Metode Numerik (Numerical Methods)

Disusun Oleh: H. Ary Setyadi

Progdi Teknik Komputer S T M I K ?A U B

Surakarta 2008DAFTAR ISI Halaman KATA PENGANTAR ................................................................. ................................................. ii DAFTAR ISI ................ ................................................................................ ........................... iii TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM ...................... ....................................................................... v MATERI ............................................................................. .................................................. v PRASYARAT MATA KULIAH ..... ................................................................................ ................. v PUSTAKA .................................................... ........................................................................... v PR OLOG .......................................................................... ..................................................... 1 BAB 1 MODEL MATEMATIKA ....................................................... ........................................ 2 1.1. Model Matematika. ...................................................... ............................................. 2 BAB 2 KOMPUTER DAN SOFTWARE .................................................. ................................... 5 BAB 3 APROKSIMASI DAN ROUND-OFF ERROR ........................................ ............................ 6 3.1. Angka Signifikan. ...................................................... ................................................ 6 3.2. Akurasi dan Presisi..................................................... ............................................... 6 3.3. Definisi Error (Kesalahan).............................................. ............................................ 7 3.4. Round-Off Error (Kesalahan Pembulatan). ................................ .................................. 8 3.4.1. Cara Meminimalkan Round-Off Error. ..................................... .................................... 8 Membuat tipe datanya menjadi double precision................................... ................................ 9 Grouping. ...................................................................... ..................................................... 9 Perluasan deret Taylor. ........................................................ ............................................... 9 Mengubah definisi variabel. .................................................... ........................................... 10 Menuliskan kembali persamaan yang dapat mencegahnya dari operasi pengurangan. .. ......... 10 3.5. Truncation Error (Kesalahan Pemotongan). ............................... ............................... 10 3.5.1. Deret Taylor. .......................................................... ................................................ 10 3.5.2. Suku Sisa Perluasan Deret Taylor........................................ ..................................... 11 3.5.3. Penggunaan Deret Taylor untuk Memperkirakan Kesalahan Pemotongan. ...... ............ 13 3.5.4. Diferensiasi Numerik. .................................................. ............................................ 13 Pendekatan diferensi ke belakang dari turunan pertama........................... ........................... 14 Pendekatan diferensi terpusat dari turunan pertama. ............................ .............................. 14 Pendekatan diferensi hingga dari turunan lebih tinggi. .........................

............................... 15 Formula diferensi yang lebih akurat. ........................................... ....................................... 15 Contoh. ........................................................................ .................................................... 17 Aproksimasi diferensi terbagi hingga dari turunan. ............................. ................................. 17 3.6. Kesalahan Numerik Total................................................. ........................................ 17 3.7. Kekeliruan, Kesalahan Perumusan dan Ketidakpastian Data................. ...................... 18 Kekeliruan. .................................................................... ................................................... 18 Kesalahan Perumusan. ........................................................... ........................................... 18 Ketidakpastian Data. ........................................................... .............................................. 19 BAB 4 METODE AKOLADE (BRACKETING METHOD) ..................................... ....................... 20 4.1. Metode Grafik........................................................... .............................................. 20 4.2. Metode Bagidua (Biseksi). .............................................. ......................................... 22 4.2.1. Kriteria Berhenti dan Taksiran Kesalahan. .............................. .................................. 23 4.3. Metode Regula Falsi (False Position). .................................. ..................................... 25 4.3.1. Jebakan pada Metode Regula Falsi. ...................................... ................................... 26 4.4. Incremental Searches dan Penentuan Tebakan Awal......................... ........................ 27 BAB 5 METODE TERBUKA ......................................................... ........................................ 28 5.1. Iterasi Satu Titik Sederhana. .......................................... ......................................... 28 5.1.1. Konvergensi. ........................................................... ............................................... 29 5.1.2. Metode Grafik 2 Kurva. ................................................. .......................................... 29 5.2. Metode Newton-Raphson. ................................................. ...................................... 30 5.2.1. Kriteria Berhenti dan Taksiran Kesalahan. .............................. .................................. 31 5.2.2. Jebakan pada Metode Newton-Raphson. .................................... .............................. 31 5.3. Metode Secant. ......................................................... ............................................. 33 5.3.1. Perbedaan Metode Secant dan Regula Falsi................................ .............................. 33 5.4. Akar Ganda. ............................................................ ............................................... 34 Kesulitan yang ditimbulkan oleh akar ganda: .................................... .................................. 35 5.4.1. Metode Modifikasi Newton-Raphson........................................ ................................. 35 5.4.2. Metode Modifikasi Secant. .............................................. ......................................... 35 5.5. Perbandingan Pelbagai Metode. .......................................... ..................................... 36 BAB 6 ELIMINASI GAUSS ........................................................

.......................................... 37 6.1. Matriks................................................................. .................................................. 37 Matriks bujur sangkar........................................................... ............................................. 37 Aturan pengoperasian matriks. .................................................. ........................................ 38 Menyatakan persamaan aljabar linier simultan dalam bentuk matriks. ............. ..................... 39 6.2. Penyelesaian Persamaan yang Sedikit Jumlahnya. ......................... ........................... 40 6.2.1. Metode Grafik........................................................... .............................................. 40 6.2.2. Determinan dan Aturan Cramer. .......................................... .................................... 41 Determinan. .................................................................... ................................................. 41 Aturan Cramer. ................................................................. ................................................ 42 DAFTAR PUSTAKA.................................................................. ............................................... 45 TENTANG PENULIS ................................................................ ............................................... 46 TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM Memahami konsep dasar metode numerik, kelebihan dan kekurangan masing-masing metode numerik dibandingkan dengan metode lainnya, serta ketepatan hasil dan pen erapannya. MATERI Sistem bilangan dan kesalahan numerik: angka signifikan, akurasi dan presisi, definisi kesalahan, kesalahan dan pembulatan, kesalahan pemot ongan. Eliminasi Gauss: penyelesaian persamaan, formulasi eliminasi Gauss, kesalahan metode eliminasi, perbaikan penyelesaian. Metode Gauss-Jordan, algoritma komputer untuk Gauss Jordan. Matriks inversi dan Gauss Seidel. Solusi akar persamaan I: metode grafik, metode biseksi. Solusi akar persamaan II: metode Regula Falsi, metode Regula Falsi modifika si, penelusuran bertingkat dan penentuan nilai awal. Metode iterasi dan Newton-Raphson. Secant dan akar ganda. Regresi Linier: Kriteria nilai terbaik, pencocokan kuadrat terkecil u ntuk sebuah garis lurus, kesalahan regresi linier. Regresi polinomial dan berganda: formulasi regresi polinomial, formulasi regr esi berganda. Interpolasi Linier dan Kuadratik. Interpolasi Newton: polinomial interpolasi Newton, kesalahan polinomial inter polasi Newton. Interpolasi Lagrange. Interpolasi Spline: spline liner, spline kuadratik, spline kubik. Integrasi Newton-Cotes: aturan Trapesium, aturan Simpson, integrasi segmen berbeda, formulasi integrasi terbuka. Solusi diferensial Euler: metode euler, modifikasi dan perbaikan metode euler . Solusi diferensial Range-Kutta: Metode Range-Kutta, Range-Kutta orde 1,2,3. PRASYARAT MATA KULIAH JM1287 Matematika Rekayasa I IF1404 Aljabar Linier dan Matriks

PUSTAKA [CHA1991] Chapra Steven C., Canale Raymond P., Metode Numerik Untuk Teknik: Dengan Penerapan pada Komputer Pribadi, penerjemah: S. Sardy da n pendamping: Lamyarni I.S., Cetakan 1, Universitas Indonesia (UI-Press), Jakar ta, 1991, ISBN: 979-456-0715. [CHA1998] Chapra Steven C., Canale Raymond P., Numerical Methods for Engineer s: With Programming and Software Applications, Third Edition, McGraw-Hill, Inc., Singapore, 1998, ISBN: 0-07-115895-2. [CON1987] Constantinides, Alkis, Applied Numerical Methods with Personal Comp uters, International Edition, McGraw-Hill, Inc., Singapore, 1987, ISBN: 0-07-100 168-9. [NAK1993] Nakamura, Shoichiro, Applied Numerical Methods in C, Intern ational Edition, Prentic-Hall, Inc., USA, 1993, ISBN: 0-13-034349-8. [RAL1978] Ralston, A., and P. Rabinowitz, A First Course in Numerical Analys is, 2d ed., McGraw-Hill, New York, 1978. Prolog

PROLOG Metode Numerik adalah: Teknik dimana masalah matematika diformulasikan s edemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian Aritmetika. Dengan adanya perkembangan komputer sekarang ini, maka kalkulasi Aritmet ika yang banyak dan menjenuhkan bila dikerjakan secara manual aka n menjadi lebih mudah dan menyenangkan. Metode Prakomputer. 3 pendekatan penyelesaian masalah teknik: 1. Menggunakan cara analitis atau eksak. Hanya bisa untuk masalah yang sederha na. 2. Menggunakan grafik. Terbatas untuk 2, 3 dimensi saja. 3. Kalkulator. Kesulitan dalam mengatasi kekeliruan pemakai. Hubungan antara dunia nyata - permasalahan ?penyelesaian. Dunia nyata Model Solusi Dunia nyata Model Masalah

Model (untuk menghemat waktu, biaya, dan mengurangi resiko)

Fisik Matematis

Analisis Simulasi Sehingga MetNum itu sendiri sebenarnya adalah cara penyelesaian Matematis, yang dikembangkan dari cara analisis, dan memasuki wilayah simulasi. Simulasi dilangsungkan den

gan menggunakan media komputer.

1

Metode Numerik ?H. Ary Setyadi

BAB 1 MODEL MATEMATIKA Seperti telah dibahas dalam prolog sebelumnya, model dibuat untuk memud ahkan orang dalam menganalisis suatu permasalahan, disamping untuk m enghemat waktu, biaya, dan juga mengurangi resiko. Dengan adanya sis tem komputer yang demikian canggih saat ini, maka pemodelan ini menjadi lebih mudah dan nyaman dilakukan. Dari sini lahirlah simulasi yang me nggunakan komputer untuk menirukan hal-hal yang ada di dunia nyata, yang dapat d ianalisis, dievaluasi dan didapatkan hasilnya, serta dapat diulangi kapanpun den gan hasil yang sama. 1.1. Model Matematika. Adalah persamaan yang mengungkapkan segi utama sistem/proses fisika dalam istila h matematika. Contoh kita disini adalah hukum Newton II: Laju waktu perubahan mo

mentum sebuah benda sama dengan gaya resultan yang bekerja padanya. F = ma [1.1] Dimana F: gaya total yang bekerja pada benda (dyne atau gr-cm/detik) m: masa benda (gr) a: percepatan (cm/detik2) Arti persamaan 1.1: Menjelaskan suatu proses/sistem alami dalam istilah matematika. Menunjukkan penyederhanaan dari kenyataan. Memberikan hasil-hasil yang dapat ditiru sehingga dapat dipakai untuk tujuan perkiraan. a = F [1.2] m Percepatan sendiri adalah: laju waktu dari perubahan kecepatan (dv/dt), sehingga : m dv = F [1.3] dt Dimana v: kecepatan (cm/detik) Bila gaya (F) positif, benda dipercepat, kalau negatif, maka benda diperlambat, jika 0 maka kecepatan benda akan konstan. Pada gambar 1.1 di atas, FD adalah gaya ke bawah disebabkan tarikan gravitasi. F U adalah gaya ke atas disebabkan gesekan udara. Jika benda jatuh di sekitar permukaan bumi, gaya netto terdiri dari d ua gaya yang berlawanan, yaitu FD dan FU. F = FD + FU [1.4]

m dv = mg ?cv [1.7] dt Jika tiap suku di bagi m, maka dv = g dt c v yang merupakan persamaan diferensial (adanya dv/dt) [1.8] m Solusi eksak dari persamaan penerjun bebas ini (penerjun pada mulanya diam v=0, t=0) adalah: v(t) = gm [1 - e-(c/m) t] c 2 [1.9]

Metode Numerik ?H. Ary Setyadi

Contoh solusi analitis/eksak. Penerjun dengan massa 68.100 gr meloncat dari sebu ah pesawat terbang. Dengan persamaan eksak di atas, hitung kecepatan sebelum pener jun membuka payungnya. Koefisien tahanan/geser c kira-kira besarnya 12.500 gr/d et. V(t) = 980(68.100) 12.500 [1 ?e-(12.500/68.100) t]

= 5.339,0 (1 ?e-0,18355t) yang dapat digunakan untuk menghitung: t (det)v (cm/det)00,0021.640,542.776,963.564,284.109,5104.487,3124.749,0 5.339,0 Dimana dalam bentuk grafik adalah sebagai berikut: Gambar 1.2. Grafik dari hasil perhitungan analitis ( [CHA1998] hal. 15). Sayangnya dalam kenyataan sehari-hari, amat sulit mendapatkan solusi eksak, alte rnatifnya adalah solusi numerik yang mendekati solusi eksak. Dalam kasus penerjun bebas ini, disadari bahwa laju perubahan kecepatan terhadap waktu dapat didekati dengan gambar berikut ini. Gambar 1.3. Grafik penggunaan diferensiasi hingga untuk mengaproksimasi turunan pertama v thd t ([CHA1998] hal. 16). dv v dt t v (t i 1 ) v (t i ) t i 1 t i yang disebut diferensiasi terbagi hingga [1.10] Dimana v = beda kecepatan t = beda waktu v(ti) = kecepatan pada awal ti v(ti+1) = kecepatan beberapa saat ti+1 berikutnya

v (t i 1)

v (t i )

g

c v (t )

yang dapat disusun kembali menjadi: [1.11] t i 1 t i m c v(ti+1) = v(ti) + g m v (t i ) (ti+1 - ti) [1.12] Yaitu: (harga baru v) = (harga lama v )+ (nilai taksiran slope) tu) [1.13]

(interval wak

Contoh solusi numerik. Kasusnya sama dengan untuk solusi eksak di atas , penerjun dengan massa 68.100 gr meloncat dari sebuah pesawat terbang. Koefisien tahanan/geser c kira-kira besarnya 12.500 gr/det. Interval waktun ya = 2 detik. Hitung v(t) nya. Pada saat mulai perhitungan (ti = 0), kecepatan penerjun v(ti) = 0. Pada ti+1 = 2 detik: v(2) = 0 + 980 12.500 (0) 2 68.100 = 1.960 cm/det. Untuk interval berikutnya (dari t = 2 ke 4 detik), perhitungan diulang lagi deng an hasil: v(4) = 1.960 + 980 12.500 (1.960) 2 68.100 = 3.200,5 cm/det. Dan hal ini diteruskan, sehingga didapat: t (det)v (cm/det)00,0021.960,043.200,563.985,684.482,5104.796,9124.995,9 5.339,0 Gambar 1.4. Grafik perbandingan solusi numerik dengan solusi analitis ([CHA1998] hal. 18).

Dengan komputer, hasil perhitungan dengan solusi numerik dapat ditingkat kan ketepatannya dengan cara memperkecil interval waktunya. Setiap pembagian se tengah interval, agar mencapai ketelitian yang lebih baik, mengakibatkan ter jadinya kelipatan jumlah perhitungan. Jadi memang ada trade-off (kompromi) ant ara kecepatan dan upaya perhitungan. Tugas 1. Buatlah makalah berdasarkan dua contoh di atas (solusi analit is/eksak dan solusi numerik/pendekatan), gunakan interval waktu 2, 1, dan 0.5 detik untuk solusi numerik. Makalah harus lengkap, mulai cover, masalah, algori tma, program komputer, evaluasi dan hasilnya. Bab 2 Komputer dan Software

BAB 2 KOMPUTER DAN SOFTWARE Segala hal mengenai komputer dan software, sebenarnya telah dibahas dal am mata kuliah PTI (Pengantar Teknologi Informasi), Bahasa Pemrograman, dan l ain-lain mata kuliah, seperti: Sejarah komputer, sejak jaman mainframe sampai microcomputer dewasa ini. Pengembangan software, meliputi gaya pemrograman (desain algoritma, komposis i program, debugging dan testing, dokumentasi, storage dan maintenance), desain yang bersifat modular, Top-Down Design, pemrograman terstruktur. Jadi hanya dibahas sekilas saja, karena memang sama-sama sudah dimengerti.

BAB 3 APROKSIMASI DAN ROUND-OFF ERROR 3.1. Angka Signifikan.

Gambar 3.1. Speedometer dan Odometer ([CHA1998] hal. 57). Dari gambar diatas, bila dilihat maka dari speedometer menunjukkan mobi l berjalan dengan kecepatan 48 atau 49 km/jam. Mungkin lebih tepatnya sekita 49 km/jam. Jika diinginkan 1 angka dibelakang koma, maka kita masih bisa memperkir akan kira-kira nilainya 48,7 atau mungkin 48,8 km/jam. Adanya keterbatasan speedometer tadi menyebabkan kita tak dapat memastikan, berarti menduga saja, untuk digit ketiga (digit kedua di belakang koma). Jadi me nggelikan sekali kalo dapat diperkirakan bahwa kecepatan mobil itu 48,8642138 km /jam. Angka signifikan atau digit menyatakan suatu keandalan sebuah nilai numerik. Ban yaknya angka signifikan adalah banyaknya digit tertentu yang dapat meyakinkan ki ta. Untuk speedometer di atas, maka mengandung taksiran 3 angka signifikan. Odometer memiliki taksiran 7 angka signifikan. Beberapa angka 0 tak selamanya angka signifikan, karena mereka diperlak ukan sekedar menempatkan sebuah titik desimal. Jadi bilangan-bilangan 0,00001845 lalu 0,0001845 lalu 0,001845 semuanya memiliki 4 angka signifikan. Jika beberapa angka 0 dipakai di bagian ekor suatu bilangan, tak jelas berapa ba nyaknya 0

itu yang signifikan. Misal: 45,300 dapat memiliki 3, 4, atau 5 buah digit signifikan tergantung apakah harga 0 itu telah diketahui dengan p asti. Ketidakpastian itu dapat diselesaikan dengan memakai notasi ilmiah di mana 4,53 104 atau 4,530 104 dan 4,5300 104 menandakan bahwa angka-angk a tersebut memiliki 3, 4, dan 5 angka signifikan. Implikasi dari angka signifikan: MetNum mengandung hasil pendekatan. Keyakinannya ditentukan oleh angka signif ikan. Pernyataan secara eksak besaran-besaran yang signifikan seperti , di batasi oleh tipe data yang dapat disimpan oleh komputer sampai sejumlah digit tertentu, selebihnya diabaikan. Pengabaian ini dinamakan dengan kesal ahan pembulatan (round-off error). 3.2. Akurasi dan Presisi. Akurasi mengacu pada seberapa dekat angka pendekatan/pengukuran terhadap harga s ebenarnya. Presisi mengacu pada: Jumlah angka signifikan yang menyatakan suatu besaran Penyebaran dari nilai-nilai yang terbaca dari suatu alat ukur.

6

Metode Numerik ?H. Ary Setyadi

Gambar 3.2. Gambaran presisi dan akurasi ([CHA1998] hal. 59). 3.3. Definisi Error (Kesalahan). Timbul dari penggunaan aproksimasi. Meliputi 2 hal, yaitu: Kesalahan pemotongan (truncation error), dihasilkan sewaktu aproksimasi digun akan untuk menyatakan suatu prosedur matematika eksak. Kesalahan pembulatan (round-off error), dihasilkan bila angka-angka ap roksimasi dipakai untuk menyatakan angka-angka eksak. Harga sebenarnya = aproksimasi + error [3.1] Et = harga sebenarnya ?aproksimasi [3.2] Dimana Et = harga pasti error, d engan t berarti true. Bila besaran diperhitungkan dengan menormalisasikan error terhadap harga sebenar nya: Kesalahan relatif fraksional = Bila dinyatakan dalam persentase: kesalahan h arg a sebenarnya t = error

sebenarnya 100% [3.3] h arg a sebenarnya Dimana t = error relatif persen sebenarnya Contoh perhitungan error. Terdapat tugas untuk mengukur panjang sebuah jembatan dan sebuah paku keling. Didapat harga 9.999 dan 9 cm. Kalau harga sebe narnya adalah 10.000 dan 10 cm, maka hitunglah (a) error (b) error relatif perse n, untuk setiap kasus. (a) Untuk jembatan Et = 10.000 ?9.999 = 1 cm Untuk paku keling Et = 10 ?9 = 1 cm 1 (b) Untuk jembatan t = 10.000 1 100% = 0,01% Untuk paku keling t = 10 100% = 10% Jadi walau sama-sama error 1 cm, tapi pengukuran dikatakan lebih baik untuk jemb atan. Terdapat notasi Et dan t (dimana t berarti true, menandakan bahwa error diapr oksimasi terhadap harga sebenarnya), tapi dalam kenyataannya, amat jarang kita bisa mengetahui harga sesungguhnya ini (bisa juga, kalau digunakan fungsi yang dapat diselesaikan secara analitis). Apalagi dalam kenyataan sehari-hari, sulit sekali mengetahui nilai eksak dalam pelbagai kasus. Maka dari itu terdapat alternatif untuk menormalisasi error dengan menggunakan t aksiran terbaik dari harga sebenarnya, yaitu: error aproksimasi a = aproksimasi 100% [3.4] dengan a menandakan aproksimasi. Taksiran kesalahan ditentukan tanpa pengetahuan mengenai harga sebenarnya. Misal nya MetNum tertentu memakai pendekatan iterasi untuk menghitung jawaban. Maka aproksimasinya dibuat berdasarkan suatu aproksimasi sebelumnya, dan prose s ini dilakukan secara berulang.

a = aproksimasi sekarang aproksimasi sebelumnya 100% [3.5] aproksimasi sekarang Proses iterasi/perulangan akan berakhir tu persentase toleransi praspesifikasi. a < s [3.6]

pada

suatu

nilai

s,

yai

Hubungan error dengan jumlah angka signifikan. Jika kriteria berikut dipenuhi, d apat dijamin bahwa hasilnya adalah betul hingga sekurang-kurangnya n angka signi fikan [Scarborough, 1966]: s = (0,5) 102 - n) % [3.7]

Contoh taksiran error untuk metode iterasi. Fungsi eksponensial dapat dihitung d engan: ex = 1 + x + x 2! x 3 x 4 3! 4! + ?(contoh perluasan deret MacLaurin) [C3.2.1] Semakin banyak suku yang ditambahkan dalam deret, aproksimasi akan lebih baik. H arga sebenarnya dari e0,5 = 1,648721271. Suku pertama: ex = 1, lalu dilanjutkan dengan suku-suku berikutnya. Hasil diatur agar sekurang-kurangnya memiliki 3 angka signifikan: s = (0,5) 102 - 3) % = 0,5% Dimulai dengan ex 1 + x, untuk x = 0,5 e0,5 1 + 0,5 = 1,5 1,648721271 1,5 t = 1,648721271 1,5 1 100% = 9,02% a = 1,5 100% = 33,3% Ternyata a s maka komputasi dilanjutkan dengan menambahkan suku lainnya x2/2!, dan akan terus dilanjutkan sampai a < s.

Ternyata cuma butuh 6 suku saja, sehingga kesalahan taksiran kurang dari s = 0 ,5%. Dan juga didapatkan bahwa hasilnya akurat sampai 5 angka signifikan (tidak hanya 3). 3.4. Round-Off Error (Kesalahan Pembulatan). Komputer hanya dapat menyimpan sejumlah tertentu angka signifikan selama kalkula si. Contoh = 3,141592 dengan mengabaikan suku-suku yang lainnya Et = 0,0000 0065?Nama teknik penyimpanan ini adalah chopping, jadi tergantung pada t ipe data yang digunakan. Cara yang paling gampang adalah cukup mengambil digit bilangan sesuai dengan mak simal tipe datanya, dan ini sering dilakukan. Cara lain adalah dengan m emperhitungkan juga pada digit selanjutnya setelah dipotong. Apakah perlu dibulatkan ataukah tidak, tapi cara ini memperlama waktu komputasi. Maka cara pertama yang biasanya diambil, yaitu chopping sederha na. 3.4.1. Cara Meminimalkan Round-Off Error. Efek round-off error dapat diminimalkan dengan mengubah algoritma komputasional, walaupun ini juga harus melihat kasus demi kasus. Beberapa strategi yang bergun a adalah: 1. Membuat tipe datanya menjadi double precision [McCracken]. 2. Grouping. 3. Perluasan deret Taylor. 4. Mengubah definisi variabel.

5. n.

Menuliskan kembali persamaan yang dapat mencegahnya dari operasi penguranga

Contoh kasus. Kalikan 0,00001 sebanyak 10000 kali dan tambahkan ke bilangan 1.0.

Di bawah ini diperlihatkan kode asal program dalam bahasa C: /*Summation by Single Precision sum_singl.c*/ #include main () { float sum = 1.0; int i; for (i=1; i ? B C D E K L M N P y aa /h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph+h?0@?B*CJEHOJQJ^ ????????????????????????? mW W W W C W C W'h?0@?B*CJOJQJ^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^Ja ^JaJph#h?0B*CJOJQJ^JaJph+h?0@ B*CJEHOJQJ^JaJph+h?0B*CJEHOJQJRHc^JaJph+h?0@ B*CJEH !!! ! oWA-A'h?0B*CJEHOJQJ^JaJph+h?0B*CJEHOJQJRHc^JaJph/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph +h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0B*CJOJQJRHc^JaJph

!!!!!!!!!!????????? }gS}?S'h?0@ B*CJOJQJ^JaJph'h?0B*CJOJQJRHc^JaJph+h?0@?B*CJ HOJQJ^JaJph+h?0B*CJEHOJQJRHc^JaJph/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph?????????????????????????? ?0@?B*CJOJQJ^JaJph'h?0@?B*CJOJQJ^JaJph#h?0B*CJOJQJ^JaJph'h?0B*CJOJQJRHc^JaJph+h?0@?B*CJOJQJ "y"~" " "?????? m m Y mA Y/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph'h?0B*CJEHOJQJ^JaJph/h J^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0B*CJOJQJRHc^JaJph????????????????????????? w JEHOJQJ^JaJph+h?0@?B*CJEHOJQJ^JaJph/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJ #####^#_#a# o oo YE?'h?0@ B*CJOJQJ^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph+h?0@?B*C JRHc^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph#h?0B*CJOJQJ^JaJpha#b#g#h#i#j#k#l#p#q#v#w#x#y#{# #}#~# # /h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph+h?0@?B*CJEHOJQJ^JaJph/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph+h?0@ B*CJE ?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph#h?0B*CJOJQJ^JaJph????????????????????????????? qYY Yq JRHc^JaJphjh?0U mHnHu #h?0B*CJOJQJ^JaJph+h?0@ B*CJEHOJQJ^JaJph+h?0B*CJEHOJQJRHc^JaJph+h?0 0@?B*CJOJQJRHc^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0B*CJOJQJRHc^JaJphjh?0U mHnHu #h?0B*CJOJQJ^JaJph JEHOJQJRHc^JaJph+h?0B*CJEHOJQJRHc^JaJph/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJphV$W$?W%?T&?)'?#(????? d1$7$8$H$] ^ ?L ?1$7$8$H$] ^ d1$7$8$H$] ^ ?1$7$8$H$] ^ d1$7$8$H$] ^ ?L ?1$7$8$H$] ^ ?L ?@1$7$8$H$] ^? ?L d?1$7$8$H$] ^ d$e$f$g$h$i$j$k$l$m$n$???????????S%T%V%W% oYCo+ *CJOJQJRHc^JaJph#h?0B*CJOJQJ^JaJph'h?0B*CJOJQJRHc^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph+h?0@?B*CJOJ %e%f%g%j%k%l%m%????? u_M9'h?0B*CJOJQJRHc^JaJph#h?0B*CJOJQJ^JaJph+h?0@ B*CJE B*CJEHOJQJRHc^JaJph'h?0B*CJEHOJQJ^JaJph/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph+h?0B*CJEHOJQJRHc^J &X&[& qYqY/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph+h?0B*CJEHOJQJRHc^JaJph'h?0@ B *CJOJQJRHc^JaJph[&\&]&^&_&`&a&c&g&h&i&j&k&m&n&o&p&q&u&v&w&x&~& & &?????????????? HOJQJ^JaJph+h?0B*CJEHOJQJRHc^JaJph/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJ ????? k kk kk k k U k?+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0B*C JRHc^JaJph+h?0@ B*CJEHOJQJ^JaJph!???????????????%'&'(')'.'/'0'1'2'3'7'8':' ?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0B*CJOJQJRHc^JaJph#h?0B*CJOJQJ^JaJph+h?0@?B

?'??????? oWA-'h?0B*CJEHOJQJ^JaJph+h?0B*CJEHOJQJRHc^JaJph/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^ ?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0@?B*CJOJQJ^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph??? ????( ("(#( ycQ#h?0B*CJOJQJ^JaJph+h?0@ B*CJEHOJQJ^JaJph+h?0@ JaJph#($(%(&('(+(,(-(.(/(?????????? oYAY/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph+h?0B*CJEH JaJph'h?0@ B*CJOJQJ^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0B*CJOJQJRHc^J

?1$7$8$H$] ^ ^?a$d$?1$7$8$H$ ^ n ?d?1$7$8$H$] ^^ n` ? F ?1$7$8$H$] ^ F ?d?1$7$8$H$] ^? ??1$7$8$H$] ^? d1$7$8$H$] ^ ?1$7$8$H$] ^ ??????()))+),).)/)0)2) ygS='S+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph+h?0@?B* JQJ^JaJph/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph+h?0@ B*CJEHOJQJ^JaJph+h?0@ B*CJEHOJQJ^JaJph/h 2)3)4)5)6)7)9):)??????? oaK3/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph+h?0B*CJEHOJQJRHc^JaJphjh ^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0@?B*CJOJQJ^Ja 2*4*5* ww_M8)h?05B*CJOJQJ\^JaJph#h?0B*CJOJQJ^JaJph/h?0@ B*CJEHOJQJRHc^JaJph+ JaJph+h?0B*CJEHOJQJRHc^JaJph/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph5*6*7*8*@*B*I*L*M*N*O*Q*R*S*V*W*Y B*CJOJQJ^JaJph#h?0B*CJOJQJ^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0@?B*CJOJQJ^ B*CJOJQJ^JaJph)h?05B*CJOJQJ\^JaJph-h?05@?B*CJOJQJ\^JaJphb*c*d*e*f*g*h*k*n*o*q*s*w*x*y*z*{* ???????? s#h?0B*CJOJQJ^JaJph'h?0@?B*CJOJQJ^JaJph ????????????????????????????????? ?)h?05 ++ ++++++++++++ o ]I o o ]5 o?'h?0@ B*CJOJQJ^JaJph'h?0@ B*CJOJQJ^JaJph#h?0B*CJOJQJ^Ja H`^JaJph#h?0B*CJOJQJ^JaJph)h?05B*CJOJQJ\^JaJph-h?05@?B*CJOJQJ\^JaJph+++ +!+"+#+$+%+&+'+(+*+ B+G+I+J+Q+S+T+W+Y+Z+b+d+e+g+h+i+o+p+q+r+ qqqq ?'h?0@ Jph#h?0B*CJOJQJ^JaJph,r+s+t+u+v+x+y+z+{+ +}+~+ + +??????????????????????????????????????? 0@?B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0B*CJOJQJRHc^JaJph4+?2,q,??V- -?.z.?????~??jW ?d 1$7$8$H$] ^? _ n ?$7$8$H$] _^ n` ? ` n ?d?1$7$8$H$] `^ n` ? ?1$7$8$H$] ^? ?d1$7$8$H$] ^? ?d1$7$8$H$] ^? a n ?d?1$7$8$H$] a^ n` ? ` n ?d?1$7$8$H$] `^ n` ? ????????????????????????????????????? q q ] ] ]'h?0@ B*CJOJQJ^J JRHc^JaJph'h?0@ B*CJOJQJ^JaJph#h?0B*CJOJQJ^JaJph$?+,,,,,,,,,,, ,!,",#,$,&,(,/,0,1,2,4,5, , ?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0@ B*CJOJQJ^JaJph#h?0B*CJOJQJ^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0B* ,C,D,G,H,I,J,M,N,R,S,T,U,V,X,Y,[,\,],_,`,a,b,c,d,e,f,h,i,j,k,n,o,p, ?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph+h?0B*CJEHOJQJRHc^JaJph)p,q,s,t,{, ,???????????????????? 'h?0B*CJOJQJRH`^JaJph/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph'h?0B*CJEHOJQJ^JaJph+h?0B*CJEHOJQJRHc^J Jph#h?0B*CJOJQJ^JaJph????????????????????????????????????? q h#h?0B*CJOJQJ^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0B*CJOJQJRHc^JaJph$???????????????????????--?0@?B*CJOJQJ^JaJph'h?0@ B*CJOJQJ^JaJph#h?0B*CJOJQJ^JaJph'h?0B*CJOJQJRHc^JaJph+h?0@?B*CJO $-%-.-/-2-3-4-5-9-:-;--?-@-A-B-C-D-E-F-G-H-I-J-M-N-P-S-T-U-V-X-Y- B*CJOJQJ^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0@?B*CJOJQJ^JaJph'h?0B*CJOJQJRHc^JaJph#Y-_-`-g-h-k???????????????? }gQ?+h?0@?B*CJEHOJQJ^JaJph+h?0@?B*CJEHOJQJ^J JEHOJQJ^JaJph+h?0B*CJEHOJQJRHc^JaJph????????????????????????? mYmYmYmYm Cm?+h Jph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0@?B*CJOJQJ^JaJph'h?0B*CJOJQJRH`^JaJph#h?0B*CJOJQJ^JaJph/h?0@? Hc^JaJph???????????????????????????????????.. q ] ] ]'h?0@ B* ?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0@ B*CJOJQJ^JaJph$.... . . ... ........&.'.1.2.5.6.=.>.?.@. m m m U m/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJph'h?0B*CJEH JQJ^JaJph+h?0@?B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0B*CJOJQJRHc^JaJph@.A.I.J.Q.R.].^._.g.h.o.p.y.z. .}.???? B*CJEHOJQJRH`^JaJph'h?0B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0@?B*CJOJQJ^JaJph'h?0B*CJOJQJRH`^JaJph#h?0B*CJ HOJQJRHc^JaJph/h?0@?B*CJEHOJQJRHc^JaJphz.??/\/?,0{0 0?????????????k

?? ?d1$7$8$H$] ^? ?? ??1$7$8$H$] ^? 1$7$8$H$] ^ d$?1$7$8$H$ ?d 1$7$8$H$] ^? ^ n ?$7$8$H$] ^^ n` ? ?d1$7$8$H$] ^? ?1$7$8$H$] ^????????????????????????????/// /// kW W?'h?0B*CJOJQJRHc^JaJph'h?0@?B*CJOJQJ^JaJph'h?0B*CJOJQJRH` c^JaJph ///%/&/-/./4/5/;/*@ CJOJQJ^JaJ!h?0>*@ CJOJQJ^JaJh?0>*CJOJQJ^JaJ"h?0@?CJ EH?OJQJ^JaJ h?0@?CJOJQJ^JaJh?0@?CJOJQJ^JaJh?0CJOJQJ^JaJh?0CJEH?OJQJ^JaJ"h?0@ CJEH?OJQJ^JaJ"h?0@?CJEH I?U?f?g????????yyyhh du?1$7$8$H$] du?1$7$8$H$] du?1$7$8$H$] ^ ?1$7$8$H$] $? d?1$7$8$H$]?^ a$ ?T(?D? dj1$7$8$H$] ?1$7$8$H$] ^ dw1$7$8$H$] ???? ?!?"?$?&?'?*?+?,?-?.? kYG7h?0CJEH?OJQJ^Ja EHOJQJ^JaJ"h?0@ CJEH?OJQJ^JaJ"h?0CJEH?OJQJRH_^JaJh?0CJOJQJ^JaJh?0>*CJOJQJ^JaJ!h?0>*@ CJ ????@?A?B?C?D?E? vd R@?"h?0@ CJEH?OJQJ^JaJ"h?0@ CJEH?OJQJ^JaJ"h?0@ C ?OJQJ^JaJh?0CJOJQJ^JaJ"h?0CJEH?OJQJRH_^JaJ"h?0@?CJEH?OJQJ^JaJE?F?G?H?J?K?L?M?N?O?P?Q?R?S?T? J"h?0@?CJEH?OJQJ^JaJ"h?0@ CJEH?OJQJ^JaJ"h?0@ CJEH?OJQJ^JaJ"h?0@ CJEH?OJQJ^JaJ"h?0CJEH ?0CJEH?OJQJRH_^JaJ"h?0@?CJEH?OJQJ^JaJh?0CJEH?OJQJ^JaJW?X?Y?Z?[?\?]?^?_?`?a?b?d?e?g? t 0@?CJEH?OJQJ^JaJ"h?0@ CJEH?OJQJ^JaJ"h?0CJEH?OJQJRH_^JaJ"h?0@ CJEH?OJQJ^JaJ"h?0@ CJEH? OJQJ^JaJ"h?0@?CJEH?OJQJ^JaJh?0CJEH?OJQJ^JaJg?h?l?m?n?s?x?y? ? ? 0>*@ CJOJQJ^JaJh?0>*CJOJQJ^JaJh?0CJOJQJ^JaJ"h?0@?CJ EH?OJQJ^JaJ h?0@?CJOJQJ^JaJh?0@?CJOJQJ^JaJg?r? ???????~qbq dw1$7$8$H$] d?1$7$ d~1$7$8$H$] ^ ?1$7$8$H$] ^ 1$7$8$H$] d`?1$7$8$H$$? ? d?1$7$8$H$]? ^? a$ ?0 ? ? dj1$7$8$H$] ?1$7$8$H$] ^ z g z UC1"h?0@?CJEH?OJQJ^J EH OJQJRHc^JaJ h?0@?CJOJQJ^JaJh?0CJOJQJ^JaJh?0CJOJQJ^JaJh?0CJOJQJ^JaJh?0CJEHOJQJ^JaJ Jh?0OJQJ^Jh?0CJOJQJ^JaJ"h?0CJEH?OJQJRH_^JaJ JQJRH_^JaJ"h?0@ CJEH?OJQJ^JaJ*?.??????????? k$ ? ?1$7$8$H$] ^ a$ ?T< ?@? dj1$7$8$H$] 1$7$8$H$] ^ d81$7$8$H$dt?1$7$8$H$ ?1$7$8$H$] ^ dw1$7$8$H$] d?1$7$8$H$ dw1$7$8$H$] @?CJEH?OJQJ^JaJh?0CJEH?OJQJ^JaJ ??? ?? ?????"?#?)?*?+?,?.? p^L?"h?0@ CJEH?OJQJ^JaJ"h?0CJEH?OJQJRH_^JaJ!h?0>*@ ?CJ EH?OJQJ^JaJ h?0@?CJOJQJ^JaJh?0@?CJOJQJ^JaJ.?/?0?1?2?3?4?5?6?7?8?9?:?;?