1

BAB I

DASAR TEORI

1.1 Pengenalan MATLAB

1.1.1 Pendahuluan

MATLAB adalah sistem interaktif dengan elemen dasar basis data array yang

dimensinya tidak perlu dinyatakan secara khusus. Hal ini memudahkan pengguna untuk

memecahkan banyak masalah, khususnya yang melibatkan matriks dan vektor, dengan waktu

yang singkat.

Kegunaan MATLAB secara umum adalah untuk matematika dan komputasi,

pengembangan algoritma, pemodelan, simulasi, analisis data dan pembuatan aplikasi,

termasuk pembuatan antarmuka grafis.

1.1.2 Menjalankan MATLAB

Setelah meng-install MATLAB, kemudian untuk menjalankan MATLAB pada PC

dengan mengklik dua kali pada ikon MATLAB di layar komputer. Secara otomatis

MATLAB versi R2012a akan muncul 3 jendela, yaitu:

Command Window

2

Jendela utama dimana pengguna akan mengawali interaksinya dengan MATLAB.

Tampilan prompt MATLAB (>>) pada command window menunjukkan MATLAB

siap menerima perintah dari pengguna.

Workspace (View >> Workspace)

Memungkinkan pengguna untuk melihat isi lokasi kerja MATLAB saat ini. Di dalam

jendela workspace ini juga tersimpan semua variabel yang pernah dieksekusi dalam

Command Window yang dapat ditampilkan kembali dengan meng-klik ganda pada

suatu variabel yang ingin ditampilkan pada Command Window.

Command History

Memuat daftar semua perintah yang telah dieksekusi dalam Command Window.

Perintah-perintah yang pernah diberikan pada MATLAB akan selalu disimpan

sehingga pengguna dapat memilih dan mengeksekusi sekelompok perintah dari titik

dimana pengguna berhenti. Jika pengguna lupa variabel yang pernah dipakai dalam

command window, MATLAB dapat diminta untuk menampilkan, yaitu dengan

mengetikkan >> who pada command window. Jika pengguna ingin menghilangkan

variabel yang pernah digunakan cukup dengan mengetikkan perintah >> clear

variabel, dan untuk menghapus keseluruhan pekerjaan yang pernah dilakukan dengan

mengetikkan perintah >> clear

1.2 Matriks

Adalah suatu representasi dari transformasi linear. Di dalam MATLAB, matriks

merupakan bentuk data utama. Array adalah matriks yang memiliki satu baris. Matriks

didefinisikan elemen demi elemen begitu pula dengan array.

Berikut salah satu perintah yang dipahami MATLAB untuk membuat suatu matriks:

menuliskan langsung dengan menggunakan operator [ ], titik koma (;) dan koma (,).

Penulisan elemen matriks dalam satu baris perintah di Command Window di mana elemen-

elemen matriks dituliskan di dalam [ ], dengan ketentuan: penulisan elemen dalam satu baris

dipisah dengan spasi atau tanda koma (,) dan pemisahan antar baris dilakukan dengan

menggunakan tanda titik koma (;).

Contoh:

>> A=[2 4;-1 0]

3

A =

2 4

-1 0

>> B=[2,4,-1,0]

B =

2 4 -1 0

>> C=[2 4 -1 0]

C =

2 4 -1 0

Perkalian matriks

Mengikuti aturan perkalian matriks

Yaitu: = (dimensi dalam di antara kedua matriks besarnya sama).

Operator aritmatik perkalian matriks adalah *

Antar elemen matriks yang bersesuaian

Operator aritmatiknya adalah .* Maksud bersesuaian di sini adalah matriks yang

dikalikan harus berdimensi sama.

1.3 Definisi Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Untuk matriks , suatu bilangan real disebut nilai eigen dari matriks jika terdapat

sebuah vektor taknol di sedemikian sehingga = . Vektor disebut vektor eigen

yang bersesuaian dengan nilai eigen . Persamaan = ekuivalen dengan persamaan

( ) = 0 sehingga semua yang berikut ini adalah ekuivalen:

1. adalah nilai eigen dari .

2. ( ) = 0 memiliki solusi tak trivial.

3. adalah singular.

4. det( ) = 0.

Vektor eigen untuk adalah solusi taknol untuk persamaan ( ) = 0. Vektor-vektor

ini bersama-sama dengan vektor 0 disebut ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen

. Ekspresi det( ) adalah suku banyak berderajat disebut suku banyak karakteristik

dari . Dengan sifat 4, nilai eigen adalah akar-akar dari persamaan karakteristik det( ).

Menentukan nilai eigen dan vektor eigen dengan MATLAB:

4

Metode untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen di dalam MATLAB adalah dengan

menggunakan fungsi eig. Untuk suatu matriks Anxn, eig(A) akan menghasilkan nx1 vektor

kolom dimana elemen-elemennya adalah nilai eigen dari A. Perintah MATLAB dalam

bentuk [V D] = eig(A) menghitung vektor eigen dan nilai eigen dari A sekaligus. V adalah

matriks dimana vektor-vektor kolomnya adalah vektor eigen dari matriks A dan D adalah

matriks diagonal dimana elemen-elemen pada diagonalnya adalah nilai eigen dari A. Kolom

ke-i dari V, V(:, i) adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen D(i, i).

1.4 Diagonalisasi Matriks

Definisi:

Matriks kuadrat Anxn dikatakan dapat didiagonalkan (diagonalizable) jika terdapat

matriks P yang mempunyai invers sehingga P1

AP diagonal. Matriks P dinamakan matriks

yang mendiagonalkan matriks A.

Jika A adalah matriks nxn, maka pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain:

i. A dapat didiagonalisasi

ii. A mempunyai n vektor eigen yang bebas linear

Matriks P yang memuat n buah vektor eigen yang bebas linear dapat digunakan dengan

cara serupa pada 1 untuk memperoleh matriks diagonal D, yang mana akan memuat

nilai eigen pada diagonalnya.

Di dalam MATLAB, dapat ditentukan apakah suatu matriks A dapat didiagonalisasi

dengan menggunakan perintah [V D] = eig(A). Selanjutnya jika rank(V) adalah n, maka n

kolom dari V adalah bebas linear sehingga matriks A dapat didiagonalisasi dan matriks

diagonalnya adalah = 1.

Prosedur untuk mendiagonalisasi sebuah matriks A berorde nxn, sebagai berikut :

Langkah 1 : Carilah n vektor eigen yang bebas linear dari A, 1, 2, ,

Langkah 2 : Bentuklah matriks P yang mempunyai 1, 2, , sebagai vektor kolomnya

Langkah 3 : Maka matriks 1 akan didiagonal dengan 1, 2, , sebagai entri-entri

diagonalnya yang berturutan, di mana i adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan pi,

i=1,2,,n

1.5 Singular Value Decomposition (SVD)

5

Diberikan matriks dengan rank (A)= r. Dengan 1 2 nilai-nilai

singular tak nol dari A. Dibentuk matriks:

= (1, 2, , ) 0

0 0

Dibentuk vektor dengan Q1, Q2 , , Qn basis orthonomal di .

=1

, 1

P1, P2, , Pr himpunan orthonormal di dan diperluas menjadi

P1, P2, , Pr , Pr+1, Pr+2, , Pm sehingga membentuk basis orthonormal di Rm

Dibentuk matriks:

= [1 2 ]

= [1 2 ]

P dan Q matriks orthogonal.

Teorema SVD:

Diberikan matriks dengan rank (A)= r. Jika didefinisikan matriks-matriks

, P, dan Q seperti di atas maka A dapat difaktorkan sehingga

= QT

Prosedur Penyelesaian SVD

1. Misal diketahui matrik B berukuran mxn.

2. Menghitung matriks BTB atau BBT. Misalkan matrik BTB = matrik C(nxn) dan BBT =

matrik D(mxm). Mengunakan MATLAB diperoleh BT dengna syntax: >>B

3. Nilai singular

Mencari nilai eigennya dulu

det( ) = 0

Nilai singular matriks atau

=

(1 = 1, 2 = 2, . . , = 0 0

0

0

0 0 0

4. Setelah diketahui nilai-nilai nya, langkah selanjutnya adalah mencari eigenvektor

untuk masing-masing untuk setiap matrik C atau D. Eigenvektor diperoleh melalui

rumus 0 xIC atau 0 xID . Sehingga nanti akan diperoleh persamaan x

6

dalam bentuk x1, x2 hingga xm (a1x1+a2x2+..+amxm=0). Kemudian dari beberapa variabel

tersebut jadikan menjadi satu variabel. Misalnya, didapatkan persamaan berikut ini:

5x11 + x12 + 4x13 = 0....(pers. 1)

X11 + 2x12 x13 = 0....(pers.2)

4x11 x12 + 5x13 = 0....(pers.3)

Kemudian lakukan eliminasi dari pers.1 dan pers.2 sehingga didapatkan

x11 = -x13.... pers.4

Pers.4 tersebut dapat disubstitusikan ke salah satu dari 3 persamaan di atas. Sehingga

didapatkan

x12 = x13....pers.5

Setelah didapatkan persamaan 4 dan pers.5 dilakukan normalisasi (penormalan) dari tiap-

tiap dengan mensubsitusikan tiap elemen 1x . Proses penormalan adalah sebagai

berikut: (mencari matriks Q)

= [1 2 ]

=1

, i=1,2,,n dengan adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan

ke i.

5. Mencari matriks P

= [1 2 ]

=1

, i=1,2,, m

6. Dekomposisi nilai singular matrik B dinyatakan dalam:

dimana QT =transpose Q

Menentukan SVD dari suatu matriks dengan MATLAB

= VT

dim = dim

U dan V matriks unitary.

Syntax: [U S V] = svd (A)

Cara mengeceknya

>> U*S*V

dengan V adalah transpose dari matriks V.

B = P S QT