Matakuliah : Kalkulus Peubah banyakTahun : 2016Prodi : Teknik Industri

1

INTEGRAL LIPAT DUA

DALAM KOORDINAT POLAR

Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa akan mampu menghitung integral lipat dua dalam koordinat polar (kutub)

2

Integral Lipat Dua ◦ Integral Lipat Dua pada daerah persegi panjang

kutub◦ Integral Lipat Dua pada daerah umum

3

4

5

6

7

8

9

Contoh 2

Carilah volume 𝑉 dari benda pejal di atas persegipanjang kutub

𝑅 = 𝑟, 𝜃 |1 ≤ 𝑟 ≤ 3, 0 ≤ 𝜃 ≤𝜋

4 dan di bawah permukaan

𝑧 = 𝑒𝑥2+𝑦2

Penyelesaian:

Gambar dari daerah asal 𝑅 adalah sebagai berikut

10

Karena 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2, maka

𝑉 = 𝑒𝑥2+𝑦2

𝑅

𝑑𝐴 = 𝑒𝑟2

3

1

𝑟𝑑𝑟

𝜋4

0

𝑑𝜃

= 1

2𝑒𝑟2

1

3

𝜋4

0

𝑑𝜃 = 1

2 𝑒9 − 𝑒

𝜋4

0

𝑑𝜃

=1

2 𝑒9 − 𝑒 𝜃 0

𝜋4 =

𝜋

8 𝑒9 − 𝑒 ≈ 3181

11

12

Contoh 4

Hitung 𝑦𝑆

𝑑𝐴 dengan 𝑆 adalah daerah di kuadran pertama yang

berada di luar lingkaran 𝑟 = 2 dan di dalam kardioida

𝑟 = 2 1 + cos 𝜃 .

Penyelesaian

𝑦

𝑆

𝑑𝐴 = 𝑟 sin 𝜃

2 1+cos 𝜃

2

𝑟 𝑑𝑟

𝜋2

0

𝑑𝜃

= 𝑟3

3sin 𝜃

2

2 1+cos 𝜃

𝜋2

0

𝑑𝜃 =8

3 1 + cos 𝜃 3 sin 𝜃 − sin 𝜃

𝜋2

0

𝑑𝜃

=8

3 −

1

4 1 + cos 𝜃 4 + cos 𝜃

0

𝜋2

=8

3 −

1

4+ 0 − (−4 + 1) =

22

3

13

Contoh 5

Tentukan volume benda pejal di bawah permukaan 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, di atas bidang

𝑥𝑦 dan didalam tabung 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑦.

Penyelesaian

Karena benda tersebut simetris, maka kita dapat menggandakan volume di oktan

pertama.

Dengan menggunakan persamaan 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 dan 𝑦 = sin 𝜃, persamaan

permuakaan menjadi 𝑧 = 𝑟2 dan tabung menjadi 𝑟 = 2 sin 𝜃. Misalkan 𝑆

menyatakan daerah asal yang diperlihatkan gambar sebelumnya, maka volume 𝑉

yang diminta dihitung sebagai berikut

14

𝑉 = 2 𝑥2 + 𝑦2

𝑆

𝑑𝐴 = 2 𝑟2

2 sin 𝜃

0

𝑟 𝑑𝑟

𝜋2

0

𝑑𝜃

= 2 𝑟4

4

0

2 sin 𝜃

𝜋2

0

𝑑𝜃 = 2 16 sin4 𝜃

4

𝜋2

0

𝑑𝜃 = 8 sin4 𝜃

𝜋2

0

𝑑𝜃

= 8 1 − cos 2𝜃

2

2

𝜋2

0

𝑑𝜃 = 8 1 − 2 cos 2𝜃 + cos2 2𝜃

4

𝜋2

0

𝑑𝜃

= 2 1 − 2 cos 2𝜃 + cos2 2𝜃

𝜋2

0

𝑑𝜃 =3𝜋

2

15

Soal Latihan

1. Hitung dengan menggunakan koordinat polar

a. (1 + 𝑥2 + 𝑦2)𝑆

𝑑𝐴, dengan 𝑆 adalah persegi panjang

polar kuadran pertama di dalam 𝑥2 + 𝑦2 = 4 dan di luar

𝑥2 + 𝑦2 = 1.

b. 𝑥2 + 𝑦2 −1

2 1−𝑥2

0 𝑑𝑦𝑑𝑥

2

1

2. Carilah volume benda pejal di oktan pertama di bawah

permukaan paraboloida 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 dan di dalam tabung

𝑥2 + 𝑦2 = 9 dengan menggunakan koordinat polar.

16