transformasi laplace & penggunaan
TRANSCRIPT
-
7/23/2019 Transformasi Laplace & Penggunaan
1/9
T&EN$FOruESN
MPMCIE
D&N
Pffi@GUNEEN
Transforma
si
Laplace
men
.
u.lyk
,";#';:;J,frkan
klas
dari
transformasi
integrat
yang
dimanfaatkan
:
aljabar.
' --
'uK
persamaan
diferensial
biasa
menjadi
u.ro*-
ffiurnu,,
untuk
merubah
persamaan
diferensial
parsial
menjadi
persamaan
diferensial
biasa.
1.
Definisi
Milut
tirngri
flr)
terdefini
.
unitaterat
I
iar;
iii;
;ffi;1::l"yY
t
>0
Maka
ransrom
L((t))
=
j
e-'r
f(t)
dt..........
n
sebagai:
-*'-'-'-rasi Laplace
(satu
sisi
atau
o
........(1.1)
Inregral
(l.l)
merupakan
I
orgunakan
adatah
Fisr
=
,*ig:1,,0'jtry
pafaneter
s.
m?
rransrormasi
iru"rs-,
-
(rrt)).
seaar.r-
;;d.
;.,#i,,l"fr'i.Jrilolfi,itnoolr;
(t):
z-,(FG)).
Agar
rransformasi
Laplace
F/
*iaa",
ai".iriifi:fff'"'}|iffiia
integral
tak
waiar
(
r.
r)
haruslah
konvergen
daa
J,'l*'"={iryi
e"'(r(t)dt
""""'
..........(12)
BrIa
^kita
coba
untuk
beber
transformasi
r.pr*"
*,*
,iiiY,
IfB
bit-s*
bulat
n.
secara
indukrif
didaparkan
FG)=
+
C,o)...................
s
'
............(1.3)
Maka
didapatkan
transformasi
,r".r..
;
[ )=
f,
contoh:
(s/
(rt-l)l
Tentukan
transformasi
Laplace
dari
f(f
=
",t
.
Dengan
menggunakan
definisi
(I.l)
didapatkan,
i(t].
ti+/
ecs+a)'idt=
;|n-"'".''/
;
D1b*t,t
t
t
.+)
didapatkan
transformasi
invers,
z
I
_
l=e,r
\
s-
a,/
5-,
(s
>
a)
....i1.4;
-
7/23/2019 Transformasi Laplace & Penggunaan
2/9
Beberapa
sifat
:
Sifat
keberadaan
transformasi,
sifat
ketunggalan
dan
sifat
linear
dari
transfomasi
Laplace namun
sebelumrya,
perhatil"U"u.rrp"'i3n#.iiL
.:,t.
Fun-ssi
f(t)
drsebur
kontinu
bagian
demi
bdd;il;'i;;;r
[a,b]
bita
:
i.
Inrervat
[a,bl
dapat
dibagi
menjadi
.rb;;il;;;i'y;ng
berhingga
banyaknya
yang
,, lenyefa \an
f(t)
kontinu
pada
sub-sub
inre;"i;.;.il;;'
r.
Lrmrr
dan
t(r)
pada
sedap
ujung
sub
interval
bernilai
hingga.
Fungsi
f(t)
disebut
terbatas
elspone_nsial
pada
intewal
[a,b]
bila
terdapat
bilangan
real
M dan
r
sehingga
berlaku
I
f(1)l
0.
Sedang
dengan
menggunakan
transformasi
invers
didapatkan
:
--ri
-a'l.s)
I ;
L
l:l=
|
f(x)dx............
"\s/
C'-'
"".....(1.t6)
Contoh :
Tentukan
invers
dari
:
G(s):
j-
g2
+2s
Jawab
:
Menggunakan
sifat (
I
.
I
1
),
c(s)
dapat
dituliskan
sebagai
:
G(s;
:
4
s)
6"rr*
o'
F(s)
=;J
Invers
dari
F(s)
adalah
(r)
--
4e2'.
Oleh
karena
itu, invers
dari
G(s)
adalah
g():J
4er-dx =
2(e2t
-
l)
0
Berikut
diberikan
tabel
pasangan
transformasi
Laplace
untuk
beberapa
fungsi
yang
bisa
diselesaikan
menggunakan
mltode
yang
dibe.ituri."tet
_rryu.
Tabel
1.1
Transformasi
Laplace
f(t)
F(s):
L((t))
Domain
dari
F(s)
T'(ne
J-)
nt
.,+l
s
s>0
eut
I
s-a
S>a
Sin
bt
b
;;t
s>0
Cos
bt
s
7;i
s>0
Sinh
bt
b
Ti
sr
l4
:
-
7/23/2019 Transformasi Laplace & Penggunaan
5/9
4.
Pergeseran
Terhadap
Sumbu
S
Misal
fungsi
f1t)
memounyai
rransformasi
Laplace.
F(s)
= L
((r)).
Maka grafik
hasil
transformasi
Laplace
dari
g(il
= e"
rtit,
d.,rc#%;;
gratik
hasil
kansformasi
lf"lll,g,fllf II:l
seg,rry
a
saruaa
kea"rah
r-ii
irir"
D0)
atau
kea
rah
kiri
bila
a
-
7/23/2019 Transformasi Laplace & Penggunaan
6/9
5.
Pergeseran
terhadap
sumbu
t
Misal
F(s)
:
L((0)
ada dan
didefinisikan tungsi
tangga g (t)
:
{0r(,_,,
.::
dengan
a>0.
Untuk
mencari
transfonnasi
laplace
dari
firngsi
tangga
g(t)
yang
terdefinisi
untuk
t>0
dapat
disetesaikan
d"rgu,
...p".f"nri"i[,
ffigri
rangga
satuan
Fungsi
tangga
satuan
atau
fungsi
Heaviside
didefinisikan
sebagai
berikut
Dengan
a
>
0
Garafik
fungsi
tangga
satuan
(1,19)
ditunjukan
pada
gambar
1
.2
berikut
L(g(T)
:
L
(f(t-a)u(t-a)
I
-,-
=
Je
-
r(r_
du(t_a)dt
0
=
J"
"
t(y_
a'tu(y_
a)dy
0
=
Je
"'
t(y-
a)jdy+
0
Ie-"'
f(y-
a)dy
:
te-"'
f(y-
a)dy
:
le-"tA*rt
qr,,6,
I
_
"-"s
J
e-.,
1(r)
0
:
e-".
F
(s)
Sehingga
diperoleh
transformasi
laplace
untuk
g(t)
:
(t
_
a)
u
(
t
_
a)
-
7/23/2019 Transformasi Laplace & Penggunaan
7/9
L(g(t))
=
L(f(t
-
a)u(t
-
a))
=
s-as
pir;
Sedqngkan
transformasi
invers
L-,
G*'FG))
:
f(t
-
a)u(t
-
a)
:
e(t)
Misal
f(t
-
a)
:
1
maka
f(t)
:
1
fungsi
tangga
satuan
r[u(t
-
a)]:
e-"'
s
Dan
Transformasi
Invers
:
("-"
)
-
i I
-
I-
t-'(
"
,/-u(t-at
dan
F(s)
:
j
,
maka
didanatkan
transformasi
Laplace
dari
Contoh
:
I:-r.T1p""".-asi
Laplace
dari
tunssi gft)
=
t
u(t
_
2)
renyelesaran
:
Bila
kita padankan
dengan pasangan
transformasi
Laplace,
g(t)
= f(t
_
a)u(t
_
a)
++G(s)
=,.'^
tG).
maka
dimisalkan
f
(
t-)):
t.
oren
tarena'in,
ii,i=i
_
z
dan
F(s)
:
,
+:.Jadi
Transformasi
Laplace
dari
fungsi g(r)
adalah
G(s) =
e-2u.
F(s)
_
"*,
jr._:
Contoh
:
Tentukan
Iavers
dati
transformasi,
G(s)
=
e-11\
s'+4
Penyelesaian
:
Misal:Fis-1=
'1-
s'+4
Maka
invers
dari
F(s)
adalah
f( t)
=
*rirZt
Dengan
menggunakan
bentuk
1.21
maka didapatkan
invers dari G(s),
g(t):
sh2(t-
r)u(
-
n)
-
7/23/2019 Transformasi Laplace & Penggunaan
8/9
U
NIVERSITAS BHAYANGKARA
SURABAYA
Jl. A. Yani
114
Surabaya
Telp.
8285602
e&.1'tu1
/_?
tco)
=
-
s
Yco)
-Y'(o
o-l
?xi
.
l'a""t
-
s
Yco)
-Y'Co)
-
+
$
(s
-7)(l
tt)
f
C
Ct
-ct
AC9-9)(s
+t
"--et\
-2
D=-E
J>q-4
1=1,4-JAz
-
7/23/2019 Transformasi Laplace & Penggunaan
9/9