9211

3. kalikan baris kedua dengan ½ untuk memperoleh

271130

2/172/710

9211

4. tambahkan -3 kali baris kedua ke baris ketiga untuk memperoleh



2/32/100

2/172/710

9211

5. kalikan baris ketiga dengan -2 untuk memperoleh

3100

2/172/710

9211

6. tambahkan -1 kali baris kedua ke baris pertama untuk memperoleh

3100

2/172/710

2/352/1101

7. tambahkan -11/2 kali baris ketiga ke baris pertama dan 7/2 kali baris ketiga ke baris

kedua untuk memperoleh

3100

2010

1001

jadi diperoleh penyelesaian x1 = 1, x2 = 2, dan x3 = 3.

D. Metode Eliminasi Gauss

Metode eliminasi Gauss adalah suatu prosedur yang didasarkan pada gagasan untuk

mereduksi matriks yang diperbesar dari suatu sistem menjadi matriks yang diperbesar lain

yang cukup sederhana sehingga penyelesaian sistem dapat diperoleh hanya dengan

melakukan inspeksi terhadap sistem tersebut. Pada contoh 4 suatu sistem linear dengan

faktor-faktor yang tidak diketahui x1, x2, dan x3 menggunakan reduksi matriks yang

diperbesar sehingga diperoleh

3100

2010

1001

Atau dengan kata lain diperoleh penyelesaian x1 = 1, x2 = 2, dan x3 = 3. Ini merupakan

contoh matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi. Sifat-sifat dari matriks ini adalah

1. Jika satu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada

baris itu adalah 1. Bilangan 1 ini disebut 1 utama.

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan

dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.



3. jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka 1

utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1

utama pada baris yang lebih tinggi.

4. setiap kolom yang memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat-tempat lainnya.

Matriks yang memiliki tiga sifat pertama di atas merupakan matriks dalam bentuk eselon

baris. Jadi matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi sudah pasti merupakan matriks

dalam bentuk eselon baris, tetapi tidak sebaliknya.

Contoh 5. Misalkan suatu matriks yang diperbesar dari suatu sistem persamaan linear telah

direduksi melalui operasi baris menjadi bentuk eselon baris tereduksi berikut ini. Selesaikan

sistem tersebut.

a.

23100

62010

14001

b.

1000

0210

0001

Penyelesaian.

a. sistem persamaan yang bersesuaian adalah

a + 4d = -1

b + 2d = 6

c + 3d = 2

karena a, b, c bersesuaian dengan 1 utama pada matriks yang diperbesar maka

ketiganya disebut sebagai variabel utama. Variabel-variabel yang bukan utama

(dalam hal ini d) disebut sebagai variabel bebas. Dengan menyelesaikan variabel-

variabel utama dalam bentuk variabel bebas akan diperoleh

a = -1 – 4d

b = 6 – 2d

c = 2 - 3d

dari bentuk persamaan-persamaan ini terlihat bahwa dapat kita tetapkan nilai

sebarang untuk variabel bebas d, misalnya t, yang selanjutnya akan menentukan

nilai variabel-variabel utama a, b, dan c. Jadi akan terdapat takterhingga banyaknya

penyelesaian dengan penyelesaian umumnya dinyatakan dalam rumus-rumus

a = -1 - 4t, b = 6 – 2t, c = 2 – 3t, dan d = t.

b. persamaan terakhir dalam sistem persamaan yang bersesuaian adalah

0a + 0b + 0c = 1

Karena persamaan ini tidak dapat dipenuhi, maka sistem ini tidak memiliki solusi.



METODE ELIMINASI. Berikut adalah prosedur eliminasi tahap demi tahap yang dapat

digunakan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi. Untuk memberi

gambaran supaya mudah dipahami kita ambil sebuah contoh, yaitu

156542

281261042

1270200

Langkah 1. Perhatikan kolom paling kiri yang tidak seluruhnya terdiri dari nol.

156542

281261042

1270200

Langkah 2. Jika perlu, pertukarkan baris paling atas dengan baris lain untuk menempatkan

entri taknol pada puncak kolom yang kita peroleh pada langkah 1.

156542

1270200

281261042

B1 B2

Langkah 3. Jika entri yang kini berada pada puncak kolom yang kita peroleh pada langkah

1 adalah a, kalikan baris pertama dengan 1/a sehingga terbentuk 1 utama.

156542

1270200

1463521

½ B1

Langkah 4. Tambahkan kelipatan yang sesuai dari baris paling atas ke baris-baris di

bawahnya sehingga semua entri di bawah 1 utama menjadi nol.

29170500

1270200

1463521

B3 – 2 B1

Langkah 5. Sekarang tutuplah baris atas dari matriks dan mulailah lagi dengan langkah 1

pada submatriks yang tersisa. Lanjutkan langkah ini hingga seluruh matriks berada dalam

bentuk eselon baris.

29170500

1270200

1463521

Tutup baris paling atas

kolom taknol paling kiri dalam submatriks



29170500

62/70100

1463521

-1/2 b1

12/10000

62/70100

1463521

b2 – 5 b1

12/10000

62/70100

1463521

baris paling atas submatriks ditutup

kolom taknol paling kiri dalam submatriks baru

210000

62/70100

1463521

2b

Keseluruhan matriks kini berada dalam bentuk eselon baris. Untuk memperoleh bentuk

eselon baris tereduksi kita membutuhkan langkah tambahan berikut.

Langkah 6. Mulai dengan baris taknol terakhir dan bergerak ke atas, tambahkan kelipatan

yang sesuai dari tiap baris di atasnya untuk memperoleh nol di atas 1 utama.

210000

100100

1463521

B2 + 7/2 B3

210000

100100

203521

B1 - 6 B3

210000

100100

703021

B1 + 5 B2

Matriks terakhir di atas berada dalam bentuk eselon baris tereduksi.

Langkah 1 – Langkah 5 menghasilkan matriks dalam bentuk eselon baris , prosedur

ini disebut dengan ELIMINASI GAUSS. Sedangkan prosedur sampai Langkah 6 menghasilkan

bentuk eselon baris tereduksi, disebut dengan ELIMINASI GAUSS-JORDAN.

Contoh 6. Selesaikan dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan

x1 + 3x2 – 3x3 + 2x5 = 0

2x1 + 6x2 – 5x3 - 2x4 + 4x5 – 3x6 = -1



5x3 + 10x4 + 15x6 = 5

2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 0

Penyelesaian.

Matriks yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah

61848062

515010500

1342562

0020231

61808400

515010500

1302100

0020231

-1B2

61808400

515010500

1302100

0020231

2600000

0000000

1302100

0020231

B3 B4

0000000

2600000

1302100

0020231

1/6 B3

0000000

3/1100000

1302100

0020231

B2 – 3B3

0000000

3/1100000

0002100

0020231

B1 + 2B2

0000000

3/1100000

0002100

0024031

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah

x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0

x3 + 2x4 = 0

x6 = 1/3

Dengan menyelesaikan variabel utama kita peroleh

x1 = -3x2 - 4x4 - 2x5

x3 = -2x4

x6 = 1/3

Jika kita menetapkan r, s, dan t masing-masing untuk variabel-variabel bebas x2, x4, dan x5

maka penyelesaian umumnya dinyatakan dalam rumus-rumus

x1 = -3r - 4s – 2t, x2 = r, x3 = -2s, x4 = s, x5 = t, dan x6 = 1/3

SUBSTITUSI BALIK. Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear kadang-kadang

lebih dipilih penggunaan eliminasi Gauss untuk mengubah matriks yang diperbesar menjadi

bentuk eselon baris tanpa menyelesaikannya dengan tuntas hingga didapatkan bentuk

B2 - 2B1

B4 – 2B1

B3 - 5B2

B4 – 4B2



eselon baris tereduksi. Jika langkah ini dipilih, selanjutnya sistem persamaan yang

bersesuaian dapat diselesaikan dengan metode yang disebut substitusi balik.

Contoh 7. Bentuk eselon baris dari matrik yang diperbesar pada contoh 6 adalah

0000000

3/1100000

1302100

0020231

Untuk menyelesaikan sistem persamaan yang bersesuaian

x1 + 3x2 - 2x3 + 2x5 = 0

x3 + 2x4 + 3x6 = 1

x6 = 1/3

langkah-langkah yang dilakukan adalah

Langkah 1. Selesaikan persamaan-persamaan untuk variabel utama

x1 = -3x2 + 2x3 - 2x5

x3 = 1 - 2x4 - 3x6

x6 = 1/3

Langkah 2. Mulai dari persamaan paling bawah dan bergerak ke atas, berturut-turut

lakukan substitusi setiap persamaan ke dalam persamaan atasnya.

Substitusi x6 = 1/3 ke persamaan kedua menghasilkan

x1 = -3x2 + 2x3 - 2x5

x3 = - 2x4

x6 = 1/3

Substitusi x3 = -2x4 ke persamaan pertama menghasilkan

x1 = -3x2 - 4x4 - 2x5

x3 = - 2x4

x6 = 1/3

Langkah 3. Tetapkan nilai-nilai sebarang untuk variabel-variabel bebas jika ada.

Jika kita menetapkan r, s, dan t masing-masing untuk variabel-variabel bebas x2, x4, dan x5

maka penyelesaian umumnya dinyatakan dalam rumus-rumus

x1 = -3r - 4s – 2t, x2 = r, x3 = -2s, x4 = s, x5 = t, dan x6 = 1/3

Ini sesuai dengan penyelesaian pada contoh 6.



E. Metode Invers Matriks

Jika A adalah matriks bujursangkar, dan jika terdapat matriks B yang ukurannya

sama sedemikian rupa sehingga AB = BA = I, maka A disebut dapat dibalik (mempunyai

invers) dan B disebut invers dari A. Jika matriks B tidak dapat didefinisikan, maka A

dinyatakan sebagai matriks singular.

Contoh matrik singular :

063

052

041

.

Sifat-sifat invers:

1. Jika B dan C kedua-duanya adalah invers dari matriks A, maka B = C.

2. Matriks A =

dc

ba dapat dibalik jika ad – bc 0, dan inversnya dapat dihitung

sesuai dengan rumus

A-1 =

ac-

b-d

bc-ad

1 =

bc-ad

a

bc-ad

cbc-ad

b

bc-ad

d

3. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dengan ukuran yang sama,

maka AB dapat dibalik dan (AB)-1 = B-1A-1.

METODE MENENTUKAN A-1. Untuk mencari invers dari matriks A yang dapat dibalik, kita

harus mencari suatu urutan operasi baris elementer yang mereduksi A menjadi identitas dan

melakukan urutan operasi yang sama terhadap I untuk memperoleh A-1.

Contoh 8. Tentukan invers dari

801

352

321

Penyelesaian.

Matriks A direduksi menjadi matriks identitas melalui operasi-operasi baris dan secara

simultan melakukan operasi yang sama terhadap I untuk memperoleh A-1. Caranya adalah

matriks dengan bentuk

[A|I]

Matriks A (sisi kiri) direduksi menjadi I dengan menggunakan operasi-operasi baris sehingga

diperoleh

[I|A-1]



Penghitungan yang dilakukan adalah sebagai berikut.

100

010

001

801

352

321

101

012

001

520

310

321

B2 – 2B1 dan B3 – B1

125

012

001

100

310

321

B3 + 2B2

125

012

001

100

310

321

-B3

125

3513

3614

100

010

021

B2 + 3B3 dan B1 – 3B3

125

3513

91640

100

010

001

B1 – 2B2

Jadi

A-1 =

125

3513

91640

Suatu matriks A yang tidak dapat dibalik , tidak dapat direduksi menjadi matriks I

melalui operasi baris elementer. Dengan kata lain bentuk eselon baris tereduksi dari A

memiliki paling tidak satu baris bilangan nol. Jadi jika terdapat satu baris bilangan nol saja

pada sisi kiri maka dapat disimpulkan bahwa matriks tersebut tidak dapat dibalik dan

perhitungan dapat dihentikan

Contoh 9. Dapatkan invers matriks

A =

521

142

461



Penyelesaian.

100

010

001

521

142

461

101

012

001

980

980

461

B2 – 2B1 dan B3 + B1

111

012

001

000

980

461

B3 + B2

Karena terdapat satu baris bilangan nol pada sisi kiri maka A tidak dapat dibalik (A tidak

mempunyai invers).

Penyelesaian Sistem Linear Dengan Inversi Matriks.

Jika A adalah suatu matriks n x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks b, n x 1,

sistem persamaan Ax = b memiliki tepat satu solusi, yaitu x = A-1b.

Contoh 10. Tentukan penyelesaian sistem linear berikut dengan menggunakan A-1.

x1 + 2x2 + 3x3 = 5

2x1 + 5x2 + 3x3 = 3

x1 + 8x3 = 17

Penyelesaian. Dalam bentuk matriks sistem di atas dapat ditulis sebagai Ax = b di mana

A =

801

352

321

x =

3

2

1

x

x

x

b =

17

3

5

Berdasarkan Contoh 8, invers dari matrik A adalah

A-1 =

125

3513

91640

Dengan demikian penyelesaian dari sistem ini adalah

x = A-1b =

125

3513

91640

17

3

5

=

2

1

1

atau x1 = 1, x2 = -1 dan x3 = 2.



CATATAN : Ingat bahwa metode pada contoh di atas hanya berlaku pada sistem yang

memiliki persamaan sebanyak faktor yang tidak diketahui dan matriks koefiennya dapat

dibalik.

Referensi:

1. Anton, H. and C. Rorres, 2005, Elementary Linear Algebra, 9 th ed, John Wiley &

Sons, Inc.

2. http://en.wikibooks.org/wiki/Linear_Algebra/Solving_Linear_Sistems

sistem persamaan linear dan matriks - ... · pdf filesecara umum suatu sistem sebarang dari m...

Documents