RINGKASAN MATERI

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

Disusun Oleh :

Ahmad Asif Qolbi (4611412026)

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA

JURUSAN ILMU KOMPUTER

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2013

Matriks

Susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun dalam baris dan kolom.

Bentuk umum matriks :

A =

( ) adalah elemen baris pertama

adalah elemen kolom ke-2

ij adalah elemen baris ke-I dan kolom ke-j

- Matriks yang tediri M baris dan N kolom punya ordo m x n

- Matriks yang berordo sama disebut matriks persegi

Kesamaan 2 matriks :

2 matriks disebut sama jika memiliki ordo yang sama dan elemen yang letaknya sama. Contoh :

A =

A = B

B =

PENJUMLAHAN MATRIKS

2 buah matriks A dan B dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Jumlah 2 buah matriks A dan B

ialah matriks C yang ordonya sama dengan ordo matriks A dan matriks B sedangkan elemen-

elemen yang seletak dijumlahkan.

A = B = C =

A + B = B + C = tidak bisa

Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika A adalah suatu matriks dan k suatu skalar maka hasil kali kA adalah matriks yang

diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen dari A oleh k.

Contoh : 2C = 2 =

Perkalian 2 Buah Matriks

Hasil kali 2 matriks yaitu matriks A berordo m x n dan matriks B n x p didefinisikan

matriks C berordo m x p

Cij = ik bkj

Amxn Bnxp = Cmxp

Jumlah baris matriks pertama = jumlah kolom matriks ke-2

Contoh :

BC =

=

Sifat-sifat Matriks :

Misalkan ordo matriks – matriks tersebut memenuhi syarat agar operasi-operasi berikut

terdefinisi, maka berlaku :

1. A + B = B + A (hukum Komutatif)

2. A + (B + C) = (A + B) + C (hukum Asosiatif)

3. K (A + B) = kA + kB ; k skalar ; k є ʀ

4. (k + l) A = kA + lA ; k,l scalar ; k,l є ʀ

5. (k l) A = k (l A) ; k,l scalar ; k,l є ʀ

6. K (AB) = (kA) B = A (kB) ; k scalar ; k є ʀ

7. A (BC) = (AB) C (hukum Asosiatif)

8. A (B+C) = (AB + AC) (hokum Distributif)

9. (A + B) C = AC + BC (hokum Distributif)

Contoh sifat matriks :

A = B = C =

1. A + B = B + A

A + B = + =

B + A = + =

2. A + (B + C) = (A + B) + C

A + (B + C) = + + = + =

(A + B) + C = + + = + =

3. K (A + B) = kA + kB

K (A + B) = 2 + = 2 =

kA + kB = 2 + 2 = + =

4. (k + l) A = kA + lA

(k + l) A = (2 + 3) . = 5 . =

kA + lA = 2. + 3. =

5. (k l) A = k (l A)

(k l) A = (2.3) = 6. =

k (l A) = 2. 3 = 2 =

6. K (AB) = (kA) B = A (kB)

K (AB) = 2 = 2 =

(kA) B = 2 = =

A (kB) = . 2 = . =

7. A (BC) = (AB) C

A (BC) = . = . =

(AB) C = . = . =

8. A (B+C) = (AB + AC)

A (B+C) = + = . =

(AB + AC)= . + . = + =

9. (A + B) C = AC + BC

(A + B) C = + . = . =

AC + BC = . + . = + =

Transpose Matriks

Definisi: Jika A adalah suatu matriks berukuran mxn maka transpose matriks A ditulis At atau A

I

didefinisikan sebagai matriks mxn dengan kolom ke-I diperoleh dari baris ke-I dalam A untuk

semua i =1,2,3,…,m

Contoh

A = At =

Sifat-sifat matriks transpose :

1. (A+B)t = A

t + B

t

2. (kA)t = k(A

t)

3. (AB)t = B

t A

t

4. (At)t = A

Contoh :

Diketahui :

A = B =

1. (A+B)t= A

t + B

t =

= =

= =

(A+B)t= A

t + B

t (terbukti)

2. (kA)t = k(A

t), misal k=2,

(kA)t = k(A

t) (terbukti)

3. (AB)t = B

t A

t

4. (At)t = A

Macam – macam matriks

1. Matriks Nol : matriks yang semua elemennya nol.

Contoh :

A =

2. Matriks Satuan / Identitas : matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya adalah

satu dan elemen lainnya Nol.

Contoh :

A = At = A = A

t

3. Matriks Diagonal : matriks yang semua elemen di luar diagonal utamanya Nol sedangkan

elemen-elemen diagonal elemennya tidak semua Nol.

Contoh :

A =

4. Matriks Segitiga Atas: matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama

bernilai Nol.

Contoh :

A =

5. Matriks Segitiga Bawah : matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utama

bernilai Nol.

Contoh :

A =

6. Matriks Eselon

Matriks yang memenuhi matriks berikut :

a. Jika ada baris Nol maka letaknya di bawah

b. Jika suatu baris tak Nol maka elemen tak Nol pertama adalah satu, satu ini disebut satu

utama/satu pemuka/leading entry

c. Satu utama pada baris yang lebih awal, terletak pada kolom awal pula.

Contoh :

A =

7. Matriks Eselon Tereduksi

Yaitu matriks eselon yang pada setiap kolom yang memuat satu utama maka elemen lainnya

Nol.

A =

Satu utama

Operasi Baris Elementer (OBE)

Misalnya pada suatu matriks dilakukan operasi-operasi sebagai berikut :

1. Saling menukar dua baris

Misalnya menukar baris ke-i dengan baris ke- j

2. Mengalikan baris dengan bilangan real tak Nol

Misalnya mengalikan baris ke- I dengan scalar k, k≠ 0

3. Menambahkan suatu baris di atas disebut operasi baris Elementer (OBE) dan berturut-

turut dinyatakan dengan :

a. Rij

b. Rj(k)

c. Rij(k)

Contoh 1:

~ ~ ~ ~ ~

Contoh 2:

Ubahlah matriks berikut menjadi matriks eselon tereduksi :

A =

Penyelesaian :

~

~ ~ ~

~ ~

R12 R2(-1) R13(-2) R23(1) R23(4) R13(-2)

R12(-1) R21(-2)

R31(5)

R2(-1/4)

)

R32(31)

R12(-5)

R3(7/27) R23(2/7)

R13(4/7)

Soal :

1. Ubahlah matriks berikut menjadi matriks eselon :

a. A =

b. B =

c. C =

2. Ubahlah matriks berikut menjadi matriks

a. D =

b. E =

c. F =

Penyelesaian :

1. a. A = ~

b. B = ~

c. C = ~ ~ ~

~

R21(-2)

R2(1/2)

R31(-7) R21(-1)

R32(10) R21(-1)

R2(1/4)

R3(-4/106)

2. a. D = ~ ~ ~ ~

b. E = ~ ~ ~

c. F = ~ ~ ~ ~

~

R1(1/2) R21(-1)

R21(-4)-

44444

44) R21(-1)

R2(1/9) R12(-7/2)

R21(-3) R31(-2) R23(1)

R21(-1)

R12(-2)

R13

R21(-1)

R12(-5) R31(-2) R32(11)

R21(-1)

R3(1/21) R21(-1)

R13(9) R21(-1)

R23(-3)

Matriks Elementer

Definisi : matriks identitas yang dikenai satu kali OBE

Contoh :

I3 = E23 =

Jika E suatu matriks Elementer berordo mxn dan A suatu matriks berordo mxn maka EA

hasilnya akan sama dengan matriks yang diperoleh dari A dengan melakukan OBE yang sesuai.

Contoh :

A =

EA =

Invers (menggunakan OBE)

Definisi : matriks persegi A disebut invers B jika AB= BA = I . A disebut invers B dan B disebut

invers A. invers A ditulis A-I

Invers matriks Elementer merupakan matriks elemen terjuga

( Iij)-I = Iij

( Ii(k))-I = Ii(1/k)

( Iij(k))-I=Iij(-k)

R23

R21(-1)

contoh :

I3 = E23 =

E23E23 =

I12(2) = I12(-2)=

I12(2)I12(-2) =

Perhatikan sekarang matriks A = yang menggunakan beberapa kali OBE, akan diubah

matriks tersebut menjadi matriks eselon tereduksi

E12(-1)E21(-2)E12(-1)E12 A = I

(E12(-1)E21(-2) E12(-1)E12)-I

(E12(-1)E21(-2) E12(-1)E12) A =( E12(-1)E21(-2) E12(-1)E12)-I

.I

A = (E12(-1)E21(-2) E12(-1)E12)-I

A = (E12(-1)E21(-2) E12(-1)E12)-I

A-I

= (E12(-1)E21(-2) E12(-1)E12). I

R12

R21(-1)

R12(1) R21(-2) R12(-1)

Soal carilah invers matriks :

1. 3.

2. 4.

5). Yang manakah diantara Matriks berikut yang merupakan matriks elementer

a) d) f)

b) e)

c)

Jawab :

1.

2.

A tidak punya invers di karenakan ditemukan baris NOL

3.

5) Mencari yang termasuk matrik elementer :

a)

b)

c)

d)

e)

f)

1.

Tidak ada Invers

Determinan

Banyak permutasi dari n elemen yang berlainan ialah n faktorial ( n !)

= n!

Contoh : untuk n = 3, misalnya (1,2,3) maka permutasinya adalah 3!

Suatu inversi terjadi jika dalam suatu permutasi terdapat bilangan yang leb ih besar mendahului

yang lebih kecil.

Contoh : inversi dari 2,3,1 ialah 2 yaitu 2 mendahului 1 dan 3 mendahului 1.

Permutasi Inversi Permutasi

(1,2,3) 0 genap

(1,3,2) 1 ganjil

(2,1,3) 1 ganjil

(2,3,1) 2 Genap

(3,2,1) 3 ganjil

Permutasi genap :

Ialah permutasi yang banyak inversinya genap

Permutasi ganjil :

Ialah permutasi yang banyak inversinya ganjil

Perhatikan elementer dari Anxn ialah hasil kali n elemen dari A yang tidak sebaris dan tidak

sekolom.

Contoh :

Perhatikan elementer dari A adalah :

Perkalian elementer bertanda dari A nxn adalah perkalian elementer dari A dikalikan -1

berpangkat jumlah inversinya.

Perkalian elementer Permutasi

terasosiasi

Invers Perkalian elementer

bertanda

(1,2,3) 0

(2,3,1) 2

(3,1,2) 2

(3,2,1) 3

(2,1,3) 1

(1,3,2) 1

Determinan matrik A nxn ditulis det(A) atau |A| didefinisikan sebagai jumlah semua perkalian

elementer bertanda dari A sehingga det(A)

Min (-) disini karena :

Jika

Jika

misal 2x2

Perkalian elemen Permutasi

terasosiasi

Invers Perkalian elementer

bertanda

(1,2) 0

(2,1) 1

Kecuali menggunakan cara diatas, khusus matriks berordo 3x3 determinannya dapat dihitung

dengan cara sorus (hanya untuk matriks 3x3).

Dan atau

Contoh :

= 12 + 18 + 1- 9 - 4 – 6 = 12

= 15 - (-2) = 17

- - - + + +

- - - + + +

- - -+ + +

Determinan yang terjadi jika baris ke – i dan kolom ke –j dihilangkan disebut minor unsur

ɑij ditulis Mij.

Contoh :

Kofaktor elemen aij ditulis

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Determinan matriks A dihitung dengan menguraikan berdasarkan kolom ke –j.

Ekspansi kofaktor baris ke-i

Contoh :

Carilah |A| dari matriks berikut dengan ekspansi kofaktor :

(i) dengan ekspansi kofaktor baris ke –1

= 3(-17) -5(-27) + 6(-3)

=66

(ii) dengan ekspansi kofaktor b aris ke -2

= 0 + (3-18) –9(6-15)

=66

Cara menentukan plus atau min dengan cara sbb :

(iii) dengan ekspansi kofaktor kolom ke-1

|A| = 3 – 0 + 3

= 3 (-17) + 3 (39)

= 66

Soal-Soal :

|A| =

Dengan ekspansi kofaktor baris ke-1

|A| = -2 + 3 – 0

= [ (-1.6.-3) + (5.2.4) + (3.-3.0) – (3.6.4) – (0.2.-1) – (-3.-3.5)] - 2 [(2.6.-3) + (5.2.2) +

(3.4.0)-(2.6.3) – (0.2.2) – (-3.4.5)] + 3 [(2.-3.-3) + (-1.2.2) + (3.4.4) – (2.-3.3) – (4.2.2) -

(3.4.-1)] – 0 [(2.-3.0) + (-1.6.2) + (5.4.4) – (2.-3.5) – (4.6.2) – (0.4.-1)]

= 1 [(18) + (40) + (0) - (72) - (0) - (45)] – 2 [(-36) + (20) + (0) - (36) - (0) - (-60)] + 3 [(18) +

(-4) + (48) - (16) - (12)] – 0 [(0) + (-12) + (80) - (-30) - (48) - (0)]

= 1(-59) – 2(8) + 3(52) – 0

= 81

INVERS MATRIKS DENGAN ADJOIN

Matriks kofaktor dari A ialah matriks yang berbentuk

K(A) =

Transpose matriks kofaktor disebut matriks Adjoin ,ditulis adj (A)

Adj(A) =

Invers matriks A dapat dihitung dengan matriks adjoin dengan rumus

= adj (A)

Contoh :

A =

K11 = 12 k23 = 16

K12 = 6 k31 = 12

K13 = -16 k32 = -10

K21 = 4 k33 = 16

K22 = 2

Sehingga k(A) =

Adj (A)=

|A| =

= -1 – 3 + 0

= 16+48+0

= 64

Invers Matriks

= adj (A)

=

= =

Contoh Soal

- Carilah invers matriks A dengan Menggunakan metode matriks Adjoin

1. A =

- Carilah invers matriks A dengan Menggunakan metode matriks Adjoin dan OBE

kemudian bandingkan ke-2 operasi tersebut lebih mudah yang mana ?

2. A =

Jawaban :

1. A =

K11 = 3 k23 = 3

K12 = -3 k31 = -5

K13 = 2 k32 = 4

K21 = 8 k33 = -2

K22 = -6

K(A) = adj(A) =

Determinan ekspansi kolom ke-3

|A| =

=2 – 3 + 6

= 2(2) – 3(-3) + 6(-2)

= 4 + 9 – 12

= 1

Invers Matriks

= adj (A)

=

=

2. Invers matriks Menggunakan Adjoin

A =

K11 = 6 k23 = 0

K12 = 2 k31 = -3

K13 = -3 k32 = -1

K21 = 0 k33 = 3

K22 = 1

K(A) = adj(A) =

Determinan ekspansi kolom ke-3

|A| =

= 1 – 0 + 2

= 1(-3) – 0(0) + 2(3)

= -3 + 6

= 3

Rumus Invers Matriks :

= adj (A)

=

=

- Invers matriks Menggunakan OBE

A =

Jadi =

Menurut saya invers matriks Menggunakan OBE lebih mudah dibandingkan Adjoin

dikarenakan proses pengerjaannya yang lebih cepat .

Soal latihan MID semester :

1. Manakah yang termasuk eselon baris tereduksi :

a.) (bukan) b.) (bukan) c.) (bukan)

d.) (iya) e.) (bukan) f.) (iya)

2. Yang manakah matriks berikut yang merupakan bentuk eselon baris :

a. (bukan)

b. (iya)

c. (iya)

d. (bukan)

e. (bukan)

f. (iya)

3. Selesaikan persamaan matriks a.b.c.d

Jawab :

(i) a-b = 8 (i) dan (iv) a = 8+b b+c = 1

(ii) 3d+c = 7 2a-4d = 6 c = 1-b

(iii) b+c = 1 2 (8+b) – 4d = 6 (ii) dan (iii) 3d+c = 7

(iv) 2a-4d = 6 16 + 2b – 4d = 6 3d + (1-b) = 7

2b – 4d = -10 …….(v) 3d-b =6 ………(vi)

(v) Dan (vi)

2b – 4d = -10 1 2b – 4d = -10 3d – b = 6

-b + 3d = 6 2 -2b + 6d = 12 3 (1) – b = 6

2d = 2 3 – b = 6

d = 1 b = -3

c = 1 – b a = 8 + b

c = 1 + 3 = 8 - 3

c = 4 a = 5

jadi dapat diketahui bahwa :

a = 5

b = -3

c = 4

d = 1

4. Misalkan :

Carilah :

a. baris pertama dari AB = [67 41 41]

b. kolom ke-2 dari AB =

c. baris ke-3 dari AA = [24 56 97]

d. kolom pertama dari BA =

5. Carilah semua nilai ƛ sehingga det (A) = 0

a.

b.

Jawab :

a.

( -1) ( -4) -1 (-2) = 0

2 – 5 + 6 = 0

( -2) ( - 3) = 0

= 2 = 3

b. ( - 6) ( ) ( - 4) = 0

3 - 4

2 - 6

2 + 24 = 0

3 - 10

2 + 24 = 0

= 2 dan

= 6

6. Hitung determinan :

a)

= k2 – 4k + 3 – 8

= k2 -4k - 5

b)

= 12k + (-3k-3) + 18k2 – [36 - k

4 + k

3 – 18]

= k4 – k

3 + 18k

2 + 9k - 21

c)

= [(-1) (-3)] – [(-8) (7)]

= 59

d)

= 0+0+96-0+8-0

= 104

6. Carilah determinan matriks dengan ekspansi kofaktor :

A.

= -6 (-8)

= 48

B.

= 0

C.

8. Carilah invers matriks berikut :

a.

Jawab :

~ ~

~ ~

R21(-2)

R31(-1)

R41(-1) R12(-3)

R12(-3) R34

SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)

Bentuk umum SPL dengan n buah persamaan dan m buah variable ialah :

a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + ….. + a1n Xn = a1

a21 X1 + a22 X2 + a13 X3 + ….. + a2n Xn = a2

a31 X1 + a32 X2 + a13 X3 + ….. + a3n Xn = a3

… … … …

am1 X1 + am2 X2 + am3 X3 + ….. + amn Xn = am

bentuk matriks yang sesuai :

=

Disajikan dalam matriks lengkap :

Untuk mencari penyelesaian bentuk matriks lengkap ini diubah menjadi matriks eselon tereduksi.

Contoh :

Selesaikan !

a) X1 + X2 + 2X3 = 9

2X1 + 4X2 – 3X3 = 1

3X1 + 6X2 – 5X3 = 0

Jawab :

~ ~ ~

~ ~

Jadi X1 = 1

X2 = 2

X3 = 3

Penyelesaian dengan cara mengubah matriks lengkap menjadi matriks baris eselon tereduksi disebut

eliminasi Gauss Jordan.

Sementara itu, jika penyelesaiannya ditempuh dengan mengubah matriks lengkap menjadi matriks

eselon disebut Eliminasi Gauss.

SPL yang punya penyelesaian disebut SPL yang konsisten. Sementara SPL yang tidak punya penyelesaian

disebut SPL yang inkonsisten.

SPL dapat memiliki penyelesaian tunggal atau dapat juga jamak.

R21(-2) R31(-3) R32(-1) R32(-1)

R12(-1) R32(-2)

R13(-6) R23(4)

Contoh :

Selesaikan SPL berikut :

X1 + 3X2 – 2X3 + 2X5 = 0

2X1 + 6X2 – 5X3 - 2X4 + 4X5 - 3X6 = -1

5X3 + 10X4 + 15X6 = 5

2X1 + 6X2 + 8X4 + 4X5 + 18X6 = 6

~ ~

~ ~

~ ~

X1 + 3X2 + 4X4 + 2X5 = 0

X3 + 2X4 = 0

X6 = 1/3

Misalkan X4 = t, t є R

X3 = -2t, t є R

X5 = S, S є R

X2 = r, r є R

R21(-2)

R41(-2) R2(-1)

R12(2)

R32(-5) R42(-4) R34

R3(1/6)

R13(-6)

R23(-3)