Beberapa Distribusi peluang Diskret

1. Distribusi Seragam Diskret

Distribusi peluang diskret yang paling sederhana ialah yang peubah acaknya memperoleh semua nilainya dengan peluang sama. Distribusi ini dikenal dengan distribusi seragam diskret.

Distribusi Seragam Diskret Bila peubah acak X mendapat nilai dengan peluang yang sama, maka distribusi seragam diskret diberikan oleh :

f(x;k) = , ,...........

Contohnya adalah

peluang munculnya angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 pada dadu yaitu 1/6 pelemparan koin yang memiliki peluang antara kedua sisi sama-

sama 1/2

2. Distribusi Bernoulli

Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal. Ulangan percobaan bebas satu sama lain dan peluang sukses tidak berubah dari percobaan satu ke percobaan lainnya disebut proses Bernoulli, sedangkan tiap usaha disebut usaha Bernoulli.Peubah acak X dengan peluang sukses adalah p dan gagal adalah q = (1-p)

, x = 0,1.

= pq dengan fungsi MGF

3. Distribusi Binomial

Secara singkat, proses Binomial harus memenuhi persyaratan sebagai berikut :

Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang. Tiap usaha memberi hasil yang dapat dikelompokan menjadi sukses dan

gagal Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu

ke yang berikutnya. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

Rataan dan variasi distribusi seragam diskret f( x;k) adalah

Dengan fungsi MGF

Banyaknya X yang sukses dalam n usaha bernoulli disebut peubah acak binomial. Distribusi peluang peubah acak diskret ini disebut distribusi binomial

dan akan dinyatakan dengan , karena nilainya tergantung pada

banyaknya usaha (n) dan peluang sukses dalam suatu usaha (p).

Distribusi Binomial Suatu usaha Bernoulli dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal q = 1-p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas ialah

, x = 0,1,2..... dengan

fungsi MGF

4. Distribusi Multinomial

Percobaan Binomial menjadi percobaan multinomial bial setiap usaha dapat memberikan lebih dari 2 hasil kemungkinan. Umumnya, bila suatu usaha dapat

menghasilkan k hasil yang mungkin ....... dengan peluang

maka distribusi multinomial akan memberikan peluang bahwa terjadi

sebanyak x1 kali, terjadi sebanyak x2 kali,........, terjadi sebanyak xk kali

dalam n usaha bebas dengan x1 + x2 +......xk = n

Distribusi peluang gabungan seperti ini akan dinyatakan dengan

dimana , karena hasil

tiap usaha haruslah salah satu dari k yang mungkin.

Distribusi Multinomial Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam

hasil ....... dengan peluang maka distribusi peluang peubah

acak yang menyatakan banyak terjadinya ....... dalam n

usaha bebas adalah

Dengan

5. Distribusi Hypergeometrik

Perbedaan antara ditribusi binomial dan hypergometrik terletak pada cara pengambilan sampelnya. Untuk kasus binomial, diperlukan kebebasan antara usaha. Akibatnya binomial diterapkan misalnya, pada sampling dari sejumlah barang 9sekotak kartu, sejumlah barang produksi) sampling dikerjakan dengan pengembalian setiap barang yang diamati. Pada distribusi Hypergeometri tidak

memerlukan kebebasan dan didasarkan pada sampling tanpa pengembalian. Contoh kasus pada pengujian elektronik, pengendalian mutu

Misalkan ada N benda yang terdiri atas k benda yang akan diberi nama sukses sedangkan sisanya, N-k akan diberi nama gagal. Umumnya yang ingin dicari ialah peluang memilih sukses dari sebanyak k yang tersedia dan n-x yang gagal dari sebanyak N-k yang tersedia, bila sampel acak ukuran n diambil dari N benda. Ini dikenal dengan percobaan Hypergeometrik.

Suatu percobaan Hypergeometrik memiliki kedua sifat berikut: Sampel acak ukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda Sebanyak K benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya, N-

k, diberi nama gagal.

Banyaknya sukses X dalam percobaan hypergeometri disebut peubah acak hypergeometri. Karena itu distribusi peluang peubah acaknya disebut ditribusi Hypergeometri dan nilainya dinyatakan dengan h (x;N,n,k), karena nilainya dihitung pada banyaknya yang sukses k dalam n barang yang dipilih secara acak dari sebanyak N.

Distribusi Hypergeometrik Ditribusi peluang peubah acak hypergeometri X yaitu banyaknya yang sukses dalam sampel acak ukuran n yang dipilih dari sebanyak N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k gagal, ialah

h (x;N,n,k) = , x = 0,1,2.....n

=

6. Distribusi Binomial Negatif

Berbeda dengan distribusi binomial mencari peluang x sukses dalam n usaha. Dalam hal ini yang ingin diketahui peluang bahwa sukses ke k terjadi pada usaha ke-x. Percobaan ini disebut percobaan binomial negatif. Banyaknya usaha ke x untuk mengahasilkan k sukses dalam suatu percobaan binomial negatif disebut peubah acaka binomial negatif dan distribusinya disebut ditribusi Binomial Negatif.

Distribusi Binomial Negatif Bila usaha yang saling bebas, dilakukan berulang kali menghasilkan sukes dengan peluang p sedangkan gagal dengan peluang q = 1-p,maka distribusi peluang peubah acak X, yaitu banyaknyya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k, diberikan oleh

, x= k,k+1,k+2........

Rataan dan variansi distribusi poisson p(x;λt) keduanya sama dengan λt =

dengan fungsi MGF =

Beberapa Distribusi Variabel Kontinu

1. Distribusi Normal.Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada

dua parameter , yaitu rataan dan simpangan bakunya. Jadi fungsi padat X

akan dinyatakan dengan .

Distribusi Normal fungsi padat peubah acak normal X, dengan rataan dan

rataan , ialah

= ; -

Dengan = 3,14159.... dan e = 2,71828...

Adapun lima sifat kurva normal yaitu :

a. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva

terhadap pada x = .

b. Kurva setangkup terhadap sumbu tegak yang melalui rataan .

c. Kurva mempunyai titik belok pada x = , cekung dari bawah bila

dan cekung dari atas untuk nilai x lainnya.

d. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila nilai x

bergerak mnejauhi baik ke kiri maupun ke kanan.

e. Seluruh luas dibawah kurva dan di atas sumbu datar = 1 2. Distribusi Gamma

Distribusi Gamma memainkan peranan penting dalam teori antrian dan teori keandalan (reabilitas). Fungsi Gamma didefenisikan sebagai

dx untuk

Distribusi Gamma Peubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter

, bila fungsi padatnya berbentuk

,x> 0 dengan

dengan fungsi MGF =

3. Distribusi Eksponensial

Hubungannya dengan distribusi lain yaitu :

Distribusi gamma yang = 1 adalah distribusi eksponensial.

Contoh kasus Jarak antara waktu tiba di fasilitas pelayanan misal bank,loket, dan lamanya waktu sampai rusaknya suku cadang dan alat listrik, sering menyangkut distribusi eksponensial.

Distribusi Eksponensial Peubah acak kontinu X berdistribusi eksponensial

dengan parameter , bila fungsi padatnya berbentuk

,x> 0 dengan

dan memiki fungsi MGF =

4. Distribusi Khi Kuadrat

Distribusi Khi Kuadrat memiliki peranan penting dalam statistika informasi. Bahkan digunakan tidak hanya untuk megkaitkan distribusi khi-kuadrat dengan distribusi normal tetapi juga untuk meletakan dasar penggunaanya pada pengujian hipotesis.

Hubungannya dengan distribusi lain yaitu :

Dapat diperoleh dari distribusi Gamma dengan parameter

untuk v adalah bilangan positif. Distribusi ini

mempunyai parameter tunggal yaitu v yang disebut dengan derajat kebebasan.

Akan didapatkan distribusi distribusi Khi kuadrat dengan derajat bebas 1

yang diturunkan dari distribusi normal baku ).

Distribusi Khi Kuadrat Peubah acak kontinu X berdistribusi Khi Kuadrat, dengan derajat kebebasan v, bila fungsi padatnya diberikan oleh

dengan v bilangan bulat positif,

memiliki fungsi MGF =

5. Distribusi sebaran t

Apabila varians populasi diketahui dan populasinya normal berapa pun sampel yang digunakan maka distribusi sampel rataan akan berdistribusi normal baku. Varians populasi pada sampel acak jarang sekali diketahui. Bila ukuran

sampelnya kecil, nilai penduga yaitu berubah cukup besar dari satu sampel

ke sampel lainnya maka kita akan dihadapkan dengan distribusi suatu statistik

yaitu distribusi t dengan . Dimana berdistribusi normal baku dan

berdistribusi khi kuadrat dengan derajat bebas n-1.

Misalkan Z peubah acak normal baku dan v peubah acak Khi Kuadrat dengan derajat kebebasan v. Bila Z dan V, maka distribusi peubah acak T, bila

diberikan oleh h(t) = , < t <

dikenal Distribusi t dengan derajat bebas v. , 2< v

distribusi ini tidak memiliki fungsi MGF

6. Distribusi Weibull

Teknologi modern telah memungkinkan orang merancang banyak sistem yang rumit yang penggunaannya atau barangkali keamanannya, bergantung pada keandalan berbagai komponen sistem tersebut. Sebagai contoh, suatu sekering mungkin putus, tiang saja mungkin melengkung, atau alat pengindera panas tak

bekerja. Komponen yang sama dalam lingkungan yang sama akan rusak dalam waktu yang berlainan yang tak dapat diramalkan. Salah satu distribusi yang digunakan dalam menangani masalah ini adalah distribusi Weibull. Hubungannya dengan distribusi lain adalah merupakan distribusi eksponensial bila parameter

.

Peubah acak kontinyu X berdistribusi weibull, dengan parameter jika

fungsi padatnya berbentuk

Distribusi Weibull tidak memilki fungsi MGF

7. Distribusi F

Statistik F didefenisikan sebagai rasio antara distribusi khi kuadrat dengan

derjat bebasnya. Dapat dituliskan F = dengan U dan V masing-masing

berdistribusi khi kuadrat dengan derajat bebas v1 dan v2 yang saling independent

Fungsi PDF dari distribusi F dengan derjat bebas v1 dan v2 adalah

g(F) = , 0<f <

Distribusi F memiliki rataan dan variansi dengan derajat bebas v1 dan v2 yaitu

dengan 2 < dan dengan 4 <

distribusi ini tidak memiliki fungsi MGF

8. Distribusi Beta

Variabel F dapat ditransformasi menjadi distribusi Beta. Jika X

dengan peubah acak dengan parameter a dan b.

dimana .

Distribusi Beta Dengan parameter memiliki fungsi PDF yaitu

,

, distribusi ini juga tidak memiliki fungsi MGF

9. Distribusi Uniform

Memiliki Peubah acak .Paremeter dinotasikan

dengan a dan b.

Distribusi Uniform dengan parameter a dan b memiliki fungsi PDF yaitu

dengan

Dengan fungsi MGF yaitu

Daftar Pustaka

Bain, Lee J. 1992. Introduction to probability and mathematical statistic. Edisi kedua. Boston: PWS-KENT Publishing company.

Walpole, Ronald E. & Raymond H. Myers. 1995. Ilmu peluang dan statistika untuk insinyur dan ilmuwan edisi ke-empat. Bandung: Penerbit ITB.