fungsi dan grafik - darpublic .fungsi eksponensial 10. fungsi hiperbolik 11. fungsi dalam koordinat

Download Fungsi dan Grafik - Darpublic .Fungsi Eksponensial 10. Fungsi Hiperbolik 11. Fungsi dalam Koordinat

Post on 30-Mar-2019

222 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

7/23/2013

1

Fungsi dan Grafik

Sudaryatno Sudirham

1

Pokok Bahasan mencakup

1. Pengertian Tentang Fungsi2. Fungsi Linier 3. Gabungan Fungsi Linier 4. Mononom dan Polinom 5. Bangun Geometris 6. Fungsi Trigonometri 7. Gabungan Fungsi Sinus 8. Fungsi Logaritma Natural9. Fungsi Eksponensial10. Fungsi Hiperbolik11. Fungsi dalam Koordinat Polar

2

Pembatasan

Pembahasan Fungsi dan Grafikdibatasi hanya padafungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata

3 4

7/23/2013

2

FungsiApabila suatu besaran y

maka dikatakan bahwa

memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x

y merupakan fungsi x

5

panjang sebatang batang logam (= y)

merupakan fungsi temperatur (= x)

Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan

)(xfy =

y disebut peubah tak bebas

nilainya tergantung x

x disebut peubah bebas

bisa bernilai sembarang

Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupabilangan nyata.

Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks.

Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai xtetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi

Contoh:

6

Domain

Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi.

a brentang terbuka

a < x < b a dan b tidak termasuk dalam rentang

rentang setengah terbuka a b

a x < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak

rentang tertutup a b

a x b a dan b masuk dalam rentang

Ada tiga macam rentang nilai yaitu:

7

Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku

P[2,1]

Q[-2,2]

R[-3,-3]

S[3,-2]

-4

-3

-2

-1

1

2

3y

0-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

IV

III

III

sumbu-x

sumbu-y

Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebutsumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y.

Bidang terbagi dalam 4 kuadranyaitu Kuadran I, II, III, dan IV

(koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes)

Posisi titik pada bidangdinyatakan dalam

koordinat [x, y]

8

7/23/2013

3

Kurva dari Suatu Fungsi

xy 5,0=

Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y

x -1 0 1 2 3 4 dst.

y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 dst.

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-1

0 1 2 3 4 x

y

xy

P

RQ

xy 5,0=Kurva

Titik P, Q, R, terletak pada kurva

Kemiringan kurva: x

y

Kita lihat fungsi:

(kita baca: delta x per delta y)

9

Kekontinyuan

Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut.

Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat:

(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c;

(2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai

yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).

)()(lim cfxfcx

=

10

Contoh:

y = 1/x

y = 1/x

y

x

-1

0

1

-10 -5 0 5 10

Tak terdefinisikan di x = 0

y = u(x)1y

x00

Terdefinisikan di x = 0

yaitu y|x=0 = 1

(y untuk x = 0 adalah 1)

(y untuk x = 0 tidak dapatditentukan nilainya)

11

Simetri

1. Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

12

7/23/2013

4

Contoh:

y = 0,3x2

y = 0,05x3

y2 + x2 = 9

x

-6

-3

0

3

6

-6 -3 0 3 6

y

tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y

tidak berubah bila x diganti x

tidak berubah jika:x diganti xx dan y diganti dengan x dan yx dan y dipertukarkany diganti dengan y

(simetris terhadap sumbu-y)

(simetris terhadap titik [0,0])

13

Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit

8

1

1

22

2

22

=++

=

==+

yxyx

xy

xy

yx

)(xfy =Pernyataan fungsi

Pernyataan bentukimplisit

Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x

akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y

dapat diubah ke bentuk eksplisit

/1

1 2

xy

xy

xy

=

==

0)8( 22 =++ xxyy

2

)8(4

2

22 =

xxxy

disebut bentuk eksplisit.

-8

-4

0

4

8

-4 -2 0 2 4

x

y

14

Fungsi Bernilai Tunggal

Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas

untuk setiap nilai peubah-bebas

0

4

8

-1 0 1 2 3 4x

y25,0 xy =

0

0,8

1,6

0 1 2x

y

xy +=

-1,6

-0,8

00 1 2

x

y xy =

-0,8

0

0,8

0 1 2 3 4x

y xy 10log=

0

2

4

-4 -2 0 2 4x

y

2xxy ==

Contoh:

15

Fungsi Bernilai Banyak

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3

x

y

xy =

Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memilikilebih dari satu nilai peubah-tak-bebas

untuk setiap nilai peubah-bebas

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3x

y

xy /12 = xy /1=

Contoh:

16

7/23/2013

5

Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas

Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas:

),,,,( vuzyxfw =

Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya

2222 zyx ++=

Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai

222 zyx +++=

17

Sistem Koordinat Polar

Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem

koordinat polar.

Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol

Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut

= sinry

= cosrx

22 yxr +=

)/(tan 1 xy=x

P

r

y

rsin

rcos

18

Contoh:

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1

y

x

r

P[r,]

Bentuk ini disebut cardioid

)cos1(2 =r

19

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-1 0 1 2 3x

y

r

P[r,]y = 2

2=rContoh:

20

7/23/2013

6

21

Fungsi Tetapan

Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari sampai +.

ky =

x

-4

0

5

-5 0 5

y y = 4

5.3=y

Contoh:

22

Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0]

mxy =

kemiringan garis lurus

==" delta"

" delta" :dibaca , kemiringan

x

y

x

ym

0

1

2

-1

0 1 2 3 4 x

y

xy

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4 x

y

y = 0,5x

y = x

y = 2x

y = -1,5x

m > 0

m < 0

Contoh:

garis lurus melalui [0,0]

23

Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus

y = 2x

y 2 = 2x

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4x

y

mxby = )(

y = 2x

y =2(x1)

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

)( axmy =Secara umum, persamaan garis lurusyang tergeser sebesar

b ke arah sumbu-y positif adalah

menunjukkanpergeseran sebesar a

ke arah sumbu-x positif

titik potongdengan sumbu-y

titik potongdengan sumbu-x

bmxy +=amxy +=

Bentuk umum persamaan garis lurus

pergeseran kearah sumbu-y

pergeseran kearah sumbu-x

menunjukkanpergeseran sebesar b

ke arah sumbu-y positif24

7/23/2013

7

Contoh:

Persamaan garis: xy 24 =

202

40

12

12 ==

=

=

xx

yy

x

ym

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

memotong sumbuy di 4

memotong sumbux di 2

atau )2(2 = xy42 += xy

da