Persamaan Laplace Dalam Bnetuk Polar April 21, 2015

1

LAB TERAPAN

NAMA : SUKARDI

NIM : H111 11 002

PENGUJI : Dr.Eng. Mawardi Bhari, S.Si.,M.Si.

KEP. LAB TERAPAN: Prof. Dr. Hj. Aidawayati Rangkuti, M.S.

Persamaan Laplace Dalam Bentuk Koordinat Polar

Persamaan Laplace dua variable dalam koordinat Cartesius diberikan oleh:

∇2𝑢 = 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0, 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦).

Transformasi persamaan gelombang pada system koordinat kartesius 𝑢 =

𝑢(𝑥, 𝑦) ke dalam koordinat polar 𝑢 = 𝑢(𝑟, 𝜃), dapat dilakukan dengan

menggunakan:

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃.

Turunan parsial pertama terhadap 𝑟

𝜕𝑢

𝜕𝑟=

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑟+

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑟

𝜕𝑢

𝜕𝑟=

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑟(𝑟 cos 𝜃) +

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑟(𝑟 sin 𝜃)

𝑢𝑟 = 𝑢𝑥 cos 𝜃 + 𝑢𝑦 sin 𝜃. (1)

Turunan parsial pertama terhadap 𝜃

𝜕𝑢

𝜕𝜃=

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝜃+

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝜃

𝜕𝑢

𝜕𝜃=

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝜃(𝑟 cos 𝜃) +

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝜃(𝑟 sin 𝜃)

𝜕𝑢

𝜕𝜃=

𝜕𝑢

𝜕𝑥(−𝑟 sin 𝜃) +

𝜕𝑢

𝜕𝑦(𝑟 cos 𝜃)

Persamaan Laplace Dalam Bnetuk Polar April 21, 2015

2

𝑢𝜃 = 𝑢𝑥(−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢𝑦(𝑟 cos 𝜃). (2)

Dari sitem persamaan (1) dan (2) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut:

[cos 𝜃 sin 𝜃

−r sin 𝜃 r cos 𝜃] [

𝑢𝑥

𝑢𝑦] = [

𝑢𝑟

𝑢𝜃]

[𝑢𝑥

𝑢𝑦] =

1

𝑟 [

r cos 𝜃 −sin 𝜃r sin 𝜃 cos 𝜃

] [𝑢𝑟

𝑢𝜃]

𝑢𝑥 = cos 𝜃 𝑢𝑟 −1

𝑟sin 𝜃 𝑢𝜃 . (3)

𝑢𝑦 = sin 𝜃 𝑢𝑟 +1

𝑟cos 𝜃 𝑢𝜃 . (4)

Turunan parsial kedua terhadap r

𝜕2𝑢

𝜕𝑟2 =𝜕

𝜕𝑟(

𝜕𝑢

𝜕𝑟). (5)

Subtitusi persamaan (1) ke persamaan (5) diperoleh:

𝜕2𝑢

𝜕𝑟2=

𝜕

𝜕𝑟(𝑢𝑥 cos 𝜃 + 𝑢𝑦 sin 𝜃)

=𝜕

𝜕𝑟(𝑢𝑥 cos 𝜃) +

𝜕

𝜕𝑟(𝑢𝑦 sin 𝜃)

= cos 𝜃𝜕

𝜕𝑟𝑢𝑥 + sin 𝜃

𝜕

𝜕𝑟𝑢𝑦

= cos 𝜃 (𝜕𝑢𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑟+

𝜕𝑢𝑥

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑟) + sin 𝜃 (

𝜕𝑢𝑦

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑟+

𝜕𝑢𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑟)

= cos 𝜃 (𝑢𝑥𝑥

𝜕

𝜕𝑟(𝑟 cos 𝜃) + 𝑢𝑥𝑦

𝜕

𝜕𝑟(𝑟 sin 𝜃))

+ sin 𝜃 (𝑢𝑥𝑦

𝜕

𝜕𝑟(𝑟 cos 𝜃) + 𝑢𝑦𝑦

𝜕

𝜕𝑟(𝑟 sin 𝜃))

= cos 𝜃 (𝑢𝑥𝑥(cos 𝜃) + 𝑢𝑥𝑦(sin 𝜃))

+ sin 𝜃 (𝑢𝑥𝑦(cos 𝜃) + 𝑢𝑦𝑦(sin 𝜃))

Persamaan Laplace Dalam Bnetuk Polar April 21, 2015

3

= cos2 𝜃 𝑢𝑥𝑥 + cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢𝑥𝑦 + cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢𝑥𝑦 + sin2 𝜃 𝑢𝑦𝑦

= cos2 𝜃 𝑢𝑥𝑥 + 2 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢𝑥𝑦 + sin2 𝜃 𝑢𝑦𝑦. (6)

Turunan parsial kedua terhadap 𝜃

𝜕2𝑢

𝜕𝜃2 =𝜕

𝜕𝜃(

𝜕𝑢

𝜕𝜃). (7)

Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (7), diperoleh:

𝜕2𝑢

𝜕𝜃2=

𝜕

𝜕𝜃(𝑢𝑥(−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢𝑦(𝑟 cos 𝜃))

= 𝜕

𝜕𝜃(𝑢𝑥(−𝑟 sin 𝜃)) +

𝜕

𝜕𝜃(𝑢𝑦(𝑟 cos 𝜃))

=𝜕𝑢𝑥

𝜕𝜃(−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢𝑥

𝜕

𝜕𝜃(−𝑟 sin 𝜃)

+𝜕

𝜕𝜃𝑢𝑦(𝑟 cos 𝜃) + 𝑢𝑦

𝜕

𝜕𝜃(𝑟 cos 𝜃)

= (𝜕𝑢𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝜃+

𝜕𝑢𝑥

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝜃) (−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢𝑥(−𝑟 cos 𝜃)

+ (𝜕𝑢𝑦

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝜃+

𝜕𝑢𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝜃) (𝑟 cos 𝜃) + 𝑢𝑦(−𝑟 sin 𝜃)

= (𝜕𝑢𝑥

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝜃(𝑟 cos 𝜃) +

𝜕𝑢𝑥

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝜃(𝑟 sin 𝜃)) (−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢𝑥(−𝑟 cos 𝜃)

+ (𝜕𝑢𝑦

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝜃(𝑟 cos 𝜃) +

𝜕𝑢𝑦

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝜃(𝑟 sin 𝜃)) (𝑟 cos 𝜃) + 𝑢𝑦(−𝑟 sin 𝜃)

= (𝑢𝑥𝑥(−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢𝑥𝑦(𝑟 cos 𝜃)) (−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢𝑥(−𝑟 cos 𝜃)

+ (𝑢𝑥𝑦(−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢𝑦𝑦(𝑟 cos 𝜃)) (𝑟 cos 𝜃) + 𝑢𝑦(−𝑟 sin 𝜃)

= 𝑟[((−𝑟 sin 𝜃)𝑢𝑥𝑥 + (𝑟 cos 𝜃)𝑢𝑥𝑦) (− sin 𝜃) − cos 𝜃 𝑢𝑥

+ cos 𝜃 ((− r sin 𝜃)𝑢𝑥𝑦 + r cos 𝜃 𝑢𝑦𝑦) − sin 𝜃 𝑢𝑦]

Persamaan Laplace Dalam Bnetuk Polar April 21, 2015

4

= 𝑟[((𝑟 sin2 𝜃)𝑢𝑥𝑥 − (𝑟 sin 𝜃 cos 𝜃)𝑢𝑥𝑦) − cos 𝜃 𝑢𝑥

+ ((r sin 𝜃 cos 𝜃)𝑢𝑥𝑦 − (r cos2 𝜃)𝑢𝑦𝑦) − sin 𝜃 𝑢𝑦]

= (𝑟2 sin2 𝜃)𝑢𝑥𝑥 − (𝑟2 sin 𝜃 cos 𝜃)𝑢𝑥𝑦 − 𝑟 cos 𝜃 𝑢𝑥

−(r2 sin 𝜃 cos 𝜃)𝑢𝑥𝑦 + r2cos2 𝜃 𝑢𝑦𝑦 − 𝑟 sin 𝜃 𝑢𝑦

= 𝑟2 ((sin2 𝜃)𝑢𝑥𝑥 + cos2 𝜃 𝑢𝑦𝑦 − 2(sin 𝜃 cos 𝜃)𝑢𝑥𝑦)

+𝑟(− cos 𝜃 𝑢𝑥 − 𝑟 sin 𝜃 𝑢𝑦). (8)

Dari persamaan (6) diperoleh bahwa:

−2 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢𝑥𝑦 = cos2 𝜃 𝑢𝑥𝑥 + sin2 𝜃 𝑢𝑦𝑦 − 𝑢𝑟𝑟 . (9)

Subtitusi persamaan (9) kepersamaan (8), diperoleh:

𝑢𝜃𝜃 = 𝑟(− cos 𝜃 𝑢𝑥 − 𝑟 sin 𝜃 𝑢𝑦)

+𝑟2 ((sin2 𝜃)𝑢𝑥𝑥 + cos2 𝜃 𝑢𝑦𝑦 + cos2 𝜃 𝑢𝑥𝑥 + sin2 𝜃 𝑢𝑦𝑦 − 𝑢𝑟𝑟)

= 𝑟(− cos 𝜃 𝑢𝑥 − 𝑟 sin 𝜃 𝑢𝑦)

+𝑟2(((sin2 𝜃) + cos2 𝜃)𝑢𝑥𝑥 + (sin2 𝜃 + cos2 𝜃)𝑢𝑦𝑦 + 𝑢𝑟𝑟)

= 𝑟(− cos 𝜃 𝑢𝑥 − sin 𝜃 𝑢𝑦) + 𝑟2(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 − 𝑢𝑟𝑟). (10)

Subtitusi persamaan (3) dan (4) ke persamaan (10), diperoleh:

𝑢𝜃𝜃 = 𝑟 (− cos 𝜃 (cos 𝜃 𝑢𝑟 −1

𝑟sin 𝜃 𝑢𝜃) − sin 𝜃 (sin 𝜃 𝑢𝑟 +

1

𝑟cos 𝜃 𝑢𝜃))

+𝑟2(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 − 𝑢𝑟𝑟)

= 𝑟 (− cos2 𝜃 𝑢𝑟 +1

𝑟cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢𝜃 − sin2 𝜃 𝑢𝑟 −

1

𝑟cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢𝜃)

+𝑟2(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 − 𝑢𝑟𝑟)

= 𝑟(− cos2 𝜃 𝑢𝑟 − sin2 𝜃 𝑢𝑟 + 𝑟2(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 − 𝑢𝑟𝑟)

Persamaan Laplace Dalam Bnetuk Polar April 21, 2015

5

= 𝑟(−(cos2 𝜃 + sin2 𝜃)𝑢𝑟 + 𝑟2(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 − 𝑢𝑟𝑟)

𝑢𝜃𝜃 = −𝑟 𝑢𝑟 + 𝑟2(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦) − 𝑟2𝑢𝑟𝑟

−𝑟2(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦) = −𝑟 𝑢𝑟 − 𝑟2𝑢𝑟𝑟 − 𝑢𝜃𝜃

(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦) =1

𝑟𝑢𝑟 + 𝑢𝑟𝑟 +

1

𝑟2𝑢𝜃𝜃 .

Jadi, persamaan Laplace dalam bentuk koordinat polar adalah

(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦) =1

𝑟𝑢𝑟 + 𝑢𝑟𝑟 +

1

𝑟2𝑢𝜃𝜃.

∇2𝑢 =1

𝑟𝑢𝑟 + 𝑢𝑟𝑟 +

1

𝑟2𝑢𝜃𝜃 .