rev pemetaan laplace

Pemetaan Laplace

BAB III

PEMETAAN LAPLACE

1. Pendahuluan.

Pemetaan Laplace didefinisikan sebagai berikut :

F s = £ [ f t ]=∫0

∞

e−st . f t dt

dengan fungsi f(t) terdefinisi untuk seluruh t≥0

Contoh 1.Tentukanlah pemetaan Laplace dari f(t) = 1

Jawab.

F s =∫0

∞

e−st .1 . dt

⇒−1s

e−st ]0∞⇒

1s

Kita tidak perlu menghitung sendiri pemetaaan Laplace, karena telah disediakan table

dari beberapa fungsi f(t) yang banyak dipergunakan

Setelah mempelajari Pemetaan Laplace maka diharapkan :

1. Dapat memetakan suatu fungsi dalam kawasan waktu (t) kekawasan kompleks (s).

2. Dapat memetakan balik dari kawasan kompleks (s) kekawasan waktu (t).

3. Dapat membuat model matematis suatu rangkaian Listrik R, L dan C.

4. Dapat menyelesaikan suatu Linear Time Invariant System dengan menggunakan

metode Laplace.

61

Pemetaan Laplace

Tabel 1. Tabel Pemetaan Laplace

No. F(s) f(t)1. 1

s S > 0 1 (unit Step)

2. 1s2 S > 0 t

3. n!

sn1 S > 0 tn n = 1, 2, 3, . . .

4. 1s−k

S > k ekt

5. n !

s−k n−1 S > k ekttn n = 1, 2, 3, …

6. k

s2k2 S > 0 Sin kt

7. s

s2k2 S > 0 Cos kt

8. m

s−k 2m2 S > k ektSin mt

9. s−k

s−k 2m2 S > k ektCos mt

10. s

s2−k2 S > k Cosh kt

11. k

s2−k2 S > k Sinh kt

12. k1−k 2

s−k1 s−k 2 S > k1, k2 e

k 1 t−e

k2

t

13. 2 ks

s2k2 2 S > 0 t.Sin kt

14. s2−k2

s2k2 2 S > 0 t.Cos kt

15. C1F(s) + C2G(s) C1f(t) + C2g(t)16. F(s+k) e-ktf(t)17.

F(ks)1k

f tk k > 0

18. Fn(s) (-t)nf(t)19.

G(s).F(s) ∫0

∞

g t− f d =∫0

∞

f t−g d

62

Pemetaan Laplace

20. 1s

F s ∫0

t

f t dt

21. 1s2 F s ∫

0

t

∫0

f u dud

22. s nF s −sn−1 f 0 −sn−2 f ¿ 0 −.. .− f n−1 0 f n t

Laplace untuk Fungsi Fungsi Khusus

23 1

s sk 21k 2 1−e−kt−kte−kt

24 1s2 sk

1k 2 kt−1e−kt

25 n2

s22 .n . s n2

1

1−2e− .n t

. Sin n1−2t

26

n2

s s22 .n s n2

1−1

1−2e−n t

.Sin n1−2 t

=tan−1 1−2

27

s

s22n s n2

−1

1−2e−n t

.Sin n1−2 t

=tan−1 1−2

28 2

s s2 2

1-Cost

29 3

s2 s2 2

t -Cost

30 s

s2 2 21

2.t . Sin t

31

s s21

2 . s222

12

2−12 .cos1 t−cos2 t

12≠2

2

32 s2

s2 2 21

2 Sin t tCos t

63

Pemetaan Laplace

Teorema 1.

£ [C1 f t C2 g t ]=C1F s C2G s

Contoh 2.

Tentukanlah pemetaan Laplace dari : y=5 Sin t 4 e2t

Penyelesaian

Missal f(t) = 5Sin(t), g(t) = 4e2t

y(t) = f(t) + g(t)

dari table pemetaaan Laplace

f(t) = 5Sin(t), F s =5.1

s21

g(t) = 4e2t G s =4 .1

s−2

Y(s) = F(s) + G(s)

Y s =5.1

s214 .

1s−2

Teorema 2.

Jika £ [ f t ]=F s maka £ [ e−kt f t ]=F sk

Contoh 3.

Tentukanlah pemetaan Laplace dari : y = 5e2tSin(t)

Penyelesaian

f(t) = Sin(t) F s =1

s21

⇒5e2t Sin t F s =5 .1

s−2 21=

5s2−4s5

Teorema 3.

£ [ f. t ]=sF s − f 0

dan

£ [ f n t ]=sn F s −s n−1 f 0 −sn−2 f.0 −. . .− f n−10

64

Pemetaan Laplace

Contoh 4.

Jika f(t) = t2 tentukanlah £ [ f..t ]

Penyelesaian

£ [ f..t ]=s2 F s−sf 0− f

.0

dengan

F s =2s3

f(t) = t2 f(0) = 0

f.t =2t f

.0 =0

maka

£ [ f..t ]=

2s

Teorema 4.

£ [∫0t

f d ]= 1s

£ [ f t ]

Contoh 5.

Jika F s =3

s s29 , tentukanlah f(t)

Penyelesaian

F s =3

s29 maka f t =Sin 3t

F s =3

s s29 maka f t =∫0

t

Sin 3t dt=−13

Cos 3t ]0

t

=13

[1−Cos 3t ]

65

Pemetaan Laplace

Sifat-sifat Transformasi Laplace.

£ [ f. t−. 1 t− ]=e− s .F s

£ [ t . f t ]=−dF s ds

£ [ t .2 f t ]=−d 2 F s

ds2

£ [ t .n f t ]=−1n

d nF s

ds n n=1,2,3,. . .

£ [1t f t ]=∫

0

∞

F s .ds jika limt 0

1t

f t exist

£ [ f ta ]=aF as

2. Penerapan Pemetaan Laplace pada Persamaan Diferensial

Pemetaan Laplace adalah tool yang sangat berguna dalam menyelesaikan persamaan

diferensial. Dipakainya Pemetaan Laplace dalam menyelesaikan persamaan diferensial

dikarenakan pemetaan Laplace mengubah persamaan dalam kawasan waktu menjadi

kawasan s (kompleks). Pemetaan Laplace mengubah persamaan diferensial menjadi

bentuk aljabar biasa. Penyelesaian persamaan diferensial adalah dengan mengubah balik

pemetaan Laplace sehingga diperoleh suatu penyelesaian dalam kawasan waktu t (waktu)

Contoh 6.

Selesaikanlah persamaan diferensial berikut.

y..−3y

.2y=0 dengan y(0) = 1 dan y

.0 =0

Penyelesaian

66

Pemetaan Laplace

£ [ y..−3y

.2y ] = £ [ y.. ]−3 £ [ y .]2 £ [ y ]=0

⇒ s2 Y s −sy 0 −y.0 −3 Y s − y 0 2Y s =0

⇒ s2 Y s −s−0−3 Y s −1 2Y s =0

⇒Y s =s−3

s2−3s2

£ 1 [Y s ]=£ 1[ s−3s2−3s2 ]

⇒s−3

s2−3s2=

s−3 s−1 s−2

=A

s−1

Bs−2 A=

s−3s−2

]s=1=2 dan

=s−3s−1

]s=2=−1

⇒s−3

s−1 s−2 =

2s−1

−1

s−2

£ 1[s3 s1s2 ]=£ 1[ 2

s−1 ]−£ 1[ 1s−2 ]

y t =2 et−e2t

Contoh 7.

Selesaikanlah persamaan diferensial berikut :

y.3y=0 y(3) = 1;

Penyelesaian.

£ [ y .]3£ [ y ]=0

sY(s) – y(0) + 3Y(s) = 0 Y s =y 0 s3

67

Pemetaan Laplace

y(t) = y(0)e-3t

Karena pada y(3) = 1 maka

1 = y(0)e-3(3) maka y(0) = e9

sehingga penyelesaian persamaan diferensial adalah :

y(t) =e9.e-3t = e9-3t

Contoh 7.

Selesaikanlah persamaan diferensial berikut :

y..3y=t ; y π2 =0 ; y

. π2 =0

jawab.

£ [ y..]£ [ y ]=£ [ t ]

s2 Y s −sy 0 −y.0 Y s =

1s2

Y s [ s21 ]−sy 0 −y.0 =

1

s2

Y s =1

s2 s21

s

s21y 0

1

s21y.0

Y s =1s2−

1s21

s

s21y 0

1s21

y.0

y t =y 0 . Cos t y.0 −1 . Sin t t

y.t =−y 0 . Sin t y

.0 −1. Cos t 1

y π2 =y 0 . 0y .0 −1. 1

2=0 y .

0 −1=−2

68

Pemetaan Laplace

y. 2 =−y 0 . 1y .

0 −1 . 01=0 y 0 =1

y t =Cos t −2

. Sin t t

Contoh 8.

Tentukanlah fungsi alih V o

V i dari Gambar 1 ketika Switch S ditutup pada t = 0. plotlah

Vo(t) untuk input Vi(t) fungsi unit step 6 satuan pada kasus :

a. R = 3 L = 0,2 H C = 22 F

b. R = 37 L = 0,2 H C = 22 F

c. R = 37 L = 0,09 H C = 22 F

Keadaan awal yaitu muatan pada kapasitor dan arus yang mengalir pada rangkaian adalah

nol.

Penyelesaian.

Persamaan tegangan rangkaian gambar 1

RiLdidt

1C∫ idt=V i …. … … … …. … … … … … … … … … … … … … …(1)

RI s LsI s 1

CsI s =V i s

⇒V i s =RLs1

Cs I s … … …. … … … … … … … … … … … … … … ..(2)

69

S

CE

L

Vo(t)

R

Vi

Gambar 1. Rangkaian R, L, C dengan input unit step

Pemetaan Laplace

Persamaan tegangan output (tegangan pada kapasitor)

V o=1C∫ idt

V o s = 1Cs

I s …. … … … …. … … … … … … … … … … … … … .. … … … (3)

Fungsi alih adalah perbandingan output terhadap input sehingga dari persamaan (2) dan

persamaan (3) diperoleh:

V o s

V i s =

1Cs

I s

RLs1

Cs I s

V o s

V i s =

1LC

s2RL

s1

LC

… …. … … … … … … … … … … … … … .. … … … ... (4)

Karena Vi adalah fungsi unit step 6 satuan dan dari table fungsi khusus No. 26 maka

diperoleh v0(t) :

v0 t =1−1

1−2e−n t

.Sin n1− 2 t−

=tan−11−2

dengan n2=

1LC

dan 2n=RL

Untuk kasus a yaitu R = 3 L = 0,2 H C = 22 F

Grafik tegangan output dengan tegangan input fungsi unit step 6 satuan ditunjukkan oleh

gambar 2.

Skript program dengan gnuplot

reset;

set sample 2000;

set dummy t;

set xrange [0 : 0.1];

set yrange [0 : 15];

set key off;

70

Pemetaan Laplace

set grid;

R = 3; # untuk kasus b dan c, harga R diganti dengan 37.

L = 0.2; # untuk kasus c, harga L diganti dengan 0.09.

C = 22e-6;

E = 6;

w2 = 1/(L*C);

w = sqrt(w2);

zw = R/(2*L);

z = zw/w;

fi = atan(sqrt(1-z**2)/z);

f(t) = 6*(1 - ((exp(-z*w*t)*sin((w*sqrt(1-z**2)*t)+fi))/sqrt(1-z**2)));

plot f(t);

Untuk kasus b yaitu R = 37 L = 0,2 H C = 22 F


gambar 3.

Untuk kasus c yaitu R = 37 L = 0,09 H C = 22 F


gambar 4.

71

Gambar 2. Respon transient terhadap unit step pada kasus a.

Pemetaan Laplace

3. Uraian Atas Pecahan Parsial.

Dalam menyelesaikan persamaan diferensial dengan metode pemetaan Laplace maka kita

akan menemukan suatu pecahan parsial yang berbentuk : Y s =F s G s

, dan pecahan

parsial ini akan kita sederhanakan menjadi suatu bentuk yang sederhana yaitu suatu

pecahan parsial yang mudah didapat dari tabel pemetaan Laplace.

72

Gambar 3. Respon transien terhadap unit step pada kasus b

Gambar 4. Respon transien terhadap unit step pada kasus c

Pemetaan Laplace

Kita akan menguraikan pecahan parsial atas faktor faktor dari penyebut yaitu :

Y s =F s G s

=A1

sa

A2

sb

A3

sc. . .

Sebelum kita melanjutkan Teknik menguraikan pecahan parsial maka ada baiknya kita

memperhatikan suatu kaidah yang akan bermamfaat dalam menguraikan pecahan parsial.

Kaidah tersebut adalah :

Untuk setiap pecahan parsial yang berkaitan dengan faktor yang berulang, pembilang

dapat diambil berderajat satu lebih kecil daripada derajat faktor yang diulang.

Contoh 9.

Uraiankanlah atas pecahan parsial dari pecahan rasional berikut :

−4s333 s2−58 s31

s−2 2 s1 s−1

Penyelesaian.

−4s333 s2−58 s31

s−2 2 s1 s−1=

A1

s−2

A2

s−22

A3

s1

A4

s−1 … … … … … … … … … ..(5)

kita hapuskan pecahan dalam persamaan (5), kita peroleh

−4s333 s2−58 s31=A1 s−2 s1 s−1 A2 s1 s−1 A3 s−2 2 s−1 A4 s−2 2 s1

… … … … … … … … … … … (6)

Dengan mengumpulkan derajat yang sama dari s pada persamaan (6) kemudian

menyederhanakan maka kita memperoleh :

−4s333 s2−58 s31= A1A3A4 s3−2A1A2−5A 3−3A 4 s2−A18A 3 s2A1−A2−4A34A4

… … … … … … … … … … … (7)Dengan menyamakan koefisien pada ruas kiri dengan ruas kanan pada derajat s yang

sama pada persamaan (7)

A1 + A3 + A4 = -4

-2A1 + A2 – 5A3 – 3A4 = 33

-A1 + 8A3 = -58 … … … … … … … … … … … ... .(8)

2A1 – A2 – 4A3 + 4A4 = 31

Dengan menyelesaikan persamaan (8) maka kita peroleh :

A1 = 2, A2 = 5, A3 = -7, A4 = 1

73

Pemetaan Laplace

Dalam menyelesaikan persamaan (5) kita dapat mengambil jalan pintas yaitu :

A2=−4s333 s2−58 s31

s1 s−1 ]s=2=5 A3=

−4s333 s2−58 s31

s−2 2 s−1]s=−1=−7

A4=−4s333 s2−58 s31

s−2 2 s1 ]s=1=1

Tetapi timbul suatu masalah yaitu kita tidak dapat mencari nilai untuk A1 pada cara pintas

ini, sehingga kita memerlukan satu dari persamaan (8) untuk mencari harga A1, kita

hanya memerlukan satu saja karena yang lainnya telah diperoleh (A2, A3, A4).

-A1 + 8A3 = -58 dengan memasukkan harga A3 maka diperoleh A1 = 2

−4s333 s2−58 s31

s−2 2 s1 s−1=

2s−2

2

s−22−

7s1

1

s−1

Contoh 10.


3s2−s3

s1 s−1 s−3

Penyelesaian

3s2−s3

s1 s−1 s−3=

A1

s1

A2

s−1

A3

s−3

⇒ A1=3s2−s3

s−1 s−3]s=−1=

78

⇒ A2=3s2−s3

s1 s−3 ]s=1=−

54

⇒ A3=3s2−s3

s1 s−1]s=3=

278

3s2−s3s1 s−1 s−3

=

78

s1−

54

s−1

278

s−3

74

Pemetaan Laplace

Contoh 11.


18 s220 s18

s3 s−3 s21 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (9)

Penyelesaian

18 s220 s18

s3 s−3 s21 =

A1

s3

A2

s−3

A3 sA4

s21 … … … … … … … … … … (10)

⇒ A1=18 s220 s18

s−3 s21 ]s=−3=−2 ⇒ A2=

18 s220 s18

s3 s21 ]s=3=4

Koefisien A3 dan A4 tidak dapat kita peroleh dengan metode jalan pintas sehingga kita

harus menghapuskan pecahan dalam persamaan (10)

18 s220 s18=A1 s−3 s21 A2 s3 s21 A3 sA4 s3 s−3

… … … … … … … … … … (11)

dari persamaan (11) dapat dilihat koefisien s pangkat 3

A1 + A2 + A3 = 0

Dengan memasukkan harga A1 dan A2 maka harga A3 = -2

Koefisien A4 diperoleh dari

-3A1 + 3A2 - 9A4 = 18

Dengan memasukkan harga A1 dan A2 maka harga A4 = 0

Akhirnya persamaan (11) dapat ditulis dengan :

18 s220 s18

s3 s−3 s21 =

−2s3

4

s−3−

2ss21

75

Pemetaan Laplace

4. Fungsi Unit Step, Pergeseran pada Salib Sumbu–s dan Pergeseran pada

Salib Sumbu-t

Pergeseran salib sumbu-s mengikuti teorema 2, yaitu :

Jika F s =£ [ f t ] maka F s−a =£ [ eat . f t ]Contoh penerapan adalah pada table 1 no. 5, 8, 9 yaitu :

f (t) F(s)

ekttnn !

s−k n1

ektSin(t)m

s−k 2m2

EktCos(t)s−k

s−k 2m2

Pergeseran pada salib sumbu-t (waktu)

Jika f(t) memiliki pemetaan Laplace F(s) maka fungsi :

f t ={ f t−a t≥a0 ta dengan a≥0

memiliki pemetaan Laplace e-asF(s)

Fungsi Unit Step diperlihatkan pada gambar 5a, sedangkan gambar 5b adalah

fungsi unit step yang mengalami pergeseran waktu atau dapat ditulis U(t-a)

Dalam bentuk umum kita dapat menuliskan fungsi unit step sbb.

76

1

U(t)

0 ta

1

U(t-a)

t(a)

(b)

Gambar 5. Fungsi Unit Step

Pemetaan Laplace

U t−a=[0 ta1 ta ]

Pemetaan Laplace dari fungsi unit step ini adalah : £ [U ta ]= e−as

sPemamfaatan fungsi unit step ini ditunjukkan pada gambar 6, yaitu :

Jika £ [ f t ]=F s maka £ [ f t−a .U t−a ]=e−as . F s .

Contoh 12.

Tentukanlah pemetaan balik (inverse Laplace Transform) dari e−3s

s3

PenyelesaianDari table pemetaan Laplace

F s =2s3 f t =t2

F s =1s3 f t =

t2

2

£−1 [e−3s 1

s3 ] f t =12

t−3 2 U t−3

77

0 1 2 3 4 5 6 7-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7-1

0

1

f(t) = Cos (t)

f(t-1)= Cos (t-1)

U(t-1)

f(t-1).U(t-1)

Gambar 6. f(t-1).U(t-1), dengan f(t) = Cos(t)

Pemetaan Laplace

Contoh 13.

Representasikanlah fungsi pada gambar 7 dalam bentuk fungsi unit step, dan tentukanlah

pemetaan Laplace.

Penyelesaian

f(t) = 5U(t-3) – 5U(t-5)

£[f(t)] = £[5U(t-3) – 5U(t-5)]

F s =5. 1s

. e−3s−1s

e−5s

Contoh 14.

Suatu rangkaian RC (gambar 8) diberikan suatu fungsi pulsa pada gambar 7. Jika

sebelum pulsa diberikan muatan pada kapasitor adalah nol dengan R = 2,2 ohm dan C =

2,2 F. Tentukanlah arus I(t).

78

3 5

3

5

5

5

-5

5U(t-3)

-5U(t-5)

Gambar 7. Representasikan fungsi pulsa sebagai fungsi unit step

R

C

E

I

Gambar 8. Rangkaian RC dengan E adalah fungsi pulsa

Pemetaan Laplace

Penyelesaian

Persamaan tegangan pada rangkaian

Ri1C∫ idt=E

RI s 1

CsI s =

5s

e−3s−e−5s

⇒ I s =

ER

s1

RC

e−3s−e−5s

i t =ER[e−t−3

RC . U t−3−e−t−5

RC .U t−5 ]

Fungsi Impuls

Fungsi Impuls memiliki harga yang sangat besar pada selang waktu yang sangat

singkat (dt) dan nol pada waktu t yang lainnya.

t={∞ t=00 t≠0 }

79

0 1 2 3 4 5 6 7 80

2

4

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

0

1

2

3x 10

-3

E

A rus

Gambar 9. Arus pada rangkaian RC dengan sumber sebuah pulsa

Pemetaan Laplace

Fungsi impuls memiliki pemetaan Laplace = 1 yaitu £[(t)] =1, untuk fungsi impuls

yang mengalami keterlambatan waktu sebesar a maka pemetaan Laplacenya :

£[(t-a)] = e-as

Contoh 15.

Rangkaian pada gambar 11 dikenakan fungsi impuls, arus yang mengalir pada induktor

pada t = 0 adalah nol. tentukanlah i(t) .

Jawab.

80

0t

0ta

Gambar 10. Fungsi Inpuls yang mengalami pergeseran sebesar a detik

L

R

d(t)

Gambar 11. Rangkaian RL dikenakan fungsi impuls

Pemetaan Laplace

E=R .iLdidt

⇒E s =R . I s LsI s

⇒ I s =E s

L.

1

sRL

I s =

1L

.1

sRL

⇒ i t =1L

. e−R

Lt

grafik arus terhadap waktu rangkaian pada gambar 11 diperlihatkan pada gambar 12

81

Gambar 12. Karakterik arus pada rangkaian gambar 11.

Pemetaan Laplace

5. Fungsi Fungsi Periodik.

Pemetaan Laplace untuk fungsi fungsi periodik f(t) dengan perioda p diberikan oleh :

£ [ f t ]= 11−eps∫0

pe−st .f(t)dt

Contoh 16.

Tentukanlah pemetaan Laplace dari fungsi gambar 12.

Jawab.

£ [ f t ]= 1

1−e4s [∫0

2e−st .dt∫2

4e−st . 0 . dt ]

⇒−1

1−e4s . s[e−st ]0

2 ⇒−

1

1−e4s . s[e−2s−1 ]0

2

Contoh 17.

Switch S pada gambar 13 berada pada posisi 1 ketika t = 0 dan dipindahkan keposisi 2

pada t = 0.2 detik. Jika muatan awal pada kapasitor nol, R1 = 120 , R2 = 12 , C = 470

F dan tegangan catu daya DC 15 volt, tentukanlah tegangan pada kapasitor .

82

2 40

Gambar12. Fungsi pulsa dengan lebar 2 satuan dan perioda 4 satuan

SR1

CE

+

-R2

1

2

Gambar 13. Switch dipindahkan keposisi 2 pada t = 0.1 detik

Pemetaan Laplace

Jawab.

Pada saat Switch pada posisi 1, persamaan tegangan :

E=R1 i1C∫ i . dt

⇒E s =R1 I s 1

CsI s

⇒ I s =1R1

.s . E s

s1

R1 C

⇒ I s =ER1

.1

s1

R1Ci t =

ER1

. e−

1R1 C

t

i(t) = 0,125.e-17,73.t

tegangan pada kapasitor adalah :

vc t =1C∫ 0,125 . e−17 ,73 . t . dt

⇒ vc t =−0,125

C .−17 , 73e−17 ,73 . tk

Karena pada saat t = 0 muatan pada kapasitor nol, maka harga k = 15

⇒ vc t =151−e−17 ,73 .t … … … …. … … … … … .. … … … … … …. … … (12)

Pada saat Switch S pada posisi ke 2, persamaan tegangan :

R2 .i1C∫ i . dt=0

R2 I s 1

CsI s −vc 0 . U t−0,2 =0

dari persamaan (12) diperoleh harga vc(0) yaitu tegangan pada kapasitor pada saat switch

S pindah keposisi 2. Tegangan pada kapasitor vC(0) pada saat switch berpindah keposisi

2 = 14,57V

⇒R2 I s 1

CsI s =14 , 57 .

e0,2 s

s

⇒ I s =14 ,57

R2.

e0,2 . s

s1

R2 C

i t =1, 21 e−177 ,3 t−0,2 . U t−0,2

tegangan pada kapasitor

83

Pemetaan Laplace

vc t =1C∫ i . dt

vC t =1C∫ 1, 21 e−177 ,3 t−0,2 . U t−0,2 . dt

vC t =14 , 57. e−177 ,3 t−0,2 .U t−0,2 … … … …. … … … … … .. … … … … … …(13)

tegangan pada kapasitor adalah :

1. ⇒ vc t =151−e−17 ,73 .t pada saat switch pada posisi 1

2. ⇒ vC t =14 , 57 . e−177 ,3 t−0,2 . U t−0,2 pada saat switch pada posisi 2

Gambar 14 memperlihatkan grafik tegangan pada kapasitor

Contoh 18.

Switch S pada gambar 15 berpindah keposisi 2 ketika t = 0,1 detik. Jika keadaan

awal (t = 0) arus yang mengalir pada rangkaian nol. Tentukanalah arus yang mengalir

pada rangkaian tersebut. Diketahui E = 150 volt, R1 = 10 , R2 = 1 , dan L = 0,1H.

Jawab.

Ketika Switch S pada posisi 1, persamaan tegangan :

E=R1 iLdidt

84

Gambar 14. Grafik pengisian dan pengosongan muatan pada kapasitor.

Pemetaan Laplace

⇒E s =R1 I s LsI s −LI 0 ⇒ I s =

EL

.1

s sR1

L

⇒ I s =ER1 1

s−

1

sR1

L ⇒ i t =ER1

1−e−

R1

L. t

i t =151−e−100 t

Ketika Switch S pada posisi 2, persamaan tegangan :

0=R1R2 iLdidt

⇒ 0= R1R2 I s LsI s −L . i 0 . U t−0,1

I s =i 0 .e0,1 . s

s110 … … … … … … … … … … …. … …. … … … … … …. . (14)

dengan harga : i 0 =151−e−100 0,1 =14 , 99

maka persamaan (14) menjadi

i t =14 , 99 .e−110t−0,1

85

S

R1

LE

+

- R2

1

2

Gambar 15. Rangkaian contoh 18.

Pemetaan Laplace

Contoh 19.

Tentukanlah arus pada sisi primer dan sekunder transformator pada gambar 17. Pada saat

Switch S ditutup (t = 0) arus pada rangkaian adalah nol. Diketahui R1 = 0.1 , R2 = 10

L1 = 0,25 H, L2 = 0,5H dan induktansi bersama M = 0,1 H, sumber DC = 100 volt.

Jawab.

Persamaan tegangan pada sisi primer:

E=R1 . i1L1 .di1

dt−M

di2

dt⇒R1. I 1 s L1 . s . I 1 s −M . s . I 2 s =E s

86

R1

R2L1 L2

ME

S

Gambar 17. Transformator dengan sumber tegangan DC

Gambar 16. Grafik arus pada rangkaian RL

Pemetaan Laplace

0,10,25 s . I 1 s −0,1 . s=100

s … … … … … … … … … … …. … …. … … (15)

Persamaan tegangan pada sisi sekunder:

−Mdi1

dtR2 . i2L2 .

di2

dt=0

−MsI 1 s R2L2 . s I 2 s =0

−0,1 sI1 s 100,5. s I 2 s =0 … … … … … … … … … … …. … …. … … (16)

dari persamaan (15) dan persamaan (16) diperoleh :

[0,10, 25 s −0,1 s−0,1 s 100,5 s ][ I 1 s

I 2 s ]=[100 /s0 ]

[I 1 s I 2 s ]= 1

0,10, 25 s . 100,5 s −−0,1 s 2 [100,5 s 0,1 s0,1 s 0,10, 25 s ][100 /s

0 ]I 1 s =

100050 s

s [ 0,10, 25 s . 100,5 s −0,1 s 2]

I 2 s =10

[ 0,10,25 s . 100,5 s −0,1 s 2 ]

⇒ I 1 s =1000s s21 , 77 s0, 40

50s21 , 77 s0, 40

⇒ I 2 s =10 s21 , 77 s0, 40

⇒i1 t =1000 [0,115 1−0, 047 21 ,77 e−0, 40 t−0, 40 e−21 , 77t ]50 [0, 047 21 , 77 e−0,40 t−0, 40 e−21 , 77 t ]

⇒ i2 t =10 [−0, 047 0, 40 e−21 ,77 t−21 , 77 e−0, 40 t ]

87

Pemetaan Laplace

Contoh 20.

Gambar 19 memperlihatkan pengaturan motor DC jenis medan terpisah. Tentukanlah

respons kecepatan sudut () motor DC jika :

ea tegangan sumber 12 volt.

Ra Resistansi kumparan jangkar 1,2

La induktansi kumparan jangkar 0,2 mH.

J moment inertia dari motor dan beban 0,2 kg-m2

b koefisien gesekan viskos motor dan beban 0,01 N.m/rad/sec

88

Ra La+

-

Ea

+

-

EbT

if

wJ

b

Gambar 19. Pengaturan motor DC

Gambar 18. Arus belitan primer dan arus belitan sekunder pada transformator

Pemetaan Laplace

Jawab.

Torsi yang dihasilkan oleh motor :

T = k.if.ia dengan k = konstanta

Karena medan kontant maka torsi motor menjadi

T = kt.ia … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …(17)

dengan kt = konstanta torsi motor dengan harga 1,6 Nm/A

Rotor motor berputar mengakibatkan timbulnya emf (Eb) yang besarnya :

Eb = C dengan C = konstanta fisik motor

Karena if konstant sehingga konstant maka tegangan emf menjadi

Eb = kb … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (18)

Dengan kb = konstanta emf dalam hal ini 0,2V/rps

Torsi yang dihasilkan motor menggerakkan beban dan digambarkan dalam bentuk

persamaan (19)

T=Jddtb … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (19)

Persamaan sumber tegangan yang menggerakkan motor DC :

Ra iaLa

dia

dtEb=Ea … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (20)

Dengan mengambil pemetaan Laplace persamaan (17),(18), (19) dan (20) diperoleh :

s E a s

=k t

La . j . s2Ra . jLa . b s Ra . bk t . k b … … … … … … … … … … (21)

dengan memasukkan harrga harga kedalam persamaan (21)

⇒ s

Ea s =

40 . 000

s26 . 000 s8.300

⇒ s =12 .40 . 000 s . s1,4 s5. 998 , 6

t =57 , 16 11, 67.10−4 1,4 e−5998, 6t−5998 , 6 e−1,4 t

89

Pemetaan Laplace

6. Konvolusi

Dalam pemetaan Laplace terutama dalam penerapan system kendali kita akan selalu

menjumpai persamaan Laplace dalam bentuk fungsi alih sistem G s =C s R s

dengan

G(s) fungsi alih sistem, C(s) output respons, R(s) sinyal input. Respons output system

untuk berbagia sinyal input ditulis dengan C(s) = G(s).R(s).

Jika g t =£1 [G s ] dan r t =£ 1 [ R s ]

Output respons terhadap waktu c(t) dapat ditulis dengan :

c(t) = (g * r)(t) disebut juga konvolusi dari fungsi r(t) dan fungsi g(t)

memperoleh hasil c(t) dari fungsi r(t) dan fungsi g(t) dikenal dengan teorema Konvolusi

c t =g∗r t =∫0

t

g .r t−d

90

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-10

0

10

20

30

40

50

60

detik

rps

Gambar 20. Respons kecepatan sudut motor DC

Pemetaan Laplace

Contoh 21.

Misalkan output respons sistem C s =1

s2 s−2 tentukanlah c(t).

Jawab.

£ [C s ]=£ [ 1

s2 s2−2 ]

R s =1s2 dan G s =

1s−2

⇒£ [ 1

s2 ]=t dan £ [ 1 s−2 ]=e2t

c(t) = (r*g)(t) = ∫0

t

r . g t− d

⇒ c t =∫0

t

e2 t−. d

⇒ c t =e2t∫0

t

e−2 . d ⇒14

[ e2t−2t−1 ]

Contoh 22.

Tentukanlah output respons vc(t) pada rangkaian RC (gambar 21) jika sinyal input

merupakan fungsi ramp R s =1s2

Jawab.

v i=R .i1C∫ i . dt dan vo=

1C∫ i . dt

V i s =[ RCs1Cs ] I s dan V o s =

1Cs

. I s

91

Pemetaan Laplace

V o s

V i s =

1RC

s1

RC

disebut fungsi alih

karena sinyal input Vi = R(s) adalah fungsi ramp = 1s2

V o s =

1RC

s2 s 1RC

karena ⇒£ [ 1

s2 ]=t dan £ [ 1

s 1RC ]=e

−1

RCt

vo t =r∗g t =1

RC∫0

t

. e− t−

RC . d

vo t =RC e− 1RC

. t−1 t

92

Gambar 21. Rangkaian RC dengan vi adalah fungsi ramp

V i V o

R

C

Pemetaan Laplace

Kerjakanlah latihan berikut ini

1. Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi berikut :

a).

2. Tentukanlah f(t) dari F(S) berikut :

a. F s =1

s25sb. F s =

2s−π

s2 s−πc. F s =

s1

s2 s23

3. Plotlah f(t) dari F(s) berikut :

a. F s =2

s20,5 s4b. F s =

2ss23s8

4. Gambarkanlah fungsi berikut dan kemudian tentukanlah pemetaan Laplacenya.

a. (t-3).U(t-3) b. U(t-/2).Cos(t) c. U(t-).Sin(t-/2)

93

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.5

1

1.5

5

2 t

b).

4

2 t

c).

Pemetaan Laplace

5. Tentukanlah output respons dari rangkaian RC dan RL (gambar 23a. dan gambar 23b)

jika dikenai fungsi input berupa :

94

V i V o

R

CV oR

L

(a) (b)

Gambar 23. Menetukan output respons dengan berbagai sinyal input

2

V

t

1.2.

10

-10

02

2

32

V

t2

2

3

4.

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

3.

Pemetaan Laplace

6. Switch S (gambar 24a, 24b, 24c) pada mulanya menutup, setelah keadaan steady state

tercapai switch S membuka. Plotlah tegangan output Vo(t) jika sinyal input Vi = Sin(2t).

Harga harga masing masing komponen : r = 1 , L = 0,25H, C = 1F, R = 1K.

95

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

5.

r L

RC SVi Vo

r L

RC SVi Vo

a.

b.

Pemetaan Laplace

96

r L

R

C

S Vo

rev pemetaan laplace

Documents