pengantar statistika 2

59
UKURAN TENDENSI SENTRAL A. MEAN = RATA-RATA 1. Rata-rata hitung biasa (mean arithmatik): = +++ ….+ atau Contoh: Lima orang mahasiswa mendapatkan nilai statistika sbb: 70, 69, 45, 80, dan 56. Maka dapat ditulis dgn simbul: X1 = 70, X2 = 69, X3 = 45, X4 = 80, dan X5 = 56. Dalam hal ini, n = 5 maka nilai rata-rata hitung dapat dihitung sbb: = 1+2+3+ 4+5 = 70+69+45+80+56 5 = 320 5 = 64 2. Rata-rata yang Ditimbang (Dibobot) Contoh: Jika ada lima mahasiswa yg mendapat nilai 70, enam mhs mendapat nilai 69, tiga mhs mendapat nilai 45, dan satu mhs mendapat nilai 80, dan satu mhs mendapat nilai 56. Maka nilai rata-rata akan lebih mudah jika dihitung sbb: = . dengan bantuan Tabel perhitungan berikut: Xi fi fi. Xi Dari tabel tsb diperoleh: ∑ = 16 ∑. = 1035 = ∑. = 1035 16 = 64,6 Jadi, nilai rata-rata dari enam belas mahasiswa adalah 64,6. 70 69 45 80 56 5 6 3 1 1 350 414 135 80 56 Jumlah 16 1035 3. Rata-rata Gabungan Contoh: Tiga sub sampel masing-masing berukuran 10, 6 dan 8 dengan nilai rata-rata masing-masing adalah 145, 118, dan 162. Maka rata-rata gabungan dari tiga sub sampel tsb dapat dihitung sbb:

Upload: aan-widiyono

Post on 23-Jan-2018

3.157 views

Category:

Education


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: Pengantar Statistika 2

UKURAN TENDENSI SENTRAL

A MEAN = RATA-RATA

1 Rata-rata hitung biasa (mean arithmatik)

= 119935120783+119935120784+119935120785+ hellip+119935119951

119951 atau

sum 119935119946

119951

Contoh

Lima orang mahasiswa mendapatkan nilai statistika sbb 70 69 45 80 dan 56

Maka dapat ditulis dgn simbul X1 = 70 X2 = 69 X3 = 45 X4 = 80 dan X5 = 56

Dalam hal ini n = 5 maka nilai rata-rata hitung dapat dihitung sbb

= 1198831+1198832+1198833+ 1198834+1198835

119899 =

70+69+45+80+56

5 =

320

5 = 64

2 Rata-rata yang Ditimbang (Dibobot)

Contoh

Jika ada lima mahasiswa yg mendapat nilai 70 enam mhs mendapat nilai 69 tiga

mhs mendapat nilai 45 dan satu mhs mendapat nilai 80 dan satu mhs mendapat

nilai 56 Maka nilai rata-rata akan lebih mudah jika dihitung sbb

= sum119891119894119883119894

sum119891119894 dengan bantuan Tabel perhitungan berikut

Xi fi fi Xi Dari tabel tsb diperoleh

sum119891119894 = 16

sum119891119894 119883119894 = 1035

= sum119891119894119883119894

sum119891119894 =

1035

16 = 646

Jadi nilai rata-rata dari enam belas mahasiswa

adalah 646

70

69

45

80

56

5

6

3

1

1

350

414

135

80

56

Jumlah 16 1035

3 Rata-rata Gabungan

Contoh

Tiga sub sampel masing-masing berukuran 10 6 dan 8 dengan nilai rata-rata

masing-masing adalah 145 118 dan 162

Maka rata-rata gabungan dari tiga sub sampel tsb dapat dihitung sbb

= sum119951119946119883119894

sum119951119946 =

(1198991) 1198831 + (1198992) 1198832 +(1198993) 1198833

1198991+1198992+1198993 =

(10) (145) + (6)(118) + (8)(162)

10 + 6 +8 =

3454

24 = 14392

4 Rata-rata dari Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

Rumus 1 = sum119943119946119935119946

sum119943119946 Xi = tanda kelas interval (titik tengah = mid point)

Nilai Ujian fi Xi fi Xi

31 ndash 40 1 355 355

41 ndash 50 2 455 910

51 ndash 60 5 555 2775

61 ndash 70 15 655 9815

71 ndash 80 25 755 18875

81 ndash 90 20 855 17100

91 ndash 100 12 955 11460

sum 80 -- 61300

Jadi nilai rata-rata dapat dihitung sbb = sum119891119894119883119894

sum119891119894 =

6130

80 = 76625

Rumus 2 Cara Koding = Xo + p (sum119943119946 119940119946

sum119943119946) atau AM = Assummed Mean

Keterangan

Xo = nilai tengah (tanda kelas) pada kelas Ci = 0

p = lebarpanjang kelas

ci = nilai Coding di mana untuk nilai ci = 0 ke ldquoatasrdquo diberi tanda + dan ci = 0

ke ldquobawahrdquo diberi tanda ndash

Nilai Ujian fi Xi ci fi ci

31 ndash 40 1 355 -3 - 3

41 ndash 50 2 455 -2 - 4

51 ndash 60 5 555 -1 - 5

61 ndash 70 15 655 0 0

71 ndash 80 25 755 + 1 25

81 ndash 90 20 855 + 2 40

91 ndash 100 12 955 + 3 36

sum 80 -- + 89

Dengan cara Koding nilai rata-rata dpt dihitung sbb = Xo + p (sum119891119894 119888119894

sum119891119894)

= Xo + p (sum119891119894 119888119894

sum119891119894) = 655 + (10) (

89

80) = 76625

Contoh lain

Nilai Ujian fi Xi ci fi ci

31 ndash 40 1 355 -5 - 5

41 ndash 50 2 455 -4 - 8

52 ndash 60 5 555 -3 - 15

61 ndash 70 15 655 -2 - 30

71 ndash 80 25 755 -1 - 25

81 ndash 90 20 855 0 0

91 ndash 100 12 955 + 1 + 12

sum 80 -- -71

Dengan cara yang sama dengan di atas maka nilai rata-rata dpt dihitung

= Xo + p (sum119891119894 119862119894

sum119891119894) = 855 + (10) (

minus 71

80) = 76625

Ternyata dalam cara Koding (AM) kita bebas menentukan perkiraan rentang

kelas di mana mean berada dan hasilnya akan tetap sama

5 Rata-rata Harmonik dapat dihitung dengan rumus sbb

H = 119899

sum(1

119883119894) =

1198991

1199091 +

1

1198832 +

1

1198833 + hellip+

1

119883119899

Contoh

Si A bepergian pulang ndash pergi Waktu berangkat dengan kecepatan 10 kmjam

sedangkan waktu pulangnya kecepatannya 20 kmjam Berapakah kecepatan

rata-rata pulang ndash pergi

Jawaban spontan dengan rata-rata hitung biasa adalah = frac12 (10 + 20) kmjam =

15 kmjam adalah salah

Sehingga perlu dihitung dengan rata-rata harmonik sbb

Misal jarak tempuhnya adalah 100 km maka ketika pergi diperlukan waktu =

10010 = 10 jam sedangkan pada saat pulangnya dibutuhkan waktu = 10020

= 5 jam Total waktu pulang-pergi adalah 15 jam sedangkan jarak tempuhnya

200 km maka rata-rata kecepatan pergi ndash pulang adalah

= 200 119896119898

15 119895119886119898 = 13 3 kmjam

Ternyata permisalan jarak yg ditempuh tidak berpengaruh thd hasil nilai rata-

rata harmonik Hal ini akan lebih mudah dihitung dengan rumus sbb

H = 119899

sum(1

119883119894) =

21

10 +

1

20 =

40

3 = 133 kmjam

B MODUS = MODE = MODAL

Modus adalah fenomenanilai yang paling banyak muncul

Contoh terdapat sampel dengan nilai-nilai data sbb 12 34 14 34 28 34 34

28 14

Data tersebut dapat disusun dalam tabel berikut

Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-

banyak adalah f = 4 yang terjadi untuk nilai 34 Dengan

demikian maka Modus Mo = 34

12

14

28

34

1

2

2

4

Data yang memiliki dua modus (bi-modal)

Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-

banyak ada 2 yaitu data yang bernilai 75 dan 92 yang

masing-masing frekuensinya adalah f = 8 Dengan

demikian maka Modusnya ada dua yaitu 75 dan 92

75

60

92

64

35

8

7

8

7

2

Modus dari Data dlm Distribusi Frekuensi Bergolong

Jika data telah disusun dalam Tabel Distribusi Frekuensi Bergolong maka

Modusnya dapat dihitung dgn rumus

Mo = b + p (1198871

1198871+1198872)

Keterangan

b = batas bawah nyata kelas modal yaitu interval kelas yang frekuensinya

terbanyak

p = panjang (lebar) interval kelas modal

b1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sebelumnya (yg

nilainya di bawahnya)

b2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sesudahnya (yg

nilainya di atasnya)

Contoh

Nilai Ujian fi Batas Nyata Kelas modal adalah kelas ke lima

1) b = 705

2) b1 = 25 ndash 15 = 10

3) b2 = 25 ndash 20 = 5

4) p = 10

maka Mo = 705 + (10) (10

10+5)

Mo = 7717

31 ndash 40 1 305 ndash 405

41 ndash 50 2 405 ndash 505

53 ndash 60 5 505 ndash 605

61 ndash 70 15 605 ndash 705

71 ndash 80 25 705 ndash 805

81 ndash 90 20 805 ndash 905

91 ndash 100 12 905 ndash 1005

sum 80 --

MEDIAN

Median adalah nilai tengah yaitu nilai yang membatasi antara 50 data

bagian atas dan 50 data bagian bawah

1 Median untuk banyak data Ganjil

Misal Sampel dengan data 4 12 5 7 8 10 10

Setelah diurutkan menjadi 4 5 7 8 10 10 12

Dalam hal ini nilai tengahnya adalah data ke-4 yaitu 8 Jadi median dari

data tersebut adalah Me = 8

2 Median untuk banyak data Genap

Untuk sampel yg berukuran genap maka setelah data diurutkan nilainya

dari yg terkecil ke terbesar Median dapat dihitung dengan merata-rata dua

data tengah

Misal sampel dgn data 12 7 8 14 16 19 10 8

Setelah diurutkan nilainya menjadi 7 8 8 10 12 14 16 19

Dalam hal ini data tengah adalah data ke-4 yaitu 10 dan data ke-5 yaitu 12

sehingga rata-ratanya adalah 11

3 Median untuk Data Dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

Nilai Median untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi

bergolong dapat dihitung dengan rumus

Me = b + p (frac12 119873minus119865

119891)

Keterangan

b = batas bawah nyata kelas Median yaitu kelas di mana Median berada

p = panjang (lebar) interval kelas

N = ukuran sampel (banyaknya data)

F = frekuensi komulatif sebelum (nilainya di bawah) kelas Median

f = frekuensi pada kelas Median

Contoh

Nilai Ujian fi Batas Nyata Frekuensi Komulatif

31 ndash 40 1 305 ndash 405 1

41 ndash 50 2 405 ndash 505 3

51 ndash 60 5 505 ndash 605 8

61 ndash 70 15 605 ndash 705 23

71 ndash 80 25 705 ndash 805 48

81 ndash 90 20 805 ndash 905 68

91 ndash 100 12 905 ndash 1005 80

sum 80 --

Ternyata Rumus Median utk data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong tsb

dapat diekstensi utk menghitung nilai-nilai Kuartil (K) Desil (D) Quantil (Q) dan

Persentil (P) sbb

1 Kuartil ke-i Ki adalah data yg ke 119894(119873)

4 di mana i = 1 2 dan 3

Kuartil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Ki = b + p (119894 119873

4minus119865

119891) i = 1 2 dan 3

2 Quantil ke-i Qi adalah data yg ke 119894(119873)

5 di mana i = 1 2 3 dan 4

Kuantil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Klas Median

Klas Kuartil 3

Klas Kuartil I

Qi = b + p (119894 119873

5minus119865

119891) i = 1 2 3 dan 4

3 Desil ke-i Di adalah data yg ke 119894(119873)

10 di mana i = 1 2 3 4 5 6 7 8 dan 9

Desil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Di = b + p (119894119873

10minus119865

119891) i = 1 2 3 hellip9

4 Persentil ke-i Pi adalah data yg ke 119894(119873)

100 di mana i = 1 2 3 4 hellip 99

Persentil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dengan

rumus

Pi = b + p (119894119873

100minus119865

119891) i = 1 2 3 4 hellip 99

SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI

Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi

1 Rentang (range)

2 Rentang antar kuartil

3 Simpangan kuartil (deviasi Kuartil)

4 Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata)

5 Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians

1 Rentang (Range) = skor terbesar ndash skor terkecil

2 Rentang antar kuartil RAK = K3 ndash K1

3 Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil)

SK = frac12 (K3 ndash K1)

4 Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata) RS = sum|119883119894minus |

119899

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb

Xi Xi - |119883119894 minus |

Nilai rata-rata = sum 119883

119899 =

50

5 = 10

RS = sum|119883119894minus |

119899 =

10

5 = 20

8 -2 2

7 -3 3

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 4

sum X = 50 0 10

5 Simpangan Baku = Standar Deviasi

Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang

paling banyak digunakan Misalkan suatu sampel berukuran n dengan data X1

X2 X3 hellip Xn Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut

dapat dihitung sbb

a Estimasi yg sifatnya bias s = radicsum(119883119894minus )2

119899 = radic

sum1199091198942

119899

b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

sum1199091198942

119899minus1

Keterangan

s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku

populasi)

n ndash 1 = derajat kebebasan

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb

Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2

Nilai rata-rata = sum 119883

119899 =

50

5 = 10

s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

30

5minus1 = radic75 = 274

8 -2 4

7 -3 9

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 16

sum X = 50 0 30

Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih

dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi

6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar

Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau

rumus varians dapat dihitung sbb

1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus

angka kasar (rumus varians) sbb

Xi 1198831198942 1199042 =

119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

s = radic(5)(530)minus (50)2

5 (5minus1) = radic

150

20 = 274

8 64

7 49

10 100

11 121

14 196

sum Xi = 50 sum1198831198942= 530

7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)

1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2

119899 (119899minus1)

Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)

fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai

n = sumfi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942

31 ndash 40 1 355 126025 355 126025

41 ndash 50 2 455 207025 910 414050

51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125

61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375

71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625

81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050

91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430

JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100

Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2

80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312

b Dengan Rumus Deviasi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2

31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921

41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442

51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605

61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815

71 ndash 80 25 755 -11 121 3025

81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420

91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652

JUMLAH 80 -- -- 1349880

Nilai rata-rata = 76625 infin 766

1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2

119899minus1 =

1349880

80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307

c Dengan Rumus Koding

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9

41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8

51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5

61 ndash 70 15 655 0 0 0 0

71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25

81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80

91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108

JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (235) ndash (89)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-

kan letak ci = 0 hellip

Contoh

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16

41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18

51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20

61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15

71 ndash 80 25 755 0 0 0 0

81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20

91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48

JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (137) ndash (9)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel

Misal

Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1

Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk

Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk

dapat dihitung dengan rumus

1199042= sum(119899119894minus1)11990412

sum119899119894minus119896 atau 1199042=

(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962

1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896

119810ontoh

Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek

menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua

terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan

dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung

1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422

1198991+1198992minus119896 =

(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2

14+ 23minus2

1199042 = 8772 s = radic8772 = 296

Uji ndash t

1 t-test dengan satu sampel

Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-

rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu

tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50

buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata

masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa

simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan

bahwa kualitas lampu merk A telah berubah

Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut

Ho = o Ho = 800 jam

Ha ne o Ha ne 800 jam

Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)

Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel

120583119874 = rerata populasi

119904 = standar deviasi dari sampel

119899 = ukuranjumlah sampel

Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji

hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)

Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut

-t1-2 lt thit lt t1-2

Dalam hal lainnya Ho ditolak

Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar

deviasi s = 60 jam maka

119905 = minus 120583119900

119904radic119899=

792 minus 800

60radic50= minus0942

Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201

Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam

atau kualitas lampu merk A belum berubah

2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)

Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua

populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara

produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya

Uji ndash t DUA EKOR

Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka

waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal

ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel

sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan

jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam

ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut

Makanan

A

31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34

Makanan

B

27 29 34 32 33 29 30 30 26 37

Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya

terhadap penambahan berat ayam atau tidak

Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai

berikut

Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)

Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0

Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara

acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari

kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan

statistik t dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama

2 = nilai rerata sampel kedua

119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)

Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho

ditolak

Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996

1198781198612 = 01112

nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai

berikut

1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861

119899119860 + 119899119861 minus 2

=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)

11 + 10 minus 2

1199042 =29968

19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397

Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =119860 minus 119861

119904radic1

119899119860+

1119899119861

=322 minus 307

0397radic 111 +

110

= 0862

Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209

Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)

3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)

Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan

yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal

ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda

yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata

pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda

yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang

suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm

dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut

Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu

ekor) sebagai berikut

Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0

Ha 1le2 atau Ha 1-2le0

Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut

1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15

2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20

Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok

tersebut yaitu

1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041

2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422

1198991 + 1198992 minus 2=

(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2

15 + 20 minus 2

1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933

Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =1 minus 2

119878radic11198991

+1

1198992

=1672 minus 1603

6933radic 115

+1

20

= 2913

Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata

bahwa thit lt ttabel Ho ditolak

Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih

tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti

(dapat diterima)

Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)

Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash

t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui

perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang

Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya

perlakuan tertentu

Contoh

Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan

maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada

masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya

Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil

dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut

Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005

ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa

pemberian latihan telah dapat meningkatkan

Penyelesaian

Dari masing-masing pasangan data observasi

tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2

Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-

nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan

mean (rerata) dalam populasi

Tabel perhitungan

Ho d = 0

Ha d ne 0

=sum 119889

119873=

minus11

10= minus110

1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2

119899

1199041198892 = 19 minus(minus11)2

10

1199041198892 = 69

119904119889 = radic69 = 2627

Siswa Nilai pretest

X1

Nilai post test

X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

No X1 X2 X1 ndash X2

d

d2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

- 1

0

- 1

- 2

- 1

- 1

- 3

0

- 1

- 1

1

0

1

4

1

1

9

0

1

1

52 63 - 11 19

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 2: Pengantar Statistika 2

= sum119951119946119883119894

sum119951119946 =

(1198991) 1198831 + (1198992) 1198832 +(1198993) 1198833

1198991+1198992+1198993 =

(10) (145) + (6)(118) + (8)(162)

10 + 6 +8 =

3454

24 = 14392

4 Rata-rata dari Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

Rumus 1 = sum119943119946119935119946

sum119943119946 Xi = tanda kelas interval (titik tengah = mid point)

Nilai Ujian fi Xi fi Xi

31 ndash 40 1 355 355

41 ndash 50 2 455 910

51 ndash 60 5 555 2775

61 ndash 70 15 655 9815

71 ndash 80 25 755 18875

81 ndash 90 20 855 17100

91 ndash 100 12 955 11460

sum 80 -- 61300

Jadi nilai rata-rata dapat dihitung sbb = sum119891119894119883119894

sum119891119894 =

6130

80 = 76625

Rumus 2 Cara Koding = Xo + p (sum119943119946 119940119946

sum119943119946) atau AM = Assummed Mean

Keterangan

Xo = nilai tengah (tanda kelas) pada kelas Ci = 0

p = lebarpanjang kelas

ci = nilai Coding di mana untuk nilai ci = 0 ke ldquoatasrdquo diberi tanda + dan ci = 0

ke ldquobawahrdquo diberi tanda ndash

Nilai Ujian fi Xi ci fi ci

31 ndash 40 1 355 -3 - 3

41 ndash 50 2 455 -2 - 4

51 ndash 60 5 555 -1 - 5

61 ndash 70 15 655 0 0

71 ndash 80 25 755 + 1 25

81 ndash 90 20 855 + 2 40

91 ndash 100 12 955 + 3 36

sum 80 -- + 89

Dengan cara Koding nilai rata-rata dpt dihitung sbb = Xo + p (sum119891119894 119888119894

sum119891119894)

= Xo + p (sum119891119894 119888119894

sum119891119894) = 655 + (10) (

89

80) = 76625

Contoh lain

Nilai Ujian fi Xi ci fi ci

31 ndash 40 1 355 -5 - 5

41 ndash 50 2 455 -4 - 8

52 ndash 60 5 555 -3 - 15

61 ndash 70 15 655 -2 - 30

71 ndash 80 25 755 -1 - 25

81 ndash 90 20 855 0 0

91 ndash 100 12 955 + 1 + 12

sum 80 -- -71

Dengan cara yang sama dengan di atas maka nilai rata-rata dpt dihitung

= Xo + p (sum119891119894 119862119894

sum119891119894) = 855 + (10) (

minus 71

80) = 76625

Ternyata dalam cara Koding (AM) kita bebas menentukan perkiraan rentang

kelas di mana mean berada dan hasilnya akan tetap sama

5 Rata-rata Harmonik dapat dihitung dengan rumus sbb

H = 119899

sum(1

119883119894) =

1198991

1199091 +

1

1198832 +

1

1198833 + hellip+

1

119883119899

Contoh

Si A bepergian pulang ndash pergi Waktu berangkat dengan kecepatan 10 kmjam

sedangkan waktu pulangnya kecepatannya 20 kmjam Berapakah kecepatan

rata-rata pulang ndash pergi

Jawaban spontan dengan rata-rata hitung biasa adalah = frac12 (10 + 20) kmjam =

15 kmjam adalah salah

Sehingga perlu dihitung dengan rata-rata harmonik sbb

Misal jarak tempuhnya adalah 100 km maka ketika pergi diperlukan waktu =

10010 = 10 jam sedangkan pada saat pulangnya dibutuhkan waktu = 10020

= 5 jam Total waktu pulang-pergi adalah 15 jam sedangkan jarak tempuhnya

200 km maka rata-rata kecepatan pergi ndash pulang adalah

= 200 119896119898

15 119895119886119898 = 13 3 kmjam

Ternyata permisalan jarak yg ditempuh tidak berpengaruh thd hasil nilai rata-

rata harmonik Hal ini akan lebih mudah dihitung dengan rumus sbb

H = 119899

sum(1

119883119894) =

21

10 +

1

20 =

40

3 = 133 kmjam

B MODUS = MODE = MODAL

Modus adalah fenomenanilai yang paling banyak muncul

Contoh terdapat sampel dengan nilai-nilai data sbb 12 34 14 34 28 34 34

28 14

Data tersebut dapat disusun dalam tabel berikut

Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-

banyak adalah f = 4 yang terjadi untuk nilai 34 Dengan

demikian maka Modus Mo = 34

12

14

28

34

1

2

2

4

Data yang memiliki dua modus (bi-modal)

Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-

banyak ada 2 yaitu data yang bernilai 75 dan 92 yang

masing-masing frekuensinya adalah f = 8 Dengan

demikian maka Modusnya ada dua yaitu 75 dan 92

75

60

92

64

35

8

7

8

7

2

Modus dari Data dlm Distribusi Frekuensi Bergolong

Jika data telah disusun dalam Tabel Distribusi Frekuensi Bergolong maka

Modusnya dapat dihitung dgn rumus

Mo = b + p (1198871

1198871+1198872)

Keterangan

b = batas bawah nyata kelas modal yaitu interval kelas yang frekuensinya

terbanyak

p = panjang (lebar) interval kelas modal

b1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sebelumnya (yg

nilainya di bawahnya)

b2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sesudahnya (yg

nilainya di atasnya)

Contoh

Nilai Ujian fi Batas Nyata Kelas modal adalah kelas ke lima

1) b = 705

2) b1 = 25 ndash 15 = 10

3) b2 = 25 ndash 20 = 5

4) p = 10

maka Mo = 705 + (10) (10

10+5)

Mo = 7717

31 ndash 40 1 305 ndash 405

41 ndash 50 2 405 ndash 505

53 ndash 60 5 505 ndash 605

61 ndash 70 15 605 ndash 705

71 ndash 80 25 705 ndash 805

81 ndash 90 20 805 ndash 905

91 ndash 100 12 905 ndash 1005

sum 80 --

MEDIAN

Median adalah nilai tengah yaitu nilai yang membatasi antara 50 data

bagian atas dan 50 data bagian bawah

1 Median untuk banyak data Ganjil

Misal Sampel dengan data 4 12 5 7 8 10 10

Setelah diurutkan menjadi 4 5 7 8 10 10 12

Dalam hal ini nilai tengahnya adalah data ke-4 yaitu 8 Jadi median dari

data tersebut adalah Me = 8

2 Median untuk banyak data Genap

Untuk sampel yg berukuran genap maka setelah data diurutkan nilainya

dari yg terkecil ke terbesar Median dapat dihitung dengan merata-rata dua

data tengah

Misal sampel dgn data 12 7 8 14 16 19 10 8

Setelah diurutkan nilainya menjadi 7 8 8 10 12 14 16 19

Dalam hal ini data tengah adalah data ke-4 yaitu 10 dan data ke-5 yaitu 12

sehingga rata-ratanya adalah 11

3 Median untuk Data Dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

Nilai Median untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi

bergolong dapat dihitung dengan rumus

Me = b + p (frac12 119873minus119865

119891)

Keterangan

b = batas bawah nyata kelas Median yaitu kelas di mana Median berada

p = panjang (lebar) interval kelas

N = ukuran sampel (banyaknya data)

F = frekuensi komulatif sebelum (nilainya di bawah) kelas Median

f = frekuensi pada kelas Median

Contoh

Nilai Ujian fi Batas Nyata Frekuensi Komulatif

31 ndash 40 1 305 ndash 405 1

41 ndash 50 2 405 ndash 505 3

51 ndash 60 5 505 ndash 605 8

61 ndash 70 15 605 ndash 705 23

71 ndash 80 25 705 ndash 805 48

81 ndash 90 20 805 ndash 905 68

91 ndash 100 12 905 ndash 1005 80

sum 80 --

Ternyata Rumus Median utk data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong tsb

dapat diekstensi utk menghitung nilai-nilai Kuartil (K) Desil (D) Quantil (Q) dan

Persentil (P) sbb

1 Kuartil ke-i Ki adalah data yg ke 119894(119873)

4 di mana i = 1 2 dan 3

Kuartil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Ki = b + p (119894 119873

4minus119865

119891) i = 1 2 dan 3

2 Quantil ke-i Qi adalah data yg ke 119894(119873)

5 di mana i = 1 2 3 dan 4

Kuantil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Klas Median

Klas Kuartil 3

Klas Kuartil I

Qi = b + p (119894 119873

5minus119865

119891) i = 1 2 3 dan 4

3 Desil ke-i Di adalah data yg ke 119894(119873)

10 di mana i = 1 2 3 4 5 6 7 8 dan 9

Desil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Di = b + p (119894119873

10minus119865

119891) i = 1 2 3 hellip9

4 Persentil ke-i Pi adalah data yg ke 119894(119873)

100 di mana i = 1 2 3 4 hellip 99

Persentil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dengan

rumus

Pi = b + p (119894119873

100minus119865

119891) i = 1 2 3 4 hellip 99

SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI

Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi

1 Rentang (range)

2 Rentang antar kuartil

3 Simpangan kuartil (deviasi Kuartil)

4 Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata)

5 Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians

1 Rentang (Range) = skor terbesar ndash skor terkecil

2 Rentang antar kuartil RAK = K3 ndash K1

3 Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil)

SK = frac12 (K3 ndash K1)

4 Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata) RS = sum|119883119894minus |

119899

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb

Xi Xi - |119883119894 minus |

Nilai rata-rata = sum 119883

119899 =

50

5 = 10

RS = sum|119883119894minus |

119899 =

10

5 = 20

8 -2 2

7 -3 3

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 4

sum X = 50 0 10

5 Simpangan Baku = Standar Deviasi

Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang

paling banyak digunakan Misalkan suatu sampel berukuran n dengan data X1

X2 X3 hellip Xn Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut

dapat dihitung sbb

a Estimasi yg sifatnya bias s = radicsum(119883119894minus )2

119899 = radic

sum1199091198942

119899

b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

sum1199091198942

119899minus1

Keterangan

s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku

populasi)

n ndash 1 = derajat kebebasan

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb

Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2

Nilai rata-rata = sum 119883

119899 =

50

5 = 10

s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

30

5minus1 = radic75 = 274

8 -2 4

7 -3 9

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 16

sum X = 50 0 30

Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih

dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi

6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar

Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau

rumus varians dapat dihitung sbb

1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus

angka kasar (rumus varians) sbb

Xi 1198831198942 1199042 =

119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

s = radic(5)(530)minus (50)2

5 (5minus1) = radic

150

20 = 274

8 64

7 49

10 100

11 121

14 196

sum Xi = 50 sum1198831198942= 530

7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)

1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2

119899 (119899minus1)

Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)

fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai

n = sumfi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942

31 ndash 40 1 355 126025 355 126025

41 ndash 50 2 455 207025 910 414050

51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125

61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375

71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625

81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050

91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430

JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100

Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2

80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312

b Dengan Rumus Deviasi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2

31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921

41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442

51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605

61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815

71 ndash 80 25 755 -11 121 3025

81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420

91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652

JUMLAH 80 -- -- 1349880

Nilai rata-rata = 76625 infin 766

1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2

119899minus1 =

1349880

80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307

c Dengan Rumus Koding

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9

41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8

51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5

61 ndash 70 15 655 0 0 0 0

71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25

81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80

91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108

JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (235) ndash (89)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-

kan letak ci = 0 hellip

Contoh

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16

41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18

51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20

61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15

71 ndash 80 25 755 0 0 0 0

81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20

91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48

JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (137) ndash (9)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel

Misal

Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1

Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk

Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk

dapat dihitung dengan rumus

1199042= sum(119899119894minus1)11990412

sum119899119894minus119896 atau 1199042=

(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962

1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896

119810ontoh

Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek

menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua

terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan

dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung

1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422

1198991+1198992minus119896 =

(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2

14+ 23minus2

1199042 = 8772 s = radic8772 = 296

Uji ndash t

1 t-test dengan satu sampel

Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-

rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu

tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50

buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata

masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa

simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan

bahwa kualitas lampu merk A telah berubah

Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut

Ho = o Ho = 800 jam

Ha ne o Ha ne 800 jam

Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)

Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel

120583119874 = rerata populasi

119904 = standar deviasi dari sampel

119899 = ukuranjumlah sampel

Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji

hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)

Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut

-t1-2 lt thit lt t1-2

Dalam hal lainnya Ho ditolak

Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar

deviasi s = 60 jam maka

119905 = minus 120583119900

119904radic119899=

792 minus 800

60radic50= minus0942

Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201

Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam

atau kualitas lampu merk A belum berubah

2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)

Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua

populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara

produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya

Uji ndash t DUA EKOR

Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka

waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal

ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel

sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan

jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam

ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut

Makanan

A

31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34

Makanan

B

27 29 34 32 33 29 30 30 26 37

Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya

terhadap penambahan berat ayam atau tidak

Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai

berikut

Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)

Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0

Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara

acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari

kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan

statistik t dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama

2 = nilai rerata sampel kedua

119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)

Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho

ditolak

Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996

1198781198612 = 01112

nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai

berikut

1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861

119899119860 + 119899119861 minus 2

=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)

11 + 10 minus 2

1199042 =29968

19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397

Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =119860 minus 119861

119904radic1

119899119860+

1119899119861

=322 minus 307

0397radic 111 +

110

= 0862

Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209

Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)

3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)

Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan

yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal

ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda

yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata

pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda

yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang

suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm

dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut

Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu

ekor) sebagai berikut

Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0

Ha 1le2 atau Ha 1-2le0

Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut

1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15

2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20

Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok

tersebut yaitu

1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041

2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422

1198991 + 1198992 minus 2=

(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2

15 + 20 minus 2

1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933

Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =1 minus 2

119878radic11198991

+1

1198992

=1672 minus 1603

6933radic 115

+1

20

= 2913

Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata

bahwa thit lt ttabel Ho ditolak

Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih

tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti

(dapat diterima)

Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)

Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash

t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui

perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang

Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya

perlakuan tertentu

Contoh

Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan

maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada

masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya

Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil

dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut

Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005

ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa

pemberian latihan telah dapat meningkatkan

Penyelesaian

Dari masing-masing pasangan data observasi

tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2

Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-

nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan

mean (rerata) dalam populasi

Tabel perhitungan

Ho d = 0

Ha d ne 0

=sum 119889

119873=

minus11

10= minus110

1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2

119899

1199041198892 = 19 minus(minus11)2

10

1199041198892 = 69

119904119889 = radic69 = 2627

Siswa Nilai pretest

X1

Nilai post test

X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

No X1 X2 X1 ndash X2

d

d2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

- 1

0

- 1

- 2

- 1

- 1

- 3

0

- 1

- 1

1

0

1

4

1

1

9

0

1

1

52 63 - 11 19

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 3: Pengantar Statistika 2

Dengan cara Koding nilai rata-rata dpt dihitung sbb = Xo + p (sum119891119894 119888119894

sum119891119894)

= Xo + p (sum119891119894 119888119894

sum119891119894) = 655 + (10) (

89

80) = 76625

Contoh lain

Nilai Ujian fi Xi ci fi ci

31 ndash 40 1 355 -5 - 5

41 ndash 50 2 455 -4 - 8

52 ndash 60 5 555 -3 - 15

61 ndash 70 15 655 -2 - 30

71 ndash 80 25 755 -1 - 25

81 ndash 90 20 855 0 0

91 ndash 100 12 955 + 1 + 12

sum 80 -- -71

Dengan cara yang sama dengan di atas maka nilai rata-rata dpt dihitung

= Xo + p (sum119891119894 119862119894

sum119891119894) = 855 + (10) (

minus 71

80) = 76625

Ternyata dalam cara Koding (AM) kita bebas menentukan perkiraan rentang

kelas di mana mean berada dan hasilnya akan tetap sama

5 Rata-rata Harmonik dapat dihitung dengan rumus sbb

H = 119899

sum(1

119883119894) =

1198991

1199091 +

1

1198832 +

1

1198833 + hellip+

1

119883119899

Contoh

Si A bepergian pulang ndash pergi Waktu berangkat dengan kecepatan 10 kmjam

sedangkan waktu pulangnya kecepatannya 20 kmjam Berapakah kecepatan

rata-rata pulang ndash pergi

Jawaban spontan dengan rata-rata hitung biasa adalah = frac12 (10 + 20) kmjam =

15 kmjam adalah salah

Sehingga perlu dihitung dengan rata-rata harmonik sbb

Misal jarak tempuhnya adalah 100 km maka ketika pergi diperlukan waktu =

10010 = 10 jam sedangkan pada saat pulangnya dibutuhkan waktu = 10020

= 5 jam Total waktu pulang-pergi adalah 15 jam sedangkan jarak tempuhnya

200 km maka rata-rata kecepatan pergi ndash pulang adalah

= 200 119896119898

15 119895119886119898 = 13 3 kmjam

Ternyata permisalan jarak yg ditempuh tidak berpengaruh thd hasil nilai rata-

rata harmonik Hal ini akan lebih mudah dihitung dengan rumus sbb

H = 119899

sum(1

119883119894) =

21

10 +

1

20 =

40

3 = 133 kmjam

B MODUS = MODE = MODAL

Modus adalah fenomenanilai yang paling banyak muncul

Contoh terdapat sampel dengan nilai-nilai data sbb 12 34 14 34 28 34 34

28 14

Data tersebut dapat disusun dalam tabel berikut

Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-

banyak adalah f = 4 yang terjadi untuk nilai 34 Dengan

demikian maka Modus Mo = 34

12

14

28

34

1

2

2

4

Data yang memiliki dua modus (bi-modal)

Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-

banyak ada 2 yaitu data yang bernilai 75 dan 92 yang

masing-masing frekuensinya adalah f = 8 Dengan

demikian maka Modusnya ada dua yaitu 75 dan 92

75

60

92

64

35

8

7

8

7

2

Modus dari Data dlm Distribusi Frekuensi Bergolong

Jika data telah disusun dalam Tabel Distribusi Frekuensi Bergolong maka

Modusnya dapat dihitung dgn rumus

Mo = b + p (1198871

1198871+1198872)

Keterangan

b = batas bawah nyata kelas modal yaitu interval kelas yang frekuensinya

terbanyak

p = panjang (lebar) interval kelas modal

b1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sebelumnya (yg

nilainya di bawahnya)

b2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sesudahnya (yg

nilainya di atasnya)

Contoh

Nilai Ujian fi Batas Nyata Kelas modal adalah kelas ke lima

1) b = 705

2) b1 = 25 ndash 15 = 10

3) b2 = 25 ndash 20 = 5

4) p = 10

maka Mo = 705 + (10) (10

10+5)

Mo = 7717

31 ndash 40 1 305 ndash 405

41 ndash 50 2 405 ndash 505

53 ndash 60 5 505 ndash 605

61 ndash 70 15 605 ndash 705

71 ndash 80 25 705 ndash 805

81 ndash 90 20 805 ndash 905

91 ndash 100 12 905 ndash 1005

sum 80 --

MEDIAN

Median adalah nilai tengah yaitu nilai yang membatasi antara 50 data

bagian atas dan 50 data bagian bawah

1 Median untuk banyak data Ganjil

Misal Sampel dengan data 4 12 5 7 8 10 10

Setelah diurutkan menjadi 4 5 7 8 10 10 12

Dalam hal ini nilai tengahnya adalah data ke-4 yaitu 8 Jadi median dari

data tersebut adalah Me = 8

2 Median untuk banyak data Genap

Untuk sampel yg berukuran genap maka setelah data diurutkan nilainya

dari yg terkecil ke terbesar Median dapat dihitung dengan merata-rata dua

data tengah

Misal sampel dgn data 12 7 8 14 16 19 10 8

Setelah diurutkan nilainya menjadi 7 8 8 10 12 14 16 19

Dalam hal ini data tengah adalah data ke-4 yaitu 10 dan data ke-5 yaitu 12

sehingga rata-ratanya adalah 11

3 Median untuk Data Dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

Nilai Median untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi

bergolong dapat dihitung dengan rumus

Me = b + p (frac12 119873minus119865

119891)

Keterangan

b = batas bawah nyata kelas Median yaitu kelas di mana Median berada

p = panjang (lebar) interval kelas

N = ukuran sampel (banyaknya data)

F = frekuensi komulatif sebelum (nilainya di bawah) kelas Median

f = frekuensi pada kelas Median

Contoh

Nilai Ujian fi Batas Nyata Frekuensi Komulatif

31 ndash 40 1 305 ndash 405 1

41 ndash 50 2 405 ndash 505 3

51 ndash 60 5 505 ndash 605 8

61 ndash 70 15 605 ndash 705 23

71 ndash 80 25 705 ndash 805 48

81 ndash 90 20 805 ndash 905 68

91 ndash 100 12 905 ndash 1005 80

sum 80 --

Ternyata Rumus Median utk data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong tsb

dapat diekstensi utk menghitung nilai-nilai Kuartil (K) Desil (D) Quantil (Q) dan

Persentil (P) sbb

1 Kuartil ke-i Ki adalah data yg ke 119894(119873)

4 di mana i = 1 2 dan 3

Kuartil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Ki = b + p (119894 119873

4minus119865

119891) i = 1 2 dan 3

2 Quantil ke-i Qi adalah data yg ke 119894(119873)

5 di mana i = 1 2 3 dan 4

Kuantil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Klas Median

Klas Kuartil 3

Klas Kuartil I

Qi = b + p (119894 119873

5minus119865

119891) i = 1 2 3 dan 4

3 Desil ke-i Di adalah data yg ke 119894(119873)

10 di mana i = 1 2 3 4 5 6 7 8 dan 9

Desil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Di = b + p (119894119873

10minus119865

119891) i = 1 2 3 hellip9

4 Persentil ke-i Pi adalah data yg ke 119894(119873)

100 di mana i = 1 2 3 4 hellip 99

Persentil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dengan

rumus

Pi = b + p (119894119873

100minus119865

119891) i = 1 2 3 4 hellip 99

SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI

Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi

1 Rentang (range)

2 Rentang antar kuartil

3 Simpangan kuartil (deviasi Kuartil)

4 Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata)

5 Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians

1 Rentang (Range) = skor terbesar ndash skor terkecil

2 Rentang antar kuartil RAK = K3 ndash K1

3 Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil)

SK = frac12 (K3 ndash K1)

4 Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata) RS = sum|119883119894minus |

119899

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb

Xi Xi - |119883119894 minus |

Nilai rata-rata = sum 119883

119899 =

50

5 = 10

RS = sum|119883119894minus |

119899 =

10

5 = 20

8 -2 2

7 -3 3

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 4

sum X = 50 0 10

5 Simpangan Baku = Standar Deviasi

Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang

paling banyak digunakan Misalkan suatu sampel berukuran n dengan data X1

X2 X3 hellip Xn Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut

dapat dihitung sbb

a Estimasi yg sifatnya bias s = radicsum(119883119894minus )2

119899 = radic

sum1199091198942

119899

b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

sum1199091198942

119899minus1

Keterangan

s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku

populasi)

n ndash 1 = derajat kebebasan

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb

Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2

Nilai rata-rata = sum 119883

119899 =

50

5 = 10

s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

30

5minus1 = radic75 = 274

8 -2 4

7 -3 9

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 16

sum X = 50 0 30

Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih

dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi

6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar

Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau

rumus varians dapat dihitung sbb

1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus

angka kasar (rumus varians) sbb

Xi 1198831198942 1199042 =

119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

s = radic(5)(530)minus (50)2

5 (5minus1) = radic

150

20 = 274

8 64

7 49

10 100

11 121

14 196

sum Xi = 50 sum1198831198942= 530

7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)

1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2

119899 (119899minus1)

Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)

fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai

n = sumfi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942

31 ndash 40 1 355 126025 355 126025

41 ndash 50 2 455 207025 910 414050

51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125

61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375

71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625

81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050

91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430

JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100

Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2

80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312

b Dengan Rumus Deviasi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2

31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921

41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442

51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605

61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815

71 ndash 80 25 755 -11 121 3025

81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420

91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652

JUMLAH 80 -- -- 1349880

Nilai rata-rata = 76625 infin 766

1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2

119899minus1 =

1349880

80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307

c Dengan Rumus Koding

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9

41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8

51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5

61 ndash 70 15 655 0 0 0 0

71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25

81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80

91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108

JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (235) ndash (89)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-

kan letak ci = 0 hellip

Contoh

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16

41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18

51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20

61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15

71 ndash 80 25 755 0 0 0 0

81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20

91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48

JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (137) ndash (9)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel

Misal

Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1

Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk

Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk

dapat dihitung dengan rumus

1199042= sum(119899119894minus1)11990412

sum119899119894minus119896 atau 1199042=

(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962

1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896

119810ontoh

Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek

menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua

terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan

dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung

1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422

1198991+1198992minus119896 =

(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2

14+ 23minus2

1199042 = 8772 s = radic8772 = 296

Uji ndash t

1 t-test dengan satu sampel

Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-

rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu

tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50

buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata

masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa

simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan

bahwa kualitas lampu merk A telah berubah

Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut

Ho = o Ho = 800 jam

Ha ne o Ha ne 800 jam

Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)

Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel

120583119874 = rerata populasi

119904 = standar deviasi dari sampel

119899 = ukuranjumlah sampel

Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji

hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)

Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut

-t1-2 lt thit lt t1-2

Dalam hal lainnya Ho ditolak

Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar

deviasi s = 60 jam maka

119905 = minus 120583119900

119904radic119899=

792 minus 800

60radic50= minus0942

Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201

Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam

atau kualitas lampu merk A belum berubah

2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)

Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua

populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara

produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya

Uji ndash t DUA EKOR

Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka

waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal

ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel

sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan

jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam

ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut

Makanan

A

31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34

Makanan

B

27 29 34 32 33 29 30 30 26 37

Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya

terhadap penambahan berat ayam atau tidak

Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai

berikut

Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)

Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0

Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara

acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari

kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan

statistik t dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama

2 = nilai rerata sampel kedua

119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)

Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho

ditolak

Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996

1198781198612 = 01112

nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai

berikut

1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861

119899119860 + 119899119861 minus 2

=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)

11 + 10 minus 2

1199042 =29968

19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397

Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =119860 minus 119861

119904radic1

119899119860+

1119899119861

=322 minus 307

0397radic 111 +

110

= 0862

Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209

Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)

3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)

Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan

yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal

ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda

yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata

pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda

yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang

suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm

dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut

Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu

ekor) sebagai berikut

Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0

Ha 1le2 atau Ha 1-2le0

Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut

1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15

2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20

Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok

tersebut yaitu

1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041

2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422

1198991 + 1198992 minus 2=

(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2

15 + 20 minus 2

1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933

Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =1 minus 2

119878radic11198991

+1

1198992

=1672 minus 1603

6933radic 115

+1

20

= 2913

Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata

bahwa thit lt ttabel Ho ditolak

Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih

tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti

(dapat diterima)

Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)

Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash

t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui

perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang

Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya

perlakuan tertentu

Contoh

Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan

maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada

masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya

Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil

dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut

Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005

ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa

pemberian latihan telah dapat meningkatkan

Penyelesaian

Dari masing-masing pasangan data observasi

tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2

Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-

nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan

mean (rerata) dalam populasi

Tabel perhitungan

Ho d = 0

Ha d ne 0

=sum 119889

119873=

minus11

10= minus110

1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2

119899

1199041198892 = 19 minus(minus11)2

10

1199041198892 = 69

119904119889 = radic69 = 2627

Siswa Nilai pretest

X1

Nilai post test

X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

No X1 X2 X1 ndash X2

d

d2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

- 1

0

- 1

- 2

- 1

- 1

- 3

0

- 1

- 1

1

0

1

4

1

1

9

0

1

1

52 63 - 11 19

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 4: Pengantar Statistika 2

= 200 119896119898

15 119895119886119898 = 13 3 kmjam

Ternyata permisalan jarak yg ditempuh tidak berpengaruh thd hasil nilai rata-

rata harmonik Hal ini akan lebih mudah dihitung dengan rumus sbb

H = 119899

sum(1

119883119894) =

21

10 +

1

20 =

40

3 = 133 kmjam

B MODUS = MODE = MODAL

Modus adalah fenomenanilai yang paling banyak muncul

Contoh terdapat sampel dengan nilai-nilai data sbb 12 34 14 34 28 34 34

28 14

Data tersebut dapat disusun dalam tabel berikut

Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-

banyak adalah f = 4 yang terjadi untuk nilai 34 Dengan

demikian maka Modus Mo = 34

12

14

28

34

1

2

2

4

Data yang memiliki dua modus (bi-modal)

Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-

banyak ada 2 yaitu data yang bernilai 75 dan 92 yang

masing-masing frekuensinya adalah f = 8 Dengan

demikian maka Modusnya ada dua yaitu 75 dan 92

75

60

92

64

35

8

7

8

7

2

Modus dari Data dlm Distribusi Frekuensi Bergolong

Jika data telah disusun dalam Tabel Distribusi Frekuensi Bergolong maka

Modusnya dapat dihitung dgn rumus

Mo = b + p (1198871

1198871+1198872)

Keterangan

b = batas bawah nyata kelas modal yaitu interval kelas yang frekuensinya

terbanyak

p = panjang (lebar) interval kelas modal

b1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sebelumnya (yg

nilainya di bawahnya)

b2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sesudahnya (yg

nilainya di atasnya)

Contoh

Nilai Ujian fi Batas Nyata Kelas modal adalah kelas ke lima

1) b = 705

2) b1 = 25 ndash 15 = 10

3) b2 = 25 ndash 20 = 5

4) p = 10

maka Mo = 705 + (10) (10

10+5)

Mo = 7717

31 ndash 40 1 305 ndash 405

41 ndash 50 2 405 ndash 505

53 ndash 60 5 505 ndash 605

61 ndash 70 15 605 ndash 705

71 ndash 80 25 705 ndash 805

81 ndash 90 20 805 ndash 905

91 ndash 100 12 905 ndash 1005

sum 80 --

MEDIAN

Median adalah nilai tengah yaitu nilai yang membatasi antara 50 data

bagian atas dan 50 data bagian bawah

1 Median untuk banyak data Ganjil

Misal Sampel dengan data 4 12 5 7 8 10 10

Setelah diurutkan menjadi 4 5 7 8 10 10 12

Dalam hal ini nilai tengahnya adalah data ke-4 yaitu 8 Jadi median dari

data tersebut adalah Me = 8

2 Median untuk banyak data Genap

Untuk sampel yg berukuran genap maka setelah data diurutkan nilainya

dari yg terkecil ke terbesar Median dapat dihitung dengan merata-rata dua

data tengah

Misal sampel dgn data 12 7 8 14 16 19 10 8

Setelah diurutkan nilainya menjadi 7 8 8 10 12 14 16 19

Dalam hal ini data tengah adalah data ke-4 yaitu 10 dan data ke-5 yaitu 12

sehingga rata-ratanya adalah 11

3 Median untuk Data Dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

Nilai Median untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi

bergolong dapat dihitung dengan rumus

Me = b + p (frac12 119873minus119865

119891)

Keterangan

b = batas bawah nyata kelas Median yaitu kelas di mana Median berada

p = panjang (lebar) interval kelas

N = ukuran sampel (banyaknya data)

F = frekuensi komulatif sebelum (nilainya di bawah) kelas Median

f = frekuensi pada kelas Median

Contoh

Nilai Ujian fi Batas Nyata Frekuensi Komulatif

31 ndash 40 1 305 ndash 405 1

41 ndash 50 2 405 ndash 505 3

51 ndash 60 5 505 ndash 605 8

61 ndash 70 15 605 ndash 705 23

71 ndash 80 25 705 ndash 805 48

81 ndash 90 20 805 ndash 905 68

91 ndash 100 12 905 ndash 1005 80

sum 80 --

Ternyata Rumus Median utk data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong tsb

dapat diekstensi utk menghitung nilai-nilai Kuartil (K) Desil (D) Quantil (Q) dan

Persentil (P) sbb

1 Kuartil ke-i Ki adalah data yg ke 119894(119873)

4 di mana i = 1 2 dan 3

Kuartil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Ki = b + p (119894 119873

4minus119865

119891) i = 1 2 dan 3

2 Quantil ke-i Qi adalah data yg ke 119894(119873)

5 di mana i = 1 2 3 dan 4

Kuantil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Klas Median

Klas Kuartil 3

Klas Kuartil I

Qi = b + p (119894 119873

5minus119865

119891) i = 1 2 3 dan 4

3 Desil ke-i Di adalah data yg ke 119894(119873)

10 di mana i = 1 2 3 4 5 6 7 8 dan 9

Desil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Di = b + p (119894119873

10minus119865

119891) i = 1 2 3 hellip9

4 Persentil ke-i Pi adalah data yg ke 119894(119873)

100 di mana i = 1 2 3 4 hellip 99

Persentil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dengan

rumus

Pi = b + p (119894119873

100minus119865

119891) i = 1 2 3 4 hellip 99

SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI

Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi

1 Rentang (range)

2 Rentang antar kuartil

3 Simpangan kuartil (deviasi Kuartil)

4 Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata)

5 Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians

1 Rentang (Range) = skor terbesar ndash skor terkecil

2 Rentang antar kuartil RAK = K3 ndash K1

3 Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil)

SK = frac12 (K3 ndash K1)

4 Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata) RS = sum|119883119894minus |

119899

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb

Xi Xi - |119883119894 minus |

Nilai rata-rata = sum 119883

119899 =

50

5 = 10

RS = sum|119883119894minus |

119899 =

10

5 = 20

8 -2 2

7 -3 3

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 4

sum X = 50 0 10

5 Simpangan Baku = Standar Deviasi

Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang

paling banyak digunakan Misalkan suatu sampel berukuran n dengan data X1

X2 X3 hellip Xn Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut

dapat dihitung sbb

a Estimasi yg sifatnya bias s = radicsum(119883119894minus )2

119899 = radic

sum1199091198942

119899

b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

sum1199091198942

119899minus1

Keterangan

s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku

populasi)

n ndash 1 = derajat kebebasan

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb

Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2

Nilai rata-rata = sum 119883

119899 =

50

5 = 10

s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

30

5minus1 = radic75 = 274

8 -2 4

7 -3 9

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 16

sum X = 50 0 30

Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih

dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi

6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar

Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau

rumus varians dapat dihitung sbb

1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus

angka kasar (rumus varians) sbb

Xi 1198831198942 1199042 =

119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

s = radic(5)(530)minus (50)2

5 (5minus1) = radic

150

20 = 274

8 64

7 49

10 100

11 121

14 196

sum Xi = 50 sum1198831198942= 530

7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)

1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2

119899 (119899minus1)

Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)

fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai

n = sumfi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942

31 ndash 40 1 355 126025 355 126025

41 ndash 50 2 455 207025 910 414050

51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125

61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375

71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625

81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050

91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430

JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100

Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2

80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312

b Dengan Rumus Deviasi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2

31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921

41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442

51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605

61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815

71 ndash 80 25 755 -11 121 3025

81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420

91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652

JUMLAH 80 -- -- 1349880

Nilai rata-rata = 76625 infin 766

1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2

119899minus1 =

1349880

80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307

c Dengan Rumus Koding

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9

41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8

51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5

61 ndash 70 15 655 0 0 0 0

71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25

81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80

91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108

JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (235) ndash (89)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-

kan letak ci = 0 hellip

Contoh

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16

41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18

51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20

61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15

71 ndash 80 25 755 0 0 0 0

81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20

91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48

JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (137) ndash (9)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel

Misal

Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1

Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk

Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk

dapat dihitung dengan rumus

1199042= sum(119899119894minus1)11990412

sum119899119894minus119896 atau 1199042=

(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962

1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896

119810ontoh

Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek

menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua

terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan

dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung

1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422

1198991+1198992minus119896 =

(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2

14+ 23minus2

1199042 = 8772 s = radic8772 = 296

Uji ndash t

1 t-test dengan satu sampel

Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-

rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu

tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50

buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata

masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa

simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan

bahwa kualitas lampu merk A telah berubah

Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut

Ho = o Ho = 800 jam

Ha ne o Ha ne 800 jam

Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)

Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel

120583119874 = rerata populasi

119904 = standar deviasi dari sampel

119899 = ukuranjumlah sampel

Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji

hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)

Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut

-t1-2 lt thit lt t1-2

Dalam hal lainnya Ho ditolak

Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar

deviasi s = 60 jam maka

119905 = minus 120583119900

119904radic119899=

792 minus 800

60radic50= minus0942

Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201

Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam

atau kualitas lampu merk A belum berubah

2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)

Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua

populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara

produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya

Uji ndash t DUA EKOR

Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka

waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal

ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel

sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan

jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam

ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut

Makanan

A

31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34

Makanan

B

27 29 34 32 33 29 30 30 26 37

Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya

terhadap penambahan berat ayam atau tidak

Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai

berikut

Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)

Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0

Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara

acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari

kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan

statistik t dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama

2 = nilai rerata sampel kedua

119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)

Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho

ditolak

Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996

1198781198612 = 01112

nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai

berikut

1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861

119899119860 + 119899119861 minus 2

=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)

11 + 10 minus 2

1199042 =29968

19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397

Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =119860 minus 119861

119904radic1

119899119860+

1119899119861

=322 minus 307

0397radic 111 +

110

= 0862

Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209

Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)

3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)

Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan

yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal

ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda

yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata

pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda

yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang

suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm

dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut

Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu

ekor) sebagai berikut

Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0

Ha 1le2 atau Ha 1-2le0

Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut

1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15

2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20

Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok

tersebut yaitu

1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041

2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422

1198991 + 1198992 minus 2=

(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2

15 + 20 minus 2

1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933

Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =1 minus 2

119878radic11198991

+1

1198992

=1672 minus 1603

6933radic 115

+1

20

= 2913

Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata

bahwa thit lt ttabel Ho ditolak

Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih

tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti

(dapat diterima)

Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)

Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash

t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui

perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang

Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya

perlakuan tertentu

Contoh

Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan

maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada

masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya

Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil

dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut

Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005

ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa

pemberian latihan telah dapat meningkatkan

Penyelesaian

Dari masing-masing pasangan data observasi

tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2

Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-

nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan

mean (rerata) dalam populasi

Tabel perhitungan

Ho d = 0

Ha d ne 0

=sum 119889

119873=

minus11

10= minus110

1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2

119899

1199041198892 = 19 minus(minus11)2

10

1199041198892 = 69

119904119889 = radic69 = 2627

Siswa Nilai pretest

X1

Nilai post test

X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

No X1 X2 X1 ndash X2

d

d2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

- 1

0

- 1

- 2

- 1

- 1

- 3

0

- 1

- 1

1

0

1

4

1

1

9

0

1

1

52 63 - 11 19

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 5: Pengantar Statistika 2

p = panjang (lebar) interval kelas modal

b1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sebelumnya (yg

nilainya di bawahnya)

b2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sesudahnya (yg

nilainya di atasnya)

Contoh

Nilai Ujian fi Batas Nyata Kelas modal adalah kelas ke lima

1) b = 705

2) b1 = 25 ndash 15 = 10

3) b2 = 25 ndash 20 = 5

4) p = 10

maka Mo = 705 + (10) (10

10+5)

Mo = 7717

31 ndash 40 1 305 ndash 405

41 ndash 50 2 405 ndash 505

53 ndash 60 5 505 ndash 605

61 ndash 70 15 605 ndash 705

71 ndash 80 25 705 ndash 805

81 ndash 90 20 805 ndash 905

91 ndash 100 12 905 ndash 1005

sum 80 --

MEDIAN

Median adalah nilai tengah yaitu nilai yang membatasi antara 50 data

bagian atas dan 50 data bagian bawah

1 Median untuk banyak data Ganjil

Misal Sampel dengan data 4 12 5 7 8 10 10

Setelah diurutkan menjadi 4 5 7 8 10 10 12

Dalam hal ini nilai tengahnya adalah data ke-4 yaitu 8 Jadi median dari

data tersebut adalah Me = 8

2 Median untuk banyak data Genap

Untuk sampel yg berukuran genap maka setelah data diurutkan nilainya

dari yg terkecil ke terbesar Median dapat dihitung dengan merata-rata dua

data tengah

Misal sampel dgn data 12 7 8 14 16 19 10 8

Setelah diurutkan nilainya menjadi 7 8 8 10 12 14 16 19

Dalam hal ini data tengah adalah data ke-4 yaitu 10 dan data ke-5 yaitu 12

sehingga rata-ratanya adalah 11

3 Median untuk Data Dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

Nilai Median untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi

bergolong dapat dihitung dengan rumus

Me = b + p (frac12 119873minus119865

119891)

Keterangan

b = batas bawah nyata kelas Median yaitu kelas di mana Median berada

p = panjang (lebar) interval kelas

N = ukuran sampel (banyaknya data)

F = frekuensi komulatif sebelum (nilainya di bawah) kelas Median

f = frekuensi pada kelas Median

Contoh

Nilai Ujian fi Batas Nyata Frekuensi Komulatif

31 ndash 40 1 305 ndash 405 1

41 ndash 50 2 405 ndash 505 3

51 ndash 60 5 505 ndash 605 8

61 ndash 70 15 605 ndash 705 23

71 ndash 80 25 705 ndash 805 48

81 ndash 90 20 805 ndash 905 68

91 ndash 100 12 905 ndash 1005 80

sum 80 --

Ternyata Rumus Median utk data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong tsb

dapat diekstensi utk menghitung nilai-nilai Kuartil (K) Desil (D) Quantil (Q) dan

Persentil (P) sbb

1 Kuartil ke-i Ki adalah data yg ke 119894(119873)

4 di mana i = 1 2 dan 3

Kuartil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Ki = b + p (119894 119873

4minus119865

119891) i = 1 2 dan 3

2 Quantil ke-i Qi adalah data yg ke 119894(119873)

5 di mana i = 1 2 3 dan 4

Kuantil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Klas Median

Klas Kuartil 3

Klas Kuartil I

Qi = b + p (119894 119873

5minus119865

119891) i = 1 2 3 dan 4

3 Desil ke-i Di adalah data yg ke 119894(119873)

10 di mana i = 1 2 3 4 5 6 7 8 dan 9

Desil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Di = b + p (119894119873

10minus119865

119891) i = 1 2 3 hellip9

4 Persentil ke-i Pi adalah data yg ke 119894(119873)

100 di mana i = 1 2 3 4 hellip 99

Persentil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dengan

rumus

Pi = b + p (119894119873

100minus119865

119891) i = 1 2 3 4 hellip 99

SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI

Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi

1 Rentang (range)

2 Rentang antar kuartil

3 Simpangan kuartil (deviasi Kuartil)

4 Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata)

5 Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians

1 Rentang (Range) = skor terbesar ndash skor terkecil

2 Rentang antar kuartil RAK = K3 ndash K1

3 Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil)

SK = frac12 (K3 ndash K1)

4 Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata) RS = sum|119883119894minus |

119899

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb

Xi Xi - |119883119894 minus |

Nilai rata-rata = sum 119883

119899 =

50

5 = 10

RS = sum|119883119894minus |

119899 =

10

5 = 20

8 -2 2

7 -3 3

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 4

sum X = 50 0 10

5 Simpangan Baku = Standar Deviasi

Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang

paling banyak digunakan Misalkan suatu sampel berukuran n dengan data X1

X2 X3 hellip Xn Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut

dapat dihitung sbb

a Estimasi yg sifatnya bias s = radicsum(119883119894minus )2

119899 = radic

sum1199091198942

119899

b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

sum1199091198942

119899minus1

Keterangan

s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku

populasi)

n ndash 1 = derajat kebebasan

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb

Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2

Nilai rata-rata = sum 119883

119899 =

50

5 = 10

s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

30

5minus1 = radic75 = 274

8 -2 4

7 -3 9

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 16

sum X = 50 0 30

Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih

dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi

6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar

Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau

rumus varians dapat dihitung sbb

1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus

angka kasar (rumus varians) sbb

Xi 1198831198942 1199042 =

119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

s = radic(5)(530)minus (50)2

5 (5minus1) = radic

150

20 = 274

8 64

7 49

10 100

11 121

14 196

sum Xi = 50 sum1198831198942= 530

7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)

1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2

119899 (119899minus1)

Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)

fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai

n = sumfi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942

31 ndash 40 1 355 126025 355 126025

41 ndash 50 2 455 207025 910 414050

51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125

61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375

71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625

81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050

91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430

JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100

Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2

80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312

b Dengan Rumus Deviasi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2

31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921

41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442

51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605

61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815

71 ndash 80 25 755 -11 121 3025

81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420

91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652

JUMLAH 80 -- -- 1349880

Nilai rata-rata = 76625 infin 766

1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2

119899minus1 =

1349880

80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307

c Dengan Rumus Koding

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9

41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8

51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5

61 ndash 70 15 655 0 0 0 0

71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25

81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80

91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108

JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (235) ndash (89)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-

kan letak ci = 0 hellip

Contoh

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16

41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18

51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20

61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15

71 ndash 80 25 755 0 0 0 0

81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20

91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48

JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (137) ndash (9)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel

Misal

Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1

Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk

Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk

dapat dihitung dengan rumus

1199042= sum(119899119894minus1)11990412

sum119899119894minus119896 atau 1199042=

(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962

1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896

119810ontoh

Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek

menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua

terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan

dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung

1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422

1198991+1198992minus119896 =

(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2

14+ 23minus2

1199042 = 8772 s = radic8772 = 296

Uji ndash t

1 t-test dengan satu sampel

Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-

rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu

tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50

buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata

masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa

simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan

bahwa kualitas lampu merk A telah berubah

Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut

Ho = o Ho = 800 jam

Ha ne o Ha ne 800 jam

Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)

Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel

120583119874 = rerata populasi

119904 = standar deviasi dari sampel

119899 = ukuranjumlah sampel

Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji

hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)

Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut

-t1-2 lt thit lt t1-2

Dalam hal lainnya Ho ditolak

Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar

deviasi s = 60 jam maka

119905 = minus 120583119900

119904radic119899=

792 minus 800

60radic50= minus0942

Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201

Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam

atau kualitas lampu merk A belum berubah

2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)

Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua

populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara

produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya

Uji ndash t DUA EKOR

Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka

waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal

ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel

sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan

jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam

ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut

Makanan

A

31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34

Makanan

B

27 29 34 32 33 29 30 30 26 37

Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya

terhadap penambahan berat ayam atau tidak

Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai

berikut

Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)

Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0

Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara

acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari

kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan

statistik t dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama

2 = nilai rerata sampel kedua

119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)

Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho

ditolak

Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996

1198781198612 = 01112

nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai

berikut

1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861

119899119860 + 119899119861 minus 2

=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)

11 + 10 minus 2

1199042 =29968

19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397

Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =119860 minus 119861

119904radic1

119899119860+

1119899119861

=322 minus 307

0397radic 111 +

110

= 0862

Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209

Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)

3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)

Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan

yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal

ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda

yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata

pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda

yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang

suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm

dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut

Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu

ekor) sebagai berikut

Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0

Ha 1le2 atau Ha 1-2le0

Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut

1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15

2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20

Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok

tersebut yaitu

1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041

2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422

1198991 + 1198992 minus 2=

(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2

15 + 20 minus 2

1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933

Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =1 minus 2

119878radic11198991

+1

1198992

=1672 minus 1603

6933radic 115

+1

20

= 2913

Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata

bahwa thit lt ttabel Ho ditolak

Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih

tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti

(dapat diterima)

Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)

Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash

t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui

perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang

Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya

perlakuan tertentu

Contoh

Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan

maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada

masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya

Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil

dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut

Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005

ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa

pemberian latihan telah dapat meningkatkan

Penyelesaian

Dari masing-masing pasangan data observasi

tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2

Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-

nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan

mean (rerata) dalam populasi

Tabel perhitungan

Ho d = 0

Ha d ne 0

=sum 119889

119873=

minus11

10= minus110

1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2

119899

1199041198892 = 19 minus(minus11)2

10

1199041198892 = 69

119904119889 = radic69 = 2627

Siswa Nilai pretest

X1

Nilai post test

X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

No X1 X2 X1 ndash X2

d

d2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

- 1

0

- 1

- 2

- 1

- 1

- 3

0

- 1

- 1

1

0

1

4

1

1

9

0

1

1

52 63 - 11 19

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 6: Pengantar Statistika 2

3 Median untuk Data Dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

Nilai Median untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi

bergolong dapat dihitung dengan rumus

Me = b + p (frac12 119873minus119865

119891)

Keterangan

b = batas bawah nyata kelas Median yaitu kelas di mana Median berada

p = panjang (lebar) interval kelas

N = ukuran sampel (banyaknya data)

F = frekuensi komulatif sebelum (nilainya di bawah) kelas Median

f = frekuensi pada kelas Median

Contoh

Nilai Ujian fi Batas Nyata Frekuensi Komulatif

31 ndash 40 1 305 ndash 405 1

41 ndash 50 2 405 ndash 505 3

51 ndash 60 5 505 ndash 605 8

61 ndash 70 15 605 ndash 705 23

71 ndash 80 25 705 ndash 805 48

81 ndash 90 20 805 ndash 905 68

91 ndash 100 12 905 ndash 1005 80

sum 80 --

Ternyata Rumus Median utk data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong tsb

dapat diekstensi utk menghitung nilai-nilai Kuartil (K) Desil (D) Quantil (Q) dan

Persentil (P) sbb

1 Kuartil ke-i Ki adalah data yg ke 119894(119873)

4 di mana i = 1 2 dan 3

Kuartil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Ki = b + p (119894 119873

4minus119865

119891) i = 1 2 dan 3

2 Quantil ke-i Qi adalah data yg ke 119894(119873)

5 di mana i = 1 2 3 dan 4

Kuantil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Klas Median

Klas Kuartil 3

Klas Kuartil I

Qi = b + p (119894 119873

5minus119865

119891) i = 1 2 3 dan 4

3 Desil ke-i Di adalah data yg ke 119894(119873)

10 di mana i = 1 2 3 4 5 6 7 8 dan 9

Desil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Di = b + p (119894119873

10minus119865

119891) i = 1 2 3 hellip9

4 Persentil ke-i Pi adalah data yg ke 119894(119873)

100 di mana i = 1 2 3 4 hellip 99

Persentil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dengan

rumus

Pi = b + p (119894119873

100minus119865

119891) i = 1 2 3 4 hellip 99

SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI

Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi

1 Rentang (range)

2 Rentang antar kuartil

3 Simpangan kuartil (deviasi Kuartil)

4 Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata)

5 Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians

1 Rentang (Range) = skor terbesar ndash skor terkecil

2 Rentang antar kuartil RAK = K3 ndash K1

3 Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil)

SK = frac12 (K3 ndash K1)

4 Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata) RS = sum|119883119894minus |

119899

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb

Xi Xi - |119883119894 minus |

Nilai rata-rata = sum 119883

119899 =

50

5 = 10

RS = sum|119883119894minus |

119899 =

10

5 = 20

8 -2 2

7 -3 3

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 4

sum X = 50 0 10

5 Simpangan Baku = Standar Deviasi

Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang

paling banyak digunakan Misalkan suatu sampel berukuran n dengan data X1

X2 X3 hellip Xn Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut

dapat dihitung sbb

a Estimasi yg sifatnya bias s = radicsum(119883119894minus )2

119899 = radic

sum1199091198942

119899

b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

sum1199091198942

119899minus1

Keterangan

s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku

populasi)

n ndash 1 = derajat kebebasan

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb

Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2

Nilai rata-rata = sum 119883

119899 =

50

5 = 10

s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

30

5minus1 = radic75 = 274

8 -2 4

7 -3 9

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 16

sum X = 50 0 30

Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih

dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi

6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar

Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau

rumus varians dapat dihitung sbb

1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus

angka kasar (rumus varians) sbb

Xi 1198831198942 1199042 =

119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

s = radic(5)(530)minus (50)2

5 (5minus1) = radic

150

20 = 274

8 64

7 49

10 100

11 121

14 196

sum Xi = 50 sum1198831198942= 530

7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)

1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2

119899 (119899minus1)

Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)

fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai

n = sumfi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942

31 ndash 40 1 355 126025 355 126025

41 ndash 50 2 455 207025 910 414050

51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125

61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375

71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625

81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050

91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430

JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100

Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2

80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312

b Dengan Rumus Deviasi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2

31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921

41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442

51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605

61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815

71 ndash 80 25 755 -11 121 3025

81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420

91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652

JUMLAH 80 -- -- 1349880

Nilai rata-rata = 76625 infin 766

1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2

119899minus1 =

1349880

80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307

c Dengan Rumus Koding

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9

41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8

51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5

61 ndash 70 15 655 0 0 0 0

71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25

81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80

91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108

JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (235) ndash (89)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-

kan letak ci = 0 hellip

Contoh

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16

41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18

51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20

61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15

71 ndash 80 25 755 0 0 0 0

81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20

91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48

JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (137) ndash (9)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel

Misal

Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1

Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk

Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk

dapat dihitung dengan rumus

1199042= sum(119899119894minus1)11990412

sum119899119894minus119896 atau 1199042=

(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962

1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896

119810ontoh

Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek

menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua

terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan

dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung

1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422

1198991+1198992minus119896 =

(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2

14+ 23minus2

1199042 = 8772 s = radic8772 = 296

Uji ndash t

1 t-test dengan satu sampel

Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-

rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu

tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50

buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata

masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa

simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan

bahwa kualitas lampu merk A telah berubah

Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut

Ho = o Ho = 800 jam

Ha ne o Ha ne 800 jam

Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)

Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel

120583119874 = rerata populasi

119904 = standar deviasi dari sampel

119899 = ukuranjumlah sampel

Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji

hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)

Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut

-t1-2 lt thit lt t1-2

Dalam hal lainnya Ho ditolak

Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar

deviasi s = 60 jam maka

119905 = minus 120583119900

119904radic119899=

792 minus 800

60radic50= minus0942

Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201

Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam

atau kualitas lampu merk A belum berubah

2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)

Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua

populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara

produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya

Uji ndash t DUA EKOR

Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka

waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal

ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel

sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan

jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam

ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut

Makanan

A

31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34

Makanan

B

27 29 34 32 33 29 30 30 26 37

Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya

terhadap penambahan berat ayam atau tidak

Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai

berikut

Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)

Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0

Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara

acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari

kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan

statistik t dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama

2 = nilai rerata sampel kedua

119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)

Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho

ditolak

Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996

1198781198612 = 01112

nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai

berikut

1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861

119899119860 + 119899119861 minus 2

=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)

11 + 10 minus 2

1199042 =29968

19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397

Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =119860 minus 119861

119904radic1

119899119860+

1119899119861

=322 minus 307

0397radic 111 +

110

= 0862

Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209

Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)

3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)

Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan

yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal

ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda

yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata

pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda

yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang

suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm

dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut

Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu

ekor) sebagai berikut

Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0

Ha 1le2 atau Ha 1-2le0

Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut

1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15

2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20

Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok

tersebut yaitu

1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041

2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422

1198991 + 1198992 minus 2=

(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2

15 + 20 minus 2

1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933

Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =1 minus 2

119878radic11198991

+1

1198992

=1672 minus 1603

6933radic 115

+1

20

= 2913

Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata

bahwa thit lt ttabel Ho ditolak

Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih

tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti

(dapat diterima)

Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)

Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash

t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui

perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang

Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya

perlakuan tertentu

Contoh

Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan

maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada

masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya

Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil

dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut

Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005

ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa

pemberian latihan telah dapat meningkatkan

Penyelesaian

Dari masing-masing pasangan data observasi

tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2

Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-

nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan

mean (rerata) dalam populasi

Tabel perhitungan

Ho d = 0

Ha d ne 0

=sum 119889

119873=

minus11

10= minus110

1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2

119899

1199041198892 = 19 minus(minus11)2

10

1199041198892 = 69

119904119889 = radic69 = 2627

Siswa Nilai pretest

X1

Nilai post test

X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

No X1 X2 X1 ndash X2

d

d2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

- 1

0

- 1

- 2

- 1

- 1

- 3

0

- 1

- 1

1

0

1

4

1

1

9

0

1

1

52 63 - 11 19

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 7: Pengantar Statistika 2

Qi = b + p (119894 119873

5minus119865

119891) i = 1 2 3 dan 4

3 Desil ke-i Di adalah data yg ke 119894(119873)

10 di mana i = 1 2 3 4 5 6 7 8 dan 9

Desil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus

Di = b + p (119894119873

10minus119865

119891) i = 1 2 3 hellip9

4 Persentil ke-i Pi adalah data yg ke 119894(119873)

100 di mana i = 1 2 3 4 hellip 99

Persentil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dengan

rumus

Pi = b + p (119894119873

100minus119865

119891) i = 1 2 3 4 hellip 99

SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI

Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi

1 Rentang (range)

2 Rentang antar kuartil

3 Simpangan kuartil (deviasi Kuartil)

4 Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata)

5 Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians

1 Rentang (Range) = skor terbesar ndash skor terkecil

2 Rentang antar kuartil RAK = K3 ndash K1

3 Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil)

SK = frac12 (K3 ndash K1)

4 Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata) RS = sum|119883119894minus |

119899

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb

Xi Xi - |119883119894 minus |

Nilai rata-rata = sum 119883

119899 =

50

5 = 10

RS = sum|119883119894minus |

119899 =

10

5 = 20

8 -2 2

7 -3 3

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 4

sum X = 50 0 10

5 Simpangan Baku = Standar Deviasi

Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang

paling banyak digunakan Misalkan suatu sampel berukuran n dengan data X1

X2 X3 hellip Xn Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut

dapat dihitung sbb

a Estimasi yg sifatnya bias s = radicsum(119883119894minus )2

119899 = radic

sum1199091198942

119899

b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

sum1199091198942

119899minus1

Keterangan

s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku

populasi)

n ndash 1 = derajat kebebasan

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb

Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2

Nilai rata-rata = sum 119883

119899 =

50

5 = 10

s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

30

5minus1 = radic75 = 274

8 -2 4

7 -3 9

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 16

sum X = 50 0 30

Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih

dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi

6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar

Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau

rumus varians dapat dihitung sbb

1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus

angka kasar (rumus varians) sbb

Xi 1198831198942 1199042 =

119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

s = radic(5)(530)minus (50)2

5 (5minus1) = radic

150

20 = 274

8 64

7 49

10 100

11 121

14 196

sum Xi = 50 sum1198831198942= 530

7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)

1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2

119899 (119899minus1)

Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)

fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai

n = sumfi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942

31 ndash 40 1 355 126025 355 126025

41 ndash 50 2 455 207025 910 414050

51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125

61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375

71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625

81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050

91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430

JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100

Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2

80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312

b Dengan Rumus Deviasi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2

31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921

41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442

51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605

61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815

71 ndash 80 25 755 -11 121 3025

81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420

91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652

JUMLAH 80 -- -- 1349880

Nilai rata-rata = 76625 infin 766

1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2

119899minus1 =

1349880

80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307

c Dengan Rumus Koding

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9

41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8

51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5

61 ndash 70 15 655 0 0 0 0

71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25

81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80

91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108

JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (235) ndash (89)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-

kan letak ci = 0 hellip

Contoh

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16

41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18

51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20

61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15

71 ndash 80 25 755 0 0 0 0

81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20

91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48

JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (137) ndash (9)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel

Misal

Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1

Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk

Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk

dapat dihitung dengan rumus

1199042= sum(119899119894minus1)11990412

sum119899119894minus119896 atau 1199042=

(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962

1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896

119810ontoh

Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek

menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua

terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan

dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung

1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422

1198991+1198992minus119896 =

(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2

14+ 23minus2

1199042 = 8772 s = radic8772 = 296

Uji ndash t

1 t-test dengan satu sampel

Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-

rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu

tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50

buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata

masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa

simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan

bahwa kualitas lampu merk A telah berubah

Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut

Ho = o Ho = 800 jam

Ha ne o Ha ne 800 jam

Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)

Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel

120583119874 = rerata populasi

119904 = standar deviasi dari sampel

119899 = ukuranjumlah sampel

Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji

hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)

Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut

-t1-2 lt thit lt t1-2

Dalam hal lainnya Ho ditolak

Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar

deviasi s = 60 jam maka

119905 = minus 120583119900

119904radic119899=

792 minus 800

60radic50= minus0942

Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201

Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam

atau kualitas lampu merk A belum berubah

2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)

Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua

populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara

produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya

Uji ndash t DUA EKOR

Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka

waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal

ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel

sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan

jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam

ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut

Makanan

A

31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34

Makanan

B

27 29 34 32 33 29 30 30 26 37

Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya

terhadap penambahan berat ayam atau tidak

Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai

berikut

Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)

Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0

Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara

acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari

kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan

statistik t dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama

2 = nilai rerata sampel kedua

119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)

Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho

ditolak

Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996

1198781198612 = 01112

nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai

berikut

1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861

119899119860 + 119899119861 minus 2

=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)

11 + 10 minus 2

1199042 =29968

19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397

Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =119860 minus 119861

119904radic1

119899119860+

1119899119861

=322 minus 307

0397radic 111 +

110

= 0862

Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209

Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)

3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)

Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan

yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal

ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda

yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata

pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda

yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang

suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm

dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut

Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu

ekor) sebagai berikut

Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0

Ha 1le2 atau Ha 1-2le0

Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut

1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15

2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20

Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok

tersebut yaitu

1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041

2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422

1198991 + 1198992 minus 2=

(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2

15 + 20 minus 2

1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933

Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =1 minus 2

119878radic11198991

+1

1198992

=1672 minus 1603

6933radic 115

+1

20

= 2913

Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata

bahwa thit lt ttabel Ho ditolak

Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih

tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti

(dapat diterima)

Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)

Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash

t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui

perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang

Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya

perlakuan tertentu

Contoh

Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan

maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada

masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya

Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil

dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut

Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005

ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa

pemberian latihan telah dapat meningkatkan

Penyelesaian

Dari masing-masing pasangan data observasi

tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2

Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-

nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan

mean (rerata) dalam populasi

Tabel perhitungan

Ho d = 0

Ha d ne 0

=sum 119889

119873=

minus11

10= minus110

1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2

119899

1199041198892 = 19 minus(minus11)2

10

1199041198892 = 69

119904119889 = radic69 = 2627

Siswa Nilai pretest

X1

Nilai post test

X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

No X1 X2 X1 ndash X2

d

d2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

- 1

0

- 1

- 2

- 1

- 1

- 3

0

- 1

- 1

1

0

1

4

1

1

9

0

1

1

52 63 - 11 19

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 8: Pengantar Statistika 2

SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI

Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi

1 Rentang (range)

2 Rentang antar kuartil

3 Simpangan kuartil (deviasi Kuartil)

4 Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata)

5 Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians

1 Rentang (Range) = skor terbesar ndash skor terkecil

2 Rentang antar kuartil RAK = K3 ndash K1

3 Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil)

SK = frac12 (K3 ndash K1)

4 Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata) RS = sum|119883119894minus |

119899

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb

Xi Xi - |119883119894 minus |

Nilai rata-rata = sum 119883

119899 =

50

5 = 10

RS = sum|119883119894minus |

119899 =

10

5 = 20

8 -2 2

7 -3 3

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 4

sum X = 50 0 10

5 Simpangan Baku = Standar Deviasi

Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang

paling banyak digunakan Misalkan suatu sampel berukuran n dengan data X1

X2 X3 hellip Xn Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut

dapat dihitung sbb

a Estimasi yg sifatnya bias s = radicsum(119883119894minus )2

119899 = radic

sum1199091198942

119899

b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

sum1199091198942

119899minus1

Keterangan

s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku

populasi)

n ndash 1 = derajat kebebasan

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb

Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2

Nilai rata-rata = sum 119883

119899 =

50

5 = 10

s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

30

5minus1 = radic75 = 274

8 -2 4

7 -3 9

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 16

sum X = 50 0 30

Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih

dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi

6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar

Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau

rumus varians dapat dihitung sbb

1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus

angka kasar (rumus varians) sbb

Xi 1198831198942 1199042 =

119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

s = radic(5)(530)minus (50)2

5 (5minus1) = radic

150

20 = 274

8 64

7 49

10 100

11 121

14 196

sum Xi = 50 sum1198831198942= 530

7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)

1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2

119899 (119899minus1)

Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)

fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai

n = sumfi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942

31 ndash 40 1 355 126025 355 126025

41 ndash 50 2 455 207025 910 414050

51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125

61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375

71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625

81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050

91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430

JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100

Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2

80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312

b Dengan Rumus Deviasi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2

31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921

41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442

51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605

61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815

71 ndash 80 25 755 -11 121 3025

81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420

91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652

JUMLAH 80 -- -- 1349880

Nilai rata-rata = 76625 infin 766

1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2

119899minus1 =

1349880

80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307

c Dengan Rumus Koding

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9

41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8

51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5

61 ndash 70 15 655 0 0 0 0

71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25

81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80

91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108

JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (235) ndash (89)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-

kan letak ci = 0 hellip

Contoh

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16

41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18

51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20

61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15

71 ndash 80 25 755 0 0 0 0

81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20

91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48

JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (137) ndash (9)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel

Misal

Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1

Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk

Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk

dapat dihitung dengan rumus

1199042= sum(119899119894minus1)11990412

sum119899119894minus119896 atau 1199042=

(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962

1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896

119810ontoh

Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek

menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua

terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan

dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung

1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422

1198991+1198992minus119896 =

(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2

14+ 23minus2

1199042 = 8772 s = radic8772 = 296

Uji ndash t

1 t-test dengan satu sampel

Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-

rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu

tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50

buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata

masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa

simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan

bahwa kualitas lampu merk A telah berubah

Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut

Ho = o Ho = 800 jam

Ha ne o Ha ne 800 jam

Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)

Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel

120583119874 = rerata populasi

119904 = standar deviasi dari sampel

119899 = ukuranjumlah sampel

Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji

hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)

Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut

-t1-2 lt thit lt t1-2

Dalam hal lainnya Ho ditolak

Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar

deviasi s = 60 jam maka

119905 = minus 120583119900

119904radic119899=

792 minus 800

60radic50= minus0942

Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201

Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam

atau kualitas lampu merk A belum berubah

2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)

Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua

populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara

produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya

Uji ndash t DUA EKOR

Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka

waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal

ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel

sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan

jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam

ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut

Makanan

A

31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34

Makanan

B

27 29 34 32 33 29 30 30 26 37

Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya

terhadap penambahan berat ayam atau tidak

Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai

berikut

Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)

Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0

Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara

acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari

kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan

statistik t dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama

2 = nilai rerata sampel kedua

119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)

Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho

ditolak

Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996

1198781198612 = 01112

nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai

berikut

1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861

119899119860 + 119899119861 minus 2

=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)

11 + 10 minus 2

1199042 =29968

19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397

Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =119860 minus 119861

119904radic1

119899119860+

1119899119861

=322 minus 307

0397radic 111 +

110

= 0862

Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209

Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)

3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)

Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan

yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal

ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda

yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata

pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda

yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang

suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm

dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut

Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu

ekor) sebagai berikut

Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0

Ha 1le2 atau Ha 1-2le0

Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut

1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15

2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20

Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok

tersebut yaitu

1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041

2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422

1198991 + 1198992 minus 2=

(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2

15 + 20 minus 2

1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933

Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =1 minus 2

119878radic11198991

+1

1198992

=1672 minus 1603

6933radic 115

+1

20

= 2913

Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata

bahwa thit lt ttabel Ho ditolak

Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih

tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti

(dapat diterima)

Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)

Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash

t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui

perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang

Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya

perlakuan tertentu

Contoh

Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan

maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada

masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya

Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil

dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut

Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005

ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa

pemberian latihan telah dapat meningkatkan

Penyelesaian

Dari masing-masing pasangan data observasi

tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2

Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-

nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan

mean (rerata) dalam populasi

Tabel perhitungan

Ho d = 0

Ha d ne 0

=sum 119889

119873=

minus11

10= minus110

1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2

119899

1199041198892 = 19 minus(minus11)2

10

1199041198892 = 69

119904119889 = radic69 = 2627

Siswa Nilai pretest

X1

Nilai post test

X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

No X1 X2 X1 ndash X2

d

d2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

- 1

0

- 1

- 2

- 1

- 1

- 3

0

- 1

- 1

1

0

1

4

1

1

9

0

1

1

52 63 - 11 19

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 9: Pengantar Statistika 2

b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

sum1199091198942

119899minus1

Keterangan

s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku

populasi)

n ndash 1 = derajat kebebasan

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb

Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2

Nilai rata-rata = sum 119883

119899 =

50

5 = 10

s = radicsum(119883119894minus )2

119899minus1 = radic

30

5minus1 = radic75 = 274

8 -2 4

7 -3 9

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 16

sum X = 50 0 30

Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih

dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi

6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar

Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau

rumus varians dapat dihitung sbb

1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus

angka kasar (rumus varians) sbb

Xi 1198831198942 1199042 =

119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1) s = radic

1198991198831198942minus (sum119883119894)2

119899 (119899minus1)

s = radic(5)(530)minus (50)2

5 (5minus1) = radic

150

20 = 274

8 64

7 49

10 100

11 121

14 196

sum Xi = 50 sum1198831198942= 530

7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)

1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2

119899 (119899minus1)

Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)

fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai

n = sumfi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942

31 ndash 40 1 355 126025 355 126025

41 ndash 50 2 455 207025 910 414050

51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125

61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375

71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625

81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050

91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430

JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100

Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2

80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312

b Dengan Rumus Deviasi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2

31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921

41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442

51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605

61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815

71 ndash 80 25 755 -11 121 3025

81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420

91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652

JUMLAH 80 -- -- 1349880

Nilai rata-rata = 76625 infin 766

1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2

119899minus1 =

1349880

80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307

c Dengan Rumus Koding

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9

41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8

51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5

61 ndash 70 15 655 0 0 0 0

71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25

81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80

91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108

JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (235) ndash (89)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-

kan letak ci = 0 hellip

Contoh

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16

41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18

51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20

61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15

71 ndash 80 25 755 0 0 0 0

81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20

91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48

JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (137) ndash (9)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel

Misal

Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1

Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk

Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk

dapat dihitung dengan rumus

1199042= sum(119899119894minus1)11990412

sum119899119894minus119896 atau 1199042=

(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962

1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896

119810ontoh

Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek

menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua

terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan

dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung

1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422

1198991+1198992minus119896 =

(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2

14+ 23minus2

1199042 = 8772 s = radic8772 = 296

Uji ndash t

1 t-test dengan satu sampel

Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-

rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu

tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50

buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata

masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa

simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan

bahwa kualitas lampu merk A telah berubah

Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut

Ho = o Ho = 800 jam

Ha ne o Ha ne 800 jam

Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)

Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel

120583119874 = rerata populasi

119904 = standar deviasi dari sampel

119899 = ukuranjumlah sampel

Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji

hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)

Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut

-t1-2 lt thit lt t1-2

Dalam hal lainnya Ho ditolak

Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar

deviasi s = 60 jam maka

119905 = minus 120583119900

119904radic119899=

792 minus 800

60radic50= minus0942

Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201

Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam

atau kualitas lampu merk A belum berubah

2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)

Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua

populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara

produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya

Uji ndash t DUA EKOR

Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka

waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal

ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel

sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan

jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam

ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut

Makanan

A

31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34

Makanan

B

27 29 34 32 33 29 30 30 26 37

Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya

terhadap penambahan berat ayam atau tidak

Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai

berikut

Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)

Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0

Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara

acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari

kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan

statistik t dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama

2 = nilai rerata sampel kedua

119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)

Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho

ditolak

Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996

1198781198612 = 01112

nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai

berikut

1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861

119899119860 + 119899119861 minus 2

=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)

11 + 10 minus 2

1199042 =29968

19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397

Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =119860 minus 119861

119904radic1

119899119860+

1119899119861

=322 minus 307

0397radic 111 +

110

= 0862

Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209

Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)

3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)

Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan

yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal

ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda

yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata

pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda

yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang

suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm

dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut

Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu

ekor) sebagai berikut

Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0

Ha 1le2 atau Ha 1-2le0

Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut

1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15

2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20

Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok

tersebut yaitu

1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041

2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422

1198991 + 1198992 minus 2=

(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2

15 + 20 minus 2

1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933

Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =1 minus 2

119878radic11198991

+1

1198992

=1672 minus 1603

6933radic 115

+1

20

= 2913

Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata

bahwa thit lt ttabel Ho ditolak

Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih

tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti

(dapat diterima)

Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)

Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash

t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui

perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang

Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya

perlakuan tertentu

Contoh

Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan

maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada

masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya

Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil

dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut

Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005

ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa

pemberian latihan telah dapat meningkatkan

Penyelesaian

Dari masing-masing pasangan data observasi

tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2

Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-

nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan

mean (rerata) dalam populasi

Tabel perhitungan

Ho d = 0

Ha d ne 0

=sum 119889

119873=

minus11

10= minus110

1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2

119899

1199041198892 = 19 minus(minus11)2

10

1199041198892 = 69

119904119889 = radic69 = 2627

Siswa Nilai pretest

X1

Nilai post test

X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

No X1 X2 X1 ndash X2

d

d2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

- 1

0

- 1

- 2

- 1

- 1

- 3

0

- 1

- 1

1

0

1

4

1

1

9

0

1

1

52 63 - 11 19

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 10: Pengantar Statistika 2

7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong

a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)

1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2

119899 (119899minus1)

Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)

fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai

n = sumfi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942

31 ndash 40 1 355 126025 355 126025

41 ndash 50 2 455 207025 910 414050

51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125

61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375

71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625

81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050

91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430

JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100

Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2

80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312

b Dengan Rumus Deviasi

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2

31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921

41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442

51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605

61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815

71 ndash 80 25 755 -11 121 3025

81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420

91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652

JUMLAH 80 -- -- 1349880

Nilai rata-rata = 76625 infin 766

1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2

119899minus1 =

1349880

80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307

c Dengan Rumus Koding

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9

41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8

51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5

61 ndash 70 15 655 0 0 0 0

71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25

81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80

91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108

JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (235) ndash (89)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-

kan letak ci = 0 hellip

Contoh

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16

41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18

51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20

61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15

71 ndash 80 25 755 0 0 0 0

81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20

91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48

JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (137) ndash (9)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel

Misal

Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1

Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk

Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk

dapat dihitung dengan rumus

1199042= sum(119899119894minus1)11990412

sum119899119894minus119896 atau 1199042=

(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962

1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896

119810ontoh

Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek

menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua

terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan

dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung

1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422

1198991+1198992minus119896 =

(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2

14+ 23minus2

1199042 = 8772 s = radic8772 = 296

Uji ndash t

1 t-test dengan satu sampel

Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-

rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu

tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50

buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata

masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa

simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan

bahwa kualitas lampu merk A telah berubah

Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut

Ho = o Ho = 800 jam

Ha ne o Ha ne 800 jam

Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)

Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel

120583119874 = rerata populasi

119904 = standar deviasi dari sampel

119899 = ukuranjumlah sampel

Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji

hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)

Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut

-t1-2 lt thit lt t1-2

Dalam hal lainnya Ho ditolak

Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar

deviasi s = 60 jam maka

119905 = minus 120583119900

119904radic119899=

792 minus 800

60radic50= minus0942

Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201

Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam

atau kualitas lampu merk A belum berubah

2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)

Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua

populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara

produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya

Uji ndash t DUA EKOR

Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka

waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal

ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel

sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan

jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam

ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut

Makanan

A

31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34

Makanan

B

27 29 34 32 33 29 30 30 26 37

Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya

terhadap penambahan berat ayam atau tidak

Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai

berikut

Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)

Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0

Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara

acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari

kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan

statistik t dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama

2 = nilai rerata sampel kedua

119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)

Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho

ditolak

Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996

1198781198612 = 01112

nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai

berikut

1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861

119899119860 + 119899119861 minus 2

=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)

11 + 10 minus 2

1199042 =29968

19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397

Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =119860 minus 119861

119904radic1

119899119860+

1119899119861

=322 minus 307

0397radic 111 +

110

= 0862

Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209

Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)

3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)

Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan

yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal

ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda

yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata

pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda

yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang

suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm

dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut

Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu

ekor) sebagai berikut

Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0

Ha 1le2 atau Ha 1-2le0

Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut

1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15

2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20

Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok

tersebut yaitu

1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041

2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422

1198991 + 1198992 minus 2=

(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2

15 + 20 minus 2

1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933

Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =1 minus 2

119878radic11198991

+1

1198992

=1672 minus 1603

6933radic 115

+1

20

= 2913

Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata

bahwa thit lt ttabel Ho ditolak

Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih

tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti

(dapat diterima)

Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)

Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash

t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui

perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang

Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya

perlakuan tertentu

Contoh

Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan

maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada

masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya

Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil

dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut

Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005

ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa

pemberian latihan telah dapat meningkatkan

Penyelesaian

Dari masing-masing pasangan data observasi

tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2

Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-

nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan

mean (rerata) dalam populasi

Tabel perhitungan

Ho d = 0

Ha d ne 0

=sum 119889

119873=

minus11

10= minus110

1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2

119899

1199041198892 = 19 minus(minus11)2

10

1199041198892 = 69

119904119889 = radic69 = 2627

Siswa Nilai pretest

X1

Nilai post test

X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

No X1 X2 X1 ndash X2

d

d2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

- 1

0

- 1

- 2

- 1

- 1

- 3

0

- 1

- 1

1

0

1

4

1

1

9

0

1

1

52 63 - 11 19

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 11: Pengantar Statistika 2

Nilai rata-rata = 76625 infin 766

1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2

119899minus1 =

1349880

80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307

c Dengan Rumus Koding

Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel

Distribusi Frekuensi Bergolong sbb

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9

41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8

51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5

61 ndash 70 15 655 0 0 0 0

71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25

81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80

91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108

JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (235) ndash (89)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-

kan letak ci = 0 hellip

Contoh

Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942

31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16

41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18

51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20

61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15

71 ndash 80 25 755 0 0 0 0

81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20

91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48

JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (137) ndash (9)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel

Misal

Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1

Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk

Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk

dapat dihitung dengan rumus

1199042= sum(119899119894minus1)11990412

sum119899119894minus119896 atau 1199042=

(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962

1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896

119810ontoh

Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek

menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua

terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan

dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung

1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422

1198991+1198992minus119896 =

(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2

14+ 23minus2

1199042 = 8772 s = radic8772 = 296

Uji ndash t

1 t-test dengan satu sampel

Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-

rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu

tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50

buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata

masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa

simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan

bahwa kualitas lampu merk A telah berubah

Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut

Ho = o Ho = 800 jam

Ha ne o Ha ne 800 jam

Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)

Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel

120583119874 = rerata populasi

119904 = standar deviasi dari sampel

119899 = ukuranjumlah sampel

Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji

hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)

Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut

-t1-2 lt thit lt t1-2

Dalam hal lainnya Ho ditolak

Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar

deviasi s = 60 jam maka

119905 = minus 120583119900

119904radic119899=

792 minus 800

60radic50= minus0942

Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201

Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam

atau kualitas lampu merk A belum berubah

2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)

Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua

populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara

produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya

Uji ndash t DUA EKOR

Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka

waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal

ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel

sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan

jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam

ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut

Makanan

A

31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34

Makanan

B

27 29 34 32 33 29 30 30 26 37

Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya

terhadap penambahan berat ayam atau tidak

Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai

berikut

Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)

Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0

Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara

acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari

kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan

statistik t dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama

2 = nilai rerata sampel kedua

119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)

Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho

ditolak

Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996

1198781198612 = 01112

nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai

berikut

1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861

119899119860 + 119899119861 minus 2

=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)

11 + 10 minus 2

1199042 =29968

19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397

Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =119860 minus 119861

119904radic1

119899119860+

1119899119861

=322 minus 307

0397radic 111 +

110

= 0862

Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209

Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)

3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)

Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan

yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal

ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda

yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata

pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda

yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang

suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm

dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut

Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu

ekor) sebagai berikut

Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0

Ha 1le2 atau Ha 1-2le0

Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut

1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15

2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20

Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok

tersebut yaitu

1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041

2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422

1198991 + 1198992 minus 2=

(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2

15 + 20 minus 2

1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933

Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =1 minus 2

119878radic11198991

+1

1198992

=1672 minus 1603

6933radic 115

+1

20

= 2913

Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata

bahwa thit lt ttabel Ho ditolak

Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih

tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti

(dapat diterima)

Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)

Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash

t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui

perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang

Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya

perlakuan tertentu

Contoh

Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan

maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada

masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya

Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil

dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut

Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005

ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa

pemberian latihan telah dapat meningkatkan

Penyelesaian

Dari masing-masing pasangan data observasi

tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2

Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-

nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan

mean (rerata) dalam populasi

Tabel perhitungan

Ho d = 0

Ha d ne 0

=sum 119889

119873=

minus11

10= minus110

1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2

119899

1199041198892 = 19 minus(minus11)2

10

1199041198892 = 69

119904119889 = radic69 = 2627

Siswa Nilai pretest

X1

Nilai post test

X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

No X1 X2 X1 ndash X2

d

d2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

- 1

0

- 1

- 2

- 1

- 1

- 3

0

- 1

- 1

1

0

1

4

1

1

9

0

1

1

52 63 - 11 19

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 12: Pengantar Statistika 2

Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2

119899 (119899minus1)] = (10)2 [

(80) (137) ndash (9)2

80 (80minus1)] = 1721

S = radic1721 = 1312

8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel

Misal

Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1

Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk

Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk

dapat dihitung dengan rumus

1199042= sum(119899119894minus1)11990412

sum119899119894minus119896 atau 1199042=

(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962

1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896

119810ontoh

Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek

menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua

terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan

dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung

1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422

1198991+1198992minus119896 =

(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2

14+ 23minus2

1199042 = 8772 s = radic8772 = 296

Uji ndash t

1 t-test dengan satu sampel

Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-

rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu

tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50

buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata

masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa

simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan

bahwa kualitas lampu merk A telah berubah

Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut

Ho = o Ho = 800 jam

Ha ne o Ha ne 800 jam

Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)

Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel

120583119874 = rerata populasi

119904 = standar deviasi dari sampel

119899 = ukuranjumlah sampel

Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji

hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)

Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut

-t1-2 lt thit lt t1-2

Dalam hal lainnya Ho ditolak

Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar

deviasi s = 60 jam maka

119905 = minus 120583119900

119904radic119899=

792 minus 800

60radic50= minus0942

Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201

Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam

atau kualitas lampu merk A belum berubah

2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)

Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua

populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara

produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya

Uji ndash t DUA EKOR

Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka

waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal

ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel

sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan

jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam

ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut

Makanan

A

31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34

Makanan

B

27 29 34 32 33 29 30 30 26 37

Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya

terhadap penambahan berat ayam atau tidak

Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai

berikut

Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)

Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0

Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara

acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari

kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan

statistik t dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama

2 = nilai rerata sampel kedua

119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)

Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho

ditolak

Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996

1198781198612 = 01112

nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai

berikut

1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861

119899119860 + 119899119861 minus 2

=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)

11 + 10 minus 2

1199042 =29968

19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397

Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =119860 minus 119861

119904radic1

119899119860+

1119899119861

=322 minus 307

0397radic 111 +

110

= 0862

Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209

Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)

3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)

Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan

yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal

ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda

yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata

pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda

yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang

suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm

dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut

Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu

ekor) sebagai berikut

Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0

Ha 1le2 atau Ha 1-2le0

Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut

1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15

2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20

Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok

tersebut yaitu

1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041

2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422

1198991 + 1198992 minus 2=

(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2

15 + 20 minus 2

1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933

Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =1 minus 2

119878radic11198991

+1

1198992

=1672 minus 1603

6933radic 115

+1

20

= 2913

Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata

bahwa thit lt ttabel Ho ditolak

Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih

tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti

(dapat diterima)

Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)

Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash

t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui

perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang

Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya

perlakuan tertentu

Contoh

Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan

maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada

masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya

Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil

dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut

Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005

ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa

pemberian latihan telah dapat meningkatkan

Penyelesaian

Dari masing-masing pasangan data observasi

tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2

Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-

nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan

mean (rerata) dalam populasi

Tabel perhitungan

Ho d = 0

Ha d ne 0

=sum 119889

119873=

minus11

10= minus110

1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2

119899

1199041198892 = 19 minus(minus11)2

10

1199041198892 = 69

119904119889 = radic69 = 2627

Siswa Nilai pretest

X1

Nilai post test

X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

No X1 X2 X1 ndash X2

d

d2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

- 1

0

- 1

- 2

- 1

- 1

- 3

0

- 1

- 1

1

0

1

4

1

1

9

0

1

1

52 63 - 11 19

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 13: Pengantar Statistika 2

Uji ndash t

1 t-test dengan satu sampel

Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-

rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu

tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50

buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata

masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa

simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan

bahwa kualitas lampu merk A telah berubah

Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut

Ho = o Ho = 800 jam

Ha ne o Ha ne 800 jam

Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)

Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel

120583119874 = rerata populasi

119904 = standar deviasi dari sampel

119899 = ukuranjumlah sampel

Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji

hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)

Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut

-t1-2 lt thit lt t1-2

Dalam hal lainnya Ho ditolak

Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar

deviasi s = 60 jam maka

119905 = minus 120583119900

119904radic119899=

792 minus 800

60radic50= minus0942

Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201

Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam

atau kualitas lampu merk A belum berubah

2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)

Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua

populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara

produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya

Uji ndash t DUA EKOR

Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka

waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal

ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel

sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan

jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam

ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut

Makanan

A

31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34

Makanan

B

27 29 34 32 33 29 30 30 26 37

Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya

terhadap penambahan berat ayam atau tidak

Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai

berikut

Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)

Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0

Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara

acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari

kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan

statistik t dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama

2 = nilai rerata sampel kedua

119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)

Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho

ditolak

Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996

1198781198612 = 01112

nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai

berikut

1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861

119899119860 + 119899119861 minus 2

=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)

11 + 10 minus 2

1199042 =29968

19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397

Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =119860 minus 119861

119904radic1

119899119860+

1119899119861

=322 minus 307

0397radic 111 +

110

= 0862

Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209

Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)

3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)

Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan

yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal

ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda

yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata

pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda

yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang

suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm

dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut

Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu

ekor) sebagai berikut

Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0

Ha 1le2 atau Ha 1-2le0

Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut

1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15

2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20

Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok

tersebut yaitu

1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041

2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422

1198991 + 1198992 minus 2=

(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2

15 + 20 minus 2

1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933

Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =1 minus 2

119878radic11198991

+1

1198992

=1672 minus 1603

6933radic 115

+1

20

= 2913

Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata

bahwa thit lt ttabel Ho ditolak

Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih

tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti

(dapat diterima)

Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)

Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash

t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui

perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang

Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya

perlakuan tertentu

Contoh

Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan

maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada

masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya

Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil

dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut

Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005

ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa

pemberian latihan telah dapat meningkatkan

Penyelesaian

Dari masing-masing pasangan data observasi

tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2

Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-

nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan

mean (rerata) dalam populasi

Tabel perhitungan

Ho d = 0

Ha d ne 0

=sum 119889

119873=

minus11

10= minus110

1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2

119899

1199041198892 = 19 minus(minus11)2

10

1199041198892 = 69

119904119889 = radic69 = 2627

Siswa Nilai pretest

X1

Nilai post test

X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

No X1 X2 X1 ndash X2

d

d2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

- 1

0

- 1

- 2

- 1

- 1

- 3

0

- 1

- 1

1

0

1

4

1

1

9

0

1

1

52 63 - 11 19

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 14: Pengantar Statistika 2

Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam

atau kualitas lampu merk A belum berubah

2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)

Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua

populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara

produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya

Uji ndash t DUA EKOR

Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka

waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal

ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel

sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan

jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam

ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut

Makanan

A

31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34

Makanan

B

27 29 34 32 33 29 30 30 26 37

Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya

terhadap penambahan berat ayam atau tidak

Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai

berikut

Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)

Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0

Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara

acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari

kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan

statistik t dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama

2 = nilai rerata sampel kedua

119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)

Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho

ditolak

Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996

1198781198612 = 01112

nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai

berikut

1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861

119899119860 + 119899119861 minus 2

=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)

11 + 10 minus 2

1199042 =29968

19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397

Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =119860 minus 119861

119904radic1

119899119860+

1119899119861

=322 minus 307

0397radic 111 +

110

= 0862

Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209

Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)

3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)

Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan

yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal

ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda

yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata

pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda

yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang

suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm

dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut

Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu

ekor) sebagai berikut

Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0

Ha 1le2 atau Ha 1-2le0

Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut

1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15

2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20

Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok

tersebut yaitu

1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041

2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422

1198991 + 1198992 minus 2=

(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2

15 + 20 minus 2

1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933

Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =1 minus 2

119878radic11198991

+1

1198992

=1672 minus 1603

6933radic 115

+1

20

= 2913

Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata

bahwa thit lt ttabel Ho ditolak

Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih

tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti

(dapat diterima)

Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)

Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash

t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui

perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang

Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya

perlakuan tertentu

Contoh

Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan

maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada

masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya

Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil

dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut

Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005

ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa

pemberian latihan telah dapat meningkatkan

Penyelesaian

Dari masing-masing pasangan data observasi

tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2

Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-

nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan

mean (rerata) dalam populasi

Tabel perhitungan

Ho d = 0

Ha d ne 0

=sum 119889

119873=

minus11

10= minus110

1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2

119899

1199041198892 = 19 minus(minus11)2

10

1199041198892 = 69

119904119889 = radic69 = 2627

Siswa Nilai pretest

X1

Nilai post test

X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

No X1 X2 X1 ndash X2

d

d2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

- 1

0

- 1

- 2

- 1

- 1

- 3

0

- 1

- 1

1

0

1

4

1

1

9

0

1

1

52 63 - 11 19

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 15: Pengantar Statistika 2

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama

2 = nilai rerata sampel kedua

119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)

Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)

Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho

ditolak

Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996

1198781198612 = 01112

nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai

berikut

1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861

119899119860 + 119899119861 minus 2

=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)

11 + 10 minus 2

1199042 =29968

19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397

Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =119860 minus 119861

119904radic1

119899119860+

1119899119861

=322 minus 307

0397radic 111 +

110

= 0862

Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209

Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)

3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)

Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan

yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal

ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda

yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata

pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda

yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang

suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm

dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut

Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu

ekor) sebagai berikut

Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0

Ha 1le2 atau Ha 1-2le0

Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut

1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15

2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20

Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok

tersebut yaitu

1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041

2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422

1198991 + 1198992 minus 2=

(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2

15 + 20 minus 2

1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933

Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =1 minus 2

119878radic11198991

+1

1198992

=1672 minus 1603

6933radic 115

+1

20

= 2913

Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata

bahwa thit lt ttabel Ho ditolak

Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih

tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti

(dapat diterima)

Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)

Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash

t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui

perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang

Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya

perlakuan tertentu

Contoh

Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan

maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada

masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya

Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil

dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut

Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005

ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa

pemberian latihan telah dapat meningkatkan

Penyelesaian

Dari masing-masing pasangan data observasi

tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2

Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-

nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan

mean (rerata) dalam populasi

Tabel perhitungan

Ho d = 0

Ha d ne 0

=sum 119889

119873=

minus11

10= minus110

1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2

119899

1199041198892 = 19 minus(minus11)2

10

1199041198892 = 69

119904119889 = radic69 = 2627

Siswa Nilai pretest

X1

Nilai post test

X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

No X1 X2 X1 ndash X2

d

d2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

- 1

0

- 1

- 2

- 1

- 1

- 3

0

- 1

- 1

1

0

1

4

1

1

9

0

1

1

52 63 - 11 19

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 16: Pengantar Statistika 2

3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)

Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan

yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal

ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda

yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata

pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda

yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang

suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm

dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut

Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu

ekor) sebagai berikut

Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0

Ha 1le2 atau Ha 1-2le0

Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut

1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15

2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20

Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok

tersebut yaitu

1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041

2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422

1198991 + 1198992 minus 2=

(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2

15 + 20 minus 2

1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933

Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut

119905 =1 minus 2

119878radic11198991

+1

1198992

=1672 minus 1603

6933radic 115

+1

20

= 2913

Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata

bahwa thit lt ttabel Ho ditolak

Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih

tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti

(dapat diterima)

Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)

Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash

t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui

perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang

Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya

perlakuan tertentu

Contoh

Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan

maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada

masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya

Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil

dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut

Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005

ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa

pemberian latihan telah dapat meningkatkan

Penyelesaian

Dari masing-masing pasangan data observasi

tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2

Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-

nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan

mean (rerata) dalam populasi

Tabel perhitungan

Ho d = 0

Ha d ne 0

=sum 119889

119873=

minus11

10= minus110

1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2

119899

1199041198892 = 19 minus(minus11)2

10

1199041198892 = 69

119904119889 = radic69 = 2627

Siswa Nilai pretest

X1

Nilai post test

X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

No X1 X2 X1 ndash X2

d

d2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

- 1

0

- 1

- 2

- 1

- 1

- 3

0

- 1

- 1

1

0

1

4

1

1

9

0

1

1

52 63 - 11 19

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 17: Pengantar Statistika 2

Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)

Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash

t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui

perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang

Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya

perlakuan tertentu

Contoh

Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan

maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada

masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya

Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil

dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut

Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005

ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa

pemberian latihan telah dapat meningkatkan

Penyelesaian

Dari masing-masing pasangan data observasi

tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2

Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-

nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan

mean (rerata) dalam populasi

Tabel perhitungan

Ho d = 0

Ha d ne 0

=sum 119889

119873=

minus11

10= minus110

1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2

119899

1199041198892 = 19 minus(minus11)2

10

1199041198892 = 69

119904119889 = radic69 = 2627

Siswa Nilai pretest

X1

Nilai post test

X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

No X1 X2 X1 ndash X2

d

d2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

7

6

3

5

6

2

7

7

5

5

7

7

5

6

7

5

7

8

6

- 1

0

- 1

- 2

- 1

- 1

- 3

0

- 1

- 1

1

0

1

4

1

1

9

0

1

1

52 63 - 11 19

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 18: Pengantar Statistika 2

Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Dari perhitungan di atas diperoleh harga t

119905 =

119904119889radic119899=

minus110

2267radic10= minus1534

Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226

Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)

Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 19: Pengantar Statistika 2

KORELASI

Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara

dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya

tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y

Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya

nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti

itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X

selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh

kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan

yang negatif

Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan

sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan

nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya

KOEFISIEN HUBUNGAN

Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang

menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien

korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara

000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif

Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien

yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang

bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y

Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa

dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua

variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki

korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali

dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya

akan berkisar antara +100 sampai dengan -100

ILUSTRASI

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 20: Pengantar Statistika 2

Korelasi

Positif

Y

X

Korelasi

Negatif

Y

X

Korelasi

tidak ada

Y

X

Lingkaran

KORELASI PRODUCT MOMENT

Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang

dikembangkan oleh Karl Pearson

Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu

1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar

Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)

119903ϰ119910 = sumϰ119910

radic(sumϰ2)(sum1199102)

Dalam hal ini

119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y

ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X

119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y

sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y

ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ

1199102 = Kuadrat dari nilai y

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 21: Pengantar Statistika 2

Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh

siswa

No Resp Mat

X

Fisika

Y

X -

120542

Y -

y 120542120784 119858120784 120542 y

1 65 63 00 -01 000 001 000

2 70 68 +05 +04 025 016 +020

3 75 72 +10 +08 100 064 +080

4 70 68 +05 +04 025 016 +020

5 60 70 -05 +06 025 036 -030

6 60 62 -05 -02 025 004 +010

7 55 51 -10 -13 100 169 +130

8 65 60 00 04 000 016 000

9 70 65 +05 +01 025 001 +005

10 60 59 -05 -06 025 036 +030

Jumlah 650 638 - - 350 359 265

= sum119909

119873=

650

10= 650 =

sum119910

119873=

638

10= 638 ∽ 640

x = X - y = Y -

Rumus

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

Contoh

No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y

1 65 63 4225 3969 4095

2 70 68 4900 4624 4760

3 75 72 5625 5184 5700

4 70 68 4900 4624 4760

5 60 70 3600 4900 4200

6 60 62 3600 3844 3720

7 55 51 3025 2601 2805

8 65 60 4225 3600 3900

9 70 65 4900 4225 4550

10 60 59 3600 3481 3540

Jumlah 650 638 42600 41052 41730

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 22: Pengantar Statistika 2

Jadi

119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)

radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]

119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)

radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=

26

radic12166

119903ϰ119910 = 0745

Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas

butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap

mempunyai skala pengukuran interval

KORELASI POINT-SERIAL

Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel

yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis

kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya

juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang

diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran

interval

Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering

disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut

119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722

119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =

1198721minus119872119905

119878119905 radic119901 119902

Dalam hal ini

rp-bis = koefisien korelasi point-biserial

M1 = mean gejala interval kelompok 1

M2 = mean gejala interval kelompok 2

St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)

P = Proporsi dari kelompok 1

Q =1-p

Contoh

Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala

interval)

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 23: Pengantar Statistika 2

Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)

No Klp Pria

Xp

Klp Wanita

Xw 119831119849120784 119831119856120784

1 86 85 7396 7225

2 84 81 7056 6561

3 78 75 6084 5625

4 72 68 5184 4624

5 69 66 4761 4356

6 67 65 4489 4225

7 66 60 4356 3600

8 65 60 4225 3600

9 64 60 4096 3600

10 62 56 3844 3136

11 60 54 3600 2916

12 58 50 3364 2500

Jumlah 831 78 58455 51968

Mean 6925 650 - -

P 050 050 - -

sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611

sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423

SDtot = radicsum1199092

119873minus (

sumx

119873)

2

= radic110423

24minus (

1611

24)

2

= radic4601 minus 4505 = 098

119875 =119899119901

119873=

12

24= 050 pq = (05) (05) = 025

rp-bis = 1198721minus1198722

119878119905radic119901 119902 =

692minus650

098radic025 = 0217

Korelasi serial

Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang

satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal

adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara

titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah

miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 24: Pengantar Statistika 2

Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872

119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2

119901

Dalam hal ini

or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal

ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal

M = Mean (pada masing-masing kelompok)

119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total

Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara

keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu

Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan

validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala

pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)

Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang

diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut

korelasi bi-serial atau r-bis

Contoh

Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan

AKTIF SEDANG PASIF

80 65 60

85 68 56

78 62 54

72 75 52

84 63 50

65 60

64

62

60

70

60

61

Jumlah skor 464 77 272 -

Jumlah Individu 6 12 5 23

Proporsi 0261 0522 0217 100

Mean 773 642 544 -

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 25: Pengantar Statistika 2

Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang

memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal

(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana

1986)

Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|

2=

0478

2= 0239

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)

Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y

Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217

|119901 minus 119902|

2=

0566

2= 0283

Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk

02823)

Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)

Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)

Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001

Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0

119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh

119878119863119905119900119905=0948

Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut

TABEL PERHITUNGAN

Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784

119927

(Or-Ot)

M

Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513

Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199

Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600

Total 23 100 - - 080534 +0714

119903119904119890119903 =+0714

(0948)(080534)=

0714

07635= 0935

INTRERPRETASI HARGA r

Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford

(1956) sebagai berikut

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 26: Pengantar Statistika 2

Koefisien korelasi r Interpretasi

080 ndash 100 Sangat tinggi

060 ndash 080 Tinggi

040 ndash 060 Cukup

020 ndash 040 Rendah

000 ndash 020 Sangat rendah

Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat

dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)

Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa

digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya

responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745

Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti

harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa

korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka

dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi

meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti

KORELASI RANK ORDER

Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran

yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari

person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank

Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah

119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942

119873 (1198732minus1)

Dalam hal ini

119903119904 = Koefisien korelasi spearman

Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi

N = Banyaknya subjek (kasus)

Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang

berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam

statistika bebas distribusi

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 27: Pengantar Statistika 2

Contoh Penilaian 2 orang juri

Peserta Juri I Juri II

A 70 80

B 85 75

C 65 55

D 50 60

E 90 85

F 80 70

G 75 90

H 60 65

Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri

terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan

Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya

Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya

Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua

orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan

dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta

Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau

korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus

korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut

Perhitungan

Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784

A 5 3 2 4

B 2 4 -2 4

C 6 8 -2 4

D 8 7 1 1

E 1 2 -1 1

F 3 5 -2 4

G 4 1 3 9

H 7 6 1 1

Jumlah - - - 28

Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)

8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789

Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama

Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 28: Pengantar Statistika 2

Contoh perhitungan

Peserta Xi Yi Rank

Juri I

Rank Juri

II Beda (Di) 119915119946120784

1 96 150 1 1 0 0

2 82 95 65 6 05 025

3 63 75 9 95 -05 025

4 57 75 10 95 05 025

5 82 110 65 3 35 1225

6 90 100 3 45 -15 225

7 90 140 3 2 1 1

8 74 83 8 8 0 0

9 87 100 5 45 05 025

10 90 92 3 7 -4 16

Jumlah - - - - - 3250

Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh

119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)

10 (102minus1)= 120782 120790120782120785

UJI SIGNIFIKANSI r

Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat

dilakukan sebagai berikut

1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)

2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan

(α=005) atau α=001 dan db=N-2

3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni

dengan rumus sebagai berikut

a) 119905 = 119903radic119873minus2

radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment

b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2

1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman

c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2

1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial

d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2

1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 29: Pengantar Statistika 2

Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan

taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2

Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t

tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 30: Pengantar Statistika 2

ANALISIS REGRESI GANDA

Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)

Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)

Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk

dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)

Contoh

Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor

tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)

Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)

Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2

sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)

sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22

Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut

Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2

No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2

2 Y2

1

2

3

30

70

71

72

98

41

43

46

60

10

11

12

25

2870

3053

5880

700

481

2450

410

473

1500

4900

5041

9604

1681

1849

3600

100

121

625

sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 31: Pengantar Statistika 2

Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut

sumX1 = 2473

sumX2 = 1433

sumY = 494

sumX1X2 = 118758

sumX1Y = 41430

sumX2Y = 23989

Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh

sistem persamaan sebagai berikut

494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)

41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)

23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)

Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita

selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a

yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30

kemudian dikurangkan sehingga diperoleh

1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2

1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash

-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)

Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian

dikurangkan sehingga diperoleh

707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2

719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -

-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan

persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan

sehingga diperoleh

402056578 = 890154551b1 + 358382760b2

553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -

-151286550 = -560454600b2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 32: Pengantar Statistika 2

Maka b2 = 02699 ~ 0270

Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh

-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343

Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699

maka diperoleh

494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)

Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470

Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2

Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena

harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan

tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan

empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin

banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan

Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian

yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan

program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar

X dan Y dalam skor deviasi (x y)

Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu

tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya

melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan

dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu

dan

Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi

Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata

dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

hellip(10)

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 33: Pengantar Statistika 2

Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash

harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut

Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut

Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh

= 8243 = 4777 dan = 1647

Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh

hellip (11)

hellip(12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 34: Pengantar Statistika 2

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh

a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)

a = - 2470

sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA

Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka

terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah

regresinya

Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah

regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing

prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam

regresi linier sederhana

Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu

untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum

dapat dihitung menggunakan rumus

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 35: Pengantar Statistika 2

JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)

JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)

Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus

JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)

sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya

Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing

adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan

rumus

Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber variasi Dk JK RJK F

Regresi

Residu

k

n ndash k ndash 1

JK reg

JK tot ndash JK reg

JK reg k

JK res (n ndash k ndash 1)

RJK reg

RJK res

Total N ndash 1 sumy2 - -

Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k

ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis

(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa

koefisien regresi berarti

Kriteria

Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi

yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak

Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka

diperoleh

JK tot = sumy2 = 40347

hellip (16)

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 36: Pengantar Statistika 2

Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh

Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)

= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873

JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474

Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka

Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh

Sumber Variasi dk JK RJK F

Regresi

Residu

2

27

34873

5474

174365

2027

8600

-

Total 29 40347 - -

Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2

dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau

F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak

Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi

Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan

sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan

pertautan antara Y denan X1 dan X2

Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah

berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan

0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2

secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di

dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah

di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar

peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y

Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi

dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 37: Pengantar Statistika 2

PERHITUNGAN R GANDA DAN R2

Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara

serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol

Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh

persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2

Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga

JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung

Sehingga

Ry12 = R = radicR2 = 093

Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)

akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes

ketrampilannya secara bersama ndash sama

UJI STATISTIK TERHADAP R2

Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi

kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara

bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi

harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)

untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak

Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya

sebagai berikut

k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel

hellip(17)

hellip (18)

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 38: Pengantar Statistika 2

statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya

dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium

secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan

sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak

berarti

Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0

Ha P op R2y 123 hellip k ne 0

Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )

Dalam hal lainnya Ho diterima

Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka

berdasarkan persamaan (18) diperoleh

Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh

harga F 095227 = 335

Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak

Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama

terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara

bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni

sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti

UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI

Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata

bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium

Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343

(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti

terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien

regresi tersebut

Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu

dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara

melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 39: Pengantar Statistika 2

(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat

dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut

Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat

melalui garis regresi

Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk

Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2

dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai

berikut

Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana

simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan

baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi

Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan

menggunakan rumus

Di mana

adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau

jumlah varians

dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi

dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan

X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk

Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas

sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya adalah linier

Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan

ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien

regresi berarti atau

hellip(19)

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 40: Pengantar Statistika 2

Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0

Digunkan statistik uji - t dengan rumus

Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1

Dalam hal lainnya Ho diterima

Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +

0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti

ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan

b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut

Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh

sumx12 = 156737 sumx2

2 = 65137 dan sumy2 = 40347

Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1

dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang

dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment

Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga

Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti

melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus

(21) sebagai berikut

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 41: Pengantar Statistika 2

Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak

Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti

t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak

Kesimpulan

Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti

Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis

(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara

bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)

dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya

sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah

sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant

Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y

akan dibahas kemudian

Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan

berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses

perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih

Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda

tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan

menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien

korelasi sederhana antara Xi dan Xj

Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang

dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi

tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk

diperoleh matriks korelasi sebagai berikut

1 r12 hellip r1k

r21 1 hellip r2k

r31 r32 hellip r3k

Ŗ = hellip

hellip

hellip (22)

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 42: Pengantar Statistika 2

hellip

rk1 rk2 hellip 1

dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan

bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks

kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash

elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk

r11 r12 r13 hellip r1k

r21 r22 r23 hellip r2k

r31 r32 r33 hellip r3k

Ŗ-1 = hellip

hellip

hellip

rk1 rk2 rk3 hellip rkk

matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun

program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada

diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk

Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan

ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus

Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat

dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh

perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan

matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor

hellip(23)

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 43: Pengantar Statistika 2

ANAVA DUA JALUR

Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf

level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang

masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja

dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan

jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis

pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3

level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2

level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan

Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6

kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10

toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko

kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel

terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut

Jenis pengepakan

A B C

Tanpa pengiklanan 11 11 11

Dengan pengiklanan 21 22 23

Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut

1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan

2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan

3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis

pengepakan

Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)

dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi

Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni

Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga

menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data

pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 44: Pengantar Statistika 2

FAKTOR I

1 2 3

FAKTOR II

1 x111

x112

x113

x11n

x121

x122

x123

x12n

x131

x132

x133

x13n

100

2 x211

x212

x213

x21n

x221

x222

x223

x22n

x231

x232

x233

x23n

200

010 020 030

Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam

tiap sel k = 1 2 hellip k)

PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR

Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan

dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam

hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam

Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku

1198692

119873 119886119905119886119906

(sum sum 119909119894119895)2

sum 119899119895frasl

Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah

[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 ]

2

sum sum 119899119896119888119895=1

119877119894=1

119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896

2

119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)

Dengan demikian maka

(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896

2 minus 119862119865119899119896=1

119888119895=1

119877119894=1 hellip hellip (2)

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 45: Pengantar Statistika 2

(2) JKantar perlakuan

a) Faktor I kolom

119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2

119888

119895=1

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)

b) Factor II Baris (Row)

119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2

119877

119894=1

Dengan demikian

1) Faktor koreksi

119862119865 =(sum 119909119894119895119896)

2

119873=

(1904)2

60= 6042027

2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899

119896=1119888119895=1

119877119894=1

119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027

119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927

3) JK antar perlakuan

a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)

119869119870119888 =(sum 119909010)2

119899010+

(sum 119909020)2

119899020+

(sum 119909030)2

119899030minus 119862119865

119869119870119888 =(832)2

20+

(680)2

20+

(392)2

20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413

b) JK antar pengiklanan (antar baris)

119869119870119877 =(sum 119909100)2

119899100+

(sum씜200)2

119899200minus 119862119865

119869119870119877 =(944)2

30+

(960)2

30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426

4) JK dalam kelompok (error)

119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912

2 + ⋯ + sum 119909232 minus [

(sum 11990911)2

11989911+

(sum 11990912)2

11989912+ ⋯ +

(sum 11990923)2

11989923]

119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)

minus [(464)2

10+

(302)2

10+

(178)2

10+

(368)2

10+

(378)2

10+

(214)2

10]

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 46: Pengantar Statistika 2

119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320

5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863

= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314

6) Derajat kebebasan (dk)

dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2

dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1

dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2

dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54

dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59

Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam

tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut

Sumber variasi dk JK RJK F

Antar

Kolom (pengepakan)

Baris (pengiklanan)

Interaksi RC

Dalam Error

2

1

2

54

499413

426

82314

64320

2497065

426

41157

11911

209642

0358

34553

Total 59 646973 - -

Harga-harga Fhitung

(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642

Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan

(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358

Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402

Fhit lt Ftabel

Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap jumlah penjualan

(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 47: Pengantar Statistika 2

Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317

Fhit gt F tabel

Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan

Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk

jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan

Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya

jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai

berikut

119860 ∶ 11 =sum 11990911

11989911=

464

10= 464 21 =

sum 11990921

11989921=

368

10= 368

119861 ∶ 12 =sum 11990912

11989912=

302

10= 302 22 =

sum 11990922

11989922=

378

10= 378

119862 ∶ 13 =sum 11990913

11989913=

178

10= 178 23 =

sum 11990923

11989923=

214

10= 214

Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut

Jenis Pengepakan

A B C

Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178

Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214

Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis

pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik

antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah

signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i

Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari

kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-

harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 48: Pengantar Statistika 2

1

Contoh Anava

Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran

berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu

pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang

diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-

lain dibuat sama (dikontrol)

Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak

untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya

diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut

Waktu pengajaran Jumlah

Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)

Hasil

ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

xj 286 292 218 210 xij = 1006

nj 5 5 5 5 nj = N = 20

1198952 16478 17086 9536 8840 xij

2 = 51940

119895 572 584 436 420 = 503

Perhitungan jumlah kuadrat

119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus

(sum 119909119894119895)2

119873= 51940 minus

(1006)2

20= 13882

119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2

1198991+

(sum 1199092)2

1198992+ ⋯ +

(sum 119909119896)2

119899119896minus [

(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2

119873]

119869119870119860 =(286)2

5+

(292)2

5+

(218)2

5+

(210)2

5minus [

(1006)2

20] rArr 119869119870119860 = 1135

JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532

Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam

tabel rangkuman Anava sebagai berikut

Tabel Rangkuman Hasil Anava

Sumber Variasi dk JK RJK F

Antar kelompok

Dalam kelompok

3

16

1135

2532

37833

15825

23907

Total 19 13882 - -

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 49: Pengantar Statistika 2

2

Sehingga diperoleh harga

119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860

119877119869119870119863=

37833

15825= 23907

Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut

υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324

Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak

Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan

mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)

UJI LANJUT ANAVA

Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau

uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai

berikut

I KONTRAS ORTOGONAL

Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah

direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan

metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar

kelompok yaitu k - 1

Langkah

1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen

dilakukan (A priori comparisons)

Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan

119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai

ci = ci1 + ci2 + hellip + cik

dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0

Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1

2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu

Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0

3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika

119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 50: Pengantar Statistika 2

3

Dengan syarat

1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0

2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1

4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras

5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus

6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima

7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang

dikontraskan

Contoh

Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam

Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat

membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut

c1 = x1 - x4

c2 = x2 ndash x3

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4

c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci

(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata

kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok

(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I

dan IV dengan rerata perlakuan II dan III

Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka

perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut

Mean (Rerata)

1 2 3 4

1198881

1198882

1198883

+1

0

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

-1

0

+1

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 51: Pengantar Statistika 2

4

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)

+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)

Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan

demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal

Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)

nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan

Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras

yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam

(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)

Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut

Ho ci = 0

Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho

diterima

Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji

perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk

antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut

c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1

c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1

c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1

Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut

(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

pagi dan malam

(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran

siang dengan sore

(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek

waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 52: Pengantar Statistika 2

5

Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436

4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan

menggunakan rumus (3) diperoleh

119869119870(1198881) =(1 minus 4)2

11198991

frasl ∙ 119888112 + 1

1198994frasl ∙ 11988814

2=

(572 minus 420)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776

119869119870(1198882) =(2 minus 3)2

11198992

frasl ∙ 119888222 + 1

1198993frasl ∙ 11988823

2=

(584 minus 436)2

15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476

119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42

11198991

frasl ∙ 119888312 + 1

1198993frasl ∙ 11988832

2 + 11198993

frasl ∙ 119888332 + 1

1198994frasl ∙ 11988834

2

119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2

15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980

Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan

dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut

119865(1198881) =119877119869119870(1198881)

119877119869119870119863=

౸119870(1198881)1

119869119870119863119873 minus 119896=

57761

253216= 36499

119865(1198882) =119877119869119870(1198882)

119877119869119870119863=

119869119870(1198882)1

119869119870119863119873 minus 119896=

54761

253216= 34603

119865(1198883) =119877119869119870(1198883)

119877119869119870119863=

119869119870(1198883)1

119869119870119863119873 minus 119896=

981

253216= 0619

Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =

F005(116) = 449 oleh karenanya

F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak

F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak

F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima

Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi

dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan

malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang

berarti

II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA

Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak

direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang

khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 53: Pengantar Statistika 2

6

A Uji Rentang Newman-Keuls

Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara

dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini

pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari

rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar

2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta

dk-nya

3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan

rumus sebagai berikut

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu

Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan

untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p

tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah

5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk

setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga

diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)

6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST

a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1

c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1

d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =

k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan

rerata yang dibandingkan

Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar

daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat

perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang

dibandingkan tersebut

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 54: Pengantar Statistika 2

7

Contoh

Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu

pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas

Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni

sebagai berikut

1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar

Rerata 420 436 572 584

Perlakuan 4 3 1 2

2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825

dengan dk = 16

3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)

sebagai berikut

119904119895 = radic119877119869119870119863

119899119895

Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5

maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu

119904119895 = radic15825

5= 1779

1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044

4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan

= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut

p = 2 3 4

Rentang = 300 365 405

5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779

maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut

p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)

p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)

p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)

6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan

dengan harga RST masing-masing

a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt

7205 Ho1 ditolak

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 55: Pengantar Statistika 2

8

b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =

148 gt 6493 Ho2 ditolak

c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =

12 lt 5337 Ho3 diterima

d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =

152 gt 6493 Ho4 ditolak

e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =

(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak

f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436

ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak

Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan

yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi

dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore

dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti

B UJI SCHEFFE

Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari

beberapa perlakuan

Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut

1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya

2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari

harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)

3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah

harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di

atas

4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan

rumus

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 56: Pengantar Statistika 2

9

5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)

Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan

nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima

Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud

membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan

kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat

dituliskan sebagai berikut

1198881 = 1 minus 2

1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4

Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)

Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji

Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut

1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584

3 = 436 dan 4 = 420 maka

1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12

1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276

2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =

20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825

Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324

3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312

4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah

119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2

119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516

119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2

119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)

119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163

5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785

Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal

ditolak)

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda

secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls

Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 57: Pengantar Statistika 2

10

Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229

Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak

Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti

dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 58: Pengantar Statistika 2

TUGAS I STATISTIKA

1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut

No Rentang Skor Frekuensi

1 61 ndash 65 4

2 66 ndash 70 9

3 71 ndash 75 11

4 76 ndash 80 2

5 81 ndash 85 4

6 86 ndash 90 7

7 91 ndash 95 3

Jumlah 40

a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram

b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut

c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya

d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi

data tersebut

2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut

Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

48

33

42

53

51

40

45

31

28

48

69

27

57

53

78

42

40

37

58

54

48

60

72

52

68

30

48

73

67

55

82

56

51

60

a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut

b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan

Page 59: Pengantar Statistika 2

SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013

1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel

sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian

yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai

korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data

ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005

bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut

2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK

dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP

mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke

SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α

= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut

3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang

diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)

Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357

+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut

ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872

ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514

ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627

Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja

karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama

mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo

Pertanyaan

a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis

b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja

(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai

kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)

d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan

prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y

Selamat Mengerjakan