te 091467 teknik numerik sistem linear - share...

Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Trihastuti Agustinah

TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear

O U T L I N E

2. Teori

3. Contoh

4. Simpulan

5. Latihan

1. Objektif

Mahasiswa mampu:

1) mendeskripsikan ruang hasilkali dalam beserta teorema yang menyertainya

2) menghitung vektor ortogonal dan ortonormal melalui proses Gram-Schmidt

Contoh Simpulan Latihan Objektif Teori

Tujuan Pembelajaran

Ruang hasilkali dalam merupakan

generalisasi dari konsep ruang hasilkali-

dalam Euclidean. Selain berbeda dalam

notasi yang digunakan, konsep ini digunakan

untuk mendapatkan basis ortonormal

melalui aplikasi proses Gram-Schmidt.

Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh

Pendahuluan


Hasikali-dalam (inner product)

Hasilkali-dalam Euclidean: u∙v

Notasi umum hasilkali-dalam: ⟨u,v⟩

Aksioma:

⟨u,v⟩ = ⟨v,u ⟩ simetri

⟨u+v,w⟩ =⟨u,w⟩ + ⟨v,w⟩ aditif

⟨ku,v⟩ = k⟨u,v⟩ homogenitas

⟨v,v⟩ ≥ 0 definit positif ⟨v,v⟩ = 0 iff v = 0

Contoh 1


Norma dan jarak

Definisi norm atau panjang Euclidean untuk vektor u=(u1, u2,∙∙∙, un):

Definisi jarak (distance) antara titik u=(u1, u2,∙∙∙, un) dan v=(v1, v2,∙∙∙, vn):

222

21

21, nuuu +++=⟩⟨= uuu

2222

211 )()()(),( nn vuvuvud −++−+−=−= vuvu

Contoh 2


Hasilkali-dalam dibangkitkan oleh matriks

Vektor u=[u1 u2 ∙∙∙ un]T dan v=[v1 v2 ∙∙∙ vn]T

(ekspresi dalam matriks n×1)

Matriks A dapat dibalik:

karena u·v = vTu, maka

⟨u,v⟩ = (Av)T Au ⟨u,v⟩ = vTATAu

⟨u,v⟩ = Au · Av = ?


Hasilkali-dalam berbobot

Hasilkali-dalam: dibangkitkan oleh matriks identitas n×n

⟨u,v⟩ = Iu·Iv = u·v

=⟩⟨

2

121 20

0320

03][,uu

vvvu

=

2003A

=

2

121 20

03][

uu

vv

Hasilkali-dalam berbobot:

Bukti.

2211 23 vuvu +=

dibangkitkan oleh matriks:

⟨u,v⟩ = 3u1v1 + 2u2v2


Hasilkali-dalam berbobot

Secara umum, hasilkali-dalam Euclidean berbobot

⟨u,v⟩ = w1u1v1 + w2u2v2 + ∙∙∙ + wnunvn

=

nw

ww

A

000

000000

2

1

merupakan hasilkali-dalam pada Rn yang dibangkitkan oleh matriks


Sifat-sifat hasilkali-dalam

Jika u, v, dan w adalah vektor di ruang hasilkali-dalam, dan skalar k

⟨u,v+w⟩ = ⟨u,v⟩+ ⟨u, w⟩

⟨0, v⟩ = ⟨v, 0⟩ = 0

⟨u – v,w⟩ = ⟨u,w⟩ – ⟨v, w⟩

⟨u,kv⟩ = k⟨u,v⟩

⟨u, v– w⟩ = ⟨u,v⟩ – ⟨u, w⟩

⟩⟨ vu ,2⟨u,v⟩ = 0


Ortogonalitas

Dua vektor u dan v adalah ortogonal iff

Teorema Phytagoras:

Bukti.

⟩++⟨=+ )( ),(2 vuvuvu

22 vu +=

⟨u,v⟩ = 0

222 vuvu +=+

2v++= 2u


Ortogonal dan Ortonormal

Himpunan vektor ortogonal:

– himpunan vektor-vektor dalam ruang hasilkali-dalam

– semua pasangan dari vektor berlainan dalam himpunan tersebut adalah ortogonal

Ortonormal: – himpunan vektor ortogonal

– tiap vektor dalam himpunan tersebut memiliki norma 1


Normalisasi

Normalisasi: proses perkalian vektor tak-nol dengan kebalikan dari panjang vektor tersebut

1 1 11=== v

vv

vv

v

Vektor dengan norma 1: v

v1

Bukti.

Contoh 3


Koordinat relatif terhadap basis ortonormal

Jika S = {v1, v2, ∙∙∙, vn} adalah basis ortonormal untuk ruang hasilkali-dalam V, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka

Vektor koordinat u relatif terhadap S

koordinat relatif terhadap S

u = ⟨u,v1⟩v1 + ⟨u,v2⟩v2 + ∙∙∙ + ⟨u,vn⟩vn

(u)S = (⟨u,v1⟩, ⟨u,v2⟩, ∙∙∙ , ⟨u,vn⟩)

⟨u,v2⟩ ⟨u,v1⟩ ⟨u,vn⟩


Koordinat relatif terhadap basis ortogonal

S = {v1,v2,∙∙∙,vn}: basis ortogonal untuk ruang vektor V

Vektor u sebagai kombinasi linear dari vektor basis ortogonal

=′n

nSvv

vv

vv , , ,

2

2

1

1

n

n

n

nvv

vvu

vv

vvu

vv

vvuu , , ,

2

2

2

2

1

1

1

1 +++=

nn

n vv

vuvv

vuvv

vuu 2222

212

1

1 , , , ⟩⟨++

⟩⟨+

⟩⟨=

Normalisasi dari tiap vektor dalam S

basis ortonormal

Contoh 4


Teorema proyeksi

Rumus proyeksi

uuu ⊥+= WW projproj

karena uuu WW projproj −=⊥

maka

)proj(proj uuuu WW −+=

W

w2

w1

u

0

u = w1 + w2

W

u – projWu

0

u

projWu


Teorema proyeksi

Misal W merupakan subruang dimensi terbatas dari ruang hasilkali dalam V

rrW vvuvvuvvuu ⟩⟨++⟩⟨+⟩⟨= ,,,proj 2211

1) Jika S = {v1, v2, ∙∙∙, vr} adalah basis ortonormal untuk W, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka

2) Jika S = {v1, v2, ∙∙∙, vr} adalah basis ortogonal untuk W, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka

rr

rW v

vvuv

vvuv

vvuu 222

2

212

1

1 ,,,proj ⟩⟨++

⟩⟨+

⟩⟨=


Proses Gram-Schmidt

Langkah 1: set v1 = u1

Proses ortogonalisasi: step-by-step

Langkah 2: dapatkan vektor v2 ortogonal terhadap v1 hitung komponen u2 ortogonal pada W1

121

122222 ,proj

1v

v

vuuuuv ⟩⟨−=−= W

W1

u2

v1

v2

projW1u2


Proses Gram-Schmidt

Langkah 3: Bentuk vektor v3 ortogonal terhadap v1 dan v2

22

2

2312

1

133333 , ,proj

2v

vvuv

vvuuuuv ⟩⟨

−⟩⟨

−=−= W

Langkah ke-n: …

W2

projW2u3

u3

v1

v2

v3

Contoh 5


Dekomposisi QR

Matriks A adalah matriks (m×n) dengan vektor kolom

Faktor dari A: A = QR

dengan

– Q adalah matriks m×n dengan vektor kolom ortonormal

– R adalah matriks segitiga atas n×n dapat dibalik

bebas linear

⟩⟨⟩⟨⟩⟨⟩⟨⟩⟨⟩⟨

=

33

2322

131211

,00,,0,,,

ququququququ

R

???

Contoh 6

Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan

Contoh 1

Misalkan u =(u1,u2 ) dan v = (v1,v2). Tunjukkan bahwa hasilkali-dalam Euclidean berbobot:

⟨u,v⟩ = 3u1v1 + 2u2v2

memenuhi aksioma hasilkali-dalam.


Contoh 1

Jawab:

• ⟨u,v⟩ = ⟨v,u⟩

• Jika w = (w1,w2), maka ⟨u+v,w⟩ = 3(u1 + v1) w1+ 2(u2+v2) w2

= (3u1w1+2u2 w2)+(3v1w1+2 v2w2) = ⟨u,w⟩ +⟨v,w⟩

• ⟨ku,v⟩ = 3(ku1)v1 + 2(ku2)v2

= k(3u1v1 + 2u2v2) = k⟨u,v⟩

• ⟨v,v⟩ = 3v1v1+ 2v2v2 = 3v12+ 2v2

2 ≥ 0

⟨v,v⟩ = 0 iff v1=0 , v2=0 v = (v1,v2) = 0


Contoh 2

Vektor u =(1,0) dan v = (0,1) di R2, dapatkan norma dan jarak

Hasilkali-dalam berbobot: ⟨u,v⟩ = 3u1v1 + 2u2v2

3)]0)(0(2)1)(1(3[ , 2121 =+=⟩⟨= uuu

21)1 ,1( ),1 ,1() ,( ⟩−−⟨=−= vuvud

5)]1)(1(2)1)(1(3[ 21 =−−+=

101 22 =+=u

2)1(1)1 ,1() ,( 22 =−+=−=−= vuvud


Contoh 3

Dapatkan basis ortonormal untuk vektor-vektor u1 = (0,1,0), u2 = (1,0,1) dan u3 = (1,0,-1).

11 =u 22 =u 23 =u

)0 ,1 ,0(1

11 ==

uuv

==

21 ,0 ,

21

2

22 u

uv

−==

21 ,0 ,

21

3

33 u

uv

Himpunan S = {v1,v2,v3} adalah ortonormal, karena

0 , , , 323121 =⟩⟨=⟩⟨=⟩⟨ vvvvvv

1321 === vvv

Jawaban contoh 3


Contoh 4

Vektor v1= (0,1,0), v2= (-4/5,0,3/5), v3= (3/5,0,4/5). Buktikan S={v1, v2, v3} merupakan basis ortonormal untuk R3.

• Ekspresikan vektor u = (1, 1, 1) sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S

• Dapatkan vektor koordinat (u)S


Contoh 4

• Hasilkali-dalam u dan vi:

⟨u,v1⟩ = 1; ⟨u,v2⟩ = -1/5; ⟨u,v3⟩ = 7/5

• Vektor u sebagai kombinasi linear

u = v1 – (1/5)v2 + (7/5) v3

(1, 1, 1) = (0,1,0) – 1/5(-4/5, 0, 3/5) + 7/5 (3/5, 0, 4/5)

• Vektor koordinat u relatif terhadap S:

(u)S = (⟨u,v1⟩, ⟨u,v2⟩, ⟨u,v3⟩) = (1, -1/5, 7/5)

• Basis ortonormal: vektor ortogonal dengan norma 1


Contoh 5

Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasi vektor basis u1 = (1,1,1), u2 = (0, 1,1), u3 = (0,0,1) ke dalam basis ortogonal {v1, v2, v3}; kemudian dapatkan basis ortonormal {q1, q2, q3};


Contoh 5

Langkah 1:

121

122222 ,proj

1v

vvuuuuv ⟩⟨

−=−= W

−=−=

31 ,

31 ,

32)1 ,1 ,1(

32)1 ,1 ,0(

Langkah 2:

v1 = u1 = (1,1,1)

222

2312

1

133333 , ,proj

2v

vvuv

vvuuuuv ⟩⟨

−⟩⟨

−=−= W

−−−=

31 ,

31 ,

32

3231)1 ,1 ,1(

31)1 ,0 ,0(

−=

21 ,

21 ,0

Langkah 3:

)1 ,1 ,1(1 =v

−=

31 ,

31 ,

32

2v

−=

21 ,

21 ,03vBasis ortogonal:


Contoh 5

Norma dari v1, v2 dan v3:

Basis ortonormal:

31 =v36

2 =v 21

3 =v

==

31 ,

31 ,

31

1

11 v

vq

−==

61 ,

61 ,

62

2

22 v

vq

−==

21 ,

21,0

3

33 v

vq

)1 ,1 ,1(1 =v

−=

31 ,

31 ,

32

2v

−=

21 ,

21 ,03vBasis ortogonal:


Contoh 6

Dapatkan dekomposisi QR untuk matriks berikut:

=

111011001

A


Contoh 6

Vektor kolom dari matriks A:

=

111

1u

=

110

2u

=

100

3u

Basis ortonormal diperoleh dari proses Gram-Schmidt pada contoh 4:

=313131

1q

−=

616162

2q

−=

2121

0

3q


Contoh 6

Matriks R

Dekomposisi QR

=

⟩⟨⟩⟨⟩⟨⟩⟨⟩⟨⟩⟨

=210061620313233

,00,,0,,,

33

2322

131211

ququququququ

R

RQA

−

−

=

2100

61620

313233

216131

216131

06231

111

011

001

Ruang hasilkali dalam merupakan perluasan konsep dari ruang hasilkali-dalam Euclidean


Ruang hasilkali dalam

Ortonormal dibentuk dari himpunan vektor ortogonal dengan tiap vektor dalam himpunan tersebut memiliki norma 1

Proses Gram-Schmidt digunakan untuk mendapatkan basis ortogonal dari sebarang basis untuk ruang hasilkali dalam dimensi terbatas

1) Dapatkan basis ortonormal dari {u1, u2,u3} dengan menggunakan proses Gram-Schmidt untuk u1 = (1, 1, 1), u2 = (-1, 1, 0) dan u3 = (1, 2,1).


Soal Latihan

2) Misalkan ⟨u,v⟩ merupakan hasilkali-dalam Euclidean pada R2, dan misal vektor u = (3, -2), v = (4, 5), w = (-1, 6). a) Dapatkan ⟨u+v, w⟩. b) Bila hasilkali-dalam diubah menjadi hasilkali-dalam

berbobot ⟨u, v⟩ = 4u1v1 + 5u2v2, dapatkan ⟨u+v, w⟩.

, .

te 091467 teknik numerik sistem linear - share...

Documents