transformasi laplace -...
TRANSCRIPT
1
TKS 4003 Matematika II
Transformasi Laplace (Laplace Transform)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
PENDAHULUAN
Pengertian Transformasi
Transformasi adalah teknik atau formula matematis yang
digunakan untuk mengubah representasi persamaan
matematika dari satu bentuk ke bentuk representasi yang
lain. Adanya transformasi mengharuskan juga adanya
inverse transformasi untuk melakukan hal yang
sebaliknya.
2
Latar Belakang Penggunaan Transformasi
Transformasi diperlukan sebagai alat bantu untuk
memecahkan persoalan matematika yang rumit. Penggunaan
transformasi dan inversenya dapat diilustrasikan pada
Gambar 1.
Gambar 1. Penggunaan transformasi dan inversenya
PENDAHULUAN (Lanjutan)
Transformasi Laplace F(s) dari fungsi f(t), untuk t > 0
adalah :
𝑭 𝒔 = 𝓛 𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒇 𝒕 𝒅𝒕∞
𝟎 (1)
Transformasi Laplace digunakan untuk mengubah fungsi
f(t) yang berada dalam kawasan waktu t ke kawasan s.
Solusi didapat dengan mengubah persamaan diferensial
(yang merupakan fungsi waktu) dari kawasan waktu t ke
kawasan s dengan menggunakan transformasi Laplace,
sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2.
DEFINISI
3
Gambar 2. Penggunaan transformasi Laplace dan inversenya
Rumus Tranformasi Laplace (Pers. 1), jika digunakan
secara langsung pada permasalahan akan seringkali
dijumpai kesulitan dalam perhitungannnya, sehingga
disarankan untuk menggunakan bantuan tabel transformasi
Laplace.
DEFINISI (Lanjutan)
Berikut adalah transformasi Laplace dari beberapa fungsi :
1. Konstanta
Transformasi Laplace dari sebuah konstanta C(y(t) = C),
adalah :
𝓛𝑪 = 𝒆−𝒔𝒕𝑪𝒅𝒕 =∞
𝟎−
𝟏
𝒔𝒆−𝒔𝒕𝑪
∞𝟎= 𝟎 − −
𝑪
𝒔=
𝑪
𝒔 ’
sehingga :
𝓛𝑪 =𝑪
𝒔 (8)
TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA
4
2. Fungsi y(t) = t
𝓛𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒕𝒅𝒕 =∞
𝟎−
𝟏
𝒔𝒆−𝒔𝒕𝒕
∞𝟎+
𝟏
𝒔 𝒆−𝒔𝒕𝒅𝒕∞
𝟎
⇒ 𝓛𝒕 = 𝟎 − 𝟎 +𝟏
𝒔−
𝟏
𝒔𝒆−𝒔𝒕
∞𝟎=
𝟏
𝒔𝟐
sehingga :
𝓛𝒕 =𝟏
𝒔𝟐 (9)
TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)
3. Fungsi y(t) = t n
𝓛 𝒕𝒏 = 𝒆−𝒔𝒕𝒕𝒏𝒅𝒕 =∞
𝟎−
𝟏
𝒔𝒆−𝒔𝒕𝒕𝒏
∞𝟎+
𝟏
𝒔 𝒆−𝒔𝒕𝒏𝒕𝒏−𝟏𝒅𝒕∞
𝟎
⇒ 𝓛 𝒕𝒏 = −𝟎 + 𝟎 +𝒏
𝒔 𝒆−𝒔𝒕𝒏𝒕𝒏−𝟏𝒅𝒕∞
𝟎=
𝒏
𝒔𝓛 𝒕𝒏−𝟏
⇒ 𝓛 𝒕𝒏 =𝒏
𝒔𝓛 𝒕𝒏−𝟏
dengan cara yang sama :
TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)
5
𝓛 𝒕𝒏−𝟏 =𝒏−𝟏
𝒔𝓛 𝒕𝒏−𝟐
𝓛 𝒕𝒏−𝟐 =𝒏−𝟐
𝒔𝓛 𝒕𝒏−𝟑
⋮
𝓛 𝒕𝟏 =𝟏
𝒔𝓛 𝒕𝟎
sehingga :
𝓛 𝒕𝒏 =𝒏!
𝒔𝒏−𝟏 (10)
TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)
4. Fungsi eksponensial y(t) = e at
𝓛 𝒆𝒂𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒆𝒂𝒕𝒅𝒕 =∞
𝟎 𝒆−(𝒔−𝒂)𝒕𝒅𝒕∞
𝟎
⇒ 𝓛 = 𝒆−(𝒔−𝒂)𝒕𝒅𝒕∞
𝟎= −
𝟏
𝒔−𝒂𝒆−(𝒔−𝒂)𝒕
∞𝟎
⇒ 𝓛 𝒕𝒏 = 𝟎 − −𝟏
𝒔−𝒂𝒆−𝟎 =
𝟏
𝒔−𝒂
sehingga :
𝓛 𝒆𝒂𝒕 =𝟏
𝒔−𝒂 (11)
TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)
6
4. Fungsi cosinus dan sinus
𝓛 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 = 𝓛𝟏
𝟐𝒆𝒊𝝎𝒕 +
𝟏
𝟐𝒆−𝒊𝝎𝒕
⇒ 𝓛 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 =𝟏
𝟐
𝟏
𝒔−𝒊𝝎+
𝟏
𝟐
𝟏
𝒔+𝒊𝝎
⇒ 𝓛 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 =𝟏
𝟐
𝒔+𝒊𝝎
𝒔𝟐+𝝎𝟐 +𝒔−𝒊𝝎
𝒔𝟐+𝝎𝟐 =𝒔
𝒔𝟐+𝝎𝟐
sehingga :
𝓛 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 =𝒔
𝒔𝟐+𝝎𝟐 (12)
TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)
dengan cara yang sama, transformasi Laplace dari fungsi
sinus adalah :
𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 =𝝎
𝒔𝟐+𝝎𝟐 (13)
TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)
7
Tabel 1. Transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana
Fungsi f(t) Transformasi Laplace F(s)
𝒚 𝒕 = 𝑪 𝑪
𝒔
𝒚 𝒕 = 𝒕 𝟏
𝒔𝟐
𝒚 𝒕 = 𝒕𝒏 𝒏!
𝒔𝒏+𝟏
𝒚 𝒕 = 𝒆𝒂𝒕 𝟏
𝒔 − 𝒂
𝒚 𝒕 = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 𝒔
𝒔𝟐 +𝝎𝟐
𝒚 𝒕 = 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 𝝎
𝒔𝟐 +𝝎𝟐
TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)
Agar dapat menyatakan syarat cukup untuk f(t) yang
menjamin keujudan 𝓛 f(t) , diperkenalkan konsep
kekontinuan bagian-demi-bagian (piecewise continuity) dan
orde eksponensial (exponential order).
1. Kekontinuan bagian-demi-bagian, fungsi f(t) dikatakan
kontinu bagian-demi-bagian pada suatu interval jika :
(i) interval tersebut dapat dibagi menjadi sejumlah
berhingga interval bagian di mana f(t) kontinu pada
interval bagian ini, dan
(ii) limit fungsi f(t) untuk t mendekati titik akhir setiap
interval bagiannya bernilai hingga.
SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)
8
Atau dengan kata lain, suatu fungsi bagian-demi-bagian
hanya mempunyai sejumlah berhingga titik di mana fungsi
tersebut tak kontinu seperti pada Gambar 3.
Gambar 3. Contoh fungsi bagian-demi-bagian
SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)
2. Orde eksponensial, suatu fungsi f(t) dikatakan berada
dalam orde eksponensial untuk t > T jika dapat ditentukan
konstanta M dan , sehingga |f(t)| Met untuk t > T.
Dengan menggunakan kedua persyaratan tersebut dapat
dibuat teorema sebagai berikut :
Teorema 1
Jika f(t) kontinu bagian-demi-bagian pada setiap interval
berhingga 0 t T dan berada dalam tingkat eksponensial
untuk t > T, maka 𝓛 |f(t)| ada untuk s > .
SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)
9
Teorema 2
Jika f(t) memenuhi syarat Teorema 1, maka :
𝒍𝒊𝒎𝒔 → ∞
𝓛 𝒕 =𝒍𝒊𝒎𝒔 → ∞
𝑭 𝒔 = 𝟎
Hal ini menyebabkan bahwa jika 𝒍𝒊𝒎𝒔 → ∞
𝑭(𝒔) ≠ 𝟎, maka f(t)
tidak dapat memenuhi syarat Teorema 1.
SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)
1. Linieritas
Jika f(t) dan g(t) adalah sebuah fungsi, dengan :
𝑭 𝒔 = 𝓛𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒇 𝒕 𝒅𝒕∞
𝟎 dan
𝑮 𝒔 = 𝓛𝒈 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒈 𝒕 𝒅𝒕∞
𝟎
maka :
𝓛 𝒄𝒇 𝒕 = 𝒄𝑭(𝒔) dan 𝓛 𝒂𝒇 𝒕 + 𝓛 𝒃𝒈 𝒕 = 𝒂𝑭 𝒔 + 𝒃𝑮 𝒔
2. Pergeseran dalam S
Jika 𝑭 𝒔 = 𝓛𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒇 𝒕 𝒅𝒕∞
𝟎
maka :
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE
10
𝓛𝒆𝒂𝒕𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒆𝒂𝒕𝒇 𝒕 𝒅𝒕∞
𝟎
= 𝒆−(𝒔−𝒂)𝒕𝒇 𝒕 𝒅𝒕∞
𝟎
= 𝑭(𝒔 − 𝒂)
3. Pergeseran dalam S dan inversnya
Jika 𝓛𝒆𝒂𝒕𝒇 𝒕 = 𝑭(𝒔 − 𝒂)
maka :
𝓛−𝟏𝑭(𝒔 − 𝒂) = 𝒆𝒂𝒕𝓛−𝟏𝑭(𝒔) = 𝒆𝒂𝒕𝒇 𝒕
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)
4. Integrasi
Jika 𝑭 𝒔 = 𝓛𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒇 𝒕 𝒅𝒕∞
𝟎
maka :
𝓛−𝟏𝟏
𝒔𝑭(𝒔) = 𝒇 𝝉 𝒅𝝉
𝝉
𝟎
5. Teorema Konvulsi
Jika transformasi Laplace dari fungsi f(t) dan g(t) adalah
F(s) dan G(s) dengan :
𝑭 𝒔 = 𝓛𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒇 𝒕 𝒅𝒕∞
𝟎 dan
𝑮 𝒔 = 𝓛𝒈 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒈 𝒕 𝒅𝒕∞
𝟎
maka :
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)
11
𝓛 𝒇 𝒕 − 𝝉 𝒈 𝝉 𝒅𝝉𝒕
𝟎= 𝑭 𝒔 𝑮 𝒔
6. Integral Konvulsi
Jika invers transformasi Laplace dari fungsi F(s) dan
G(s) adalah f(t) dan g(t) dengan :
𝓛−𝟏𝑭 𝒔 = 𝒇 𝒕 dan
𝓛−𝟏𝑮 𝒔 = 𝒈 𝒕
maka :
𝓛−𝟏𝑭 𝒔 𝑮 𝒔 = 𝒇 𝒕 − 𝝉 𝒈 𝝉 𝒅𝝉𝒕
𝟎 atau
𝓛−𝟏𝑭 𝒔 𝑮 𝒔 = 𝒇 𝒕 𝒈 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉𝒕
𝟎
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)
Cari transformasi Laplace dari fungsi berikut :
1. f(t) = sin t cos t
2. f(t) = sin 2t cos 3t
3. f(t) = t2 et sin 3t
Jawab :
1. Ingat sin t cos t = ½ sin 2t
𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝒕 = 𝓛 𝟏𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒕 = 𝟏
𝟐 𝓛 𝐬𝐢𝐧𝟐𝒕
=𝟏
𝟐
𝟐
𝒔𝟐+𝟒=
𝟏
𝒔𝟐+𝟒
CONTOH
12
2. Ingat 2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x - y)
𝓛 𝐬𝐢𝐧𝟐𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒕 = 𝓛 𝟏𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟓𝒕 + 𝐬𝐢𝐧(−𝒕)
= 𝟏𝟐 𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝟓𝒕 + 𝓛 −𝐬𝐢𝐧 𝒕
=𝟏
𝟐
𝟓
𝒔𝟐+𝟐𝟓−
𝟏
𝒔𝟐+𝟏
=𝟏
𝟐
𝟓 𝒔𝟐+𝟏 − 𝒔𝟐+𝟐𝟓
𝒔𝟐+𝟐𝟓 𝒔𝟐+𝟏
=𝟏
𝟐
𝟒𝒔𝟐−𝟐𝟎
𝒔𝟐+𝟐𝟓 𝒔𝟐+𝟏
=𝟐𝒔𝟐−𝟏𝟎
𝒔𝟐+𝟐𝟓 𝒔𝟐+𝟏
CONTOH (Lanjutan)
3. 𝓛 𝒕𝟐𝒆𝒕𝐬𝐢𝐧𝟑𝒕 , untuk mempermudah dikerjakan secara
bertahap.
𝓛 𝐬𝐢𝐧𝟑𝒕 =𝟑
𝒔𝟐+𝟗
𝓛 𝒆𝒕𝐬𝐢𝐧𝟑𝒕 =𝟑
(𝒔−𝟏)𝟐+𝟗=
𝟑
𝒔𝟐−𝟐𝒔+𝟏𝟎
𝓛 𝒕𝟐𝒆𝒕𝐬𝐢𝐧𝟑𝒕 =𝒅𝟐
𝒅𝒔𝟐𝟑
𝒔𝟐−𝟐𝒔+𝟏𝟎
=𝒅
𝒅𝒔
𝟔(𝟏−𝒔)
𝒔𝟐−𝟐𝒔+𝟏𝟎𝟐
=𝟐𝟑𝒔𝟐−𝟒𝟔𝒔+𝟏𝟒
𝒔𝟐−𝟐𝒔+𝟏𝟎𝟑
CONTOH (Lanjutan)