konsep dasar aljabar -...

Pemecahan Masalah Matematika 2 - 1

KONSEP DASAR ALJABAR

Clara Ika Sari Pendahuluan

ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan yang berbentuk linear dan kuadrat, serta

mengkaji sistem persamaan linear dengan dua peubah. Kompetensi yang harus dikuasai setelah Anda mempelajari konsep dasar aljabar adalah mampu menggunakan konsep dasar aljabar dalam menyelesaikan masalah matematika maupun masalah pada bidang lain yang terkait dengan konsep tersebut. Unit ini terdiri dari tiga subunit yaitu persamaan, pertidaksamaan, dan sistem persamaan linear. Masing-masing subunit akan dilengkapi dengan latihan-latihan sederhana untuk membantu Anda dalam memahami konsep yang telah dipelajari. Media yang dapat Anda gunakan dalam mempelajari konsep dasar aljabar ini, selain melalui bahan ajar cetak, Anda juga dapat mempelajarinya dengan mengakses web yang telah disediakan. Unit ini merupakan salah satu prasyarat pengetahuan yang harus Anda kuasai untuk mengkaji dan memecahkan masalah matematika terutama masalah matematika di bidang aljabar dalam kehidupan sehari-hari. Kajilah materi dalam setiap subunit sampai tuntas. Kerjakanlah latihan dan tugas-tugas yang ada di setiap subunit. Setelah Anda selesai mempelajari satu subunit, kerjakanlah tes formatif untuk mengukur tingkat penguasaan Anda. Cobalah mengerjakan sendiri tes formatif tersebut agar Anda benar-benar mengetahui seberapa besar penguasaan Anda terhadap materi yang baru dipelajari. Jika Anda belum mencapai tingkat penguasaan yang disyaratkan, pelajari kembali materi pada subunit yang bersangkutan. Jangan segan untuk bertanya atau meminta bantuan kepada orang yang Anda anggap mampu atau kepada dosen pengampu mata kuliah ini. Anda bisa melakukan latihan menyelesaikan soal berulang-ulang baik soal yang tersedia dalam bahan ajar cetak maupun dalam bahan ajar web.

Selamat mempelajari unit ini, semoga Anda berhasil.

P

Unit 2

Unit 2 2 - 2

Subunit 1

Persamaan

ubunit 1 berisi bahasan mengenai persamaan linear dan kuadrat dan bagaimana menentukan penyelesaiannya. Persamaan merupakan salah satu konsep

matematika yang digunakan dalam menentukan suatu model matematika dan penyelesaiannya terkait dengan pemecahan masalah matematika dalam bidang aljabar.

Sebelum kita membahas mengenai persamaan, terlebih dahulu akan dibahas mengenai beberapa istilah yang dipakai dalam subunit ini. Istilah-istilah tersebut antara lain: variabel, koefisien, konstanta, dan suku. Selain istilah-istilah tersebut juga akan dibahas beberapa manipulasi aljabar yang akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan. Pertama-tama kita akan membahas mengenai variabel. Variabel adalah sebuah lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang bilangan real. Variabel biasa dinotasikan dengan huruf kecil, seperti : x, y, a, u, dan lain sebagainya. Jika beberapa variabel yang sama dijumlahkan akan diperoleh perkalian antara bilangan yang menyatakan banyaknya variabel dan variabel tersebut. Contoh : Jika 5 + 5 = 2 × 5 maka hal ini berlaku juga untuk a + a = 2 × a atau disingkat menjadi 2a. Demikian juga karena operasi perkalian mempunyai sifat komutatif, yaitu 2 × 3 = 3 × 2 maka sifat tersebut berlaku juga dalam perkalian dengan variabel, yaitu 2 × a = a × 2 = 2a. Selanjutnya perhatikan contoh di atas. Pada 2a, bilangan 2 disini menyatakan banyaknya variabel a dan disebut koefisien dari variabel a. Hasil kali 2 × a = 2a disebut suku atau lebih lengkapnya suku aljabar. Jika suku aljabar ini tidak memuat variabel, dengan kata lain hanya terdiri dari bilangan saja maka bilangan tersebut disebut konstanta. Jika suatu suku dikalikan dengan suatu bilangan atau variabel baik variabel yang sama maupun berbeda, hasil kalinya merupakan suku juga. Contoh : Jika 4a × b maka diperoleh 4ab yang merupakan sebuah suku. Sedangkan koefisien dari ab adalah 4.

S


Jika dua suku yang sama dijumlahkan atau lebih maka akan diperoleh perkalian antara bilangan yang menyatakan banyaknya suku dengan suku tersebut. Contoh : Jika 2y + 2y + 2y maka diperoleh 3 × 2y = 6y. Jika dua suku yang memuat variabel sama atau lebih maka untuk menyederhanakannya, kita dapat menggunakan aturan distributif. Contoh : Jika 3m + 7m maka diperoleh (3 + 7)m = 10m.

Jadi kesimpulannya, dua suku atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku-suku tersebut memuat variabel yang sama. Sebaliknya, dua suku atau lebih tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku-suku tersebut memuat variabel yang berbeda. Contoh : 4k – 3m, 2x + 7y dan lain sebagainya.

Pada setiap suku aljabar dapat dikenakan operasi perkalian dan pembagian seperti pada bilangan. Contoh :

a. 3 × 6y = (3 × 6)y = 18y b. 10t : 5 = (10 : 5)t = 2t

Sifat-sifat operasi hitung pada bilangan yang telah kita kenal adalah sifat komutatif, assosiatif dan distributif. Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada pengerjaan operasi hitung pada suku aljabar. Contoh :

a. u × v = v × u = uv b. a × (b × c) = (a × b) × c c. 2u (a + b) = (2u × a) + (2u × b) = 2au + 2bu

Sebelum Anda mempelajari materi lebih lanjut cobalah kerjakan latihan

berikut ini, untuk memperdalam materi mengenai variabel, koefisien, konstanta, suku aljabar dan manipulasi-manipulasi aljabar yang telah dipelajari di atas. 1. Jika diberikan 622 −++ abxyyx maka tentukanlah

a. koefisien dari yx 2 dan xy

b. konstanta yang ada pada 622 −++ abxyyx c. suku aljabar yang ke 3

2. Untuk soal-soal berikut, sederhanakanlah.

Unit 2 2 - 4

a. 3 × p b. y × 10 c. m × 6 d. n × 1 e. 2a × 3b f. 8ab + 6ba g. 7gh + 12gl + 8hg – 4gl

Berikut ini pembahasan dari soal-soal latihan di atas. 1. a. Koefisien dari yx 2 adalah 1 dan koefisien dari xy adalah 2.

a. Konstanta yang ada pada 622 −++ abxyyx adalah 6.

c. Suku aljabar yang ke 3 dari 622 −++ abxyyx adalah ab.

2. a. 3 × p = 3p b. y × 10 = 10y c. m × 6 = 6m d. n × 1 = 1n = n

Perhatikan penyelesaian soal d. Setiap bilangan yang dikalikan dengan 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Demikian juga berlaku bahwa setiap variabel yang dikalikan dengan 1 akan menghasilkan variabel itu sendiri.

e. 2a × 3b = (2 × a) × (3 × b) = (2 × 3) × (a × b) Menggunakan sifat assosiatif = 6ab

f. 8ab + 6ba = 8ab + 6ab Menggunakan sifat komutatif = (8 + 6)ab Menggunakan sifat distributif = 14ab

h. 7gh + 12gl + 8hg – 4gl = 7gh + 8gh +12gl – 4gl = (7 + 8) gh + (12 – 4)gl = 15gh + 8gl

Selanjutnya kita akan membahas persamaan. Pernyataan atau kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama dengan disebut kesamaan. Contoh : 5 + 10 = 15, 6 + 2 = 10 – 2, 2 × 5 = 8 + 2

Selanjutnya kita akan mempelajari penggunaan variabel dalam kesamaan. Perhatikan salah satu contoh di atas yaitu 5 + 10 = 15. Jika variabel x menyatakan


bilangan 5 pada kesamaan tersebut maka diperoleh x + 10 = 15. Jadi x + 10 = 15 menjadi kalimat matematika yang terbuka. Kalimat matematika x + 10 = 15 disebut persamaan .

Jadi persamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan dan dibatasi dengan tanda ”=”.

Persamaan x + 10 = 15 memuat variabel x dimana nilai x adalah 5 jika kalimat terbuka tersebut diubah menjadi pernyataan yang benar. Nilai x = 5 disebut penyelesaian dari persamaan x + 10 = 15. Jadi menyelesaikan persamaan berarti menemukan bilangan di mana jika setiap variabel dalam persamaan tersebut diganti dengan bilangan itu maka diperoleh pernyataan yang bernilai benar. Persamaan yang akan kita bahas dalam unit ini adalah persamaan linear dan kuadrat. Kita akan mengkaji dan menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat tersebut.

Persamaan linear adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 1. Secara simbolik, persamaan linear adalah persamaan yang berbentuk 0=+ bax dengan Rba ∈, di mana R adalah himpunan bilangan real dan

0≠a . Contoh :

a. x + 5 = 9 b. 2x + 7 = 11

c. 73=

x

d. 7x – 4 = 4x + 17 e. 2(4x +1) = 18

Bagaimana menentukan nilai x yang memenuhi persamaan di atas? Menentukan nilai x dalam persamaan linear berarti menyelesaikan persamaan linear tersebut. Untuk itu terlebih dulu Anda harus memahami konsep berikut ini.

Jika kedua ruas dalam suatu persamaan dikurangi atau ditambah dengan suatu bilangan yang sama maka hal tersebut tidak akan merubah nilai kebenaran dari persamaan tersebut. Demikian juga jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan yang sama juga tidak akan merubah nilai kebenaran dari persamaan itu. Bagaimana Saudara, apakah Anda telah paham dengan konsep tersebut? Cobalah Anda membuat contoh untuk menjelaskan konsep ini. Kemudian bandingkan dengan contoh berikut ini.

Unit 2 2 - 6

Contoh : Diberikan persamaan 2 × 5 = 10. Kedua ruas dari persamaan tersebut kita tambah dengan 3 sehingga diperoleh (2 × 5) + 3 = 10 + 3. Ruas kiri jika diselesaikan menghasilkan: (2 × 5) + 3 = 10 + 3 = 13, dan ruas kanan jika diselesaikan menghasilkan: 10 + 3 = 13. Jadi ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan menghasilkan bilangan yang sama yaitu 13. Jadi jika kedua ruas persamaan 2 × 5 = 10 kita tambah dengan bilangan 3 maka hasilnya tidak merubah nilai kebenarannya. Dengan demikian suatu persamaan tidak akan berubah penyelesaiannya jika kedua ruas persamaan tersebut diberi perlakuan berikut ini.

1. Ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama. 2. Dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama asal bukan nol.

Persamaan baru yang diperoleh dengan persamaan aslinya dikatakan ekuivalen dan keduanya mempunyai penyelesaian yang sama. Sekarang kita telah siap untuk menyelesaikan persamaan linear pada contoh yang telah diberikan di atas. a. Penyelesaian persamaan linear x + 5 = 9 adalah sebagai berikut. x + 5 – 5 = 9 – 5 Kedua ruas dikurangi dengan 5 x = 4

Jadi penyelesaian persamaan linear x + 5 = 9 adalah x = 4. b. Selanjutnya kita akan menentukan penyelesaian persamaan linear 2x + 7 = 11.

2x + 7 – 7 = 11 – 7 Kedua ruas dikurangi dengan 7 2x = 4 2x : 2 = 4 : 2 Kedua ruas dibagi dengan 2 (2 : 2)x = 2

x = 2 Jadi penyelesaian persamaan linear 2x + 7 = 11 adalah x = 2.

Bagaimana Saudara, mudah bukan? Untuk contoh berikutnya cobalah Anda selesaikan sendiri dan hasilnya dapat Anda cocokkan dengan penyelesaian persamaan linear berikut ini.

a. Penyelesaian persamaan linear 73=

x adalah sebagai berikut.

3x × 3 = 7 × 3 Kedua ruas dikalikan 3

x = 21

Jadi penyelesaian persamaan linear 73=

x adalah x = 21.


b. Untuk contoh yang keempat, penyelesaian persamaan linear 7x – 4 = 4x + 17 adalah sebagai berikut.

7x – 4 = 4x + 17 7x – 4 + 4 = 4x + 17 + 4 Kedua ruas ditambah dengan 4 7x = 4x + 21

7x – 4x = 4x – 4x + 21 Kedua ruas dikurangi dengan 4x (7 – 4 )x = 21 3x = 21 3x : 3 = 21 : 3 Kedua ruas dibagi dengan 3 (3 : 3)x = 7 x = 7

c. Penyelesaian persamaan linear untuk contoh terakhir yaitu 2(4x + 1) = 18 adalah sebagai berikut.

2(4x + 1) = 18 8x + 2 = 18 Menggunakan aturan distributif

8x + 2 – 2 = 18 – 2 Kedua ruas dikurangi dengan 2 8x = 16 8x : 8 = 16 : 8 Kedua ruas dibagi dengan 8 (8 : 8)x = 2 x = 2

Jadi penyelesaian persamaan linear 2(4x + 1) = 18 adalah x = 2. Kita telah mempelajari persamaan linear dan berlatih untuk menyelesaikan

persamaan linear. Selanjutnya kita akan mempelajari persamaan kuadrat dan penyelesaiannya. Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah 02 =++ cbxax dengan Rcba ∈,, di mana R adalah himpunan bilangan real dan 0≠a .

Contoh : 042 =−x , 092 =− xx , 1072 =+ xx dan lain sebagainya.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat di atas? Sebelum kita mengkaji hal tersebut dan berlatih menyelesaikan persamaan kuadrat, terlebih dahulu kita akan membahas mengenai aturan faktor nol. Aturan faktor nol menyatakan bahwa hasil kali sebarang bilangan dengan bilangan nol adalah nol. Misalkan 2 × 0 = 0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0. Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka salah satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol. Secara simbolik dinyatakan bahwa jika 0=ab maka 0=a atau 0=b . Kata atau pada ” 0=a atau 0=b ”

Unit 2 2 - 8

berarti bahwa salah satu dari a atau b sama dengan nol atau bisa jadi kedua-duanya sama dengan nol. Konsep mengenai hal ini akan Anda pelajari lebih dalam pada unit 6. Aturan faktor ini akan kita pakai dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Contoh : Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini.

a. 0324 2 =− xx b. xx 847 2 −=

c. 243

2 2

=x

d. 0652 =++ xx Baiklah kita akan mencoba menyelesaikan persamaan kuadrat di atas. a. Persamaan kuadrat 0324 2 =− xx dapat diubah menjadi ( ) 084 =−xx dengan

menggunakan aturan distributif. Selanjutnya dengan menggunakan aturan faktor nol akan diperoleh

04 =x atau 08 =−x Sehingga diperoleh 0=x atau 8=x . Jadi penyelesaian persamaan kuadrat

0324 2 =− xx adalah 0=x atau 8=x

b. Dengan cara yang sama dengan a, maka penyelesaian persamaan kuadrat xx 847 2 −= sebagai berikut. xxxx 8484847 2 +−=+ Kedua ruas ditambah dengan 84x

( ) 0127 =+xx Menggunakan sifat distributif 07 =x atau 012 =+x Menggunakan aturan faktor nol

Jadi penyelesaian persamaan xx 847 2 −= adalah 0=x atau 12−=x . Bagaimana saudara? Apakah cukup jelas? Cobalah anda menyelesaikan persamaan kuadrat berikutnya dan kemudian cocokkan jawaban Anda dengan penyelesaian berikut ini.

a. Penyelesaian persamaan kuadrat 243

2 2

=x adalah sebagai berikut.


32 2x

× 3 = 24 × 3 Kedua ruas dikalikan dengan 3

722 2 =x

2

722

2 2

=x Kedua ruas dibagi dengan 2

362 =x 6−=x atau 6=x

Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 243

2 2

=x adalah 6−=x atau 6=x .

Perhatikan bahwa ada dua nilai x yang memenuhi persamaan 362 =x yaitu 6−=x atau 6=x . Jadi ingatlah bahwa persamaan ax =2 akan mempunyai dua nilai x yaitu

ax −= dan ax = . Penyelesaian persamaan linear seperti di atas merupakan penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan aturan akar kuadrat. b. Sekarang bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat 0652 =++ xx ? Untuk

memahami penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, kita akan menggunakan alat peraga berikut ini. Buatlah sebuah persegi dan persegi panjang seperti gambar 1 berikut ini.

(a) (b) (c)

Gambar 2.1 Persegi (a) menyatakan banyaknya 2x , persegi panjang (b) menyatakan banyaknya x dan persegi (c) menyatakan konstanta. Oleh karena itu untuk menyatakan persamaan 0652 =++ xx dibutuhkan 1 bangun (a), 5 bangun (b) dan 6 bangun (c) seperti berikut ini.

Gambar 2.2

Unit 2 2 - 10

Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah persegi panjang baru seperti gambar 3 dengan ukuran luas yang sama dengan bangun pada gambar 2.

Gambar 2.3

Persegi yang baru terbentuk mempunyai panjang dan lebar masing-masing (x + 2) dan (x + 3), sehingga ukuran luasnya (x + 2)(x + 3). Jadi persamaan kuadrat

0652 =++ xx sama dengan persamaan ( )( ) 032 =++ xx . Dengan demikian untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut akan lebih mudah. Dengan menggunakan aturan faktor nol diperoleh ( ) 02 =+x atau ( ) 03 =+x . Jadi

penyelesaian persamaan kuadrat 0652 =++ xx adalah 2−=x atau 3−=x . Jadi secara umum, jika 1x dan 2x merupakan penyelesaian suatu persamaan kuadrat

maka persamaan kuadrat tersebut adalah 0)( 21212 =+++ xxxxxx . Cara

menyelesaikan persamaan kuadrat di atas disebut menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara menfaktorkan. Jika suatu persamaan kuadrat yang berbentuk 02 =++ cbxax tidak dapat diselesaikan dengan cara-cara di atas, kita dapat menggunakan rumus berikut ini.

aacbbx

242 −±−

=

Contoh : Selesaikan persamaan kuadrat 0672 2 =−− xx dengan menggunakan rumus di atas. Dari persamaan kuadrat 0672 2 =−− xx maka a = 2, b = -7 dan c = -6. Nilai a, b dan c ini dimasukkan ke dalam rumus, sehingga diperoleh


7122,0atau 2122,448489,97atau

48489,97

48489,97

49774

484972.2

)6.(2.4)7()7( 2

−==

−=

+=

±=

±=

+±=

−−−±−−=

xx

xx

x

x

x

x

Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 0672 2 =−− xx adalah x = 4,2122 atau x = -0,7122.

Unit 2 2 - 12

Rangkuman Tes Formatif 1 Kerjakanlah tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi persamaan dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 1. Pengertian koefisien adalah …….

A. suku aljabar yang tidak memuat variabel B. suku aljabar yang mempunyai pangkat tertinggi 1 C. bilangan yang menyatakan banyaknya suku aljabar D. bilangan yang menyatakan banyaknya variabel

2. Jika diberikan persamaan 083

22 =−+xx maka koefisien dari x adalah .......

Variabel adalah suatu lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang bilangan real yang biasanya dinotasikan dengan huruf kecil. Koefisien suatu variabel merupakan bilangan yang menyatakan banyaknya variabel tersebut. Suku aljabar menyatakan setiap hasil kali variabel dengan bilangan, variabel dengan variabel baik yang sama maupun yang berbeda. Sebuah suku aljabar yang tidak memuat variabel, dengan kata lain hanya merupakan bilangan saja disebut konstanta.

Persamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan dan dibatasi dengan tanda ”=”. Persamaan linear merupakan persamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 1 pada variabelnya. Manipulasi aljabar yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan persamaan linear adalah sebagai berikut.

a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 2. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, dibutuhkan sebuah aturan yang disebut aturan faktor nol. Cara penyelesaian persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.

a. Dengan aturan faktor nol b. Dengan menggunakan akar kuadrat c. Dengan menfaktorkan d. Dengan menggunakan rumus


A. -8

B. 32

C. 1 D. 8

3. Berikut ini yang merupakan contoh persamaan linear adalah .......

A. 752 =+

B. 1572

=+x

C. ( ) 615 =−xx

D. 022 2 =−x

4. Penyelesaian persamaan 3215=−

x adalah .......

A. 31

=x

B. 3=x

C. 3

13=x

D. 6=x

5. Persamaan linear berikut ini yang mempunyai penyelesaian 31

−=x adalah.......

A. xx132

=+

B. xx132

=−

C. 3311 =−x

D. 3311 =+x

Unit 2 2 - 14

6. Perhatikan cara penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini. 0812 =−x 812 =x

9atau 9 =−= xx Penyelesaian persamaan kuadrat di atas menggunakan .......

A. aturan faktor nol B. akar kuadrat

C. cara memfaktorkan D. rumus

7. Penyelesaian persamaan ( ) 121 =−xx adalah .......

A. 12=x B. 1atau 0 == xx

C. 4atau 3 =−= xx D. 13atau 12 == xx

8. Persamaan berikut ini yang mempunyai penyelesaian 2=x adalah .......

A. ( ) 44 −=+xx

B. ( ) 44 −=−xx C.

2111

=+x

D. 2111

=−x

9. Penyelesaian persamaan kuadrat 0321

21 2 =−+ xx adalah .......

A. 1−=x atau 6=x B. 6atau 1 −== xx

C. 3atau 2 =−= xx D. 3atau 2 −== xx

10. Penyelesaian persamaan kuadrat 0242 =+− xx adalah .......

A. 1−=x B. 2atau 2 =−= xx

C. 0=x atau 4=x

D. 22 +=x atau 22 −=x

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut

Setelah mengerjakan tes formatif 1, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.


Subunit 2

Pertidaksamaan

ateri yang akan dibahas pada subunit 2 adalah pertidaksamaan dan penyelesaiannya. Pertidaksamaan yang dibahas adalah pertidaksamaan linear

dan kuadrat. Dalam subunit ini kita juga akan mempelajari bagaimana menyatakan penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan garis bilangan.

Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan. Biasanya diantara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda ”>”, ”≥”, ”≤” atau ”<”. Kita akan mempelajari pertidaksamaan linear terlebih dahulu.

Analog dengan persamaan linear, pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya sama dengan 1. Contoh : 53 >+x , 1162 ≤−x , dan lain sebagainya. Selanjutnya kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear. Tetapi terlebih dahulu kita akan memahami dan mempelajari konsep berikut ini. Perhatikanlah gambar di bawah.

Gambar 2.4

Jika keduanya dikurangi dengan 2, maka akan diperoleh

Gambar 2.5 Jadi jika kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6 dikurangi dengan 2 maka diperoleh 10 – 2 = 8

M

Unit 2 2 - 16

dan 6 – 2 = 4 dimana 8 > 4. Secara umum, jika kedua ruas pertidaksamaan dikurangi dengan bilangan yang sama maka hal ini tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Demikian juga jika kedua ruas ditambah dengan bilangan yang sama. Jika pada gambar 4, masing-masing dikalikan dengan 2 maka akan diperoleh

Gambar 2.6

Jadi jika kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6 dikalikan dengan 2 maka diperoleh 10 × 2 = 20 dan 6 × 2 = 12 dimana 20 > 12. Secara umum, jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang sama maka hal ini tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Bagaimana jika kedua ruas pertidaksamaan tersebut dikalikan dengan bilangan -2? Menurut Saudara, apakah akan merubah tanda pertidaksamaan? Mari kita selidiki bersama-sama.

Kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6 dikalikan dengan -2 maka diperoleh 10 × (-2) = -20 dan 6 × (-2) = -12 dimana -20 < -12. Jadi ternyata jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama maka hal ini akan merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Perubahan tersebut dari ”<” menjadi ”>” dan sebaliknya serta dari ”≤” menjadi ”≥”. Demikian juga berlaku jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi dengan bilangan negatif yang sama, akan merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan kanan dari pertidaksamaan tersebut. Dengan cara yang sama seperti pada perkalian, cobalah Anda menjelaskan konsep ini.

Sekarang kita mengkaji dan membahas penyelesaian pertidaksamaan linear. Contoh : Tentukan penyelesaian pertidaksamaan

a. 73 >+x b. 68 ≤+x

c. 23≤

x

d. )2(32)4(23 −+>−− xx Penyelesaian pertidaksamaan linear di atas adalah sebagai berikut.


a. Penyelesaian pertidaksamaan linear 73 >+x 3733 −>−+x Kedua ruas dikurangi dengan 3 4>x

Jadi penyelesaian pertidaksamaan 73 >+x adalah semua bilangan yang kurang dari 4 yang dinotasikan dengan himpunan { }4; >xx . Akan lebih jelas jika penyelesaian tersebut disajikan dengan garis bilangan berikut ini.

Gambar 2.7

Perhatikan lingkaran di nilai 4 pada garis bilangan. Daerah di dalam lingkaran tersebut tidak diarsir. Hal ini menyatakan bahwa nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 73 >+x adalah semua bilangan yang lebih dari 4 tetapi tidak sama dengan 4 ( )4≠x .

b. Penyelesaian pertidaksamaan linear 68 ≤+x . 8688 −≤−+x Kedua ruas dikurangi dengan 8

2−≤x Jadi penyelesaian pertidaksamaan 68 ≤+x adalah { }2; −≤xx . Jika penyelesaian ini disajikan dalam bentuk garis bilangan, akan diperoleh

Gambar 2.8

Perhatikan lingkaran di nilai -2 pada garis bilangan. Daerah di dalam lingkaran diarsir. Hal ini menyatakan bahwa nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

68 ≤+x adalah semua bilangan yang kurang dari -2 termasuk bilangan -2 itu sendiri.

c. Penyelesaian pertidaksamaan linear 23≤

x .

3x × 3 ≤ 2 × 3 (Kedua ruas dikalikan dengan 3)

6≤x

Unit 2 2 - 18

Jadi penyelesaian pertidaksamaan linear 23≤

x adalah { }6; ≤xx . Jika

penyelesaian ini disajikan dengan garis bilangan sebagai berikut.

Gambar 2.9

d. Penyelesaian pertidaksamaan linear )2(32)4(23 −+>−− xx . 632823 −+>+− xx (Menggunakan sifat distributif)

43211 −>− xx 114321111 −−>−− xx (Kedua ruas dikurangi dengan 11) 1532 −>− xx 153332 −−>−− xxxx (Kedua ruas dikurangi dengan 3x)

155 −>− x

5

155

5−−

<−− x (Kedua ruas dibagi dengan -5)

3<x Jadi penyelesaian pertidaksamaan linear )2(32)4(23 −+>−− xx adalah

{ }3; <xx . Bahasan selanjutnya mengenai pertidaksamaan kuadrat. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 2 pada variabelnya. Contoh : 0562 >++ xx

Kita akan mencoba menyelesaikan pertidaksamaan pada contoh di atas. Dengan memfaktorkan ruas kiri dari pertidaksamaan diperoleh

( )( ) 051 >++ xx Selanjutnya kita andaikan pertidaksamaan di atas merupakan persamaan sehingga diperoleh ( )( ) 051 =++ xx . Dengan menggunakan aturan faktor diperoleh ( ) 01 =+x

atau ( ) 05 =+x sehingga 1−=x atau 5−=x . Jadi kita mempunyai 3 daerah pada garis bilangan yang dibatasi oleh nilai 1−=x dan 5−=x seperti gambar berikut ini.

Gambar 2.10


Selanjutnya kita akan menguji daerah mana yang memenuhi peridaksamaan 0562 >++ xx dengan cara memasukkan sebarang bilangan yang terletak pada

masing-masing daerah ke pertidaksamaan 0562 >++ xx .

Misalnya untuk bilangan -6 diperoleh ( ) 55)6(66 2 =+−+− maka semua bilangan yang terletak di daerah yang memuat bilangan -6, jika dimasukkan ke dalam pertidaksamaan 0562 >++ xx akan menghasilkan bilangan positif. Selanjutnya untuk bilangan -2 diperoleh 35)2(6)2( 2 −=+−+− maka semua bilangan yang terletak di daerah yang memuat bilangan -2, jika dimasukkan ke dalam pertidaksamaan 0562 >++ xx akan menghasilkan bilangan negatif. Analog untuk bilangan 0, akan menghasilkan bilangan positif. Jadi bilangan yang memenuhi pertidaksamaan 0562 >++ xx adalah semua bilangan yang terletak pada daerah yang memuat bilangan -6 atau 0. Dengan kata lain, penyelesaian pertidaksamaan

0562 >++ xx adalah himpunan { }1atau 5 ; −>−< xxx . Penyelesaian tersebut dapat disajikan dalam bentuk garis bilangan seperti berikut ini.

Gambar 2.11

Unit 2 2 - 20

Latihan Berikut ini soal-soal yang berkaitan dengan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Selesaikan soal-soal tersebut, kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan di bawahnya. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini yang dinyatakan dengan menggunakan himpunan dan garis bilangan.

1. 82 2 >x 2. 0322 2 ≤+− x 3. 0542 >+−− xx 4. 0962 ≥++ xx

Pedoman Jawaban Latihan Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas? Silahkan Anda mencocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini.

1. Langkah pertama yang kita lakukan adalah membagi kedua ruas dengan bilangan 2 sehingga diperoleh 42 >x . Kemudian kita anggap pertidaksamaan tersebut adalah persamaan 42 >x sehingga dengan aturan penarikan akar kuadrat diperoleh 2−=x dan 2=x . Selanjutnya kita uji bilangan-bilanan yang menjadi anggota himpunan penyelesaian 82 2 >x dengan memasukkan bilangan 3−=x , 0=x , dan 3=x ke pertidaksamaan

82 2 >x sebagai berikut.

8188)3(2

822

2

>>−

>x

Pernyataan benar 80

8)0(282

2

2

>>

>x

Pernyataan salah 818

8)3(282

2

2

>>

>x

Pernyataan benar Berdasarkan uji coba di atas, maka bilangan yang memenuhi pertidaksamaan

82 2 >x adalah semua bilangan yang kurang dari -2 atau lebih dari 2. Dengan kata lain himpunan penyelesaian pertidaksamaan 82 2 >x adalah { }2atau 2 ; >−< xxx dan penyajiannya dalam garis bilangan sebagai berikut.


Gambar 2.12 Anda perhatikan lingkaran pada nilai 2−=x dan 2=x berlubang. Hal ini menyatakan bahwa nilai 2−=x dan 2=x tidak memenuhi pertidaksamaan

82 2 >x . 2. Kedua ruas pertidaksamaan 0322 2 ≤+− x dikurangi dengan bilangan 32

sehingga diperoleh 322 2 −≤− x . Selanjutnya kedua ruas dibagi dengan -2. Ingat bahwa pembagian yang dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan akan mengubah tanda pertidaksamaan. Jadi diperoleh 162 >x . Selanjutnya pertidaksamaan 162 >x dianggap persamaan 162 =x sehingga diperoleh nilai 4−=x dan 4=x . Pengujian akan dilakukan dengan memasukkan nilai

5−=x , 0=x , dan 5=x sebagai berikut.

018032)5(2

03222

2

≤−≤+−−

≤+− x

Pernyataan benar 032

032)0(20322

2

2

≤≤+−

≤+− x

Pernyataan salah 018

032)5(20322

2

2

≤−≤+−

≤+− x

Pernyataan benar Berdasarkan pengujian di atas diperoleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan 0322 2 ≤+− x adalah { }4atau 4 ; ≥−≤ xxx dan jika dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut.

Gambar 2.13

3. Pertidaksamaan 0542 >+−− xx dianggap menjadi persamaan 0542 =+−− xx sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh

( )( )

5atau 15atau 1

05atau 01051

0542

−==−=−=−

=+=+−=++−=+−−

xxxx

xxxxxx

Selanjutnya kita lakukan pengujian dengan memasukkan nilai 6−=x , 0=x , dan 2=x ke dalam pertidaksamaan 0542 >+−− xx sebagai berikut.

( ) ( )

07052436

05646

0542

2

>−>++−

>+−−−−

>+−− xx

( ) ( )05

05040

0542

2

>>+−−

>+−− xx

( ) ( )

070584

05242054

2

2

>−>+−−

>+−−

>+−− xx

Unit 2 2 - 22

Pernyataan salah Pernyataan benar Pernyataan salah Berdasarkan pengujian di atas, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan

0542 >+−− xx adalah { }15 ; <<− xx dan jika dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut.

Gambar 2.14

4. Pertidaksamaan 0962 ≥++ xx dianggap sebagai persamaan 0962 =++ xx sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh

( )( )

3 03 033096 2

−==+=++=++

xx

xxxx

Pengujian akan dilakukan cukup dengan cara memasukkan nilai 0=x pada pertidaksamaan 0962 ≥++ xx sebagai berikut.

( )

benarPernyataan09 09060096

2

2

≥≥++

≥++ xx

Berdasarkan pengujian diperoleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan 0962 ≥++ xx adalah { }3 ; −≥xx atau penyelesaian pertidaksamaan

0962 ≥++ xx dapat dinyatakan dengan diagram garis berikut ini.

Gambar 2.15

Kita sudah mempelajari pertidaksamaan linear dan kuadrat. Semoga apa yang disajikan dalam subunit ini dapat dipahami dengan baik. Selanjutnya silahkan Anda menguji tingkat penguasaan terhadap materi dengan mengerjakan tes formatif pada subunit ini. Selamat mengerjakan.


Rangkuman

Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan. Di antara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda ”<”, ”>”, ”≤”, atau ”≥”. Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan yang memiliki pangkat tertinggi 1 pada variabelnya. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear dapat dilakukan manipulasi-manipulasi aljabar seperti pada penyelesaian persamaan linear. Tetapi harus diingat bahwa jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka akan merubah tanda yang ada di antara ruas kiri dan ruas kanan. Tanda ”<” berubah menjadi ”>”, tanda ”≤” menjadi ”≥” dan sebaliknya. Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat disajikan dengan garis bilangan atau dengan himpunan. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 2 pada variabelnya. Untuk mempermudah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, diandaikan pertidaksamaan itu menjadi persamaan kuadrat sehingga kita dapat menentukan nilai x yang menjadi batas daerah pada garis bilangan. Selanjutnya untuk menentukan semua nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut, dilakukan pengujian dengan cara memasukkan bilangan yang terletak pada masing-masing daerah pada garis bilangan.

Tes Formatif 2 Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi pertidaksamaan dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar.

1. Pertidaksamaan linear adalah .......

A. pertidaksamaan yang tidak memuat konstanta B. pertidaksamaan yang memiliki 1 variabel C. pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 1 pada

variabelnya D. pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 2 pada

variabelnya

Unit 2 2 - 24

2. Berikut ini yang merupakan pertidaksamaan linear adalah ....... A.

xx 52

32>

−

B.

052≤

−x

x

C. ( ) 1326 <−xx

D.

xxx 3

23≥

−−

3. Jika pertidaksamaan linear 521 >− x dikalikan dengan bilangan -3 maka

diperoleh pertidaksamaan ....... A. 1536 −>−− x B. 1536 −<−− x

C. 1536 −>−x D. 1536 −<−x

4. Berikut ini yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan 567≤

−x

x

adalah ....... A. { }3 ; ≥xx

B. { }3 ; ≤xx C.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤≤

7110 ; xx

D. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤≥

711atau 0 ; xxx

5. Pertidaksamaan linear yang mempunyai penyelesaian yang ditunjukkan oleh

garis bilangan berikut adalah .......

A. 1648 +<− xx B. 1648 +>− xx C. 1648 +≥− xx D. 1648 +≤− xx

6. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 132

17−<

+ xx ditunjukkan oleh

........

A.


B.

C.

D.

7. Penyelesaian pertidaksamaan 253 2 >+ xx adalah .......

A. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ <<−

312 ; xx

B. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ >−<

31atau 2 ; xxx

C. { }21 ; <<− xx

D. { }2atau 1 ; >−< xxx

8. Pertidaksamaan kuadrat yang mempunyai himpunan penyelesaian yang

ditunjukkan oleh garis bilangan berikut adalah .......

A. ( )( ) 265 ≥−− xx B. ( )( ) 265 <−− xx

C. ( )( ) 274 ≤−− xx D. ( )( ) 274 <−− xx

9. Garis bilangan berikut yang menyatakan penyelesaian pertidaksamaan 494102 −>− xxx adalah .......

A.

B.

C.

D. 10. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0262 ≤−+ xx adalah .......

A. { }113113- ; +−≤≤− xx C. { }113atau 113 ; +−≥−−≤ xxx

C. { }223223 ; +≤≤− xx D. { }223atau 223 ; +≥−≤ xxx

Unit 2 2 - 26

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut

Setelah mengerjakan tes formatif 2, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.


Subunit 3

Sistem Persamaan Linear

alam subunit ini, kita akan mempelajari sistem persamaan linear yang paling sederhana yaitu sistem persamaan linear dengan dua variabel atau peubah.

Sistem persamaan linear disebut juga persamaan linear simultan. Untuk mempelajari materi ini perhatikan contoh permasalahan dalam kehidupan sehari-hari berikut ini. Contoh :Diketahui Ari membeli 10 buku dan 5 pensil dengan harga Rp. 12.500,-. Sedangkan Dita membeli 5 buku dan 2 pensil dengan harga Rp. 6.000,-. Berapa harga sebuah buku dan sebuah pensil? Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita buat tabel berikut.

Tabel 2.1 Banyak buku Banyak pensil Harga

Ari 10 5 Rp. 12.500,- Dita 5 2 Rp. 6.000,-

Misalkan x menyatakan harga sebuah buku dan y menyatakan harga sebuah pensil. Berdasarkan tabel dapat dibentuk persamaan-persamaan berikut.

6000 25 12500510

=+=+

yxyx

Persamaan-persamaan di atas mempunyai dua variabel (yaitu x dan y) dan pangkat tertinggi pada variabel tersebut sama dengan satu, sehingga persamaan-persamaan itu disebut persamaan linear dengan dua variabel atau peubah. Dua persamaan linear yang diperoleh merupakan kalimat matematika yang menyatakan permasalahan di atas. Dengan kata lain kedua persamaan tersebut merupakan model matematika dari permasalahan yang diberikan. Materi mengenai model matematika akan dipelajari lebih lanjut di unit 8. Jadi nampak bahwa kedua persamaan tersebut erat kaitannya, sehingga kedua persamaan itu dinamakan sistem persamaan linear. Untuk membedakan apakah sekumpulan persamaan linear merupakan suatu sistem atau bukan biasanya pada sekumpulan persamaan tersebut diberi tanda “{“. Jadi dari permasalahan di atas diperoleh sistem persamaan linear dengan dua peubah yaitu

⎩⎨⎧

=+=+

6000 25 12500510

yxyx

D

Unit 2 2 - 28

Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah adalah sebagai berikut.

⎩⎨⎧

=+=+

222

111

cybxacybxa

dengan 212121 dan ,,,,, ccbbaa merupakan bilangan-bilangan real. Setiap persamaan dalam suatu sistem persamaan disebut ruas persamaan. Pada contoh tadi, kita diminta menentukan harga sebuah buku dan sebuah pensil. Hal

ini berarti kita menentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan

⎩⎨⎧

=+=+

6000 25 12500510

yxyx

Misalkan nilai px = dan qy = yang memenuhi sistem persamaan linear di atas, artinya jika nilai x dan y pada sistem persamaan linear diganti dengan p dan q maka diperoleh pernyataan yang benar. Jika nilai x dan y tersebut ditulis sebagai pasangan berurutan ( )qp, , pasangan berurutan ini disebut penyelesaian sistem persamaan linear tersebut. Pada contoh di atas penyelesaian sistem persamaan linear

⎩⎨⎧

=+=+

6000 25 12500510

yxyx

adalah (1000,500). Kita akan menguji apakah (1000,500) merupakan penyelesaian dengan cara memasukkan nilai 1000=x dan 500=y ke dalam sistem persamaan linear sebagai berikut.

⎩⎨⎧

=+=+=+=+

benar 6000 10005000)500(2)1000(5 benar 12500250010000)500(5)1000(10

Ternyata dengan memasukkan nilai-nilai tersebut diperoleh pernyataan yang benar, maka (1000,500) merupakan penyelesaian persamaan tersebut. Jadi menyelesaikan sistem persamaan linear adalah bagaimana mencari nilai pengganti variabel nilai x dan y sehingga diperoleh pernyataan yang benar. Ada tiga masalah dalam menyelesaikan sistem persamaan linear yaitu:

1. ada tidaknya penyelesaian 2. metode penyelesaian 3. deskripsi selengkapnya mengenai penyelesaian tersebut.

Dalam subunit ini, kita akan pelajari dua metode penyelesaian sistem persamaan linear yaitu metode substitusi dan eliminasi. Sebelumnya akan dijelaskan bahwa manipulasi aljabar berikut ini tidak akan mengubah ada tidaknya penyelesaian sistem persamaan.


1. Penambahan atau pengurangan ruas-ruas persamaan ke ruas-ruas persamaan lain dalam sistemnya.

2. Perkalian setiap ruas dengan sebarang bilangan yang bukan nol. 3. Pengubahan urutan persamaan dalam sistemnya.

Penjelasan mengenai hal ini langsung menggunakan contoh-contoh penyelesaian sistem persamaan linear yang akan dibahas selanjutnya. Selanjutnya kita akan membahas penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode substitusi. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan menggunakan metode substitusi, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Dipilih salah satu persamaan linear yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai y atau sebaliknya.

2. Masukkan (substitusikan) x atau y yang diperoleh pada langkah satu ke persamaan yang lain sampai diperoleh nilai x dan y.

Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan metode substitusi, akan lebih jelas dengan mempelajari contoh-contoh berikut ini. Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut ini dengan metode substitusi.

⎩⎨⎧

−=−−=+

128

yxyx

Penyelesaian : Kita pilih persamaan 8−=+ yx , kemudian kita nyatakan x sebagai y sehingga diperoleh yx −−= 8 . Persamaan yx −−= 8 kita masukkan ke dalam persamaan

12 −=− yx sehingga diperoleh

5 153

1613 12161)8(212

−==−

+−=−−=−−−−=−−−−=−

yyyyyyyyx

Dari sini diperoleh

3 58

)5(8 8

−=+−=−−−=

−−= yx

Unit 2 2 - 30

Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧

−=−−=+

128

yxyx

adalah (-3,-5).

Latihan 1 Bagaimana Saudara, apakah Anda telah memahami cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode substitusi? Silahkan Anda berlatih menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah pada soal-soal berikut. Setelah Anda selesai mengerjakannya, cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan yang ada. Tentukan penyelesaiann sistem persamaan linear berikut dengan metode substitusi.

a.

⎩⎨⎧

=+=−

92 432

yxyx

b.

⎩⎨⎧

=−=−

73 732

yxyx

Pedoman Jawaban Latihan 1 a. Dari persamaan 92 =+ yx , variabel x dinyatakan dalam y sehingga diperoleh

yx 29 −= . Persamaan yx 29 −= disubstitusikan ke dalam persamaan 432 =− yx sehingga diperoleh

2 147

1847 43418 43)29(2432

=−=−−=−

=−−=−−=−

yyyyyyyyx

Selanjutnya nilai 2=y disubstitusikan ke persamaan yx 29 −= sehingga diperoleh

5 49

)2(29 29

=−=−=−= yx


=+=−

92 432

yxyx

adalah )2,5( .


b. Dari persamaan 73 =− yx , variabel y dinyatakan dalam x diperoleh 73 −= xy .

Persamaan 73 −= xy disubstitusikan ke persamaan 732 =− yx sehingga diperoleh

2 147

2177 72192 7)73(32732

=−=−−=−

=+−=−−=−

xxx

xxxx

yx

Selanjutnya nilai 2=x disubstitusikan ke persamaan 73 −= xy diperoleh

1 76

7)2(3 73

−=−=

−=−= xy


=−=−

73 732

yxyx

adalah )1,2( − .

Berikut akan dibahas bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear

dua peubah dengan metode eliminasi. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode eliminasi dilakukan dengan menggunakan langkah-langkah berikut ini.

1. Nilai x ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel y. 2. Nilai y ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel x.

Langkah-langkah ini akan lebih jelas dengan contoh berikut. Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut dengan metode eliminasi.

⎩⎨⎧

−=−−=+

128

yxyx

Penyelesaian : Berdasarkan persamaan-persamaan yang terdapat dalam sistem di atas, kita akan menghilangkan atau mengeliminasi variabel y terlebih dahulu sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

Unit 2 2 - 32

+

−=−=−=−−=+

3 93 128

xxyxyx

Untuk memperoleh nilai y kita akan mengeliminasi variabel x dengan cara sebagai berikut.

12 8

−=−−=+

yxyx

12

××

Sehingga diperoleh

−

−=−=−=−−=+

5 153 12 1622

yyyxyx

Jadi penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah (-3,-5). Latihan 2 Setelah Anda memahami penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah dengan metode eliminasi, silahkan kerjakan soal-soal berikut kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan yang ada. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut dengan metode eliminasi. a.

⎩⎨⎧

=+=+

634232

yxyx

b.

⎩⎨⎧

=−−=−+

062 0542

yxyx

c.

⎩⎨⎧

−=−=+

1143654

yxyx

Pedoman Jawaban Latihan 2

a. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧

=+=+

634232

yxyx

adalah sebagai berikut.

−

===+=+

2 42 232634

xxyxyx

232634

=+=+

yxyx

21

××


−

−=

=−=+=+

32

23 464634

y

yyxyx


=+=+

634232

yxyx

adalah ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

32,2 .

b. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧

=−−=−+

062 0542

yxyx


0620542

=−−=−+

yxyx

21

××

+

−=−=

−==−−=−+

414

417

174 012420542

x

xyx

yx

0620542

=−−=−+

yxyx

21

××

−

−=

−==+

=−−=−+

87

78 078

012420542

y

yy

yxyx


=−−=−+

062 0542

yxyx

adalah ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

87,

414 .

c. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧

−=−=+

1143654

yxyx


1143654−=−

=+yxyx

54

××

+

−=−=

−=−=+

1 3131

552015242016

xx

yxyx

1143654−=−

=+yxyx

43

××

−

==

−=−=+

2 6231

441612181512

yy

yxyx


−=−=+

1143654

yxyx

adalah ( )2,1− .

Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear biasanya kedua metode penyelesaian tersebut digunakan secara bersamaan. Berikut ini contoh penggunaan kedua metode dalam menyelesaikan sistem persamaan linear.

Unit 2 2 - 34

Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧

−=+−=−

43223

yxyx

.

Penyelesaian : Langkah pertama menggunakan metode eliminasi, yaitu:

+

=−=−

−=+−=−

2 2

43223

xx

yxyx

Nilai x = 2 disubstitusi ke ruas persamaan pertama diperoleh:

0 03

223 23223

==−

−=−=−=−

yyyyyx


−=+−=−

43223

yxyx

adalah ( )0,2 .

Tidak semua sistem persamaan linear dua peubah mempunyai penyelesaian. Contoh berikut merupakan sistem persamaan yang dimaksud.

Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧

=+=+

62 542

yxyx

.

Penyelesaian :

62 542

=+=+

yxyx

21

××

−

==+=+

1201242542

yxyx

Dari pengerjaan di atas diperoleh pernyataan yang salah artinya tidak ada nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut. Jadi sistem persamaan linear

⎩⎨⎧

=+=+

62 542

yxyx

tidak mempunyai penyelesaian.


Rangkuman

Persamaan yang mempunyai dua variabel dan pangkat tertinggi pada variabel tersebut sama dengan satu disebut persamaan linear dengan dua variabel/ peubah. Sistem persamaan linear merupakan sekumpulan persamaan linear yang mempunyai hubungan, misalnya sekumpulan persamaan tersebut merupakan kalimat matematika yang menyatakan suatu permasalahan matematis. Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah adalah sebagai berikut.

⎩⎨⎧

=+=+

222

111

cybxacybxa

dengan 212121 dan ,,,,, ccbbaa merupakan bilangan-bilangan real. Setiap persamaan dalam suatu sistem persamaan disebut ruas persamaan. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah bagaimana mencari nilai pengganti untuk variabel nilai x dan y sehingga diperoleh pernyataan yang benar. Manipulasi aljabar berikut ini tidak akan mengubah ada tidaknya penyelesaian sistem persamaan.

1. Penambahan atau pengurangan ruas-ruas persamaan ke ruas-ruas persamaan lain dalam sistemnya.

2. Perkalian setiap ruas dengan sebarang bilangan yang bukan nol. 3. Pengubahan urutan persamaan dalam sistemnya.

Manipulasi aljabar tersebut digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.

Ada dua metode penyelesaian sistem persamaan linear yaitu metode substitusi dan eliminasi. Terkadang kedua metode tersebut digunakan sekaligus dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. Suatu sistem dikatakan tidak mempunyai penyelesaian jika tidak terdapat nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut.

Unit 2 2 - 36

Tes Formatif 3

Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi sistem persamaan linear dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar.

1. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧

=−=+

229463

yxyx

dengan

menggunakan metode substitusi.

2. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+

229

462

yx

yx dengan

menggunakan metode eliminasi.

3. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧

=−−=−78,05,1

26,05,0yxyx

dengan

menggunakan metode substitusi dan eliminasi sekaligus.

4. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

532

923

yx

yx

5. Jika diketahui sistem persamaan linear ⎩⎨⎧

=+=+

1443752

yxyx

, maka tentukan nilai

yx 74 + . Umpan Balik Dan Tindak Lanjut

Setelah mengerjakan tes formatif 3, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari materi pada unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.


Kunci Tes Formatif Kunci Tes Formatif 1

1. D. Koefisien merupakan bilangan yang melekat pada variabel sehingga bilangan ini menyatakan banyaknya variabel.

2. B. 3. B. Perhatikan variabel x dimana variabel tersebut mempunyai pangkat sama

dengan 1.

4. B. Kedua ruas persamaan 3215=−

x dikalikan dengan x sehingga diperoleh

3 515

2315 3215

==

+==−

xx

xxxx

5. A. 6. B. 7. C. Persamaan ( ) 121 =−xx ekuivalen dengan persamaan 0122 =−− xx

sehingga dengan memfaktorkan persamaan tersebut diperoleh

( )( )

4atau 304atau 03

043

=−==−=+

=−+

xxxx

xx

8. B. Jika 2=x dimasukkan ke persamaan ( ) 44 −=−xx akan diperoleh pernyataan yang benar.

9. D. Persamaan 0321

21 2 =−+ xx ekuivalen dengan persamaan

062 =−+ xx sehingga dengan memfaktorkan diperoleh

( )( )

2atau 302atau 03

023

=−==−=+

=−+

xxxx

xx

10. D. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 0242 =+− xx digunakan rumus sebagai berikut. Dari persamaan diperoleh 1=a , 4−=b , dan

2=c sehingga diperoleh

Unit 2 2 - 38

22

8212

28164

22.1.4)4()4(

24

2

2

±=

±=

−±=

−−±−−=

−±−=

aacbbx

Jadi penyelesaian persamaan kuadrat tersebut adalah 22 +=x atau

22 −=x .

Kunci Tes Formatif 2 11. C.

12. A. Pertidaksamaan xx 52

32>

− mempunyai variabel dengan pangkat

tertinggi sama dengan 1. 13. D.

14. B. Kedua ruas pertidaksamaan 567≤

−x

x dikalikan dengan x sehingga

diperoleh

3 62 657567

≤≤≤−≤−

xxxx

xx

15. C. Ambil bilangan -10 kemudian masukkan ke dalam pertidaksamaan yang terdapat pada pilihan.

24 ? 18 16)10(4 ? 810

164 ? 8

−−+−−−

+− xx

Agar pernyataan yang diperoleh benar maka tanda yang harus diberikan adalah “>” atau “≥ ”. Dengan melihat lingkaran pada bilangan -8 yaitu diarsir penuh maka tanda yang memenuhi adalah “≥ ”. Jadi pertidaksamaan dengan penyelesaian tersebut adalah 1648 +≥− xx .


16. B. Kedua ruas pertidaksamaan 132

17−<

+ xx dikalikan dengan bilangan 2

diperoleh

31267

2617

−<−−<−

−<+

xxx

xx

17. B. Penyelesaian pertidaksamaan 253 2 >+ xx adalah:

( )( ) 02130253

2532

2

>+−>−+

>+

xxxxxx

Andaikan pertidaksamaan menjadi persamaan sehingga diperoleh

( )( )

231

21302013

0213

−==

−===+=−

=+−

xataux

xatauxxataux

xx

Selanjutnya selidiki daerah pada garis bilangan yang merupakan

penyelesaian dari pertidaksamaan 253 2 >+ xx sebagai berikut. Ambil nilai 3−=x , 0=x dan 1=x . Substitusikan nilai-nilai tersebut ke pertidaksamaan sehingga diperoleh

21221527

2)3(5)3(3253

2

2

>>−

>−+−

>+ xx

Pernyataan benar

2020.50.3

2532

2

>>+

>+ xx

Pernyataan salah

28253

21.51.3253

2

2

>>+

>+

>+ xx

Pernyataan benar Dengan melihat hasil substitusi di atas maka himpunan penyelesaian

pertidaksamaan 253 2 >+ xx adalah himpunan

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ >−<

31atau 2 ; xxx .

18. A. Pilihan C dan D tidak mungkin karena ruas kanan pertidaksamaan tersebut bukan nol sehingga bilangan 4 dan 7 bukan merupakan penyelesaian. Selanjutnya kita ambil bilangan nol, kemudian kita masukkan ke dalam pertidaksamaan A dan B sebagai berikut.

A. B.

Unit 2 2 - 40

( )( )

2302)6)(5(

2)60)(50(265

≥≥−−

≥−−≥−− xx

Pernyataan benar

( )( )

2302)6)(5(

2)60)(50(265

<<−−

<−−<−− xx

Pernyataan salah Jadi pertidaksamaan A yang mempunyai penyelesaian seperti yang ditunjukkan oleh garis bilangan.

19. D. Pertidaksamaan 494102 −>− xxx ekuivalen dengan 049142 >+− xx .

Dengan menganggap pertidaksamaan tersebut sebagai persamaan, maka diperoleh 049142 =+− xx . Dengan memfaktorkan persamaan tersebut diperoleh ( )( )

707

077

==−

=−−

xx

xx

Selanjutnya kita lakukan pengujian dengan mengambil sebarang bilangan sebelum dan sesudah bilangan 7, sebagai berikut. Diambil 0=x sehingga

490494102

−>−>− xxx

Pernyataan benar

Diambil 8=x sehingga 494102 −>− xxx

49)8(4)8(10)8( 2 −>− 49328064 −>−

1716 −>− Pernyataan benar

Jadi bilangan yang memenuhi pertidaksamaan 494102 −>− xxx adalah semua bilangan real kecuali 7. Mengapa 7 tidak termasuk ke dalam penyelesaian? Hal ini disebabkan tanda pertidaksamaan tidak menggunakan tanda sama dengan.

20. A. Dengan menganggap pertidaksamaan 0262 ≤−+ xx sebagai persamaan 0262 =−+ xx diperoleh nilai x yang memenuhi persamaan dengan

menggunakan rumus sebagai berikut. Dari persamaan tersebut diperoleh 1=a , 6=b , dan 2−=c sehingga


113

44213

28366

2)2.(1.466

24

2

2

±−=

±−=

+±−=

−−±−=

−±−=

aacbbx

Dengan mengambil sebarang bilangan yang terletak di antara bilangan

113+− dan 113−− , misalnya 2=x yang disubstitusikan ke pertidaksamaan 0262 ≤−+ xx diperoleh 014 ≤ yang merupakan pernyataan salah. Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut

adalah { }113 113 ; +−≤≤−− xx .

Kunci Tes Formatif 3 21. Dari persamaan 463 =+ yx , variabel x dinyatakan dalam y sehingga

diperoleh yx 643 −= . Persamaan tersebut disubstitusikan ke persamaan 229 =− yx sehingga diperoleh

21

2010

102012220

22181222)64(3

22)3(3229

=−−

=

−=−−=−

=−−=−−

=−=−

y

yy

yyyy

yxyx

Selanjutnya 21

=y disubstitusikan ke persamaan yx 643 −= sehingga

diperoleh

Unit 2 2 - 42

31

34321643

643

=

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−=

x

x

x

yx


=−=+

229463

yxyx

adalah ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21,

31 .

22. Penyelesaian sistem persamaan linear

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+

229

462

yx

yx dengan menggunakan

metode eliminasi adalah sebagai berikut. Pertama kita akan mengeliminasi variabel y agar diperoleh nilai x sebagai berikut.

229

462

=−

=+

yx

yx

3 x

1 x

Diperoleh

+

==

=

=

=−

=+

9,210291029

1029

6627

462

x

xx

yx

yx

229

462

=−

=+

yx

yx

2 x

9 x

Diperoleh

−

=

=

=

=−

=+

3258

5832

3258

4418

365418

y

yy

yx

yx

Jadi penyelesaian sistem persamaan linear

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+

229

462

yx

yx adalah ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

3258,

1029 .

23. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧

=−−=−78,05,1

26,05,0yxyx

dengan

menggunakan metode substitusi dan eliminasi sekaligus, sebagai berikut.


Agar lebih mudah melakukan penghitungan, sistem persamaan linear di atas dikalikan dengan bilangan 10 sehingga diperoleh

⎩⎨⎧

=−−=−708152065

yxyx

Dengan metode eliminasi diperoleh

−

==

==−−=−

5311

25290

290252102445

802420

x

xyxyx

Selanjutnya nilai 5311=x disubstitusikan ke salah satu persamaan,

misalkan kita substitusikan ke persamaan 2065 −=− yx sehingga diperoleh

13678

78658206

20658

2065585

2065

=−−

=

−=−−−=−

−=−

−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=−

y

yy

y

y

yx


=−−=−78,05,1

26,05,0yxyx

adalah

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 13,

5311 .

24. Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi kemudian substitusi adalah sebagai berikut.

532

923

=+

=+

yx

yx

2131

×

×

Diperoleh

Nilai y = 3 disubstitusi ke ruas persamaan kedua, yaitu:

Unit 2 2 - 44

−

==

−=

−=−

=+

=+

326

256

6

253

62

63

25

62

363

y

y

yy

yx

yx

9615

156

53

)3(2

532

=−==+

=+

=+

xxx

x

yx

Jadi penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah ( )3,9 .

25. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧

=+=+

1443752

yxyx

adalah sebagai

berikut.

1443752

=+=+

yxyx

54

××

Sehingga diperoleh

−

=−=−=+=+

6427

70201528208

xx

yxyx

155

12757512

75)6(2752

−=−=−==+=+

=+

yyy

yy

yx

Jadi penyelesaian sistem persamaan di atas adalah ( )1,6 − , maka

17 724

)1(7)6(474

=−=

−+=+ yx


Daftar Pustaka Roberts, D.M, et.all. 2005. Mathematics A. [Online]. Tersedia di: http://regentsprep.org/Regents/math/math-a.cfm#a4 [20 Mei 2006] ________.2004. Aljabar. [Online}. Tersedia di: http://www.p3gmatyo.go.id/download/SMP/ALJABAR.pdf [20 Januari 2007] ________.2005. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Peubah dengan Metode Grafik dan Substitusi. [Online]. Tersedia di: http://www.pustekkom.go.id/bahanajar/mat/pdf/mat16/01.pdf [14 Maret 2007] ________. 2005. Year 9 Interactive Maths-Second Edition. [Online]. Tersedia di: http://www.mathsteacher.com.au/ [17 Oktober 2005]

Unit 2 2 - 46

Glosarium Eliminasi : salah satu metode penyelesaian sistem persamaan

dengan cara menghilangkan salah satu variabel dalam persamaan-persamaan

Kesamaan : pernyataan atau kalimat tertutup yang menyatakan hubungan sama dengan

Konstanta : suku aljabar yang tidak memuat variabel Koefisien : bilangan yang menyatakan banyaknya variabel Persamaan : kalimat matematika terbuka yang menyatakan

hubungan sama dengan Penyelesaian persamaan : suatu bilangan tertentu yang jika menggatikan variabel

dalam suatu persamaan maka diperoleh pernyataan yang benar

Persamaan linear : persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 1

Persamaan kuadrat : persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 2

Pertidaksamaan : kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan

Pertidaksamaan linear : pertidaksamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 1

Pertidaksamaan kuadrat : pertidaksamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 2

Sistem persamaan linear : sekumpulan persamaan linear yang terkait satu sama lain

Substitusi : salah satu metode dalam menyelesaikan sistem persamaan dengan cara memasukkan salah satu variabel dalam salah satu persamaan yang dinyatakan dalam variabel lain ke persamaan yang lain

Suku aljabar : hasil kali variabel dengan bilangan atau variabel dengan variabel

Variabel : sebuah lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang bilangan real

konsep dasar aljabar -...

Documents