※ KOORDINAT KARTESIUS &

KOORDINAT KUTUB

o

x A (x,y)

KOORDINAT KARTESIUS

y

Suatu titik A dapat dinyatakan

sebagai pasangan berurut A(x,y)

X : jarak titik A terhadap sumbu -Y

y : jarak titik A terhadap sumbu -X

Ingat

!! o

(+x , +y) (-x, +y)

(-x , -y) (+x,+ y)

※ KOORDINAT KARTESIUS &

KOORDINAT KUTUB

o

A (r, )

KOORDINAT KUTUB

Suatu titik A dapat dinyatakan

sebagai pasangan berurut A(r,)

r : jarak titik A terhadap titik asal O

(0,0) : besar sudut antara sb-X (x positif)

terhadap garis OA

Ingat

!!

o

(r , K1) (r , K2)

(r ,

K3)

(r ,

K4)

r

Besar sudut di

berbagai kuadran

※ KOORDINAT KARTESIUS &

KOORDINAT KUTUB

1. Jika diketahui Koordinat

Kutub ( r , ) :

Maka :

Ingat Letak kuadran…

Hubungan Koordinat Kartesius & Koordinat Kutub :

o

A

r

x

y

rxCos =

r

ySin =

x = r. cos

y = r. sin

2. Jika diketahui Koordinat

Kartesius ( x , y ) :

Maka : r =

tan =

22 yx

x

y

o

A (r, )

Contoh Soal :

600

8

Diketahui Koordinat Kutub :

Maka : x = r. cos

y = r. sin

Ubahlah ke Koordinat Kartesius :

Titik A ( 8,600 )

Jawab :

Titik A ( 8,600 ) x = r. cos y = r. sin

= 8 . cos 600

21 3

21

= 8 .

x = 4

= 8. sin 600

= 8.

y = 43

Jadi A ( 8,600 ) A ( 4, 43 )

o

B (r, )

Contoh Soal :

1500

12

Diketahui Koordinat Kutub :

Maka : x = r. cos

y = r. sin

Titik A ( 12 , 1500 )

Jawab :

Titik A ( 12, 1500 ) x = r. cos y = r. sin

= 12 . cos 1500

21

321= 12 .

x = – 63

= 12. sin 1500

= 12.

y = 6

Jadi B ( 12,1500 ) B (– 63, 6 )

= 12 . – cos 300 = 12. sin 300

Contoh Soal :

Diketahui Koordinat Kartesius :

Ubahlah ke Koordinat Kutub :

Titik A ( 4, 43 )

Jawab :

Titik A (4, 43 )

Jadi A( 4, 43 ) A ( 8,600)

o

4 A (x,y)

43 Maka : r =

tan =

22 yx

x

y

r

r =

r = 4816

22 )34(4 4

34

r = 64

r = 8

tan = x

y

tan =

tan = 3

= 600

Contoh Soal :

Diketahui Koordinat Kartesius :

Titik A ( 4, – 4)

Jawab :

Titik A (4, – 4)

Jadi A( 4, – 4 ) A ( , 3150)

o

4

A (x,y)

Maka : r =

tan =

22 yx

x

y

r =

r = 32

22 44

44

24

r = 24

tan = x

y

tan =

tan = – 1

= 3150

- 4

o

(r , K1) (r , K2)

(r ,

K3)

(r ,

K4)

K1

A B

C D

※ Yang Perlu diingat :

Koordinat

Kartesius

Koordinat

Kutub

(r ,

K1) I. A (X+ , y+)

r

II. B (X– ,

y+)

(r ,

K2)

r

III. C (X – , y –

)

r

(r ,

K3)

IV. D(X+ , y

–)

r

(r ,

K4)

o

(r , K1) (r , K2)

(r ,

K3)

(r ,

K4)

K1

A B

C D

Coba, Amati perbedaan sudutnya……

※ Perhatikan contoh berikut :

Koordinat

Kartesius

Koordinat

Kutub

(42 , 450) I. A (4 , 4) r

II. B (-4 , 4) (42 ,1350)

r

III. C (-4 , -4 )

r

(42 , 2250)

IV. D(4 , -4)

r

(42 , 3150)

※ Soal Latihan :

Kerjakan Soal-latihan Buku BULETIN

MATEMATIKA

Kerjakan secara Teliti ….

Aktivitas 4 hal 36 Aktivitas 19 hal 34 atau

1. Nyatakan koordinat kartesius dalam koordinat kutub :

a. ( 33, 3 ) b. ( – 5, – 5 ) c. ( – 2, 23 ) d. ( 1, –3)

1. Nyatakan koordinat kartesius dalam koordinat kutub :

a. ( 8, 300 ) b. ( 2, 1200 ) c. ( 4, 2400 ) d. ( 20, 3300)

Menentukan proyeksi dan besar sudut dalam

ruang dimensi tiga

Proyeksi Pada Bangun Ruang:

proyeksi titik pada garis

proyeksi titik pada bidang

proyeksi garis pada bidang

Proyeksi titik pada garis

Dari titik P

ditarik garis m garis k

garis m memotong k di Q,

titik Q adalah

hasil proyeksi

titik P pada k

P

Q

k

m

Contoh

Diketahui kubus ABCD.EFGH Tentukan proyeksi titik A pada garis a. BC b.BD c. ET (T perpotongan AC dan BD).

A B

C D

H

E F

G

T

Pembahasan Proyeksi titik A pada

a. BC adalah titik

b. BD adalah titik

c. ET adalah titik

A B

C D

H

E F

G

T

B

T

A’

A’ (AC ET)

(AB BC)

(AC BD)

Proyeksi Titik pada Bidang

Dari titik P di luar bidang H ditarik garis g H. Garis g menembus bidang H di titik P’. Titik P’ adalah proyeksi titik P di bidang H

P

P’

g

Contoh Diketahui kubus ABCD.EFGH a. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah…. b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah….

A B

C D

H

E F

G

Pembahasan a. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah CE BDG

A B

C D

H

E F

G

(EA ABCD)

A P

P

Proyeksi garis pada bidang Proyeksi sebuah garis ke sebuah bidang dapat diperoleh dengan memproyek- sikan titik-titik yang terletak pada garis itu ke bidang.

A

A’

g

Jadi proyeksi garis g pada bidang H

adalah g’

B

B’ g’

Fakta-fakta 1. Proyeksi garis pada bidang umumnya berupa garis

2. Jika garis h maka proyeksi garis h pada bidang berupa titik.

3. Jika garis g // bidang maka g’ yaitu proyeksi garis g pada dan sejajar garis g

Contoh 1 Diketahui kubus ABCD.EFGH a. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD adalah…. A B

C D

H

E F

G

b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm, Panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah….

Pembahasan a. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD berarti menentukan proyeksi titik E dan F pada bidang ABCD, yaitu titik A dan B

A B

C D

H

E F

G

Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB

Pembahasan b. Proyeksi garis CG pada bidang BDG berarti menentukan proyeksi titik C dan titik G pada bidang BDG, yaitu titik P dan G

A B

C D

H

E F

G

Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan panjangnya?

P

6 cm

A B

C D

H

E F

G •Panjang proyeksi CG pada BDG adalah panjang garis PG. •PG = ⅔.GR = ⅔.½a√6 = ⅓a√6 = ⅓.6√6

P

R

•Jadi panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah 2√6 cm

6 cm

Contoh 2 Diketahui limas beraturanT.ABCD dengan panjang AB = 16 cm, TA = 18 cm Panjang proyeksi TA pada bidang ABCD adalah….

T

A

D C

B 16 cm

Pembahasan Proyeksi TA pada bidang ABCD adalah AT’. Panjang AT’= ½AC = ½.16√2 = 8√2

T

A

D C

B 16 cm T’

Jadi panjang proyeksi TA pada

bidang ABCD adalah 8√2 cm

Sudut Pada Bangun Ruang:

Sudut antara dua garis

Sudut antara garis dan bidang

Sudut antara bidang dan bidang

Sudut antara Dua Garis Yang dimaksud dengan

besar sudut antara

dua garis adalah

besar sudut terkecil

yang dibentuk

oleh kedua

garis tersebut

k

m

Contoh Diketahui

kubus ABCD.EFGH

Besar sudut antara

garis-garis:

a. AB dengan BG

b. AH dengan AF

c. BE dengan DF

A B

C D

H

E F

G

Pembahasan Besar sudut antara

garis-garis:

a. AB dengan BG

= 900

b. AH dengan AF

= 600 (∆ AFH smss)

c. BE dengan DF

= 900 (BE DF)

A B

C D

H

E F

G

P

Q

Sudut antara Garis dan Bidang

Sudut antara garis a dan bidang

dilambangkan (a,) adalah sudut antara

garis a dan proyeksinya pada .

Sudut antara garis PQ dengan V = sudut antara PQ dengan P’Q = PQP’

P’

Contoh 1 Diketahui

kubus ABCD.EFGH

panjang rusuk 6 cm.

Gambarlah sudut

antara garis BG

dengan ACGE,

A B

C D

H

E F

G

6 cm

Kemudian hitunglah besar sudutnya!

Pembahasan Proyeksi garis BG

pada bidang ACGE adalah garis KG (K = titik potong

AC dan BD) A B

C D

H

E F

G

6 cm

Jadi (BG,ACGE) = (BG,KG)

= BGK

K

Pembahasan BG = 6√2 cm

BK = ½BD = ½.6√2 = 3√2 cm ∆BKG siku-siku di K A B

C D

H

E F

G

6 cm

sinBGK =

Jadi, besar BGK = 300

K

BG

BK

2

1

26

23

Contoh 2 Diketahui

kubus ABCD.EFGH

panjang rusuk 8 cm.

A B

C D

H

E F

G

8 cm

Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah….

Pembahasan tan(CG,AFH)

= tan (PQ,AP) = tan APQ = =

A B

C D

H

E F

G

8 cm

P

Q

PQ

AQ

8

24

8

28.21

GC

AC21

Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah ½√2

Contoh 3 Pada limas

segiempat beraturan

T.ABCD yang semua

rusuknya sama panjang,

sudut antara TA dan bidang ABCD

adalah….

T

A B

C D

a cm

a cm

Pembahasan • TA = TB = a cm • AC = a√2 (diagonal persegi)

• ∆TAC = ∆ siku-siku samakaki

T

A B

C D

a cm

a cm

sudut antara TA dan bidang ABCD

adalah sudut antara TA dan AC

yang besarnya 450

Sudut antara Bidang dan Bidang

Sudut antara

bidang dan bidang

adalah sudut antara

garis g dan h, dimana

g (,) dan h (,).

(,) garis potong bidang dan

(,)

g

h

Contoh 1 Diketahui kubus ABCD.EFGH a. Gambarlah sudut antara bidang BDG dengan ABCD b. Tentukan nilai sinus sudut antara BDG dan ABCD!

A B

C D

H

E F

G

Pembahasan a. (BDG,ABCD) • garis potong BDG dan ABCD BD • garis pada ABCD yang BD AC • garis pada BDG yang BD GP

A B

C D

H

E F

G

Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC)

=GPC

P

Pembahasan b. sin(BDG,ABCD) = sin GPC = = = ⅓√6 A B

C D

H

E F

G

Jadi, sin(BDG,ABCD) = ⅓√6

P

GP

GC

x 6a

a

21 .6

6

6

6

21

• Lihat ∆ TPC PT = 6√2, PC = 3√3 Aturan cosinus TC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cosTPC 81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cosTPC

36√6.cosTPC = 99 – 81 36√6.cosTPC = 18 cosTPC =

=

A

B

C

T

P 2 1

62

1

6

6x

12

6

• Lihat ∆ TPC cosP = Maka diperoleh Sin P = Jadi sinus (TAB,ABC)

=

12

6

12

√6

6 144 -

P 138

12

138

12

138