TRANSFORMASI LAPLACE DAN INVERSE

Metode transformasi Laplace adalah sebuah metode operasional yang digunakan

untuk menyelesaikan persamaan differensial linier. Transformasi laplace dapat

mengkonversi fungsi-fungsi seperti, fungsi sinusoidal, fungsi exponensial, dan

memasukkan fungsi aljabar ke dalam fungsi variable kompleks s. Operasi differensial dan

integral dapat ditempat-ulangkan oleh operasi aljabar dalam bidang kompleks. Dengan

demikian persamaan differensial linier dapat ditransformasikan ke dalam persamaan

aljabar dalam sebuah s variable kompleks.

Dalam transformasi laplace notasi s sebagai variable kompleks dinyatakan dengan

Transformasi Laplace dari fungsi dinyatakan dalam

Exponential function

Step function

Ramp function

Sinusoidal function

Translated function

Pulse function

Impulse function

Multiplication of by

LAPLACE TRANSFORM THEORMSReal Differential Theorm

Contoh soal: [lihat buku Ogata]

INVERSE LAPLACE TRANSFORMATIONPartial Fraction

Contoh 1.Cari inverse laplace dari persamaan berikut

Jawab

Contoh 2Dapatkan inverse laplace untuk persamaan

Di sini derajat numerator lebih tinggi dari denominator, karena itu numerator harus dibagi dahulu dengan denominator.

Contoh 3Cari inverse lapalce untuk persamaan

Jawab

Sehinga

Partial fraction expansion ketika multiple poles

Kalikan kedua sisi dengan , sehingga

Masukan nilai s = -1, sehingga

Differensialkan kedua sisi

Masukan nilai s = -1, sehingga

Differensialkan kedua sisi

Maka nilai b1, b2, dan b3 akan diperoleh sebagai berikut

Dengan demikian maka inverse laplace persamaan di atas adalah

Partial Fraction with Matlab

Bentuk transfer function dengan Matlab dinyatakan dengan Numerator dan denominator

Partial fraction

Perhatikan transfer function berikut

Contoh 4

Contoh 5Carilah penyelesaian persamaan berikut

JawabTulis transformasi laplace dari sebagai atau

Maka akan didapatkan

Sehingga persamaan differentialnya menjadi

Dengan mensubtitusikan kondisi inisial ke dalam persamaan terakhir, maka akan didapatkan

Atau

Penyelesaian untuk akan diperoleh

Inverse transformasi laplace dari adalah

Contoh 6Cari solusi untuk persamaan differensial berikut

JawabCatatan bahwa , transformasi laplacenya menjadi

Penyelesaian untuk adalah

Transformasi inverse laplace menjadi