persamaan laplace dalam bnetuk koordinat polar
TRANSCRIPT
Persamaan Laplace Dalam Bnetuk Polar April 21, 2015
1
LAB TERAPAN
NAMA : SUKARDI
NIM : H111 11 002
PENGUJI : Dr.Eng. Mawardi Bhari, S.Si.,M.Si.
KEP. LAB TERAPAN: Prof. Dr. Hj. Aidawayati Rangkuti, M.S.
Persamaan Laplace Dalam Bentuk Koordinat Polar
Persamaan Laplace dua variable dalam koordinat Cartesius diberikan oleh:
∇2𝑢 = 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0, 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦).
Transformasi persamaan gelombang pada system koordinat kartesius 𝑢 =
𝑢(𝑥, 𝑦) ke dalam koordinat polar 𝑢 = 𝑢(𝑟, 𝜃), dapat dilakukan dengan
menggunakan:
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃.
Turunan parsial pertama terhadap 𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑟+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑟(𝑟 cos 𝜃) +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑟(𝑟 sin 𝜃)
𝑢𝑟 = 𝑢𝑥 cos 𝜃 + 𝑢𝑦 sin 𝜃. (1)
Turunan parsial pertama terhadap 𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝜃=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝜃+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝜃=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝜃(𝑟 cos 𝜃) +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝜃(𝑟 sin 𝜃)
𝜕𝑢
𝜕𝜃=
𝜕𝑢
𝜕𝑥(−𝑟 sin 𝜃) +
𝜕𝑢
𝜕𝑦(𝑟 cos 𝜃)
Persamaan Laplace Dalam Bnetuk Polar April 21, 2015
2
𝑢𝜃 = 𝑢𝑥(−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢𝑦(𝑟 cos 𝜃). (2)
Dari sitem persamaan (1) dan (2) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut:
[cos 𝜃 sin 𝜃
−r sin 𝜃 r cos 𝜃] [
𝑢𝑥
𝑢𝑦] = [
𝑢𝑟
𝑢𝜃]
[𝑢𝑥
𝑢𝑦] =
1
𝑟 [
r cos 𝜃 −sin 𝜃r sin 𝜃 cos 𝜃
] [𝑢𝑟
𝑢𝜃]
𝑢𝑥 = cos 𝜃 𝑢𝑟 −1
𝑟sin 𝜃 𝑢𝜃 . (3)
𝑢𝑦 = sin 𝜃 𝑢𝑟 +1
𝑟cos 𝜃 𝑢𝜃 . (4)
Turunan parsial kedua terhadap r
𝜕2𝑢
𝜕𝑟2 =𝜕
𝜕𝑟(
𝜕𝑢
𝜕𝑟). (5)
Subtitusi persamaan (1) ke persamaan (5) diperoleh:
𝜕2𝑢
𝜕𝑟2=
𝜕
𝜕𝑟(𝑢𝑥 cos 𝜃 + 𝑢𝑦 sin 𝜃)
=𝜕
𝜕𝑟(𝑢𝑥 cos 𝜃) +
𝜕
𝜕𝑟(𝑢𝑦 sin 𝜃)
= cos 𝜃𝜕
𝜕𝑟𝑢𝑥 + sin 𝜃
𝜕
𝜕𝑟𝑢𝑦
= cos 𝜃 (𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑟+
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑟) + sin 𝜃 (
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑟+
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑟)
= cos 𝜃 (𝑢𝑥𝑥
𝜕
𝜕𝑟(𝑟 cos 𝜃) + 𝑢𝑥𝑦
𝜕
𝜕𝑟(𝑟 sin 𝜃))
+ sin 𝜃 (𝑢𝑥𝑦
𝜕
𝜕𝑟(𝑟 cos 𝜃) + 𝑢𝑦𝑦
𝜕
𝜕𝑟(𝑟 sin 𝜃))
= cos 𝜃 (𝑢𝑥𝑥(cos 𝜃) + 𝑢𝑥𝑦(sin 𝜃))
+ sin 𝜃 (𝑢𝑥𝑦(cos 𝜃) + 𝑢𝑦𝑦(sin 𝜃))
Persamaan Laplace Dalam Bnetuk Polar April 21, 2015
3
= cos2 𝜃 𝑢𝑥𝑥 + cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢𝑥𝑦 + cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢𝑥𝑦 + sin2 𝜃 𝑢𝑦𝑦
= cos2 𝜃 𝑢𝑥𝑥 + 2 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢𝑥𝑦 + sin2 𝜃 𝑢𝑦𝑦. (6)
Turunan parsial kedua terhadap 𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝜃2 =𝜕
𝜕𝜃(
𝜕𝑢
𝜕𝜃). (7)
Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (7), diperoleh:
𝜕2𝑢
𝜕𝜃2=
𝜕
𝜕𝜃(𝑢𝑥(−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢𝑦(𝑟 cos 𝜃))
= 𝜕
𝜕𝜃(𝑢𝑥(−𝑟 sin 𝜃)) +
𝜕
𝜕𝜃(𝑢𝑦(𝑟 cos 𝜃))
=𝜕𝑢𝑥
𝜕𝜃(−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢𝑥
𝜕
𝜕𝜃(−𝑟 sin 𝜃)
+𝜕
𝜕𝜃𝑢𝑦(𝑟 cos 𝜃) + 𝑢𝑦
𝜕
𝜕𝜃(𝑟 cos 𝜃)
= (𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝜃+
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝜃) (−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢𝑥(−𝑟 cos 𝜃)
+ (𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝜃+
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝜃) (𝑟 cos 𝜃) + 𝑢𝑦(−𝑟 sin 𝜃)
= (𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝜃(𝑟 cos 𝜃) +
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝜃(𝑟 sin 𝜃)) (−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢𝑥(−𝑟 cos 𝜃)
+ (𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝜃(𝑟 cos 𝜃) +
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝜃(𝑟 sin 𝜃)) (𝑟 cos 𝜃) + 𝑢𝑦(−𝑟 sin 𝜃)
= (𝑢𝑥𝑥(−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢𝑥𝑦(𝑟 cos 𝜃)) (−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢𝑥(−𝑟 cos 𝜃)
+ (𝑢𝑥𝑦(−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢𝑦𝑦(𝑟 cos 𝜃)) (𝑟 cos 𝜃) + 𝑢𝑦(−𝑟 sin 𝜃)
= 𝑟[((−𝑟 sin 𝜃)𝑢𝑥𝑥 + (𝑟 cos 𝜃)𝑢𝑥𝑦) (− sin 𝜃) − cos 𝜃 𝑢𝑥
+ cos 𝜃 ((− r sin 𝜃)𝑢𝑥𝑦 + r cos 𝜃 𝑢𝑦𝑦) − sin 𝜃 𝑢𝑦]
Persamaan Laplace Dalam Bnetuk Polar April 21, 2015
4
= 𝑟[((𝑟 sin2 𝜃)𝑢𝑥𝑥 − (𝑟 sin 𝜃 cos 𝜃)𝑢𝑥𝑦) − cos 𝜃 𝑢𝑥
+ ((r sin 𝜃 cos 𝜃)𝑢𝑥𝑦 − (r cos2 𝜃)𝑢𝑦𝑦) − sin 𝜃 𝑢𝑦]
= (𝑟2 sin2 𝜃)𝑢𝑥𝑥 − (𝑟2 sin 𝜃 cos 𝜃)𝑢𝑥𝑦 − 𝑟 cos 𝜃 𝑢𝑥
−(r2 sin 𝜃 cos 𝜃)𝑢𝑥𝑦 + r2cos2 𝜃 𝑢𝑦𝑦 − 𝑟 sin 𝜃 𝑢𝑦
= 𝑟2 ((sin2 𝜃)𝑢𝑥𝑥 + cos2 𝜃 𝑢𝑦𝑦 − 2(sin 𝜃 cos 𝜃)𝑢𝑥𝑦)
+𝑟(− cos 𝜃 𝑢𝑥 − 𝑟 sin 𝜃 𝑢𝑦). (8)
Dari persamaan (6) diperoleh bahwa:
−2 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢𝑥𝑦 = cos2 𝜃 𝑢𝑥𝑥 + sin2 𝜃 𝑢𝑦𝑦 − 𝑢𝑟𝑟 . (9)
Subtitusi persamaan (9) kepersamaan (8), diperoleh:
𝑢𝜃𝜃 = 𝑟(− cos 𝜃 𝑢𝑥 − 𝑟 sin 𝜃 𝑢𝑦)
+𝑟2 ((sin2 𝜃)𝑢𝑥𝑥 + cos2 𝜃 𝑢𝑦𝑦 + cos2 𝜃 𝑢𝑥𝑥 + sin2 𝜃 𝑢𝑦𝑦 − 𝑢𝑟𝑟)
= 𝑟(− cos 𝜃 𝑢𝑥 − 𝑟 sin 𝜃 𝑢𝑦)
+𝑟2(((sin2 𝜃) + cos2 𝜃)𝑢𝑥𝑥 + (sin2 𝜃 + cos2 𝜃)𝑢𝑦𝑦 + 𝑢𝑟𝑟)
= 𝑟(− cos 𝜃 𝑢𝑥 − sin 𝜃 𝑢𝑦) + 𝑟2(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 − 𝑢𝑟𝑟). (10)
Subtitusi persamaan (3) dan (4) ke persamaan (10), diperoleh:
𝑢𝜃𝜃 = 𝑟 (− cos 𝜃 (cos 𝜃 𝑢𝑟 −1
𝑟sin 𝜃 𝑢𝜃) − sin 𝜃 (sin 𝜃 𝑢𝑟 +
1
𝑟cos 𝜃 𝑢𝜃))
+𝑟2(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 − 𝑢𝑟𝑟)
= 𝑟 (− cos2 𝜃 𝑢𝑟 +1
𝑟cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢𝜃 − sin2 𝜃 𝑢𝑟 −
1
𝑟cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢𝜃)
+𝑟2(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 − 𝑢𝑟𝑟)
= 𝑟(− cos2 𝜃 𝑢𝑟 − sin2 𝜃 𝑢𝑟 + 𝑟2(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 − 𝑢𝑟𝑟)
Persamaan Laplace Dalam Bnetuk Polar April 21, 2015
5
= 𝑟(−(cos2 𝜃 + sin2 𝜃)𝑢𝑟 + 𝑟2(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 − 𝑢𝑟𝑟)
𝑢𝜃𝜃 = −𝑟 𝑢𝑟 + 𝑟2(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦) − 𝑟2𝑢𝑟𝑟
−𝑟2(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦) = −𝑟 𝑢𝑟 − 𝑟2𝑢𝑟𝑟 − 𝑢𝜃𝜃
(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦) =1
𝑟𝑢𝑟 + 𝑢𝑟𝑟 +
1
𝑟2𝑢𝜃𝜃 .
Jadi, persamaan Laplace dalam bentuk koordinat polar adalah
(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦) =1
𝑟𝑢𝑟 + 𝑢𝑟𝑟 +
1
𝑟2𝑢𝜃𝜃.
∇2𝑢 =1
𝑟𝑢𝑟 + 𝑢𝑟𝑟 +
1
𝑟2𝑢𝜃𝜃 .