BAB II

TRANSFORMASI LAPLACE

TRANSFORMASI LAPLACE Merupakan perangkat analisis yang digunakan untuk mempermudah analisis sistem.

Transformasi model dari kawasan waktu kontinyu ke kawasan frekuensi di bidang kompleks.

Transformasi model dapat mengubah bentuk PD(Persamaan Differensial) ke bentuk TF (Fungsi Alih) atau sebaliknya.

TRANSFORMASI LAPLACEPrinsip penggunaan operator LaplaceTransformasi Laplace didefinisikan sebagai :mengubah fungsi t ke fungsi s Invers Transformasi Laplacemengubah fungsi s ke fungsi t

Contoh : Fungsi stepf (t) = 0 untuk t < 0 ;f (t) = A untuk t >= 0;

b. Fungsi Sinusoida0

c. Pulsa

Teorema Transformasi Laplaceb. Superposisia. Linearitas

c. Translasi waktuJika F(s) merupakan transformasi laplace dari f (t), dan a merupakan bilangan positif nyata dimana berlaku f(t-a) = 0 untuk 0

e. Translasi dalam wawasan sJika F(s) merupakan transformasi Laplace, dari f(t), dan a merupakan bilangan nyata, / kompleks maka :

f. Differensiasi ( Tranformasi fungsi turunan )Dimana f(0) merupakan harga f(t) untuk t = 0;Secara umum Transformasi Laplace turunan ke n adalah sebagai berikut :

g. IntegrasiDimana :f(0) dt = harga awal integralf(0) = harga f(t) untuk t = 0

h. Nilai AkhirDigunakan untuk mencari nilai steady stateMemberikan harga f(t) jika t i. Nilai Awal Digunakan untuk mencari nilai alamiahMemberikan harga f(t) jika t

j. Integral Konvolusi

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACELinearityjika danmaka

Pergeseran waktujika

maka

Pergeseran Frekuensi(perkalian dgn bil.ekponensial)jika maka

Skala Freq dan Waktujika

maka

Turunan Thd Waktujika

maka

Integrasi Thd Waktujikamaka

Perkalian dgn tjika , maka

atau secara umum :

Pembagian dgn t jika , maka

Konvolusi dlm kawasan waktujika dan maka

TRANFORMASI LAPLACE BALIKDefinisi bila x(s) adalah tranformasi laplace dari x(t), maka

TRANFORMASI LAPLACE BALIKMetode dekomposisi pecahan parsial adalah metode yg dapat digunakan untuk memecahkan atau menguraikan F(s) menjadi jumlah dari beberapa pecahan misalkan

TRANFORMASI LAPLACE BALIK

Dimana n dan m masing-masing adalah orde dari P dan Q dengan n

TABEL BENTUK PECAHAN PARSIAL

Contoh soal 1 : Cari f(t) jika F(s)= Jawab : F(s)= = Dengan penyamaan koefisien, makaA+B = 0A = 1Solusinya adalah A=1 dan B=-1Dan F(s) menjadi :

Sehingga

Pemakaian Transformasi lapalceLangkah langkah menyelesaikan persamaan diferensial dengan menggunakan transformasi laplace :1. Menuliskan persamaan Differensial sistem yang akan di analisa2. Menuliskan transformasi laplace dari persamaan Differensial tersebut dengan menentukan transformasi laplace dari tiap tiap suku dalam persamaan Differensial tersebut 3. Menyatakan bentuk transformasi dalam daerah ( fungsi ) s4. Jika diinginkan dalam daerah ( fungsi ) t dapat digunakan tabel transformasi laplace

Tabel Transformasi Laplace

x(t)X(s)ROC(t)1Semua s u(t)Re(s)>0 tn u(t)Re(s)>0

e-at u(t)Re(s)+Re(a)>0 u(t) Cos 0tRe(s)>0

u(t) Sin 0tRe(s)>0

Tabel Fungsi f(t) dan bentuk laplace

TRANFORMASI LAPLACE BALIK

TRANFORMASI LAPLACE BALIK

Contoh soal ( 1 )

Contoh soal ( 2 )

Sebuah rangkaian seri RLC terdiri dari batere E, saklar S, hambatan elektris R, kumparan L, dan kondensator C. Nilai masing masing komponen : E = 0 volt, R = 200 Ohm, L = 1 Henry, C = 50 microfaradMula mula kondensator C mempunyai potensial sebesar 1 volt, Tentukan bentuk arus sebagai fungsi dari t ( Vo = 1 V )

Penyelesaian :

Atau

Terima Kasih