Koordinat Polar (Ch.10.2-10.3)

Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

O (the pole)ray (polar axis)

Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada diposisi: - derajat dari sumbu-x (sb. polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam)- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. r: koordinat radial : koordinat sudut

Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar (r, ) = (- r, + n ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r, + n ) , untuk n bil. bulat genap

Example: the following polar coordinates represent the same point (2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3).

Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak. Gunakan relasi: x = r cos , y = r sin Maka r2 = x2 + y2, tan = y/x, jika x 0Catt. menentukan Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -/2 < < /2 = arctan(y/x).Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3, = + arctan(y/x).

Persamaan2 dalam Koordinat PolarPers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = aUntuk lingkaran berjari a, - berpusat di (0,a): r = 2a sin - berpusat di (a,0): r = 2a cos r = 2 sin r = 2 cos

r002/20

r200 /2-2

Konversikan persamaan polar r = 2 sin kedalam sistem koordinat tegak:Kalikan kedua sisi dengan r: r2 = 2r sin x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1

Cari titik potong antara 2 persamaan polar berikut: r = 1 + sin and r2 = 4 sin . Solusi: (1 + sin )2 = 4 sin 1 + 2 sin + sin2 - 4 sin = 0 sin2 - 2 sin + 1 = 0 (sin - 1)2 = 0 sin = 1 Jadi sudut = /2 + 2n, dimana n = 0,1, Jadi salah satu titik potong: (2, /2)

Grafik Persamaan PolarCardioid:

Limaon: r = a + b cos , r = a + b sin Limaon: r() = 3 2 cos()

Persamaan berbentukr = cos (n ) atau r = sin(n )

mempunyai grafik berbentuk mawar (rose); dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil, 2n jika n genap

Rose: r() = a b sin (n) contoh: r() = 5 sin(2)

Grafik persamaan polar

Lemniscate:

Spiral: r =

Grafik dari butterfly curver() = exp(cos())- 2*cos(4* ) + sin( /4)^3

Menghitung Luas dalam Koordinat Polar Definisi: Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis radial = dan = dan kurva r = f( ), , adalah = =r = f()

Diket. luas lingkaran berjari r : Luas juring (sektor) lingkaran:

Partisi selang [, ]: = 0

Hitung luas daerah limaon dgn pers. r = 3 +2 cos , 0 2

ExampleSolution:

Contoh 2: Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop limacon

Luas daerah yg dibatasi ikalan luar:

Luas yg dibatasi ikalan dalam (r

Luas daerah antara dua kurva polar r = f() dan r = g(), dengan f() g() 0, :

Kurva Parametrik (Ch.10.4) Definisi: Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah sepasang fungsi x = f(t), y = g(t) (pers. Parametrik) yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam interval tertentu, t bilangan real (parameternya).

Contoh: x = cos t, y = sin t, 0 t 2Atau

Kurva parameter dari fungsi parameterx= cos 3t, y = sin 5t,0 t 2

Cycloid: Suatu lingkaran berjari r menggelinding sepanjang garis horisontal, jejak sebuah titik pada lingkaran tsb. membentuk kurva cycloid

Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat C(at,a)x = a(t sin t)y = a(1- cos t)

P(x,y)Q(at,y)C(at,a)

Garis tangen pada persamaan parametrikKurva parametrik x = f(t), y= g(t) dikatakan mulus (smooth) jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara bersamaan.Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs. tangen

Contoh; Cari persamaan garis tangenpada t yang ditentukan

Parametrik Koordinat PolarKurva dalam koordinat polar, r = f( ), dapat dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter : x( ) = f( ) cos , y( ) = f( ) sin , (x dan y dinyatakan dgn parameter ).

Kemiringan dy/dx dari garis tangen

Cari persamaan garis tangen dari kurva parametrik

Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar berikut ini r = f(q) = 2 + 3 cos(8 q) di q = 3p/4.Hit. dy/dq, dx/dq , dy/dx

Conic Sections

*