pengantar statistika 4
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
PENGANTARSTATISTIKA
PENGUJIAN HIPOTESIS
Rani Chahyani Ansar, S.Si, M.Si
HIPOTESIS
Pengujian hipotesis merupakan bagian terpenting untuk mengambil keputusan. Dengan ini, seorang peneliti dapat menjawab pertanyaan yang diajukannya dengan menyatakan penolakan atau penerimaan terhadap hipotesis.
Hipotesis adalah jawaban sementara sebelum percobaan dilaksanakan, yang didasarkan pada hasil studi literatur.
Dua tipe hipotesis:
Hipotesis Korelatif, yaitu pernyataan tentang ada atau tidak adanya hubungan antara dua variabel atau lebih.
Hipotesis Komparatif, yaitu pernyataan tentang ada atau tidak adanya perbedaan antara dua kelompok atau lebih.
UJI HIPOTESIS
Penarikan sejumlah contoh acak dari suatu populasi lalu diamati karakteristiknya dan kemudian dibandingkan dengan hipotesis yang diajukan, merupakan suatu langkah melakukan uji hipotesis.
Penolakan suatu hipotesis bukan berarti menyimpulkan hipotesis salah, di mana bukti tidak konsisten dengan hipotesis. Ini berarti data menunjukkan bahwa telah ada perubahan pada karakteristik populasi yang dihipotesiskan.
Penerimaan hipotesis sebagai akibat tidak cukupnya bukti untuk menolak dan tidak berimplikasi bahwa hipotesis itu pasti benar.
JENIS KESALAHAN DALAM UJI HIPOTESIS
Dua jenis kesalahan dalam uji hipotesis:Type I Error : Menolak H0 padahal H0 benarType II Error : Menerima H0 padahal H1 benar
Peluang terjadinya Kesalahan jenis I = α (alpha), disebut taraf nyata (level of significance) dan peluang 1- α disebut tingkat kepercayaan (confidence interval). Menyatakan peluang menerima H0 dan H0 memang benar.
Peluang terjadinya Kesalahan jenis II = β (betha), dan peluang 1- β disebut kuasa pengujian (power of test). Menyatakan peluang menolak H0 dan H0 memang salah.
PROSEDUR PENGUJIAN HIPOTESIS
1. Menentukan formulasi hipotesis2. Menentukan taraf nyata (significant
level)3. Menentukan kriteria pengujian4. Menentukan nilai uji statistik5. Membuat kesimpulan
PERUMUSAN HIPOTESIS
Dinyatakan sebagai kalimat pernyataan (deklaratif)
Melibatkan minimal dua variabel penelitian Mengandung suatu prediksi Harus dapat diuji (testable)
FORMULASI HIPOTESIS
Dibedakan 2 jenis :1. Hipotesis nol (Ho) : suatu pernyataan
yg akan diuji kebenarannya.2. Hipotesis alternatif/tandingan (H1) :
segala hipotesis yg berbeda dgn hipotesis nol. Pemilihan hipotesis ini tergantung dari sifat masalah yg dihadapi
FORMULASI HIPOTESIS
Ada tiga bentuk uji hipotesis:
1. H0 : µ = µo
H1 : µ ≠ µo
2. H0 : µ < µo
H1 : µ > µo
3. H0 : µ > µo
H1 : µ < µo
Satu sisi/arah
Satu sisi/arah
Dua sisi/arah
Contoh Berdasarkan informasi yang dikemukakan pada
sebuah media massa, bahwa harga beras jenis “A” di suatu wilayah adalah Rp. 3.200,- (Pengujian Dua Pihak)
Ho : µ = Rp. 3.200,-
H1 : µ ≠ Rp. 3.200,- Berdasarkan informasi bahwa harga beras jenis “A” di
suatu wilayah tidak kurang dari Rp. 3.200,- (Pengujian Satu Pihak – Kiri)
Ho : µ ≥ Rp. 3.200,-
H1 : µ < Rp. 3.200,- Berdasarkan informasi bahwa harga beras jenis “A” di
suatu wilayah tidak lebih dari Rp. 3.200,- (Pengujian Satu Pihak – Kanan)
Ho : µ ≤ Rp. 3.200,-
H1 : µ > Rp. 3.200,-
Ho: µ = µ oH1: µ ≠ µ o
daerah penerimaan H
Hipotesis H diterima jika: -z1/2(1- α) < z < z1/2(1- α)
Penolakan H½ α
Penolakan H½ α
UJI DUA PIHAK
MENENTUKAN TARAF NYATA (SIGNIFICANT LEVEL)
Besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya
Besarnya taraf nyata bergantung pada keberanian pembuat keputusan yang dlm hal ini berapa besarnya kesalahan yang akan ditolerir
Besarnya kesalahan tersebut disebut sebagai daerah kritis pengujian/daerah penolakan
MENENTUKAN KRITERIA PENGUJIAN
Bentuk pembuatan keputusan dalam menerima atau menolak hipotesis nol dengan cara membandingkan nilai α tabel distribusinya dengan nilai statistiknya sesuai dengan bentuk pengujiannya
Terima Ho : nilai uji statistiknya berada di luar nilai kritis
Tolak Ho : nilai uji statistiknya berada dalam nilai kritis
Uji statistik merupakan rumus-rumus yang berhubungan dgn distribusi tertentu dalam pengujian hipotesis, bisa dengan distribusi Z, t, F, dsb.
- Jika simpangan baku populasi diketahui atau ukuran contoh besar, maka statistik uji yang digunakan adalah normal baku (z)
- Jika simpangan baku populasi tidak diketahui atau ukuran contoh kecil (misal kurang dari 30), digunakan uji t-student
n
XXZ
oo
hitung
n
sX
s
oXt
o
Xhitung
UJI STATISTIK
n = 9 db = 8; Nilai ditentukan = 2.5% di kiri dan kanan kurva
t tabel (db, ) = t tabel(8; 0.025) = 2.306
Jadi t = 2.306 dan -t = -2.306
Arti Gambar di atas nilai t sampel berukuran n = 9, berpeluang 95% jatuh dalam selang -2.306 < t < 2.306.Peluang t >2.306 = 2.5 % dan Peluang t < -2.306 = 2.5 %
PEMBACAAN TABEL DISTRIBUSI - T
MEMBUAT KESIMPULAN
Penetapan keputusan dalam penerimaan atau penolakan hipotesis nol sesuai dengan kriteria pengujiannya
Pembuatan kesimpulan dilakukan setelah membandingkan nilai uji statistik dengan α tabel / nilai kritis
Contoh 1
1. Manajemen PT JURAM menyatakan bahwa 95% rokok produksinya rata-rata mengandung nikotin 1.80 mg, data tersebar normal. Yayasan Konsumen melakukan pengujian nikotin terhadap 9 batang rokok dan diketahui rata-rata sampel = 1.95 mg nikotin dengan simpangan baku = 0.24 mg. Apakah hasil penelitian Yayasan Konsumen mendukung pernyataan Manajemen PT JURAM?
Jawaban
95 % berada dalam selang berarti 5 % berada di luar selang;
2.5 % di kiri t dan 2.5% di kanan t
= 2.5 % = 0.025 n = 9 db = n - 1 = 8 t tabel (db, ) = t-tabel
(8; 0.025) = 2.306
Jadi 95 % berada dalam selang -2.306 < t < 2.306Ho : µ = µo (sesuai)H1 : µ ≠ µo (tidak sesuai) Diketahui: = 1.95S = 0.24n = 9 = 1.80
x
Jawaban
Nilai t hitung = 1.875 berada dalam selang -2.306 < t < 2.306 (Terima Ho)
Jadi hasil penelitian Yayasan Konsumen masih sesuai dengan pernyataan manajemen PT JURAM
Contoh 2
2. Dari suatu populasi normal, diambil contoh acak berukuran 15, diperoleh rata-rata 10,366 dan ragam contoh 1,946. Apabila kita mengetahui bahwa data tersebut dibangkitkan dari populasi normal dengan ragam 2, dan ingin diketahui apakah populasi tersebut masih memiliki nilai tengah 10, maka kita akan melakukan uji hipotesis. Gunakan tingkat kepercayaan 95%.
Jawaban
Bentuk hipotesis : Uji dua pihak
Ho : µ = 10 H1 : µ ≠ 10
Karena ragam populasi diketahui, maka statistik uji yg digunakan adalah uji statistik-z, yaitu:
002.115/2
1036.10
hitungz
1-α = 95%, jadi α = 5% atau 0.05, maka: untuk Z0.05/2 = Z(0.025) = 0.5 – 0.025 = 0.4750Dari tabel, |Z0.05/2| = 0,4750 = 1.96
Dengan demikian, karena Z hitung < |Z0.05/2|, maka kita menerima Ho. Artinya, populasi tersebut masih memiliki nilai tengah 10.
Contoh 3
3. Ada anggapan mengenai harga beras di pasar bebas daerah kota “A” Rp. 600,-/Kg dengan simpangan bakunya Rp. 25,-. Berangkat dari anggapan tersebut diatas, selanjutnya diadakan penelitian terhadap 40 kios beras sebagai sampel yang diambil secara acak, dan ternyata diperoleh informasi dari data tersebut rata-rata harga beras di pasar bebas adalah sebesar Rp 594,-/kg. Pertanyaan : Uji kebenaran anggapan diatas dengan taraf nyata 5% ?
Uji dua pihak: Ho : µ = Rp. 600,- H1 : µ ≠ Rp. 600,-Perhitungan sampel:Untuk Z0.05/2 = Z(0.025) = 0.5 – 0.025 = 0.4750
Z = ±1.96
X = µ0 ± (Za/2 ) (SX)
= 600 ± (1.96) (25/ √40)
= 600 ± 7.75
Jawaban
Sebuah pabrik rokok memproduksi dua merek rokok yang berbeda. Ternyata 56 orang diantara 200 perokok menyukai merek A dan 29 diantara 150 perokok menyukai merek B. Dapatkah kita menyimpulkan pada taraf nyata 0,06 bahwa merek A terjual lebih banyak daripada merek B?
LATIHAN
UJI BEDA DUA MEAN
Rani Chahyani Ansar, S.Si, M.Si
Menguji perbedaan rata-rata antara kelompok I dan kelompok II
Perlu diperhatikan apakah dua data tersebut adalah dua kelompok yang independen atau dua kelompok yang dependen (berpasangan)
Data independen : bila data kelompok yang satu tidak tergantung dari data kelompok kedua, misalnya membandingkan mean tekanan darah sistolik orang desa dengan orang kota.
Data dependen/pasangan : bila kelompok data yang dibandingkan datanya saling mempunyai ketergantungan, misal data Berat Badan sebelum dan sesudah mengikuti program diet
PENGUJIAN DENGAN DUA MEAN
UJI T DEPENDEN (PAIRED SAMPELS T-TEST)
Untuk menguji perbedaan mean antara dua kelompok data yang dependen.
Uji ini banyak digunakan untuk penelitian eksperimen.
Syarat/asumsi yang harus dipenuhi : Data berdistribusi normal/simetris Kedua kelompok data dependen Variabel yang dihubungkan berbentuk
numerik untuk variabel dependen dan kategorik dengan hanya dua kelompok untuk variabel independen
Contoh kasus : Apakah ada perbedaan tingkat pengetahuan antara sebelum dan sesudah pelatihan
Hipotesa dalam Uji t dependen adalah:Bila kita nyatakan perbedaan sebenarnya
pada populasi dengan : = µ1 - µ2 Maka hipotesis dapat ditulis : Ho : = 0
Ha : 0
UJI T DEPENDEN (PAIRED SAMPELS T-TEST)
Rumus uji t d
T = Sd_d / n
df = n - 1
d = rata-rata deviasi/selisih nilai sesudah dengan sebelum
SD_d = standar deviasi dari nilai d/selisih sampel 1 dan sampel 2
UJI T DEPENDEN (PAIRED SAMPELS T-TEST)
Contoh
Seorang peneliti ingin mengetahui pengaruh pemberian tablet Fe terhadap kadar Hb pada ibu hamil. Sebanyak 10 ibu hamil diberi tablet Fe dan diukur kadar Hb sebelum dan sesudah pemberian Fe. Hasil pengukuran sbb :Sebelum : 12,2 11,3 14,7 11,4 11,5 12,7 11,2 12,1 13,3 10,8Sesudah : 13,0 13,4 16,0 13,6 14,0 13,8 13,5 13,8 15,5 13,2
Buktikan apakah ada perbedaan kadar Hb antara sebelum dan sesudah pemberian tablet Fe, dengan alpha 5%
Hipotesis
Ho :δ=0 (tdk ada perbedaan kadar Hb sebelum dan sesudah pemberian Fe)
H1 : δ≠0 (ada perbedaan kadar Hb sebelum dan sesudah pemberian Fe)
Perhitungan uji t :
Sebelum : 12,2 11,3 14,7 11,4 11,5 12,7 11,2 12,1 13,3 10,8
Sesudah : 13,0 13,4 16,0 13,6 14,0 13,8 13,5 13,8 15,5 13,2
deviasi : 0,8 2,1 1,3 2,2 2,5 1,1 2,3 1,7 2,2 2,4
(jumlah deviasi = 18,6)
Jawaban
rata-rata deviasi : 18,6/10 = 1,86 Standar deviasi dari nilai deviasinya (SD_d)=0,60
d 1,86
t = ------------------- t = --------------
Sd_d / n 0,60/√ 10
t = 9,80
Kemudian dari nilai t tersebut dibandingkan dengan tabel t dengan df = n – 1 = 9
.20 .10 .05 .01
1
9
.
1,383
1,833
2,262
3,250
-
Dari soal diatas didapat t=9,80, dan df=9 maka nilai t tabel adalah 2,26
Keputusan uji statistikt hitung ≥ t tabel sehingga Ho ditolakt hitung < t tabel maka Ho diterima
Karena t hitung (9,80) > t tabel (2,26), maka Ho ditolak
Jadi secara statistik ada perbedaan kadar Hb antara sebelum dan sesudah diberi tablet Fe.
Jawaban
UJI-T INDEPENDEN
Subjeknya berbeda. Mis : Responden orang kota & orang desa
Syarat/asumsi yang harus dipenuhi : Data berdistribusi normal/simetris Kedua kelompok data independen Variabel yang dihubungkan berbentuk
numerik untuk variabel dependen dan kategorik dengan hanya dua kelompok untuk variabel independen.
Hipotesa dalam Uji t independen adalah:Dua sisi : Ho: µ1 = µ2 dan Ha: µ1 µ2Satu sisi : Ho: µ1 = µ2 dan Ha: µ1 > µ2
Ho: µ1 = µ2 dan Ha: µ1 < µ2 µ1 dan µ2 = rata-rata pada populasi 1 atau 2 Prinsip pengujian dua mean adalah melihat
perbedaan variasi kedua kelompok data Perlu informasi apakah varian kedua kelompok
yang diuji sama atau tidak. Bentuk varian kedua kelompok data akan
berpengaruh pada nilai standar error yang pada akhirnya akan membedakan rumus pengujiannya
UJI-T INDEPENDEN
Perhitungannya dengan menggunakan uji F :
S1 2
F = ------------- S2
2
df1 = n1–1 dan df2 = n2–1 Varian yang lebih besar sebagai pembilang dan
varian yang lebih kecil sebagai penyebut
F hitung ≥ F tabel maka Ho ditolak (varian beda)
F hitung < F tabel maka Ho gagal ditolak (varian sama)
UJI HOMOGENITAS VARIAN
Uji Untuk Varian Sama
x1 – x2
t = ----------------------------- Sp (1/n1 + 1/n2)
(n1 – 1) S1 2 + (n2 – 1) S2
2 Sp = ------------------------------------
n1 + n2 – 2
df = n1 + n2 – 2
Di mana :x1 atau x2 = rata rata sampel kelompok 1 atau 2
n1 atau n2 = jumlah sampel kelompok 1 atau 2
S1 atau S2 = standard deviasi sampel kelompok 1 atau 2
df = degree of freedom (derajat kebebasan)
Sp = varian populasi
Uji Untuk Varian Sama
Uji Untuk Varian Berbeda
x1 – x2
t = ------------------------------ (S1
2/ n1) + (S2 2 / n2 )
[ (S1 2/ n1 ) + (S2
2 / n2 ) ] 2
df = -----------------------------------------------------------
[ (S1 2/ n1)2 / (n1– 1) ] + [ (S2
2 / n2)2 / (n2 – 1) ]
Seorang peneliti ingin menguji apakah ada perbedaan nilai biostatistik antara mahasiswa dan mahasiswi. Dengan mengambil 10 mahasiswa didapat rata-rata nilainya 70 dengan standar deviasi 5, mahasiswi diambil 9 orang dan rata-rata nilainya 68 dengan standar deviasi 6. Ujilah dengan alpha 5% apakah ada perbedaan nilai ?
Contoh
Pertama lakukan uji homogenitas varianHo : σ1
2 = σ12
(varian nilai mahaswa sama dengan varian nilai mahasiswi)
Ha : σ12 ≠ σ1
2
(varian nilai mahaswa tidak sama dengan varian nilai mahasiswi)
UJI F S12
F = ------------- S22
Jawaban
F = (6)2 / (5)2 = 1,44
df : numerator (pembilang) = 9 – 1 = 8 denumerator(penyebut) = 10 – 1 = 9 Kita lihat tabel F pada alpha 0.05
Numerator
Denumerator
1 2 8
8
9 3,23
F hitung (1,44) < F tabel (3,23) Ho gagal ditolak varian samaUJI BEDA MEAN Ho : μa = µI (rata-rata nilai mahasiswa sama
dengan rata-rata nilai mahasiswi)Ho : μa ≠ µI (rata-rata nilai mahasiswa tidak sama
dengan rata-rata nilai mahasiswi)
x1 – x2
t = ----------------------------- Sp (1/n1 + 1/n2)
Jawaban
68 – 70
t = ----------------------------- Sp (1/9 + 1/10)
Sp = 5,49 68 – 70 t = -----------------------------
5,49 (1/9 + 1/10) t = - 0,79 df = 10 + 9 – 2 = 17 (kita cari nilai tabel t)
.10 .05
.025
t = 0,79 dengan df = 17
df
1
2
.
.
17
18
.
.
1,74 2,11
T hitung < t tabel maka Ho gagal ditolak Jadi, tidak ada perbedaan yang bermakna
nilai statistik antara mahasiswa dengan mahasiswi
Jawaban
Tingkat Signifikansi untuk tes satu sisi0,40 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0025 0,001 0,0005
Tingkat Signifikansi untuk tes dua sisiDf 0,80 0,50 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,005 0,002 0,0011 0,325 1,000 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 127,32 318,31 636,622 0,289 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,089 22,327 31,5983 0,277 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,214 12,9244 0,271 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,6105 0,267 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6,8696 0,265 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,9597 0,263 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5,4088 0,262 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5,0419 0,261 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781
10 0,260 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,58711 0,260 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 4,43712 0,259 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930 4,31813 0,259 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852 4,22114 0,258 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 3,787 4,14015 0,258 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4,07316 0,258 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,686 4,01517 0,257 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646 3,96518 0,257 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610 3,92219 0,257 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579 3,88320 0,257 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,85021 0,257 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,527 3,81922 0,256 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 3,79223 0,256 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,485 3,76724 0,256 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 3,74525 0,256 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3,72526 0,256 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 3,70727 0,256 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 3,69028 0,256 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 3,67429 0,256 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 3,65930 0,256 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,64640 0,255 0,681 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307 3,55160 0,254 0,679 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 2,915 3,232 3,460
120 0,254 0,677 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 2,860 3,160 3,373 0,253 0,674 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090 3,291
1. Sebuah penelitian ingin mengetahui hubungan antara pemberian pelatihan dengan peningkatan pengetahuan ibu. Delapan ibu diambil sebagai sampel. Sebelum dan setelah pelatihan ibu-ibu tersebut diukur skor pengetahuannya dengan hasil sbb :
Sebelum : 115 115 104 112 105 107 126 119Sesudah : 117 128 102 120 112 115 130 120
Ujilah dengan alpha 5% apakah pemberian pelatihan dapat meningkatkan nilai skor pengetahun ibu
LATIHAN
2. Sebuah penelitian ingin mengetahui hubungan status merokok ibu hamil dengan BB bayi yang dilahirkan. Sebagai sampel diambil 20 ibu hamil yang tidak merokok dan 10 ibu hamil yang merokok. Hasil penelitian didapat ibu yang merokok melahirkan bayi dengan rata-rata BB 2,9 kg dengan standar deviasi 0,4 kg. Ibu yang tidak merokok melahirkan bayi dengan rata-rata BB 3,2 kg dan standar deviasi 0,5 kg. Ujilah apakah ibu yang merokok akan melahirkan bayi dengan berat yang lebih rendah dibandingkan ibu yang tidak merokok, alpha 5% ?
LATIHAN
REGRESI LINEAR SEDERHANA
Rani Chahyani Ansar, S.Si, M.Si
Apa itu Regresi Linier ?
• Regresi merupakan alat ukur yg digunakan untuk mengetahui ada tidaknya korelasi antarvariabel.
• Analisis regresi lebih akurat dlm analisis korelasi karena tingkat perubahan suatu variabel terhdp variabel lainnya dpt ditentukan). Jadi pada regresi, peramalan atau perkiraan nilai variabel terikat pada nilai variabel bebas lebih akurat pula.
• Regresi linier adalah regresi yang variabel bebasnya (variabel X) berpangkat paling tinggi satu. Utk regresi sederhana, yaitu regresi linier yg hanya melibatkan dua variabel (variabel X dan Y).
Regresi Linear Sederhana
Regresi linear Sederhana yaitu mempelajari ketergantungan satu variabel tak bebas (dependent variable) terhadap suatu variabel bebas (Independent variable)
Terdapat dua buah variabel random X dan Y. Pasangan titik-titik (x,y) di gambar pada suatu sistem koordinat, disebut sebagai scatter plot.
Dari gambar tersebut kemudian divisualisasikan suatu kurva mulus yang merupakan pendekatan dari data-data tersebut.
Garis regresi adalah garis linear yang merupakan garis taksiran atau perkiraan untuk mewakili pola hubungan antara dua buah variabel.
www.themegallery.com
Regresi Linear Sederhana
Bentuk umum Regresi Linier Sederhana dapat ditulis sebagai :
Dimana :Y = Variabel tak bebas/ Dependent VariableX = Variabel bebas / Independent Variablea = Intersept / titik potong dengan sumbu Yb = Slope / koefisien kemiringan / Gradien garis
Y a bX
www.themegallery.com
Regresi Linear Sederhana
Contoh : Dalam 12 bulan,
sebuah perusahaan mencatat besarnya biaya iklan yang dikeluarkan dan hasil yang didapat oleh perusahaan tersebut. Disajikan dalam tabel berikut (Dalam $):
Bulan Biaya iklan Pendapatan
1 20 272 20 233 25 314 28 455 29 476 28 427 31 398 34 459 35 5710 36 5911 41 7312 45 84
www.themegallery.com
Regresi Linear Sederhana
Scatter Plot
Garis Regresi Linear Sederhana
Untuk menentukan persamaan garis regresi maka ditentukan koefisien dari a dan b.
a dan b ditentukan dengan mencari jarak kuadrat dari masing-masing data dan garis regresinya (Error) paling kecil atau disebut metode kuadrat terkecil (Least square method)
Mencari nilai a dan b
Rumus 1
Rumus 222
22
2
)())((
))(())((
)())((
))(())((
XXn
YXXYnb
XXn
XYXXYa
_____
22
.
)())((
))(())((
XbYa
XXn
YXXYnb
Mencari Nilai a dan b
Pendekatan Matriks
XYX
YnA
XXY
XYA
XX
XnA
A
Ab
A
Aa
XY
Y
b
a
XX
Xn
2212
21
2
det
det
det
det
))(())((det
))(())((det
))(())((det
2
21
2
XYXYnA
XYXXYA
XXXnA
Contoh Soal
Berikut ini data mengenai pengalaman kerja dan penjualan
X=pengalaman kerja (tahun)Y=omzet penjualan (ribuan)
• Tentukan nilai a dan b (gunakan ketiga cara)!• Buatkan persamaan regresinya!• Berapa omzet pengjualan dari seorang
karyawan yg pengalaman kerjanya 3,5 tahun
X 2 3 2 5 6 1 4 1
Y 5 8 8 7 11 3 10 4
Penyelesaian :X Y X2 Y2 XY2 5 4 25 103 8 9 64 242 8 4 64 165 7 25 49 356 11 36 121 661 3 1 9 34 10 16 100 401 4 1 16 4
24 56 96 448 198
78
563
8
24 ______
YX
25,3576768
752.4376.5
)24()96)(8(
)198)(24()96)(56(2
a
a
25,1576768
344.1584.1
)24()96)(8(
)56)(24()198)(8(2
b
b
Cara 1.
Cara 2.
25,1192
24025,3
192
624
240)24)(56()198)(8(det
624)198)(24()96)(56(det
192)2424()96)(8(det
19824
568
96198
2456
9624
248
198
56
9624
248
2
1
21
ba
A
A
A
AAA
b
a
Cara 3
a. Dari ketiga cara pengerjaan tersebut diperoleh nilai a = 3,25 dan nilai b = 1,25
b. Persamaan regresi linearnya adalah Y=3,25+1,25X
c. Nilai duga Y, jika X=3,5 adalah Y=3,25+1,25XY=3,25+1,25(3,5) =7,625
25,3
)3(25,17
25,1576768
344.1548.1
)24()96)(8(
)56)(24()198)(8(2
a
a
b
b
Grafik Regresi Linear
0 1 2 3 4 5 6 70
2
4
6
8
10
12
f(x) = 1.25 x + 3.25R² = 0.669642857142857
Hubungan Pengalaman Kerja terhadap
Omzet Penjualan
Pengalaman Kerja (Tahun)
Om
zet
Pen
juala
n (
Rib
uan
)
Koefisien Determinasi (R2)
6696,0016.86
600.57
)448)(192(
)240(
)136.3584.3()576768(
)344.1584.1(
))56()448(8()24()96(8(
))56)(24()198)(8((
))()(()()((
)))(())(((
22
22
22
22
2222
22
R
R
R
YYnXXn
YXXYnR
Nilai determinasi (R2) sebesar 0,6696, artinya sumbangan atau pengaruh pegalamanKerja terhadap naik turunnya omzet penjualan adalah sebesar 66,96%. Sisanya 33,04%disebabkan oleh faktor lain yang tidak dimasukkan dalam model.
SELISIH TAKSIR STANDAR(STANDAR DEVIASI)
Angka indeks yg digunakan utk mengukur ketepatan suatu penduga atau mengukur jumlah variasi titik-titik observasi di sekitar garis regresi.
Jika semua titik observasi berada tepat pada garis regresi, selisih taksir standar sama dengan nol. Menunjukkan pencaran data.
Selisih taksir standar berguna mengetahui batasan seberapa jauh melesetnya perkiraan dalam meramal data.
Rumus
2
)'(
2
)'(
2
./
2
./
n
YXSeSS
ataun
YYSeSS
xyyx
yxxy
Keterangan :Sy/x = Sx/y = Selisih taksir standarY = X = nilai variabel sebenarnyaY’ = X’ = nilai variabel yang diperkirakan n = jumlah frekuensi
Contoh :
Hubungan antara variabel X dan variabel Y
a. Buatkan persamaan regresinyab. Tentukan nilai duga Y, jika X = 8c. Tentukan selisih taksir standarnya
X 1 2 3 4 5 6Y 6 4 3 5 4 2
Penyelesaian
X Y X2 Y2 XY1 6 1 36 62 4 4 16 83 3 9 9 94 5 16 25 205 4 25 16 206 2 36 4 1221 24 91 106 75
6
21)5,0(
6
24
.
5,0105
54
)21()91(6
)24)(21()75(6
)()(
))(()(
2
22
a
XbYa
b
b
XXn
YXXYnb
a. Persamaan garis regresinya:Y’ = 5,75 – 0,5 X
b. Nilai duga Y’, jika X=8Y’ = 5,75 – 0,5 (8)Y’ = 1,75
c. Selisih taksir standar
X Y Y' Y-Y' (Y-Y')2
1 6 5.25 0.75 0.56252 4 4.75 -0.8 0.56253 3 4.25 -1.3 1.56254 5 3.75 1.25 1.56255 4 3.25 0.75 0.56256 2 2.75 -0.8 0.5625
5.375
2,126
375,5
2
)'(
/
2
/
xy
xy
S
n
YYS