RENCANA SAMPLING PENERIMAAN

DALAM KETERANDALAN SISTEM BERDISTRIBUSI WEIBULL

PADA MASA HIDUP YANG DIPERCEPAT

(Skripsi)

Oleh

ANGGRYANI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2016

Lucia Dewanti Maharani

ii

ABSTRACT

RELIABILITY ACCEPTANCE SAMPLING PLANS

FOR WEIBULL DISTRIBUTION

IN ACCELERATING LIFE TIME

By

ANGGRYANI

Reliability Acceptance Sampling Plans (RASP) is a set of life test procedure with

rules for either rejecting or accepting a collection of items (a.k.a lot) based on the

sampled lifetime data. Lifetime data are censored data and uncensored data

(completed data). In generally, censored data consist of censored data Type I and

Type II. In this research uses uncensored data (completed data) which follow

Weibull Distribution. Lifetime testing when gives the acceleration factor (AF

known) faster the failure of system or item than at normal conditions. In life

testing needs a sample size (n) and acceptance constant (k), it can conclude to

accept or to reject the lot. Determining sample size (n) and acceptance constant (k)

must consider the value of producer ( ) and consumer ( ) risk and mean lifetime

( . The result of simulation shows that the ideal n and k are 20

adn 15,122 (in hour) with the value of and specified. After test for n and k, it

can conclude that lot rejects.

Kata kunci: Reliability acceptance sampling plans (RASP), complete data, Af

(Acceleration factor), producer risk, consumer risk.

Lucia Dewanti Maharani

ii

ABSTRAK

RENCANA SAMPLING PENERIMAAN

DALAM KETERANDALAN SISTEM BERDISTRIBUSI WEIBULL

PADA MASA HIDUP YANG DIPERCEPAT

Oleh

ANGGRYANI

Rencana sampling penerimaan dalam keterandalan sistem atau Reliability

Acceptance Sampling Plans (RASP) adalah suatu prosedur pengujian hidup

dengan aturan menerima atau menolak lot berdasarkan data masa hidup. Data

masa hidup dapat berbentuk data tidak tersensor dan tersensor. Secara umum, data

tersensor terdiri dari data tersensor tipe I dan tipe II. Pada Penelitian ini digunakan

data tidak tersensor yang mengikuti distribusi Weibull. Pengujian masa hidup saat

diberikan faktor percepatan (AF diketahui) akan mempercepat kegagalan suatu

sistem atau item daripada saat kondisi normal. Dalam pengujian masa hidup

diperlukan ukuran sampel (n) dan angka penerimaan (k), sehingga disimpulkan

terima atau tolak lot. Penentuan n dan k melibatkan rata-rata masa hidup ( dan nilai risiko produsen ( ) serta risiko konsumen ( ) tertentu.

Hasil simulasi menunjukkan bahwa n dan k yang ideal dengan nilai dan yang

ditentukan yaitu 20 dan 15,122. Setelah dilakukan pengujian untuk n dan k,

disimpulkan bahwa lot ditolak.

Kata kunci: Rencana sampling penerimaan dalam keterandalan sistem, data tidak

tersensor, Af (faktor percepatan), risiko produsen, risiko konsumen.

RENCANA SAMPLING PENERIMAAN DALAM KETERANDALAN

SISTEM BERIDTRIBUSI WEIBULL

PADA MASA HIDUP YANG DIPERCEPAT

Oleh

Anggryani

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2016

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 08 November 1994, sebagai anak ke-

dua dari empat bersaudara, putri dari Bapak Hotben Sinaga dan Ibu Laura

Sitinjak.

Pendidikan Taman Kanak-kanak (TK) Pertiwi Bekasi Timur diselesaikan tahun

2000, Sekolah Dasar ditempuh di SD Santa Lucia Bekasi Timur hingga lulus pada

tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama di SMP Santa Lucia Bekasi Timur

diselesaikan pada tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas di SMA Santo

Antonius Jakarta Timur diselesaikan pada tahun 2012.

Tahun 2012 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur

SNMPTN Tulis. Selama menjadi mahasiswa penulis bergabung dengan beberapa

organisasi sebagai anggota Unit Kegiatan Mahasiswa Kristen dan anggota Bidang

Keilmuan Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) periode 2013-2014.

Pada bulan Januari – Maret 2015 penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata

(KKN) di Desa Negri Ratu Ngaras, Kecamatan Bengkunat, Kabupaten Pesisir

Barat dan pada bulan Agustus 2015 penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di

PT. Telekomunikasi Seluler (TELKOMSEL) selama 1 bulan.

MOTTO

“Diberkatilah orang yang mengandalkan TUHAN, yang menaruh

harapannya pada TUHAN.”

(Yeremia 17:7)

“Jangan pernah menyerah dan jangan pernah berputus asa, TUHAN pasti

memberikan waktu yang tepat dan rancangan damai sejahtera untuk setiap

anak-anakNya”

(Anonym)

“Serahkanlah segala kekuatiranmu kepada-Nya, sebab Ia yang memelihara

kamu”

(1 Petrus 5:7 )

“Tetapi carilah terlebih dahulu Kerajaan Allah dan kebenaranNya, maka

semuanya itu akan ditambahkan kepadamu”

(Matius 6 :33)

PERSEMBAHAN

Dengan segenap rasa syukur kepada Bapa Yang Maha Kuasa,

penulis persembahkan karya sederhana ini untuk:

Kedua Orang Tua Tercinta

Sebagai tanda bakti, hormat dan rasa terima kasih yang tiada terhingga penulis

persembahkan karya kecil ini kepada Bapak dan Mama yang selalu mendukung

penulis dalam segala hal. Terima kasih atas curahan kasih yang tak berkesudahan,

semangat yang selalu kau berikan , serta doamu yang selalu menyertai penulis.

Saudara-saudara penulis terkasih, Erny Lamtiur Sinaga, Etha Maria Paulina

Sinaga, Simon Tobi Erasmus Sinaga

yang menanti keberhasilan penulis dan terima kasih atas doa serta dukungannya.

Kelak kita bersama akan menjadi orang sukses.

Untuk saudara dan teman–teman terkasih

yang telah memberikan dukungan semangat juga doa dan terima kasih sudah

hadir dalam hidup penulis dan terima kasih telah mengizinkan penulis hadir

dalam hidup kalian.

xi

SANWACANA

Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat

dan kasih-Nya dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Rencana Sampling

Penerimaan dalam Keterandalan Sistem Berdistribusi Weibull pada Masa Hidup

yang Dipercepat” tepat pada waktunya.

Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Drs. Rudi Ruswandi, M.Si. selaku pembimbing pertama, terimakasih

untuk ilmu, kesabaran, semangat dan arahan di dalam setiap bimbingan serta

dukungan dalam penyusunan skripsi ini.

2. Ibu Widiarti, M.Si. selaku pembimbing kedua, terimakasih atas segala bantuan

yang telah diberikan dalam menyelesaikan skripsi ini, serta selalu menjadi

penyemangat, pengingat, penasihat di dalam setiap proses penyelesaian skripsi.

3. Bapak Mustofa Usman, Ph.D. selaku penguji yang telah memberikan penulis

kritik, saran dan masukan yang membangun juga semangat yang diberikan.

4. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku pembimbing akademik yang selalu nasihat

dan juga bimbingannya dalam menjalani masa perkuliahan.

5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc. Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika

FMIPA Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., DEA., Ph.D. selaku Dekan FMIPA Universitas

Lampung.

xii

7. Seluruh dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika yang tidak dapat

disebutkan satu per satu, yang telah memberikan ilmu dan bantuan kepada penulis.

8. Untuk kedua orang tua yang selalu menjadi semangat “Among dan Uma”, Ka

Erny, Etha juga Tobi terimakasih selalu mendukung penulis dengan memberikan

semangat dan doa. Terimakasih telah menjadi penasihat dan pendengar terbaik

untuk setiap keluh kesah penulis.

9. Untuk teman-teman sepelayanan “Alter Singer” Mas Atho, Ka Ina, Ka Tata,

Bang Nico, Yanna, Rico, Pido, Yuli, Yusan, Ka Yessy, Jeniffer, Cia, Roma,

Tulus serta teman-teman yang lainnya terimakasih untuk dukungan dan doa

yang selalu diberikan kepada penulis.

10. Untuk sahabat-sahabat penulis, penyemangat, tempat berkeluh kesah serta

pembawa keceriaan Gerry, Yefta, Dyta, Ruth, Dwi, Elva, Mput, Yanti, Ernia,

Mba Desti, Talytha Alethea, Yudit (Dibul), Imah, Yama, Anisa, Eva Monica,

Rendy, Candra, Danar, Taufik, Jorgi, Angger, Hana.

11. Untuk teman-teman Asrama Pondok Indah Rani, Nadia, Susi, Jenifer, Etta,

Videl, Vinna, Cia, Linda, Ka Dessy dan seluruhnya atas dukungan, motivasi

dan kebersamaannya.

12. Untuk keluarga Matematika 2012 dan HIMATIKA FMIPA UNILA.

13. Semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini.

Semoga Allah Bapa Yang Maha Kuasa melimpahkan rahmat dan berkat-Nya

kepada kita semua

Bandar Lampung,September 2016

Penulis

Anggryani

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL .......................................................................................... xv

DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xvi

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ................................................................................ 1

1.2 Rumusan Masalah .......................................................................... 3

1.3 Tujuan Penelitian ............................................................................ 3

1.4 Manfaat Penelitian .......................................................................... 4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Konsep Masa Hidup Sistem ............................................................ 5

2.2 Fungsi Kepekatan Peluang Masa Hidup ........................................ 5

2.3 Konsep Fungsi Tahan Hidup (Reliability) ....................................... 6

2.3.1 Fungsi Keandalan ............................................................... 6

2.3.2 Rata-Rata Waktu Kegagalan (Mean Time to- Failure/MTTF) 7

2.3.3 Fungsi Hazard ..................................................................... 7

2.4 Distribusi Weibull .......................................................................... 8

2.5 Jenis Data ........................................................................................ 11

2.6 Model Pengujian Masa Hidup yang Dipercepat (Accelerated Life

Testing) ........................................................................................... 12

2.7 Metode Maximum Likelihood ........................................................ 12

2.8 Acceptance Sampling Plans (ASP) ................................................ 14

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................ 16

3.2 Metode Penelitian ........................................................................... 17

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 RASPs untuk Masa Hidup Sistem saat Kondisi Dipercepat ........... 20

4.2 Model Data Masa Hidup Sistem saat Kondisi Dipercepat ............. 22

4.3 Masa Hidup Sistem pada Kondisi Dipercepat untuk

Distribusi Weibull ........................................................................... 23

4.4 RASPs Data Masa Hidup yang Dipercepat Berdistribusi Weibull

dengan Pengujian Hipotesis ............................................................ 25

4.5 Penentuan Ukuran Sampel (n) dan Angka Penerimaan (k) menggunakan

Reliability Acceptance Sampling Plans (RASPs) ............................ 28

4.5.1 Simulasi untuk α Tetap β Meningkat ............................... 31

4.5.2 Simulasi untuk α Meningkat β Tetap ............................... 32

4.6 Membangkitkan Data Masa Hidup Sistem Berdistribusi Weibull pada

Kondisi Dipercepat ......................................................................... 35

4.7 Pengujian Hipotesis ........................................................................ 36

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 4.1. Pengujian Masa Hidup Sistem saat Kondisi Dipercepat ............. 21

Gambar 4.2. Kurva OC untuk Nilai α Meningkat dan β Tetap ....................... 34

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 4.5.1. Simulasi untuk α Tetap dan β Meningkat ................................... 32

Tabel 4.5.2. Simulasi untuk α Meningkat dan β Tetap ................................... 33

Tabel 4.6 Data Masa Hidup Sistem yang Berdistribusi Weibull

saat Kondisi Dipercepat ............................................................. 35

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Masa hidup suatu sistem merupakan interval waktu dari suatu sistem saat mulai

masuk ke dalam penelitian sampai mengalami kegagalan atau mati. Unit yang

digunakan dalam hal ini adalah komponen suatu sistem. Sistem adalah suatu

kesatuan yang terdiri dari komponen atau elemen yang saling berhubungan untuk

mencapai suatu fungsi tujuan kinerjanya. Misalkan T adalah suatu peubah acak

masa hidup sistem yang akan membentuk suatu distribusi peluang. Salah satu

distribusi peluang yang dapat digunakan adalah distribusi Weibull. Distribusi

Weibull banyak digunakan dalam pengujian masa hidup dan teori reliabilitas

dengan kelebihan yang utama yaitu menyajikan keakuratan kegagalan pada suatu

sampel.

Pengujian masa hidup sistem merupakan kajian daya tahan hidup atau keandalan

suatu sistem pada keadaan tertentu. Analisis yang digunakan untuk melihat

keandalan masa hidup sistem yaitu analisis keterandalan sistem. Keterandalan

sistem atau reliabilitas adalah peluang tidak terjadinya kegagalan atau kerusakan

pada suatu produk atau sistem dalam melakukan fungsinya dengan baik selama

periode operasi yang telah ditentukan. Sehingga dapat juga diketahui fungsi

reliabilitas, fungsi hazard dan MTTF (Mean Time to- Failure).

2

Data masa hidup diperoleh dari pengujian masa hidup sistem yang dapat berupa

data tidak tersensor dan tersensor. Berbentuk data tersensor jika ketepatan

informasi mengenai waktu tahan hidupnya tidak diketahui secara pasti, sehingga

pengamatannya perlu dibatasi oleh waktu atau sebab lainnya. Secara umum, data

tersensor terdiri dari data tersensor tipe I dan tersensor tipe II. Sedangkan data

tidak tersensor artinya datanya lengkap (full data), yaitu jika semua objek

penelitian diuji sampai semuanya mengalami kegagalan. Kelebihan dari full data

yaitu dapat diketahui dan diurutkan waktu kegagalan dari masing-masing objek

penelitiannya (Lawless, 1982).

Pengukuran karakteristik daya tahan hidup suatu sistem biasanya dilakukan

dengan mengoperasikan sistem dibawah kondisi normal. Seperti halnya dalam

kehidupan sehari – hari, kemungkinan suatu sistem diberikan faktor percepatan

secara tidak langsung sangat besar. Faktor percepatan (AF) dapat dilakukan

dengan cara memberikan percepatan pada tingkat penggunaan seperti

mengoperasikannya secara terus menerus, menaikkan tegangan dan lain-lainnya.

Hal tersebut memaksa sistem supaya gagal lebih cepat dibandingkan saat

kondisinya normal.

Umumnya dalam pengujian masa hidup sistem tidak mungkin dilakukan pada

semua komponen sistem sehingga diperlukan suatu sampel yang ideal untuk dapat

mengetahui rata-rata masa hidup komponen suatu sistem. Penentuan ukuran

sampel yang ideal dapat diketahui menggunakan prinsip rencana sampling dalam

keterandalan sistem (Reliability Acceptance Sampling Plans). RASPs merupakan

suatu prosedur pengujian hidup dengan aturan menerima atau menolak

3

berdasarkan data masa hidup. Prinsip kerja RASPs mengikuti prinsip Acceptance

Sampling Plans (ASP), yaitu sampel dikemas dalam suatu lot kemudian dilakukan

pemeriksaan mutu sampel tersebut secara sampling dari lot, selanjutnya diambil

keputusan apakah sampel dalam lot diterima atau ditolak. Selain itu, diperlukan

juga suatu angka penerimaan (k) untuk menerima atau menolak suatu lot.

Penentuan ukuran sampel (n) dan angka penerimaan (k) menggunakan prinsip

RASPs dengan mempertimbangkan nilai dari risiko konsumen (β), risiko

produsen (α) dan rata-rata masa hidupnya . Dimana sebelumnya nilai dari

risiko konsumen, risiko prosuden dan rata-rata masa hidup sistemnya ditentukan

sesuai kesepakatan antara produsen dan konsumen.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian pada sub-bab sebelumnya, maka permasalahan yang akan

dibahas dalam skripsi ini adalah bagaimana menentukan ukuran sampel (n) dan

angka penerimaan (k) dari RASPs pada kondisi dipercepat yang mengikuti

distribusi Weibull dengan data tidak tersensor (full data) dengan melibatkan risiko

konsumen (β) dan risiko produsen (α).

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian dari skripsi ini adalah mengetahui ukuran sampel (n)

dan angka penerimaan (k) dari RASPs pada kondisi dipercepat yang mengikuti

distribusi Weibull dengan data tidak tersensor (full data).

4

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah menambah referensi tentang rencana

penerimaan sampling dalam keterandalan sistem untuk data masa hidup tidak

tersensor (full data) yang mengikuti distribusi Weibull pada saat kondisi yang

dipercepat.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Konsep Masa Hidup Sistem

Masa hidup suatu sistem merupakan interval waktu saat suatu sistem masuk ke

dalam penelitian sampai mengalami kegagalan. Fungsi-fungsi pada distribusi

masa hidup merupakan suatu fungsi yang menggunakan variabel random masa

hidup. Variabel random masa hidup biasanya dinotasikan dengan huruf T dan

akan membentuk suatu distribusi peluang. Distribusi masa hidup sistem dapat

dijelaskan oleh tiga fungsi, yaitu fungsi kepekatan peluang f(t), fungsi tahan hidup

R(t), dan fungsi kegagalan atau fungsi hazard h(t).

2.2 Fungsi Kepekatan Peluang Masa Hidup

Masa hidup T mempunyai fungsi kepekatan peluang yang didefinisikan sebagai

peluang kegagalan suatu objek pada interval ) per satuan waktu dan

dinotasikan dengan f(t). Fungsi kepekatan peluang dari masa hidup sistem

dinyatakan sebagai berikut :

)

[ ))

]

)

[ )

]

6

yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :

1. )

2. ∫ )

Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak kontinu T jika luas

daerah dibawah kurva dan diatas sumbu-t sama dengan 1, dan jika luas daerah

dibawah kurva antara dan menyatakan peluang T terletak antara

dan . Sedemikian sehingga :

) ∫ )

, dengan [ )

2.3 Konsep Fungsi Tahan Hidup (Reliability)

Menurut B.K, Kale dan S.K. Sinha (1979), keandalan (reliability) dapat

didefinisikan sebagai suatu peluang sistem akan memiliki kinerja sesuai fungsi

yang dibutuhkan dalam periode waktu tertentu. Keandalan (reliability) juga

merupakan peluang suatu produk akan beroperasi dengan baik untuk periode yang

telah ditetapkan dibawah kondisi yang ditentukan, seperti suhu dan tegangan,

tanpa kegagalan.

2.3.1 Fungsi Keandalan

Keandalan dapat didefinsikan sebagai suatu peluang sebuah sistem akan berfungsi

sampai dengan periode waktu ke –t. Untuk melihat hubungan ini, secara

matematik ditetapkan peubah acak T adalah waktu hingga suatu sistem mengalami

kegagalan atau kerusakan.

7

Fungsi keandalannya dapat dituliskan sebagai berikut :

R(t) = P (objek hidup lebih dari waktu t)

= )

= (objek gagal sebelum waktu t)

= )

= 1- F (t) (2.1)

2.3.2 Rata-Rata Waktu Kegagalan (Mean Time to- Failure/MTTF)

Mean Time to- Failure (MTTF) adalah rata-rata waktu suatu sistem atau

komponen akan beroperasi sampai terjadi kegagalan untuk pertama kali. Sehingga

persamaan dari MTTF yaitu sebagai berikut :

MTTF = ) ∫ )

(2.2)

2.3.3 Fungsi Hazard

Fungsi hazard atau laju kegagalan atau kerusakan adalah banyaknya kegagalan

sistem per satuan waktu. Fungsi kegagalan dari waktu tahan hidup T dinotasikan

dengan h(t) dan didefinisikan sebagai peluang suatu sistem atau komponen gagal

didalam interval waktu (t, t+∆t) dengan diketahui bahwa objek tersebut telah

hidup selama waktu t. Fungsi kegagalan dinyatakan sebagai berikut :

)

[ | )

]

jika f(t) adalah fungsi densitas peluang pada waktu t, maka diperoleh:

8

)

[ | )

]

)

[ [ )) )

) ]

)

[ [ ))

) ]

karena ) ) ) ), maka :

)

[ ) )

)) ]

)

[ ) )

)]

) (

))

[ ) )

]

Berdasarkan definsi turunan, sedemikian sehingga :

) )

)

) )

) (2.3)

2.4 Distribusi Weibull

Distribusi Weibull diperkenalkan oleh seorang matematikawan bernama Wallodi

Weibull. Distribusi Weibull biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah-

masalah yang berhubungan dengan lama waktu (umur) suatu objek yang mampu

9

bertahan hingga akhirnya objek tersebut tidak berfungsi lagi sebagaimana

mestinya (rusak atau mati). Distribusi Weibul memiliki 2 parameter, yaitu :

= parameter bentuk (shape) yaitu menggambarkan tingkat kegagalan pada

distribusi Weibull

= parameter skala (scale) yaitu menggambarkan bentuk keragaman data pada

distribusi Weibull

Jika T adalah peubah acak menyebar menurut distribusi Weibull dengan 2

parameter maka fungsi kepekatan peluang (fkp) dapat diuraikan dalam bentuk:

) = {(

) ) (

)

(2.4)

Dengan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull yaitu :

) =

) (2.5)

Rata-rata (mean) dari distribusi Weibull :

E(t) = ∫ )

[ (

) (2.6)

Parameter yang digunakan dalam distribusi ini yaitu dan , maka dapat

dituliskan fungsi-fungsi dari distribusi Weibull yaitu :

1. Fungsi Kepekatan Peluang (fkp)

) (

) ) (

)

10

2. Fungsi Distribusi Kumulatif

) =

)

3. Fungsi Keandalan (Reliability Function)

R(t) = 1 – F(t)

= 1 –(

)) =

)

4. Fungsi Laju Kerusakan (Hazard Rate Function)

) )

)

) (

) ) (

)

(

)

) (

) )

Menurut Ebeling (1997), pengaruh nilai parameter bentuk distribusi Weibull yaitu

terhadap distribusi ini adalah bentuk kurva laju kegagalan (hazard rate) :

1. Untuk beberapa nilai yang berbeda < 1, berarti fungsi kepekatan peluang

(fkp) sama dengan distribusi Eksponensial.

2. Untuk nilai yang besar dengan ≥ 3, berarti fungsi kepekatan peluang

(fkp) berbentuk simetris seperti distribusi Normal.

3. Untuk 1 < < 3, berarti fungsi kepekatan peluang (fkp) berbentuk miring

atau tidak simetris.

4. Untuk = 1, berarti fungsi hazard konstan dan distribusinya identik dengan

distribusi Eksponensial.

Sedangkan nilai parameter adalah parameter skala yang mempengaruhi nilai

rata-rata dan sebaran data dari distribusi Weibull.

11

2.5 Jenis Data

Pengujian masa hidup menghasilkan suatu data masa hidup. Terdapat beberapa

jenis data masa hidup yang sering digunakan yaitu :

1. Sampel lengkap, jika semua komponen yang diuji telah mati atau gagal, maka

percobaan akan dihentikan atau juga berarti bahwa waktu kegagalan dari

semua unit yang diobservasi dapat diketahui. Percobaan akan berhenti jika

semua sampel yang diamati mengalami kegagalan.

2. Sensor kanan, semua objek yang diteliti (n) masuk ke dalam penelitian dalam

waktu yang bersamaan, dan pengujiannya akan dihentikan setelah batas

waktu yang ditentukan. Sensor kanan ini terdiri dari dua yaitu :

2.1 Sensor tipe 1, yaitu semua objek akan tetap hidup sampai waktu yang

telah ditentukan. Kelemahan dari sensor tipe I yaitu bisa terjadi sampai

batas waktu yang ditentukan semua objek masih hidup sehingga

tidak diperoleh data tahan hidup dari objek yang diuji.

2.2 Sensor tipe 2, yaitu semua objek yang diteliti (n) masuk ke dalam

pengujian dalam waktu yang bersamaan dan pengujian dihentikan jika

terjadi r kegagalan dengan . Kelemahan dari sensor tipe II,

waktu yang diperlukan untuk memperoleh r kegagalan bisa jadi sangat

panjang, tetapi pasti diperoleh data tahan hidup dari r kegagalan

tersebut.

3. Sensor kiri, jika sebelum dilakukan penelitian objek tersebut sudah

mengalami hal yang dimaksudkan dalam penelitian. Sehingga setelah

dilakukan penelitian, objek tersebut sudah mengalami sebelumnya yang

12

dimaksudkan dalam penelitian. Tetapi sensor kiri, biasanya ada pada analisis

survival suatu individu bukan sistem.

4. Terpancung, jika individu atau sistem mengalami kematian atau kerusakan

dikarenakan sebab lain di luar dari tujuan utama penelitian. Sehingga tidak

teramati tujuan utama penelitiannya.

2.6 Model Pengujian Masa Hidup yang Dipercepat (Accelerated Life Testing)

Pengukuran karakteristik masa hidup suatu sistem biasanya dilakukan dengan

mengoperasikan dibawah kondisi normal. Jika masa hidup suatu sistem telah

melewati batas pengamatan saat kondisinya normal, maka masa hidup sistemnya

akan diberikan suatu faktor percepatan (AF atau Acceleration Factor). Tujuan

diberikan suatu faktor percepatan adalah untuk memperpendek masa hidup suatu

sistem atau mempercepat degradasi kinerja sistem, juga menghemat waktu dan

biaya yang dikeluarkan dalam pengamatan masa hidup sistem ini. Masa hidup saat

kondisinya diperpecat dapat dinyatakan sebagai berikut:

(2.7)

dimana : : masa hidup saat kondisi normal

AF : konstanta yang disebut sebagai acceleration factor (AF)

: masa hidup saat kondisi dipercepat

2.7 Metode Maximum Likelihood

Metode kemungkinan maksimum adalah metode untuk menduga satu sebaran

dengan memilih dugaan-dugaan yang dimana nilai-nilai parameternya diduga

13

dengan memaksimalkan fungsi kemungkinannya. Metode ini juga merupakan

salah satu metode yang dapat digunakan untuk mencari taksiran nilai parameter

distribusi dari data.

Menurut Hogg and Craig (1995:262), misalkan merupakan suatu

sampel acak yang berukuran n dari suatu distribusi yang mempunyai fungsi

kepekatan peluang ) dengan . Fungsi kepekatan peluang bersama

dari adalah ) ) ). Fungsi kepekatan

peluang bersama ini juga dapat dinyatakan sebagai fungsi dari dan disebut

sebagai fungsi likelihood (L) dari sampel acak yang dinotasikan dengan

kemungkinan maksimum dari sampel acak tersebut adalah :

) ) ) ) (2.8)

Misalkan dapat ditemukan suatu fungsi nontrivial dari yaitu

), sedemikian sehingga jika diganti dengan

) maka fungsi likelihood (L) akan bernilai maksimum, yaitu

[ ) sedikitnya sebesar ) untuk

setiap . Statistik ) disebut penaksir maksimum likelihood

(m.l.e : maximum likelihood estimator ) dari dan dinotasikan dengan simbol

sebagai berikut :

).

Misalkan terdapat k parameter yang tidak diketahui, maka penaksir maksimum

likelihood untuk diperoleh dengan menyelesaikan

)

(2.9)

14

Atau melalui bentuk logaritma natural

)

(2.10)

untuk .

2.8 Acceptance Sampling Plans (ASP)

Acceptance Sampling Plans (ASP) adalah suatu keputusan untuk menerima atau

menolak lot atau populasi berdasarkan hasil dari pemeriksaan sebagian lot atau

populasi saja (sampel). Prinsip yang ada dalam ASP adalah item hasil produk

biasanya dikemas dalam suatu lot yang dimana berisi banyak barang, kemudian

pemeriksaan dari mutu item akan dilakukan secara sampling dari lot tersebut.

Selanjutnya dibuat suatu keputusan apakah item dalam lot diterima atau ditolak.

Jika banyaknya yang gagal atau cacat kurang dari angka penerimaan (k) maka

terima lot. Dengan angka penerimaan (k) merupakan suatu batas penerimaan

untuk menerima suatu lot.

Beberapa alasan yang mendukung mengapa harus menggunakan sampling di

dalam pengambilan sampel yaitu populasi/lot yang akan diuji berukuran besar,

waktu pengujiannya singkat, jumlah tenaga kerja sedikit, biaya untuk melakukan

pengujian terbatas (mahal), pengujian bersifat merusak (deskrutif) pada inspeksi

secara manual. Tetapi dalam menggunakan sampling ini terdapat kelebihan dan

kekurangan.

Kelebihan saat menggunakan sampling dalam pengambilan sampel yaitu

mempersingkat waktu pemeriksaan sampel item (kualitas mutunya).

15

Kekurangannya adalah adanya resiko menerima produk yang buruk dan menolak

produk yang baik, memerlukan waktu dan tenaga untuk kegiatan perencanaan dan

dokumentasi, dan tidak memberi jaminan bahwa semua lot telah memenuhi

spesifikasi yang diinginkan.

Acceptance Sampling Plans (ASP) dapat dilakukan untuk jenis data atribut dan

variabel.

1. Acceptance Sampling untuk data atribut dilakukan jika inspeksi

mengklasifikasikan sebagai item produk baik dan item produk cacat tanpa ada

pengklasifikasian tingkat kesalahan atau cacat produk. Dengan kriteria

pengujiannya yaitu jika jumlah item produk yang cacat kurang dari atau sama

dengan angka penerimaan maka terima lot.

2. Acceptance Sampling untuk data variabel, karakteristik kualitas ditunjukkan

dalam setiap sampel sehingga dapat dilakukan perhitungan untuk rata-rata sampel,

simpangan baku. Dengan kriteria pengujiannya yaitu menghitung nilai statistiknya

kemudian dibandingkan dengan angka penerimaan.

Dalam fungsi risiko, kedua tipe kesalahan dalam pengujian hipotesis dapat

dinyatakan sebagai :

1. Risiko produsen, risiko yang diterima produsen karena menolak produk yang

baik dalam inspeksinya. Atau menolak suatu produk dalam lot yang bermutu

baik (kesalahan tipe 1), dengan peluang kesalahannya disebut alpha (α) atau

risiko produsen.

2. Risiko konsumen, risiko yang diterima konsumen karena menerima produk

yang tidak baik mutunya (cacat). Atau menerima suatu produk dalam lot yang

16

bermutu tidak baik atau cacat (kesalahan tipe 2), dengan peluang kesalahannya

disebut betha (β) atau risiko produsen.

Ukuran sampel (n) dan angka penerimaan (k) baik berdasarkan risiko konsumen

maupun produsen atau pula yang disepakati oleh produsen dan konsumen (Grant,

E.L. dan Leavenworth,R.S. 1994).

17

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada Semester Genap Tahun Ajaran 2015/2016 di

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan secara studi literatur secara sistematis yang diperoleh dari

buku-buku, jurnal-jurnal, atau media lain yang dapat menunjang proses penulisan

skripsi ini. Adapun langkah-langkah yang dilakukan di dalam penelitian ini adalah

sebagai berikut:

1. Menentukan model data masa hidup saat kondisi dipercepat untuk full data

yang berdistribusi Weibull

a. Fungsi distribusi kumulatif

b. Fungsi densitas peluang

c. Fungsi Keandalan (Reliability)

d. MTTF (Mean Time to Failure)

18

2. Melakukan pengujian hipotesis pada rata-rata waktu kegagalan (MTTF)

a. H0 : MTTF =

H1.: MTTF =

dengan dan merupakan rata-rata masa hidup suatu sistem yang

mengikuti distribusi Weibull. Nilai dari keduanya ditentukan berdasarkan

produsen dan konsumen, dimana nilainya kurang dari ( ).

b. Menarik keputusan berdasarkan kriteria pengujian pada langkah

sebelumnya. Jika rata-rata waktu kegagalannya lebih besar atau sama

dengan maka tolak lot atau juga dapat menggunakan kriteria

pengujian sebagai berikut :

, terima lot.

, tolak lot.

3. Menduga parameter dengan menggunakan metode maksimum likelihood

dari fungsi kepekatan peluang (fkp) masa hidup sistem berdistribusi Weibull

pada kondisi dipercepat.

4. Menentukan ukuran sampel (n) yang ideal dan angka penerimaan (k)

melibatkan peluang penerimaan (1-α) serta risiko konsumen (β) berdasarkan

pada langkah sebelumnya.

a. Melakukan simulasi untuk α tetap β meningkat.

b. Melakukan simulasi untuk α meningkat β tetap.

5. Membangkitkan data sampel masa hidup yang berdistribusi Weibull saat

kondisi dipercepat dengan dan dengan faktor percepatan

(AF) yang diketahui.

19

6. Menguji n ukuran sampel dengan waktu pengamatan kondisi dipercepat

(

, AF diketahui). Jika rata-rata waktu kegagalan (MTTF) lebih besar

atau paling tidak sama dengan maka tolak lot. Atau dengan kriteria

pengujian , tolak lot. Dengan merupakan hasil penduga maksimum

dari parameter Weibull dan merupakan rata-rata masa hidup sistem yang

nilainya ditentukan sebelumnya.

V. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah dijelaskan dan simulasi yang telah dilakukan

pada beberapa nilai α dan β, diperoleh ukuran sampel (n) dan angka penerimaan

(k) yang ideal yaitu 20 dan (dalam satuan jam). Dari ukuran sampel (n)

yang diambil, diperoleh keandalan yang tidak baik sehingga tolak lot. Dengan

demikian disimpulkan bahwa rata-rata waktu kegagalan masa hidup sistem sama

dengan 20 jam (MTTF = 20 jam).

DAFTAR PUSTAKA

B.K. Kale and S.K. Sinha. 1979. Life Testing and Reliabiliy Estimation. New

Delhi: Wiley Eastern Limited.

Ebeling, C.E. 1997. An Introduction to Reliability and Maintainability

Engineering. Mc. Graw Hill Book Co. Singapore.

Grant, E.L. Dan Leavenworth, R.S. 1994. Pengendalian Mutu Statistik. Edisi

Keenam. Erlangga, Jakarta.

Hoog, R.V. and Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. New

Jersey: Precentice-Hall.

Hisada, K. and Arizino, I. 2002. Reliabilty Tests for Weibull Distribution With

Varying Shape-Parameter, Based on Complete Data. IEEE

TRANSACTIONS ON RELIABILITY, vol. 51, no. 3

Kim, M and Yum, B. J. 2008. Reliability Acceptance Sampling Plans for Weibull

Distribution Under Accelerated Type-I censoring. Journal of Applied

Statistics. Republic of Korea.

Lawless, J.F. 1982. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. Canada:

John Wiley and Sons, Inc.