sistem koordinat tiga dimensi

7/17/2019 Sistem Koordinat Tiga Dimensi

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-koordinat-tiga-dimensi 1/18

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Sebelumnya kita telah mengenal dan menggunakan sistem koordinat

dalam pelajaran matematika. Sistem koordinat yang sering dipakai adalah sistem

koordinat kartesius atau kartesian. Sistem koordinat ini biasa dipakai untuk

menggambarkan garis dalam sistem persamaan linier dan sistem persamaan

kuadrat.

Dalam fungsi juga menerapkan sistem koordinat untuk menggambarkan

setiap pasangan terurut himpunan penyelesaiannya.

Bangun datar dan bangun ruang juga mempergunakan sistem koordinat ini

untuk menggambarkan bangun serta untuk menentukan turunan rumusnya. Dalam

integral juga diperlukan sistem koordinat untuk menentukan bentuk dan

menghitung luas maupun volume benda putar atau benda pejal.

Sistem koordinat menjadi sangat penting dalam mempelajari matematika

tingkat atas dan lanjut. Hampir setiap submaterinya menggunakan sistem

koordinat. Oleh karena itu, dalam makalah ini kami menjelaskan mengenai materi

sistem koordinat, khususnya sistem koordinat tiga dimensi.

1.2 Rumusan Masalah

1.

Pengertian sistem koordinat tiga dimensi.

2. Grafik dalam ruang dimensi tiga.

3. Vektor dalam ruang dimensi tiga

1.3 Tujuan

Untuk mengetahui dan mempelajari sistem koordinat tiga dimensi, mulai

dari pengertian, kategori dan grafik serta vektor dalam ruang dimensi tiga.



2

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Sejarah Singkat Sistem Koordinat

Dua orang Perancis telah berjasa atas gagasan tentang sistem koordinat.

Pierre de Fermat adalah seorang pengacara yang menggemari matematika. Pada

tahun 1629, ia menulis sebuah makalah yang pada dasarnya menggunakan

koordinat untuk mendeskripsikan titik – titik dan kurva – kurva.

Rene Descartes adalah seorang ahli filsafat yang berpikir bahwa

matematika dapat membuka kunci alam semesta. Ia menerbitkan La Geometrie

pada tahun 1637. Buku itu sangat terkenal dan walaupun memang menekankan

aljabar dalam memecahkan masalah – masalah geometri, orang hanya menjumpai

suatu petunjuk tentang koordinat disana.

Berdasarkan siapa yang mempunyai gagasan pertama kali, Fermat

sepantasnya mendapat pengakuan yang utama. Akan tetapi, sejarah bisa menjadihal yang membingungkan. Koordinat dikenal sebagai koordinat Cartesius, yang

dinamakan menurut nama Rene Descartes.

2.2 Koordinat Cartesius

Dalam sebuah bidang, gambarkanlah dua garis real, satu mendatar dan

satu lainnya tegak, sedemikian sehingga keduanya berpotongan pada titik – titik

nol dari kedua garis tersebut. Dua garis itu dinamakan sumbu – sumbu koordinat .

Perpotongannya diberi tanda O dan disebut titik asal . Menurut perjanjian, garis

yang mendatar dinamakan sumbu sumbu x dan garis yang tegak dinamakan sumbu

y.S etengah bagian positif dari sumbu x adalah kekanan dan setengah bagian positif

dari sumbu y adalah keatas.

Sumbu – sumbu membagi bidang menjadi empat daerah, yang disebut

kuadran – kuadran yang diberi tanda I, II, III, dan IV.



3

Setiap titik pada bidang sekarang dapat dinyatakan dengan sepasang

bilangan, yang dinamakan koordinat – koordinat Cartesiusnya. Jika garis – garis

mendatar dan tegak yang melalui P masing – masing memotong sumbu x dan

sumbu y di a dan b, maka P mempunyai koordinat ( a,b ). Kita sebut ( a,b )

sebagai pasangan berurutan bilangan – bilangan, karena akan berbeda jika

urutannya dibalik. Bilangan pertam a dalah koodinat x atau absis dan bilangan

kedua b adalah koordinat y atau ordinat.

Sebaliknya, ambil sembarang pasangan terurut (a,b) bilangan – bilangan

real. Garis tegak meelalui a pada sumbu x dan garis mendatar b pada sumbu y

bertemu di titik P, koordinatnya adalah ( a,b ).

y

O x

-1

-2

-1 1 2

1

2

IV

-2

II

III

I

O x

a 2

1

b

-2

.P(a,b)



4

2.1 Koordinat Kartesius dalam Dimensi Tiga

Dimensi tiga merupakan suatu konsep abstrak yang memiliki panjang,

lebar, tinggi dan ruang. Oleh karena itu, dimensi tiga sering diterjemahkan sebagai

geometri ruang.

Koordinat cartesius tiga dimensi digunakan untuk menggambarkan suatu

objek baik satu dimensi, dua dimensi maupun tiga dimensi. Dalam sistem

koordinat kartesius, dimensi tiga digambarkan memalui tiga sumbu, yaitu sumbu ;

x, y, z .



5

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Pengertian Sistem Koordinat Tiga Dimensi

Sistem koordinat tiga dimensi adalah suatu cara yang digunakan untuk

menentukan letak suatu titik pada ruang. Pada sistem koordinat tiga dimensi letak

suatu titik pada umumnya dinyatakan dalam koordinat cartesius dan koordinat

bola.

3.1.2 Koordinat Cartesius

Untuk menyatakan posisi sebuah benda di dalam ruang, dibutuhkan suatu

sistem koordinat yang memiliki pusat koordinat. Sistem koordinat yang paling

umum adalah koordinat cartesius. Jika kita berbicara ruang dua dimensi, maka

koordinat cartesius dua dimensi memiliki pusat di O dan dua sumbu koordinat

yang saling tegak lurus, yaitu x dan y.

Selannjutnya koordinat cartesius dua dimensi dapat diperluas menjadi

cartesius tiga dimensi yang berpusat di O dan memiliki sumbu x, y, dan z .

Sistem koordinat cartesius dalam ruang tiga dimensi dapat digolongkan

kedalam dua kategori yakni, sistem tangan kiri dan sistem tangan kanan. Menurut

O



6

kebiasaan yang baku dalam penggambaran sumbu koordinat cartesius, pada

sistem tangan kanan sumbu y dan sumbu z terletak pada bidang kertas dengan arah

positif masing – masing ke atas. Kemudian sumbu x tegak lurus kertas dengan

arah positif menuju kita. Dinamakan tangan kanan karena jika jari – jari tangan

kanan dikepalkan sehingga melengkung dari sumbu x positif ke arah sumbu y

positif, ibu jari akan mengarah ke sumbu z positif.

Untuk sistem tangan kiri memiliki sumbu x dan sumbu z terletak pada

bidang kertas dengan arah positif masing – masing ke kanan dank ke atas.

Kemudian sumbu y tegak lurus kertas dengan arah positif menuju kita.

Dinamakan tangan kiri karena jika jari – jari tangan kiri dikepalkan sehingga

melengkung dari sumbu x positif ke arah sumbu y positif, ibu jari akan mengarah

ke sumbu z positif.

Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, bidang – bidang xy, xz dan

yz , yang membagi ruang menjadi delapan oktan. Terhadap tiap titik P dalam ruang

berpadanan suatu bilangan ganda tiga berurut ( x, y, z ), yaitu koordinat

cartesiusnya, yang mengukur jarak – jarak berarahnya dari tiga bidang itu.

Sistem tangan kanan Sistem tangan kiri



7

Oktan-oktan I, II, III dan IV diatas bidang xy dan lainnnya dibawah bidang

xy. Oktan-oktan V, VI, VII, VIII berturut-turut berada tepat dibawah oktan oktan

I, II, III dan IV. Pada gambar berikut berturut-turut adalah contoh letak titik

P (2,3,4) dan Q (4,-2,3)

NO Titik P(x, y, z) pada : Bilangan-bilangan

1 Oktan I X > 0 y > 0 z > 0

2 Oktan II X < 0 y > 0 z > 0

x



8

3 Oktan III X < 0 y < 0 z > 0

4 Oktan IV X > 0 y < 0 z > 05 Oktan V X > 0 y > 0 z < 0

6 Oktan VI X < 0 y > 0 z < 0

7 Oktan VII X < 0 y < 0 z < 0

8 Oktan VIII X > 0 y < 0 z < 0

3.1.2 Rumus Jarak dan Koordinat Bola

Posisi suatu titik dalam ruang, selain didefinisikan dengan sistem cartesius

tiga dimensi, dapat juga didefinisikan dalam sistem koordinat bola (prinsip

dasarnya sama dengan koordinat polar, yaitu sudut dan jarak).

Jarak dua titik dalam sitem koordinat ruang dimensi tiga menghasilkan

rumus jarak dalam ruang dimensi tiga.

P1P2 = {(x2-x1),(y2-y1),(z2-z1)}

|P1P2| = )()()( 12

2

12

2

12 z z y y x x

QP2 = {(x2-x2),(y2-y2),(z2-z1)}

Keterangan :

P1 ( x1, y1, z1)

R (x2, y1, z1)

P2 (x2, y2, z2)

Q (x2, y2, z1)



9

||QP2|| = (z2-z1)

QR = {(x2-x2),(y1-y2),(z1-z1)}

||QR|| = (y1-y2)

P1R = {(x2-x1),(y1-y1),(z1-z1)}

||QP2|| = (x2-x1)

Jarak dua titik P( 111 ,, z y x ) dan Q ( 222 ,, z y x ) adalah

|PQ | =2

12

2

12

2

12 )()()( z z y y x x

Dari rumus jarak ke persamaan sebuah bola merupakan suatu langkah

kecil. Bola adalah himpunan semua titik berjarak tetap ( jari – jari ) dari suatu titik

tetap ( pusat ). Kenyataannya, jika ( x, y, z ) adalah titik pada bola dengan jari – jari

r berpusat pada (h, k, l ).

Persamaan baku bola :

r

(x,y,z)

z

x

y

(x – h) +(y – k) +(z – l) = r

(h, k, l)



10

3.2 Grafik dalam Ruang Dimensi Tiga

Suatu hal wajar untuk pertama – tama memandang persamaan kuadrat

karena hubungannya dengan rumus jarak. Namun, agaknya suatu persamaan

linear dalam x, y, z yakni, persamaan berbentuk :

Ax + By + Cz = D , A2 + B2 + C2 ≠ 0

Seharusnya masih lebih mudah untuk dianalisis. Memang akan

ditunjukkan bahwa grafik persamaan linear merupakan bidang. Dengan menerima

kenyataan ini, mari kita tinjau bagaimana kita dapat menggambar persamaan yang

demikian.

Jika suatu bidang memotong ketiga sumbu, yaitu kasus yang akan sering

kali terjadi, kita mulai dengan mencari titik – titik potong ini, yakni, kita mencari

perpotongan dengan sumbu x, y, dan z. ketiga titik ini menetukan bidang dan

memungkinkan kita menggambar bidang koordinat, yang berupa garis – garis

perpotongan bidang tersebut dengan bidang – bidang koordinat. Kemudian,

dengan sedikit berseni, kita dapat mengarsir bidang tersebut.

Misalkan diberikan persamaan 3x + 4y + 2z = 12, sketsakanlah grafiknya.

x

y

z

Bidang

3x + 4y + 2z = 12

jejak

jejak jejak



11

Untuk menetukan perpotongan dengan sumbu x, tetapkan y dan z sama

dengan nol dan selesaikan untuk x, diperoleh x=4. Titik yang berpadanan adalah

(4,0,0). Secara serupa, perpotongan dengan sumbu y dan z adalah (0,3,0) dan

(0,0,6). Lalu, tarik garis yang menghubungkan titik – titik ini untuk memperoleh

jejak. Kemudian, arsir ( bagian oktan pertama ) bidang tersebut.

3.3 Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Perbedaan vektor pada bidang dan vektor dalam ruang hanyalah bahwa

vektor dalam ruang sekarang vektor u mempunyai tiga komponen, yakni :

u = ( u1, u2, u3) = u1i + u2 j + u3k

Di sini i, j, dan k adalah vektor – vektor satuan baku, disebut vektor –

vektor basis, pada arah ketiga sumbu koordinat positif. Panjang u, dinotasikan

dengan |u|, berasal dari rumus jarak dan diberikan sebagai

|u| =

Vektor – vektor dalam ruang ditambahkan, dikalikan dengan skalar, dan

dikurangkan sama seperti pada bidang, dan hukum – hukum aljabar yang dipenuhi

sesuai dengan yang telah dipelajari sebelumnya. Hasil kali titik dari u = (u1, u2, u3 )

dan v = (v1, v2, v3) didefinisikan sebagai

z

z

zi

u

j



12

u . v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

Dan mempunyai tafsiran geometri yang telah dinyatakan terdahulu, yakni :

u . v = |u| |v| cos θ

Dengan θ adalah sudut antara u dan v. Akibatnya, masih tetap benar

bahwa dua vektor saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil kali juga nol.

3.3.1 Perkalian Silang Dua Vektor ( Cross )

Perkalian silang dua vektor didefinisikan sebagai berikut.

Jika u = ),,( 321 uuu dan v = ),,( 321 vvv adalah vektor – vektor dalam ruang

dimensi tiga, maka perkalian silang u x v adalaha vektor yang didefinisikan

sebagai :

u x v = ),( 12213113,2332 vuvuvuvuvuvu

Atau dalam notasi determinan :

u x v =

21

21

31

31

32

32,,

vv

uu

vv

uu

vv

uu

Ada suatu perbedaan penting antara perkalian titik dan perkalian silang

pada vektor. Hasil perkalian titik atau dot vektor merupakan suatu scalar

sedangkan hasil dari perkalian silang atau cross vektor adalah komponen –

komponen vektor baru.

Beberapa teorema mengenai perkalian silang dua vektor.

a) u . ( u x v ) = 0 ( u x v orthogonal terhadap u )

b)

v . ( u x v ) = 0 ( u x v orthogonal terhadap v )

c) ‖ ‖ ‖‖‖‖( ) ( identitas Langrange )

Sifat – sifat aritmetika utama dari perkalian silang ditampilkan pada

teorema berikut.



13

a)

u x v = - ( v x u )

b) u x ( v + w ) = ( u x v ) + ( u x w )

c) ( u + v ) x w = ( u x w ) + ( v x w )

d)

k( u x v ) = ( ku ) x v = u x ( kv )

e) u x 0 = 0 x u = 0

f) u x u = 0

3.3.2 Vektor Posisi

Vektor posisi titik P adalah vektor yaitu vektor yang berpangkal di titik O

(0 , 0 , 0) dan berujung di titik P (x , y , z), bila ditulis

Modulus / besar vektor posisi adalah :

3.3.3 Perbandingan Vektor

https://fedraadi.files.wordpress.com/2013/05/capture12.png












14

Vektor posisi titik A dan titik B berturut-turut adalah a dan b . Titik C

terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n, dan

vektor posisi titik C dinyatakan dengan vektor c .

Titik C terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan m : n atau AC :

CB = m : n, dan vektor posisi titik C dinyatakan dengan vektor . Karena ruas garis

berarah AC searah dengan ruas garis berarah CB, maka persamaan itu dapat

dituliskan dalam bentuk persamaan vektor:

Misalkan vektor-vektor posisi titik A dan titik B berturut-turut adalah dan

Titik C terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan AC : CB = m : n, maka

vektor posisi C adalah ditentukan dengan rumus:

CBm AC n

cbCBdanac AC ingat cbmacn

,

cmbmancn

anbmcmcn

anbmcnm

nm

anbmc



15

nm

anbmc

3.4 Masalah dan Solusi

3.5.1 Carilah jarak antara titik – titik P(2, -3, 4) dan Q(-3, 2, -5).

Solusi :

|PQ| = ()()()

|PQ| = √

|PQ| = √

3.5.2 Sketsakan grafik persamaan linear 2x + 3y = 6 dalam ruang dimensi tiga.

Solusi :

Perpotongan x dan y masing – masing adalah (3,0,0) dan (0,2,0) dan titik –

titik ini menetukan jejak di bidang xy. Bidang ini tidak pernah memotong

sumbu z(x dan y keduanya tidak nol) sehingga bidang ini sejajar sumbu z.

Sketsa grafik :

3.5.3 Cari sudut ABC jika A = (1,-1,3), B = (2,4,-6), dan C = (5,-3,2).

x

y

z

jejak

jejak jejak

(0,2,0)

(3,0,0)

A(1, -2,3)



16

Solusi :

Pertama kita tentukan vektor – vektor u dan v ( berasal dari titik asal ),

setara terhadap ⃗ dan ⃗ . Ini dilakukan dengan cara mengurangkan

koordinat – koordinat titik – titik pangkal dari titik – titik ujung, yakni :

⟨ ⟩ ⟨⟩

⟨ ⟩ ⟨⟩

Jadi,

cos θ =||||

()()()()()()

√ √

θ = 0,3894 ( sekitar 22,31o )

B(2,4,-6) C(5,-3,2)θ



17

BAB IV

PENUTUP

4.1 Simpulan

Koordinat cartesius dua dimensi dapat diperluas menjadi cartesius tiga

dimensi yang berpusat di O dan memiliki sumbu x, y, dan z . OP adalah jarak titik

P ke pusat O. Sistem koordinat cartesius dalam ruang tiga dimensi dapat

digolongkan kedalam dua kategori yakni, sistem tangan kiri dan sistem tangan

kanan.

Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, bidang – bidang xy, xz dan

yz , yang membagi ruang menjadi delapan oktan. Terhadap tiap titik P dalam ruang

berpadanan suatu bilangan ganda tiga berurut ( x, y, z ), yaitu koordinat

cartesiusnya.

Perbedaan vektor pada bidang dan vektor dalam ruang hanyalah bahwa

vektor dalam ruang sekarang vektor u mempunyai tiga komponen, yakni :

u = ( u1, u2, u3) = u1i + u2 j + u3k



18

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard.2010. Dasar –

Dasar Aljabar Linier Jilid Satu.Tangerang :

Binarupa Aksara

Purcell, Edwin J dan Dale Varberg.2010. Kalkulus Jilid Satu.Tangerang : Binarupa

Aksara

Purcell, Edwin J dan Dale Varberg.2010. Kalkulus Jilid Dua.Tangerang : Binarupa

Aksara

sistem koordinat tiga dimensi

Documents