makalah aplikasi grup permutasi siklis dalam permainan suit

MAKALAH ALJABAR ABSTRAK 2

Grup Permutasi Siklis dalam Permainan Suit

Disusun oleh:

Kelompok 5/2012B

1. Darul Yuliana (12030214015)

2. Ahmad Nashrulloh (12030214018)

3. Nisvi Rahmahwati (12030214024)

4. Aisyah Noer Aziziah (12030214217)

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

2015

i

DAFTAR ISI

I. HALAMAN JUDUL .............................................................................. i

II. DAFTAR ISI ............................................................................. ii

III. BAB I Pendahuluan .............................................................................. 1

IV. BAB II Hasil dan Pembahasan ...............................................................3

2.1 Permainan Suit .............................................................................. 3

2.2 Grup .............................................................................. 4

2.3 Grup Permutasi .............................................................................15

2.4 Grup Siklis ............................................................................ 15

V. BAB III Kesimpulan ............................................................................ 17

VI. DAFTAR PUSTAKA ............................................................................ iii

ii

BAB I

PENDAHULUAN

Aljabar abstrak merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang

berhubungan dengan kajian kuantintas, hubungan dan struktur yang terbentuk.

Aljabar abstrak mempelajari struktur aljabar seperti grup, ring dan lapangan. Ilmu

aljabar abstrak berkembang pesat karena penerapan karakteristik dari bentuk-

bentuk struktur aljabar tersebut banyak bermanfaat dalam pengembangan metode

dalam menyelesaikan masalah yang bersifat abstrak dan sulit dipresentasikan

melalui aljabar biasa. Masyarakat awam masih belum mengetahui secara nyata

aplikasi dari matematika khususnya aljabar abstrak dan hubungannya dengan

kehidupan. Padahal banyak sekali penerapannya yang secara tidak langsung telah

memberikan kemudahan di setiap aktivitas manusia.

Salah satu materi struktur aljabar yang berkaitan dengan kehidupan nyata

ialah grup. Grup adalah suatu himpunan yang disertai dengan suatu operasi yang

berlaku di dalamnya. Menurut Gallian (2010) suatu himpunan tak kosong G

disebut grup terhadap operasi yang dikenakan terhadapnya jika memenuhi sifat

tertutup, sifat assosiatif, ada elemen identitas untuk setiap elemen yang ada di G,

serta setiap elemen di G memiliki invers terhadap operasinya. Ada beberapa grup

khusus seperti grup abelian, grup siklis, dan homomorfisma. Grup permutasi siklis

merupakan salah satu kajian yang menarik dalam aljabar abstrak.

Dalam sejarah yang tidak dapat dipastikan kebenarannya, suit “batu-

gunting-kertas” ini pertama kali digunakan oleh dua kaisar Jepang kuno dalam

menentukan perebutan kekuasaan karena melalui perundingan tidak menemukan

mufakat. Dan kemudian menjadi permainan “batu-gunting-kertas”, suatu

permainan menang dan kalah dengan mengadu jari atau telapak tangan yang

beranggotakan dua orang atau lebih.

Di Jepang, permainan ini sama halnya dengan permainan “Hompimpah” di

Indonesia, namun nama dan bentuk permainannya berbeda. Nama permainan suit

di Jepang adalah “Jankenpon”, disaat bersamaan dua orang akan menurunkan

tangannya bila kata Jankenpon disebutkan.

Ada “Guu” (batu), bila jari tangan dikepalkan membentuk tinju.

Ada “Choki” (gunting), cukup dua jari membentuk huruf “V”.

1

Dan ada “Paa” (kertas), telapak tangan dibentangkan memperlihatkan ke lima

jari.

Batu akan kalah melawan kertas karena kertas dapat menutupi

batu, kertas akan kalah melawan gunting karena kertas bisa dipotong oleh

gunting, dan gunting akan kalah melawan batu karena batu sangat keras

dan membuat gunting akan tumpul.

Di Indonesia kita mengenalnya dengan sebutan “suit”. Tetapi yang

membedakan suit Jepang dengan suit Indonesia adalah suit di Indonesia

menggunakan jempol, telunjuk, dan kelingking.

Jempol menandakan “gajah”

Telunjuk menandakan “manusia”

Dan kelingking yang menandakan “semut”

Seperti halnya matematika yang merupakan ilmu yang terstruktur dari

aksioma-aksioma, definisi, teorema-teorema, lemma dan corollary, begitu pula

dengan suatu permainan yang terstruktur oleh aturan-aturan permainan. Dalam

permainan suit terdapat aturan-aturan yang menarik untuk dikaji dalam grup

permutasi siklis dalam aturan permainannya.

Penulis memilih topik “Grup Permutasi Siklis dalam Permainan

Suit” karena rasa ingin tahu tentang hubungan antara aturan-aturan yang

ada di matematika khususnya grup permutasi siklis dengan aturan-turan

permainan suit. Berdasarkan jurnal “Grup Permutasi Siklis dalam

Permainan Suit”, permainan suit cenderung memiliki sifat siklis seperti

aljabar.

2

BAB II

HASIL DAN PEMBAHASAN

2.1 Permainan Suit

Suit “batu, kertas, gunting” telah dimainkan di seluruh dunia sebagai alat

untuk mengatasi perbedaan pendapat. Menurut sejarah, simbol ini pertama kali

digunakan oleh dua kaisar Jepang kuno dalam menentukan perebutan kekuasaan

setelah perundingan dan tidak menemukan mufakat.

Permainan suit juga merupakan permainan tradisional asal Indonesia

dengan menggunakan jari tangan. Permainan ini merupakan permainan battle

karena dimainkan oleh 2 orang, dimana masing-masing pemain mengeluarkan 1

jari yang akan diadu dengan 1 jari lawannya. Jari-jari yang digunakan adalah jari

kelingking yang disimbolkan dengan k, jari telunjuk yang disimbolkan dengan t,

dan jempol yang disimbolkan denganj. Langkah-langkahpermainan suit sebagai

berikut:

1. Suit dilakukan oleh dua orang pemain.

2. Setiap pemain hanya boleh mengacungkan salah satu jarinya diantara jempol,

telunjuk, atau kelingking secara bersamaan.

3. Menandingkan dua jari tersebut dengan aturan:

Jempol mengalahkan telunjuk,

Telunjuk mengalahkan kelingking

Kelingking mengalahkan jempol.

4. Pemenang adalah pemain yang mempunyai jari yang dapat mengalahkan jari

lain milik teman.

5. Jika pemain mengacungkan jari yang sama, maka permainan seri.

3

2.2 Grup

Definisi 1:

Himpunan G dengan operasi biner ∘ membentuk grup, jika dan hanya jika :

(i) a∘b∈ G, ∀a ,b∈ G (sifat tertutup).

(ii) (a∘b)∘ c = a∘(b∘ c), ∀a ,b , c∈ G (sifat asosiatif).

(iii) ∃ e∈ G ∋a ∘ e=e∘a= a, ∀a∈ G (punya identitas).

(iv) ∀a∈ G, ∃a−1∈G ∋a∘a−1=e (punya invers).

4

Kelingking, telunjuk, dan jempol yang disimbolkan berturut turut

k, t, dan j direlasikan dengan relasi lawan yang simbolnya ×. Daftar

kontingensi relasi tersebut disajikan dalam Tabel 1 berikut ini.

Dalam permainan suit, ada beberapa kejadian yang mungkin terjadi, yaitu

menang, kalah, dan seri yang berturut-turut ditunjukkan pada gambar dibawah ini.

5

Selanjutnya, kondisi menang, kalah, dan seri dituliskan dalam aturan

permutasi sebagai berikut:

Menang=(k t jj k t ) (1)

Kalah=(k t jt j k ) (2)

Seri=(k t jk t j) (3)

Kondisi Menang, Kalah, dan Seri dibentuk dalam suatu himpunan

Suit,ditulis S ={Menang, Kalah, Seri}. Himpunan S dilengkapi dengan operasi

komposisi fungsi membentuk grup karena memenuhi keempat sifat berdasarkan

definisi grup, yaitu:

1. Tertutup terhadap operasi komposisi fungsi.

(1) Menang ∘ Menang = Kalah

(k t jj k t )∘(k t j

j k t )=(k t jt j k )

(2) Menang ∘ Kalah = Seri


t j k)=(k t jk t j)

(3) Menang ∘ Seri = Menang

6


k t j)=(k t jj k t )

6

(4) Kalah ∘ Menang = Seri

(k t jt j k )∘(k t j

j k t )=(k t jk t j)

(5) Kalah ∘ Kalah = Menang


t j k)=(k t jj k t )

(6) Kalah ∘ Seri = Kalah


k t j)=(k t jt j k )

(7) Seri ∘ Menang = Menang

(k t jk t j)∘(k t j

j k t )=(k t jj k t )

(8) Seri ∘ Kalah = Kalah


t j k)=(k t jt j k )

(9) Seri ∘ Seri = Seri


k t j)=(k t jk t j)

Dari (1)-(9) dapat diringkas dalam tabel berikut ini.

∘ Menang Kalah Seri

Menang Kalah Seri Menang

Kalah Seri Menang Kalah

Seri Menang Kalah Seri

Tabel 2. Hasil Operasi Komposisi Fungsi

Jadi, terbukti bahwa S memenuhi sifat 1, yaitu tertutup dibawah operasi

komposisi fungsi.

7

2. S dengan operasi komposisi fungsi bersifat asosiatif.

(1) Menang ∘ (Menang ∘ Menang)

(k t jj k t )∘((k t j

j k t )∘(k t jj k t ))=(k t j

k t j)(Menang ∘ Menang) ∘ Menang

((k t jj k t )∘(k t j

j k t ))∘(k t jj k t )=(k t j

k t j)Jadi, Menang ∘ (Menang ∘ Menang) = (Menang ∘ Menang) ∘ Menang.

(2) Menang ∘ (Menang ∘ Kalah)


j k t )∘(k t jt j k ))=(k t j

j k t )(Menang∘ Menang)∘ Kalah


j k t ))∘(k t jt j k )=(k t j

j k t )Jadi, Menang ∘ (Menang ∘ Kalah) = (Menang∘ Menang)∘ Kalah.

(3) Menang ∘ (Menang ∘ Seri)


j k t )∘(k t jk t j)) = (k t j

t j k )(Menang ∘ Menang) ∘ Seri


j k t ))∘(k t jk t j)=(k t j

t j k )Jadi, Menang ∘ (Menang ∘ Seri) =(Menang ∘ Menang) ∘ Seri.

(4) Menang ∘ (Kalah ∘ Menang)


t j k )∘(k t jj k t )) = (k t j

j k t )(Menang ∘ Kalah) ∘ Menang


t j k ))∘(k t jj k t ) = (k t j

j k t )Jadi, Menang ∘ (Kalah ∘ Menang) = (Menang ∘ Kalah) ∘ Menang.

8

(5) Menang ∘ (Kalah ∘ Seri)


t j k )∘(k t jk t j))=(k t j

k t j)(Menang ∘ Kalah) ∘ Seri


t j k ))∘(k t jk t j)=(k t j

k t j)Jadi, Menang ∘ (Kalah ∘ Seri) = (Menang ∘ Kalah) ∘ Seri.

(6) Menang ∘ (Kalah ∘ Kalah)


t j k )∘(k t jt j k ))=(k t j

t j k )(Menang ∘ Kalah) ∘ Kalah


t j k ))∘(k t jt j k )=(k t j

t j k )Jadi, Menang ∘ (Kalah ∘ Kalah) = (Menang ∘ Kalah) ∘ Kalah.

(7) Menang ∘ (Seri ∘ Menang)


k t j)∘(k t jj k t ))=(k t j

t j k )(Menang ∘ Seri) ∘ Menang


k t j))∘(k t jj k t )=(k t j

t j k )Jadi, Menang ∘ (Seri ∘ Menang) = (Menang ∘ Seri) ∘ Menang.

(8) Menang ∘ (Seri ∘ Kalah)


k t j)∘(k t jt j k))=(k t j

k t j)(Menang ∘ Seri) ∘ Kalah


k t j))∘(k t jt j k )=(k t j

k t j)Jadi, Menang ∘ (Seri ∘ Kalah) = (Menang ∘ Seri) ∘ Kalah.

9

(9) Menang ∘ (Seri ∘ Seri)


k t j)∘(k t jk t j))=(k t j

j k t )(Menang ∘ Seri) ∘ Seri


k t j))∘(k t jk t j)=(k t j

j k t )Jadi, Menang ∘ (Seri ∘ Seri) = (Menang ∘ Seri) ∘ Seri.

(10) Kalah ∘ (Kalah ∘ Kalah)

(k t jt j k )∘((k t j

t j k )∘(k t jt j k ))=(k t j

k t j)(Kalah ∘Kalah)∘ Kalah)

((k t jt j k )∘(k t j


k t j)Jadi, Kalah ∘ (Kalah ∘ Kalah) = (Kalah ∘Kalah)∘ Kalah.

(11) Kalah ∘ (Kalah ∘ Menang)


t j k )∘(k t jj k t ))=(k t j

t j k )(Kalah ∘Kalah)∘ Menang


t j k ))∘(k t jj k t )=(k t j

t j k )Jadi, Kalah ∘ (Kalah ∘ Menang) = (Kalah ∘ Kalah)∘ Menang.

(12) Kalah ∘ (Kalah ∘ Seri)



j k t )(Kalah ∘Kalah)∘ Seri



j k t )Jadi, Kalah ∘ (Kalah ∘ Seri) = (Kalah ∘Kalah)∘ Seri.

10

(13) Kalah ∘ (Menang ∘Kalah)


j k t )∘(k t jt j k ))=(k t j

t j k )(Kalah ∘Menang)∘Kalah



t j k )Jadi, Kalah ∘ (Menang ∘Kalah) = (Kalah ∘Menang)∘Kalah.

(14) Kalah ∘ (Menang ∘ Menang)



j k t )(Kalah∘ Menang) ∘ Menang



j k t )Jadi, Kalah ∘ (Menang ∘ Menang) = (Kalah∘ Menang) ∘ Menang.

(15) Kalah ∘ (Menang ∘ Seri)


j k t )∘(k t jk t j))=(k t j

k t j)(Kalah ∘ Menang)∘ Seri



k t j)Jadi, Kalah ∘ (Menang ∘ Seri) = (Kalah ∘ Menang)∘ Seri.

(16) Kalah ∘ (Seri∘ Menang)



k t j)(Kalah ∘ Seri) ∘ Menang



k t j)Jadi, Kalah ∘ (Seri∘ Menang) = (Kalah ∘ Seri) ∘ Menang.

11

(17) Kalah ∘ (Seri ∘ Kalah)


k t j)∘(k t jt j k))=(k t j

j k t )(Kalah ∘ Seri)∘ Kalah



j k t )Jadi, Kalah ∘ (Seri ∘ Kalah) = (Kalah ∘ Seri)∘ Kalah.

(18) Kalah ∘ (Seri ∘ Seri)



t j k )(Kalah ∘ Seri)∘ Seri



t j k )Jadi, Kalah ∘ (Seri ∘ Seri) = (Kalah ∘ Seri)∘ Seri.

(19) Seri ∘ (Seri ∘ Seri)

(k t jk t j)∘((k t j


k t j)(Seri ∘ Seri)∘ Seri

((k t jk t j)∘(k t j


k t j)Jadi, Seri ∘ (Seri ∘ Seri) = (Seri ∘ Seri)∘ Seri.

(20) Seri ∘ (Seri ∘ Menang)



j k t )(Seri ∘ Seri)∘ Menang



j k t )Jadi, Seri ∘ (Seri ∘ Menang) = (Seri ∘ Seri)∘ Menang.

.

12

(21) Seri ∘ (Seri ∘ Kalah)


k t j)∘(k t jt j k ))=(k t j

t j k )(Seri ∘ Seri)∘ Kalah



t j k )Jadi, Seri ∘ (Seri ∘ Kalah) = (Seri ∘ Seri)∘ Kalah.

(22) Seri ∘ (Menang ∘ Menang)



t j k )(Seri ∘ Menang)∘ Menang



t j k )Jadi, Seri ∘ (Menang ∘ Menang) = (Seri ∘ Menang)∘ Menang.

(23) Seri ∘ (Menang ∘ Kalah)


j k t )∘(k t jt j k))=(k t j

k t j)(Seri ∘ Menang)∘ Kalah



k t j)Jadi, Seri ∘ (Menang ∘ Kalah) = (Seri ∘ Menang)∘ Kalah.

(24) Seri ∘ (Menang ∘ Seri)


j k t )∘(k t jk t j))=(k t j

j k t )(Seri ∘ Menang)∘ Seri



j k t )Jadi, Seri ∘ (Menang ∘ Seri) = (Seri ∘ Menang)∘ Seri.

13

(25) Seri ∘ (Kalah ∘ Menang)


t j k )∘(k t jj k t ))=(k t j

k t j)(Seri ∘ Kalah)∘ Menang


t j k ))∘(k t jj k t )=(k t j

k t j)Jadi, Seri ∘ (Kalah ∘ Menang) = (Seri ∘ Kalah)∘ Menang.

(26) Seri ∘ (Kalah ∘ Kalah)


t j k )∘(k t jt j k))=(k t j

j k t )(Seri ∘ Kalah)∘ Kalah



j k t )Jadi, Seri ∘ (Kalah ∘ Kalah) = (Seri ∘ Kalah)∘ Kalah.

(27) Seri ∘ (Kalah ∘ Seri)



t j k )(Seri ∘ Kalah)∘ Seri



t j k )Jadi, Seri ∘ (Kalah ∘ Seri) = (Seri ∘ Kalah)∘ Seri.

Dari (1) – (27), terbukti bahwa S memenuhi sifat 2, yaitu sifat asosiatif.

3. Dari tabel 2,diketahui bahwa identitas dari S adalah Seri.

∘ Menang Kalah Seri

Menang Kalah Seri Menang

Kalah Seri Menang Kalah

Seri Menang Kalah Seri

Jadi, S memenuhi sifat 3, yaitu punya identitas.

14

4. Berdasarkan tabel 2, diketahui bahwa

Menang−1=Kalah∈S

Kalah−1=Menang∈S

Seri−1=Seri∈S

Jadi, syarat 4 terpenuhi bahwa setiap elemen S punya invers.

Dari 1, 2, 3, dan 4 terbukti bahwa S merupakan grup.

2.3 Grup Permutasi

Permutasi dari sebuah himpunan adalah fungsi dari himpunan A ke

himpunan A atau suatu fungsi bijektif dari himpunan n ke himpunan itu sendiri

yang berkorespodensi satu-satu dan onto. Grup permutasi dari himpunan A adalah

himpunan permutasi-permutasi A yang membentuk sebuah grup dengan operasi

komposisi fungsi.

Teorema 1:

Grup simetri pada n huruf Sn adalah grup yang banyak anggotanya

n! dengan operasi binernya adalah komposisi fungsi. Sebuah subgrup dari

Sn adalah grup permutasi. S adalah sebuah grup permutasi karena S ⊂ S3

dan S dengan operasi komposisi adalah grup.

2.4 Grup Siklis

Definisi 2:

Misalkan G adalah grup, dan Z = {x | x bilangan bulat}, maka G disebut

grup siklis, jika ada g ∈G sedemikian hingga G = {gn| n ∈ Z}. Elemen g pada G

={gn| n ∈Z} disebut generator dari grup siklis tersebut.

Berdasarkan definisi 2, himpunan S = {Menang, Kalah, Seri} terhadap

operasi komposisi fungsi merupakan grup siklis dengan generator kalah atau

menang. Karena S = {Menangn| n ∈ Z} dan S = {Kalahn| n ∈Z}. Beberapa hal

yang perlu diperhatikan adalah:

1. Jika G merupakan grup siklis dengan generator g yaitu G = {gn | n ∈Z},

maka grup G itu cukup ditulis dengan <g> atau (g).

15

2. Penulisan G = {gn | n ∈Z} yang menyatakan bahwa G grup siklis dengan

generator g biasanya dipakai untuk grup G yang operasi binernya multiplikatif

(perkalian) sedangkan untuk grup G yang operasi binernya aditif

(penjumlahan) dinotasikan dengan G = {ng | n ∈Z}.

Dalam makalah ini, grup siklis yang digunakan adalah grup siklis

yang operasi binernya multiplikatif (perkalian). Sehingga,

S = {Menangn | n ∈Z}

Menang1 = Menang.

Menang2 = Menang ∘ Menang = Kalah.

Menang3 = Menang ∘ Menang ∘ Menang = Seri.

Menang4 = Menang ∘ Menang ∘ Menang ∘ Menang = Menang.

Sehingga, S dengan operasi komposisi fungsi merupakan grup siklis dengan

generator menang berorde 3.

S = {Kalahn | n ∈Z}

Kalah1 = Kalah.

Kalah2 = Kalah ∘ Kalah = Menang.

Kalah3 = Kalah ∘ Kalah ∘ Kalah = Seri.

Kalah4 = Kalah ∘ Kalah ∘ Kalah ∘ Kalah = Kalah.

Sehingga, S dengan operasi komposisi fungsi merupakan grup siklis dengan

generator kalah berorde 3.

16

BAB III

KESIMPULAN

Kesimpulan dari hasil penelitian pada jurnal ini menunjukkan bahwa

aturan yang digunakan pada permainan suit membentuk suatu grup yaitu S =

{Menang, kalah, seri}. S membentuk grup karena telah terbukti bahwa S dibawah

operasi komposisi fungsi memenuhi empat sifat berdasarkan definisi grup. Aturan

dalam pemainan suit tersebut menggunakan grup permutasi siklis.

17

DAFTAR PUSTAKA

Gallian, JosephA. 2010. Contemporary Abstract Algebra. America: United States

of America.

https://aswhat.files.wordpress.com/2013/02/4-stral_grup-siklis1.pdf (diakses 30

April 2015 pkl. 19.36)

http://s3.amazonaws.com/ppt-download/gruppermutasi-130115210248-

phpapp02.pdf (diakses 1 mei 2015)

https://stefanuskaparang.wordpress.com/2010/03/04/skenario-game-suit-adu-jari/

(diakses 22 April 2015 pkl. 14.00)

iii

https://stefanuskaparang.wordpress.com/2010/03/04/skenario-game-suit-adu-jari/

http://s3.amazonaws.com/ppt-download/gruppermutasi-130115210248-phpapp02.pdf

http://s3.amazonaws.com/ppt-download/gruppermutasi-130115210248-phpapp02.pdf

https://aswhat.files.wordpress.com/2013/02/4-stral_grup-siklis1.pdf

makalah aplikasi grup permutasi siklis dalam permainan suit

Documents