ma1201 matematika 2a - · pdf filekuliah hari ini 10.1-2 parabola, elips, dan hiperbola 10.4...
TRANSCRIPT
MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2016/2017
10 Maret 201
Kuliah yang Lalu
10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola
10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang
10.5 Sistem Koordinat Polar
11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3
11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang
11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva
11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang
11.8 Permukaan di Ruang
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 2
Kuliah Hari Ini
10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola
10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang
10.5 Sistem Koordinat Polar
11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3
11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang
11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva
11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang
11.8 Permukaan di Ruang
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 3
Kuis 10 Menit
Tentukan persamaan garis singgung pada kurvar(t) = (cos t, sin t, t) di titik P(-1,0,π).
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 4
11.8 PERMUKAAN DI RUANGMA1201 MATEMATIKA 2A
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 5
• Menggambar permukaan di ruang
Bola dan Bidang di Ruang
Ingat persamaan bola yang ber-pusat di P(a,b,c) dan berjari-jari R:
dan persamaan umum bidang di R3:
Seperti apa grafiknya?
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 6
,)()()( 2222 Rczbyax
.0, 222 CBADCzByAx
x
y
z
O
P
x
y
z
Elipsoida
Lebih umum daripada bola, kitamempunyai persamaan elipsoida:
Perhatikan jika p = q = r, makapersamaan di atas menjadi
yang merupakan persamaan bola.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 7
.1)()()(
2
2
2
2
2
2
r
cz
q
by
p
ax
P
x
y
z
,)()()( 2222 rczbyax
Permukaan di Ruang
Bidang dan elipsoida merupakan contohpermukaan di ruang.
Secara umum, grafik persamaan F(x,y,z) = Cmerupakan permukaan di ruang.
Namun, tidak semua persamaan mudahdigambar grafiknya.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 8
Paraboloida dan Hiperboloida
Grafik persamaan
merupakan paraboloida eliptik.
Sementara itu, grafik persamaan
merupakan paraboloida hiperbolik.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 9
2
2
2
2
b
y
a
xz
2
2
2
2
b
y
a
xz
x
y
z
Seperti apabentuknya?
Silinder
Grafik persamaan x2 + y2 = 1, z ϵ R, merupakan silinder lingkaran yang sejajar dengan sumbu-z.
Bagaimana dengan persamaan
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 10
?0,sin xyz
x
y
z
Seperti apabentuknya?
Hiperboloida Satu Lembar
Grafik persamaan
merupakan hiperboloida satulembar.
Irisannya dengan:
-Bidang z=k elips
-bidang-xz hiperbola
-bidang-yz hiperbola3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 11
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
x
y
z
Hiperboloida Dua Lembar
Grafik persamaan
merupakan hiperboloida dualembar.
Irisannya dengan:
-bidang-xy hiperbola
-bidang x=k elips, titik, Ø
-bidang-xz hiperbola3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 12
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
x
y
z
Kerucut Eliptik
Grafik persamaan
berbentuk kerucut eliptik(ganda).
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 13
2
2
2
22
b
y
a
xz
x
y
z
Soal
Diketahui persamaan
Gambarlah grafiknya.
Permukaan apakah itu?
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 14
.1 22 yxz
12.1 FUNGSI DUA (ATAU LEBIH) PEUBAHMA1201 MATEMATIKA 2A
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 15
• Menentukan daerah asal dan menggambargrafik fungsi dua peubah
• Menentukan kurva ketinggian dan meng-gambar peta kontur fungsi dua peubah
MATERI MINGGU DEPAN
Fungsi Dua (atau Lebih) Peubah
Setelah mempelajari fungsi satupeubah, baik yang bernilai skalarmaupun yang bernilai vektor, sekarang kita akan mempelajarifungsi dengan dua (atau lebih) peubah, yang bernilai skalar.
Sebagai contoh, foto atau citra 2Dmerupakan fungsi dua peubah. Demikian juga suhu T pada suatukeping datar.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 16
T(x,y)
Fungsi Dua Peubah
Di sini kita akan membahassecara khusus fungsi duapeubah yang bernilai skalar, yakni fungsi f yang memetakansetiap titik (x,y) dalam suatudaerah D di R2 ke suatubilangan z = f(x,y) ϵ R.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 17
(x,y)
f
z =f(x,y)
Catatan
Himpunan D disebut sebagai daerah asal f, sedangkan himpunan {z = f(x,y) | (x,y) ϵ D} disebut daerah nilai f.
Bila tidak dinyatakan secara spesifik, makadaerah asal fungsi f adalah himpunan bagianterbesar dari R2 yang membuat f terdefinisi.
Sebagai contoh, daerah asal f(x,y) = x/y adalah semua titik (x,y) dengan y ≠ 0.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 18
Contoh
Tentukan daerah asaldan gambarlah daerah tsb pada R2.
Jawab:
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 19
221),( yxyxf
Grafik Fungsi Dua Peubah
Diberikan fungsi dua peubahdengan persamaan z = f(x,y), dengan (x,y) ϵ D, kita dapatmenggambar grafiknya, yaituhimpunan
{(x,y,z) | z = f(x,y), (x,y) ϵ D}
di ruang R3.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 20
x
y
z
Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2
Latihan
Sketsalah grafik fungsi f yang diberikan denganpersamaan
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 21
22:),( yxyxfz
Kurva Ketinggian dan Peta Kontur
Kadang kita dapat mempelajarifungsi dua peubah f melaluikurva-kurva ketinggian-nya, yakni kurva-kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) denganbidang z = k.
Bila kita gambar kurva-kurvaketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh petakontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 22
x
y
z
Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2
z = k
Kurva ketinggian: x2 + y2 = k (bila k ≥ 0)
Kurva Ketinggian dan Peta Kontur
Kadang kita dapat mempelajarifungsi dua peubah f melaluikurva-kurva ketinggian-nya, yakni kurva-kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) denganbidang z = k.
Bila kita gambar kurva-kurvaketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh petakontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 23
xy
z
Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2
z = k
Petakontur
x
y
Latihan 1
Tentukan persamaan kurva ketinggian fungsi z = f(x,y) := x2 – y2, untuk ketinggian k = -4, -1, 0, 1, 4; kemudian gambarlah peta konturnya.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 24
Latihan 2
Tentukan persamaan kurva ketinggian fungsiz = f(x,y) := xy, untuk ketinggian k = -2, -1, 0, 1, 2; kemudian gambarlah peta konturnya.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 25