Aturan Pencacahan

Sub-pokok Bahasan:

PERMUTASI

MATERI MATEMATIKA SMA KELAS XI MIA

SAPTANA SURAHMATPenyusun : 1

Target Kompetensi

Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuanfaktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasar-kan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, tekno-logi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kema-nusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkaitpenyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkanpengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifiksesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkanmasalah.

Kompetensi Inti Pengetahuan (KI-3) :*) Dikutif dari Lampiran Peraturan Mentri Nomor 58 Tahun 2014 tentang Kurikulum 2013 SMA.

Target Kompetensi

Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret danranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yangdipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secaraefektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metodasesuai kaidah keilmuan.

Kompetensi Inti Keterampilan (KI-4) :*) Dikutif dari Lampiran Peraturan Mentri Nomor 58 Tahun 2014 tentang Kurikulum 2013 SMA.

Target Kompetensi

3.13 Mendeskripsikan dan menerapkan berbagai aturan pencacah-an melalui beberapa contoh nyata serta menyajikan alur peru-musan aturan pencacahan (perkalian, permutasi dan kombi-nasi) melalui diagram atau cara lainnya.

3.14 Menerapkan berbagai konsep dan prinsip permutasi dan kom-binasi dalam pemecahan masalah nyata.

3.15 Mendeskripsikan konsep ruang sampel dan menentukan pelu-ang suatu kejadian dalam suatu percobaan.

3.16 Mendeskripsikan dan menerapkan aturan/ rumus peluang da-lam memprediksi terjadinya suatu kejadian dunia nyata sertamenjelaskan alasan-alasannya.

3.17 Mendeskripsikan konsep peluang dan harapan suatu kejadiandan menggunakannya dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar Pengetahuan :*) Dikutif dari Lampiran Peraturan Mentri Nomor 58 Tahun 2014 tentang Kurikulum 2013 SMA.

Target Kompetensi

4.10 Memilih dan menggunakan aturan pencacahan yang sesuaidalam pemecahan masalah nyata serta memberikan alasanya.

4.11 Mengidentifikasi masalah nyata dan menerapkan aturan per-kalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalahtersebut.

4.12 Mengidentifikasi, menyajikan model matematika dan menentu-tukan peluangdan harapan suatu kejadian dari masalah kontek-tual.

Kompetensi Dasar Keterampilan :*) Dikutif dari Lampiran Peraturan Mentri Nomor 58 Tahun 2014 tentang Kurikulum 2013 SMA.

Indikator

a. Menyusun aturan perkalian, permutasi dan kombinasi.b. Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombi-

nasi.c. Menentukan koefisien suku banyak menggunakan ru-

mus binomial.

Indikator Pencapaian Kompetensi :Karakter peserta didik yang diharap-kan terbentuk : Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras, Pantang

menyerah, Disiplin, Demokratis.

Tujuan Pembelajaran

Tujuan Pembelajaran :

1) Dapat menyusun aturan perkalian, permutasi dan kombi-nasi secara induktif.

2) Dapat menyelesaikan masalah-masalah yang berhubung-an dengan kejadian dengan menggunakan aturan perka-lian, permutasi dan kombinasi.

3) Dapat menentukan koefisien suatu suku banyak secaratepat dengan menggunakan rumus binomial.

Karakter peserta didik yang diharap-kan terbentuk : Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras, Pantang

menyerah, Disiplin, Demokratis.

Peta Konsep

Aturan Perkalian Permutasi Kombinasi

Peluang Komplemen

Teori Peluang

P(A B) =P(A) x P(B)

P(A B) =P(A) x P(B|A)

P(A B) =P(A) + P(B)

P(A B) =P(A) + P(B) P(A B)

Berhubungan dengan Terdiri atas

Terdiri atas

Terdiri atas

Menggunakan

Peluang

Pencacahan

Kejadian Sederhana

Kejadian Majemuk

Perkalian Peluang

Peluang Gabungan

Saling Bebas

Saling Bergantung

Saling Lepas

Tidak Saling Lepas

Jenisnya Jenisnya

Rumus Rumus Rumus Rumus

Kegiatan pembelajaran 1

Kaidah pencacahan

Untuk setiap n bilangan asli, didefinisikan:

n! = n (n 1) (n 2) ... 2 1

Untuk n = 0 didefinisikan 0! = 1

Notasi Faktorial Notasi faktorial akan digunakan dalam perhitungan permutasi dan kombinasi.

Notasi ini menggu-nakan lambang ! sebagai simbolnya.

n! didefinisikan se-bagai perkalian n bilangan asli pertama. Contoh 1 :

a. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

b. 3!6! = (3 x 2 x 1)(6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 6 x 720 = 4320

c.7!5!

= = =

5!5!6 7

6 7 42

=

61 2 3 4 51 2 3 4

75

Kaidah pencacahan

Contoh 2 :

=

(n 1)!Diketahui 8. Tentukan nilai n.(n 2)!

Jawab:

=

1 2 3 ... (n 2)

1 2 3(n 1)! (n 1)(n 2) ... (n! 2)

=

(n(n 2)!(

)n

12)!

= n 1

n 1 = 8 n = 8 + 1 = 9

Kaidah pencacahan

Contoh 3 :

Jawab:

3 26 13

42

51

Ubah perkalian berikut ke dalam notasi faktoriala. 6 x 5 x 4b. 7 x 8 x 9 x 10 x 11

a. 6 x 5 x 4 = = 6!3!

b. 7 x 8 x 9 x 10 x 11

= =7 8 9 106 11 1!

6!1!6!

Kaidah pencacahan

Dalam rapat para pemegang saham di suatu perusahaan akandipilih tiga orang direktur, terdiri dari Direktur Utama, DirekturProduksi dan Direktur Pemasaran. Bila terdapat 10 orang yangmemenuhi syarat, berapa banyak susunan direktur yangmungkin dapat dibuat ?

Kaidah pencacahan

2 Permutasi

Contoh:

1. Permutasi dari unsur-unsur dalam ABC jika diambil keseluruhan akan terdiri dari :

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

2. Permutasi dari huruf ABC jika diambil dua-dua akan terdiri dari :

AB, AC, BA, BC, CA, CB.

Susunan berbeda yang dibentuk dari n unsur yang diambil baik secara keseluruhan atau sebagian tanpa ada pengulangan disebut Permutasi.

Kaidah pencacahan

Untuk mengetahui banyak permutasi dari n unsur dapat ditentukan dengan menggunakan kaidah filling slot.

Jika dari n unsur akan diambil r unsur, maka menurut kaidah filling slot banyaknya susunan berbeda tanpa ada pengulangan ditentukan dengan cara sbb. :

? ? ? ?

UnsurKe - 1

UnsurKe - 2

UnsurKe - 3

UnsurKe - r......

Dapat diisi :

nunsur

Dapat diisi :

(n 1)unsur

Dapat diisi :

(n 2)unsur

Dapat diisi:

(n r + 1)unsur

Banyaknya susunan berbeda :P(n, r) = n x (n 1) x (n 2) x ... x (n r + 1)

Kaidah pencacahan

Jika bentuk P(n, r) = n x (n 1) x (n 2) x ... x (n r + 1) diubah ke bentuk notasi faktorial akan diperoleh :

P(n, r)( ) ( ) ( ) +

=

n n 1 n 2 ... n (n r)!

(

1

n

r

r)!=

n!

(n r)!

Kesimpulan :Banyaknya susunan berbeda (permutasi) dari n unsur jika diambil r unsur adalah :

Jika r = n, maka banyaknya susunan berbeda adalah

P(n) = n!

=n!P(n, r)

(n r)!; dengan r < n

Kaidah pencacahan

Contoh 1:Tentukan banyak permutasi yang disusun dari unsur-unsur yang terdapat dalam ABC, jika :1. Diambil keseluruhan 2. Diambil dua-dua

Jawab:

1. Diambil keseluruhan (n = 3)Banyak permutasi : P(3) = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 susunan, yaitu : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

2. Diambil dua-dua (n = 3, r = 2)

Banyak permutasi : = = =3! 3 2 1P(3, 2) 6

(3 2)! 1!susunan

yaitu : AB, AC, BA, BC, CA, CB.

Kaidah pencacahan

Contoh 2:Dari 10 orang calon pengurus sebuah organisasi, akan dipilih dua orang untuk menduduki jabatan ketua dan wakil ketua. Tentukan banyaknya pasangan berbeda yang dapat dipilih.

Jawab:

Banyak pasangan :

=

10!(10 2)!

P(10, 2) =10!8!

=

8! 9 108!

= 9 x 10 = 90

Dalam masalah ini, susunan AB dan BA dianggap ber-beda. AB diartikan A sebagai ketua dan B sebagai wakil. Sedangkan BA diartikan B sebagai ketua dan A sebagai wakil. Dengan demikian masalah ini merupakan masalah permutasi.

Kaidah pencacahan

Contoh 3:

Tentukan n jika diketahui P(n, 4) = 8 P(n 1, 3).

Jawab:

=

(n 1)!

(n 1 3)! P(n 1, 3)

=

(n 3) (n 2) (n 1(n 4)!(n

)4)!

= (n 3)(n 2)(n 1)

=n!

(n 4)! P(n, 4)

=

(n 3) (n 2)(n 4)!(n

(n 1) n4)!

= (n 3)(n 2)(n 1)n

P(n, 4) = 8 P(n 1, 3)

(n 3)(n 2)(n 1)n = 8(n 3)(n 2)(n 1)

=

(n 1)!(n 4)!

n = 8

Kaidah pencacahan

Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama

Banyaknya permutasi n unsur yang mempunyai m1 unsur jenis pertama, m2 unsur jenis kedua, m3 unsur jenis ketiga, dan mk unsur jenis ke-k yang sama adalah:

= 1 2 3 k 1 2 3 k

n!P(n, m ,m ,m ,...,m )m ! m ! m ! ... m !

Contoh 1:

Tentukan permutasi semua unsur dalam kata BUKU.

Kaidah pencacahan

Jawab :

Dalam kata BUKU terdapat satu unsur yang sama, yaitu huruf U. Dalam hal ini terdapat dua huruf U. Sehingga banyak permutasi semua unsur dalam kata BUKU adalah :

=4!2!

=

32! 42!

P(4, 2) = 12

1. BUKU 6. BUUK 11. UBUK 16. KBUU 21. UUBK2. BUUK 7. UKBU 12. UBKU 17. KUUB 22. UUKB3. BKUU 8. UKUB 13. KUBU 18. KUBU 23. UKBU4. BKUU 9. UUBK 14. KUUB 19. UBUK 24. UKUB5. BUKU 10. UUKB 15. KBUU 20. UBKU

Permutasi unsur-unsur dari kata BUKU selengkapnya adalah :

Jumlah permutasi seluruhnya 24 susunan, namun yang berbeda hanya 12 susunan.

Kaidah pencacahan

Contoh 2:Tentukan permutasi semua unsur yang terdapat dalam kata LUMBALUMBA.

Jawab :Dalam kata LUMBALUMBA terdapat 10 unsur yang mengandung beberapa unsur yang sama, yaitu huruf L ada 2, huruf U ada 2, huruf M ada 2, huruf B ada 2dan huruf A ada 2.

Banyak permutasi :

=

10!2! 2! 2! 2! 2!

P(10, 2,2,2,2,2)

=2! 3 4

25 6

37 8

49 10

5

2! 2 2 2 2

= 3 x 2 x 5 x 3 x 7 x 4 x 9 x 5 = 113400

Kaidah pencacahan

Permutasi Siklis

Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu disebut Permutasi Siklis.

Misalkan 3 buah huruf ABC diletakan secara melingkar. (perhatikan gambar di samping ini).

Bila pembacaan dimulai dari huruf paling atas, akan diperoleh 6 susunan berbeda, yaitu ABC, ACB, BCA, BAC, CBA dan CAB.Namun bila pembacaan menggunakan acuan tetap, misal dimulai dari huruf A, maka akan diperoleh susunan ABC, ACB, ABC, ACB, ACB dan ABC. Dari susunan itu hanya dua buah saja yang berbeda, yaitu ABCdan ACB. Ketentuan inilai yang digunakan dalam permutasi siklis.

Susunan 3 buah huruf ABC yang diletakan secara melingkar

Kaidah pencacahan

Misalkan terdapat n unsur yang disusun secara melingkar. Bila satu unsur dijadikan acuan, maka banyaknya permutasi siklis dihitung dari sisanya, yaitu sebanyak (n 1)! susunan.

PS(n) = (n 1)!

Contoh 1:

Enam orang guru tengah mengadakan rapat. Mereka duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa banyak cara agar guru-guru tersebut dapat duduk meling-kar dengan urutan yang berbeda?

Jawab :

PS(6) = (6 1)! = 5! = 120 cara

Definisi :

Kaidah pencacahan

Contoh 2:Dengan berapa cara empat anak laki-laki dan empat anak perempuan dapat duduk mengelilingi sebuah meja bundar, jika:a. Anak laki-laki dan perempuan duduk secara berselang

seling.b. Anak-anak duduk berkelompok sesuai jenis kelaminnya.

Jawab :a. Banyak cara anak laki-laki duduk mengelilingi meja

bundar adalah PS(4)A = (4 1)! = 3! = 6 cara.Banyak cara anak perempuan duduk mengelilingi meja bundar adalah PS(4)B = (4 1)! = 6 cara.Banyak cara anak laki-laki dan perempuan duduk me-ngelilingi meja bundar secara berselang-seling adalah :PS(4)A x PS(4)B = 6 x 6 = 36 cara.

Kaidah pencacahan

Kaidah pencacahan

b. Banyak cara anak laki-laki dan perempuan duduk menge-lilingi meja bundar dengan tetap berada dalam kelompok-nya ditentukan sbb. :

P = Ps(2) x P(4) x (P4) = 1 x 24 x 24 = 1152 cara

Susunan berbeda anak laki-laki duduk dalam kelom-poknya dapat dilakukan dalam PL(4) = 4! = 24 cara.

Susunan berbeda anak perempuan duduk dalam ke-lompoknya dapat dilakukan dalam PP(4) = 4! = 24 cara.

Susunan berbeda kelompok laki-laki dan perempuan duduk mengelilingi meja bundar dapat dilakukan dalam Ps(2) = (2 1)! = 1 cara.

Banyak cara anak laki-laki dan perempuan duduk mengelilingi meja bundar dengan tetap berada dalam kelompoknya adalah:

Penutup

Anda sudah mempelajari teori tentang kaidah-kaidah pencacahan. Agar pemahaman anda semakin baik,

berlatihlah menyelesaikan beragam soal.

Bila sudah siap, anda bisa melanjutkan pembelajaran ke bagian-2 yang membahas tentang teori peluang.

Jauh lebih terhormat anda melakukan banyak kesalahan setelah mencoba, daripada yakin bisa dan benar tanpa melakukan apapun.

Aturan PencacahanTarget KompetensiTarget KompetensiTarget KompetensiTarget KompetensiIndikatorTujuan PembelajaranPeta KonsepKegiatan pembelajaran 1Kaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanPenutup