SISTEM GAYA 2 DIMENSI

Aksi sebuah gaya pada suatu benda memiliki dua pengaruh :

1. Pengaruh luar (eksternal) Mekanika

Ada 2 macam :

a. gaya terapan

b. gaya reaktif

2. Pengaruh dalam (internal) Kekuatan Bahan (PBT)

Pengaruh P terhadap

penggantung adalah

tegangan dan regangan

dalam yang dihasilkan,

yang tersebar ke seluruh

bahan penggantung.

PRINSIP TRANSMIBILITAS

Gaya dapat diterapkan pada sembarang titik pada garis

kerjanya.

F1

F2

R = (F12 + F2

2)

= tan-1

P P

RESULTAN GAYA

|F2|

|F1|

Hukum Sinus

R = (F12 + F2

2 - 2.F1.F2 sin )

Hukum Cosinus

R = (F12 + F2

2 - 2.F1.F2 cos )

F1

F2

R

F1

F2

R

F1

F2

R

F1

F2R

HUKUM SINUS

Untuk menentukan besar sudut

a

bc

sinsinsin

cba

PERKALIAN SKALAR

PERKALIAN VEKTOR

i . i = 1

j . j = 1

k . k = 1

i . j = 0

j . k = 0

k . i = 0

j . i = 0

k . j = 0

i . k = 0

i x i = 0

j x j = 0

k x k = 0

i x j = k

j x k = i

k x i = j

j x i = - k

k x j = - i

i x k = - j

SUMBU ACUAN

x

y

y

x

F1x positif

F2y negatif

F1y negatif

F2 positif

F2

F1

F2

F1

Contoh Gaya Arti

Contoh

Contoh Soal 2/1

Gabungkan dua gaya P dan T

yang bekerja pada struktur

tetap di B, ke dalam gaya

ekuivalen tunggal R !

Cara I (Grafis)

Misal, Skala 1 : 50 N

6 sin 60°

3 + 6 cos 60°

866,060cos63

60sin6tan

AD

BD

9,40

Pengukuran panjang R dan sudut

R = 525 N dan = 49°

F2

F1

R

Cara II (Geometrik)

Hukum Cosinus

R2 = (600)2 + (800)2 - 2.(600).(800) cos 40,9°

R = 524 N

Dari hukum sinus, ditentukan sudut yang menunjukkan

kemiringan R

6,48

75,0sin

9,40sin

524

sin

600

Cara III (Aljabar)

Rx = Fx = 800 - 600 cos 40,9° = 346 N

Ry = Fy = -600 sin 40,9° = -393 N

R = (Rx2 + Ry

2) =[3462 + (-393)2] = 524 N

= tan-1 |Rx| / |Ry| = tan-1 (393/346) = 48,6°

Contoh Soal 2/2

Gaya F sebesar 500 N

dikenakan pada tiang

vertikal seperti gambar di

samping.

1) Tulis F dalam vektor satuan i dan j !

2) Tentukan komponen* skalar F

sepanjang sumbu x’ dan y’ !

3) Tentukan komponen* skalar F

sepanjang sumbu x dan y’ !

1) F = (F cos )i – (F sin )j

= (500 cos 60°)i – (500 sin 60°)j

= (250i – 433j) N

Komponen-komponen skalarnya

Fx = 250 N dan Fy = -433 N

Komponen-komponen vektornya

Fx = 250i N dan Fy = -433j N

Penyelesaian

2) F = 500i’ N

Komponen-komponennya adalah

Fx’ = 500 N dan Fy’ = 0

3) Komponen-komponen F dalam arah x dan y’ tidak tegak lurus.

Perlu diselesaikan dengan melengkapi jajaran genjang seperti

pada gambar dibawah

30sin

500

60sin

30sin

500

90sin

y

x

F

FNFx 1000

NFy 866

Komponen-komponen skalar

yang dikehendaki adalah

Fx = 1000 N

Fy = - 866 N

Contoh Soal 2/3

Gaya-gaya F1 dan F2 bekerja pada penggantung yang seperti

pada gambar. Tentukan proyeksi Fb dari resultan R pada sumbu-

b

Penyelesaian

R2 = 802 + 1002 – 2.(80).(100) cos 130°

R = 163,4 N

Fb = 80 + 100 cos 50° = 144,3 N

MOMEN / PUNTIRAN / TORQUE

Kecenderungan gaya untuk memutar benda terhadap suatu

sumbu

M = F.d

M = r x F

Satuan : N.m

lbm.ft

Perjanjian Tanda :

+ -

CCW (+) CW (-)

Teorema Varignon

Momen gaya terhadap suatu titik sama dengan jumlah

momen dari komponen-komponen gaya terhadap titik tersebut

Mo = r x RMo = R.d

Mo = -p.P + q.Q

Contoh Soal 2/4

Hitunglah besar momen terhadap titik pangkal O akibat gaya

sebesar 600 N ! (gunakan 5 cara yang berbeda)

Solusi

1) Mo = F.d

d = 4.cos 40° + 2 sin 40° = 4,35

m

Mo = 600 . 4,35 = 2610 N.m

2) Fx = 600 cos 40° = 460 N

Fy = 600 sin 40° = 386 N

M = 460.4 + 386.2 = 2612 N.m

Solusi

3) Mo = Fx . d1

d1 = 4 + 2 tan 40°

d1 = 5,68 N.m

Mo = 460 . 5,68 = 2612 N.m

4) Mo = Fy . d2

d2 = 2 + 4 cot 40°

d2 = 6,77 m

Mo = 386 . 6,77 = 2610 N.m

Solusi

5) Mo = r x F

Mo = (2i + 4j) x 600.(i cos 40° – j sin 40°)

Mo = (2i + 4j) x (460i – 386 j)

Mo = - 772 k – 1840 Nm

Mo = - 2610 k N.m

KOPEL

Momen dari dua buah gaya yang :

- sama besar

- berlawanan

- kolinear (tidak membentuk satu garis lurus)

M = F.(a + d) – F.a

M = F . d

Contoh Soal 2/5

Bagian struktur tegar

dikenakan suatu kopel yang

terdiri dari dua buah gaya 100

N. Gantilah kopel ini dengan

kopel setara yang terdiri dari

dua buah gaya P dan – P,

masing-masing besarnya 400

N. Tentukan sudut .

Solusi

Apabila dilihat dari atas, kopel searah jarum jam yang besarnya

M = F . d

M = 100 . (0,1) = 10 N.m

Gaya –gaya P dan –P

menghasilkan kopel yang

berlawanan arah dengan

jarum jam sebesar

M = 400.(0,04) cos

Dengan menyamakan dua pernyataan di atas :

10 = 400.(0,04) cos

3,5116

10cos 1

Contoh Soal 2/6

Gantilah gaya horizontal 400 N

yang bekerja pada pengungkit

dengan sistem setara

(equivalent system) yang

terdiri dari sebuah gaya di O

dan kopel yang berlawanan

arah dengan jarum jam.

Solusi

Kenakan dua buah gaya 400 N yang sama besar dan

berlawanan arah di O dan kopel yang berlawanan arah dengan

arah jarum jam

M = F . d

M = 400.(0,2 sin 60°) = 69,3 N.m

Jadi gaya mula-mula setara dengan gaya di O dan kopel sebesar

69, 3 N.m. Sebagaimana ditujukkan oleh gambar ketiga dari tiga

buah gambar yang setara di atas

RESULTAN

Kombinasi gaya paling sederhana yang dapat menggantikan

gaya mula-mula tanpa mengubah pengaruh luar pada benda

tegar yang dikenakan gaya tersebut.

Contoh Soal 2/7

Tentukan resultan dari empat

buah gaya dan sebuah kopel

yang bekerja pada pelat

disamping !

Solusi

Titik O dipilih sebagai titik acuan

[Rx=Fx] Rx = 40 – 60 cos 45° + 80 cos 30° = 66,9 N

[Ry=Fy] Ry = 50 + 60 sin 45° + 80 sin 30° = 132,4 N

[R=(Rx2+Ry

2)] R = (66,92 + 132,42) = 148,3 N

]tan[ 1

x

y

R

R 2,639,66

4,132tan 1

[Mo = F.d] Mo = 140 – 50.(5) + 60 cos 45°.(4)

– 60 sin 45°.(7) = -237,3 N.m

Gambar a memperlihatkan

sistem kopel-gaya yang

terdiri dari R dan Mo

Gambar a

[Rd = |Mo|

148,3d = 237,3

d = 1,6 m

Pada Gambar b Resultan R dapat dikenakan di sembarang titik

pada garis yang membuat sudut 63,2° dengan sumbu –x dan

menyinggung di titik A pada lingkaran berjari-jari 1,6 m dengan

pusat O.

Gambar b

Gambar c menunjukkan posisi

resultan R juga dapat

ditentukan dengan

menentukan jarak titik potong

b di titik C pada sumbu –x.

Gambar cRy.b = |Mo|

mb 79,14,132

3,237

Untuk menentukan garis kerja akhir R digunakan peenyataan

vektor :

r x R = Mo

r = xi + yj

(xi + yj) x (66,9i + 132,4j) = -237,3k

(132,4x – 66,9y)k = -237,3k

132,4x – 66,9y = -237,3

Dengan menentukan y = 0, maka x = 1,79 m.

Ini sesuai dengan perhitungan sebelumnya dimana b = 1,79 m

Soal 2/71

Gantilah 3 buah gaya dan

sebuah kopel dengan sebuah

gaya setara R di A dan sebuah

kopel M. Tentukan M dan besar

R

Solusi

Gaya & Kopel yang bekerja

F1 = 6 kN F2 = 4 kN F3 = 2,5 kN M4 = 5 kNm

Penguraian Gaya & Momen ( CW + )

F1 = 6 kN F1x = 6 kN (+) M1 = 6.(0,7) = 4,2 kNm (+)

F2 = 4 kN F2x = 4 kN (+) M2 = 4.(1,2) = 4,8 kNm (+)

F3 = 2,5 kN F3x = 2,5.cos 30 = 2,165 kN (+)

M3 = 2,165.(1,4) = 3,03 kNm (+)

F3y = 2,5.sin 30 = 1,25 kN (+)

M3 = 1,25.(0,6) = 0,75 kNm (-)

M5 = 5 kNm

2y

2x FF

Penjumlahan Gaya & Momen

Fx = 6 + 4 + 2,165 = 12,165 kN

Fy = 1,25 kN

R = =22 25,1165,12

R = 12,23 kN

M = 4,2 + 4,8 + 3,03 - 0,75 + 5 = 16,28 kNm (CW)

Arah R = tan-1

867,5

165,12

25,1

F

F

x

y