13/02/2014 9:17 1

Aljabar Linear Elementer

MA1223

3 SKS

Silabus :

Bab I Matriks dan Operasinya

Bab II Determinan Matriks

Bab III Sistem Persamaan Linear

Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang

Bab V Ruang Vektor

Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam

Bab VII Transformasi Linear

Bab VIII Ruang Eigen

13/02/2014 9:17 2

Determinan Matriks

Sub Pokok Bahasan

– Permutasi dan Determinan Matriks

– Determinan dengan OBE

– Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Beberapa Aplikasi Determinan

Solusi SPL

Optimasi

Model Ekonomi

dan lain-lain.

13/02/2014 9:17 3

Permutasi dan Definisi Determinan Matriks

Permutasi susunan yang mungkin dibuat dengan

memperhatikan urutan

Contoh :

Permutasi dari {1, 2, 3} adalah

(1,2,3), (1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)

Invers dalam Permutasi

Jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan

yang lebih kecil dalam urutan permutasi

13/02/2014 9:17 4

Permutasi Genap Jumlah invers adalah bil. genap

Permutasi Ganjil Jumlah invers adalah bil. ganjil

Contoh :

Jumlah invers pada permutasi dari {1, 2, 3}

(1,2,3) 0 + 0 = 0 genap

(1,3,2) 0 + 1 = 1 ganjil

(2,1,3) 1 + 0 = 1 ganjil

(2,3,1) 1 + 1 = 2 genap

(3,1,2) 2 + 0 = 2 genap

(3,2,1) 2 + 1 = 3 ganjil Bilangan yang lebih dari 3: 2 dan 12, yang lebih dari 2: 11

13/02/2014 9:17 5

Definisi Determinan Matriks

Hasil kali elementer A hasilkali n buah unsur A tanpa ada pengambilan unsur dari baris/kolom yang sama.

Contoh :

Ada 6 (3!) hasil kali elementer dari matriks A, yaitu:

a11 a22 a33, a11 a23 a32 , a12 a21 a33 , a12 a23 a31 , a13 a21 a32 , a13 a22 a31

Perhatikan angka kedua saja, misal: a12 a23 a31 (2,3,1)

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

11

21111

11111

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

13/02/2014 9:17 6

Hasil kali elementer bertanda

a11 a22 a33

– a11 a23 a32

– a12 a21 a33

a12 a23 a31

a13 a21 a32

– a13 a22 a31

Jadi, Misalkan Anxn maka determinan dari matriks A

didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali

elementer bertanda matriks tersebut.

Notasi : Det(A) atau |A|

Perhatikan…

Tanda (+/-) muncul sesuai hasil

klasifikasi permutasi indeks kolom,

yaitu : jika genap + (positif)

jika ganjil - (negatif)

13/02/2014 9:17 MA-1223 Aljabar Linear 7

Contoh :

Tentukan Determinan matriks

Jawab :

Menurut definisi :

Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 +

a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31

atau

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

2331

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

A

13/02/2014 9:17 8

Contoh :

Tentukan determinan matriks

Jawab :

122

011

123

B

122

011

123

det

B

)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3(

202203

1

22

11

23

13/02/2014 9:17 9

Menghitung Determinan dengan OBE

Perhatikan :

a.

b.

c.

330

21

det

45

987

054

001

det

24

600

540

321

Dengan mudah…

Karena hasil kali elementer bertanda

selain unsur diagonal adalah nol

Det(A) =

Hasilkali unsur diagonal?

Hitung Det.

Matriks Bukan

Segitiga???

13/02/2014 9:17 10

Perlu OBE untuk menentukan determinan

suatu matriks yang bukan segitiga.

Caranya :

Matriks bujur sangkar ~ OBE ~ matriks segitiga

Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan

suatu matriks, yaitu :

1. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali

pertukaran baris maka Det (B) = - Det (A)

Contoh :

maka

11

12A 3A

12

11B

12

11B A3

13/02/2014 9:17 11

2. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan

mengalikan satu baris dengan konstanta k, maka

Det (B) = kDet (A)

Contoh :

dan

maka

11

12A 3A

22

12B

22

12B 62

11

122

A

13/02/2014 9:17 12

3. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan

perkalian sebuah baris dengan konstanta

tak nol k lalu dijumlahkan pada baris lain

maka Det (B) = Det (A)

Contoh 3 :

Perhatikan

62

31A 12A

62

31

120

31

12-

OBE yang dilakukan pada matriks

tersebut adalah –2b1 + b2

13/02/2014 9:17 13

Contoh 3 :

Tentukan determinan matriks berikut :

Jawab :

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

2-kedan 1-ke baris pertukaran

2 1 0

0 1 2

1 2 1

13/02/2014 9:17 14

= 4 (hasil perkalian semua unsur diagonalnya)

212

2 1 0

2- 3- 0

1 2 1

bbA

3-kedan 2-ke baris Pertukaran

2- 3- 0

2 1 0

1 2 1

323

4 0 0

2 1 0

1 2 1

bb

13/02/2014 9:17 15

Determinan dengan ekspansi kofaktor

Misalkan

Beberapa definisi yang perlu diketahui :

• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A

dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j

matriks A.

Contoh :

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

:::

...

...

21

22221

11211

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A 1

1 0

2 1

maka 13 M

13/02/2014 9:17 MA-1223 Aljabar Linear 16

• Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij

Contoh :

maka

= (– 1)3 .2

= – 2

2 1

0 1 1

12

12

C

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

13/02/2014 9:17 17

Secara umum, cara menghitung determinan dengan

ekspansi kofaktor :

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang

baris ke-i

det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang

kolom ke-j

det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cjn

Contoh 6 :

Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

13/02/2014 9:17 18

Jawab :

Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3

= a31 C31 + a32 C32 + . . . + a3n C3n

= 0 – 2 + 6

= 4

3

1

33)det(

j

jjcaA

23)1(10 1 1

0 2 33)1(2 2 1

1 2

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

13/02/2014 9:17 19

Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor

sepanjang kolom ke-3

= a13 C13 + a23 C23 + . . . + an3 Cn3

= 0 – 2 + 6

= 4

3

1

33)det(i

ii caA

32)1(10 1 0

1 2 33)1(2 2 1

1 2

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

13/02/2014 9:17 20

Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij,

maka

dinamakan matriks kofaktor A.

Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A,

notasi adj(A).

nnnn

n

n

CCC

CCC

CCC

C

22

12221

11211

TCAadj )(

nnnn

n

n

CCC

CCC

CCC

21

12212

12111

13/02/2014 9:17 21

Misalkan A punya invers

maka

A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) 0.

Beberapa sifat determinan matriks adalah :

1. Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka

det (A) = det (At)

2. Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran sama, maka :

det (A) det (B) = det (AB)

3. Jika A mempunyai invers maka :

)()det(

11 AadjA

A

)det(

1)det( 1

AA

13/02/2014 9:17 22

Contoh :

Diketahui

Tentukan matriks adjoin A

Jawab :

Perhatikan bahwa

1 2 0

0 1- 1

1 0 1

A

112

01)1( 11

11

c 110

01)1( 21

12 c 220

11)1( 31

13

c

.1dan,1,1,2,1,2 333231232221 cccccc

13/02/2014 9:17 23

Sehingga matriks kofaktor dari A :

Maka matriks Adjoin dari A adalah :

1- 1 1

2- 1 2

2 1- 1-

C

1- 2- 2

1 1 1-

1 2 1-

)( TCAadj

13/02/2014 9:17 24

Latihan Bab 2

1. Tentukan determinan matriks dengan

OBE dan ekspansi kofaktor

dan

2. Diketahui :

dan

Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)

211

121

112

P

144

010

023

Q

200

043

012

A

105

217

311

B

13/02/2014 9:17 25

3. Diketahui :

Tentukan k jika det (D) = 29

4. Diketahui matriks

Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A.

Tentukan nilai

43

101

51

k

k

D

543

012

001

A

BA

BAx

tdet

5det2det 2